Գտեք տողերի միջև տարածքը առցանց: Գտեք y=f(x), x=g(y) տողերով սահմանափակված նկարի մակերեսը։ Հարթ կորի աղեղի երկարությունը

Թող ֆունկցիան լինի ոչ բացասական և շարունակական միջակայքում: Այնուհետև, ըստ որոշակի ինտեգրալի երկրաչափական նշանակության, կորագիծ տրապիզոնի տարածքը վերևից սահմանափակված է այս ֆունկցիայի գրաֆիկով, ներքևից առանցքով, ձախից և աջից ուղիղ գծերով և (տես Նկար 2): ) հաշվարկվում է բանաձևով

Օրինակ 9Գտե՛ք գծով սահմանափակված գործչի մակերեսը և առանցք.

Լուծում. Ֆունկցիայի գրաֆիկ պարաբոլա է, որի ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև։ Եկեք կառուցենք այն (նկ. 3): Ինտեգրման սահմանները որոշելու համար մենք գտնում ենք ուղիղի (պարաբոլայի) առանցքի (ուղիղ) հատման կետերը։ Դա անելու համար մենք լուծում ենք հավասարումների համակարգը

Մենք ստանում ենք. , որտեղ , ; Հետևաբար, , .

Բրինձ. 3

Նկարի տարածքը հայտնաբերվում է բանաձևով (5).

Եթե ​​ֆունկցիան հատվածի վրա ոչ դրական է և շարունակական, ապա կորագիծ տրապիզոնի մակերեսը, որը սահմանափակված է ներքևից այս ֆունկցիայի գրաֆիկով, վերևից առանցքով, ձախից և աջից ուղիղ գծերով և հաշվարկված բանաձևով

. (6)

Եթե ​​ֆունկցիան շարունակական է հատվածի վրա և փոխում է նշանը վերջավոր թվով կետերում, ապա ստվերավորված պատկերի մակերեսը (նկ. 4) հավասար է համապատասխան որոշակի ինտեգրալների հանրահաշվական գումարին.

Բրինձ. չորս

Օրինակ 10Հաշվեք առանցքով և ֆունկցիայի գրաֆիկով սահմանափակված գործչի մակերեսը:

Բրինձ. 5

Լուծում. Եկեք նկարենք (նկ. 5): Ցանկալի տարածքը տարածքների գումարն է և . Եկեք գտնենք այս ոլորտներից յուրաքանչյուրը: Նախ, մենք որոշում ենք ինտեգրման սահմանները՝ լուծելով համակարգը Մենք ստանում ենք,. Հետևաբար.

;

.

Այսպիսով, ստվերված գործչի մակերեսը կազմում է

(քառ. միավոր):

Բրինձ. 6

Թող, վերջապես, կորագիծ տրապիզը վերևից և ներքևից սահմանափակված լինի հատվածի վրա շարունակական ֆունկցիաների գրաֆիկներով և ,
իսկ ձախից ու աջից՝ ուղիղ և (նկ. 6): Այնուհետև դրա տարածքը հաշվարկվում է բանաձևով

. (8)

Օրինակ 11.Գտե՛ք գծերով պարփակված նկարի մակերեսը և.

Լուծում.Այս ցուցանիշը ներկայացված է Նկ. 7. Մենք հաշվարկում ենք դրա մակերեսը (8) բանաձևով: Լուծելով հավասարումների համակարգը՝ գտնում ենք, ; Հետևաբար, , . Սեգմենտի վրա ունենք. Այսպիսով, բանաձևում (8) մենք ընդունում ենք որպես x, և ինչպես - . Մենք ստանում ենք.

(քառ. միավոր):

Տարածքների հաշվարկման ավելի բարդ խնդիրները լուծվում են՝ նկարը բաժանելով չհատվող մասերի և հաշվարկելով ամբողջ գործչի մակերեսը՝ որպես այս մասերի տարածքների գումար:

Բրինձ. 7

Օրինակ 12.Գտե՛ք նկարի մակերեսը, որը սահմանափակված է գծերով, , .

Լուծում. Եկեք նկարենք (նկ. 8): Այս պատկերը կարելի է դիտարկել որպես կորագիծ տրապիզոիդ, որը սահմանափակված է ներքևից առանցքով, ձախից և աջից՝ ուղիղ գծերով, իսկ վերևից՝ ֆունկցիաների գրաֆիկներով և . Քանի որ նկարը վերևից սահմանափակված է երկու ֆունկցիաների գծապատկերներով, դրա մակերեսը հաշվարկելու համար մենք այս ուղիղ պատկերը կբաժանենք երկու մասի (1-ը ուղիղների հատման կետի աբսցիսան է և)։ Այս մասերից յուրաքանչյուրի տարածքը հայտնաբերվում է բանաձևով (4).

(քառ. միավոր); (քառ. միավոր): Հետևաբար.

(քառ. միավոր):

Բրինձ. ութ

X= j( ժամը)

Բրինձ. 9

Եզրափակելով, մենք նշում ենք, որ եթե կորագիծ trapezoid-ը սահմանափակված է ուղիղ գծերով և առանցքով և շարունակական կորի վրա (նկ. 9), ապա դրա մակերեսը հայտնաբերվում է բանաձևով.

Հեղափոխության մարմնի ծավալը

Թող կորագիծ տրապիզը, որը սահմանափակված է ֆունկցիայի գրաֆիկով, որը շարունակվում է հատվածի, առանցքի, ուղիղ գծերի վրա և պտտվում է առանցքի շուրջը (նկ. 10): Այնուհետև ստացված հեղափոխության մարմնի ծավալը հաշվարկվում է բանաձևով

. (9)

Օրինակ 13Հաշվե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվում է հիպերբոլայով, ուղիղ գծերով և առանցքով սահմանափակված կորագիծ տրապեզի առանցքի շուրջը պտտվելուց:

Լուծում. Եկեք նկարենք (նկ. 11):

Խնդրի վիճակից բխում է, որ . Բանաձևով (9) մենք ստանում ենք

.

Բրինձ. տասը

Բրինձ. տասնմեկ

Մարմնի ծավալը, որը ստացվում է առանցքի շուրջ պտտվելով OUուղիղ գծերով սահմանափակված կորագիծ trapezoid y = գև y = դ, առանցք OUև հատվածի վրա շարունակական ֆունկցիայի գրաֆիկը (նկ. 12), որոշվում է բանաձևով

. (10)

X= j( ժամը)

Բրինձ. 12

Օրինակ 14. Հաշվե՛ք առանցքի շուրջ պտտվելուց ստացված մարմնի ծավալը OUգծերով սահմանափակված կորագիծ trapezoid X 2 = 4ժամը, y= 4, x = 0 (նկ. 13):

Լուծում. Խնդրի պայմանին համապատասխան գտնում ենք ինտեգրման սահմանները՝ , . Բանաձևով (10) մենք ստանում ենք.

Բրինձ. 13

Հարթ կորի աղեղի երկարությունը

Թող , որտեղ , հավասարմամբ տրված կորը լինի հարթության վրա (նկ. 14):

Բրինձ. տասնչորս

Սահմանում. Աղեղի երկարությունը հասկացվում է որպես այն սահմանը, որին ձգվում է այս աղեղում ներգծված բազմուղիների երկարությունը, երբ բազմագծի կապերի թիվը ձգտում է դեպի անսահմանություն, իսկ ամենամեծ կապի երկարությունը ձգտում է զրոյի:

Եթե ​​ֆունկցիան և դրա ածանցյալը հատվածի վրա շարունակական են, ապա կորի աղեղի երկարությունը հաշվարկվում է բանաձևով.

. (11)

Օրինակ 15. Հաշվե՛ք այն կետերի միջև պարփակված կորի աղեղի երկարությունը, որի համար .

Լուծում. Մեր ունեցած խնդրի վիճակից . Բանաձևով (11) մենք ստանում ենք.

.

4. Անպատշաճ ինտեգրալներ
ինտեգրման անսահման սահմաններով

Որոշակի ինտեգրալ հասկացությունը ներմուծելիս ենթադրվում էր, որ բավարարված են հետևյալ երկու պայմանները.

ա) ինտեգրման սահմանները աև վերջավոր են;

բ) ինտեգրանդը սահմանափակված է հատվածով:

Եթե ​​այս պայմաններից գոնե մեկը չի բավարարվում, ապա ինտեգրալը կոչվում է ոչ պատշաճ.

Եկեք նախ դիտարկենք ինտեգրման անսահման սահմաններով ոչ պատշաճ ինտեգրալները:

Սահմանում. Թող ֆունկցիան լինի սահմանված և շարունակական միջակայքում, ապաիսկ աջից անսահմանափակ (նկ. 15):

Եթե ​​ոչ պատշաճ ինտեգրալը համընկնում է, ապա այս տարածքը վերջավոր է. եթե ոչ պատշաճ ինտեգրալը շեղվում է, ապա այս տարածքը անսահման է:

Բրինձ. տասնհինգ

Անպատշաճ ինտեգրալը՝ ինտեգրման անսահման ստորին սահմանով, սահմանվում է նույն կերպ.

. (13)

Այս ինտեգրալը համընկնում է, եթե (13) հավասարության աջ կողմի սահմանը գոյություն ունի և վերջավոր է. հակառակ դեպքում ինտեգրալն ասում են, որ դիվերգենտ է:

Ինտեգրման երկու անսահման սահմաններով ոչ պատշաճ ինտեգրալը սահմանվում է հետևյալ կերպ.

, (14)

որտեղ с-ը միջակայքի ցանկացած կետ է: Ինտեգրալը զուգակցվում է միայն այն դեպքում, եթե երկու ինտեգրալները համընկնում են հավասարության աջ կողմում (14):

;

է) = [ընտրեք լրիվ քառակուսին հայտարարի մեջ. ] = [փոխարինում:

] =

Այսպիսով, անպատշաճ ինտեգրալը համընկնում է, և դրա արժեքը հավասար է .

Մուտքագրեք գործառույթը, որի համար ցանկանում եք գտնել ինտեգրալը

Հաշվիչը տալիս է որոշակի ինտեգրալների ՄԱՆՐԱՄԱՍՆ լուծում։

Այս հաշվիչը լուծում է f(x) ֆունկցիայի որոշակի ինտեգրալը տրված վերին և ստորին սահմաններով։

Օրինակներ

աստիճանի կիրառմամբ
(քառակուսի և խորանարդ) և կոտորակներ

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Քառակուսի արմատ

Sqrt(x)/(x + 1)

խորանարդի արմատ

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Օգտագործելով սինուս և կոսինուս

2*sin(x)*cos(x)

Արքսին

X*arcsin(x)

Աղեղային կոսինուս

x*arccos(x)

Լոգարիթմի կիրառում

X*log (x, 10)

բնական լոգարիթմ

Ցուցադրող

Tg(x)*sin(x)

Կոտանգենս

Ctg(x)*cos(x)

Իռացիոնալ կոտորակներ

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Arctangent

X*arctg(x)

Աղեղային շոշափող

X*arсctg(x)

Հիբերբոլիկ սինուս և կոսինուս

2*sh(x)*ch(x)

Հիբերբոլիկ տանգենս և կոտանգենս

ctgh(x)/tgh(x)

Հիբերբոլիկ արկսին և արկկոսին

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Հիբերբոլիկ արկտանգենս և արկոտանգենս

X^2*արքղ(x)*արքղ(x)

Արտահայտությունների և ֆունկցիաների մուտքագրման կանոններ

Արտահայտությունները կարող են բաղկացած լինել ֆունկցիաներից (նշումները տրված են այբբենական կարգով). բացարձակ (x)Բացարձակ արժեք x
(մոդուլ xկամ |x|) arccos (x)Ֆունկցիա - աղեղային կոսինուս x arccosh (x) Arc cosine hyperbolic from x arcsin (x) Arcsine-ից x arcsinh (x)Արկսին հիպերբոլիկ ից x arctg (x)Ֆունկցիա - աղեղային շոշափող է x արկղ(x)Աղեղային շոշափողը հիպերբոլիկ է x ե եթիվ, որը մոտավորապես հավասար է 2,7-ի exp(x)Ֆունկցիա - ցուցիչ-ից x(որն է ե^x) տեղեկամատյան (x)կամ տեղեկամատյան (x)-ի բնական լոգարիթմ x
(Ստանալ log7 (x), դուք պետք է մուտքագրեք log(x)/log(7) (կամ, օրինակ, համար log10 (x)=log(x)/log(10)) պիԹիվը «Pi» է, որը մոտավորապես հավասար է 3,14-ի մեղք (x)Ֆունկցիա - Sine of x cos(x)Ֆունկցիա - կոսինուս x sinh (x)Ֆունկցիա - հիպերբոլիկ սինուս x կանխիկ (x)Ֆունկցիա - հիպերբոլիկ կոսինուս x sqrt (x)Ֆունկցիան քառակուսի արմատն է x քառակուսի (x)կամ x^2Ֆունկցիան - քառակուսի x tg (x)Ֆունկցիա - շոշափում է x tgh(x)Ֆունկցիա - Հիպերբոլիկ շոշափող x cbrt (x)Գործառույթը խորանարդի արմատն է x

Արտահայտություններում կարող եք օգտագործել հետևյալ գործողությունները. Իրական թվերմուտքագրեք ձևը 7.5 , ոչ 7,5 2*x- բազմապատկում 3/x- բաժանում x^3- աստիճանավորում x + 7- լրացում x - 6- հանում
Այլ առանձնահատկություններ. հարկ (x)Գործառույթ - կլորացում xներքեւ (օրինակ հատակ (4.5)==4.0) առաստաղ (x)Գործառույթ - կլորացում xվերև (օրինակ առաստաղ (4.5)==5.0) նշան (x)Գործառույթ - Նշան x erf (x)Սխալի ֆունկցիա (կամ հավանականության ինտեգրալ) լապլաս (x)Լապլասի ֆունկցիան

Նկարի մակերեսի հաշվարկՍա, թերեւս, տարածքի տեսության ամենաբարդ խնդիրներից մեկն է: Դպրոցական երկրաչափության մեջ նրանց սովորեցնում են գտնել հիմնական երկրաչափական ձևերի տարածքները, ինչպիսիք են, օրինակ, եռանկյունը, ռոմբը, ուղղանկյունը, տրապիզոիդը, շրջանագիծը և այլն: Այնուամենայնիվ, հաճախ պետք է գործ ունենալ ավելի բարդ թվերի տարածքների հաշվարկով: Հենց նման խնդիրներ լուծելիս է շատ հարմար օգտագործել ինտեգրալ հաշվարկը։

Սահմանում.

Curvilinear trapezoidԿանչվում է G որոշ պատկեր, որը սահմանափակված է y = f(x), y = 0, x = a և x = b ուղիղներով, իսկ f(x) ֆունկցիան շարունակական է [a; բ] և չի փոխում իր նշանը դրա վրա (նկ. 1):Կորագիծ տրապիզոնի տարածքը կարելի է նշանակել S(G):

Որոշակի ինտեգրալ ʃ a b f(x)dx f(x) ֆունկցիայի համար, որը շարունակական է և ոչ բացասական [a; b] և համապատասխան կորագիծ տրապիզոնի մակերեսն է:

Այսինքն, y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a և x \u003d b տողերով սահմանափակված G նկարի տարածքը գտնելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել որոշակի ինտեգրալ ʃ a b f (x) dx.

Այս կերպ, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Եթե ​​y = f(x) ֆունկցիան դրական չէ [a; b], ապա կորագիծ trapezoid-ի տարածքը կարելի է գտնել բանաձևով S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Օրինակ 1

Հաշվեք y \u003d x 3 տողերով սահմանափակված գործչի տարածքը; y = 1; x = 2.

Լուծում.

Տրված տողերը կազմում են ABC պատկերը, որը ցուցադրվում է ելուստով բրինձ. 2.

Ցանկալի տարածքը հավասար է կորագիծ trapezoid DACE-ի և DABE քառակուսու տարածքների տարբերությանը:

Օգտագործելով S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) բանաձևը, մենք գտնում ենք ինտեգրման սահմանները: Դա անելու համար մենք լուծում ենք երկու հավասարումների համակարգ.

(y \u003d x 3,
(y = 1.

Այսպիսով, մենք ունենք x 1 \u003d 1 - ստորին սահմանը և x \u003d 2 - վերին սահմանը:

Այսպիսով, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (քառակուսի միավոր):

Պատասխան՝ 11/4 քառ. միավորներ

Օրինակ 2

Հաշվեք y \u003d √x տողերով սահմանափակված թվի տարածքը; y = 2; x = 9.

Լուծում.

Տրված տողերը կազմում են ABC պատկերը, որը վերևից սահմանափակված է ֆունկցիայի գրաֆիկով

y \u003d √x, իսկ ներքևից y \u003d 2 ֆունկցիայի գրաֆիկից: Ստացված նկարը ցույց է տրված ելուստով բրինձ. 3.

Ցանկալի տարածքը հավասար է S = ʃ a b (√x - 2): Գտնենք ինտեգրման սահմանները՝ b = 9, a գտնելու համար լուծում ենք երկու հավասարումների համակարգը.

(y = √x,
(y = 2.

Այսպիսով, մենք ունենք, որ x = 4 = a ստորին սահմանն է:

Այսպիսով, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (քառակուսի միավոր):

Պատասխան՝ S = 2 2/3 քառ. միավորներ

Օրինակ 3

Հաշվեք y \u003d x 3 - 4x տողերով սահմանափակված գործչի տարածքը; y = 0; x ≥ 0.

Լուծում.

Եկեք գծենք y ֆունկցիան y \u003d x 3 - 4x x ≥ 0-ի համար: Դա անելու համար մենք գտնում ենք y ածանցյալը:

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 at х = ±2/√3 ≈ 1.1 կրիտիկական կետեր են:

Եթե ​​կրիտիկական կետերը գծենք իրական առանցքի վրա և տեղադրենք ածանցյալի նշանները, ապա կստացվի, որ ֆունկցիան զրոյից նվազում է մինչև 2/√3 և 2/√3-ից աճում է գումարած անվերջության։ Այնուհետև x = 2/√3 նվազագույն կետն է, y ֆունկցիայի նվազագույն արժեքը min = -16/(3√3) ≈ -3 է:

Որոշենք գրաֆիկի հատման կետերը կոորդինատային առանցքներով.

եթե x \u003d 0, ապա y \u003d 0, ինչը նշանակում է, որ A (0; 0) Oy առանցքի հետ հատման կետն է.

եթե y \u003d 0, ապա x 3 - 4x \u003d 0 կամ x (x 2 - 4) \u003d 0, կամ x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, որտեղից x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (հարմար չէ, քանի որ x ≥ 0):

A(0; 0) և B(2; 0) կետերը գրաֆիկի հատման կետերն են Ox առանցքի հետ:

Տրված տողերը կազմում են OAB պատկերը, որը ցուցադրվում է ելուստով բրինձ. չորս.

Քանի որ y \u003d x 3 - 4x ֆունկցիան ընդունում է (0; 2) բացասական արժեք, ապա

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Ունենք՝ ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4, որտեղից S \u003d 4 քառակուսի մետր: միավորներ

Պատասխան՝ S = 4 քառ. միավորներ

Օրինակ 4

Գտեք y \u003d 2x 2 - 2x + 1 պարաբոլով սահմանափակված նկարի մակերեսը, x \u003d 0, y \u003d 0 ուղիղ գծերը և այս պարաբոլային շոշափողը աբսցիսայի x 0 \u003d կետում: 2.

Լուծում.

Նախ, մենք կազմում ենք y \u003d 2x 2 - 2x + 1 պարաբոլային շոշափողի հավասարումը x₀ \u003d 2 աբսցիսա ունեցող կետում:

Քանի որ y' = 4x - 2 ածանցյալը, ապա x 0 = 2-ի համար մենք ստանում ենք k = y'(2) = 6:

Գտե՛ք հպման կետի օրդինատը՝ y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5:

Հետևաբար, շոշափող հավասարումն ունի ձև՝ y - 5 \u003d 6 (x - 2) կամ y \u003d 6x - 7:

Եկեք կառուցենք գծերով սահմանափակված պատկեր.

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7:

Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - պարաբոլա: Կոորդինատային առանցքների հետ հատման կետեր՝ A(0; 1) - Oy առանցքի հետ; Ox առանցքի հետ - չկան հատման կետեր, քանի որ 2x 2 - 2x + 1 = 0 հավասարումը լուծումներ չունի (Դ< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, այսինքն, B պարաբոլայի կետի գագաթն ունի B կոորդինատներ (1/2; 1/2):

Այսպիսով, այն գործիչը, որի տարածքը պետք է որոշվի, ցուցադրվում է ելուստով բրինձ. 5.

Մենք ունենք՝ S O A B D \u003d S OABC - S ADBC:

Պայմանից գտե՛ք D կետի կոորդինատները.

6x - 7 = 0, այսինքն. x \u003d 7/6, ապա DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6:

Մենք գտնում ենք DBC եռանկյունու տարածքը S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC բանաձևով: Այս կերպ,

S ADBC ​​= 1/2 5/6 5 = 25/12 քառ. միավորներ

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (քառակուսի միավոր):

Վերջապես մենք ստանում ենք՝ S O A B D \u003d S OABC - S ADBC ​​\u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (քառ. միավոր):

Պատասխան՝ S = 1 1/4 քառ. միավորներ

Մենք վերանայել ենք օրինակներ գտնելով տրված գծերով սահմանափակված թվերի մակերեսները. Նման խնդիրները հաջողությամբ լուծելու համար պետք է կարողանալ հարթության վրա կառուցել գծեր և ֆունկցիաների գրաֆիկներ, գտնել գծերի հատման կետերը, կիրառել տարածքը գտնելու բանաձևը, որը ենթադրում է որոշակի ինտեգրալներ հաշվարկելու ունակություն և հմտություններ։

կայքը, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:

ա)

Լուծում.

Որոշման առաջին և ամենակարևոր պահը գծագրի կառուցումն է.

Եկեք նկարենք.

Հավասարումը y=0 սահմանում է x առանցքը;

- x=-2 և x=1 - ուղիղ, առանցքին զուգահեռ OU;

- y \u003d x 2 +2 - պարաբոլա, որի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր՝ գագաթով (0;2) կետում։

Մեկնաբանություն.Պարաբոլա կառուցելու համար բավական է գտնել դրա հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ, այսինքն. դնելով x=0 գտի՛ր առանցքի հետ հատումը OU և լուծելով համապատասխան քառակուսի հավասարումը, գտի՛ր առանցքի հետ հատումը Օ՜ .

Պարաբոլայի գագաթը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով բանաձևերը.

Դուք կարող եք գծեր գծել և կետ առ կետ:

[-2;1] միջակայքի վրա ֆունկցիայի գրաֆիկը y=x 2 +2 գտնվում է առանցքի վրայով Եզ , Ահա թե ինչու:

Պատասխան. Ս \u003d 9 քառակուսի միավոր

Առաջադրանքն ավարտելուց հետո միշտ օգտակար է նայել գծագրին և պարզել, թե արդյոք պատասխանը իրական է: Այս դեպքում, «աչքով» մենք հաշվում ենք գծագրության բջիջների քանակը. լավ, մոտավորապես 9-ը մուտքագրվելու է, կարծես թե ճիշտ է: Միանգամայն պարզ է, որ եթե մենք ունենայինք, ասենք, պատասխանը՝ 20 քառակուսի միավոր, ապա, ակնհայտորեն, ինչ-որ տեղ սխալ է թույլ տրվել՝ 20 բջիջ ակնհայտորեն չի տեղավորվում խնդրո առարկա գործչի մեջ, առավելագույնը մեկ տասնյակ։ Եթե ​​պատասխանը բացասական է ստացվել, ապա առաջադրանքը նույնպես սխալ է լուծվել։

Ինչ անել, եթե գտնվում է կորագիծ տրապիզոիդը առանցքի տակ Օ՜

բ)Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը y=-e x , x=1 և կոորդինատային առանցքներ:

Լուծում.

Եկեք նկարենք:

Եթե ​​կորագիծ trapezoid ամբողջովին առանցքի տակ Օ՜ , ապա դրա տարածքը կարելի է գտնել բանաձևով.

Պատասխան. S=(e-1) քառ. միավոր» 1.72 քմ

Ուշադրություն. Մի շփոթեք երկու տեսակի առաջադրանքները:

1) Եթե ձեզ խնդրեն լուծել միայն որոշակի ինտեգրալ առանց որևէ երկրաչափական նշանակության, ապա այն կարող է լինել բացասական:

2) Եթե ձեզ խնդրեն գտնել գործչի մակերեսը՝ օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ, ապա տարածքը միշտ դրական է: Այդ իսկ պատճառով մինուսը հայտնվում է հենց նոր դիտարկված բանաձեւում։

Գործնականում ամենից հաճախ ուրվագիծը գտնվում է ինչպես վերին, այնպես էլ ստորին կիսալեզուներում:

Հետ)Գտեք հարթ պատկերի մակերեսը, որը սահմանափակված է գծերով y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x:

Լուծում.

Նախ պետք է նկարել: Ընդհանուր առմամբ, տարածքի խնդիրների մեջ գծագիր կառուցելիս մեզ ամենաշատը հետաքրքրում են գծերի հատման կետերը: Գտնենք պարաբոլայի և ուղիղի հատման կետերը։Դա կարելի է անել երկու եղանակով։ Առաջին ճանապարհը վերլուծական է.

Մենք լուծում ենք հավասարումը.

Այսպիսով, ինտեգրման ստորին սահմանը a=0 , ինտեգրման վերին սահմանը b=3 .

Կառուցում ենք տրված տողերը՝ 1. Պարաբոլա - գագաթ (1;1) կետում; առանցքների խաչմերուկ Օհ -միավորներ (0;0) և (0;2): 2. Ուղիղ՝ 2-րդ և 4-րդ կոորդինատային անկյունների կիսորդ: Իսկ հիմա Ուշադրություն. Եթե ​​հատվածում [ ա;բ] որոշ շարունակական ֆունկցիա f(x)մեծ կամ հավասար է որոշ շարունակական ֆունկցիայի g(x), ապա համապատասխան գործչի մակերեսը կարելի է գտնել բանաձևով. Եվ կարևոր չէ, թե որտեղ է պատկերը գտնվում՝ առանցքի վերևում, թե առանցքի տակ, այլ կարևոր է, թե որ գծապատկերն է ավելի ԲԱՐՁՐ (մեկ այլ գծապատկերի համեմատ), և որը՝ ՆԵՐՔԵՎ: Քննարկվող օրինակում ակնհայտ է, որ հատվածի վրա պարաբոլան գտնվում է ուղիղ գծի վերևում, և, հետևաբար, անհրաժեշտ է հանել

Կարելի է գծեր կառուցել կետ առ կետ, մինչդեռ ինտեգրման սահմանները պարզվում են կարծես «իրենց»: Այնուամենայնիվ, սահմանները գտնելու վերլուծական մեթոդը դեռ երբեմն պետք է օգտագործվի, եթե, օրինակ, գրաֆիկը բավականաչափ մեծ է, կամ թելային կառուցվածքը չի բացահայտում ինտեգրման սահմանները (դրանք կարող են լինել կոտորակային կամ իռացիոնալ):

Ցանկալի ցուցանիշը սահմանափակվում է վերևից պարաբոլայով և ներքևից ուղիղ գծով:

Սեգմենտի վրա, ըստ համապատասխան բանաձևի.

Պատասխան. Ս \u003d 4,5 քառ

Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը.

Լուծում.

Գտնում ենք տրված ուղիղների հատման կետերը. Դա անելու համար մենք լուծում ենք հավասարումների համակարգը.

Տրված ուղիղների հատման կետերի աբսցիսները գտնելու համար լուծում ենք հավասարումը.

Մենք գտնում ենք. x 1 = -2, x 2 = 4.

Այսպիսով, այս ուղիղները, որոնք պարաբոլա և ուղիղ գիծ են, հատվում են կետերում Ա(-2; 0), Բ(4; 6).

Այս տողերը կազմում են փակ գործիչ, որի մակերեսը հաշվարկվում է վերը նշված բանաձևով.

Ըստ Նյուտոն-Լայբնից բանաձևի՝ մենք գտնում ենք.

Գտեք էլիպսով սահմանափակված տարածքի մակերեսը.

Լուծում.

I քառակուսի էլիպսային հավասարումից մենք ունենք: Այստեղից, ըստ բանաձևի, մենք ստանում ենք

Կիրառենք փոխարինումը x = ամեղք տ, dx = ա cos տ dt. Ինտեգրման նոր սահմաններ տ = α և տ = β որոշվում են 0 = հավասարումներից ամեղք տ, ա = ամեղք տ. Կարելի է դնել α = 0 և β = π /2.

Մենք գտնում ենք պահանջվող տարածքի մեկ չորրորդը

Այստեղից Ս = պաբ.

Գտեք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսըy = - x 2 + x + 4 ևy = - x + 1.

Լուծում.

Գտե՛ք ուղիղների հատման կետերը y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, հավասարեցնելով տողերի օրդինատները. x 2 + x + 4 = -x+ 1 կամ x 2 - 2x- 3 = 0. Գտեք արմատները x 1 = -1, x 2 = 3 և դրանց համապատասխան օրդինատները y 1 = 2, y 2 = -2.

Օգտագործելով գործչի տարածքի բանաձևը, մենք ստանում ենք

Գտե՛ք պարաբոլով պարփակված տարածքըy = x 2 + 1 և ուղիղx + y = 3.

Լուծում.

Հավասարումների համակարգի լուծում

գտե՛ք հատման կետերի աբսցիսները x 1 = -2 և x 2 = 1.

Ենթադրելով y 2 = 3 - xև y 1 = x 2 + 1, հիմնվելով այն բանաձևի վրա, որը մենք ստանում ենք

Հաշվեք Բեռնուլիի լեմնիսկատի պարունակվող տարածքըr 2 = ա 2 cos 2 φ .

Լուծում.

Բևեռային կոորդինատային համակարգում պատկերի տարածքը, որը սահմանափակվում է կորի աղեղով r = զ(φ ) և երկու բևեռային շառավիղներ φ 1 = ʅ և φ 2 = ʆ , արտահայտվում է ինտեգրալով

Կորի համաչափության շնորհիվ մենք նախ որոշում ենք ցանկալի տարածքի մեկ չորրորդը

Այսպիսով, ընդհանուր մակերեսը կազմում է Ս = ա 2 .

Հաշվիր ասրոիդի աղեղի երկարությունըx 2/3 + y 2/3 = ա 2/3 .

Լուծում.

Ասրոիդի հավասարումը գրում ենք ձևով

(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (ա 1/3) 2 .

դնենք x 1/3 = ա 1/3 կո տ, y 1/3 = ա 1/3 մեղք տ.

Այստեղից մենք ստանում ենք ասրոիդի պարամետրային հավասարումները

x = ա cos 3 տ, y = ամեղք 3 տ, (*)

որտեղ 0 ≤ տ ≤ 2π .

Հաշվի առնելով կորի (*) համաչափությունը, բավական է գտնել աղեղի երկարության մեկ չորրորդը Լպարամետրի փոփոխությանը համապատասխան տ 0-ից մինչև π /2.

Մենք ստանում ենք

dx = -3ա cos 2 տմեղք տ դտ, դի = 3ամեղք 2 տ cos տ դտ.

Այստեղից մենք գտնում ենք

Ստացված արտահայտության ինտեգրում 0-ից մինչև միջակայքում π /2, մենք ստանում ենք

Այստեղից Լ = 6ա.

Գտեք Արքիմեդի պարույրով սահմանափակված տարածքըr = aφ և երկու շառավղային վեկտորներ, որոնք համապատասխանում են բևեռային անկյուններինφ 1 ևφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Լուծում.

Տարածք, որը սահմանափակվում է կորով r = զ(φ ) հաշվարկվում է բանաձևով, որտեղ α և β - բևեռային անկյան փոփոխության սահմանները.

Այսպիսով, մենք ստանում ենք

(*)

(*)-ից հետևում է, որ բևեռային առանցքով սահմանափակված տարածքը և Արքիմեդի պարույրի առաջին շրջադարձը ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

Նմանապես, մենք գտնում ենք բևեռային առանցքով սահմանափակված տարածքը և Արքիմեդի պարույրի երկրորդ շրջադարձը ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Պահանջվող տարածքը հավասար է այս տարածքների տարբերությանը

Հաշվե՛ք առանցքի շուրջ պտտվելուց ստացված մարմնի ծավալըԵզ պարաբոլներով սահմանափակված պատկերy = x 2 ևx = y 2 .

Լուծում.

Լուծենք հավասարումների համակարգը

և ստացիր x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, որտեղից կորերի հատման կետերը Օ(0; 0), Բ(տասնմեկ): Ինչպես երևում է նկարում, հեղափոխության մարմնի ցանկալի ծավալը հավասար է առանցքի շուրջը պտտվող երկու ծավալների տարբերությանը։ Եզկորագիծ trapezoids OCBAև ՕԴԲԱ:

Հաշվի՛ր առանցքով սահմանափակված տարածքըԵզ և սինուսոիդy = մեղքx հատվածների վրա՝ ա); բ) .

Լուծում.

ա) հատվածի վրա՝ sin ֆունկցիան xպահպանում է նշանը և, հետևաբար, բանաձևով, ենթադրելով y= մեղք x, գտնում ենք

բ) հատվածի վրա, ֆունկցիա sin xփոխում է նշանը. Խնդրի ճիշտ լուծման համար անհրաժեշտ է հատվածը բաժանել երկուսի և [. π , 2π ], որոնցից յուրաքանչյուրում ֆունկցիան պահպանում է իր նշանը։

Ըստ նշանների կանոնի՝ հատվածի վրա [ π , 2π ] տարածքը վերցված է մինուս նշանով։

Արդյունքում, ցանկալի տարածքը հավասար է

Որոշե՛ք էլիպսի պտույտից ստացված մակերևույթով սահմանափակված մարմնի ծավալըհիմնական առանցքի շուրջա .

Լուծում.

Հաշվի առնելով, որ էլիպսը սիմետրիկ է կոորդինատային առանցքների նկատմամբ, բավական է գտնել առանցքի շուրջ պտույտից գոյացած ծավալը։ Եզտարածք ՕԱԲ, հավասար է էլիպսի մակերեսի մեկ քառորդին և կրկնապատկել արդյունքը։

Նշենք հեղափոխության մարմնի ծավալը միջոցով Վ x; ապա բանաձևի հիման վրա ունենք , որտեղ 0 և ա- կետերի աբսիսսաներ Բև Ա. Էլիպսի հավասարումից մենք գտնում ենք. Այստեղից

Այսպիսով, պահանջվող ծավալը հավասար է . (Երբ էլիպսը պտտվում է փոքր առանցքի շուրջ բ, մարմնի ծավալն է )

Գտեք պարաբոլներով սահմանափակված տարածքըy 2 = 2 px ևx 2 = 2 py .

Լուծում.

Նախ, մենք գտնում ենք պարաբոլների հատման կետերի կոորդինատները, որպեսզի որոշենք ինտեգրման միջակայքը: Վերափոխելով սկզբնական հավասարումները՝ մենք ստանում ենք և. Հավասարեցնելով այս արժեքները, մենք ստանում ենք կամ x 4 - 8էջ 3 x = 0.

x 4 - 8էջ 3 x = x(x 3 - 8էջ 3) = x(x - 2էջ)(x 2 + 2px + 4էջ 2) = 0.

Մենք գտնում ենք հավասարումների արմատները.

Նկատի ունենալով այն հանգամանքը, որ կետ Ապարաբոլների հատումը առաջին քառորդում է, ապա ինտեգրման սահմանները x= 0 և x = 2էջ.

Ցանկալի տարածքը հայտնաբերվում է բանաձևով