Լեզվի ոլորողներ

614 ուղղանկյուն trapezoid- ի անկյունագծեր: Trapezoid- ի անկյունագծերը: Տրապեսի հիմքերին զուգահեռ գծի հատկությունները

Կրկին Պյութագորասի եռանկյունը :))) Եթե մեծ անկյունագծի մի կտոր մեծ հիմքից մինչև խաչմերուկ նշանակված է x, ապա նույն անկյուններով ուղղանկյուն եռանկյունների ակնհայտ նմանությունից հետևում է, որ x / 64 = 36 / x, հետևաբար x = 48; 48/64 = 3/4, հետևաբար հիմքերով, անկյունագծերով և հիմքին ուղղահայաց ձևավորված ԲՈԼՈ right ուղղանկյուն եռանկյունիները նման են 3,4,5 կողմերով եռանկյունուն: Բացառություն է միայն եռանկյունը, որը կազմված է անկյունագծերի կտորներից և թեք կողմից, բայց դա մեզ չի հետաքրքրում :): (Հասկանալի դարձնելու համար, որ նմանությունը պարզապես անկյունների մեկ այլ եռանկյունաչափական գործառույթ է :) մենք արդեն գիտենք մեծ անկյունագծի և մեծ հիմքի միջև եղած անկյան շոշափումը, այն 3/4 է, ինչը նշանակում է, որ սինուսը 3/5 է: , իսկ կոսինուսը 4/5 է :)) Կարող եք անմիջապես գրել

Պատասխանները. Ստորին հիմքը 80 կլինի 60, իսկ վերևը ՝ 45: (36 * 5/4 = 45, 64 * 5/4 = 80, 100 * 3/5 = 60)

Նմանատիպ առաջադրանքներ.

1. Պրիզմայի հիմքը եռանկյուն է, որի մի կողմը 2 սմ է, իսկ մյուս երկուսը ՝ 3 սմ: Կողքի եզրը 4 սմ է և հիմքի հարթության հետ կազմում է 45 անկյուն: Գտեք հավասարի եզրը -չափի խորանարդ:

2. Հակված պրիզմայի հիմքը a կողմով հավասարակողմ եռանկյունն է. կողային երեսներից մեկը ուղղահայաց է հիմքի հարթությանը և ռոմբ է, որի անկյունագիծը հավասար է c- ի: Գտեք պրիզմայի ծավալը:

3. Հակված պրիզմայում հիմքը ուղղանկյուն եռանկյուն է, որի հիպոթենուսը c է, մեկ սուր անկյունը 30 է, կողային եզրը k- ին հավասար է և բազայի հարթության հետ կազմում է 60 անկյուն: Գտեք ծավալը պրիզմայի.

1. Գտիր քառակուսու կողմը, եթե նրա անկյունագիծը 10 սմ է

2. Հավասարաչափ trapezoid- ում բութ անկյունը 135 աստիճանով փոքր է հիմքից 4 սմ, իսկ բարձրությունը `2 սմ, գտեք trapezoid- ի մակերեսը:

3. theոպանուղու բարձրությունը 3 անգամ գերազանցում է հիմքերից մեկի բարձրությունը, բայց մյուսի կեսը: Գտեք trapezoid- ի հիմքը և բարձրությունը, եթե trapezoid- ի մակերեսը 168 սմ քառակուսի է:

4. ABC եռանկյունում A = B անկյուն = 75 աստիճան: Գտնել մ.թ.ա., եթե եռանկյան մակերեսը 36 սմ քառակուսի է:

1. ABCD և CD կողմերով տրապիզոիդ ABCD- ում անկյունագծերը հատվում են O կետում

ա) Համեմատեք ABD և ACD եռանկյունների մակերեսները

բ) Համեմատեք ABO և CDO եռանկյունների մակերեսները

գ) Ապացուցեք, որ OA * OB = OC * OD

2. Հավասարակողմ եռանկյունու հիմքը վերաբերում է կողային կողմին ՝ 4: 3, իսկ հիմքին ձգված բարձրությունը 30 սմ է: Գտեք այն հատվածները, որոնցում հիմքի անկյունի կիսաշրջանը կիսում է այս բարձրությունը:

3. AM տող -շոշափելի է շրջանագծի, այս շրջանի AB- ակորդ: Ապացուցեք, որ MAB անկյունը չափվում է AB աղեղի կեսով, որը գտնվում է MAB անկյունի ներսում:

Տրապեզոիդ անկյունագծերի միջնակետերը միացնող հատվածը հավասար է բազային տարբերության կեսին
Եռանկյունները, որոնք ձևավորվել են տրապիզոիդի հիմքերով և անկյունագծերի հատվածներով մինչև դրանց հատման կետը, նման են
Տրապեզոիդ անկյունագծերի հատվածներից կազմված եռանկյուններ, որոնց կողմերը ընկած են տրապիզոիդների կողային կողմերում `հավասար (ունեն նույն մակերեսը)
Եթե դուք ձգում եք trapezoid- ի կողային կողմերը դեպի ավելի փոքր հիմքը, ապա դրանք մի կետում հատվում են հիմքերի միջնակետերը կապող ուղիղ գծով
Տրապեզոիդների հիմքերը միացնող և տրապեզոիդ անկյունագծերի հատման կետով անցնող հատվածը բաժանվում է այս կետով `այն համամասնությամբ, որը հավասար է trapezoid- ի հիմքերի երկարությունների հարաբերակցությանը
Trapezoid- ի հիմքերին զուգահեռ և անկյունագծերի հատման կետով գծված հատվածը այս կետով կիսվում է կիսով չափ, և դրա երկարությունը հավասար է 2ab / (a+ b), որտեղ a և b հիմքերը trapezoid- ի

Տրապեզոիդ անկյունագծերի միջին կետերը կապող գծի հատվածի հատկությունները

Մենք կապում ենք ABCD trapezoid- ի անկյունագծերի միջնակետերը, ինչի արդյունքում մենք ունենք LM հատված:
Հատվածը, որը կապում է trapezoid անկյունագծերի միջին կետերը, ընկած է trapezoid- ի միջին գծի վրա.

Այս հատվածը trapezoid- ի հիմքին զուգահեռ.

Trapezoid- ի անկյունագծերի միջին կետերը կապող հատվածի երկարությունը հավասար է նրա հիմքերի կես տարբերությանը:

LM = (մ.թ. - մ.թ.ա.) / 2
կամ
LM = (a-b) / 2

Եռանկյունների հատկությունները, որոնք ձևավորվում են տրապիզոիդի անկյունագծերով

Եռանկյուններ, որոնք ձևավորվում են trapezoid- ի հիմքերով և trapezoid- ի անկյունագծերի հատման կետով - նման են.
BOC և AOD եռանկյունները նման են: Քանի որ BOC և AOD անկյունները ուղղահայաց են, դրանք հավասար են:
OCB և OAD անկյունները ներքին և խաչաձև են AD և BC զուգահեռ գծերում (trapezoid- ի հիմքերը միմյանց զուգահեռ են) և AC անջատված ուղղությունը, հետևաբար, դրանք հավասար են:
OBC և ODA անկյունները հավասար են նույն պատճառով (ներքին խաչմերուկ):

Քանի որ մեկ եռանկյունու բոլոր երեք անկյունները հավասար են մյուս եռանկյունու համապատասխան անկյուններին, այդ եռանկյունները նման են:

Ի՞նչ է սա հետևում:

Երկրաչափության խնդիրները լուծելու համար եռանկյունների նմանությունը օգտագործվում է հետևյալ կերպ. Եթե մենք գիտենք նմանատիպ եռանկյունիների երկու համապատասխան տարրերի երկարությունների արժեքները, ապա գտնում ենք նմանության գործակիցը (բաժանում ենք մեկը մյուսի վրա): Որտեղի՞ց մնացած բոլոր տարրերի երկարությունները վերաբերում են միմյանց միևնույն արժեքով:

Եռանկյունների հատկությունները, որոնք ընկած են կողագողի և անկյունագծերի վրա

Մտածեք երկու եռանկյունի, որոնք ընկած են trapezoid AB- ի և CD- ի կողային կողմերում: Սրանք AOB և COD եռանկյուններ են: Չնայած այն հանգամանքին, որ այս եռանկյունիների առանձին կողմերի չափերը կարող են բոլորովին տարբեր լինել, բայց կողմերի կողմից կազմված եռանկյունների մակերեսները և տրապիզոիդ անկյունագծերի հատման կետն են, այսինքն ՝ եռանկյունները հավասար են չափի:

Եթե դուք տարածեք trapezoid- ի կողմերը դեպի փոքր հիմքը, ապա կողմերի հատման կետը կլինի համընկնում է ուղիղ գծի հետ, որն անցնում է հիմքերի միջին կետերով.

Այսպիսով, ցանկացած trapezoid կարող է երկարաձգվել եռանկյունու: Որտեղ:

Ընդլայնված կողային կողմերի խաչմերուկում ընդհանուր գագաթով տրապեզոիդի հիմքերով ձևավորված եռանկյունները նման են
Տրապեսի հիմքերի միջնակետերը միացնող ուղիղ գիծը, միևնույն ժամանակ, կառուցված եռանկյունու միջինն է

Տրապեզոիդ հիմքերը միացնող գծի հատկությունները

Եթե գծեք մի հատված, որի ծայրերը ընկած են trapezoid- ի հիմքերի վրա, որը գտնվում է trapezoid- ի անկյունագծերի հատման կետում (KN), ապա դրա բաղկացուցիչ հատվածների հարաբերակցությունը հիմքի կողքից մինչև անկյունագծերի հատման կետը (KO / ON) հավասար կլինի trapezoid- ի հիմքերի հարաբերակցությանը(Մ.թ.ա. / մ.թ.)

KO / ON = BC / AD

Այս հատկությունը բխում է համապատասխան եռանկյունների նմանությունից (տես վերը):

Տրապեսի հիմքերին զուգահեռ գծի հատկությունները

Եթե դուք գծում եք մի հատված, որը զուգահեռ է trapezoid- ի հիմքերին և անցնում է trapezoid- ի անկյունագծերի հատման կետով, ապա այն կունենա հետևյալ հատկությունները.

Նախադրված հեռավորություն (KM) կիսում է trapezoid անկյունագծերի հատման կետը
Հատվածի երկարությունը trapezoid- ի անկյունագծերի հատման կետով և հիմքերին զուգահեռ անցնելը հավասար է KM = 2ab / (a+ b)

Trapezoid- ի անկյունագծերը գտնելու բանաձևեր

ա, բ- trapezoid- ի հիմքը

գ, դ- trapezoid- ի կողային կողմերը

դ 1 դ 2- trapezoid անկյունագծեր

α β - trapezoid- ի ավելի մեծ հիմքով անկյուններ

Հիմքի հիմքերի, կողմերի և անկյունների միջով տրապիզոիդի անկյունագծերը գտնելու բանաձևեր

Բանաձևերի առաջին խումբը (1-3) արտացոլում է trapezoid անկյունագծերի հիմնական հատկություններից մեկը.

1. Trapezoid- ի անկյունագծերի քառակուսիների գումարը հավասար է կողմերի քառակուսիների գումարին գումարած դրա հիմքերի արտադրյալին երկու անգամ: Trapezoid- ի անկյունագծերի այս հատկությունը կարելի է ապացուցել որպես առանձին թեորեմ

2 ... Այս բանաձևը ձեռք է բերվում նախորդ բանաձևը փոխարկելով: Երկրորդ անկյունագծի քառակուսին նետվում է հավասարության նշանի միջով, որից հետո քառակուսի արմատը հանվում է արտահայտության ձախ և աջ կողմերից:

3 ... Տրապիզոիդ անկյունագծի երկարությունը գտնելու այս բանաձևը նման է նախորդին, այն տարբերությամբ, որ արտահայտության ձախ կողմում մնացել է մեկ այլ անկյունագիծ

Բանաձևերի հաջորդ խումբը (4-5) իմաստով նման է և արտահայտում է նման հարաբերակցություն:

Բանաձևերի խումբը (6-7) թույլ է տալիս գտնել trapezoid- ի անկյունագիծը, եթե հայտնի է trapezoid- ի ավելի մեծ հիմքը, մի կողմը և հիմքի անկյունը:

Բարձրության առումով trapezoid- ի անկյունագծերը գտնելու բանաձեւեր

Նշում... Այս դասը տալիս է տրապեզոիդների վերաբերյալ երկրաչափության խնդիրների լուծում: Եթե դուք չեք գտել ձեզ հետաքրքրող տեսակի երկրաչափական խնդրի լուծում - հարց տվեք ֆորումին.

Առաջադրանք.
ABCD (AD | | BC) trapezoid- ի անկյունագծերը հատվում են O կետում: Գտեք trapezoid- ի BC հիմքի երկարությունը, եթե հիմքը AD = 24 սմ է, երկարությունը AO = 9 սմ, երկարությունը OC = 6 սմ:

Լուծում.
Այս խնդրի լուծումը գաղափարախոսության առումով բացարձակապես նույնական է նախորդ խնդիրներին:

AOD և BOC եռանկյունները նման են երեք անկյուններով. AOD և BOC ուղղահայաց են, իսկ մյուս անկյունները հավասար են զույգերով, քանի որ դրանք ձևավորվում են մեկ ուղիղ գծի և երկու զուգահեռ գծերի հատումից:

Քանի որ եռանկյունները նման են, դրանց բոլոր երկրաչափական չափերը կապված են միմյանց հետ, որպես խնդրի դրույթից մեզ հայտնի AO և OC հատվածների երկրաչափական չափումներ: Այն է

AO / OC = AD / BC
9/6 = 24 / մ.թ.ա
Մ.թ.ա = 24 * 6/9 = 16

Պատասխանեք՝ 16 սմ

Առաջադրանք.
ABCD trapezoid- ում հայտնի է, որ AD = 24, BC = 8, AC = 13, BD = 5√17: Գտեք trapezoid- ի տարածքը:

Լուծում:
Փոքր B և C հիմքերի գագաթներից trapezoid- ի բարձրությունը գտնելու համար մենք երկու բարձունք իջեցնում ենք ավելի մեծ հիմքի: Քանի որ trapezoid- ը անհավասար է, մենք նշում ենք AM = a երկարությունը, KD = b երկարությունը ( չպետք է շփոթել բանաձևի նշման հետգտնել trapezoid- ի տարածքը): Քանի որ trapezoid- ի հիմքերը զուգահեռ են, և մենք բաց թողեցինք ավելի մեծ հիմքին ուղղահայաց երկու բարձրություն, ապա MBCK- ն ուղղանկյուն է:

Նշանակում է
AD = AM + BC + KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - բ

DBM և ACK եռանկյունները ուղղանկյուն են, ուստի դրանց ուղղանկյուն անկյունները ձևավորվում են trapezoid- ի բարձունքներով: Եկեք նշենք trapezoid- ի բարձրությունը h- ով: Այնուհետեւ Պյութագորասի թեորեմով

H 2 + (24 - ա) 2 = (5√17) 2
եւ
h 2 + (24 - բ) 2 = 13 2

Մենք հաշվի ենք առնում, որ a = 16 - b, ապա առաջին հավասարման մեջ
h 2 + (24 - 16 + բ) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + բ) 2

Եկեք փոխարինենք բարձրության քառակուսու արժեքը Պյութագորասի թեորեմով ստացված երկրորդ հավասարման մեջ: Մենք ստանում ենք.
425 - (8 + բ) 2 + (24 - բ) 2 = 169
- (64 + 16 բ + բ) 2 + (24 - բ) 2 = -256
-64 - 16 բ - բ 2 + 576 - 48 բ + բ 2 = -256
-64 բ = -768
բ = 12

Այսպիսով, KD = 12
Որտեղ
h 2 = 425 - (8 + բ) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Գտեք trapezoid- ի մակերեսը նրա բարձրության և հիմքերի գումարի կեսի միջով
, որտեղ b- ը trapezoid- ի հիմքն է, h- ը trapezoid- ի բարձրությունն է
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 սմ 2

Պատասխանեք. trapezoid- ի մակերեսը 80 սմ 2 է:

Եթե հավասարաչափ տրապիզոիդ անկյունագծերը ուղղահայաց են, խնդրի լուծման համար օգտակար կլինի հետևյալ տեսական նյութը:

1. Եթե հավասարակողմ trapezoid- ում անկյունագծերը ուղղահայաց են, ապա trapezoid- ի բարձրությունը հավասար է հիմքերի գումարի կեսին:

BD- ին զուգահեռ, C կետի միջով նկարեք CF գիծը և AD գիծը երկարացրեք մինչև CF- ի խաչմերուկ:

Քառանկյուն BCFD - զուգահեռագիր (BC∥ DF- ը ՝ որպես trapezoid- ի հիմք, BD∥ CF կառուցվածքով): Այսպիսով, CF = BD, DF = BC և AF = AD + BC:

ACF եռանկյունը ուղղանկյուն է (եթե ուղիղը ուղղահայաց է երկու զուգահեռ գծերից մեկին, ապա այն ուղղահայաց է նաև մյուս գծին): Քանի որ հավասարաչափ trapezoid- ի անկյունագծերը հավասար են, և CF = BD, ապա CF = AC, այսինքն ՝ ACF եռանկյունը հավասար AF է բազային AF- ով: Հետևաբար, նրա CN բարձրությունը նույնպես միջին է: Եվ քանի որ հիպոթենուսին քաշված ուղղանկյուն եռանկյան միջինը հավասար է նրա կեսին, ապա

որն ընդհանրապես կարող է գրվել որպես

որտեղ h- ը trapezoid- ի բարձրությունն է, a- ն և նրա հիմքը:

2. Եթե հավասարակողմ trapezoid- ում անկյունագծերը ուղղահայաց են, ապա դրա բարձրությունը հավասար է միջին գծին:

Քանի որ trapezoid m- ի միջին գիծը հավասար է հիմքերի կես գումարին, ապա

3. Եթե հավասարասրահ trapezoid- ի անկյունագծերը ուղղահայաց են, ապա trapezoid- ի մակերեսը հավասար է trapezoid- ի բարձրության քառակուսուն (կամ հիմքերի կես գումարի քառակուսուն կամ միջին գծի քառակուսուն): ):

Քանի որ trapezoid- ի տարածքը գտնվում է բանաձևով

իսկ ուղղանկյուն անկյունագծերով հավասարավանդակի ողնաշարի հիմքերի բարձրությունը, միջին գումարը և միջին գիծը հավասար են միմյանց.

4. Եթե հավասարակողմ trapezoid- ում անկյունագծերը ուղղահայաց են, ապա նրա անկյունագծի քառակուսին հավասար է հիմքերի գումարի քառակուսու կեսին, ինչպես նաև կրկնակի բարձրության և միջին գծի քառակուսուց երկու անգամ:

Քանի որ ուռուցիկ քառանկյան մակերեսը կարելի է գտնել նրա անկյունագծերի և դրանց միջև եղած անկյունի միջոցով բանաձևով