बोलने में कठिन शब्द

चार आयामी घन. साइबरक्यूब - चौथे आयाम में पहला कदम विभिन्न भुजाओं वाले क्यूब का क्या नाम है?

टेसेरैक्ट एक चार-आयामी हाइपरक्यूब है - चार-आयामी अंतरिक्ष में एक घन।
ऑक्सफोर्ड डिक्शनरी के अनुसार, टेसेरैक्ट शब्द 1888 में चार्ल्स हॉवर्ड हिंटन (1853-1907) ने अपनी पुस्तक ए न्यू एज ऑफ थॉट में गढ़ा और इस्तेमाल किया था। बाद में, कुछ लोगों ने उसी आकृति को टेट्राक्यूब (ग्रीक τετρα - चार) कहा - एक चार-आयामी घन।
यूक्लिडियन चार-आयामी अंतरिक्ष में एक साधारण टेसेरैक्ट को बिंदुओं (±1, ±1, ±1, ±1) के उत्तल पतवार के रूप में परिभाषित किया गया है। दूसरे शब्दों में, इसे निम्नलिखित सेट के रूप में दर्शाया जा सकता है:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = टेसेरैक्ट आठ हाइपरप्लेन x_i= +- 1, i=1,2,3,4 द्वारा सीमित है, जिसका प्रतिच्छेदन टेसेरैक्ट स्वयं इसे त्रि-आयामी चेहरे (जो सामान्य घन हैं) को परिभाषित करता है। गैर-समानांतर त्रि-आयामी चेहरों की प्रत्येक जोड़ी दो-आयामी चेहरे (वर्ग) बनाने के लिए प्रतिच्छेद करती है, और इसी तरह, अंत में, टेसेरैक्ट में 8 त्रि-आयामी होते हैं फलक, 24 द्वि-आयामी फलक, 32 किनारे और 16 शीर्ष।
लोकप्रिय वर्णन
आइए कल्पना करने का प्रयास करें कि त्रि-आयामी स्थान छोड़े बिना हाइपरक्यूब कैसा दिखेगा।
एक-आयामी "स्पेस" में - एक रेखा पर - हम लंबाई L के एक खंड AB का चयन करते हैं। AB से L की दूरी पर एक द्वि-आयामी विमान पर, हम इसके समानांतर एक खंड DC खींचते हैं और उनके सिरों को जोड़ते हैं। परिणाम एक वर्गाकार सीडीबीए है। समतल के साथ इस ऑपरेशन को दोहराते हुए, हमें एक त्रि-आयामी घन CDBAGHFE प्राप्त होता है। और घन को चौथे आयाम (पहले तीन के लंबवत) में दूरी L से स्थानांतरित करने पर, हमें हाइपरक्यूब CDBAGHFEKLJIOPNM प्राप्त होता है।
एक-आयामी खंड एबी दो-आयामी वर्ग सीडीबीए के किनारे के रूप में कार्य करता है, वर्ग - घन सीडीबीएजीएचएफई के किनारे के रूप में कार्य करता है, जो बदले में, चार-आयामी हाइपरक्यूब का पक्ष होगा। एक सीधी रेखा खंड में दो सीमा बिंदु होते हैं, एक वर्ग में चार शीर्ष होते हैं, एक घन में आठ शीर्ष होते हैं। एक चार-आयामी हाइपरक्यूब में, इस प्रकार 16 शीर्ष होंगे: मूल घन के 8 शीर्ष और चौथे आयाम में स्थानांतरित एक के 8 शीर्ष। इसमें 32 किनारे हैं - 12 प्रत्येक मूल घन की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति बताते हैं, और अन्य 8 किनारे इसके आठ शीर्षों को "आरेखित" करते हैं, जो चौथे आयाम में चले गए हैं। हाइपरक्यूब के फलकों के लिए भी यही तर्क किया जा सकता है। द्वि-आयामी अंतरिक्ष में केवल एक (स्वयं वर्ग) होता है, एक घन में 6 होते हैं (स्थानांतरित वर्ग से दो चेहरे और चार और जो इसकी भुजाओं का वर्णन करते हैं)। एक चार-आयामी हाइपरक्यूब में 24 वर्ग फलक होते हैं - दो स्थितियों में मूल घन के 12 वर्ग और इसके बारह किनारों से 12 वर्ग।
जिस प्रकार एक वर्ग की भुजाएँ 4 एक-आयामी खंड हैं, और एक घन की भुजाएँ (चेहरे) 6 द्वि-आयामी वर्ग हैं, उसी प्रकार एक "चार-आयामी घन" (टेसेरैक्ट) के लिए भुजाएँ 8 त्रि-आयामी घन हैं . टेसेरैक्ट घनों के विपरीत युग्मों के स्थान (अर्थात वे त्रि-आयामी स्थान जिनसे ये घन संबंधित हैं) समानांतर हैं। चित्र में ये घन हैं: CDBAGHFE और KLJIOPNM, CDBAKLJI और GHFEOPNM, EFBAMNJI और GHDCOPLK, CKIAGOME और DLJBHPNF।
इसी तरह, हम हाइपरक्यूब्स के लिए तर्क जारी रख सकते हैं अधिकआयाम, लेकिन यह देखना अधिक दिलचस्प है कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष के निवासियों, हमारे लिए चार-आयामी हाइपरक्यूब कैसा दिखेगा। इसके लिए हम उपमाओं की पहले से ही परिचित पद्धति का उपयोग करेंगे।
आइए तार का घन ABCDHEFG लें और इसे किनारे की ओर से एक आंख से देखें। हम देखेंगे और समतल पर दो वर्ग (इसके निकट और दूर के किनारे) बना सकते हैं, जो चार रेखाओं - पार्श्व किनारों से जुड़े हुए हैं। इसी तरह, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक चार-आयामी हाइपरक्यूब दो क्यूबिक "बक्से" जैसा दिखेगा जो एक दूसरे में डाले गए हैं और आठ किनारों से जुड़े हुए हैं। इस मामले में, "बक्से" स्वयं - त्रि-आयामी चेहरे - "हमारे" स्थान पर प्रक्षेपित किए जाएंगे, और उन्हें जोड़ने वाली रेखाएं चौथे अक्ष की दिशा में फैलेंगी। आप घन की कल्पना प्रक्षेपण में नहीं, बल्कि एक स्थानिक छवि में करने का भी प्रयास कर सकते हैं।
जिस तरह एक त्रि-आयामी घन अपने चेहरे की लंबाई से स्थानांतरित एक वर्ग द्वारा बनता है, उसी तरह चौथे आयाम में स्थानांतरित एक घन एक हाइपरक्यूब बन जाएगा। यह आठ घनों तक सीमित है, जो भविष्य में कुछ सुंदर जैसा दिखेगा जटिल आकृति. चार-आयामी हाइपरक्यूब में अनंत संख्या में घन होते हैं, जैसे एक त्रि-आयामी घन को अनंत संख्या में सपाट वर्गों में "काटा" जा सकता है।
एक त्रि-आयामी घन के छह चेहरों को काटकर, आप इसे एक सपाट आकृति - एक विकास - में विघटित कर सकते हैं। इसमें मूल चेहरे के प्रत्येक तरफ एक वर्ग और एक और चेहरा होगा - इसके विपरीत चेहरा। और चार-आयामी हाइपरक्यूब के त्रि-आयामी विकास में मूल घन, उसमें से छह "बढ़ते" क्यूब, साथ ही एक और - अंतिम "हाइपरफेस" शामिल होगा।
टेसेरैक्ट के गुण गुणों का ही विस्तार हैं ज्यामितीय आकारचार-आयामी अंतरिक्ष में छोटे आयाम।

अंक (±1, ±1, ±1, ±1). दूसरे शब्दों में, इसे निम्नलिखित सेट के रूप में दर्शाया जा सकता है:

टेसेरैक्ट आठ हाइपरप्लेन द्वारा सीमित है, जिसका टेसेरैक्ट के साथ प्रतिच्छेदन स्वयं इसके त्रि-आयामी चेहरों (जो सामान्य घन हैं) को परिभाषित करता है। गैर-समानांतर 3D चेहरों का प्रत्येक जोड़ा 2D चेहरे (वर्ग) बनाने के लिए प्रतिच्छेद करता है, इत्यादि। अंत में, टेसेरैक्ट में 8 3D फलक, 24 2D फलक, 32 किनारे और 16 शीर्ष हैं।

अनुमान

द्वि-आयामी अंतरिक्ष के लिए

इस संरचना की कल्पना करना कठिन है, लेकिन एक टेसेरैक्ट को दो-आयामी या तीन-आयामी स्थानों में प्रक्षेपित करना संभव है। इसके अलावा, एक समतल पर प्रक्षेपित करने से हाइपरक्यूब के शीर्षों के स्थान को समझना आसान हो जाता है। इस तरह, ऐसी छवियां प्राप्त करना संभव है जो अब टेसेरैक्ट के भीतर स्थानिक संबंधों को प्रतिबिंबित नहीं करती हैं, लेकिन जो शीर्ष कनेक्शन संरचना को दर्शाती हैं, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरणों में है:

तीसरी तस्वीर निर्माण बिंदु के सापेक्ष, आइसोमेट्री में टेसेरैक्ट को दिखाती है। समानांतर कंप्यूटिंग में कई प्रोसेसरों को जोड़ने के लिए टोपोलॉजिकल नेटवर्क के आधार के रूप में टेसेरैक्ट का उपयोग करते समय यह प्रतिनिधित्व रुचि का होता है।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए

त्रि-आयामी अंतरिक्ष पर टेसेरैक्ट के प्रक्षेपणों में से एक दो नेस्टेड त्रि-आयामी क्यूब्स का प्रतिनिधित्व करता है, जिनके संबंधित शीर्ष खंडों से जुड़े हुए हैं। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में आंतरिक और बाहरी घनों के अलग-अलग आकार होते हैं, लेकिन चार-आयामी अंतरिक्ष में वे समान घन होते हैं। सभी टेसेरैक्ट क्यूब्स की समानता को समझने के लिए, एक घूमने वाला टेसेरैक्ट मॉडल बनाया गया था।

टेसेरैक्ट के किनारों के साथ छह कटे हुए पिरामिड समान छह घनों की छवियां हैं। हालाँकि, ये घन एक टेसेरैक्ट के समान हैं जैसे कि वर्ग (फलक) एक घन के होते हैं। लेकिन वास्तव में, टेसेरैक्ट को अनंत संख्या में घनों में विभाजित किया जा सकता है, जैसे एक घन को अनंत संख्या में वर्गों में विभाजित किया जा सकता है, या एक वर्ग को अनंत संख्या में खंडों में विभाजित किया जा सकता है।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष पर टेसेरैक्ट का एक और दिलचस्प प्रक्षेपण एक समचतुर्भुज डोडेकाहेड्रोन है जिसके चार विकर्ण समचतुर्भुज के बड़े कोणों पर विपरीत शीर्षों के जोड़े को जोड़ते हैं। इस मामले में, टेसेरैक्ट के 16 शीर्षों में से 14 को रम्बिक डोडेकेहेड्रोन के 14 शीर्षों में प्रक्षेपित किया जाता है, और शेष 2 के प्रक्षेपण इसके केंद्र पर मेल खाते हैं। त्रि-आयामी अंतरिक्ष पर ऐसे प्रक्षेपण में, सभी एक-आयामी, द्वि-आयामी और त्रि-आयामी पक्षों की समानता और समानता संरक्षित होती है।

स्टीरियो जोड़ी

टेसेरैक्ट की एक स्टीरियो जोड़ी को त्रि-आयामी अंतरिक्ष पर दो प्रक्षेपणों के रूप में दर्शाया गया है। टेसेरैक्ट की यह छवि चौथे आयाम के रूप में गहराई का प्रतिनिधित्व करने के लिए डिज़ाइन की गई थी। स्टीरियो जोड़ी को इस प्रकार देखा जाता है कि प्रत्येक आंख इन छवियों में से केवल एक को देखती है, एक स्टीरियोस्कोपिक तस्वीर दिखाई देती है जो टेसेरैक्ट की गहराई को पुन: पेश करती है।

टेसेरैक्ट खोलना

एक टेसेरैक्ट की सतह को आठ घनों में खोला जा सकता है (उसी प्रकार जैसे एक घन की सतह को छह वर्गों में खोला जा सकता है)। 261 विभिन्न टेसेरैक्ट डिज़ाइन हैं। टेसेरैक्ट के खुलने की गणना एक ग्राफ़ पर जुड़े कोणों को आलेखित करके की जा सकती है।

कला में टेसेरेक्ट

एडविना ए के "न्यू एबॉट प्लेन" में, हाइपरक्यूब एक कथावाचक के रूप में कार्य करता है।
द एडवेंचर्स ऑफ जिमी न्यूट्रॉन के एक एपिसोड में, "बॉय जीनियस" जिमी ने रॉबर्ट हेनलेन के उपन्यास ग्लोरी रोड (1963) के फोल्डबॉक्स के समान एक चार-आयामी हाइपरक्यूब का आविष्कार किया।
रॉबर्ट ई. हेनलेन ने कम से कम तीन विज्ञान कथा कहानियों में हाइपरक्यूब का उल्लेख किया है। "द हाउस ऑफ़ फोर डाइमेंशन्स" ("द हाउस दैट टील बिल्ट") में, उन्होंने एक घर का वर्णन एक बिना लपेटे हुए टेसेरैक्ट के रूप में किया, और फिर, भूकंप के कारण, चौथे आयाम में "मुड़ा" और एक "वास्तविक" टेसेरैक्ट बन गया। .
हेनलेन के उपन्यास ग्लोरी रोड में एक बड़े आकार के बक्से का वर्णन किया गया है जो बाहर की तुलना में अंदर से बड़ा था।
हेनरी कुट्टनर की कहानी "ऑल तेनाली बोरोगोव" सुदूर भविष्य के बच्चों के लिए एक शैक्षिक खिलौने का वर्णन करती है, जो संरचना में टेसेरैक्ट के समान है।
एलेक्स गारलैंड () के उपन्यास में, "टेसेरैक्ट" शब्द का उपयोग हाइपरक्यूब के बजाय चार-आयामी हाइपरक्यूब के त्रि-आयामी प्रकटीकरण के लिए किया जाता है। यह एक रूपक है जो यह दिखाने के लिए डिज़ाइन किया गया है कि संज्ञानात्मक प्रणाली जानने योग्य से अधिक व्यापक होनी चाहिए।
क्यूब 2 की कहानी: हाइपरक्यूब एक "हाइपरक्यूब" या जुड़े हुए क्यूब्स के नेटवर्क में फंसे आठ अजनबियों पर केंद्रित है।
टेलीविजन श्रृंखला एंड्रोमेडा एक प्लॉट डिवाइस के रूप में टेसेरैक्ट जेनरेटर का उपयोग करती है। वे मुख्य रूप से स्थान और समय में हेरफेर करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं।
साल्वाडोर डाली द्वारा पेंटिंग "द क्रूसिफ़िशन" (कॉर्पस हाइपरक्यूबस)।
नेक्स्टवेव कॉमिक बुक में एक वाहन को दर्शाया गया है जिसमें 5 टेसेरैक्ट ज़ोन शामिल हैं।
वोइवॉड नथिंगफेस एल्बम में एक रचना का नाम "इन माई हाइपरक्यूब" है।
एंथोनी पीयर्स के उपन्यास रूट क्यूब में, कक्षीय चंद्रमाओं में से एक अंतर्राष्ट्रीय संघविकास को टेसेरैक्ट कहा जाता है, जिसे 3 आयामों में संपीड़ित किया गया है।
श्रृंखला "ब्लैक होल स्कूल" के तीसरे सीज़न में एक एपिसोड "टेसरैक्ट" है। लुकास एक गुप्त बटन दबाता है और स्कूल "गणितीय टेसेरैक्ट की तरह आकार लेना शुरू कर देता है।"
शब्द "टेसेरैक्ट" और इसका व्युत्पन्न "टेसेरैक्ट" मेडेलीन एल'एंगल की कहानी "ए रिंकल इन टाइम" में पाए जाते हैं।
TesseracT एक ब्रिटिश djent बैंड का नाम है।
मार्वल सिनेमैटिक यूनिवर्स फिल्म श्रृंखला में, टेसेरैक्ट एक प्रमुख कथानक तत्व है, जो हाइपरक्यूब के आकार में एक ब्रह्मांडीय कलाकृति है।
रॉबर्ट शेकली की कहानी "मिस माउस एंड द फोर्थ डाइमेंशन" में, एक गूढ़ लेखक, लेखक का एक परिचित, अपने द्वारा डिज़ाइन किए गए उपकरण को घंटों तक घूरकर टेसेरैक्ट को देखने की कोशिश करता है: एक पैर पर एक गेंद जिसमें छड़ें फंसी होती हैं। कौन से क्यूब्स लगाए गए हैं, सभी प्रकार के गूढ़ प्रतीकों के साथ चिपकाए गए हैं। कहानी में हिंटन के काम का उल्लेख है।
फिल्मों में द फर्स्ट एवेंजर, द एवेंजर्स। टेसेरैक्ट - संपूर्ण ब्रह्मांड की ऊर्जा

अन्य नामों

हेक्साडेकाकोरोन हेक्साडेकाकोरोन)
ऑक्टोकोरोन (अंग्रेज़ी) अष्टकोरोन)
टेट्राक्यूब
4-घन
हाइपरक्यूब (यदि आयामों की संख्या निर्दिष्ट नहीं है)

साहित्य

चार्ल्स एच. हिंटन। चौथा आयाम, 1904। आईएसबीएन 0-405-07953-2
मार्टिन गार्डनर, गणितीय कार्निवल, 1977। आईएसबीएन 0-394-72349-एक्स
इयान स्टीवर्ट, आधुनिक गणित की अवधारणाएँ, 1995। आईएसबीएन 0-486-28424-7

लिंक

रूसी में

ट्रांसफॉर्मर4डी प्रोग्राम। चार-आयामी वस्तुओं (हाइपरक्यूब सहित) के त्रि-आयामी अनुमानों के मॉडल का निर्माण।
एक प्रोग्राम जो C++ में स्रोत कोड के साथ टेसेरैक्ट के निर्माण और उसके सभी एफ़िन परिवर्तनों को कार्यान्वित करता है।

अंग्रेजी में

मशवेयर लिमिटेड - टेसेरैक्ट आउटपुट प्रोग्राम ( टेसेरैक्ट ट्रेनर, GPLv2 के साथ संगत लाइसेंस) और चार-आयामी अंतरिक्ष में एक प्रथम-व्यक्ति शूटर ( एडानाक्सिस; ग्राफ़िक्स मुख्यतः त्रि-आयामी होते हैं; OS रिपॉजिटरी में एक GPL संस्करण है)।

बहुकोणीय आकृति

सही
(प्लेटोनिक ठोस)

तारकीय डोडेकाहेड्रोन तारकीय इकोसिडाहेड्रोन तारकीय इकोसाहेड्रोन तारकीय बहुफलक तारकीय अष्टफलक

उत्तल

आर्किमिडीयन ठोस	क्यूबोक्टाहेड्रोन इकोसिडोडेकेड्रोन काट दिया गया टेट्राहेड्रोन छोटा कर दिया गया ऑक्टाहेड्रोन छोटा कर दिया गया इकोसाहेड्रोन छोटा कर दिया गया क्यूब छोटा कर दिया गया डोडेकाहेड्रोन रोम्बिकोक्यूबोक्टाहेड्रोन रोम्बिक काटे गए क्यूब्टाहेड्रोन रोम्बिक ट्रंकेटेड इकोसिडोडेकेड्रोन स्नब क्यूब स्नब डोडेकाहेड्रोन टी रनकेटेड क्यूबोक्टाहेड्रोन ट्रंकेटेड इकोसिडोडेकेड्रोन नियमित प्रिज्म एंटीप्रिज्म
कैटलन निकाय	Rhombododecahedron Rhombothriacontahedron Triakisthetrahedron Tetrakishexahedron Pentakisdodecahedron Triakisoctahedron Triakisicosahedron Deltoidal icositetrahedron Deltoidal hexexontahedron Pentagonal icositetrahedron Pentagonal hexecahedron Disdakisdodecahedron Disdakistriacontahedron
पूर्ण स्थानिक समरूपता के बिना	पिरामिड प्रिज्म बाइपिरामिड एंटीप्रिज्म ज़ोनोहेड्रोन पैरेललेपिप्ड रॉम्बोहेड्रोन प्रिज्मेटॉइड ट्रंकेटेड पिरामिड
पेंटागोंडोडेकाहेड्रोन पैरेललोहेड्रोन

सूत्र,
प्रमेय,
सिद्धांतों

अन्य

ऑपरेशन के बाद जैसे ही मैं व्याख्यान देने में सक्षम हुआ, छात्रों ने पहला प्रश्न पूछा:

आप हमारे लिए 4-आयामी घन कब बनाएंगे? इलियास अब्दुलखेविच ने हमसे वादा किया था!

मुझे याद है कि मेरे प्यारे दोस्तों को कभी-कभी गणितीय शैक्षिक गतिविधियों का एक क्षण पसंद आता है। इसलिए, मैं गणितज्ञों के लिए अपने व्याख्यान का एक भाग यहां लिखूंगा। और मैं बिना बोर हुए कोशिश करूंगा. बेशक, कुछ बिंदुओं पर मैंने व्याख्यान को अधिक सख्ती से पढ़ा।

आइए पहले सहमत हों. 4-आयामी, और इससे भी अधिक 5-6-7- और आम तौर पर के-आयामी स्थान हमें संवेदी संवेदनाओं में नहीं दिया जाता है।
मेरे संडे स्कूल शिक्षक, जिन्होंने सबसे पहले मुझे बताया था कि 4-आयामी घन क्या है, ने कहा, "हम दुखी हैं क्योंकि हम केवल त्रि-आयामी हैं।" संडे स्कूल, स्वाभाविक रूप से, अत्यंत धार्मिक - गणितीय था। उस समय हम हाइपर-क्यूब्स का अध्ययन कर रहे थे। इसके एक सप्ताह पहले, गणितीय प्रेरण, उसके एक सप्ताह बाद, ग्राफ़ में हैमिल्टनियन चक्र - तदनुसार, यह ग्रेड 7 है।

हम 4-आयामी घन को छू नहीं सकते, सूंघ नहीं सकते, सुन नहीं सकते या देख नहीं सकते। हम इसके साथ क्या कर सकते हैं? हम इसकी कल्पना कर सकते हैं! क्योंकि हमारा मस्तिष्क हमारी आँखों और हाथों से कहीं अधिक जटिल है।

तो, यह समझने के लिए कि 4-आयामी घन क्या है, आइए पहले समझें कि हमारे लिए क्या उपलब्ध है। त्रि-आयामी घन क्या है?

ठीक है ठीक है! मैं आपसे कोई स्पष्ट गणितीय परिभाषा नहीं माँग रहा हूँ। बस सबसे सरल और सबसे सामान्य त्रि-आयामी घन की कल्पना करें। परिचय?

अच्छा।
यह समझने के लिए कि 3-आयामी घन को 4-आयामी स्थान में कैसे सामान्यीकृत किया जाए, आइए जानें कि 2-आयामी घन क्या है। यह बहुत सरल है - यह एक वर्ग है!

एक वर्ग के 2 निर्देशांक होते हैं। घन में तीन हैं. वर्गाकार बिंदु दो निर्देशांक वाले बिंदु होते हैं। पहला 0 से 1 तक है और दूसरा 0 से 1 तक है। घन के बिंदुओं में तीन निर्देशांक हैं। और प्रत्येक 0 से 1 तक कोई संख्या है.

यह कल्पना करना तर्कसंगत है कि 4-आयामी घन एक ऐसी चीज़ है जिसमें 4 निर्देशांक होते हैं और सब कुछ 0 से 1 तक होता है।

/* 1-आयामी घन की कल्पना करना तुरंत तर्कसंगत है, जो 0 से 1 तक के एक साधारण खंड से ज्यादा कुछ नहीं है। */

तो, रुकिए, आप 4-आयामी घन कैसे बनाते हैं? आख़िरकार, हम एक समतल पर 4-आयामी स्थान नहीं बना सकते!
लेकिन हम किसी समतल पर त्रि-आयामी स्थान नहीं बनाते हैं, हम इसे बनाते हैं अनुमान 2-आयामी ड्राइंग प्लेन पर। हम तीसरे निर्देशांक (z) को एक कोण पर रखते हैं, यह कल्पना करते हुए कि ड्राइंग विमान से अक्ष "हमारी ओर" जाता है।

अब यह पूरी तरह से स्पष्ट है कि 4-आयामी घन कैसे बनाया जाए। जिस प्रकार हमने तीसरी धुरी को एक निश्चित कोण पर रखा है, उसी प्रकार आइए चौथी धुरी लें और इसे भी एक निश्चित कोण पर रखें।
और - वोइला! -- एक समतल पर 4-आयामी घन का प्रक्षेपण।

क्या? आख़िर ये क्या है? मुझे हमेशा पिछली डेस्कों से फुसफुसाहटें सुनाई देती हैं। आइए मैं और अधिक विस्तार से समझाऊं कि पंक्तियों की यह गड़बड़ी क्या है।
सबसे पहले त्रि-आयामी घन को देखें। हमने क्या किया है? हमने वर्ग लिया और उसे तीसरे अक्ष (z) के अनुदिश खींचा। यह एक ढेर में एक साथ चिपके हुए कई कागज़ के टुकड़ों की तरह है।
4-आयामी घन के साथ भी ऐसा ही है। आइए सुविधा के लिए और विज्ञान कथा के लिए चौथी धुरी को "समय धुरी" कहें। हमें एक साधारण त्रि-आयामी घन लेना होगा और इसे समय के माध्यम से "अभी" से "एक घंटे में" समय तक खींचना होगा।

हमारे पास एक "अभी" घन है। तस्वीर में यह गुलाबी रंग का है.

और अब हम इसे चौथे अक्ष के साथ-साथ समय अक्ष के साथ खींचते हैं (मैंने इसे हरे रंग में दिखाया)। और हमें भविष्य का घन मिलता है - नीला।

"अब घन" का प्रत्येक शीर्ष समय में एक निशान छोड़ता है - एक खंड। उसके वर्तमान को उसके भविष्य से जोड़ना।

संक्षेप में, बिना किसी गीत के: हमने दो समान 3-आयामी क्यूब्स बनाए और संबंधित शीर्षों को जोड़ा।
बिल्कुल वैसा ही जैसा उन्होंने 3-आयामी घन के साथ किया था (2 समान 2-आयामी घन बनाएं और शीर्षों को जोड़ें)।

5-आयामी घन बनाने के लिए, आपको 4-आयामी घन (पांचवें निर्देशांक 0 के साथ एक 4-आयामी घन और पांचवें निर्देशांक 1 के साथ एक 4-आयामी घन) की दो प्रतियां खींचनी होंगी और संबंधित शीर्षों को किनारों से जोड़ना होगा। सच है, विमान में किनारों की ऐसी गड़बड़ी होगी कि कुछ भी समझ पाना लगभग असंभव हो जाएगा।

एक बार जब हम एक 4-आयामी घन की कल्पना कर लेते हैं और उसे खींचने में भी सक्षम हो जाते हैं, तो हम इसे विभिन्न तरीकों से खोज सकते हैं। इसे अपने दिमाग में और चित्र दोनों से तलाशना याद रखें।
उदाहरण के लिए। एक 2-आयामी घन 4 तरफ से 1-आयामी घनों से घिरा होता है। यह तर्कसंगत है: दोनों निर्देशांकों में से प्रत्येक के लिए शुरुआत और अंत दोनों हैं।
एक 3-आयामी घन 6 तरफ से 2-आयामी घनों से घिरा हुआ है। तीनों निर्देशांकों में से प्रत्येक के लिए इसकी शुरुआत और अंत है।
इसका मतलब यह है कि एक 4-आयामी घन को आठ 3-आयामी घनों द्वारा सीमित किया जाना चाहिए। 4 निर्देशांकों में से प्रत्येक के लिए - दोनों तरफ। उपरोक्त चित्र में हम स्पष्ट रूप से 2 चेहरे देखते हैं जो इसे "समय" समन्वय के साथ सीमित करते हैं।

यहां दो क्यूब हैं (वे थोड़े तिरछे हैं क्योंकि उनके 2 आयाम एक कोण पर विमान पर प्रक्षेपित हैं), हमारे हाइपरक्यूब को बाईं और दाईं ओर सीमित करते हैं।

"ऊपरी" और "निचले" पर ध्यान देना भी आसान है।

सबसे कठिन काम यह समझना है कि "सामने" और "पीछे" कहाँ हैं। सामने वाला "अब घन" के सामने वाले किनारे से शुरू होता है और "भविष्य के घन" के सामने वाले किनारे तक - यह लाल है। पीछे वाला बैंगनी है.

उन्हें नोटिस करना सबसे कठिन है क्योंकि अन्य क्यूब्स पैरों के नीचे उलझे हुए हैं, जो हाइपरक्यूब को एक अलग अनुमानित निर्देशांक पर सीमित करते हैं। लेकिन ध्यान दें कि घन अभी भी अलग हैं! यहां फिर से तस्वीर है, जहां "अभी का घन" और "भविष्य का घन" हाइलाइट किया गया है।

निःसंदेह, एक 4-आयामी घन को 3-आयामी अंतरिक्ष में प्रक्षेपित करना संभव है।
पहला संभावित स्थानिक मॉडल स्पष्ट है कि यह कैसा दिखता है: आपको 2 घन फ्रेम लेने होंगे और उनके संबंधित शीर्षों को एक नए किनारे से जोड़ना होगा।
अभी मेरे पास यह मॉडल स्टॉक में नहीं है। व्याख्यान में, मैं छात्रों को 4-आयामी घन का थोड़ा अलग 3-आयामी मॉडल दिखाता हूँ।

आप जानते हैं कि एक घन को इस प्रकार एक समतल पर कैसे प्रक्षेपित किया जाता है।
यह ऐसा है जैसे हम ऊपर से एक घन को देख रहे हैं।

निस्संदेह, निकट का किनारा बड़ा है। और दूर वाला किनारा छोटा दिखता है, हम उसे पास वाले किनारे से देखते हैं।

इस प्रकार आप एक 4-आयामी घन प्रोजेक्ट कर सकते हैं। घन अब बड़ा है, हम दूर से भविष्य का घन देखते हैं, इसलिए वह छोटा दिखता है।

दूसरी ओर। ऊपर की तरफ से.

बिल्कुल किनारे की ओर से:

पसली की ओर से:

और अंतिम कोण, असममित. अनुभाग से "मुझे बताएं कि मैंने उसकी पसलियों के बीच देखा।"

खैर, फिर आप कुछ भी लेकर आ सकते हैं। उदाहरण के लिए, जिस तरह एक समतल पर 3-आयामी घन का विकास होता है (यह कागज की एक शीट को काटने जैसा है ताकि मोड़ने पर आपको एक घन मिल जाए), उसी तरह एक 4-आयामी घन के विकास के साथ भी होता है अंतरिक्ष। यह लकड़ी के एक टुकड़े को काटने जैसा है ताकि उसे 4-आयामी स्थान में मोड़कर हमें एक टेसेरैक्ट मिल जाए।

आप न केवल 4-आयामी घन का अध्ययन कर सकते हैं, बल्कि सामान्य रूप से एन-आयामी घन का भी अध्ययन कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, क्या यह सच है कि एक n-आयामी घन के चारों ओर घिरे गोले की त्रिज्या इस घन के किनारे की लंबाई से कम है? या यहाँ एक सरल प्रश्न है: एक n-आयामी घन में कितने शीर्ष होते हैं? कितने किनारे (एक-आयामी फलक)?

टेसेरैक्ट (प्राचीन ग्रीक τέσσερες ἀκτῖνες से - चार किरणें) एक चार-आयामी हाइपरक्यूब है - चार-आयामी अंतरिक्ष में एक घन का एक एनालॉग।

छवि त्रि-आयामी अंतरिक्ष पर चार-आयामी घन का एक प्रक्षेपण (परिप्रेक्ष्य) है।

ऑक्सफोर्ड डिक्शनरी के अनुसार, "टेसेरैक्ट" शब्द 1888 में चार्ल्स हॉवर्ड हिंटन (1853-1907) ने अपनी पुस्तक ए न्यू एज ऑफ थॉट में गढ़ा और इस्तेमाल किया था। बाद में कुछ लोगों ने उसी आकृति को "टेट्राक्यूब" कहा।

ज्यामिति

यूक्लिडियन चार-आयामी अंतरिक्ष में एक साधारण टेसेरैक्ट को बिंदुओं (±1, ±1, ±1, ±1) के उत्तल पतवार के रूप में परिभाषित किया गया है। दूसरे शब्दों में, इसे निम्नलिखित सेट के रूप में दर्शाया जा सकता है:

टेसेरैक्ट आठ हाइपरप्लेन द्वारा सीमित है, जिसका टेसेरैक्ट के साथ प्रतिच्छेदन स्वयं इसके त्रि-आयामी चेहरों (जो सामान्य घन हैं) को परिभाषित करता है। गैर-समानांतर 3D चेहरों का प्रत्येक जोड़ा 2D चेहरे (वर्ग) बनाने के लिए प्रतिच्छेद करता है, इत्यादि। अंत में, टेसेरैक्ट में 8 3D फलक, 24 2D फलक, 32 किनारे और 16 शीर्ष हैं।

लोकप्रिय वर्णन

एक-आयामी "स्पेस" में - एक रेखा पर - हम लंबाई L के एक खंड AB का चयन करते हैं। AB से L की दूरी पर एक द्वि-आयामी विमान पर, हम इसके समानांतर एक खंड DC खींचते हैं और उनके सिरों को जोड़ते हैं। परिणाम एक वर्ग ABCD है। समतल के साथ इस ऑपरेशन को दोहराते हुए, हमें एक त्रि-आयामी घन ABCDHEFG प्राप्त होता है। और घन को चौथे आयाम (पहले तीन के लंबवत) में दूरी L से स्थानांतरित करने पर, हमें हाइपरक्यूब ABCDEFGHIJKLMNOP प्राप्त होता है।
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एक-आयामी खंड एबी दो-आयामी वर्ग एबीसीडी के किनारे के रूप में कार्य करता है, वर्ग - घन एबीसीडीएचईएफजी के किनारे के रूप में कार्य करता है, जो बदले में, चार-आयामी हाइपरक्यूब का पक्ष होगा। एक सीधी रेखा खंड में दो सीमा बिंदु होते हैं, एक वर्ग में चार शीर्ष होते हैं, और एक घन में आठ होते हैं। एक चार-आयामी हाइपरक्यूब में, इस प्रकार 16 शीर्ष होंगे: मूल घन के 8 शीर्ष और चौथे आयाम में स्थानांतरित एक के 8 शीर्ष। इसमें 32 किनारे हैं - 12 प्रत्येक मूल घन की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति बताते हैं, और अन्य 8 किनारे इसके आठ शीर्षों को "आरेखित" करते हैं, जो चौथे आयाम में चले गए हैं। हाइपरक्यूब के फलकों के लिए भी यही तर्क किया जा सकता है। द्वि-आयामी अंतरिक्ष में केवल एक (स्वयं वर्ग) होता है, एक घन में 6 होते हैं (स्थानांतरित वर्ग से दो चेहरे और चार और जो इसकी भुजाओं का वर्णन करते हैं)। एक चार-आयामी हाइपरक्यूब में 24 वर्ग फलक होते हैं - दो स्थितियों में मूल घन के 12 वर्ग और इसके बारह किनारों से 12 वर्ग।

टेसेरैक्ट खोलना

आइए तार का घन ABCDHEFG लें और इसे किनारे की ओर से एक आँख से देखें। हम देखेंगे और समतल पर दो वर्ग (इसके निकट और दूर के किनारे) बना सकते हैं, जो चार रेखाओं - पार्श्व किनारों से जुड़े हुए हैं। इसी तरह, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक चार-आयामी हाइपरक्यूब दो क्यूबिक "बक्से" की तरह दिखेगा जो एक दूसरे में डाले गए हैं और आठ किनारों से जुड़े हुए हैं। इस मामले में, "बक्से" स्वयं - त्रि-आयामी चेहरे - "हमारे" स्थान पर प्रक्षेपित किए जाएंगे, और उन्हें जोड़ने वाली रेखाएं चौथे आयाम में फैलेंगी। आप घन की कल्पना प्रक्षेपण में नहीं, बल्कि एक स्थानिक छवि में करने का भी प्रयास कर सकते हैं।

जिस तरह एक त्रि-आयामी घन अपने चेहरे की लंबाई से स्थानांतरित एक वर्ग द्वारा बनता है, उसी तरह चौथे आयाम में स्थानांतरित एक घन एक हाइपरक्यूब बन जाएगा। यह आठ घनों तक सीमित है, जो परिप्रेक्ष्य में कुछ जटिल आकृति जैसा दिखेगा। जो भाग "हमारे" स्थान में रह गया, उसे ठोस रेखाओं से खींचा गया है, और जो भाग हाइपरस्पेस में चला गया, उसे बिंदीदार रेखाओं से खींचा गया है। चार-आयामी हाइपरक्यूब में अनंत संख्या में घन होते हैं, जैसे एक त्रि-आयामी घन को अनंत संख्या में सपाट वर्गों में "काटा" जा सकता है।

एक त्रि-आयामी घन के छह चेहरों को काटकर, आप इसे एक सपाट आकृति - एक विकास - में विघटित कर सकते हैं। इसमें मूल चेहरे के प्रत्येक तरफ एक वर्ग होगा, साथ ही एक और - इसके विपरीत चेहरा होगा। और चार-आयामी हाइपरक्यूब के त्रि-आयामी विकास में मूल घन, उसमें से छह "बढ़ते" क्यूब, साथ ही एक और - अंतिम "हाइपरफेस" शामिल होगा।

अनुमान

द्वि-आयामी अंतरिक्ष के लिए

त्रि-आयामी अंतरिक्ष पर एक टेसेरैक्ट का प्रक्षेपण दो नेस्टेड त्रि-आयामी क्यूब्स का प्रतिनिधित्व करता है, जिनके संबंधित शीर्ष खंडों द्वारा जुड़े हुए हैं। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में आंतरिक और बाहरी घनों के अलग-अलग आकार होते हैं, लेकिन चार-आयामी अंतरिक्ष में वे समान घन होते हैं। सभी टेसेरैक्ट क्यूब्स की समानता को समझने के लिए, एक घूमने वाला टेसेरैक्ट मॉडल बनाया गया था।

टेसेरैक्ट के किनारों के साथ छह कटे हुए पिरामिड समान छह घनों की छवियां हैं।
स्टीरियो जोड़ी

कला में टेसेरेक्ट

एडविना ए के "न्यू एबॉट प्लेन" में, हाइपरक्यूब एक कथावाचक के रूप में कार्य करता है।
द एडवेंचर्स ऑफ जिमी न्यूट्रॉन: "बॉय जीनियस" के एक एपिसोड में, जिमी ने हेनलेन के 1963 के उपन्यास ग्लोरी रोड के फोल्डबॉक्स के समान एक चार-आयामी हाइपरक्यूब का आविष्कार किया।
रॉबर्ट ई. हेनलेन ने कम से कम तीन विज्ञान कथा कहानियों में हाइपरक्यूब का उल्लेख किया है। द हाउस ऑफ़ फोर डाइमेंशन्स (द हाउस दैट टील बिल्ट) (1940) में, उन्होंने एक बिना लपेटे हुए टेसरैक्ट की तरह बने घर का वर्णन किया है।
हेनलेन के उपन्यास ग्लोरी रोड में अत्यधिक आकार के व्यंजनों का वर्णन किया गया है जो बाहर की तुलना में अंदर से बड़े थे।
हेनरी कुट्टनर की कहानी "मिम्सी वेयर द बोरोगोव्स" सुदूर भविष्य के बच्चों के लिए एक शैक्षिक खिलौने का वर्णन करती है, जो संरचना में टेसेरैक्ट के समान है।
एलेक्स गारलैंड (1999) के उपन्यास में, "टेसेरैक्ट" शब्द का उपयोग हाइपरक्यूब के बजाय चार-आयामी हाइपरक्यूब के त्रि-आयामी प्रकटीकरण के लिए किया जाता है। यह एक रूपक है जो यह दिखाने के लिए डिज़ाइन किया गया है कि संज्ञानात्मक प्रणाली जानने योग्य से अधिक व्यापक होनी चाहिए।
क्यूब 2 की कहानी: हाइपरक्यूब एक "हाइपरक्यूब" या जुड़े हुए क्यूब्स के नेटवर्क में फंसे आठ अजनबियों पर केंद्रित है।
टेलीविजन श्रृंखला एंड्रोमेडा एक प्लॉट डिवाइस के रूप में टेसेरैक्ट जेनरेटर का उपयोग करती है। वे मुख्य रूप से स्थान और समय में हेरफेर करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं।
साल्वाडोर डाली द्वारा पेंटिंग "द क्रूसिफ़िशन" (कॉर्पस हाइपरक्यूबस) (1954)
नेक्स्टवेव कॉमिक बुक में एक वाहन को दर्शाया गया है जिसमें 5 टेसेरैक्ट ज़ोन शामिल हैं।
वोइवॉड नथिंगफेस एल्बम में एक रचना का नाम "इन माई हाइपरक्यूब" है।
एंथोनी पीयर्स के उपन्यास रूट क्यूब में, अंतर्राष्ट्रीय विकास संघ के परिक्रमा करने वाले चंद्रमाओं में से एक को टेसेरैक्ट कहा जाता है जिसे 3 आयामों में संपीड़ित किया गया है।
श्रृंखला "स्कूल" में ब्लैक होल"" तीसरे सीज़न में एक एपिसोड है "टेसरैक्ट"। लुकास एक गुप्त बटन दबाता है और स्कूल गणितीय टेसेरैक्ट की तरह आकार लेना शुरू कर देता है।
शब्द "टेसेरैक्ट" और इसका व्युत्पन्न शब्द "टेसेरैक्ट" मेडेलीन एल'एंगल की कहानी "ए रिंकल इन टाइम" में पाए जाते हैं।

मानव मस्तिष्क का विकास त्रि-आयामी अंतरिक्ष में हुआ। इसलिए, हमारे लिए तीन से अधिक आयाम वाले स्थानों की कल्पना करना कठिन है। वास्तव में, मानव मस्तिष्क तीन से अधिक आयामों वाली ज्यामितीय वस्तुओं की कल्पना नहीं कर सकता है। और साथ ही, हम न केवल तीन, बल्कि दो और एक आयाम वाली ज्यामितीय वस्तुओं की भी आसानी से कल्पना कर सकते हैं।

एक-आयामी और दो-आयामी स्थानों के बीच अंतर और सादृश्य, साथ ही दो-आयामी और त्रि-आयामी स्थानों के बीच अंतर और सादृश्य हमें रहस्य की स्क्रीन को थोड़ा खोलने की अनुमति देता है जो हमें उच्च आयामों के स्थानों से दूर कर देता है। यह समझने के लिए कि इस सादृश्य का उपयोग कैसे किया जाता है, एक बहुत ही सरल चार-आयामी वस्तु पर विचार करें - एक हाइपरक्यूब, यानी एक चार-आयामी घन। विशिष्ट होने के लिए, मान लें कि हम एक विशिष्ट समस्या को हल करना चाहते हैं, अर्थात्, चार-आयामी घन के वर्गाकार फलकों की संख्या की गणना करना। आगे का सारा विचार बहुत ढीला-ढाला होगा, बिना किसी सबूत के, विशुद्ध रूप से सादृश्य द्वारा।

यह समझने के लिए कि एक नियमित घन से हाइपरक्यूब कैसे बनाया जाता है, आपको पहले यह देखना होगा कि एक नियमित वर्ग से एक नियमित घन कैसे बनाया जाता है। इस सामग्री की प्रस्तुति में मौलिकता के लिए, हम यहां एक साधारण वर्ग को सबक्यूब कहेंगे (और इसे सक्कुबस के साथ भ्रमित नहीं करेंगे)।

उप-घन से घन बनाने के लिए, आपको उप-घन को दिशा में विस्तारित करने की आवश्यकता है विमान के लंबवततीसरे आयाम की दिशा में उपघन। इस मामले में, प्रारंभिक उप-घन के प्रत्येक पक्ष से एक उप-घन बढ़ेगा, जो घन का पार्श्व द्वि-आयामी चेहरा है, जो घन के त्रि-आयामी आयतन को चार तरफ से सीमित करेगा, प्रत्येक दिशा में दो लंबवत। उपघन का तल. और नई तीसरी धुरी के साथ दो उपक्यूब भी हैं जो क्यूब की त्रि-आयामी मात्रा को सीमित करते हैं। यह द्वि-आयामी चेहरा है जहां हमारा उप-घन मूल रूप से स्थित था और घन का वह द्वि-आयामी चेहरा है जहां घन के निर्माण के अंत में उप-घन आया था।

आपने अभी जो पढ़ा है वह अत्यधिक विस्तार से और बहुत सारे स्पष्टीकरणों के साथ प्रस्तुत किया गया है। और अच्छे कारण के लिए. अब हम ऐसी ट्रिक करेंगे, पिछले टेक्स्ट में कुछ शब्दों को औपचारिक रूप से इस तरह बदल देंगे:
घन -> हाइपरक्यूब
उपघन -> घन
समतल -> आयतन
तीसरा -> चौथा
द्वि-आयामी -> त्रि-आयामी
चार -> छह
त्रि-आयामी -> चार-आयामी
दो -> तीन
समतल -> स्थान

परिणामस्वरूप, हमें निम्नलिखित सार्थक पाठ मिलता है, जो अब अधिक विस्तृत नहीं लगता।

एक घन से हाइपरक्यूब बनाने के लिए, आपको घन को चौथे आयाम की दिशा में घन के आयतन के लंबवत दिशा में फैलाना होगा। इस मामले में, मूल घन के प्रत्येक पक्ष से एक घन बढ़ेगा, जो हाइपरक्यूब का पार्श्व त्रि-आयामी चेहरा है, जो छह पक्षों पर हाइपरक्यूब के चार-आयामी आयतन को सीमित करेगा, प्रत्येक दिशा में तीन लंबवत। घन का स्थान. और नए चौथे अक्ष के साथ दो घन भी हैं जो हाइपरक्यूब के चार-आयामी आयतन को सीमित करते हैं। यह त्रि-आयामी चेहरा है जहां हमारा घन मूल रूप से स्थित था और हाइपरक्यूब का वह त्रि-आयामी चेहरा है जहां घन हाइपरक्यूब के निर्माण के अंत में आया था।

हम इतने आश्वस्त क्यों हैं कि हमें हाइपरक्यूब के निर्माण का सही विवरण प्राप्त हुआ है? हां, क्योंकि शब्दों के ठीक उसी औपचारिक प्रतिस्थापन से हमें एक वर्ग के निर्माण के विवरण से घन के निर्माण का विवरण मिलता है। (इसे आप खुद जांचें।)

अब यह स्पष्ट है कि यदि घन के प्रत्येक किनारे से एक और त्रि-आयामी घन बढ़ना चाहिए, तो प्रारंभिक घन के प्रत्येक किनारे से एक फलक बढ़ना चाहिए। कुल मिलाकर, घन में 12 किनारे हैं, जिसका अर्थ है कि उन 6 घनों पर अतिरिक्त 12 नए फलक (उप घन) दिखाई देंगे जो त्रि-आयामी अंतरिक्ष के तीन अक्षों के साथ चार-आयामी आयतन को सीमित करते हैं। और दो और घन बचे हैं जो इस चार आयामी आयतन को चौथे अक्ष के साथ नीचे और ऊपर से सीमित करते हैं। इनमें से प्रत्येक घन के 6 फलक हैं।

कुल मिलाकर, हम पाते हैं कि हाइपरक्यूब में 12+6+6=24 वर्ग फलक हैं।

निम्नलिखित चित्र हाइपरक्यूब की तार्किक संरचना को दर्शाता है। यह त्रि-आयामी अंतरिक्ष पर हाइपरक्यूब के प्रक्षेपण की तरह है। यह पसलियों का एक त्रि-आयामी फ्रेम तैयार करता है। चित्र में, स्वाभाविक रूप से, आप इस फ्रेम का एक समतल पर प्रक्षेपण देखते हैं।

इस फ्रेम पर, आंतरिक घन प्रारंभिक घन की तरह है जिससे निर्माण शुरू हुआ और जो नीचे से चौथे अक्ष के साथ हाइपरक्यूब की चार-आयामी मात्रा को सीमित करता है। हम इस प्रारंभिक घन को माप की चौथी धुरी के साथ ऊपर की ओर खींचते हैं और यह बाहरी घन में चला जाता है। तो इस आंकड़े के बाहरी और आंतरिक घन माप के चौथे अक्ष के साथ हाइपरक्यूब को सीमित करते हैं।

और इन दो घनों के बीच आप 6 और नए घन देख सकते हैं, जो पहले दो के साथ आम चेहरों को छूते हैं। ये छह घन हमारे हाइपरक्यूब को त्रि-आयामी अंतरिक्ष के तीन अक्षों के साथ बांधते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, वे न केवल पहले दो घनों के संपर्क में हैं, जो इस त्रि-आयामी फ्रेम पर आंतरिक और बाहरी घन हैं, बल्कि वे एक दूसरे के संपर्क में भी हैं।

आप सीधे चित्र में गिन सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि हाइपरक्यूब में वास्तव में 24 फलक हैं। लेकिन ये सवाल तो उठता है. त्रि-आयामी अंतरिक्ष में यह हाइपरक्यूब फ्रेम बिना किसी अंतराल के आठ त्रि-आयामी क्यूब्स से भरा हुआ है। हाइपरक्यूब के इस त्रि-आयामी प्रक्षेपण से एक वास्तविक हाइपरक्यूब बनाने के लिए, आपको इस फ्रेम को अंदर बाहर करने की आवश्यकता है ताकि सभी 8 क्यूब्स 4-आयामी वॉल्यूम से बंधे हों।

यह इस प्रकार किया गया है. हम चार-आयामी अंतरिक्ष के एक निवासी को हमसे मिलने के लिए आमंत्रित करते हैं और उससे हमारी मदद करने के लिए कहते हैं। वह इस फ्रेम के आंतरिक घन को पकड़ता है और इसे चौथे आयाम की दिशा में ले जाता है, जो हमारे त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लंबवत है। हमारे त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, हम इसे ऐसे देखते हैं जैसे कि पूरा आंतरिक फ्रेम गायब हो गया हो और केवल बाहरी घन का फ्रेम ही रह गया हो।

इसके अलावा, हमारा चार-आयामी सहायक दर्द रहित प्रसव के लिए प्रसूति अस्पतालों में अपनी सहायता प्रदान करता है, लेकिन हमारी गर्भवती महिलाएं इस संभावना से डरती हैं कि बच्चा बस पेट से गायब हो जाएगा और समानांतर त्रि-आयामी अंतरिक्ष में समाप्त हो जाएगा। इसलिए, चार-आयामी व्यक्ति को विनम्रता से मना कर दिया जाता है।

और हम इस सवाल से हैरान हैं कि जब हमने हाइपरक्यूब फ्रेम को अंदर बाहर किया तो क्या हमारे कुछ क्यूब अलग हो गए। आख़िरकार, यदि हाइपरक्यूब के चारों ओर कुछ त्रि-आयामी घन फ्रेम पर अपने पड़ोसियों को अपने चेहरों से छूते हैं, तो क्या वे भी उन्हीं चेहरों से स्पर्श करेंगे यदि चार-आयामी घन फ्रेम को अंदर बाहर कर देता है?

आइए हम फिर से निचले आयामों के स्थानों के साथ सादृश्य की ओर मुड़ें। निम्नलिखित चित्र में दिखाए गए समतल पर त्रि-आयामी क्यूब के प्रक्षेपण के साथ हाइपरक्यूब फ्रेम की छवि की तुलना करें।

द्वि-आयामी अंतरिक्ष के निवासियों ने एक विमान पर एक घन के प्रक्षेपण के लिए एक फ्रेम बनाया और हमें, त्रि-आयामी निवासियों को, इस फ्रेम को अंदर बाहर करने के लिए आमंत्रित किया। हम आंतरिक वर्ग के चार शीर्ष लेते हैं और उन्हें समतल पर लंबवत घुमाते हैं। द्वि-आयामी निवासी पूरे आंतरिक फ्रेम के पूरी तरह से गायब होने को देखते हैं, और उनके पास केवल बाहरी वर्ग का फ्रेम रह जाता है। इस तरह के ऑपरेशन से, वे सभी वर्ग जो अपने किनारों के संपर्क में थे, उन्हीं किनारों से स्पर्श करते रहते हैं।

इसलिए, हम आशा करते हैं कि हाइपरक्यूब के फ्रेम को अंदर बाहर करने पर हाइपरक्यूब की तार्किक योजना का भी उल्लंघन नहीं होगा, और हाइपरक्यूब के वर्गाकार फलकों की संख्या नहीं बढ़ेगी और फिर भी 24 के बराबर रहेगी। यह, निश्चित रूप से , बिल्कुल भी प्रमाण नहीं है, बल्कि विशुद्ध रूप से सादृश्य द्वारा एक अनुमान है।

यहां आपने जो कुछ भी पढ़ा है, उसके बाद आप आसानी से पांच-आयामी घन का तार्किक ढांचा तैयार कर सकते हैं और इसके शीर्षों, किनारों, फलकों, घनों और हाइपरक्यूब की संख्या की गणना कर सकते हैं। यह बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है.