पत्ते

दो तलों की लंबता का चिन्ह क्या है? "दो तलों के लंबवतता का चिह्न" विषय पर गणित पर व्याख्यान। जब तल लंबवत हों

यदि दो विमानों में से एक दूसरे विमान के लंबवत रेखा से होकर गुजरता है, तो दिए गए विमान लंबवत हैं () (चित्र 28)

α – समतल, वी- इसके लंबवत एक सीधी रेखा, β - सीधी रेखा से गुजरने वाला एक तल वी, और साथ- वह सीधी रेखा जिसके अनुदिश तल α और β प्रतिच्छेद करते हैं।

परिणाम।यदि एक विमान दो दिए गए विमानों की प्रतिच्छेदन रेखा के लंबवत है, तो यह इनमें से प्रत्येक विमान के लिए लंबवत है

समस्या 1. साबित करें कि अंतरिक्ष में एक रेखा पर किसी भी बिंदु से होकर उस पर लंबवत दो अलग-अलग रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

सबूत:

स्वयंसिद्ध के अनुसार मैंवहाँ एक बिन्दु है जो रेखा पर नहीं है एक।प्रमेय 2.1 के अनुसार, बिंदु के माध्यम से मेंऔर प्रत्यक्ष एहम समतल α खींच सकते हैं। (चित्र 29) प्रमेय 2.3 द्वारा बिंदु के माध्यम से एα तल में हम एक सीधी रेखा खींच सकते हैं एक।अभिगृहीत C 1 के अनुसार, एक बिंदु है साथ, α से संबंधित नहीं है। प्रमेय 15.1 द्वारा बिंदु के माध्यम से साथऔर प्रत्यक्ष एहम समतल β खींच सकते हैं। β तल में, प्रमेय 2.3 के अनुसार, बिंदु a से होकर हम एक सीधी रेखा खींच सकते हैं एक।निर्माण के अनुसार, रेखाओं b और c में केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु है एऔर दोनों लंबवत हैं

कार्य 2. 3.4 मीटर की दूरी पर अलग किए गए दो लंबवत खड़े स्तंभों के ऊपरी सिरे एक क्रॉसबार द्वारा जुड़े हुए हैं। एक पोस्ट की ऊंचाई 5.8 मीटर है, और दूसरे की 3.9 मीटर है। क्रॉसबार की लंबाई ज्ञात करें।

एसी= 5.8 मी, वी.डी= 3.9 मीटर, अब- ? (चित्र 30)

एई = एसी - सीई = एसी - बीडी= 5.8 – 3.9 = 1.9 (एम)

∆ से पाइथागोरस प्रमेय द्वारा एईवीहम पाते हैं:

एबी 2 = एई 2 + ईबी 2 = एई 2 + सीडी 2 = ( 1.9) 2 + (3.4) 2 = 15.17 (एम2)

अब= = 3.9 (एम)

कार्य

लक्ष्य. सरलतम मामलों में विश्लेषण करना सीखें आपसी व्यवस्थाअंतरिक्ष में वस्तुएं, स्टीरियोमेट्रिक समस्याओं को हल करते समय प्लैनिमेट्रिक तथ्यों और विधियों का उपयोग करें.

1. साबित करें कि अंतरिक्ष में किसी रेखा पर किसी भी बिंदु से होकर आप उस पर लंबवत रेखा खींच सकते हैं।

2. रेखाएँ AB, AC और AD जोड़े में लंबवत हैं। खंड सीडी खोजें यदि:

1) एबी = 3 सेमी , सूरज= 7 सेमी, विज्ञापन= 1.5 सेमी;

2) वीडी= 9 सेमी, विज्ञापन= 5 सेमी, सूरज= 16 सेमी;

3) एबी = बी, बीसी = ए, एडी = डी;

4) ВD = с, ВС = а, АD = d

3. बिंदु A दूरी पर है एशीर्ष से समान भुजाओं वाला त्रिकोणपक्ष के साथ एक।बिंदु A से त्रिभुज के तल तक की दूरी ज्ञात कीजिए।

4. सिद्ध कीजिए कि यदि कोई रेखा किसी समतल के समान्तर हो तो उसके सभी बिंदु समतल से समान दूरी पर होते हैं।

5. 15 मीटर लंबा एक टेलीफोन तार एक टेलीफोन खंभे से, जहां यह जमीन की सतह से 8 मीटर की ऊंचाई पर जुड़ा हुआ है, एक घर तक खींचा गया है, जहां यह 20 मीटर की ऊंचाई पर जुड़ा हुआ है। दूरी ज्ञात करें घर और पोल के बीच, यह मानते हुए कि तार ढीला नहीं है।

6. एक बिंदु से एक समतल तक 10 सेमी और 17 सेमी के बराबर दो झुकी हुई ढलानें खींची गई हैं। इन झुकी हुई ढलानों के प्रक्षेपण में अंतर 9 सेमी है। झुकी हुई ढलानों के प्रक्षेपण ज्ञात कीजिए।

7. एक बिंदु से एक समतल पर दो झुके हुए खींचे गए हैं, जिनमें से एक दूसरे से 26 सेमी बड़ा है। झुके हुए प्रक्षेपण 12 सेमी और 40 सेमी हैं। झुके हुए प्रक्षेपण खोजें।

8. एक बिंदु से एक समतल तक दो झुकी हुई रेखाएँ खींची जाती हैं। यदि तिरछी रेखाओं का अनुपात 1:2 है और तिरछी रेखाओं का प्रक्षेपण 1 सेमी और 7 सेमी है तो उनकी लंबाई ज्ञात करें।

9. 23 सेमी और 33 सेमी के बराबर दो झुकी हुई ढलानें एक बिंदु से एक समतल तक खींची गई हैं। खोजें

यदि झुके हुए प्रक्षेपण 2:3 के अनुपात में हैं तो इस बिंदु से विमान की दूरी।

10. खंड AB के मध्य से उस समतल तक की दूरी ज्ञात करें जो इस खंड को प्रतिच्छेद नहीं करता है यदि बिंदु a और B से समतल की दूरी हैं: 1) 3.2 सेमी और 5.3 सेमी; 7.4 सेमी और 6.1 सेमी; 3)ए और सी.

11. पिछली समस्या को हल करें बशर्ते कि खंड AB समतल को प्रतिच्छेद करता हो।

12. 1 मीटर लंबा एक खंड एक विमान को काटता है, इसके सिरे विमान से 0.5 मीटर और 0.3 मीटर की दूरी पर हैं। विमान पर खंड के प्रक्षेपण की लंबाई ज्ञात करें।

13. बिंदु A और B से समतल पर लंब गिराए जाते हैं। बिंदु ए और बी के बीच की दूरी ज्ञात करें यदि लंबवत 3 मीटर और 2 मीटर हैं, उनके आधारों के बीच की दूरी 2.4 मीटर है, और खंड एबी विमान को नहीं काटता है।

14. दो लंबवत तलों में स्थित बिंदु A और B से, लंबवत AC और BD को तलों की प्रतिच्छेदन रेखा पर गिराया जाता है। खंड AB की लंबाई ज्ञात करें यदि: 1) AC = 6 मीटर, BD = 7 मीटर, CD = 6 मीटर; 2) एसी = 3 मीटर, वीडी = 4 मीटर, सीडी = 12 मीटर; 3) एडी = 4 मीटर, बीसी = 7 मीटर, सीडी = 1 मीटर; 4) एडी = बीसी = 5 मीटर, सीडी = 1 मीटर; 4) एसी = ए, बीडी = बी, सीडी = सी; 5) एडी = ए, बीसी = बी, सीडी = सी।

15. समबाहु त्रिभुज ABC के शीर्ष A और B से, त्रिभुज के तल पर लंब AA 1 और BB 1 को पुनर्स्थापित किया जाता है। शीर्ष C से खंड A 1 B 1 के मध्य तक की दूरी ज्ञात करें यदि AB = 2 m, CA 1 = 3 m, CB 1 = 7 m और खंड A 1 B 1 त्रिभुज के तल को नहीं काटता है

16. समकोण त्रिभुज ABC के न्यून कोणों के शीर्ष A और B से, त्रिभुज के तल पर लंब AA 1 और BB 1 बनाए गए हैं। शीर्ष C से खंड A 1 B 1 के मध्य तक की दूरी ज्ञात करें, यदि A 1 C = 4 मीटर, AA 1 = 3 मीटर, CB 1 = 6 मीटर, BB 1 = 2 मीटर और खंड A 1 B 1 प्रतिच्छेद नहीं करता है त्रिभुज का तल.

लम्बवत तलों की अवधारणा

जब दो तल प्रतिच्छेद करते हैं, तो हमें $4$ डायहेड्रल कोण मिलते हैं। दो कोण $\varphi $ के बराबर हैं, और अन्य दो कोण $(180)^0-\varphi $ के बराबर हैं।

परिभाषा 1

समतलों के बीच का कोण इन समतलों द्वारा निर्मित द्विफलकीय कोणों में से न्यूनतम होता है।

परिभाषा 2

दो प्रतिच्छेदी तलों को लंबवत कहा जाता है यदि इन तलों के बीच का कोण $90^\circ$ है (चित्र 1)।

चित्र 1. लंबवत तल

दो तलों की लंबवतता का चिह्न

प्रमेय 1

यदि एक तल की एक सीधी रेखा दूसरे तल पर लंबवत है, तो ये तल एक दूसरे के लंबवत हैं।

सबूत।

आइए हमें समतल $\alpha $ और $\beta $ दिए जाएं, जो सीधी रेखा $AC$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। मान लीजिए $\alpha $ समतल में स्थित सीधी रेखा $AB$ $\beta $ समतल के लंबवत है (चित्र 2)।

चित्र 2।

चूँकि रेखा $AB$ समतल $\beta$ पर लंबवत है, यह रेखा $AC$ पर भी लंबवत है। आइए हम अतिरिक्त रूप से समतल $\beta$ में एक रेखा $AD$ खींचते हैं, जो रेखा $AC$ के लंबवत है।

हमने पाया कि कोण $BAD$ डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण है, जो $90^\circ$ के बराबर है। अर्थात्, परिभाषा 1 के अनुसार, विमानों के बीच का कोण $90^\circ$ है, जिसका अर्थ है कि ये विमान लंबवत हैं।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

निम्नलिखित प्रमेय इस प्रमेय से अनुसरण करता है।

प्रमेय 2

यदि एक विमान उस रेखा के लंबवत है जिसके साथ दो अन्य विमान प्रतिच्छेद करते हैं, तो यह इन विमानों के लिए भी लंबवत है।

सबूत।

आइए हमें दो समतल $\alpha $ और $\beta $ दिए गए हैं जो सीधी रेखा $c$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। समतल $\गामा $ सीधी रेखा $c$ पर लंबवत है (चित्र 3)

चित्र तीन।

चूँकि रेखा $c$ समतल $\alpha $ से संबंधित है और समतल $\गामा $ रेखा $c$ के लंबवत है, तो, प्रमेय 1 के अनुसार, समतल $\alpha $ और $\गामा $ लंबवत हैं।

चूँकि रेखा $c$ समतल $\beta $ से संबंधित है और समतल $\गामा $ रेखा $c$ के लंबवत है, तो, प्रमेय 1 के अनुसार, समतल $\beta $ और $\गामा $ लंबवत हैं।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

इनमें से प्रत्येक प्रमेय के लिए, विपरीत कथन भी सत्य हैं।

नमूना समस्याएँ

उदाहरण 1

आइए हमें एक आयताकार समांतर चतुर्भुज $ABCDA_1B_1C_1D_1$ दिया जाए। लम्बवत तलों के सभी युग्म ज्ञात कीजिए (चित्र 5)।

चित्र 4.

समाधान।

एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज और लंबवत विमानों की परिभाषा के अनुसार, हम एक दूसरे के लंबवत विमानों के निम्नलिखित आठ जोड़े देखते हैं: $(ABB_1)$ और $(ADD_1)$, $(ABB_1)$ और $(A_1B_1C_1)$, $( ABB_1)$ और $(BCC_1) $, $(ABB_1)$ और $(ABC)$, $(DCC_1)$ और $(ADD_1)$, $(DCC_1)$ और $(A_1B_1C_1)$, $(DCC_1) $ और $(BCC_1)$, $(DCC_1)$ और $(ABC)$।

उदाहरण 2

आइए हमें दो परस्पर लंबवत तल दिए जाएं। एक तल पर एक बिंदु से दूसरे तल पर एक लंब खींचा जाता है। सिद्ध कीजिए कि यह रेखा दिए गए तल में स्थित है।

सबूत।

आइए हमें लंबवत तल $\alpha $ और $\beta $ दिए गए हैं जो सीधी रेखा $c$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। समतल $\beta $ के बिंदु $A$ से समतल $\alpha $ पर एक लंब $AC$ खींचा जाता है। आइए मान लें कि $AC$ $\beta$ समतल में नहीं है (चित्र 6)।

चित्र 5.

त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें। यह समकोण $ACB$ वाला आयताकार है। इसलिए, $\कोण ABC\ne (90)^0$.

लेकिन दूसरी ओर, $\कोण ABC$ इन विमानों द्वारा गठित डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण है। अर्थात् इन तलों से बनने वाला डायहेड्रल कोण 90 डिग्री के बराबर नहीं होता है। हमने पाया कि समतलों के बीच का कोण $90^\circ$ के बराबर नहीं है। विरोधाभास। इसलिए, $AC$ $\beta$ तल में स्थित है।

दो परस्पर लंबवत् तलों का निर्माण।जैसा कि ज्ञात है, विमान लंबवत होते हैं यदि एक विमान से संबंधित रेखा दूसरे विमान पर लंबवत होती है।इसलिए, किसी दिए गए विमान के लिए लंबवत एक विमान किसी दिए गए विमान के लिए लंबवत रेखा के माध्यम से, या किसी दिए गए विमान में पड़ी रेखा के लंबवत के माध्यम से खींचा जा सकता है।

चित्र में दिखाया गया है। 4.12 तल (त्रिभुज ABC का तल और समतल P) परस्पर लंबवत हैं, क्योंकि तल P त्रिभुज के तल में स्थित सीधी रेखा A1 पर लंबवत है। प्रक्षेपण एम 2 एन 2, एम 1 एन 1 और प्रक्षेपण ए 2 बी 2 सी 2, ए 1 बी 1 सी 1 द्वारा निर्दिष्ट विमान के लंबवत के साथ रेखा से गुजरने वाले विमान पी का प्रक्षेपण त्रिकोण में दिखाया गया है अंजीर। 4.12.

निर्माण: 1. समतल की मुख्य रेखाएँ खींचिए, C1 - क्षैतिज, C2 - ललाट।

2. एक मनमाना बिंदु E (त्रिभुज ABC के बाहर स्थित) के माध्यम से, समतल की मुख्य रेखाओं पर लंबवत एक सीधी रेखा EF खींचें (c 2 f 2, c 2 2 2 पर लंबवत है और c 1 f 1, 1 1 पर लंबवत है) 1).

3. बिंदु N के माध्यम से, EF के साथ प्रतिच्छेद करते हुए एक मनमाना सीधी रेखा EM खींचें, हमें दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं (EM X EF) द्वारा परिभाषित एक समतल P प्राप्त होता है।

इस प्रकार, समतल P(ME X EF) समतल Q(त्रिकोण ABC) के लंबवत है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सामान्य स्थिति में परस्पर लंबवत विमानों के लिए, एक ही नाम के उनके निशान कभी भी लंबवत नहीं होते हैं। लेकिन यदि दिए गए विमानों में से एक (या दोनों) एक सामान्य विमान है, तो उनके निशानों की एक जोड़ी के आरेख पर पारस्परिक लंबवतता अंतरिक्ष में विमानों की लंबवतता को इंगित करती है।

18) दो तलों के प्रतिच्छेदन की सीधी रेखा उनके दो उभयनिष्ठ बिंदुओं द्वारा निर्धारित की जा सकती है। ऐसा करने के लिए, एक विमान की किन्हीं दो सीधी रेखाओं के दूसरे विमान के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु या प्रत्येक विमान पर किसी अन्य विमान के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करें।

निर्माण क्रम:

हल करते समय सहायक कटिंग विमानों का उपयोग करके दो विमानों की प्रतिच्छेदन रेखा पाई जा सकती है। प्रक्षेपण तल आमतौर पर चुने जाते हैं (अक्सर क्षैतिज या ललाट)

एक मनमाना छेदक सहायक क्षैतिज विमान Ф1 का चयन करें; यह दिए गए विमानों को सीधी रेखाओं (12 और 34) के साथ काटता है जो (पी1 पर बिंदु k पर प्रतिच्छेद करता है)

दूसरा छेदक क्षैतिज तल दिए गए तलों को भी क्षैतिज के अनुदिश काटता है; वे, बदले में, बिंदु E पर काटते हैं

सीधी KE दिए गए तलों की प्रतिच्छेदन रेखा है।

आइए एक समतल रेखाचित्र पर इस समस्या के समाधान पर विचार करें।

समाधान का पहला चरण बिंदु M के निर्माण के लिए, एक क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित विमान का उपयोग किया जाता है - मध्यस्थ ("), जो त्रिभुज ABC की भुजा AB को घेरता है।

समाधान का दूसरा चरण हम मध्यवर्ती विमान (") और DEK विमान की प्रतिच्छेदन रेखा (चित्र में इसे बिंदु 1 और 2 द्वारा निर्दिष्ट किया गया है) का निर्माण करते हैं।

समाधान का तीसरा चरण रेखा AB के साथ रेखा 1 - 2 के प्रतिच्छेदन का बिंदु M ज्ञात करें।

वांछित प्रतिच्छेदन रेखा का एक बिंदु M मिल गया है।

बिंदु N के निर्माण के लिए, एक क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित विमान  (") का उपयोग किया जाता है, जो त्रिभुज ABC की भुजा AC को घेरता है।

निर्माण पिछले वाले के समान हैं।

एच विमान पर दृश्यता का निर्धारण क्षैतिज रूप से प्रतिस्पर्धी बिंदु 4 और 8 का उपयोग करके किया जाता है

बिंदु 4, बिंदु 8 (4" और 8") के ऊपर स्थित है, इसलिए समतल H पर त्रिभुज DEK का भाग, बिंदु 4 की ओर स्थित, त्रिभुज ABC के भाग को कवर करता है, जो प्रतिच्छेदन रेखा से बिंदु 8 की ओर स्थित है। की सहायता से समतल V पर सामने से प्रतिस्पर्धी बिंदु 6 और 7 दृश्यता की एक जोड़ी निर्धारित की जाती है।

दो सामने प्रक्षेपित विमानों का प्रतिच्छेदन (?)

दो क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित विमानों का प्रतिच्छेदन (?)

19) कट किसी वस्तु की एक छवि है जिसे एक या अधिक विमानों द्वारा मानसिक रूप से विच्छेदित किया जाता है, जबकि किसी वस्तु का मानसिक विच्छेदन केवल इस कट से संबंधित होता है और उसी वस्तु की अन्य छवियों में कोई बदलाव नहीं करता है। अनुभाग दिखाता है काटने वाले तल में क्या स्थित है और उसके पीछे क्या स्थित है।

छेदक तलों की संख्या के आधार पर, अनुभाग को इसमें विभाजित किया गया है:

सरल (एक कटिंग प्लेन के साथ)

जटिल (कई काटने वाले विमानों के साथ)

क्षैतिज प्रक्षेपण विमान के सापेक्ष काटने वाले विमान की स्थिति के आधार पर, अनुभागों को इसमें विभाजित किया गया है:

क्षैतिज - काटने वाला तल क्षैतिज प्रक्षेपण तल के समानांतर होता है

लंबवत - काटने वाला तल क्षैतिज प्रक्षेपण तल के लंबवत होता है

तिरछा - एक काटने वाला तल क्षैतिज तल के साथ कुछ अप्रत्यक्ष कोण होता है =) एक लंबवत खंड को कहा जाता है ललाटयदि काटने वाला तल प्रक्षेपण के ललाट तल के समानांतर है। और प्रोफ़ाइलयदि काटने वाला तल प्रक्षेपणों के प्रोफ़ाइल तल के समानांतर है।

यदि काटने वाले विमानों को वस्तु की लंबाई या ऊंचाई के साथ निर्देशित किया जाता है तो जटिल कट अनुदैर्ध्य होते हैं। और ट्रांसवर्स यदि काटने वाले विमानों को वस्तु की लंबाई या ऊंचाई के लंबवत निर्देशित किया जाता है।

चरण - यदि छेदक तल एक दूसरे के समानांतर हैं

टूटा हुआ - यदि काटने वाले तल एक दूसरे को काटते हैं।

LOCAL कट किसी वस्तु की आंतरिक संरचना को एक अलग सीमित स्थान पर प्रकट करने का काम करते हैं। दृश्य में स्थानीय अनुभाग को एक ठोस, लहरदार, पतली रेखा द्वारा हाइलाइट किया गया है।

कट्स का पदनाम - कटिंग प्लेन की स्थिति एक खुली सेक्शन लाइन द्वारा इंगित की जाती है। सेक्शन लाइन के शुरुआती और अंतिम स्ट्रोक को संबंधित छवि के समोच्च को नहीं काटना चाहिए। दृश्य की दिशा को इंगित करने वाले प्रारंभिक और अंतिम स्ट्रोक पर तीर लगाए जाने चाहिए। तीर को स्ट्रोक के बाहरी छोर से 2...3 मिमी की दूरी पर रखा जाना चाहिए।

एक जटिल कट के लिए, खुली सेक्शन लाइन के स्ट्रोक भी सेक्शन लाइन के मोड़ पर खींचे जाते हैं।

देखने की दिशा बताने वाले तीरों के पास, कोने के बाहर रूसी वर्णमाला के बड़े अक्षर लगाए गए हैं। अक्षर पदनाम बिना दोहराव या चूक के वर्णानुक्रम में निर्दिष्ट किए गए हैं।

चीरे को स्वयं ए-ए जैसे शिलालेख से चिह्नित किया जाना चाहिए

यदि छेदक तल वस्तु के समरूपता के तल के साथ मेल खाता है, और अनुभाग प्रक्षेपण कनेक्शन में संबंधित दृश्य के स्थान पर बनाया गया है, तो क्षैतिज, ललाट और प्रोफ़ाइल अनुभागों के लिए छेदक की स्थिति को चिह्नित करने की कोई आवश्यकता नहीं है विमान और कट के साथ कोई शिलालेख नहीं है।

यदि किसी वस्तु की समोच्च रेखा समरूपता के अक्ष के साथ मेल खाती है, तो दृश्य और अनुभाग के बीच की सीमा को एक लहरदार रेखा द्वारा इंगित किया जाता है, जिसे खींचा जाता है ताकि किनारे की छवि संरक्षित रहे।

यह पाठ उन लोगों को मदद करेगा जो "दो तलों के लंबवतता का संकेत" विषय को समझना चाहते हैं। इसकी शुरुआत में हम डायहेड्रल और रैखिक कोणों की परिभाषा दोहराएंगे। फिर हम विचार करेंगे कि किन तलों को लंबवत कहा जाता है, और दो तलों के लंबवतता के चिह्न को सिद्ध करेंगे।

विषय: रेखाओं और तलों की लंबवतता

पाठ: दो तलों की लंबता का चिह्न

परिभाषा। एक डायहेड्रल कोण दो अर्ध-तलों से बनी एक आकृति है जो एक ही तल से संबंधित नहीं है और उनकी सामान्य सीधी रेखा a (a एक किनारा है) है।

चावल। 1

आइए दो अर्ध-तलों α और β पर विचार करें (चित्र 1)। उनकी उभयनिष्ठ सीमा l है। इस आकृति को डायहेड्रल कोण कहा जाता है। दो प्रतिच्छेदी तल एक उभयनिष्ठ किनारे के साथ चार डायहेड्रल कोण बनाते हैं।

एक डायहेड्रल कोण को उसके रैखिक कोण से मापा जाता है। हम डायहेड्रल कोण के उभयनिष्ठ किनारे l पर एक मनमाना बिंदु चुनते हैं। अर्ध-तल α और β में, इस बिंदु से हम सीधी रेखा l पर लंब a और b खींचते हैं और डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण प्राप्त करते हैं।

सीधी रेखाएँ a और b φ, 180° - φ, φ, 180° - φ के बराबर चार कोण बनाती हैं। याद रखें कि सीधी रेखाओं के बीच का कोण इन कोणों में सबसे छोटा होता है।

परिभाषा। समतलों के बीच का कोण इन समतलों द्वारा निर्मित द्विफलकीय कोणों में सबसे छोटा होता है। φ समतल α और β के बीच का कोण है, यदि

परिभाषा। दो प्रतिच्छेदी तलों को लंबवत (परस्पर लंबवत) कहा जाता है यदि उनके बीच का कोण 90° है।

चावल। 2

किनारे l पर एक मनमाना बिंदु M चुना गया है (चित्र 2)। आइए हम क्रमशः α तल में और β तल में किनारे l पर दो लंबवत सीधी रेखाएँ MA = a और MB = b खींचें। हमें कोण AMB मिला। कोण AMB एक द्विफलकीय कोण का रैखिक कोण है। यदि कोण AMB 90° है, तो समतल α और β को लंबवत कहा जाता है।

निर्माण द्वारा रेखा b रेखा l पर लंबवत है। रेखा b, रेखा a पर लंबवत है, क्योंकि समतल α और β के बीच का कोण 90° है। हम पाते हैं कि रेखा b समतल α से दो प्रतिच्छेदी रेखाओं a और l पर लंबवत है। इसका मतलब यह है कि सीधी रेखा b समतल α पर लंबवत है।

इसी प्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं कि सीधी रेखा a समतल β पर लंबवत है। निर्माण के अनुसार रेखा a, रेखा l पर लंबवत है। रेखा a, रेखा b पर लंबवत है, क्योंकि समतल α और β के बीच का कोण 90° है। हम पाते हैं कि रेखा a, समतल β से दो प्रतिच्छेदी रेखाओं b और l पर लंबवत है। इसका मतलब यह है कि सीधी रेखा a, समतल β पर लंबवत है।

यदि दो विमानों में से एक दूसरे विमान के लंबवत रेखा से होकर गुजरता है, तो ऐसे विमान लंबवत होते हैं।

सिद्ध करना:

चावल। 3

सबूत:

मान लीजिए कि समतल α और β सीधी रेखा AC पर प्रतिच्छेद करते हैं (चित्र 3)। यह साबित करने के लिए कि विमान परस्पर लंबवत हैं, आपको उनके बीच एक रैखिक कोण बनाना होगा और दिखाना होगा कि यह कोण 90° है।

सीधी रेखा AB समतल β पर लंबवत है, और इसलिए समतल β में स्थित सीधी रेखा AC पर लंबवत है।

आइए हम β तल में सीधी रेखा AC पर लंबवत एक सीधी रेखा AD खींचें। तब BAD डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण है।

सीधी रेखा AB समतल β पर लंबवत है, और इसलिए समतल β में स्थित सीधी रेखा AD पर लंबवत है। इसका मतलब है कि रैखिक कोण BAD 90° है। इसका मतलब यह है कि समतल α और β लंबवत हैं, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

जिस रेखा के अनुदिश दो विमान प्रतिच्छेद करते हैं, उसका लंबवत तल इनमें से प्रत्येक तल पर लंबवत होता है (चित्र 4)।

सिद्ध करना: