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एक समतल का समीकरण एक बिंदु से एक समतल की दूरी है। एक बिंदु से एक समतल तक की दूरी. रास्ता। वेक्टर विधि

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के बीच की दूरी का निर्धारण: 1 - बिंदु और तल; 2 - सीधा और सपाट; 3 - विमान; 4 - सीधी रेखाओं को पार करने पर एक साथ विचार किया जाता है, क्योंकि इन सभी समस्याओं के लिए समाधान एल्गोरिदम अनिवार्य रूप से समान है और इसमें शामिल है ज्यामितीय निर्माण, जिसे दिए गए बिंदु A और समतल α के बीच की दूरी निर्धारित करने के लिए किया जाना चाहिए। यदि कोई अंतर है, तो यह केवल इस तथ्य में निहित है कि मामले 2 और 3 में, समस्या को हल करने से पहले, आपको सीधी रेखा एम (केस 2) या विमान β (केस 3) पर एक मनमाना बिंदु ए को चिह्नित करना चाहिए। प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं के बीच की दूरी, हम पहले उन्हें समानांतर विमानों α और β में घेरते हैं और फिर इन विमानों के बीच की दूरी निर्धारित करते हैं।

आइए हम समस्या समाधान के प्रत्येक विख्यात मामले पर विचार करें।

1. एक बिंदु और एक समतल के बीच की दूरी निर्धारित करना।

एक बिंदु से एक विमान की दूरी एक बिंदु से विमान पर खींचे गए लंबवत खंड की लंबाई से निर्धारित होती है।

इसलिए, इस समस्या के समाधान में निम्नलिखित ग्राफिकल ऑपरेशनों को क्रमिक रूप से निष्पादित करना शामिल है:

1) बिंदु A से हम समतल α पर लंब को नीचे करते हैं (चित्र 269);

2) समतल M = a ∩ α के साथ इस लम्ब का प्रतिच्छेदन बिंदु M ज्ञात कीजिए;

3) खंड की लंबाई निर्धारित करें.

यदि विमान α सामान्य स्थिति में है, तो इस विमान पर लंबवत को कम करने के लिए, पहले इस विमान के क्षैतिज और ललाट प्रक्षेपण की दिशा निर्धारित करना आवश्यक है। समतल के साथ इस लंबवत के मिलन बिंदु को खोजने के लिए अतिरिक्त ज्यामितीय निर्माण की भी आवश्यकता होती है।

यदि विमान α प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष एक विशेष स्थान रखता है तो समस्या का समाधान सरल हो जाता है। इस मामले में, लंबवत का प्रक्षेपण और विमान के साथ इसके मिलन बिंदु का पता लगाना दोनों ही बिना किसी अतिरिक्त सहायक निर्माण के किए जाते हैं।

उदाहरण 1. बिंदु A से सामने प्रक्षेपित समतल α तक की दूरी निर्धारित करें (चित्र 270)।

समाधान। A" के माध्यम से हम लंबवत l" ⊥ h 0α का क्षैतिज प्रक्षेपण खींचते हैं, और A" के माध्यम से - इसका ललाट प्रक्षेपण l" ⊥ f 0α। हम बिंदु M" = l" ∩ f 0α को चिह्नित करते हैं। AM के बाद से || π 2, फिर [ए" एम"] == |एएम| =डी.

विचार किए गए उदाहरण से, यह स्पष्ट है कि जब विमान प्रक्षेपण स्थिति में होता है तो समस्या कितनी आसानी से हल हो जाती है। इसलिए, यदि स्रोत डेटा में एक सामान्य स्थिति वाला विमान निर्दिष्ट किया गया है, तो समाधान के साथ आगे बढ़ने से पहले, विमान को किसी भी प्रक्षेपण विमान के लंबवत स्थिति में ले जाया जाना चाहिए।

उदाहरण 2. बिंदु K से ΔАВС द्वारा निर्दिष्ट विमान तक की दूरी निर्धारित करें (चित्र 271)।

1. हम विमान ΔАВС को प्रक्षेपण स्थिति * में स्थानांतरित करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम सिस्टम xπ 2 /π 1 से x 1 π 3 /π 1 की ओर बढ़ते हैं: नए x 1 अक्ष की दिशा त्रिभुज के क्षैतिज तल के क्षैतिज प्रक्षेपण के लंबवत चुनी जाती है।

2. ΔABC को एक नए विमान π 3 पर प्रक्षेपित करें (ΔABC विमान को π 3 पर प्रक्षेपित किया गया है, [ C " 1 B " 1 ] में)।

3. बिंदु K को उसी तल पर प्रोजेक्ट करें (K" → K" 1)।

4. बिंदु K" 1 से होकर हम (K" 1 M" 1)⊥ खंड [C" 1 B" 1] खींचते हैं। आवश्यक दूरी d = |K" 1 M" 1 |

यदि विमान को निशानों द्वारा परिभाषित किया जाता है, तो समस्या का समाधान सरल हो जाता है, क्योंकि स्तर रेखाओं के अनुमानों को खींचने की कोई आवश्यकता नहीं है।

उदाहरण 3. बिंदु K से समतल α तक की दूरी निर्धारित करें, जो पटरियों द्वारा निर्दिष्ट है (चित्र 272)।

* त्रिभुज तल को प्रक्षेपण स्थिति में स्थानांतरित करने का सबसे तर्कसंगत तरीका प्रक्षेपण विमानों को प्रतिस्थापित करना है, क्योंकि इस मामले में यह केवल एक सहायक प्रक्षेपण का निर्माण करने के लिए पर्याप्त है।

समाधान। हम समतल π 1 को समतल π 3 से प्रतिस्थापित करते हैं, इसके लिए हम एक नया अक्ष x 1 ⊥ f 0α बनाते हैं। h 0α पर हम एक मनमाना बिंदु 1" चिह्नित करते हैं और समतल π 3 (1" 1) पर इसका नया क्षैतिज प्रक्षेपण निर्धारित करते हैं। बिंदु X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) और 1" 1 के माध्यम से हम h 0α 1 खींचते हैं। हम बिंदु K → K" 1 का नया क्षैतिज प्रक्षेपण निर्धारित करते हैं। बिंदु K" 1 से हम लंबवत को h 0α 1 से नीचे करते हैं और इसके प्रतिच्छेदन बिंदु को h 0α 1 - M" 1 से चिह्नित करते हैं। खंड K" 1 M" 1 की लंबाई आवश्यक दूरी को इंगित करेगी।

2. एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच की दूरी निर्धारित करना।

एक रेखा और एक समतल के बीच की दूरी रेखा के एक मनमाने बिंदु से समतल पर गिराए गए लंबवत खंड की लंबाई से निर्धारित होती है (चित्र 248 देखें)।

इसलिए, सीधी रेखा m और समतल α के बीच की दूरी निर्धारित करने की समस्या का समाधान एक बिंदु और समतल के बीच की दूरी निर्धारित करने के लिए पैराग्राफ 1 में चर्चा किए गए उदाहरणों से अलग नहीं है (चित्र 270 ... 272 देखें)। एक बिंदु के रूप में, आप रेखा m से संबंधित कोई भी बिंदु ले सकते हैं।

3. विमानों के बीच की दूरी का निर्धारण.

समतलों के बीच की दूरी एक तल से दूसरे तल पर लिए गए बिंदु से गिराए गए लंबवत खंड के आकार से निर्धारित होती है।

इस परिभाषा से यह पता चलता है कि समतल α और β के बीच की दूरी ज्ञात करने की समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म, रेखा m और समतल α के बीच की दूरी निर्धारित करने की समस्या को हल करने के लिए एक समान एल्गोरिथ्म से भिन्न है, केवल उस रेखा m को समतल α से संबंधित होना चाहिए , यानी, विमानों α और β के बीच की दूरी निर्धारित करने के लिए निम्नानुसार है:

1) α तल में एक सीधी रेखा m लें;

2) रेखा m पर एक मनमाना बिंदु A चुनें;

3) बिंदु A से, समतल β पर लंबवत l को नीचे करें;

4) बिंदु एम निर्धारित करें - समतल β के साथ लंबवत एल का मिलन बिंदु;

5) खंड का आकार निर्धारित करें.

व्यवहार में, एक अलग समाधान एल्गोरिदम का उपयोग करने की सलाह दी जाती है, जो दिए गए एल्गोरिदम से केवल इस मायने में भिन्न होगा कि पहले चरण के साथ आगे बढ़ने से पहले, विमानों को प्रक्षेपण स्थिति में स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

एल्गोरिदम में इस अतिरिक्त ऑपरेशन को शामिल करने से बिना किसी अपवाद के अन्य सभी बिंदुओं का निष्पादन सरल हो जाता है, जो अंततः एक सरल समाधान की ओर ले जाता है।

उदाहरण 1. समतल α और β के बीच की दूरी निर्धारित करें (चित्र 273)।

समाधान। हम सिस्टम xπ 2 /π 1 से x 1 π 1 /π 3 की ओर बढ़ते हैं। नए विमान π 3 के संबंध में, विमान α और β एक प्रक्षेपित स्थिति पर कब्जा कर लेते हैं, इसलिए नए ललाट निशान f 0α 1 और f 0β 1 के बीच की दूरी वांछित है।

इंजीनियरिंग अभ्यास में, किसी दिए गए विमान के समानांतर एक विमान बनाने और उससे एक निश्चित दूरी पर हटाने की समस्या को हल करना अक्सर आवश्यक होता है। नीचे उदाहरण 2 ऐसी समस्या का समाधान दर्शाता है।

उदाहरण 2. किसी दिए गए समतल α (m || n) के समानांतर एक समतल β के प्रक्षेपण का निर्माण करना आवश्यक है, यदि यह ज्ञात हो कि उनके बीच की दूरी d है (चित्र 274)।

1. α तल में मनमाना क्षैतिज रेखाएँ h (1, 3) और अग्र रेखाएँ f (1,2) खींचिए।

2. बिंदु 1 से हम समतल α(l" ⊥ h", l" ⊥ f") पर लंबवत l को पुनर्स्थापित करते हैं।

3. लंब l पर हम एक मनमाना बिंदु A अंकित करते हैं।

4. खंड की लंबाई निर्धारित करें - (स्थिति आरेख पर सीधी रेखा एल की मीट्रिक रूप से अविभाजित दिशा को इंगित करती है)।

5. खंड = d को बिंदु 1 से सीधी रेखा (1"A 0) पर बिछाएं।

6. बिंदु बी 0 के अनुरूप प्रक्षेपण एल" और एल" बिंदु बी" और बी" पर निशान लगाएं।

7. बिंदु B से होकर हम समतल β (h 1 ∩ f 1) खींचते हैं। को β || α, शर्त h 1 || का अनुपालन करना आवश्यक है एच और एफ 1 || एफ।

4. प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी निर्धारित करना।

प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी उन समानांतर तलों के बीच घिरे लम्ब की लंबाई से निर्धारित होती है जिनसे प्रतिच्छेदी रेखाएँ संबंधित होती हैं।

प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखाओं m और f के माध्यम से परस्पर समानांतर समतल α और β खींचने के लिए, बिंदु A (A ∈ m) से होकर सीधी रेखा f के समानांतर और बिंदु B (B ∈ f) से होकर एक सीधी रेखा p खींचना पर्याप्त है। एक सीधी रेखा k, सीधी m के समानांतर। प्रतिच्छेदी रेखाएँ m और p, f और k परस्पर समानांतर समतल α और β को परिभाषित करती हैं (चित्र 248, e देखें)। समतल α और β के बीच की दूरी क्रॉसिंग लाइनों m और f के बीच आवश्यक दूरी के बराबर है।

प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी निर्धारित करने के लिए एक और तरीका प्रस्तावित किया जा सकता है, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि, ऑर्थोगोनल अनुमानों को बदलने की कुछ विधि का उपयोग करके, प्रतिच्छेदी रेखाओं में से एक को प्रक्षेपण स्थिति में स्थानांतरित किया जाता है। इस स्थिति में, रेखा का एक प्रक्षेपण एक बिंदु में बदल जाता है। क्रॉसिंग लाइनों (बिंदु ए" 2 और खंड सी" 2 डी" 2) के नए प्रक्षेपणों के बीच की दूरी आवश्यक है।

चित्र में. 275 दिए गए खंडों [एबी] और [सीडी] के बीच क्रॉसिंग लाइनों ए और बी के बीच की दूरी निर्धारित करने की समस्या का समाधान दिखाता है। समाधान निम्नलिखित क्रम में किया जाता है:

1. क्रॉसिंग लाइनों में से एक (ए) को विमान π 3 के समानांतर स्थिति में स्थानांतरित करें; ऐसा करने के लिए, वे प्रक्षेपण विमानों xπ 2 /π 1 की प्रणाली से नए x 1 π 1 /π 3 की ओर बढ़ते हैं, x 1 अक्ष सीधी रेखा a के क्षैतिज प्रक्षेपण के समानांतर है। ए" 1 [ए" 1 बी" 1 ] और बी" 1 निर्धारित करें।

2. समतल π 1 को समतल π 4 से प्रतिस्थापित करके, हम सीधी रेखा का अनुवाद करते हैं

और स्थिति के लिए एक" 2, विमान के लंबवतπ 4 (नया x 2 अक्ष "1) के लंबवत खींचा गया है।

3. सीधी रेखा b" 2 - [ C" 2 D" 2 ] का एक नया क्षैतिज प्रक्षेपण बनाएं।

4. बिंदु A" 2 से सीधी रेखा C" 2 D" 2 (खंड (A" 2 M" 2 ]) की दूरी आवश्यक है।

यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि क्रॉसिंग लाइनों में से एक को प्रोजेक्टिंग स्थिति में स्थानांतरित करना समांतरता के विमानों के स्थानांतरण से ज्यादा कुछ नहीं है, जिसमें लाइनें ए और बी को प्रोजेक्टिंग स्थिति में भी संलग्न किया जा सकता है।

वास्तव में, रेखा a को समतल π 4 के लंबवत स्थिति में ले जाकर, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि रेखा a वाला कोई भी समतल समतल π 4 पर लंबवत है, जिसमें रेखाओं a और m (a ∩ m, m |) द्वारा परिभाषित समतल α भी शामिल है। |. बी). यदि अब हम a के समानांतर एक रेखा n खींचते हैं और रेखा b को प्रतिच्छेद करती है, तो हमें समतल β प्राप्त होता है, जो समांतरता का दूसरा तल है, जिसमें प्रतिच्छेदी रेखाएँ a और b शामिल हैं। चूंकि β || α, फिर β ⊥ π 4।

किसी बिंदु से समतल तक की दूरी ज्ञात करना एक सामान्य समस्या है जो हल करते समय उत्पन्न होती है विभिन्न कार्य विश्लेषणात्मक ज्यामितिउदाहरण के लिए, इस समस्या को दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं के बीच या एक सीधी रेखा और उसके समानांतर एक समतल के बीच की दूरी ज्ञात करने तक कम किया जा सकता है।

समतल $β$ और निर्देशांक $(x_0;y_0; z_0)$ वाले एक बिंदु $M_0$ पर विचार करें जो समतल $β$ से संबंधित नहीं है।

परिभाषा 1

एक बिंदु और एक समतल के बीच की न्यूनतम दूरी बिंदु $M_0$ से समतल $β$ पर खींचा गया लंबवत होगा।

चित्र 1. एक बिंदु से एक समतल तक की दूरी। Avtor24 - छात्र कार्यों का ऑनलाइन आदान-प्रदान

नीचे हम चर्चा करते हैं कि निर्देशांक विधि का उपयोग करके एक बिंदु से एक समतल तक की दूरी कैसे ज्ञात की जाए।

अंतरिक्ष में एक बिंदु से एक तल तक की दूरी ज्ञात करने की निर्देशांक विधि के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

बिंदु $M_0$ से एक लंब, विमान $β$ को निर्देशांक $(x_1;y_1; z_1)$ के साथ बिंदु $M_1$ पर प्रतिच्छेद करता है, एक सीधी रेखा पर स्थित है जिसका दिशा वेक्टर विमान $β$ का सामान्य वेक्टर है। इस मामले में, इकाई वेक्टर $n$ की लंबाई एक के बराबर है। तदनुसार, $β$ से बिंदु $M_0$ तक की दूरी होगी:

$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, जहां $\vec(M_1M_0)$ $β$ समतल का सामान्य वेक्टर है, और $\vec( n)$ विचाराधीन विमान का इकाई सामान्य वेक्टर है।

उस स्थिति में जब समतल का समीकरण दिया गया हो सामान्य रूप से देखें$Ax+ By + Cz + D=0$, समतल के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक समीकरण $$A;B;C$$ के गुणांक हैं, और इस मामले में इकाई सामान्य वेक्टर के निर्देशांक की गणना की जाती है निम्नलिखित समीकरण:

$\vec(n)= \frac($A;B;C$)(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\right)$.

अब हम सामान्य वेक्टर $\vec(M_1M_0)$ के निर्देशांक पा सकते हैं:

$\vec(M_0M_1)= $x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1$\left(3\right)$.

हम $β$ तल में स्थित एक बिंदु के निर्देशांक का उपयोग करके गुणांक $D$ को भी व्यक्त करते हैं:

$D= Ax_1+By_1+Cz_1$

समानता $(2)$ से इकाई सामान्य वेक्टर के निर्देशांक को $β$ समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित किया जा सकता है, तो हमारे पास है:

$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2) +B^2+C^2))\left(4\right)$

समानता $(4)$ अंतरिक्ष में एक बिंदु से एक समतल तक की दूरी ज्ञात करने का एक सूत्र है।

बिंदु $M_0$ से समतल तक की दूरी ज्ञात करने के लिए सामान्य एल्गोरिदम

यदि समतल का समीकरण सामान्य रूप में नहीं दिया गया है, तो पहले आपको इसे सामान्य रूप में लाना होगा।
इसके बाद से व्यक्त करना जरूरी है सामान्य समीकरणसमतल, बिंदु $M_0$ के माध्यम से दिए गए समतल का सामान्य वेक्टर और दिए गए समतल से संबंधित एक बिंदु, इसके लिए हमें समानता $(3)$ का उपयोग करने की आवश्यकता है;
अगला चरण सूत्र $(2)$ का उपयोग करके विमान के इकाई सामान्य वेक्टर के निर्देशांक की खोज करना है।
अंत में, आप बिंदु से समतल तक की दूरी ज्ञात करना शुरू कर सकते हैं, यह वैक्टर $\vec(n)$ और $\vec(M_1M_0)$ के अदिश उत्पाद की गणना करके किया जाता है।

समांतरता और लंबवतता की शर्तें

1°. दो तलों की समतलीयता के लिए शर्त

मान लीजिए दो विमान दिए गए हैं:

ए 1 एक्स + बी 1 य + सी 1 जेड + डी 1 = 0, एन 1 = {ए 1 ; बी 1 ; सी 1 } ≠ 0 ;(1)

ए 2 एक्स + बी 2 य + सी 2 जेड + डी 2 = 0, एन 2 = {ए 2 ; बी 2 ; सी 2 } ≠ 0 .(2)

वे समतलीय (अर्थात समानांतर या संपाती) कब होते हैं? जाहिर है, ऐसा तभी होगा जब उनके सामान्य सदिश संरेख हों। समतलीयता मानदंड को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं

वाक्य 1.दो तल समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनके सामान्य सदिशों का क्रॉस उत्पाद शून्य सदिश के बराबर हो:

[एन 1 , एन 2 ] = 0 .

2°. दो तलों के संयोग की शर्त

प्रस्ताव 2.समतल (1) और (2) संयोग करते हैं यदि और केवल यदि उनके सभी चार गुणांक आनुपातिक हों, अर्थात, एक संख्या λ ऐसी हो कि

ए 2 = λ ए 1 , बी 2 = λ बी 1 , सी 2 = λ सी 1 , डी 2 = λ डी 1 . (3)

सबूत।शर्तों (3) को पूरा होने दें। फिर दूसरे तल का समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है:

λ ए 1 एक्स + λ बी 1 य + λ सी 1 जेड + λ डी 1 = 0.

λ ≠ 0, अन्यथा यह होता ए 2 = बी 2 = सी 2 = डी 2 = 0, जो शर्त का खंडन करता है एन 2 ≠ 0 . इसलिए, अंतिम समीकरण समीकरण (1) के बराबर है, जिसका अर्थ है कि दोनों तल संपाती हैं।

इसके विपरीत, आइए अब जानते हैं कि ये तल संपाती हैं। तब उनके सामान्य सदिश संरेख होते हैं, अर्थात एक संख्या λ ऐसी होती है

ए 2 = λ ए 1 , बी 2 = λ बी 1 , सी 2 = λ सी 1 .

समीकरण (2) को अब इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

λ ए 1 एक्स + λ बी 1 य + λ सी 1 जेड + डी 2 = 0.

समीकरण (1) को λ से गुणा करने पर, हमें पहले तल का एक समतुल्य समीकरण प्राप्त होता है (चूंकि λ ≠ 0):

λ ए 1 एक्स + λ बी 1 य + λ सी 1 जेड + λ डी 1 = 0.

आइए कुछ बिंदु लें ( एक्स 0 , य 0 , जेड 0) पहले (और इसलिए दूसरे) तल से और इसके निर्देशांकों को अंतिम दो समीकरणों में प्रतिस्थापित करें; हमें सही समानताएँ मिलती हैं:

λ ए 1 एक्स 0 + λ बी 1 य 0 + λ सी 1 जेड 0 + डी 2 = 0 ;

λ ए 1 एक्स 0 + λ बी 1 य 0 + λ सी 1 जेड 0 + λ डी 1 = 0.

ऊपरी में से निचला घटाने पर हमें प्राप्त होता है डी 2 - λ डी 1 = 0, यानी डी 2 = λ डी 1, क्यूईडी.

3°. दो तलों की लंबवतता के लिए शर्त

जाहिर है, इसके लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सामान्य वेक्टर लंबवत हों।

प्रस्ताव 3.दो तल लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि सामान्य सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य हो:

(एन 1 , एन 2) = 0 .

मान लीजिए समतल समीकरण दिया गया है

कुल्हाड़ी + द्वारा + Cz + डी = 0, एन = {ए; बी; सी} ≠ 0 ,

और अवधि एम 0 = (एक्स 0 , य 0 , जेड 0). आइए हम एक बिंदु से एक समतल तक की दूरी का सूत्र प्राप्त करें:

आइए एक मनमाना बिंदु लें क्यू = (एक्स 1 , य 1 , जेड 1), इस विमान में लेटा हुआ। इसके निर्देशांक समतल समीकरण को संतुष्ट करते हैं:

कुल्हाड़ी 1 + द्वारा 1 + Cz 1 + डी = 0.

आइए अब ध्यान दें कि आवश्यक दूरी डीवेक्टर प्रक्षेपण के निरपेक्ष मान के बराबर वेक्टर की दिशा में एन (यहाँ हम प्रक्षेपण को एक संख्यात्मक मात्रा के रूप में लेते हैं न कि एक वेक्टर के रूप में)। अगला, हम प्रक्षेपण की गणना के लिए सूत्र लागू करते हैं:

इसी प्रकार का सूत्र दूरी के लिए भी मान्य है डीबिंदु से एम 0 = (एक्स 0 , य 0) सामान्य समीकरण द्वारा दी गई सीधी रेखा पर समतल कुल्हाड़ी + द्वारा + सी = 0.

चलो एक हवाई जहाज़ हो . आइए एक सामान्य चित्र बनाएं
निर्देशांक O की उत्पत्ति के माध्यम से दिया गया
– अभिलंब द्वारा निर्मित कोण समन्वय अक्षों के साथ.
. होने देना - सामान्य खंड की लंबाई
जब तक यह विमान के साथ प्रतिच्छेद न कर ले। यह मानते हुए कि सामान्य की दिशा कोसाइन ज्ञात है , हम समतल का समीकरण प्राप्त करते हैं .

होने देना
) समतल पर एक मनमाना बिंदु है। इकाई सामान्य वेक्टर में निर्देशांक होते हैं। आइए वेक्टर का प्रक्षेपण खोजें
सामान्य से.

बिंदु के बाद से एमफिर, विमान से संबंधित है

यह किसी दिए गए समतल का समीकरण कहलाता है सामान्य .

बिंदु से समतल तक की दूरी

एक हवाई जहाज़ दे दिया जाए ,एम*
-अंतरिक्ष में बिंदु, डी - विमान से इसकी दूरी.

परिभाषा। विचलन अंक एम*समतल से संख्या कहलाती है ( + डी), अगर एम* समतल के दूसरी ओर स्थित है जहां सामान्य बिंदुओं की सकारात्मक दिशा होती है , और संख्या (- डी), यदि बिंदु समतल के दूसरी ओर स्थित है:

प्रमेय. चलो हवाई जहाज़ यूनिट सामान्य के साथ सामान्य समीकरण द्वारा दिया गया:

होने देना एम*
– अंतरिक्ष में बिंदु विचलन टी. एम*तल से अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है

सबूत।प्रक्षेपण टी.
* हम सामान्य से निरूपित करते हैं क्यू. बिंदु विचलन एम*समतल से बराबर है

नियम।ढूँढ़ने के लिए विचलन टी। एम* समतल से, आपको निर्देशांक t को समतल के सामान्य समीकरण में प्रतिस्थापित करना होगा। एम* . एक बिंदु से एक समतल की दूरी है .

सामान्य समतल समीकरण को सामान्य रूप में कम करना

मान लीजिए कि एक ही तल को दो समीकरणों द्वारा परिभाषित किया गया है:

सामान्य समीकरण

सामान्य समीकरण.

चूँकि दोनों समीकरण एक ही तल को परिभाषित करते हैं, उनके गुणांक आनुपातिक हैं:

आइए पहले तीन समानताओं का वर्ग करें और उन्हें जोड़ें:

यहां से हम ढूंढ लेंगे - सामान्यीकरण कारक:

. (10)

समतल के सामान्य समीकरण को सामान्यीकरण कारक से गुणा करने पर, हमें समतल का सामान्य समीकरण प्राप्त होता है:

"विमान" विषय पर समस्याओं के उदाहरण।

उदाहरण 1।समतल का एक समीकरण बनाएं किसी दिए गए बिंदु से गुजरना
(2,1,-1) और समतल के समानांतर।

समाधान. विमान के लिए सामान्य :
. चूंकि विमान समानांतर हैं, तो सामान्य वांछित तल के लिए भी सामान्य है . किसी दिए गए बिंदु (3) से गुजरने वाले विमान के समीकरण का उपयोग करके, हम विमान के लिए समीकरण प्राप्त करते हैं समीकरण:

उत्तर:

उदाहरण 2.एक लंब का आधार मूल बिंदु से एक तल पर गिरा दिया गया , मुद्दा यह है
. समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए .

समाधान. वेक्टर
विमान के लिए सामान्य है . डॉट एम 0 विमान का है. आप किसी दिए गए बिंदु (3) से गुजरने वाले विमान के समीकरण का उपयोग कर सकते हैं:

उत्तर:

उदाहरण 3.विमान का निर्माण , बिंदुओं से गुज़रना

और विमान के लंबवत :.

इसलिए, कुछ बिंदु के लिए एम (एक्स, य, जेड) विमान का था , यह आवश्यक है कि तीन वैक्टर
समतलीय थे:

=0.

यह निर्धारक को प्रकट करने और परिणामी अभिव्यक्ति को सामान्य समीकरण (1) के रूप में लाने के लिए बना हुआ है।

उदाहरण 4.विमान सामान्य समीकरण द्वारा दिया गया है:

बिंदु विचलन ज्ञात करें
किसी दिए गए विमान से.

समाधान. आइए समतल के समीकरण को सामान्य रूप में लाएं।

आइए परिणामी सामान्य समीकरण में बिंदु के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें एम*.

उत्तर:
.

उदाहरण 5.क्या समतल खंड को काटता है?

समाधान. कटौती करने के लिए अबविमान को पार किया, विचलन और विमान से अलग-अलग संकेत होने चाहिए:

उदाहरण 6.एक बिंदु पर तीन तलों का प्रतिच्छेदन।

प्रणाली का एक अनूठा समाधान है, इसलिए, तीनों तलों में एक उभयनिष्ठ बिंदु है।

उदाहरण 7.दो दिए गए समतलों से बने एक द्विफलकीय कोण के समद्विभाजक ज्ञात करना।

होने देना और - किसी बिंदु का विचलन
पहले और दूसरे तल से.

द्विभाजक तलों में से एक पर (उस कोण के अनुरूप जिसमें निर्देशांक की उत्पत्ति निहित है) ये विचलन परिमाण और चिह्न में बराबर हैं, और दूसरे पर वे परिमाण में समान और चिह्न में विपरीत हैं।

यह प्रथम द्विभाजक तल का समीकरण है।

यह दूसरे द्विभाजक तल का समीकरण है।

उदाहरण 8.दो दिए गए बिंदुओं का स्थान निर्धारित करना और इन तलों द्वारा निर्मित डायहेड्रल कोणों के सापेक्ष।