क्या आपको ऐसा लगता है कि परीक्षा से पहले अभी भी बहुत समय है? क्या यह एक महीना है? दो? वर्ष? अभ्यास से पता चलता है कि एक छात्र परीक्षा का सबसे अच्छा सामना करता है यदि वह पहले से इसकी तैयारी शुरू कर दे। एकीकृत राज्य परीक्षा में कई कठिन कार्य हैं जो स्कूली बच्चों और भविष्य के आवेदकों को उच्चतम अंक प्राप्त करने के रास्ते में आते हैं। आपको इन बाधाओं को दूर करना सीखना होगा, और इसके अलावा, यह करना मुश्किल नहीं है। आपको टिकटों से लेकर विभिन्न कार्यों के साथ काम करने के सिद्धांत को समझने की आवश्यकता है। फिर नये लोगों को कोई परेशानी नहीं होगी.

पहली नज़र में लघुगणक अविश्वसनीय रूप से जटिल लगते हैं, लेकिन विस्तृत विश्लेषण के साथ स्थिति बहुत सरल हो जाती है। यदि आप यूनिफाइड स्टेट परीक्षा देना चाहते हैं उच्चतम अंक, आपको विचाराधीन अवधारणा को समझना चाहिए, जिसे हम इस लेख में करने का प्रस्ताव करते हैं।

सबसे पहले, आइए इन परिभाषाओं को अलग करें। लघुगणक (लॉग) क्या है? यह उस शक्ति का सूचक है जिस तक निर्दिष्ट संख्या प्राप्त करने के लिए आधार को ऊपर उठाया जाना चाहिए। यदि यह स्पष्ट नहीं है, तो आइए एक प्रारंभिक उदाहरण देखें।

इस मामले में, संख्या 4 प्राप्त करने के लिए नीचे के आधार को दूसरी शक्ति तक उठाया जाना चाहिए।

अब आइए दूसरी अवधारणा पर नजर डालें। किसी भी रूप में किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक अवधारणा है जो किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के परिवर्तन को दर्शाता है। हालाँकि, यह स्कूल कार्यक्रम, और यदि आपको व्यक्तिगत रूप से इन अवधारणाओं से समस्या है, तो विषय को दोहराना उचित है।

लघुगणक का व्युत्पन्न

में एकीकृत राज्य परीक्षा असाइनमेंटइस विषय पर अनेक समस्याओं को उदाहरण के रूप में दिया जा सकता है। आरंभ करने के लिए, सबसे सरल लघुगणकीय व्युत्पन्न। निम्नलिखित फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजना आवश्यक है।

हमें अगला व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है

एक खास फॉर्मूला है.

इस मामले में x=u, log3x=v. हम अपने फ़ंक्शन से मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

x का अवकलज एक के बराबर होगा। लघुगणक थोड़ा अधिक कठिन है. लेकिन यदि आप केवल मूल्यों को प्रतिस्थापित कर दें तो आप सिद्धांत को समझ जायेंगे। याद रखें कि lg x का व्युत्पन्न दशमलव लघुगणक का व्युत्पन्न है, और ln x का व्युत्पन्न प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न है (e पर आधारित)।

अब बस परिणामी मानों को सूत्र में प्लग करें। इसे स्वयं आज़माएँ, फिर हम उत्तर की जाँच करेंगे।

यहां कुछ लोगों के लिए क्या समस्या हो सकती है? हमने अवधारणा पेश की प्राकृतिक. आइए इसके बारे में बात करें और साथ ही यह पता लगाएं कि इससे जुड़ी समस्याओं को कैसे हल किया जाए। आपको कुछ भी जटिल नहीं दिखेगा, खासकर जब आप इसके संचालन के सिद्धांत को समझते हैं। आपको इसकी आदत डाल लेनी चाहिए, क्योंकि इसका प्रयोग अक्सर गणित (उच्चतर) में किया जाता है शिक्षण संस्थानोंविशेष रूप से)।

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न

इसके मूल में, यह आधार ई (जो एक अपरिमेय संख्या है जो लगभग 2.7 है) के लघुगणक का व्युत्पन्न है। वास्तव में, एलएन बहुत सरल है, इसलिए इसका उपयोग सामान्यतः गणित में किया जाता है। दरअसल, इससे समस्या का समाधान भी कोई समस्या नहीं होगी। यह याद रखने योग्य है कि आधार ई पर प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न x से विभाजित एक के बराबर होगा। निम्नलिखित उदाहरण का समाधान सबसे अधिक स्पष्ट होगा।

आइए इसे दो सरल कार्यों से मिलकर बने एक जटिल कार्य के रूप में कल्पना करें।

यह परिवर्तित करने के लिए पर्याप्त है

हम x के संबंध में u के अवकलज की तलाश कर रहे हैं

आइए दूसरे के साथ जारी रखें

हम u=nx को प्रतिस्थापित करके एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को हल करने की विधि का उपयोग करते हैं।

अंत में क्या हुआ?

अब आइए याद करें कि इस उदाहरण में n का क्या मतलब है? यह कोई भी संख्या है जो प्राकृतिक लघुगणक में x के सामने आ सकती है। आपके लिए यह समझना महत्वपूर्ण है कि उत्तर उस पर निर्भर नहीं है। जो भी आपको पसंद हो उसे प्रतिस्थापित करें, उत्तर अभी भी 1/x ही होगा।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां कुछ भी जटिल नहीं है, आपको बस इस विषय पर समस्याओं को शीघ्र और प्रभावी ढंग से हल करने के सिद्धांत को समझने की आवश्यकता है। अब आप सिद्धांत जान गए हैं, आपको बस इसे अभ्यास में लाना है। समस्याओं को हल करने का सिद्धांत लंबे समय तक याद रखने के लिए उन्हें हल करने का अभ्यास करें। स्कूल से स्नातक होने के बाद आपको इस ज्ञान की आवश्यकता नहीं हो सकती है, लेकिन परीक्षा में यह पहले से कहीं अधिक प्रासंगिक होगी। आप सौभाग्यशाली हों!

लघुगणकीय व्युत्पन्न का उपयोग करके व्युत्पन्न की गणना के उदाहरण दिए गए हैं।

सामग्री

यह सभी देखें: प्राकृतिक लघुगणक के गुण

समाधान विधि

होने देना
(1)
चर x का एक अवकलनीय फलन है। सबसे पहले, हम इसे मान x के सेट पर विचार करेंगे जिसके लिए y सकारात्मक मान लेता है:। निम्नलिखित में, हम दिखाएंगे कि प्राप्त सभी परिणाम नकारात्मक मूल्यों के लिए भी लागू होते हैं।

कुछ मामलों में, फ़ंक्शन (1) का व्युत्पन्न खोजने के लिए, इसे पूर्व-लघुगणक करना सुविधाजनक होता है
,
और फिर व्युत्पन्न की गणना करें। फिर, एक जटिल फलन के विभेदन के नियम के अनुसार,
.
यहाँ से
(2) .

किसी फ़ंक्शन के लघुगणक के व्युत्पन्न को लघुगणक व्युत्पन्न कहा जाता है:
.

फ़ंक्शन y = का लघुगणकीय व्युत्पन्न एफ(एक्स)इस फ़ंक्शन के प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न है: (एलएन एफ(एक्स))′.

नकारात्मक y मान का मामला

अब उस मामले पर विचार करें जब एक चर सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान ले सकता है। इस मामले में, मापांक का लघुगणक लें और इसका व्युत्पन्न खोजें:
.
यहाँ से
(3) .
अर्थात्, सामान्य स्थिति में, आपको फ़ंक्शन के मापांक के लघुगणक का व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है।

(2) और (3) की तुलना करने पर हमें मिलता है:
.
अर्थात्, लघुगणकीय व्युत्पन्न की गणना का औपचारिक परिणाम इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि हमने मॉड्यूलो लिया है या नहीं। इसलिए, लघुगणकीय व्युत्पन्न की गणना करते समय, हमें इस बात की चिंता करने की ज़रूरत नहीं है कि फ़ंक्शन में कौन सा चिह्न है।

जटिल संख्याओं का उपयोग करके इस स्थिति को स्पष्ट किया जा सकता है। मान लीजिए, x के कुछ मानों के लिए, ऋणात्मक है: . यदि हम केवल विचार करें वास्तविक संख्या, तो फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है। हालाँकि, अगर हम विचार में परिचय दें जटिल आंकड़े, तो हमें निम्नलिखित मिलता है:
.
अर्थात्, कार्य और एक जटिल स्थिरांक से भिन्न होते हैं:
.
चूँकि किसी स्थिरांक का अवकलज शून्य है, तो
.

लघुगणकीय व्युत्पन्न की संपत्ति

इस प्रकार के विचार से यह निष्कर्ष निकलता है यदि आप फ़ंक्शन को किसी मनमाने स्थिरांक से गुणा करते हैं तो लघुगणकीय व्युत्पन्न नहीं बदलेगा :
.
वास्तव में, उपयोग कर रहे हैं लघुगणक के गुण, सूत्र व्युत्पन्न योगऔर एक स्थिरांक का व्युत्पन्न, हमारे पास है:

.

लघुगणकीय व्युत्पन्न का अनुप्रयोग

ऐसे मामलों में लॉगरिदमिक व्युत्पन्न का उपयोग करना सुविधाजनक होता है जहां मूल फ़ंक्शन में शक्ति या घातीय फ़ंक्शन का उत्पाद होता है। इस मामले में, लघुगणक ऑपरेशन कार्यों के उत्पाद को उनके योग में बदल देता है। इससे व्युत्पन्न की गणना सरल हो जाती है।

उदाहरण 1

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
.

आइए मूल फ़ंक्शन का लघुगणक करें:
.

आइए वेरिएबल x के संबंध में अंतर करें।
डेरिवेटिव की तालिका में हम पाते हैं:
.
हम जटिल कार्यों के विभेदन का नियम लागू करते हैं।
;
;
;
;
(ए1.1) .
गुणा करके:

.

तो, हमने लघुगणकीय व्युत्पन्न पाया:
.
यहां से हम मूल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं:
.

टिप्पणी

यदि हम केवल वास्तविक संख्याओं का उपयोग करना चाहते हैं, तो हमें मूल फ़ंक्शन के मापांक का लघुगणक लेना चाहिए:
.
तब
;
.
और हमें सूत्र (A1.1) मिला। इसलिए परिणाम नहीं बदला है.

उदाहरण 2

लघुगणकीय व्युत्पन्न का उपयोग करके, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
.

आइए लघुगणक लें:
(ए2.1) .
चर x के संबंध में अंतर करें:
;
;

;
;
;
.

गुणा करके:
.
यहाँ से हमें लघुगणकीय व्युत्पन्न मिलता है:
.

मूल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न:
.

टिप्पणी

यहां मूल कार्य गैर-नकारात्मक है:। इसे यहां परिभाषित किया गया है। यदि हम यह नहीं मानते हैं कि तर्क के नकारात्मक मानों के लिए लघुगणक को परिभाषित किया जा सकता है, तो सूत्र (A2.1) को निम्नानुसार लिखा जाना चाहिए:
.
क्योंकि

और
,
इससे अंतिम परिणाम पर कोई असर नहीं पड़ेगा.

उदाहरण 3

व्युत्पन्न खोजें
.

हम लघुगणकीय व्युत्पन्न का उपयोग करके विभेदन करते हैं। आइए इसे ध्यान में रखते हुए एक लघुगणक लें:
(ए3.1) .

विभेदन करके, हम लघुगणकीय व्युत्पन्न प्राप्त करते हैं।
;
;
;
(ए3.2) .

के बाद से

.

टिप्पणी

आइए हम इस धारणा के बिना गणना करें कि तर्क के नकारात्मक मूल्यों के लिए लघुगणक को परिभाषित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, मूल फ़ंक्शन के मापांक का लघुगणक लें:
.
फिर (A3.1) के बजाय हमारे पास है:
;

.
(ए3.2) से तुलना करने पर हम देखते हैं कि परिणाम नहीं बदला है।

यह सभी देखें:

जटिल व्युत्पन्न. लघुगणकीय व्युत्पन्न.
शक्ति-घातांकीय फलन का व्युत्पन्न

हम अपनी विभेदीकरण तकनीक में सुधार करना जारी रखते हैं। इस पाठ में, हम अपने द्वारा कवर की गई सामग्री को समेकित करेंगे, अधिक जटिल व्युत्पन्नों को देखेंगे, और व्युत्पन्न खोजने के लिए नई तकनीकों और युक्तियों से भी परिचित होंगे, विशेष रूप से, लघुगणकीय व्युत्पन्न के साथ।

जिन पाठकों के पास तैयारी का स्तर कम है, उन्हें लेख का संदर्भ लेना चाहिए व्युत्पन्न कैसे खोजें? समाधान के उदाहरण, जो आपको अपने कौशल को लगभग शून्य से ऊपर उठाने की अनुमति देगा। इसके बाद, आपको पृष्ठ का सावधानीपूर्वक अध्ययन करने की आवश्यकता है एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न, समझें और समाधान करें सभीमैंने जो उदाहरण दिये. यह पाठ तार्किक रूप से तीसरा है, और इसमें महारत हासिल करने के बाद आप आत्मविश्वास से काफी जटिल कार्यों में अंतर कर पाएंगे। "और कहाँ?" की स्थिति लेना अवांछनीय है। यह काफी है!", क्योंकि सभी उदाहरण और समाधान वास्तविक परीक्षणों से लिए गए हैं और अक्सर व्यवहार में सामने आते हैं।

आइए दोहराव से शुरू करें। सबक पर एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्नहमने विस्तृत टिप्पणियों के साथ कई उदाहरण देखे। डिफरेंशियल कैलकुलस और गणितीय विश्लेषण की अन्य शाखाओं के अध्ययन के दौरान, आपको अक्सर अंतर करना होगा, और उदाहरणों का विस्तृत विवरण देना हमेशा सुविधाजनक नहीं होता (और हमेशा आवश्यक भी नहीं)। इसलिए, हम मौखिक रूप से डेरिवेटिव खोजने का अभ्यास करेंगे। इसके लिए सबसे उपयुक्त "उम्मीदवार" सबसे सरल जटिल कार्यों के व्युत्पन्न हैं, उदाहरण के लिए:

जटिल कार्यों के विभेदन के नियम के अनुसार :

भविष्य में अन्य मटन विषयों का अध्ययन करते समय, ऐसी विस्तृत रिकॉर्डिंग की अक्सर आवश्यकता नहीं होती है, यह माना जाता है कि छात्र जानता है कि ऑटोपायलट पर ऐसे डेरिवेटिव कैसे खोजें। आइए कल्पना करें कि सुबह 3 बजे फोन की घंटी बजी और एक सुखद आवाज ने पूछा: "दो एक्स की स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न क्या है?" इसके बाद लगभग तुरंत और विनम्र प्रतिक्रिया दी जानी चाहिए: .

पहला उदाहरण तुरंत अभिप्रेत होगा स्वतंत्र निर्णय.

उदाहरण 1

उदाहरण के लिए, एक क्रिया में निम्नलिखित व्युत्पन्नों को मौखिक रूप से खोजें:। कार्य को पूरा करने के लिए आपको केवल उपयोग करने की आवश्यकता है प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न की तालिका(यदि आपने इसे अभी तक याद नहीं किया है)। यदि आपको कोई कठिनाई हो तो मैं पाठ को दोबारा पढ़ने की सलाह देता हूँ एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न.

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पाठ के अंत में उत्तर

जटिल व्युत्पन्न

प्रारंभिक तोपखाने की तैयारी के बाद, कार्यों के 3-4-5 नेस्टिंग वाले उदाहरण कम डरावने होंगे। निम्नलिखित दो उदाहरण कुछ लोगों को जटिल लग सकते हैं, लेकिन यदि आप उन्हें समझते हैं (किसी को कष्ट होगा), तो अंतर कलन में लगभग बाकी सब कुछ बच्चों के मजाक जैसा लगेगा।

उदाहरण 2

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, किसी जटिल फलन का व्युत्पन्न ज्ञात करते समय, सबसे पहले, यह आवश्यक है सहीअपने निवेश को समझें. ऐसे मामलों में जहां संदेह हैं, मैं आपको एक उपयोगी तकनीक की याद दिलाता हूं: उदाहरण के लिए, हम "x" का प्रयोगात्मक मान लेते हैं, और इस मान को "भयानक अभिव्यक्ति" में प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं (मानसिक रूप से या ड्राफ्ट में)।

1) सबसे पहले हमें अभिव्यक्ति की गणना करने की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है कि योग सबसे गहरा एम्बेडिंग है।

2) फिर आपको लघुगणक की गणना करने की आवश्यकता है:

4) फिर कोज्या का घन करें:

5) पांचवें चरण में अंतर:

6) और अंत में, सबसे बाहरी कार्य वर्गमूल है:

किसी जटिल फ़ंक्शन को विभेदित करने का सूत्र बाहरीतम कार्य से लेकर अंतरतम तक उल्टे क्रम में लागू किया जाता है। हमने निर्णय किया:

ऐसा प्रतीत होता है कि कोई त्रुटि नहीं है...

(1) वर्गमूल का अवकलज लीजिए।

(2) हम नियम का उपयोग करके अंतर का व्युत्पन्न लेते हैं

(3) त्रिक का व्युत्पन्न शून्य है। दूसरे पद में हम घात (घन) का अवकलज लेते हैं।

(4) कोसाइन का व्युत्पन्न लें।

(5) लघुगणक का अवकलज लीजिए।

(6) और अंत में, हम सबसे गहरे एम्बेडिंग का व्युत्पन्न लेते हैं।

यह बहुत कठिन लग सकता है, लेकिन यह सबसे क्रूर उदाहरण नहीं है। उदाहरण के लिए, कुज़नेत्सोव के संग्रह को लें और आप विश्लेषण किए गए व्युत्पन्न की सभी सुंदरता और सादगी की सराहना करेंगे। मैंने देखा कि वे परीक्षा में इसी तरह की चीज़ देना पसंद करते हैं ताकि यह जांचा जा सके कि क्या कोई छात्र किसी जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढना समझता है या नहीं समझता है।

निम्नलिखित उदाहरण आपके लिए स्वयं हल करने के लिए है।

उदाहरण 3

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

संकेत: सबसे पहले हम रैखिकता नियम और उत्पाद विभेदन नियम लागू करते हैं

संपूर्ण समाधानऔर पाठ के अंत में उत्तर।

अब कुछ छोटी और अच्छी चीज़ की ओर बढ़ने का समय आ गया है।
किसी उदाहरण में दो नहीं, बल्कि तीन कार्यों का गुणनफल दिखाना कोई असामान्य बात नहीं है। तीन कारकों के उत्पाद का व्युत्पन्न कैसे खोजें?

उदाहरण 4

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

पहले हम देखते हैं, क्या तीन कार्यों के उत्पाद को दो कार्यों के उत्पाद में बदलना संभव है? उदाहरण के लिए, यदि हमारे उत्पाद में दो बहुपद हैं, तो हम कोष्ठक खोल सकते हैं। लेकिन विचाराधीन उदाहरण में, सभी फ़ंक्शन अलग-अलग हैं: डिग्री, घातांक और लघुगणक।

ऐसे में यह जरूरी है क्रमिक रूप सेउत्पाद विभेदन नियम लागू करें दो बार

चाल यह है कि "y" से हम दो कार्यों के उत्पाद को दर्शाते हैं:, और "ve" से हम लघुगणक को दर्शाते हैं:। ऐसा क्यों किया जा सकता है? सच्ची में – यह दो कारकों का उत्पाद नहीं है और नियम काम नहीं करता है?! इसमें कुछ भी जटिल नहीं है:

अब नियम को दूसरी बार लागू करना बाकी है ब्रैकेट में:

आप मुड़ भी सकते हैं और कोष्ठक से कुछ निकाल भी सकते हैं, लेकिन इस मामले में उत्तर को ठीक इसी रूप में छोड़ना बेहतर है - इसे जांचना आसान होगा।

विचारित उदाहरण को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है:

दोनों समाधान बिल्कुल समतुल्य हैं.

उदाहरण 5

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है; नमूने में इसे पहली विधि का उपयोग करके हल किया गया है।

आइए भिन्नों वाले समान उदाहरण देखें।

उदाहरण 6

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

आप यहां कई तरीकों से जा सकते हैं:

या इस तरह:

लेकिन यदि हम पहले भागफल के विभेदन के नियम का उपयोग करें तो समाधान अधिक सघनता से लिखा जाएगा , संपूर्ण अंश के लिए लेते हुए:

सिद्धांत रूप में, उदाहरण हल हो गया है, और यदि इसे वैसे ही छोड़ दिया जाए, तो कोई त्रुटि नहीं होगी। लेकिन यदि आपके पास समय है, तो यह हमेशा सलाह दी जाती है कि ड्राफ्ट पर जांच कर लें कि क्या उत्तर को सरल बनाया जा सकता है? आइए हम अंश के व्यंजक को एक सामान्य हर में घटाएँ और आइए तीन मंजिला अंश से छुटकारा पाएं:

अतिरिक्त सरलीकरण का नुकसान यह है कि व्युत्पन्न खोजने के दौरान त्रुटि होने का जोखिम नहीं होता है, बल्कि सामान्य स्कूल परिवर्तनों के दौरान त्रुटि होने का जोखिम होता है। दूसरी ओर, शिक्षक अक्सर असाइनमेंट को अस्वीकार कर देते हैं और व्युत्पन्न को "दिमाग में लाने" के लिए कहते हैं।

स्वयं हल करने के लिए एक सरल उदाहरण:

उदाहरण 7

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

हम व्युत्पन्न खोजने के तरीकों में महारत हासिल करना जारी रखते हैं, और अब हम एक विशिष्ट मामले पर विचार करेंगे जब विभेदन के लिए "भयानक" लघुगणक प्रस्तावित किया जाता है

उदाहरण 8

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यहां आप एक जटिल फ़ंक्शन को अलग करने के नियम का उपयोग करके लंबा रास्ता तय कर सकते हैं:

लेकिन पहला कदम तुरंत आपको निराशा में डुबो देता है - आपको एक भिन्नात्मक शक्ति से अप्रिय व्युत्पन्न लेना होगा, और फिर एक अंश से भी।

इसीलिए पहले"परिष्कृत" लघुगणक का व्युत्पन्न कैसे लें, इसे पहले प्रसिद्ध स्कूल गुणों का उपयोग करके सरल बनाया गया है:

! यदि आपके पास अभ्यास नोटबुक है, तो इन सूत्रों को सीधे वहां कॉपी करें। यदि आपके पास नोटबुक नहीं है, तो उन्हें कागज के एक टुकड़े पर कॉपी करें, क्योंकि पाठ के शेष उदाहरण इन सूत्रों के इर्द-गिर्द घूमेंगे।

समाधान स्वयं कुछ इस प्रकार लिखा जा सकता है:

आइए फ़ंक्शन को रूपांतरित करें:

व्युत्पन्न ढूँढना:

फ़ंक्शन को पूर्व-रूपांतरित करने से समाधान बहुत सरल हो गया। इस प्रकार, जब विभेदन के लिए एक समान लघुगणक प्रस्तावित किया जाता है, तो हमेशा "इसे तोड़ने" की सलाह दी जाती है।

और अब आपके लिए स्वयं हल करने के लिए कुछ सरल उदाहरण:

उदाहरण 9

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

उदाहरण 10

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

सभी परिवर्तन और उत्तर पाठ के अंत में हैं।

लघुगणकीय व्युत्पन्न

यदि लघुगणक का व्युत्पन्न इतना मधुर संगीत है, तो प्रश्न उठता है: क्या कुछ मामलों में लघुगणक को कृत्रिम रूप से व्यवस्थित करना संभव है? कर सकना! और आवश्यक भी.

उदाहरण 11

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

हमने हाल ही में ऐसे ही उदाहरण देखे। क्या करें? आप क्रमिक रूप से भागफल के विभेदन के नियम को लागू कर सकते हैं, और फिर उत्पाद के विभेदन के नियम को लागू कर सकते हैं। इस पद्धति का नुकसान यह है कि आपके पास एक बड़ा तीन-मंजिला अंश रह जाता है, जिससे आप बिल्कुल भी निपटना नहीं चाहते हैं।

लेकिन सिद्धांत और व्यवहार में लघुगणकीय व्युत्पन्न जैसी एक अद्भुत चीज़ है। लघुगणक को दोनों तरफ "लटकाकर" कृत्रिम रूप से व्यवस्थित किया जा सकता है:

टिप्पणी : क्योंकि कोई फ़ंक्शन नकारात्मक मान ले सकता है, तो, सामान्यतया, आपको मॉड्यूल का उपयोग करने की आवश्यकता है: , जो भेदभाव के परिणामस्वरूप गायब हो जाएगा। हालाँकि, वर्तमान डिज़ाइन भी स्वीकार्य है, जहाँ डिफ़ॉल्ट रूप से इसे ध्यान में रखा जाता है जटिलअर्थ. लेकिन अगर पूरी सख्ती से देखा जाए तो दोनों ही मामलों में आरक्षण किया जाना चाहिए.

अब आपको यथासंभव दाईं ओर के लघुगणक को "तोड़ने" की आवश्यकता है (सूत्र आपकी आंखों के सामने?)। मैं इस प्रक्रिया का विस्तार से वर्णन करूंगा:

आइए भेदभाव से शुरू करें।
हम दोनों भागों को अभाज्य के अंतर्गत समाप्त करते हैं:

दाहिनी ओर का व्युत्पन्न काफी सरल है; मैं इस पर टिप्पणी नहीं करूंगा, क्योंकि यदि आप इस पाठ को पढ़ रहे हैं, तो आपको इसे आत्मविश्वास से संभालने में सक्षम होना चाहिए।

बाईं ओर के बारे में क्या?

बाईं ओर हमारे पास है जटिल कार्य. मुझे इस प्रश्न का पूर्वाभास है: "क्यों, क्या लघुगणक के अंतर्गत एक अक्षर "Y" है?"

तथ्य यह है कि यह "एक अक्षर का खेल" - यह स्वयं एक कार्य है(यदि यह बहुत स्पष्ट नहीं है, तो लेख एक अंतर्निहित निर्दिष्ट फ़ंक्शन का व्युत्पन्न देखें)। इसलिए, लघुगणक एक बाहरी फ़ंक्शन है, और "y" एक आंतरिक फ़ंक्शन है। और हम किसी जटिल फ़ंक्शन को विभेदित करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं :

बाईं ओर, मानो जादू से, हमारे पास एक व्युत्पन्न है। अगला, अनुपात के नियम के अनुसार, हम "y" को बाईं ओर के हर से दाईं ओर के शीर्ष पर स्थानांतरित करते हैं:

और अब आइए याद करें कि विभेदीकरण के दौरान हमने किस प्रकार के "खिलाड़ी"-कार्य के बारे में बात की थी? आइए स्थिति पर नजर डालें:

अंतिम उत्तर:

उदाहरण 12

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। इस प्रकार के उदाहरण का एक नमूना डिज़ाइन पाठ के अंत में है।

लघुगणकीय व्युत्पन्न का उपयोग करके किसी भी उदाहरण संख्या 4-7 को हल करना संभव था, दूसरी बात यह है कि वहां के कार्य सरल हैं, और, शायद, लघुगणकीय व्युत्पन्न का उपयोग बहुत उचित नहीं है।

शक्ति-घातांकीय फलन का व्युत्पन्न

यह फ़ंक्शनहमने अभी तक इस पर गौर नहीं किया है। एक शक्ति-घातांकीय फलन एक ऐसा फलन है जिसके लिए डिग्री और आधार दोनों "x" पर निर्भर करते हैं. एक उत्कृष्ट उदाहरण जो आपको किसी भी पाठ्यपुस्तक या व्याख्यान में दिया जाएगा:

पावर-एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कैसे खोजें?

अभी चर्चा की गई तकनीक का उपयोग करना आवश्यक है - लघुगणकीय व्युत्पन्न। हम दोनों तरफ लघुगणक लटकाते हैं:

एक नियम के रूप में, दाहिनी ओर से डिग्री लघुगणक के नीचे से निकाली जाती है:

परिणामस्वरूप, दाईं ओर हमारे पास दो कार्यों का गुणनफल है, जिन्हें मानक सूत्र के अनुसार विभेदित किया जाएगा .

हम व्युत्पन्न पाते हैं; ऐसा करने के लिए, हम दोनों भागों को स्ट्रोक के नीचे संलग्न करते हैं:

आगे की कार्रवाइयां सरल हैं:

अंत में:

यदि कोई रूपांतरण पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है, तो कृपया उदाहरण संख्या 11 के स्पष्टीकरण को ध्यान से दोबारा पढ़ें।

व्यावहारिक कार्यों में, पावर-एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन हमेशा चर्चा किए गए व्याख्यान उदाहरण की तुलना में अधिक जटिल होगा।

उदाहरण 13

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

हम लघुगणकीय व्युत्पन्न का उपयोग करते हैं।

दाईं ओर हमारे पास एक स्थिरांक और दो कारकों का गुणनफल है - "x" और "लघुगणक x का लघुगणक" (लघुगणक के नीचे एक और लघुगणक निहित है)। विभेदन करते समय, जैसा कि हमें याद है, स्थिरांक को तुरंत व्युत्पन्न चिह्न से बाहर ले जाना बेहतर होता है ताकि यह रास्ते में न आए; और, निःसंदेह, हम परिचित नियम लागू करते हैं :

घातीय शक्ति कार्यों या बोझिल भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को विभेदित करते समय, लघुगणकीय व्युत्पन्न का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। इस लेख में हम विस्तृत समाधानों के साथ इसके अनुप्रयोग के उदाहरण देखेंगे।

आगे की प्रस्तुति में एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए व्युत्पन्न तालिका, विभेदन नियमों और सूत्र के ज्ञान का उपयोग करने की क्षमता शामिल है।

लघुगणकीय व्युत्पन्न के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति।

सबसे पहले, हम लघुगणक को आधार ई पर लेते हैं, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके फ़ंक्शन के रूप को सरल बनाते हैं, और फिर अंतर्निहित रूप से निर्दिष्ट फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढते हैं:

उदाहरण के लिए, आइए एक घातीय घात फ़ंक्शन x का घात x से व्युत्पन्न ज्ञात करें।

लघुगणक लेने पर प्राप्त होता है। लघुगणक के गुणों के अनुसार. समानता के दोनों पक्षों को अलग करने से परिणाम मिलता है:

उत्तर: .

उसी उदाहरण को लघुगणकीय व्युत्पन्न का उपयोग किए बिना हल किया जा सकता है। आप कुछ परिवर्तन कर सकते हैं और एक घातीय शक्ति फ़ंक्शन को अलग करने से लेकर एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की ओर बढ़ सकते हैं:

उदाहरण।

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें .

समाधान।

इस उदाहरण में फ़ंक्शन एक भिन्न है और इसका अवकलज विभेदन के नियमों का उपयोग करके पाया जा सकता है। लेकिन अभिव्यक्ति की बोझिलता के कारण इसमें कई परिवर्तनों की आवश्यकता होगी। ऐसे मामलों में, लघुगणकीय व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग करना अधिक उचित है . क्यों? अब आप समझ जायेंगे.

आइए पहले इसे खोजें. परिवर्तनों में हम लघुगणक के गुणों का उपयोग करेंगे (अंश का लघुगणक लघुगणक के अंतर के बराबर होता है, और उत्पाद का लघुगणक लघुगणक के योग के बराबर होता है, और लघुगणक चिह्न के तहत अभिव्यक्ति की डिग्री हो सकती है) लघुगणक के सामने गुणांक के रूप में निकाला गया):

इन परिवर्तनों ने हमें एक काफी सरल अभिव्यक्ति की ओर अग्रसर किया, जिसका व्युत्पन्न खोजना आसान है:

हम प्राप्त परिणाम को लघुगणकीय व्युत्पन्न के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं:

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम विस्तृत स्पष्टीकरण के बिना कुछ और उदाहरण देंगे।

उदाहरण।

एक घातीय शक्ति फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

प्राकृतिक लघुगणक और आधार के लघुगणक के व्युत्पन्न के लिए सूत्रों का प्रमाण और व्युत्पत्ति। एलएन 2एक्स, एलएन 3एक्स और एलएन एनएक्स के डेरिवेटिव की गणना के उदाहरण। गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके nवें क्रम लघुगणक के व्युत्पन्न के लिए सूत्र का प्रमाण।

सामग्री

यह सभी देखें: लघुगणक - गुण, सूत्र, ग्राफ़
प्राकृतिक लघुगणक - गुण, सूत्र, ग्राफ

प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्पन्न और आधार के लघुगणक के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति

x के प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न x से विभाजित एक के बराबर है:
(1) (एलएन एक्स)′ =.

आधार a के लघुगणक का व्युत्पन्न चर x द्वारा विभाजित एक के प्राकृतिक लघुगणक द्वारा गुणा किए गए एक के बराबर है:
(2) (लॉग ए एक्स)′ =.

सबूत

कुछ होने दो सकारात्मक संख्या, एक के बराबर नहीं. एक चर x पर निर्भर फ़ंक्शन पर विचार करें, जो आधार का लघुगणक है:
.
इस फ़ंक्शन को यहां परिभाषित किया गया है। आइए चर x के संबंध में इसका व्युत्पन्न ज्ञात करें। परिभाषा के अनुसार, व्युत्पन्न निम्नलिखित सीमा है:
(3) .

आइए इस अभिव्यक्ति को ज्ञात गणितीय गुणों और नियमों में परिवर्तित करें। ऐसा करने के लिए हमें निम्नलिखित तथ्यों को जानना होगा:
ए)लघुगणक के गुण. हमें निम्नलिखित सूत्रों की आवश्यकता होगी:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
बी)लघुगणक की निरंतरता और एक सतत कार्य के लिए सीमा की संपत्ति:
(7) .
यहां एक फ़ंक्शन है जिसकी एक सीमा है और यह सीमा सकारात्मक है।
में)दूसरी उल्लेखनीय सीमा का अर्थ:
(8) .

आइए इन तथ्यों को अपनी सीमा तक लागू करें। सबसे पहले हम बीजीय व्यंजक को रूपांतरित करते हैं
.
ऐसा करने के लिए, हम गुण (4) और (5) लागू करते हैं।

.

आइए संपत्ति (7) और दूसरी उल्लेखनीय सीमा (8) का उपयोग करें:
.

और अंत में, हम संपत्ति लागू करते हैं (6):
.
आधार का लघुगणक इबुलाया प्राकृतिक. इसे इस प्रकार नामित किया गया है:
.
तब ;
.

इस प्रकार, हमें लघुगणक के अवकलज के लिए सूत्र (2) प्राप्त हुआ।

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न

एक बार फिर हम a को आधार बनाने वाले लघुगणक के अवकलज के लिए सूत्र लिखते हैं:
.
इस सूत्र में प्राकृतिक लघुगणक का सबसे सरल रूप है, जिसके लिए,। तब
(1) .

इस सरलता के कारण, गणितीय विश्लेषण और अंतर कलन से संबंधित गणित की अन्य शाखाओं में प्राकृतिक लघुगणक का बहुत व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। अन्य आधारों के साथ लघुगणकीय कार्यों को संपत्ति (6) का उपयोग करके प्राकृतिक लघुगणक के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:
.

आधार के संबंध में लघुगणक का व्युत्पन्न सूत्र (1) से पाया जा सकता है, यदि आप विभेदन चिह्न से स्थिरांक निकालते हैं:
.

लघुगणक के अवकलज को सिद्ध करने के अन्य तरीके

यहां हम मानते हैं कि हम घातांक के अवकलज का सूत्र जानते हैं:
(9) .
तब हम प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्पन्न के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं, यह देखते हुए कि लघुगणक घातांक का व्युत्क्रम फलन है।

आइए हम प्राकृतिक लघुगणक के अवकलज के सूत्र को सिद्ध करें, व्युत्क्रम फलन के अवकलज के लिए सूत्र लागू करना:
.
हमारे मामले में । प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्क्रम फलन घातांक है:
.
इसका व्युत्पन्न सूत्र (9) द्वारा निर्धारित किया जाता है। चर को किसी भी अक्षर द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। सूत्र (9) में, चर x को y से बदलें:
.
के बाद से
.
तब
.
सूत्र सिद्ध है.

अब हम प्राकृतिक लघुगणक के अवकलज के सूत्र को सिद्ध करते हैं जटिल कार्यों को विभेदित करने के नियम. चूँकि फलन तथा एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं
.
आइए इस समीकरण को चर x के संबंध में अलग करें:
(10) .
x का व्युत्पन्न एक के बराबर है:
.
हम जटिल कार्यों के विभेदन का नियम लागू करते हैं:
.
यहाँ । आइए (10) में स्थानापन्न करें:
.
यहाँ से
.

उदाहरण

के व्युत्पन्न खोजें एलएन 2एक्स, एलएन 3xऔर lnnx.

मूल कार्यों का स्वरूप समान होता है। इसलिए हम फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढेंगे y = लॉग एनएक्स. फिर हम n = 2 और n = 3 प्रतिस्थापित करते हैं। और, इस प्रकार, हम के व्युत्पन्नों के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं एलएन 2xऔर एलएन 3x .

इसलिए, हम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश कर रहे हैं
y = लॉग एनएक्स .
आइए इस फ़ंक्शन की कल्पना एक जटिल फ़ंक्शन के रूप में करें जिसमें दो फ़ंक्शन शामिल हैं:
1) एक चर के आधार पर कार्य: ;
2) एक चर के आधार पर कार्य: .
फिर मूल फ़ंक्शन फ़ंक्शंस से बना है और:
.

आइए वेरिएबल x के संबंध में फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
.
आइए वेरिएबल के संबंध में फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
.
हम एक जटिल फलन के अवकलज के लिए सूत्र लागू करते हैं।
.
यहां हमने इसे सेट किया है.

तो हमने पाया:
(11) .
हम देखते हैं कि अवकलज n पर निर्भर नहीं है। यदि हम उत्पाद के लघुगणक के सूत्र का उपयोग करके मूल फ़ंक्शन को बदलते हैं तो यह परिणाम काफी स्वाभाविक है:
.
- यह एक स्थिरांक है. इसका व्युत्पन्न शून्य है. फिर, योग के विभेदन के नियम के अनुसार, हमारे पास है:
.

; ; .

मापांक x के लघुगणक का व्युत्पन्न

आइए एक और बहुत महत्वपूर्ण फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें - मापांक x का प्राकृतिक लघुगणक:
(12) .

आइए मामले पर विचार करें. तब फ़ंक्शन इस प्रकार दिखता है:
.
इसका व्युत्पन्न सूत्र (1) द्वारा निर्धारित किया जाता है:
.

अब आइए मामले पर विचार करें। तब फ़ंक्शन इस प्रकार दिखता है:
,
कहाँ ।
लेकिन हमने उपरोक्त उदाहरण में इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न भी पाया। यह n पर निर्भर नहीं है और इसके बराबर है
.
तब
.

हम इन दोनों मामलों को एक सूत्र में जोड़ते हैं:
.

तदनुसार, आधार a के लघुगणक के लिए, हमारे पास है:
.

प्राकृतिक लघुगणक के उच्च क्रम के व्युत्पन्न

फ़ंक्शन पर विचार करें
.
हमने इसका प्रथम-क्रम व्युत्पन्न पाया:
(13) .

आइए दूसरे क्रम का व्युत्पन्न खोजें:
.
आइए तीसरे क्रम का व्युत्पन्न खोजें:
.
आइए चौथा क्रम व्युत्पन्न खोजें:
.

आप देख सकते हैं कि nवें क्रम के व्युत्पन्न का रूप इस प्रकार है:
(14) .
आइए इसे गणितीय प्रेरण द्वारा सिद्ध करें।

सबूत

आइए मान n = 1 को सूत्र (14) में प्रतिस्थापित करें:
.
चूँकि , तब जब n = 1 , सूत्र (14) मान्य है।

आइए मान लें कि सूत्र (14) n = k के लिए संतुष्ट है। आइए हम सिद्ध करें कि इसका तात्पर्य यह है कि सूत्र n = k के लिए मान्य है + 1 .

दरअसल, n = k के लिए हमारे पास है:
.
चर x के संबंध में अंतर करें:

.
तो हमें मिला:
.
यह सूत्र n = k + के लिए सूत्र (14) से मेल खाता है 1 . इस प्रकार, इस धारणा से कि सूत्र (14) n = k के लिए मान्य है, यह इस प्रकार है कि सूत्र (14) n = k + के लिए मान्य है 1 .

इसलिए, nवें क्रम व्युत्पन्न के लिए सूत्र (14), किसी भी n के लिए मान्य है।

ए को आधार बनाने के लिए लघुगणक के उच्च क्रम के व्युत्पन्न

आधार a के लघुगणक का nवाँ क्रम व्युत्पन्न ज्ञात करने के लिए, आपको इसे प्राकृतिक लघुगणक के रूप में व्यक्त करना होगा:
.
सूत्र (14) को लागू करने पर, हम nवां अवकलज पाते हैं:
.

यह सभी देखें: