प्राकृतिक लघुगणक के साथ समीकरणों को कैसे हल करें I लघुगणक समीकरण: मूल सूत्र और तकनीक। समीकरण के दोनों पक्षों का लघुगणक

लघुगणक समीकरण और असमानताएँगणित में परीक्षा के संस्करणों में समर्पित है कार्य C3 ... प्रत्येक छात्र को गणित में परीक्षा से कार्यों C3 को हल करना सीखना चाहिए यदि वह आगामी परीक्षा "अच्छे" या "उत्कृष्ट" के लिए उत्तीर्ण करना चाहता है। यह लेख सामान्य लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं के साथ-साथ उन्हें हल करने के मुख्य तरीकों का एक संक्षिप्त अवलोकन प्रदान करता है।

तो, आइए आज कुछ उदाहरण देखें। लघुगणक समीकरण और असमानताएँ, जो पिछले वर्षों के गणित में परीक्षा के संस्करणों में छात्रों को पेश किए गए थे। लेकिन इसकी शुरुआत से होती है सारांशमुख्य सैद्धांतिक बिंदु जिन्हें हमें हल करने की आवश्यकता है।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन

परिभाषा

समारोह देखें

0, \, a \ ne 1 \] "शीर्षक =" (! LANG: QuickLaTeX.com द्वारा गाया गया)">!}

कहा जाता है लॉगरिदमिक फ़ंक्शन.

मूल गुण

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के मूल गुण आप= लॉग एक एक्स:

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का ग्राफ है लघुगणक वक्र:

लघुगणक के गुण

उत्पाद का लघुगणकदो धनात्मक संख्याएँ इन संख्याओं के लघुगणक के योग के बराबर होती हैं:

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भागफल का लघुगणकदो धनात्मक संख्याएँ इन संख्याओं के लघुगणक के अंतर के बराबर होती हैं:

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अगर एतथा बी ए 1, फिर किसी भी संख्या के लिए आर निष्पक्ष समानता:

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समानतालॉग ए टी= लॉग ए एस, कहाँ पे ए > 0, ए ≠ 1, टी > 0, एस> 0, सत्य है यदि और केवल यदि टी = एस।

अगर ए, बी, सीधनात्मक संख्याएँ हैं, तथा एतथा सीएकता से भिन्न हैं, तो समानता ( लघुगणक के नए आधार में संक्रमण का सूत्र):

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प्रमेय 1।अगर एफ(एक्स)> 0 और जी(एक्स)> 0, फिर लघुगणकीय समीकरण लॉग ए एफ(एक्स) = लॉग एक जी(एक्स) (कहाँ पे ए > 0, ए≠ 1) समीकरण के बराबर है एफ(एक्स) = जी(एक्स).

लघुगणक समीकरणों और असमानताओं को हल करना

उदाहरण 1।प्रश्न हल करें:

समाधान।मान्य मानों की श्रेणी में केवल वे शामिल हैं एक्सजिसके लिए लघुगणक के चिह्न के नीचे का व्यंजक शून्य से बड़ा है। ये मान असमानताओं की निम्नलिखित प्रणाली द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

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ध्यान में रख कर

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हम एक अंतराल प्राप्त करते हैं जो इस लघुगणकीय समीकरण के अनुमेय मूल्यों की सीमा को परिभाषित करता है:

प्रमेय 1 के आधार पर, जिनकी सभी शर्तें यहां संतुष्ट हैं, हम निम्नलिखित समकक्ष द्विघात समीकरण को पास करते हैं:

केवल पहला रूट मान्य मानों की श्रेणी में है।

उत्तर:एक्स = 7.

उदाहरण 2।प्रश्न हल करें:

समाधान।समीकरण के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा असमानताओं की प्रणाली द्वारा निर्धारित की जाती है:

ql-right-eqno ">

समाधान।समीकरण के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा यहाँ आसानी से निर्धारित की जाती है: एक्स > 0.

हम प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं:

समीकरण रूप लेता है:

रिवर्स प्रतिस्थापन:

दोनों उत्तरसमीकरण के स्वीकार्य मूल्यों की श्रेणी में शामिल हैं, क्योंकि वे सकारात्मक संख्याएं हैं।

उदाहरण 4.प्रश्न हल करें:

समाधान।आइए हम समीकरण के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा निर्धारित करके समाधान को फिर से शुरू करें। यह असमानताओं की निम्नलिखित प्रणाली द्वारा निर्धारित किया जाता है:

ql-right-eqno ">

लघुगणक के आधार समान हैं, इसलिए अनुमेय मानों की श्रेणी में, आप निम्न द्विघात समीकरण पर जा सकते हैं:

पहली जड़ समीकरण के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा में शामिल नहीं है, दूसरा शामिल है।

उत्तर: एक्स = -1.

उदाहरण 5.प्रश्न हल करें:

समाधान।हम अंतराल में समाधान खोजेंगे एक्स > 0, एक्स 1. हम समीकरण को समतुल्य में बदलते हैं:

दोनों उत्तरसमीकरण के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा में शामिल हैं।

उदाहरण 6.प्रश्न हल करें:

समाधान।समीकरण के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा को परिभाषित करने वाली असमानताओं की प्रणाली, इस समय का रूप है:

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लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, हम समीकरण को स्वीकार्य मानों की सीमा के बराबर समीकरण में बदलते हैं:

लघुगणक के एक नए आधार में संक्रमण के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

मान्य मानों की श्रेणी में केवल एक शामिल है उत्तर: एक्स = 4.

चलो अब चलते हैं लघुगणकीय असमानताएँ ... यह ठीक वैसा ही है जैसा आपको गणित की परीक्षा में करना होगा। आगे के उदाहरणों को हल करने के लिए, हमें निम्नलिखित प्रमेय की आवश्यकता है:

प्रमेय 2।अगर एफ(एक्स)> 0 और जी(एक्स)> 0, फिर:
पर ए> 1 लघुगणकीय असमानता लॉग a एफ(एक्स)> लॉग ए जी(एक्स) समान अर्थ की असमानता के बराबर है: एफ(एक्स) > जी(एक्स);
0 . पर< ए < 1 логарифмическое неравенство log a एफ(एक्स)> लॉग ए जी(एक्स) विपरीत अर्थ की असमानता के बराबर है: एफ(एक्स) < जी(एक्स).

उदाहरण 7.असमानता को हल करें:

समाधान।आइए असमानता के लिए मान्य मानों की श्रेणी को परिभाषित करके प्रारंभ करें। लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के संकेत के तहत अभिव्यक्ति को केवल सकारात्मक मान लेना चाहिए। इसका मतलब यह है कि स्वीकार्य मूल्यों की मांग की सीमा असमानताओं की निम्नलिखित प्रणाली द्वारा निर्धारित की जाती है:

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चूंकि लॉगरिदम का आधार एक से कम संख्या है, इसलिए संबंधित लॉगरिदमिक फ़ंक्शन कम हो जाएगा, और इसलिए निम्नलिखित द्विघात असमानता के लिए संक्रमण प्रमेय 2 के बराबर होगा:

अंत में, अनुमेय मूल्यों की सीमा को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं उत्तर:

उदाहरण 8.असमानता को हल करें:

समाधान।आइए मान्य मानों की श्रेणी को परिभाषित करके फिर से शुरू करें:

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स्वीकार्य असमानता मूल्यों के सेट पर, हम समकक्ष परिवर्तन करते हैं:

प्रमेय 2 के बराबर असमानता को रद्द करने और पारित करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

अनुमेय मूल्यों की सीमा को ध्यान में रखते हुए, हम अंतिम प्राप्त करते हैं उत्तर:

उदाहरण 9.लघुगणक असमानता को हल करें:

समाधान।असमानता के मान्य मूल्यों की सीमा निम्नलिखित प्रणाली द्वारा निर्धारित की जाती है:

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यह देखा जा सकता है कि अनुमेय मूल्यों की सीमा में, लघुगणक के आधार पर अभिव्यक्ति हमेशा एक से अधिक होती है, और इसलिए निम्नलिखित असमानता में संक्रमण प्रमेय 2 के बराबर होगा:

अनुमेय मूल्यों की सीमा को ध्यान में रखते हुए, हमें अंतिम उत्तर मिलता है:

उदाहरण 10.असमानता को हल करें:

समाधान।

असमानता के अनुमेय मूल्यों की सीमा असमानताओं की प्रणाली द्वारा निर्धारित की जाती है:

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विधि मैं।आइए हम लघुगणक के एक नए आधार में संक्रमण के लिए सूत्र का उपयोग करें और अनुमेय मूल्यों की सीमा में असमानता के बराबर पास करें।

इस वीडियो के साथ, मैं लघुगणकीय समीकरणों पर ट्यूटोरियल की एक लंबी श्रृंखला शुरू करता हूं। अब आपके पास एक साथ तीन उदाहरण हैं, जिनके आधार पर हम सरलतम समस्याओं को हल करना सीखेंगे, जिन्हें कहा जाता है - प्रोटोजोआ.

लॉग 0.5 (3x - 1) = -3

एलजी (एक्स + 3) = 3 + 2 एलजी 5

मैं आपको याद दिला दूं कि सबसे सरल लघुगणकीय समीकरण निम्नलिखित है:

लॉग ए एफ (एक्स) = बी

इस मामले में, यह महत्वपूर्ण है कि चर x केवल तर्क के अंदर मौजूद है, अर्थात केवल फ़ंक्शन f (x) में। और संख्याएँ a और b केवल संख्याएँ हैं, और किसी भी स्थिति में चर x वाले फलन नहीं हैं।

मूल समाधान के तरीके

ऐसे निर्माणों को हल करने के कई तरीके हैं। उदाहरण के लिए, विद्यालय के अधिकांश शिक्षक इस प्रकार सुझाव देते हैं: f (x) फ़ंक्शन को तुरंत सूत्र द्वारा व्यक्त करें एफ ( एक्स) = एक ख. यही है, जब आप सबसे सरल निर्माण को पूरा करते हैं, तो आप अतिरिक्त कार्यों और निर्माणों के बिना सीधे समाधान पर जा सकते हैं।

हां, निश्चित तौर पर फैसला सही साबित होगा। हालाँकि, इस फॉर्मूले के साथ समस्या यह है कि अधिकांश छात्र समझ में नहीं आता, यह कहाँ से आता है और हम अक्षर a को अक्षर b तक क्यों बढ़ाते हैं।

नतीजतन, मैं अक्सर बहुत आपत्तिजनक गलतियाँ देखता हूँ, उदाहरण के लिए, इन पत्रों को उलट दिया जाता है। इस सूत्र को या तो समझा जाना चाहिए या रटना चाहिए, और दूसरी विधि सबसे अनुचित और सबसे महत्वपूर्ण क्षणों में गलतियों की ओर ले जाती है: परीक्षा, परीक्षण आदि में।

यही कारण है कि मैं अपने सभी छात्रों को मानक स्कूल फार्मूले को छोड़ने और लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के लिए दूसरे दृष्टिकोण का उपयोग करने का प्रस्ताव करता हूं, जैसा कि आप शायद पहले से ही नाम से अनुमान लगाते हैं, कहा जाता है कानूनी फॉर्म.

विहित रूप के पीछे का विचार सरल है। आइए हमारी समस्या पर एक और नज़र डालें: बाईं ओर हमारे पास लॉग ए है, जबकि अक्षर ए का अर्थ बिल्कुल एक संख्या है, और किसी भी स्थिति में एक चर x युक्त फ़ंक्शन नहीं है। इसलिए, यह पत्र उन सभी प्रतिबंधों के अधीन है जो लघुगणक के आधार पर लगाए गए हैं। अर्थात्:

1 ए> 0

दूसरी ओर, उसी समीकरण से हम देखते हैं कि लघुगणक संख्या b के बराबर होना चाहिए, और इस पत्र पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है, क्योंकि यह कोई भी मान ले सकता है - सकारात्मक और नकारात्मक दोनों। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि f (x) फ़ंक्शन क्या मान लेता है।

और यहाँ हम अपने अद्भुत नियम को याद करते हैं कि किसी भी संख्या b को आधार a से b की घात तक लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है:

बी = लॉग ए ए बी

आपको यह सूत्र कैसे याद है? यह बहुत सरल है। आइए निम्नलिखित निर्माण लिखें:

बी = बी 1 = बी लॉग ए ए

बेशक, सभी प्रतिबंध जो हमने शुरुआत में लिखे थे, वे उत्पन्न होते हैं। अब हम लघुगणक के मूल गुण का उपयोग करते हैं और गुणनखंड b को a की घात के रूप में पेश करते हैं। हम पाते हैं:

बी = बी 1 = बी लॉग ए ए = लॉग ए ए बी

परिणामस्वरूप, मूल समीकरण को निम्नानुसार फिर से लिखा जाएगा:

लॉग a f (x) = log a a b → f (x) = a b

बस इतना ही। नए फ़ंक्शन में अब लॉगरिदम नहीं है और इसे मानक बीजीय तकनीकों का उपयोग करके हल किया जाता है।

बेशक, कोई अब आपत्ति करेगा: किसी प्रकार के विहित सूत्र के साथ आने से परेशान क्यों हैं, दो अतिरिक्त अनावश्यक कदम क्यों उठाएं, यदि आप तुरंत प्रारंभिक निर्माण से अंतिम सूत्र तक जा सकते हैं? हां, फिर भी, अधिकांश छात्र यह नहीं समझते हैं कि यह सूत्र कहां से आता है और परिणामस्वरूप, इसे लागू करते समय नियमित रूप से गलतियां होती हैं।

लेकिन क्रियाओं का यह क्रम, जिसमें तीन चरण होते हैं, आपको मूल लघुगणकीय समीकरण को हल करने की अनुमति देता है, भले ही आप यह न समझें कि अंतिम सूत्र कहाँ से आता है। वैसे, इसी रिकॉर्ड को विहित सूत्र कहा जाता है:

लॉग a f (x) = लॉग a a b

विहित रूप की सुविधा इस तथ्य में भी निहित है कि इसका उपयोग लॉगरिदमिक समीकरणों के एक बहुत व्यापक वर्ग को हल करने के लिए किया जा सकता है, न कि केवल सबसे सरल जिन्हें हम आज विचार कर रहे हैं।

समाधान उदाहरण

अब आइए वास्तविक जीवन के उदाहरणों को देखें। तो, हम तय करते हैं:

लॉग 0.5 (3x - 1) = -3

आइए इसे इस तरह फिर से लिखें:

लॉग 0.5 (3x - 1) = लॉग 0.5 0.5 −3

बहुत से छात्र जल्दी में होते हैं और तुरंत 0.5 की संख्या को उस घात तक बढ़ाने की कोशिश करते हैं जो मूल समस्या से हमारे पास आई थी। वास्तव में, जब आप ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए पहले से ही अच्छी तरह से प्रशिक्षित हैं, तो आप तुरंत इस कदम का पालन कर सकते हैं।

हालाँकि, यदि आप अभी इस विषय का अध्ययन करना शुरू कर रहे हैं, तो बेहतर है कि आप कहीं भी जल्दबाजी न करें ताकि आपत्तिजनक गलतियाँ न हों। तो, हमारे सामने विहित रूप है। हमारे पास है:

3x - 1 = 0.5 −3

यह अब एक लघुगणकीय समीकरण नहीं है, बल्कि चर x के संबंध में एक रैखिक समीकरण है। इसे हल करने के लिए, आइए पहले 0.5 से −3 घात तक की संख्या से निपटें। ध्यान दें कि 0.5 1/2 है।

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

जब आप लघुगणकीय समीकरण को हल करते हैं तो सभी दशमलवों को नियमित अंशों में बदलें।

हम फिर से लिखते हैं और प्राप्त करते हैं:

3x - 1 = 8
3x = 9
एक्स = 3

बस इतना ही, हमें जवाब मिल गया। पहला कार्य हल हो गया है।

दूसरा कार्य

आइए दूसरे कार्य पर चलते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह समीकरण अब सबसे सरल नहीं है। यदि केवल इसलिए कि अंतर बाईं ओर है, और एक आधार में एक भी लघुगणक नहीं है।

इसलिए आपको किसी तरह इस अंतर से छुटकारा पाने की जरूरत है। इस मामले में, सब कुछ बहुत सरल है। आइए आधारों पर करीब से नज़र डालें: बाईं ओर जड़ के नीचे की संख्या है:

सामान्य अनुशंसा: सभी लघुगणकीय समीकरणों में, मूलांकों से छुटकारा पाने का प्रयास करें, अर्थात्, जड़ों वाले अभिलेखों से और शक्ति कार्यों पर जाएं, केवल इसलिए कि इन शक्तियों के प्रतिपादक आसानी से लघुगणक के संकेत से बाहर हो जाते हैं, और अंत में , ऐसा रिकॉर्ड गणना को बहुत सरल और गति प्रदान करता है। आइए इसे इस तरह लिखें:

अब हम लघुगणक की उल्लेखनीय संपत्ति को याद करते हैं: तर्क से, साथ ही आधार से, आप डिग्री प्राप्त कर सकते हैं। आधार के मामले में, निम्नलिखित होता है:

लॉग ए के बी = 1 / के लोगा बी

दूसरे शब्दों में, जो संख्या आधार की डिग्री में खड़ी होती है, उसे आगे बढ़ाया जाता है और साथ ही साथ पलट दिया जाता है, अर्थात यह प्रतिलोम संख्या बन जाती है। हमारे मामले में, 1/2 के घातांक के साथ नींव की एक डिग्री थी। इसलिए, हम इसे 2/1 के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं। हम पाते हैं:

5 2 लघुगणक 5 x - लघुगणक 5 x = 18
10 लघुगणक 5 x - लघुगणक 5 x = 18

कृपया ध्यान दें: किसी भी स्थिति में आपको इस चरण में लघुगणक से छुटकारा नहीं मिलना चाहिए। ग्रेड 4-5 के गणित और प्रक्रिया को याद रखें: पहले, गुणा किया जाता है, और उसके बाद ही जोड़ और घटाव किया जाता है। इस मामले में, हम 10 तत्वों में से एक को घटाते हैं:

9 लघुगणक 5 x = 18
लॉग 5 x = 2

अब हमारा समीकरण वैसा ही दिखता है जैसा होना चाहिए। यह सबसे सरल निर्माण है, और हम इसे विहित रूप से हल करते हैं:

लघुगणक 5 x = लघुगणक 5 5 2
एक्स = 5 2
एक्स = 25

बस इतना ही। दूसरा कार्य हल हो गया है।

तीसरा उदाहरण

आइए तीसरे कार्य पर चलते हैं:

एलजी (एक्स + 3) = 3 + 2 एलजी 5

मैं आपको निम्नलिखित सूत्र याद दिला दूं:

एलजी बी = लॉग 10 बी

यदि किसी कारण से आप लॉग बी से भ्रमित हैं, तो सभी गणना करते समय, आप बस 10 बी लॉग कर सकते हैं। आप दशमलव लॉगरिदम के साथ उसी तरह काम कर सकते हैं जैसे दूसरों के साथ करते हैं: डिग्री निकालें, किसी भी संख्या को एलजी 10 के रूप में जोड़ें और प्रस्तुत करें।

इन गुणों का उपयोग अब हम समस्या को हल करने के लिए करेंगे, क्योंकि यह सबसे सरल गुण नहीं है जिसे हमने अपने पाठ की शुरुआत में लिखा था।

शुरू करने के लिए, ध्यान दें कि एलजी 5 से पहले कारक 2 को पेश किया जा सकता है और आधार 5 की शक्ति बन जाती है। इसके अलावा, मुक्त शब्द 3 को लॉगरिदम के रूप में भी दर्शाया जा सकता है - यह हमारे नोटेशन से निरीक्षण करना बहुत आसान है।

अपने लिए जज: किसी भी संख्या को लॉग बेस 10 के रूप में दर्शाया जा सकता है:

3 = लघुगणक 10 10 3 = लघुगणक 10 3

आइए प्राप्त परिवर्तनों को ध्यान में रखते हुए मूल समस्या को फिर से लिखें:

एलजी (एक्स - 3) = एलजी 1000 + एलजी 25
लघुगणक (x - 3) = लघुगणक 1000 25
एलजी (एक्स - 3) = एलजी 25,000

हमारे सामने फिर से विहित रूप है, और हमने इसे प्राप्त किया, परिवर्तनों के चरण को दरकिनार करते हुए, यानी हमारे देश में सबसे सरल लघुगणकीय समीकरण कभी नहीं आया।

पाठ की शुरुआत में मैंने ठीक यही बात की थी। विहित प्रपत्र अधिकांश स्कूल शिक्षकों द्वारा दिए गए मानक स्कूल फॉर्मूले की तुलना में समस्याओं के व्यापक वर्ग को हल करने की अनुमति देता है।

खैर, बस इतना ही, हम दशमलव लघुगणक के चिह्न से छुटकारा पाते हैं, और हमें एक सरल रैखिक निर्माण मिलता है:

एक्स + 3 = 25,000
एक्स = 24,997

हर चीज़! समस्या सुलझा ली गई है।

दायरे पर एक नोट

यहां मैं परिभाषा के दायरे के बारे में एक महत्वपूर्ण टिप्पणी करना चाहूंगा। निश्चित रूप से अब ऐसे छात्र और शिक्षक हैं जो कहेंगे: "जब हम लघुगणक के साथ व्यंजकों को हल करते हैं, तो यह याद रखना अनिवार्य है कि तर्क f (x) शून्य से बड़ा होना चाहिए!" इस संबंध में, एक तार्किक प्रश्न उठता है: किसी भी विचाराधीन समस्या में हमें इस असमानता को पूरा करने की आवश्यकता क्यों नहीं पड़ी?

परेशान मत होइये। इन मामलों में कोई अतिरिक्त जड़ें पैदा नहीं होंगी। और यह एक और बढ़िया तरकीब है जो आपको समाधान में तेजी लाने की अनुमति देती है। बस यह जान लें कि यदि किसी समस्या में चर x केवल एक ही स्थान पर होता है (या बल्कि, एकल लघुगणक के एकल तर्क में), और हमारे मामले में कहीं और चर x नहीं है, तो डोमेन लिखें कोई ज़रुरत नहीं हैक्योंकि यह स्वचालित रूप से चलेगा।

अपने लिए जज करें: पहले समीकरण में हमें वह 3x - 1 मिला, यानी तर्क 8 के बराबर होना चाहिए। इसका स्वचालित रूप से मतलब है कि 3x - 1 शून्य से बड़ा होगा।

उसी सफलता के साथ, हम लिख सकते हैं कि दूसरे मामले में x को 5 2 के बराबर होना चाहिए, अर्थात यह निश्चित रूप से शून्य से बड़ा है। और तीसरे मामले में, जहां x + 3 = 25,000, यानी स्पष्ट रूप से शून्य से अधिक है। दूसरे शब्दों में, डोमेन स्वतः संतुष्ट हो जाता है, लेकिन केवल तभी जब x केवल एक लघुगणक के तर्क में होता है।

बुनियादी कार्यों के लिए बस इतना ही जानना है। केवल यह नियम, परिवर्तन नियमों के साथ, आपको बहुत व्यापक वर्ग की समस्याओं को हल करने की अनुमति देगा।

लेकिन आइए ईमानदार रहें: इस तकनीक को अंत में समझने के लिए, लॉगरिदमिक समीकरण के विहित रूप को लागू करने का तरीका जानने के लिए, केवल एक वीडियो ट्यूटोरियल देखने के लिए पर्याप्त नहीं है। इसलिए, के लिए विकल्प डाउनलोड करें स्वतंत्र निर्णयजो इस वीडियो ट्यूटोरियल से जुड़े हैं और इन दो स्वतंत्र कार्यों में से कम से कम एक को हल करना शुरू करें।

इसमें आपको बस कुछ ही मिनट लगेंगे। लेकिन इस तरह के प्रशिक्षण का प्रभाव इस वीडियो ट्यूटोरियल को देखने की तुलना में बहुत अधिक होगा।

मुझे आशा है कि यह ट्यूटोरियल आपको लघुगणकीय समीकरणों को समझने में मदद करेगा। कैनोनिकल फॉर्म का उपयोग करें, लॉगरिदम के साथ काम करने के लिए नियमों का उपयोग करके अभिव्यक्तियों को सरल बनाएं - और कोई भी समस्या आपके लिए डरावनी नहीं होगी। और मेरे पास आज के लिए सब कुछ है।

दायरे पर विचार

अब बात करते हैं लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के डोमेन के बारे में, साथ ही यह लॉगरिदमिक समीकरणों के समाधान को कैसे प्रभावित करता है। फॉर्म के निर्माण पर विचार करें

लॉग ए एफ (एक्स) = बी

इस तरह की अभिव्यक्ति को सबसे सरल कहा जाता है - इसमें केवल एक फ़ंक्शन होता है, और संख्या ए और बी बिल्कुल संख्याएं होती हैं, और किसी भी मामले में यह एक ऐसा फ़ंक्शन नहीं होता है जो चर x पर निर्भर करता है। इसे बहुत ही सरलता से हल किया जा सकता है। आपको बस सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:

बी = लॉग ए ए बी

यह सूत्र लघुगणक के प्रमुख गुणों में से एक है, और जब हमारी मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो हमें निम्नलिखित मिलता है:

लॉग a f (x) = लॉग a a b

एफ (एक्स) = एक बी

यह स्कूली पाठ्यपुस्तकों का एक परिचित सूत्र है। कई छात्रों के पास शायद एक प्रश्न होगा: चूंकि मूल अभिव्यक्ति में फ़ंक्शन f (x) लॉग साइन के तहत है, इस पर निम्नलिखित प्रतिबंध लगाए गए हैं:

च (एक्स)> 0

यह सीमा प्रभावी है क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं का लघुगणक मौजूद नहीं है। तो, शायद इस सीमा के कारण, आपको उत्तरों के लिए एक चेक पेश करना चाहिए? शायद उन्हें स्रोत में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है?

नहीं, सरल लघुगणकीय समीकरणों में एक अतिरिक्त जाँच अनावश्यक है। और यही कारण है। हमारे अंतिम सूत्र पर एक नज़र डालें:

एफ (एक्स) = एक बी

तथ्य यह है कि संख्या किसी भी मामले में 0 से अधिक है - यह आवश्यकता लघुगणक द्वारा भी लगाई जाती है। संख्या a आधार है। इस मामले में, संख्या बी पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है। लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि हम चाहे कितनी भी सकारात्मक संख्या बढ़ा लें, आउटपुट पर हमें अभी भी एक सकारात्मक संख्या मिलेगी। इस प्रकार, आवश्यकता f (x)> 0 स्वतः ही पूरी हो जाती है।

वास्तव में जाँच के लायक क्या है लॉग साइन के तहत फ़ंक्शन का दायरा। बल्कि जटिल संरचनाएं हो सकती हैं, और उन्हें हल करने की प्रक्रिया में, आपको निश्चित रूप से उनका पालन करना चाहिए। आइए एक नजर डालते हैं।

पहला कार्य:

पहला चरण: भिन्न को दाईं ओर रूपांतरित करें। हम पाते हैं:

हम लघुगणक के संकेत से छुटकारा पाते हैं और सामान्य तर्कहीन समीकरण प्राप्त करते हैं:

प्राप्त जड़ों में से केवल पहला हमें सूट करता है, क्योंकि दूसरी जड़ शून्य से कम है। केवल उत्तर 9 नंबर होगा। बस, समस्या हल हो गई है। कोई अतिरिक्त जाँच नहीं है कि लघुगणक के चिह्न के तहत अभिव्यक्ति 0 से अधिक है, क्योंकि यह केवल 0 से अधिक नहीं है, लेकिन समीकरण की स्थिति से यह 2 के बराबर है। इसलिए, आवश्यकता "शून्य से अधिक है "स्वचालित रूप से संतुष्ट है।

आइए दूसरे कार्य पर चलते हैं:

यहां हर एक चीज़ समान है। हम तीनों की जगह निर्माण को फिर से लिखते हैं:

हम लघुगणक के संकेतों से छुटकारा पाते हैं और एक अपरिमेय समीकरण प्राप्त करते हैं:

हम प्रतिबंधों को ध्यान में रखते हुए दोनों पक्षों को चौकोर करते हैं, और हम प्राप्त करते हैं:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |: 2

एक्स 2 + 7x + 6 = 0

हम परिणामी समीकरण को विवेचक के माध्यम से हल करते हैं:

डी = 49 - 24 = 25

एक्स 1 = -1

एक्स 2 = −6

लेकिन x = −6 हमें शोभा नहीं देता, क्योंकि यदि हम इस संख्या को अपनी असमानता में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

−6 + 4 = −2 < 0

हमारे मामले में, यह आवश्यक है कि यह 0 से अधिक हो या चरम मामलों में बराबर हो। लेकिन x = −1 हमें सूट करता है:

−1 + 4 = 3 > 0

हमारे मामले में एकमात्र उत्तर x = -1 है। वह पूरा समाधान है। आइए अपनी गणनाओं की शुरुआत में वापस जाएं।

इस पाठ से मुख्य बात यह है कि आपको सरल लघुगणकीय समीकरणों में किसी फ़ंक्शन के लिए बाधाओं की जांच करने की आवश्यकता नहीं है। क्योंकि समाधान की प्रक्रिया में सभी बाधाएं अपने आप पूरी हो जाती हैं।

हालाँकि, इसका किसी भी तरह से मतलब यह नहीं है कि आप पूरी तरह से जाँच करना भूल सकते हैं। एक लघुगणकीय समीकरण पर काम करने की प्रक्रिया में, यह एक अपरिमेय समीकरण में बदल सकता है, जिसकी दाहिनी ओर की अपनी सीमाएं और आवश्यकताएं होंगी, जैसा कि हमने आज दो अलग-अलग उदाहरणों पर देखा है।

ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें और यदि तर्क में कोई जड़ है तो विशेष रूप से सावधान रहें।

विभिन्न आधारों के साथ लघुगणक समीकरण

हम लॉगरिदमिक समीकरणों का अध्ययन करना जारी रखते हैं और दो और दिलचस्प तरकीबों का विश्लेषण करते हैं जिनके साथ अधिक हल करना फैशनेबल है जटिल संरचनाएं... लेकिन पहले, आइए याद रखें कि सबसे सरल कार्यों को कैसे हल किया जाता है:

लॉग ए एफ (एक्स) = बी

इस संकेतन में, ए और बी बिल्कुल संख्याएं हैं, और फ़ंक्शन f (x) में चर x मौजूद होना चाहिए, और केवल वहां, यानी x केवल तर्क में होना चाहिए। हम विहित रूप का उपयोग करके ऐसे लघुगणकीय समीकरणों को रूपांतरित करेंगे। ऐसा करने के लिए, ध्यान दें कि

बी = लॉग ए ए बी

इसके अलावा, a b बिल्कुल तर्क है। आइए इस अभिव्यक्ति को इस प्रकार फिर से लिखें:

लॉग a f (x) = लॉग a a b

ठीक यही हम हासिल करने की कोशिश कर रहे हैं, ताकि बाएँ और दाएँ दोनों आधार a का लघुगणक हों। इस मामले में, हम लाक्षणिक रूप से, लॉग के संकेतों पर प्रहार कर सकते हैं, और गणित के दृष्टिकोण से, हम कह सकते हैं कि हम केवल तर्कों की बराबरी कर रहे हैं:

एफ (एक्स) = एक बी

नतीजतन, हमें एक नई अभिव्यक्ति मिलेगी जिसे हल करना बहुत आसान होगा। आइए आज इस नियम को अपने कार्यों पर लागू करें।

तो पहला निर्माण:

सबसे पहले, मैं ध्यान देता हूं कि दाईं ओर एक भिन्न है जिसमें हर में लॉग है। जब आप ऐसी अभिव्यक्ति देखते हैं, तो लघुगणक की अद्भुत संपत्ति को याद रखना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा:

रूसी में अनुवादित, इसका मतलब है कि किसी भी लघुगणक को किसी भी आधार के साथ दो लघुगणक के भागफल के रूप में दर्शाया जा सकता है। बेशक, 0< с ≠ 1.

तो: इस सूत्र में एक अद्भुत विशेष मामला है जब चर c चर के बराबर है बी। इस मामले में, हमें फॉर्म का निर्माण मिलता है:

यह वह निर्माण है जिसे हम अपने समीकरण में चिह्न से दाईं ओर देखते हैं। आइए इस निर्माण को लॉग ए बी से बदलें, हमें मिलता है:

दूसरे शब्दों में, मूल समस्या की तुलना में, हमने तर्क और लघुगणक के आधार की अदला-बदली की है। इसके बजाय, हमें भिन्न को पलटना था।

हमें याद है कि निम्नलिखित नियम के अनुसार किसी भी डिग्री को आधार से प्राप्त किया जा सकता है:

दूसरे शब्दों में, गुणांक k, जो कि आधार की डिग्री है, को उल्टे भिन्न के रूप में निकाला जाता है। आइए इसे एक उल्टे अंश के रूप में प्रस्तुत करें:

भिन्नात्मक कारक को सामने नहीं छोड़ा जा सकता है, क्योंकि इस मामले में हम इस प्रविष्टि को एक विहित रूप के रूप में प्रस्तुत नहीं कर पाएंगे (आखिरकार, विहित रूप में, दूसरे लघुगणक के सामने कोई अतिरिक्त कारक नहीं है)। इसलिए, आइए तर्क में अंश 1/4 को एक शक्ति के रूप में रखें:

अब हम तर्कों की बराबरी करते हैं, जिनके आधार समान हैं (और हमारे आधार वास्तव में समान हैं), और लिखें:

एक्स + 5 = 1

एक्स = −4

बस इतना ही। हमें पहले लघुगणक समीकरण का उत्तर मिला। कृपया ध्यान दें: मूल समस्या में, चर x केवल एक लॉग में होता है, और यह इसके तर्क में होता है। इसलिए, डोमेन की जांच करने की कोई आवश्यकता नहीं है, और हमारी संख्या x = −4 वास्तव में इसका उत्तर है।

अब दूसरी अभिव्यक्ति पर चलते हैं:

एलजी 56 = एलजी 2 लॉग 2 7 - 3 एलजी (एक्स + 4)

यहां, सामान्य लघुगणक के अलावा, हमें lg f (x) के साथ काम करना होगा। ऐसे समीकरण को कैसे हल करें? एक अप्रशिक्षित छात्र को यह लग सकता है कि यह किसी प्रकार की कठोरता है, लेकिन वास्तव में, सब कुछ प्राथमिक तरीके से हल किया जाता है।

lg 2 log 2 7 शब्द को ध्यान से देखें। हम इसके बारे में क्या कह सकते हैं? लॉग और एलजी के कारण और तर्क समान हैं, और यह विचारोत्तेजक होना चाहिए। आइए फिर से याद करें कि लॉगरिदम के चिन्ह के नीचे से डिग्रियाँ कैसे निकाली जाती हैं:

लॉग a b n = nlog a b

दूसरे शब्दों में, तर्क में संख्या b की शक्ति क्या थी, लॉग के सामने ही एक कारक बन जाता है। आइए इस सूत्र का उपयोग एलजी 2 लॉग 2 7 को व्यक्त करने के लिए करें। एलजी 2 से डरो मत - यह सबसे आम अभिव्यक्ति है। आप इसे इस तरह फिर से लिख सकते हैं:

किसी अन्य लघुगणक पर लागू होने वाले सभी नियम इसके लिए सत्य हैं। विशेष रूप से, सामने वाले कारक को तर्क की शक्ति में जोड़ा जा सकता है। चलो लिखते है:

बहुत बार छात्र इस क्रिया बिंदु को खाली नहीं देखते हैं, क्योंकि एक लॉग को दूसरे के चिन्ह के नीचे दर्ज करना अच्छा नहीं है। दरअसल, इसमें कुछ भी क्रिमिनल नहीं है। इसके अलावा, हमें एक सूत्र मिलता है जिसकी गणना आसानी से की जा सकती है यदि आपको एक महत्वपूर्ण नियम याद है:

इस सूत्र को परिभाषा के रूप में और इसके गुणों में से एक के रूप में माना जा सकता है। किसी भी स्थिति में, यदि आप एक लघुगणकीय समीकरण को रूपांतरित कर रहे हैं, तो आपको इस सूत्र को उसी तरह से जानना चाहिए जैसे किसी संख्या का लघुगणक निरूपण।

हम अपने काम पर लौट आते हैं। हम इसे इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए फिर से लिखते हैं कि बराबर चिह्न के दायीं ओर पहला शब्द केवल एलजी 7 के बराबर होगा। हमारे पास है:

एलजी 56 = एलजी 7 - 3 एलजी (एक्स + 4)

आइए एलजी 7 को बाईं ओर ले जाएं, हमें मिलता है:

एलजी 56 - एलजी 7 = -3 एलजी (एक्स + 4)

बाईं ओर के भावों को घटाएँ क्योंकि उनका आधार समान है:

एलजी (56/7) = -3 एलजी (एक्स + 4)

अब हमें जो समीकरण मिला है, उस पर करीब से नज़र डालते हैं। यह व्यावहारिक रूप से विहित रूप है, लेकिन दाईं ओर −3 का एक गुणनखंड है। आइए इसे सही एलजी तर्क में रखें:

लघुगणक 8 = लघुगणक (x + 4) −3

लॉगरिदमिक समीकरण का विहित रूप हमारे सामने है, इसलिए हम lg के संकेतों को पार करते हैं और तर्कों को समान करते हैं:

(एक्स + 4) −3 = 8

एक्स + 4 = 0.5

बस इतना ही! हमने दूसरा लघुगणक समीकरण हल किया है। इस मामले में, कोई अतिरिक्त जांच की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि मूल समस्या में x केवल एक तर्क में मौजूद था।

मैं इस ट्यूटोरियल के मुख्य बिंदुओं को दोहराता हूं।

लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित इस पृष्ठ के सभी पाठों में अध्ययन किया जाने वाला मुख्य सूत्र विहित रूप है। और इस तथ्य से भयभीत न हों कि अधिकांश स्कूली पाठ्यपुस्तकें आपको ऐसी समस्याओं को अलग तरीके से हल करना सिखाती हैं। यह उपकरण बहुत प्रभावी ढंग से काम करता है और आपको हमारे पाठ की शुरुआत में अध्ययन की गई सबसे सरल समस्याओं की तुलना में बहुत व्यापक वर्ग की समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है।

इसके अलावा, लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी गुणों को जानना उपयोगी होगा। अर्थात्:

1. एक आधार पर संक्रमण का सूत्र और जब हम लॉग फ्लिप करते हैं तो विशेष मामला (यह पहली समस्या में हमारे लिए बहुत उपयोगी था);
2. लघुगणक के चिन्ह से अंशों को जोड़ने और हटाने का सूत्र। यहां, कई छात्र स्थिर हो जाते हैं और निकट सीमा पर नहीं देखते हैं कि घातांक और सम्मिलित डिग्री में स्वयं लॉग f (x) हो सकता है। उसमें कोी बुराई नहीं है। हम एक लॉग को दूसरे के संकेत से पेश कर सकते हैं और साथ ही समस्या के समाधान को काफी सरल बना सकते हैं, जिसे हम दूसरे मामले में देखते हैं।

अंत में, मैं यह जोड़ना चाहूंगा कि इनमें से प्रत्येक मामले में दायरे की जांच करना आवश्यक नहीं है, क्योंकि हर जगह चर x केवल लॉग के एक संकेत में मौजूद है, और साथ ही यह इसके तर्क में है। नतीजतन, दायरे की सभी आवश्यकताएं स्वचालित रूप से पूरी हो जाती हैं।

परिवर्तनीय मूलांक समस्याएं

आज हम लघुगणकीय समीकरणों को देखेंगे, जो कई छात्रों के लिए गैर-मानक प्रतीत होते हैं, यदि पूरी तरह से हल नहीं हो सकते हैं। हम भावों के बारे में बात कर रहे हैं जो संख्याओं के आधार पर नहीं, बल्कि चर और यहां तक ​​कि कार्यों पर भी आधारित हैं। हम अपनी मानक तकनीक का उपयोग करके ऐसे निर्माणों को हल करेंगे, अर्थात् विहित रूप के माध्यम से।

आरंभ करने के लिए, आइए याद करें कि साधारण संख्याओं पर आधारित सरलतम समस्याओं को कैसे हल किया जाता है। तो, सबसे सरल फॉर्म का निर्माण है

लॉग ए एफ (एक्स) = बी

ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

बी = लॉग ए ए बी

हम अपनी मूल अभिव्यक्ति को फिर से लिखते हैं और प्राप्त करते हैं:

लॉग a f (x) = लॉग a a b

फिर हम तर्कों की बराबरी करते हैं, अर्थात हम लिखते हैं:

एफ (एक्स) = एक बी

इस प्रकार, हम लॉग साइन से छुटकारा पाते हैं और पहले से ही सामान्य समस्या को हल करते हैं। इस मामले में, समाधान के दौरान प्राप्त मूल मूल लघुगणकीय समीकरण के मूल होंगे। इसके अलावा, जब बाएँ और दाएँ दोनों एक ही आधार के साथ एक ही लघुगणक पर खड़े होते हैं, तो रिकॉर्ड को विहित रूप कहा जाता है। यह इतना रिकॉर्ड है कि हम आज के निर्माणों को कम करने का प्रयास करेंगे। तो चलते हैं।

पहला कार्य:

लघुगणक x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

1 को लघुगणक x - 2 (x - 2) 1 से बदलें। तर्क में हम जो डिग्री देखते हैं, वह वास्तव में, संख्या बी है जो बराबर चिह्न के दाईं ओर खड़ी होती है। इस प्रकार, हम अपनी अभिव्यक्ति को फिर से लिखेंगे। हम पाते हैं:

लघुगणक x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = लघुगणक x - 2 (x - 2)

हम क्या देखते हैं? हमारे सामने लॉगरिदमिक समीकरण का विहित रूप है, इसलिए हम तर्कों को सुरक्षित रूप से समान कर सकते हैं। हम पाते हैं:

2x 2 - 13x + 18 = x - 2

लेकिन समाधान यहीं खत्म नहीं होता है, क्योंकि यह समीकरण मूल समीकरण के बराबर नहीं है। आखिरकार, परिणामी निर्माण में ऐसे कार्य होते हैं जो संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित होते हैं, और हमारे प्रारंभिक लघुगणक हर जगह परिभाषित नहीं होते हैं और हमेशा नहीं।

इसलिए, हमें दायरे को अलग से लिखना चाहिए। आइए स्मार्ट न बनें और शुरुआत के लिए, सभी आवश्यकताओं को लिखें:

सबसे पहले, प्रत्येक लघुगणक का तर्क 0 से बड़ा होना चाहिए:

2x 2 - 13x + 18> 0

एक्स - 2> 0

दूसरे, आधार न केवल 0 से बड़ा होना चाहिए, बल्कि 1 से भी भिन्न होना चाहिए:

एक्स - 2 1

परिणामस्वरूप, हमें सिस्टम मिलता है:

लेकिन चिंतित न हों: लॉगरिदमिक समीकरणों को संसाधित करते समय, ऐसी प्रणाली को काफी सरल बनाया जा सकता है।

अपने लिए जज करें: एक ओर, हमें यह आवश्यक है कि द्विघात फ़ंक्शन शून्य से बड़ा हो, और दूसरी ओर, यह द्विघात फ़ंक्शन एक निश्चित रैखिक अभिव्यक्ति के बराबर होता है, जिसे शून्य से बड़ा होना भी आवश्यक है।

इस स्थिति में, यदि हमें उस x - 2> 0 की आवश्यकता है, तो आवश्यकता 2x 2 - 13x + 18> 0 स्वतः ही संतुष्ट हो जाएगी। इसलिए, हम द्विघात फलन वाली असमानता को सुरक्षित रूप से पार कर सकते हैं। इस प्रकार, हमारे सिस्टम में निहित अभिव्यक्तियों की संख्या घटकर तीन हो जाएगी।

बेशक, उसी सफलता के साथ हम रैखिक असमानता को पार कर सकते हैं, यानी x - 2> 0 को पार कर सकते हैं और इसके लिए 2x 2 - 13x + 18> 0 की आवश्यकता होती है। लेकिन आपको इस बात से सहमत होना चाहिए कि सबसे सरल रैखिक असमानता को हल करना बहुत तेज है। और द्विघात की तुलना में आसान, इस शर्त के तहत भी कि इस पूरी प्रणाली को हल करने के परिणामस्वरूप, हमें वही जड़ें मिलती हैं।

सामान्य तौर पर, जब भी संभव हो अपनी गणनाओं को अनुकूलित करने का प्रयास करें। और लघुगणक समीकरणों के मामले में, सबसे कठिन असमानताओं को पार करें।

आइए अपने सिस्टम को फिर से लिखें:

यहां तीन अभिव्यक्तियों की एक ऐसी प्रणाली है, जिनमें से दो, वास्तव में, हम पहले ही समझ चुके हैं। आइए द्विघात समीकरण को अलग से लिखें और इसे हल करें:

2x 2 - 14x + 20 = 0

एक्स 2 - 7x + 10 = 0

हमारे सामने दिया गया वर्ग त्रिपद है और इसलिए, हम Vieta के सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं। हम पाते हैं:

(एक्स - 5) (एक्स - 2) = 0

एक्स 1 = 5

एक्स 2 = 2

और अब हम अपने सिस्टम पर लौटते हैं और पाते हैं कि x = 2 हमें शोभा नहीं देता, क्योंकि हमें आवश्यकता है कि x 2 से अधिक हो।

लेकिन x = 5 हमें पूरी तरह से सूट करता है: संख्या 5 2 से बड़ी है, और साथ ही 5 3 के बराबर नहीं है। इसलिए, इस प्रणाली का एकमात्र समाधान x = 5 होगा।

यही है, ओडीजेड को ध्यान में रखते हुए, समस्या हल हो गई है। आइए दूसरे समीकरण पर चलते हैं। यहां हम अधिक रोचक और सूचनात्मक गणना पाएंगे:

पहला कदम: पिछली बार की तरह, हम पूरी चीज को विहित रूप में लाते हैं। इसके लिए हम संख्या 9 को इस प्रकार लिख सकते हैं:

आपको जड़ को जड़ से छूने की जरूरत नहीं है, लेकिन तर्क को बदलना बेहतर है। आइए मूल से परिमेय घातांक की ओर चलते हैं। आइए लिखते हैं:

मुझे अपने पूरे बड़े लॉगरिदमिक समीकरण को फिर से लिखने नहीं देना चाहिए, लेकिन तर्कों को तुरंत समान करना चाहिए:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

एक्स 2 + 4x + 3 = 0

इससे पहले कि हम नया दिया गया वर्ग ट्रिनोमियल हो, हम विएटा के सूत्रों का उपयोग करते हैं और लिखते हैं:

(एक्स + 3) (एक्स + 1) = 0

एक्स 1 = -3

एक्स 2 = -1

तो, हमें जड़ें मिलीं, लेकिन किसी ने हमें गारंटी नहीं दी कि वे मूल लघुगणक समीकरण में फिट होंगे। आखिरकार, लॉग संकेत अतिरिक्त प्रतिबंध लगाते हैं (यहां हमें सिस्टम लिखना चाहिए था, लेकिन पूरी संरचना की बोझिलता के कारण, मैंने अलग से डोमेन की गणना करने का निर्णय लिया)।

सबसे पहले, याद रखें कि तर्क 0 से अधिक होने चाहिए, अर्थात्:

ये परिभाषा के क्षेत्र द्वारा लगाई गई आवश्यकताएं हैं।

तुरंत, हम ध्यान दें कि चूंकि हम सिस्टम के पहले दो भावों को एक दूसरे के साथ समान करते हैं, तो हम उनमें से किसी को भी हटा सकते हैं। आइए पहले वाले को हटा दें क्योंकि यह दूसरे की तुलना में अधिक खतरनाक लगता है।

इसके अलावा, हम ध्यान दें कि दूसरी और तीसरी असमानताओं का समाधान समान सेट होगा (कुछ संख्या का घन शून्य से बड़ा है, यदि यह संख्या स्वयं शून्य से अधिक है; इसी तरह तीसरी डिग्री की जड़ के साथ - ये असमानताएं पूरी तरह से समान हैं, इसलिए उनमें से एक को हम पार कर सकते हैं)।

लेकिन यह तीसरी असमानता के साथ काम नहीं करेगा। आइए बाईं ओर के मूल चिह्न से छुटकारा पाएं, जिसके लिए हम दोनों भागों को एक घन में बनाएंगे। हम पाते हैं:

तो, हमें निम्नलिखित आवश्यकताएं मिलती हैं:

- 2 x> −3

हमारी कौन सी जड़ें: x 1 = −3 या x 2 = −1 इन आवश्यकताओं को पूरा करती हैं? जाहिर है, केवल x = −1, क्योंकि x = −3 पहली असमानता को संतुष्ट नहीं करता है (क्योंकि हमारी असमानता सख्त है)। इसलिए, अपनी समस्या पर लौटने पर, हमें एक मूल मिलता है: x = -1। बस इतना ही, समस्या हल हो गई है।

एक बार फिर, इस कार्य के प्रमुख बिंदु:

1. विहित रूप का उपयोग करके लॉगरिदमिक समीकरणों को लागू करने और हल करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें। जो छात्र इस तरह का रिकॉर्ड बनाते हैं, और मूल समस्या से सीधे लॉग ए एफ (एक्स) = बी जैसे निर्माण पर नहीं जाते हैं, उन लोगों की तुलना में बहुत कम गलतियाँ करते हैं जो गणना के मध्यवर्ती चरणों को छोड़ कर कहीं भागते हैं;
2. जैसे ही लॉगरिदम में एक चर आधार दिखाई देता है, समस्या सबसे सरल हो जाती है। इसलिए, इसे हल करते समय, परिभाषा के क्षेत्र को ध्यान में रखना आवश्यक है: तर्क शून्य से अधिक होना चाहिए, और आधार न केवल 0 से अधिक होना चाहिए, बल्कि वे भी 1 के बराबर नहीं होना चाहिए।

अंतिम आवश्यकताओं को अंतिम उत्तरों पर थोपने के विभिन्न तरीके हैं। उदाहरण के लिए, आप डोमेन के लिए सभी आवश्यकताओं वाले पूरे सिस्टम को हल कर सकते हैं। दूसरी ओर, आप पहले समस्या को स्वयं हल कर सकते हैं, और फिर परिभाषा के क्षेत्र के बारे में याद रख सकते हैं, इसे एक प्रणाली के रूप में अलग से काम कर सकते हैं और परिणामी जड़ों पर आरोपित कर सकते हैं।

एक विशिष्ट लघुगणकीय समीकरण को हल करते समय कौन सा तरीका चुनना है, यह आप पर निर्भर है। किसी भी मामले में, जवाब वही होगा।

जैसा कि आप जानते हैं, जब व्यंजकों को घातों से गुणा किया जाता है, तो उनके घातांक हमेशा जोड़ते हैं (a b * a c = a b + c)। यह गणितीय नियम आर्किमिडीज द्वारा व्युत्पन्न किया गया था, और बाद में, 8वीं शताब्दी में, गणितज्ञ विरासेन ने संपूर्ण संकेतकों की एक तालिका बनाई। यह वे थे जिन्होंने लघुगणक की आगे की खोज के लिए कार्य किया। इस फ़ंक्शन का उपयोग करने के उदाहरण लगभग हर जगह मिल सकते हैं जहां आपको सरल जोड़ द्वारा एक बोझिल गुणा को सरल बनाने की आवश्यकता होती है। यदि आप इस लेख को पढ़ने में 10 मिनट लगाते हैं, तो हम आपको समझाएंगे कि लघुगणक क्या हैं और उनके साथ कैसे काम करें। सरल और सुलभ भाषा।

गणित में परिभाषा

लघुगणक निम्नलिखित रूप का एक व्यंजक है: log ab = c, अर्थात किसी गैर ऋणात्मक संख्या (अर्थात कोई धनात्मक) का लघुगणक "b" उसके आधार पर आधारित "a" को घात माना जाता है। सी", जिसके लिए आधार "ए" उठाया जाना चाहिए, ताकि अंत में मूल्य "बी" प्राप्त हो। आइए उदाहरणों का उपयोग करते हुए लघुगणक का विश्लेषण करें, उदाहरण के लिए, एक व्यंजक लॉग 2 8 है। उत्तर कैसे खोजें? यह बहुत आसान है, आपको ऐसी डिग्री खोजने की जरूरत है ताकि 2 से वांछित डिग्री तक आपको 8 मिलें। अपने दिमाग में कुछ गणना करने के बाद, हमें नंबर 3 मिलता है! और ठीक है, क्योंकि 2 का घात 3 उत्तर में 8 अंक देता है।

लघुगणक की किस्में

कई विद्यार्थियों और छात्रों के लिए, यह विषय जटिल और समझ से बाहर लगता है, लेकिन वास्तव में, लघुगणक इतने डरावने नहीं हैं, मुख्य बात यह है कि उनके सामान्य अर्थ को समझना और उनके गुणों और कुछ नियमों को याद रखना है। लघुगणकीय व्यंजक तीन प्रकार के होते हैं:

1. प्राकृतिक लघुगणक ln a, जहाँ आधार यूलर की संख्या (e = 2.7) है।
2. दशमलव ए, आधार 10।
3. आधार a> 1 के लिए किसी भी संख्या b का लघुगणक

उनमें से प्रत्येक को एक मानक तरीके से हल किया जाता है, जिसमें लॉगरिदमिक प्रमेयों का उपयोग करके सरलीकरण, कमी और बाद में एक लघुगणक में कमी शामिल है। लघुगणक के सही मान प्राप्त करने के लिए, आपको उनके गुणों और उन्हें हल करते समय क्रियाओं के क्रम को याद रखना चाहिए।

नियम और कुछ प्रतिबंध

गणित में, कई नियम-प्रतिबंध हैं जिन्हें एक स्वयंसिद्ध के रूप में स्वीकार किया जाता है, अर्थात वे परक्राम्य नहीं हैं और सत्य हैं। उदाहरण के लिए, आप संख्याओं को शून्य से विभाजित नहीं कर सकते हैं, और आप अभी भी ऋणात्मक संख्याओं का सम मूल नहीं निकाल सकते हैं। लघुगणक के भी अपने नियम होते हैं, जिनका पालन करके आप आसानी से लंबी और विशाल लघुगणकीय अभिव्यक्तियों के साथ भी काम करना सीख सकते हैं:

• आधार "ए" हमेशा शून्य से बड़ा होना चाहिए, और साथ ही 1 के बराबर नहीं होना चाहिए, अन्यथा अभिव्यक्ति अपना अर्थ खो देगी, क्योंकि किसी भी डिग्री में "1" और "0" हमेशा उनके मूल्यों के बराबर होते हैं;
• यदि a> 0, तो a b> 0, यह पता चलता है कि "c" भी शून्य से बड़ा होना चाहिए।

आप लघुगणक कैसे हल करते हैं?

उदाहरण के लिए, समीकरण 10 x = 100 का उत्तर खोजने का कार्य दिया गया है। यह बहुत आसान है, आपको ऐसी शक्ति चुनने की आवश्यकता है, जिससे संख्या दस बढ़ जाए जिससे हमें 100 मिले। यह, निश्चित रूप से, 10 2 = 100 .

आइए अब इस व्यंजक को लघुगणक के रूप में निरूपित करें। हमें लॉग 10 100 = 2 मिलता है। लॉगरिदम को हल करते समय, सभी क्रियाएं व्यावहारिक रूप से उस शक्ति को खोजने के लिए अभिसरण करती हैं जिसके लिए दी गई संख्या प्राप्त करने के लिए लॉगरिदम के आधार को पेश करना आवश्यक है।

अज्ञात डिग्री के मूल्य को सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए, यह सीखना आवश्यक है कि डिग्री की तालिका के साथ कैसे काम किया जाए। यह इस तरह दिख रहा है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ घातांक का सहज रूप से अनुमान लगाया जा सकता है यदि आपके पास तकनीकी मानसिकता और गुणन तालिका का ज्ञान है। हालांकि, बड़े मूल्यों के लिए पावर टेबल की आवश्यकता होगी। इसका उपयोग वे लोग भी कर सकते हैं जो जटिल गणितीय विषयों के बारे में कुछ भी नहीं जानते हैं। बाएँ स्तंभ में संख्याएँ (आधार a) हैं, संख्याओं की शीर्ष पंक्ति वह घात c है जिससे संख्या a उठाई जाती है। कोशिकाओं में प्रतिच्छेदन पर संख्याओं के मान निर्धारित किए जाते हैं, जो उत्तर (a c = b) होते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 10 के साथ बहुत पहले सेल को लें और इसे वर्ग करें, हमें 100 का मान मिलता है, जो हमारे दो कोशिकाओं के चौराहे पर इंगित किया गया है। सब कुछ इतना सरल और आसान है कि सबसे वास्तविक मानवतावादी भी समझ जाएगा!

समीकरण और असमानता

यह पता चला है कि कुछ शर्तों के तहत घातांक लघुगणक है। इसलिए, किसी भी गणितीय संख्यात्मक अभिव्यक्ति को लघुगणकीय समानता के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3 4 = 81 को 81 से आधार 3 के लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है, चार के बराबर (लॉग 3 81 = 4)। नकारात्मक शक्तियों के लिए, नियम समान हैं: 2 -5 = 1/32, हम इसे लघुगणक के रूप में लिखते हैं, हमें लॉग 2 (1/32) = -5 मिलता है। गणित के सबसे आकर्षक क्षेत्रों में से एक "लघुगणक" का विषय है। हम समीकरणों के गुणों का अध्ययन करने के तुरंत बाद उनके उदाहरणों और हलों पर थोड़ा नीचे विचार करेंगे। अब आइए देखें कि असमानताएँ कैसी दिखती हैं और उन्हें समीकरणों से कैसे अलग किया जाए।

निम्नलिखित रूप की अभिव्यक्ति दी गई है: लॉग 2 (x-1)> 3 - यह एक लॉगरिदमिक असमानता है, क्योंकि अज्ञात मान "x" लॉगरिदम के संकेत के तहत है। और अभिव्यक्ति में भी, दो मानों की तुलना की जाती है: आवश्यक संख्या का आधार दो का लघुगणक संख्या तीन से अधिक है।

लॉगरिदमिक समीकरणों और असमानताओं के बीच सबसे महत्वपूर्ण अंतर यह है कि लॉगरिदम वाले समीकरण (उदाहरण के लिए, लॉगरिदम 2 x = √9) उत्तर में एक या अधिक विशिष्ट संख्यात्मक मान दर्शाते हैं, जबकि असमानता को हल करने से स्वीकार्य मानों की सीमा दोनों निर्धारित होती है। और इस फ़ंक्शन को तोड़ने वाले बिंदु। परिणामस्वरूप, उत्तर समीकरण के उत्तर के रूप में अलग-अलग संख्याओं का एक साधारण सेट नहीं है, बल्कि एक सतत श्रृंखला या संख्याओं का सेट है।

लघुगणक पर मूल प्रमेय

लॉगरिदम के मूल्यों को खोजने के लिए आदिम कार्यों को हल करते समय, इसके गुणों का पता नहीं चल सकता है। हालांकि, जब लॉगरिदमिक समीकरणों या असमानताओं की बात आती है, तो सबसे पहले, लॉगरिदम के सभी बुनियादी गुणों को स्पष्ट रूप से समझना और व्यवहार में लागू करना आवश्यक है। हम बाद में समीकरणों के उदाहरणों से परिचित होंगे, आइए पहले प्रत्येक संपत्ति का अधिक विस्तार से विश्लेषण करें।

1. मुख्य पहचान इस तरह दिखती है: a logaB = B. यह केवल तभी लागू होता है जब a 0 से बड़ा हो, एक के बराबर न हो और B शून्य से बड़ा हो।
2. उत्पाद के लघुगणक को निम्न सूत्र में दर्शाया जा सकता है: लॉग डी (एस 1 * एस 2) = लॉग डी एस 1 + लॉग डी एस 2. इस मामले में, एक पूर्वापेक्षा है: डी, ​​एस 1 और एस 2> 0; एक 1. आप लघुगणक के इस सूत्र के लिए उदाहरण और समाधान के साथ एक प्रमाण दे सकते हैं। मान लीजिए 1 = f 1 के रूप में लॉग इन करें और 2 = f 2 के रूप में लॉग इन करें, फिर a f1 = s 1, a f2 = s 2। हम प्राप्त करते हैं कि s 1 * s 2 = a f1 * a f2 = a f1 + f2 (के गुण powers ), और आगे परिभाषा के अनुसार: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log as 2, जो साबित करने के लिए आवश्यक था।
3. भागफल का लघुगणक इस तरह दिखता है: लॉग ए (एस 1 / एस 2) = लॉग ए एस 1 - लॉग ए एस 2।
4. सूत्र के रूप में प्रमेय निम्नलिखित रूप लेता है: लॉग a q b n = n / q लॉग a b।

इस सूत्र को "लघुगणक की डिग्री का गुण" कहा जाता है। यह सामान्य डिग्री के गुणों से मिलता-जुलता है, और यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि सभी गणित प्राकृतिक अभिधारणाओं पर टिके हुए हैं। आइए एक नजर डालते हैं सबूत पर।

मान लीजिए a b = t लॉग कीजिए, यह a t = b निकलता है। यदि हम दोनों भागों को m की घात तक बढ़ा दें: a tn = b n;

लेकिन चूंकि a tn = (a q) nt / q = b n, इसलिए a q b n = (n * t) / t लॉग करें, फिर a q b n = n / q लॉग a b लॉग करें। प्रमेय सिद्ध होता है।

समस्याओं और असमानताओं के उदाहरण

सबसे आम प्रकार की लघुगणक समस्याएं समीकरणों और असमानताओं के उदाहरण हैं। वे लगभग सभी समस्या पुस्तकों में पाए जाते हैं, और गणित में परीक्षा के अनिवार्य भाग में भी शामिल हैं। विश्वविद्यालय में प्रवेश या वितरण के लिए प्रवेश परीक्षागणित में, आपको यह जानना होगा कि ऐसे कार्यों को सही तरीके से कैसे हल किया जाए।

दुर्भाग्य से, लघुगणक के अज्ञात मूल्य को हल करने और निर्धारित करने के लिए कोई एकल योजना या योजना नहीं है, हालांकि, प्रत्येक गणितीय असमानता या लघुगणक समीकरण पर कुछ नियम लागू किए जा सकते हैं। सबसे पहले, यह पता लगाना आवश्यक है कि क्या अभिव्यक्ति को सरल बनाया जा सकता है या सामान्य रूप में लाया जा सकता है। लंबा सरल करें लघुगणक व्यंजकआप कर सकते हैं, यदि आप उनके गुणों का सही उपयोग करते हैं। आइए जल्द ही उन्हें जान लेते हैं।

लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करते समय, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि हमारे सामने किस प्रकार का लघुगणक है: एक अभिव्यक्ति के उदाहरण में एक प्राकृतिक लघुगणक या दशमलव हो सकता है।

यहाँ उदाहरण ln100, ln1026 हैं। उनका समाधान इस तथ्य तक उबाल जाता है कि आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि आधार 10 क्रमशः 100 और 1026 के बराबर होगा। प्राकृतिक लघुगणक के समाधान के लिए, आपको लघुगणकीय सर्वसमिकाओं या उनके गुणों को लागू करना होगा। आइए विभिन्न प्रकार की लघुगणकीय समस्याओं को हल करने के उदाहरण देखें।

लघुगणक सूत्रों का उपयोग कैसे करें: उदाहरणों और समाधानों के साथ

तो, आइए लघुगणक पर मुख्य प्रमेयों के उपयोग के उदाहरण देखें।

1. उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग उन कार्यों में किया जा सकता है जहां विस्तार करना आवश्यक है बहुत महत्व b सरल कारकों में। उदाहरण के लिए, लॉग 2 4 + लॉग 2 128 = लॉग 2 (4 * 128) = लॉग 2 512। उत्तर 9 है।
2. लॉग 4 8 = लॉग 2 2 2 3 = 3/2 लॉग 2 2 = 1.5 - जैसा कि आप देख सकते हैं, लॉगरिदम की शक्ति की चौथी संपत्ति को लागू करना, एक जटिल और असंभव अभिव्यक्ति को हल करना संभव था। आपको बस आधार को कारक बनाने की जरूरत है और फिर शक्ति मूल्यों को लघुगणक के संकेत से बाहर निकालना होगा।

परीक्षा से असाइनमेंट

लॉगरिदम अक्सर प्रवेश परीक्षाओं में पाए जाते हैं, विशेष रूप से परीक्षा में बहुत सारी लॉगरिदमिक समस्याएं (सभी स्कूल स्नातकों के लिए राज्य परीक्षा)। आमतौर पर, ये कार्य न केवल भाग ए (परीक्षा का सबसे आसान परीक्षण भाग) में मौजूद होते हैं, बल्कि भाग सी (सबसे कठिन और भारी कार्य) में भी मौजूद होते हैं। परीक्षा "प्राकृतिक लघुगणक" विषय का सटीक और सही ज्ञान ग्रहण करती है।

समस्याओं के उदाहरण और समाधान अधिकारी से लिए जाते हैं परीक्षा के लिए विकल्प... आइए देखें कि ऐसे कार्यों को कैसे हल किया जाता है।

दिया गया लघुगणक 2 (2x-1) = 4. हल:
व्यंजक को फिर से लिखें, इसे थोड़ा सरल करते हुए लॉग 2 (2x-1) = 2 2, लघुगणक की परिभाषा से हमें वह 2x-1 = 2 4 मिलता है, इसलिए 2x = 17; एक्स = 8.5।

• सभी लघुगणक को एक आधार में परिवर्तित करना सबसे अच्छा है ताकि समाधान बोझिल और भ्रमित करने वाला न हो।
• लघुगणक के संकेत के तहत सभी भाव सकारात्मक के रूप में इंगित किए जाते हैं, इसलिए, जब अभिव्यक्ति के घातांक का घातांक, जो लघुगणक के संकेत के तहत होता है और इसके आधार के रूप में, कारक द्वारा निकाला जाता है, तो अभिव्यक्ति के तहत शेष रहता है लघुगणक सकारात्मक होना चाहिए।

गणित में अंतिम परीक्षा की तैयारी में एक महत्वपूर्ण खंड शामिल है - "लघुगणक"। इस विषय के कार्य अनिवार्य रूप से परीक्षा में निहित हैं। पिछले वर्षों के अनुभव से पता चलता है कि लॉगरिदमिक समीकरणों ने कई स्कूली बच्चों के लिए मुश्किलें पैदा की हैं। इसलिए, विभिन्न स्तरों के प्रशिक्षण वाले छात्रों को यह समझना चाहिए कि सही उत्तर कैसे खोजना है, और जल्दी से उनका सामना करना चाहिए।

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एकल की तैयारी में राज्य परीक्षाहाई स्कूल स्नातकों को एक विश्वसनीय स्रोत की आवश्यकता होती है जो परीक्षण समस्याओं के सफल समाधान के लिए सबसे पूर्ण और सटीक जानकारी प्रदान करता है। हालाँकि, पाठ्यपुस्तक हमेशा हाथ में नहीं होती है, और इंटरनेट पर आवश्यक नियम और सूत्र खोजने में अक्सर समय लगता है।

शैक्षिक पोर्टल "श्कोल्कोवो" आपको किसी भी समय कहीं भी एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी करने की अनुमति देता है। हमारी साइट लॉगरिदम के साथ-साथ एक और कई अज्ञात पर बड़ी मात्रा में जानकारी की पुनरावृत्ति और आत्मसात करने के लिए सबसे सुविधाजनक दृष्टिकोण प्रदान करती है। आसान समीकरणों से शुरू करें। यदि आप उनके साथ आसानी से निपटते हैं, तो अधिक जटिल लोगों पर आगे बढ़ें। यदि आपको किसी असमानता को हल करने में समस्या हो रही है, तो आप इसे अपने पसंदीदा में जोड़ सकते हैं ताकि आप बाद में इस पर वापस आ सकें।

आप "सैद्धांतिक संदर्भ" खंड को देखकर कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक सूत्र पा सकते हैं, मानक लॉगरिदमिक समीकरण की जड़ की गणना के लिए विशेष मामलों और विधियों को दोहरा सकते हैं। शकोलकोवो शिक्षकों ने सफल वितरण के लिए आवश्यक सभी सामग्रियों को सबसे सरल और समझने योग्य रूप में एकत्र, व्यवस्थित और प्रस्तुत किया है।

किसी भी जटिलता के कार्यों का आसानी से सामना करने के लिए, हमारे पोर्टल पर आप कुछ विशिष्ट लघुगणकीय समीकरणों के समाधान से परिचित हो सकते हैं। ऐसा करने के लिए, "निर्देशिकाएँ" अनुभाग पर जाएँ। हमने गणित में परीक्षा के प्रोफाइल स्तर के समीकरणों सहित बड़ी संख्या में उदाहरण प्रस्तुत किए हैं।

पूरे रूस के स्कूलों के छात्र हमारे पोर्टल का उपयोग कर सकते हैं। आरंभ करने के लिए, बस सिस्टम में रजिस्टर करें और समीकरणों को हल करना शुरू करें। परिणामों को समेकित करने के लिए, हम आपको हर दिन शकोल्कोवो वेबसाइट पर लौटने की सलाह देते हैं।

लघुगणकीय समीकरणों को हल करने से पहले, आइए एक बार फिर से लघुगणक की परिभाषा और मूल सूत्रों को दोहराते हैं।

लोगारित्मसकारात्मक संख्या बीवजह से एउस डिग्री का एक संकेतक है जिसके निर्माण के लिए आवश्यक है ए, प्राप्त करना बी.

इसके अलावा, वर्ग = "टेक्स" alt = "(! LANG: b> 0, \; a> 0, \; a \ neq 1">.!}

आइए लघुगणक के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा पर ध्यान दें:

वर्ग = "टेक्स" alt = "(! LANG: b> 0, \; a> 0, \; a \ neq 1">. !}

मूल लघुगणकीय पहचान:

लघुगणक के लिए बुनियादी सूत्र:

(उत्पाद का लघुगणक लघुगणक के योग के बराबर है)

(भागफल का लघुगणक लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर है)
(शक्ति के लघुगणक का सूत्र)

नए आधार पर संक्रमण का सूत्र:

हम जानते हैं कि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसा दिखता है। यह फ़ंक्शन मोनोटोनिक है। यदि लघुगणक का आधार एक से अधिक है, तो लघुगणकीय फलन नीरस रूप से बढ़ता है। यदि आधार शून्य से बड़ा और एक से कम है, तो लघुगणकीय फलन नीरस रूप से घटता है। और किसी भी हाल में यह अपने प्रत्येक मान को केवल एक बार लेता है। इसका अर्थ है कि यदि किसी आधार में दो संख्याओं के लघुगणक समान हैं, तो संख्याएँ स्वयं समान होती हैं।

यह सब लघुगणकीय समीकरणों को हल करने में हमारे लिए उपयोगी होगा।

सरलतम लघुगणक समीकरण

1. समीकरण हल करें:

लघुगणक के आधार समान होते हैं, लघुगणक स्वयं भी समान होते हैं, जिसका अर्थ है कि जिन संख्याओं से उन्हें लिया गया है वे भी समान हैं।
आमतौर पर, छात्र इस नियम को एक संक्षिप्त कठबोली कथन में याद करते हैं: "लघुगणक छोड़ो!" बेशक, हम उन्हें न केवल इस तरह "त्याग" देते हैं, बल्कि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की एकरसता की संपत्ति का उपयोग करते हैं।

हम पाते हैं:

लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करते समय, के बारे में मत भूलना मान्य मानों की श्रेणीलघुगणक याद रखें कि व्यंजक वर्ग = "टेक्स" alt = "(! LANG: b> 0, \; a> 0, \; a \ neq 1 से परिभाषित है)">.!}

यह बहुत अच्छा है यदि आप, समीकरण की जड़ खोजने के बाद, इसे समीकरण में प्लग करें। यदि इस तरह के प्रतिस्थापन के बाद, समीकरण के बाएँ या दाएँ पक्ष का कोई मतलब नहीं है, तो पाया गया संख्या समीकरण का मूल नहीं है और समस्या का उत्तर नहीं हो सकता है। परीक्षा के लिए परीक्षण करने का यह एक अच्छा तरीका है।

2. समीकरण हल करें:

समीकरण के बाईं ओर - लघुगणक, दाईं ओर - संख्या 7. मूल लघुगणकीय पहचान को लागू करते हुए, हम संख्या 7 का प्रतिनिधित्व करते हैं। तब सब कुछ सरल है।

उत्तर: -124

3. समीकरण हल करें:

समीकरण के दाईं ओर लघुगणक के सामने संख्या 2 देखें? अब यह आपको "लॉगरिदम कास्ट करने" से रोकता है। इसके साथ क्या करना है ताकि बाएँ और दाएँ पक्ष केवल आधार 5 लघुगणक हों? बेशक, डिग्री के लघुगणक का सूत्र मदद करेगा।

4. समीकरण हल करें:

मान्य श्रेणी: वर्ग = "टेक्स" alt = "(! LANG: 4-x> 0."> Значит, class="tex" alt="एक्स> -4।">!}

आइए समीकरण के दाईं ओर 2 का प्रतिनिधित्व करते हैं - ताकि समीकरण में बाएँ और दाएँ आधार 5 के लघुगणक हों।

फ़ंक्शन नीरस रूप से बढ़ता है और इसका मान ठीक एक बार लेता है। लघुगणक समान हैं, उनके आधार समान हैं। आइए लघुगणक को "छोड़ें"! बेशक, वर्ग = "टेक्स" alt = "(! LANG: x> -4">.!}

5. समीकरण हल करें:

आइए समाधान को समतुल्य संक्रमणों की एक श्रृंखला के रूप में लिखें। हम ODZ लिखते हैं और लघुगणक "हटाते हैं":

कक्षा = "टेक्स" alt = "(! LANG: \ log _ (8) \ बाएँ (x ^ (2) + x \ दाएँ) = \ log _ (8) \ बाएँ (x ^ (2) -4 \ दाएँ ) \ लेफ्टराइटएरो \ लेफ्ट \ (\ start (मैट्रिक्स) x ^ (2) + x> 0 \\ x ^ (2) -4> 0 \\ x ^ (2) + x = x ^ (2) -4 \ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ। \ बाएँ दाएँ तीर \ बाएँ \ (\ प्रारंभ (मैट्रिक्स) x ^ (2) + x> 0 \\ x ^ (2) -4> 0 \\ x = -4 \ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ। \ बायाँ दायाँ तीर x = -4">!}
उत्तर - 4।

ध्यान दें कि लघुगणकीय समीकरणों के समाधान समतुल्य संक्रमणों की एक श्रृंखला के रूप में सर्वोत्तम रूप से लिखे गए हैं। यह हमें मान्य मूल्यों की सीमा के बारे में नहीं भूलने में मदद करेगा।

6. समीकरण हल करें:।

आइए हम लघुगणक आधार 4 (घातांक में) से लघुगणक आधार 2 की ओर बढ़ते हैं। हम दूसरे आधार पर जाने के लिए सूत्र का उपयोग करके ऐसा करते हैं:

आइए समाधान को समतुल्य संक्रमणों की एक श्रृंखला के रूप में लिखें।

क्लास = "टेक्स" ऑल्ट = "(! लैंग: 2 ^ (\ लॉग _ (4) \ लेफ्ट (4x + 5 \ राइट)) = 9 \ लेफ्टराइटरो \ लेफ्ट \ (\ स्टार्ट (मैट्रिक्स) 2 ^ \ फ्रैक (( \ log _ (2) \ बाएँ (4x + 5 \ दाएँ)) (2) = 9 \\ 4x + 5> 0 \ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ। \ बाएँ दाएँ तीर \ बाएँ \ (\ प्रारंभ (मैट्रिक्स) \ बाएँ (2 ^ (\ log _ (2) \ बाएँ (4x + 5 \ दाएँ)) \ दाएँ) ^ (\ frac (1) (2)) = 9 \\ x> -1 \ frac (1) (4) \ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ। \ बाएँ दाएँ तीर \ बाएँ \ (\ शुरू (मैट्रिक्स) \ बाएँ (4x + 5 \ दाएँ) ^ (\ फ़्रेक (1) (2)) = 9 \\ x> -1 \ फ़्रेक ( 1) (4) \ एंड (मैट्रिक्स) \ राइट। \ लेफ्टराइटएरो \ लेफ्ट \ (\ start (मैट्रिक्स) \ sqrt (4x + 5) = 9 \\ x> -1 \ फ्रैक (1) (4) एंड ( मैट्रिक्स) \ दाएँ। \ बाएँ दाएँ तीर \ बाएँ \ (\ शुरू (मैट्रिक्स) 4x + 5 = 81 \\ x> -1 \ फ़्रेक (1) (4) \ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ। \ बाएँ दाएँ तीर \ बाएँ \ (\ प्रारंभ (मैट्रिक्स) x = 19 \\ x> -1 \ फ़्रेक (1) (4) \ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ।">!}

7. समीकरण हल करें:।

कृपया ध्यान दें: चर एक्सऔर लघुगणक के नीचे, और लघुगणक के आधार पर। हमें याद है कि लघुगणक का आधार धनात्मक होना चाहिए न कि 1 के बराबर।

ओडीजेड:
क्लास = "टेक्स" alt = "(! LANG: \ लेफ्ट \ (\ start (मैट्रिक्स) 12-x> 0 \\ x> 0 \\ x \ neq 1 \ एंड (मैट्रिक्स) \ राइट।">!}

अब आप लघुगणक को "हटा" सकते हैं।

बाहरी जड़ क्योंकि वर्ग = "टेक्स" alt = "(! LANG: x> 0">.!}

8. समीकरण को हल करें।

ODZ समीकरण: वर्ग = "टेक्स" alt = "(! LANG: x> 0">!}

आइए एक प्रतिस्थापन करें। बीजगणितीय समीकरणों की तरह, हम जब भी संभव हो परिवर्तनशील परिवर्तन करते हैं।

आइए वेरिएबल पर वापस जाएं एक्स:

9. समीकरण को हल करें:

लघुगणक के अंतर्गत व्यंजक हमेशा धनात्मक होता है - चूँकि हम गैर-ऋणात्मक मान में 25 जोड़ते हैं। दाईं ओर मूल के नीचे का व्यंजक भी धनात्मक होता है। माध्यम, एक्सकोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है।

आइए उत्पाद के लघुगणक के रूप में बाईं ओर लघुगणक के योग का प्रतिनिधित्व करें। दाईं ओर - आइए लघुगणक आधार 3 पर चलते हैं। और डिग्री के लघुगणक के लिए सूत्र का उपयोग करें।

हम लघुगणक को "त्याग" देते हैं।

ऐसे समीकरण को द्विघात कहते हैं। इसमें अभिव्यक्ति और शामिल हैं। आइए एक प्रतिस्थापन करें

आइए वेरिएबल पर वापस जाएं एक्स... हम पाते हैं:

हमें मूल समीकरण के सभी मूल मिल गए हैं।

लॉगरिदमिक समीकरणों को गणित में प्रोफ़ाइल USE के कार्य संख्या 5 में और कार्य संख्या 13 में देखा जा सकता है। और यदि कार्य संख्या 5 में आपको सबसे सरल समीकरण को हल करने की आवश्यकता है, तो कार्य 13 में समाधान में दो बिंदु होते हैं। दूसरा बिंदु किसी दिए गए खंड या अंतराल पर जड़ों का चयन है।