Изчисляване на пропорции и съотношения. Как да изчислим пропорции 1 1 във формата
За решаване на повечето задачи по математика гимназияизисква се познаване на пропорциите. Това просто умение ще ви помогне не само да изпълнявате сложни упражнения от учебника, но и да навлезете в самата същност на математическата наука. Как да направите пропорция? Сега нека го разберем.
Най-простият пример е задача, при която са известни три параметъра и трябва да се намери четвъртият. Пропорциите, разбира се, са различни, но често трябва да намерите някакво число в проценти. Например, момчето имаше общо десет ябълки. Четвъртата част даде на майка си. Колко ябълки са останали на момчето? Това е най-простият пример, който ще ви позволи да направите пропорция. Основното нещо е да го направите. Първоначално имаше десет ябълки. Нека да е 100%. Това маркирахме всичките му ябълки. Той даде една четвърт. 1/4=25/100. И така, той е оставил: 100% (първоначално беше) - 25% (той даде) = 75%. Тази цифра показва процента на количеството останали плодове спрямо количеството плодове, което е било налично първо. Сега имаме три числа, с които вече можем да решим пропорцията. 10 ябълки - 100%, хябълки - 75%, където х е желаното количество плодове. Как да направите пропорция? Необходимо е да се разбере какво е то. Математически изглежда така. Знакът за равенство е за ваше разбиране.
10 ябълки = 100%;
х ябълки = 75%.
Оказва се, че 10/x = 100%/75. Това е основното свойство на пропорциите. В края на краищата, колкото повече х, толкова повече проценти е това число от оригинала. Решаваме тази пропорция и получаваме това x=7,5 ябълки. Защо момчето реши да даде нецяла сума, не знаем. Сега знаете как да направите пропорция. Основното нещо е да намерите две съотношения, едното от които съдържа желаното неизвестно.
Решаването на пропорция често се свежда до просто умножение и след това деление. Децата не се учат в училище защо е така. Въпреки че е важно да се разбере, че пропорционалните отношения са математически класики, самата същност на науката. За да решавате пропорции, трябва да можете да боравите с дроби. Например, често е необходимо процентите да се преобразуват в обикновени дроби. Тоест запис от 95% няма да работи. И ако веднага напишете 95/100, тогава можете да направите солидни намаления, без да започнете основното броене. Струва си да кажем веднага, че ако вашата пропорция се оказа с две неизвестни, тогава тя не може да бъде решена. Тук никой професор не може да ти помогне. И вашата задача най-вероятно има по-сложен алгоритъм за правилни действия.
Помислете за друг пример, при който няма проценти. Автомобилистът купи 5 литра бензин за 150 рубли. Замисли се колко ще плати за 30 литра гориво. За да решим тази задача, ние означаваме с x необходимата сума пари. Можете сами да решите този проблем и след това да проверите отговора. Ако все още не сте разбрали как да направите пропорция, тогава погледнете. 5 литра бензин е 150 рубли. Както в първия пример, нека напишем 5l - 150r. Сега нека намерим третото число. Разбира се, това са 30 литра. Съгласете се, че чифт от 30 l - x рубли е подходящ в тази ситуация. Нека да преминем към математическия език.
5 литра - 150 рубли;
30 литра - х рубли;
Решаваме тази пропорция:
х = 900 рубли.
Така решихме. В задачата си не забравяйте да проверите адекватността на отговора. Случва се с грешно решение колите да достигнат нереални скорости от 5000 километра в час и т.н. Сега знаете как да направите пропорция. Също така можете да го разрешите. Както можете да видите, няма нищо сложно в това.
Връзката е определена връзка между субектите на нашия свят. Това могат да бъдат числа, физически величини, предмети, продукти, явления, действия и дори хора.
IN Ежедневиетокогато става въпрос за съотношения, ние казваме "съотношение на това и онова". Например, ако във ваза има 4 ябълки и 2 круши, тогава казваме съотношение ябълка към круша съотношение круша към ябълка.
В математиката съотношението често се използва като "отношението на нещо към нещо". Например съотношението на четири ябълки и две круши, което разгледахме по-горе, в математиката ще се чете като "съотношението на четири ябълки към две круши"или ако размените ябълки и круши, тогава "съотношението две круши към четири ябълки".
Съотношението се изразява като аДа се b(където вместо аИ bвсякакви числа), но по-често можете да намерите запис, който е съставен с двоеточие като а:б. Можете да прочетете този запис по различни начини:
- аДа се b
- аотнася се до b
- поведение аДа се b
Записваме съотношението на четири ябълки и две круши, като използваме символа за съотношение:
4: 2
Ако разменим ябълките и крушите, ще имаме съотношение 2:4. Това съотношение може да се чете като "две до четири" или едно от двете "две круши са равни на четири ябълки" .
По-нататък ще наричаме релацията релация.
Съдържание на урокаКакво е отношение?
Отношението, както беше споменато по-рано, се записва като а:б. Може да се запише и като дроб. А знаем, че такъв запис в математиката означава деление. Тогава резултатът от връзката ще бъде частното на числата аИ b.
В математиката съотношението е частното на две числа.
Съотношението ви позволява да разберете колко от един обект е на единица от друг. Да се върнем към съотношението четири ябълки към две круши (4:2). Това съотношение ще ни позволи да разберем колко ябълки има на единица круша. Една единица означава една круша. Първо, нека запишем съотношението 4:2 като дроб:
Това отношение е деленето на числото 4 на числото 2. Ако извършим това деление, ще получим отговора на въпроса колко ябълки има на единица круша
Имаме 2. Така че четири ябълки и две круши (4: 2) са корелирани (взаимосвързани една с друга), така че има две ябълки на круша
Фигурата показва как четири ябълки и две круши са свързани една с друга. Вижда се, че на всяка круша има две ябълки.
Отношението може да се обърне, като се напише като . Тогава получаваме съотношението на две круши и четири ябълки или „съотношението на две круши към четири ябълки“. Това съотношение ще покаже колко круши има за единица ябълка. Единицата ябълка означава една ябълка.
За да намерите стойността на дроб, трябва да запомните как да разделите по-малко число на по-голямо.
Имам 0,5. Нека преведем това десетичен знакв обикновени:
Намалете получената обикновена дроб с 5
Имам отговор (половин круша). Така че две круши и четири ябълки (2: 4) са свързани (взаимно свързани помежду си), така че една ябълка представлява половин круша
Фигурата показва как две круши и четири ябълки са свързани помежду си. Вижда се, че за всяка ябълка има половин круша.
Числата, които съставляват една връзка, се наричат членове на връзката. Например в отношението 4:2 членовете са числата 4 и 2.
Помислете за други примери за взаимоотношения. Прави се рецепта за приготвяне на нещо. Рецептата е изградена от съотношенията между продуктите. Например, приготвянето на овесени ядки обикновено изисква чаша зърнени храни към две чаши мляко или вода. Това води до съотношение 1:2 („едно към две“ или „една чаша зърнени култури към две чаши мляко“).
Нека преобразуваме съотношението 1:2 в дроб, получаваме. Изчислявайки тази дроб, получаваме 0,5. Това означава, че една чаша зърнени храни и две чаши мляко са корелирани (корелирани една с друга), така че има половин чаша зърнени храни за една чаша мляко.
Ако обърнете съотношението 1:2, получавате съотношение 2:1 („две към едно“ или „две чаши мляко към една чаша зърнени храни“). Преобразувайки съотношението 2:1 в дроб, получаваме. Изчислявайки тази дроб, получаваме 2. Така че две чаши мляко и една чаша зърнени култури са свързани (корелирани помежду си), така че има две чаши мляко за една чаша зърнени храни.
Пример 2В класа има 15 ученици. От тях 5 са момчета, 10 са момичета. Възможно е да запишете съотношение на момичета към момчета 10:5 и да преобразувате това съотношение в дроб. Изчислявайки тази дроб, получаваме 2. Това означава, че момичетата и момчетата са свързани помежду си, така че за всяко момче има две момичета
Фигурата показва как десет момичета и пет момчета се отнасят помежду си. Вижда се, че на всяко момче има две момичета.
Не винаги е възможно съотношението да се преобразува в дроб и да се намери частно. В някои случаи ще бъде нелогично.
Така че, ако обърнете съотношението с главата надолу, това е съотношението между момчета и момичета. Ако изчислите тази дроб, ще получите 0,5. Оказва се, че пет момчета са свързани с десет момичета, така че за всяко момиче има половин момче. Математически това разбира се е вярно, но от гледна точка на реалността не е съвсем разумно, защото едно момче е жив човек и не може просто да се вземе и раздели като круша или ябълка.
Способността за изграждане на правилна нагласа е важно умение при решаването на проблеми. Така че във физиката съотношението на изминатото разстояние към времето е скоростта на движение.
Разстоянието се означава с променливата С, време - чрез променлива T, скорост - чрез променливата v. След това фразата "съотношението на изминатото разстояние към времето е скоростта на движение"ще бъде описан със следния израз:
Да предположим, че една кола изминава 100 километра за 2 часа. Тогава отношението на 100 изминати километра към 2 часа ще бъде скоростта на автомобила:
Скоростта е разстоянието, изминато от тялото за единица време. Единицата за време е 1 час, 1 минута или 1 секунда. И съотношението, както беше споменато по-рано, ви позволява да разберете колко от един обект е на единица от друг. В нашия пример съотношението сто километра към два часа показва колко километра има за един час движение. Виждаме, че за всеки час движение има 50 километра
Така че скоростта се измерва в км/ч, м/мин, м/с. Символът за дроб (/) показва отношението на разстоянието към времето: километри в час , метри в минутаИ метри в секунда съответно.
Пример 2. Отношението на стойността на една стока към нейното количество е цената на една единица от стоката.
Ако вземем 5 шоколадови блокчета в магазина и общата им цена е 100 рубли, тогава можем да определим цената на един блок. За да направите това, трябва да намерите съотношението от сто рубли към броя на баровете. Тогава получаваме, че една лента е 20 рубли
Сравнение на стойности
По-рано научихме, че съотношението между количества от различно естество образува ново количество. По този начин съотношението на изминатото разстояние към времето е скоростта на движение. Отношението на стойността на една стока към нейното количество е цената на една единица от стоката.
Но съотношението може да се използва и за сравняване на стойности. Резултатът от такава връзка е число, показващо колко пъти първата стойност е по-голяма от втората или каква част е първата стойност от втората.
За да разберете колко пъти първата стойност е по-голяма от втората, трябва да напишете по-голяма стойност в числителя на отношението и по-малка стойност в знаменателя.
За да разберете каква част е първата стойност от втората, трябва да напишете по-малка стойност в числителя на отношението и по-голяма стойност в знаменателя.
Помислете за числата 20 и 2. Нека разберем колко пъти е числото 20 повече брой 2. За целта намираме съотношението на числото 20 към числото 2. В числителя на отношението записваме числото 20, а в знаменателя - числото 2
Стойността на това съотношение е десет
Съотношението на числото 20 към числото 2 е числото 10. Това число показва колко пъти числото 20 е по-голямо от числото 2. Така че числото 20 е десет пъти по-голямо от числото 2.
Пример 2В класа има 15 ученици. От тях 5 са момчета, 10 са момичета. Определете колко пъти момичетата са повече от момчетата.
Запишете отношението на момичетата към момчетата. В числителя на съотношението записваме броя на момичетата, в знаменателя на съотношението - броя на момчетата:
Стойността на това съотношение е 2. Това означава, че в клас от 15 има два пъти повече момичета, отколкото момчета.
Вече не стои въпросът колко момичета има за едно момче. В този случай съотношението се използва за сравнение между броя на момичетата и броя на момчетата.
Пример 3. Каква част от числото 2 е от числото 20.
Намираме отношението на числото 2 към числото 20. В числителя на отношението записваме числото 2, а в знаменателя - числото 20
За да намерите смисъла на тази връзка, трябва да запомните,
Стойността на отношението на числото 2 към числото 20 е числото 0,1
В този случай десетичната дроб 0,1 може да се преобразува в обикновена. Този отговор ще бъде по-лесен за разбиране:
Значи числото 2 от числото 20 е една десета.
Можете да направите проверка. За да направим това, ще намерим от числото 20. Ако сме направили всичко правилно, трябва да получим числото 2
20: 10 = 2
2 х 1 = 2
Получихме числото 2. Така че една десета от числото 20 е числото 2. От това заключаваме, че задачата е решена правилно.
Пример 4В класа има 15 човека. От тях 5 са момчета, 10 са момичета. Определете каква част от общия брой ученици са момчета.
Записваме съотношението на момчетата към общия брой ученици. В числителя на отношението записваме пет момчета, а в знаменателя - общия брой на учениците. Общият брой на учениците е 5 момчета плюс 10 момичета, така че записваме числото 15 в знаменателя на отношението
За да намерите стойността на това съотношение, трябва да запомните как да разделите по-малко число на по-голямо. В този случай числото 5 трябва да бъде разделено на числото 15
Когато разделите 5 на 15, получавате периодична дроб. Нека преобразуваме тази дроб в обикновена
Получих окончателния отговор. Така че момчетата съставляват една трета от целия клас
Фигурата показва, че в клас от 15 ученици една трета от класа е 5 момчета.
Ако за проверка намерим от 15 ученици, тогава ще получим 5 момчета
15: 3 = 5
5 х 1 = 5
Пример 5Колко пъти числото 35 е по-голямо от числото 5?
Пишем съотношението на числото 35 към числото 5. В числителя на съотношението трябва да напишете числото 35, в знаменателя - числото 5, но не и обратното
Стойността на това отношение е 7. Така че числото 35 е седем пъти по-голямо от числото 5.
Пример 6В класа има 15 човека. От тях 5 са момчета, 10 са момичета. Определете каква част от общия брой са момичета.
Записваме съотношението на момичетата към общия брой ученици. В числителя на отношението записваме десет момичета, а в знаменателя - общия брой на учениците. Общият брой на учениците е 5 момчета плюс 10 момичета, така че записваме числото 15 в знаменателя на отношението
За да намерите стойността на това съотношение, трябва да запомните как да разделите по-малко число на по-голямо. В този случай числото 10 трябва да бъде разделено на числото 15
Когато разделите 10 на 15, получавате периодична дроб. Нека преобразуваме тази дроб в обикновена
Нека намалим получената дроб с 3
Получих окончателния отговор. Така че момичетата съставляват две трети от целия клас
Фигурата показва, че в клас от 15 ученика две трети от класа са 10 момичета.
Ако за проверка намерим от 15 ученици, тогава получаваме 10 момичета
15: 3 = 5
5 х 2 = 10
Пример 7Каква част от 10 см е 25 см
Запишете съотношението от десет сантиметра към двадесет и пет сантиметра. В числителя на отношението записваме 10 cm, в знаменателя - 25 cm
За да намерите стойността на това съотношение, трябва да запомните как да разделите по-малко число на по-голямо. В този случай числото 10 трябва да бъде разделено на числото 25
Нека преобразуваме получената десетична дроб в обикновена
Нека намалим получената дроб с 2
Получих окончателния отговор. Така че 10 см са 25 см.
Пример 8Колко пъти 25 cm е по-голямо от 10 cm
Запишете съотношението от двадесет и пет сантиметра към десет сантиметра. В числителя на отношението записваме 25 cm, в знаменателя - 10 cm
Получих отговор 2.5. Така че 25 см е 2,5 пъти повече от 10 см (два пъти и половина)
Важна забележка.При намиране на връзка със същото име физични величинитези количества трябва да бъдат изразени в една мерна единица, в противен случай отговорът ще бъде грешен.
Например, ако имаме работа с две дължини и искаме да знаем колко пъти първата дължина е по-голяма от втората или каква част е първата дължина от втората, тогава двете дължини трябва първо да бъдат изразени в една мерна единица.
Пример 9Колко пъти 150 см е повече от 1 метър?
Първо, нека се уверим, че и двете дължини са изразени в една и съща единица. За да направите това, преобразувайте 1 метър в сантиметри. Един метър е сто сантиметра
1 м = 100 см
Сега намираме съотношението от сто и петдесет сантиметра към сто сантиметра. В числителя на отношението пишем 150 сантиметра, в знаменателя - 100 сантиметра
Нека намерим стойността на това отношение
Получих отговор 1.5. Така че 150 см е повече от 100 см с 1,5 пъти (един път и половина).
И ако не започнем да преобразуваме метри в сантиметри и веднага се опитаме да намерим съотношението от 150 см към един метър, тогава ще получим следното:
Ще се окаже, че 150 см са сто и петдесет пъти повече от един метър, но това не е вярно. Ето защо е наложително да се обърне внимание на мерните единици на физическите величини, които участват във връзката. Ако тези количества са изразени в различни мерни единици, тогава, за да намерите съотношението на тези количества, трябва да отидете на една мерна единица.
Пример 10Миналия месец заплатата на човек беше 25 000 рубли, а този месец заплатата се увеличи до 27 000 рубли. Определете с колко се е увеличила заплатата
Записваме съотношението от двадесет и седем хиляди към двадесет и пет хиляди. В числителя на отношението записваме 27000, в знаменателя - 25000
Нека намерим стойността на това отношение
Получих отговор 1.08. Така заплатата се е увеличила с 1,08 пъти. В бъдеще, когато се запознаем с процентите, ще изразим такива показатели като заплата като процент.
Пример 11. Жилищната сграда е широка 80 метра и висока 16 метра. Колко пъти ширината на къщата е по-голяма от нейната височина?
Пишем съотношението на ширината на къщата към нейната височина:
Стойността на това съотношение е 5. Това означава, че ширината на къщата е пет пъти по нейната височина.
отношение собственост
Съотношението няма да се промени, ако членовете му се умножат или разделят на едно и също число.
Това едно от най-важните свойства на релацията следва от свойството частно. Знаем, че ако дивидентът и делителят се умножат или разделят на едно и също число, тогава частното няма да се промени. И тъй като съотношението не е нищо повече от деление, свойството частно работи и за него.
Нека се върнем към отношението на момичетата към момчетата (10:5). Това съотношение показва, че на всяко момче има две момичета. Нека проверим как работи свойството на релацията, а именно, нека се опитаме да умножим или разделим нейните членове по едно и също число.
В нашия пример е по-удобно да се разделят членовете на връзката по техния най-голям общ делител(GCD).
GCD на членове 10 и 5 е числото 5. Следователно можете да разделите условията на релацията на числото 5
Имам ново отношение. Съотношението е две към едно (2:1). Това съотношение, подобно на предишното съотношение 10:5, показва, че на всяко момче има две момичета.
Фигурата показва съотношение 2:1 (две към едно). Както и в предишното съотношение 10:5, на едно момче се падат две момичета. С други думи отношението не се е променило.
Пример 2. В един клас има 10 момичета и 5 момчета. В друг клас има 20 момичета и 10 момчета. Колко пъти повече са момичетата от момчетата в първи клас? Колко пъти повече са момичетата от момчетата във втори клас?
И в двата класа има два пъти повече момичета, отколкото момчета, тъй като съотношенията на и са равни на едно и също число.
Свойството връзка ви позволява да изграждате различни модели, които имат подобни параметри на реалния обект. Да предположим, че една жилищна сграда е широка 30 метра и висока 10 метра.
За да нарисувате подобна къща на хартия, трябва да я нарисувате в същото съотношение 30:10.
Разделете двата члена на това съотношение на числото 10. Тогава получаваме съотношението 3:1. Това съотношение е 3, както предишното съотношение е 3
Преобразувайте метри в сантиметри. 3 метра е 300 сантиметра, а 1 метър е 100 сантиметра.
3 м = 300 см
1 м = 100 см
Имаме съотношение 300 см: 100 см. Разделете членовете на това съотношение на 100. Получаваме съотношение 3 см: 1 см. Сега можем да начертаем къща с ширина 3 см и височина 1 см
Разбира се, начертаната къща е много по-малка от истинската, но съотношението на ширината и височината остава непроменено. Това ни позволи да начертаем къща възможно най-близо до истинската.
Отношението може да се разбере и по друг начин. Първоначално се казваше, че истинската къща има ширина 30 метра и височина 10 метра. Общо е 30 + 10, тоест 40 метра.
Тези 40 метра могат да се разбират като 40 части. Съотношение 30:10 означава 30 части за ширина и 10 части за височина.
Освен това членовете на съотношението 30:10 бяха разделени на 10. Резултатът беше съотношение 3:1. Това съотношение може да се разбере като 4 части, три от които се падат на ширината, една на височината. В този случай обикновено трябва да разберете точно колко метра на ширина и височина.
С други думи, трябва да разберете колко метра попадат на 3 части и колко метра попадат на 1 част. Първо трябва да разберете колко метра се падат на една част. За да направите това, общите 40 метра трябва да бъдат разделени на 4, тъй като има само четири части в съотношение 3:1
Нека определим колко метра е ширината:
10 m × 3 = 30 m
Нека определим колко метра се падат на височината:
10 m × 1 = 10 m
Множество членове на една връзка
Ако няколко члена са дадени във връзка, тогава те могат да се разбират като части от нещо.
Пример 1. Купих 18 ябълки. Тези ябълки бяха разделени между мама, татко и дъщеря в съотношение 2:1:3. Колко ябълки получи всеки?
Съотношението 2:1:3 показва, че майката е получила 2 части, бащата - 1 част, дъщерята - 3 части. С други думи, всеки член на съотношението 2:1:3 е определена част от 18 ябълки:
Ако добавите условията на съотношението 2: 1: 3, тогава можете да разберете колко части има общо:
2 + 1 + 3 = 6 (части)
Намерете колко ябълки падат на една част. За да направите това, разделете 18 ябълки на 6
18:6 = 3 (ябълки на част)
Сега нека определим колко ябълки е получил всеки. Като умножите три ябълки по всеки член на съотношението 2:1:3, можете да определите колко ябълки е получила мама, колко татко и колко дъщеря.
Разберете колко ябълки има мама:
3 × 2 = 6 (ябълки)
Разберете колко ябълки има татко:
3 × 1 = 3 (ябълки)
Разберете колко ябълки получи дъщерята:
3 × 3 = 9 (ябълки)
Пример 2. Новото сребро (алпака) е сплав от никел, цинк и мед в съотношение 3:4:13. Колко килограма от всеки метал трябва да се вземат, за да се получат 4 кг ново сребро?
4 килограма ново сребро ще съдържат 3 части никел, 4 части цинк и 13 части мед. Първо откриваме колко части ще има в четири килограма сребро:
3 + 4 + 13 = 20 (части)
Определете колко килограма ще паднат върху една част:
4 кг: 20 = 0,2 кг
Нека определим колко килограма никел ще се съдържат в 4 кг ново сребро. В съотношение 3:4:13 се казва, че три части от сплавта съдържат никел. Така че умножаваме 0,2 по 3:
0,2 kg × 3 = 0,6 kg никел
Сега нека определим колко килограма цинк ще се съдържат в 4 кг ново сребро. В съотношение 3:4:13 се казва, че четири части от сплавта съдържат цинк. Така че умножаваме 0,2 по 4:
0,2 kg × 4 = 0,8 kg цинк
Сега нека определим колко килограма мед ще се съдържат в 4 кг ново сребро. В съотношение 3:4:13 се казва, че тринадесет части от сплавта съдържат мед. Следователно умножаваме 0,2 по 13:
0,2 kg × 13 = 2,6 kg мед
Така че, за да получите 4 кг ново сребро, трябва да вземете 0,6 кг никел, 0,8 кг цинк и 2,6 кг мед.
Пример 3. Месингът е сплав от мед и цинк, чието масово съотношение е 3:2. Необходими са 120 g мед, за да се направи парче месинг. Колко цинк е необходим за направата на това парче месинг?
Нека определим колко грама от сплавта се падат на една част. Условието гласи, че за направата на парче месинг са необходими 120 г мед. Също така се казва, че три части от сплавта съдържат мед. Ако разделим 120 на 3, ще разберем колко грама от сплавта има в една част:
120: 3 = 40 грама на парче
Сега нека определим колко цинк е необходим за направата на парче месинг. За да направите това, умножаваме 40 грама по 2, тъй като в съотношение 3: 2 се посочва, че две части съдържат цинк:
40 g × 2 = 80 грама цинк
Пример 4. Взеха две сплави от злато и сребро. В единия съотношението на тези метали е 1:9, а в другия 2:3. Колко от всяка сплав трябва да се вземе, за да се получат 15 кг нова сплав, в която златото и среброто ще бъдат съотношени като 1:4 ?
Решение
15 кг нова сплав трябва да са в съотношение 1: 4. Това съотношение показва, че една част от сплавта ще има злато, а четири части ще имат сребро. Има общо пет части. Схематично това може да се представи по следния начин
Да определим масата на една част. За да направите това, първо добавете всички части (1 и 4), след това разделете масата на сплавта на броя на тези части
1 + 4 = 5
15 кг: 5 = 3 кг
Една част от сплавта ще има маса 3 кг. Тогава 15 кг от новата сплав ще съдържат 3 × 1 = 3 кг злато и 3 × 4 = 12 кг сребро.
Следователно, за да получим сплав с тегло 15 kg, са ни необходими 3 kg злато и 12 kg сребро.
Сега нека отговорим на въпроса на задачата - " Колко да вземете всяка сплав? »
Ще вземем 10 кг от първата сплав, тъй като златото и среброто в нея са в съотношение 1: 9. Тоест тази първа сплав ще ни даде 1 кг злато и 9 кг сребро.
Ще вземем 5 кг от втората сплав, тъй като златото и среброто са в него в съотношение 2: 3. Тоест тази втора сплав ще ни даде 2 кг злато и 3 кг сребро.
Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група Vkontakte и започнете да получавате известия за нови уроци
базаматематическото изследване е способността да се придобият знания за определени величини чрез сравняването им с други величини, които са или равен, или Повече ▼или по-малкоотколкото тези, които са обект на изследването. Това обикновено се прави със серия уравненияИ пропорции. Когато използваме уравнения, ние определяме количеството, което търсим, като го намираме равенствос някакво друго вече познато количество или количества.
Често обаче се случва да сравняваме неизвестно количество с други такива не е равнонея, но повече или по-малко от нея. Тук се нуждаем от различен подход към обработката на данни. Може да се наложи да знаем, напр. колкоедна стойност е по-голяма от другата, или колко пътиедното съдържа другото. За да намерим отговори на тези въпроси, ще разберем какво е съотношениедва размера. Едно отношение се нарича аритметика, и друг геометричен. Въпреки че си струва да се отбележи, че и двата термина не са приети случайно или просто за разграничение. Както аритметичните, така и геометричните отношения се прилагат както за аритметиката, така и за геометрията.
Тъй като е компонент на обширен и важен предмет, пропорцията зависи от съотношенията, така че е необходимо ясно и пълно разбиране на тези понятия.
338. Аритметично съотношение Това разликамежду две величини или поредица от величини. Самите количества се наричат членовесъотношения, тоест термини, между които има съотношение. Така 2 е аритметичното съотношение на 5 и 3. Това се изразява чрез поставяне на знак минус между двете стойности, т.е. 5 - 3. Разбира се, терминът аритметично съотношение и неговото детайлизиране е практически безполезно, тъй като само замяната на думата възниква разликадо знака минус в израза.
339. Ако и двата члена на аритметична релация умножават сеили разделямсъс същата сума, тогава съотношение,в крайна сметка ще бъде умножен или разделен на тази сума.
Така, ако имаме a - b = r
След това умножете двете страни по h, (Ax. 3.) ha - hb = hr
И разделяйки на h, (Ax. 4.) $\frac(a)(h)-\frac(b)(h)=\frac(r)(h)$
340. Ако членовете на едно аритметично съотношение се добавят или изваждат от съответните членове на друго, тогава отношението на сбора или разликата ще бъде равно на сбора или разликата на двете съотношения.
Ако a - b
И д-з
са две съотношения,
Тогава (a + d) - (b + h) = (a - b) + (d - h). Което във всеки случай = a + d - b - h.
И (a - d) - (b - h) = (a - b) - (d - h). Което във всеки случай = a - d - b + h.
Така че аритметичното съотношение 11 - 4 е 7
А аритметичното съотношение 5 - 2 е 3
Отношението на сумата от членовете 16 - 6 е 10, - сумата от съотношенията.
Съотношението на разликата на членовете 6 - 2 е 4, - разликата на съотношенията.
341. геометрично съотношение
е връзката между количествата, която се изразява ЧАСТЕНако една стойност се раздели на друга.
Така че съотношението 8 към 4 може да се запише като 8/4 или 2. Това е частното от 8, делено на 4. С други думи, то показва колко пъти 4 се съдържа в 8.
По същия начин съотношението на всяко количество към друго може да се определи, като първото се раздели на второто или, което по принцип е същото, като първото се превърне в числител на дробта, а второто в знаменател.
Така че съотношението на a към b е $\frac(a)(b)$
Съотношението на d + h към b + c е $\frac(d+h)(b+c)$.
342. Геометричното отношение също се записва чрез поставяне на две точки една над друга между сравняваните стойности.
Така a:b е съотношението на a към b, а 12:4 е съотношението на 12 към 4. Двете количества заедно образуват двойка, в който се нарича първият член антецедент, а последният е последващо.
343. Тази нотация с точки и другата, под формата на дроб, са взаимозаменяеми, ако е необходимо, като антецедентът става числител на дробта, а последващият знаменател.
Така че 10:5 е същото като $\frac(10)(5)$ и b:d е същото като $\frac(b)(d)$.
344. Ако някое от тези три значения: антецедент, следствие и връзка е дадено някое две, тогава третият може да бъде намерен.
Нека a= антецедент, c= следствие, r= връзка.
По дефиниция $r=\frac(a)(c)$, т.е. съотношението е равно на антецедента, разделен на консеквента.
Умножавайки по c, a = cr, т.е. антецедентът е равен на последователното, умножено по съотношението.
Разделете на r, $c=\frac(a)(r)$, т.е. следствието е равно на антецедента, разделен на отношението.
респ. 1. Ако две двойки имат равни предшестващи и последващи, тогава техните съотношения също са равни.
респ. 2. Ако съотношенията и антецедентите на две двойки са равни, тогава и консеквентите са равни, а ако съотношенията и консеквентите са равни, тогава и антецедентите са равни.
345. Ако две сравнени количества равен, то тяхното отношение е равно на единица или равенство. Съотношението 3 * 6:18 е равно на едно, тъй като частното на всяка стойност, разделено на себе си, е равно на 1.
Ако антецедентът на двойката Повече ▼,отколкото следствието, тогава отношението е по-голямо от едно. Тъй като дивидентът е по-голям от делителя, частното е по-голямо от едно. Така че съотношението 18:6 е 3. Това се нарича съотношение по-голямо неравенство.
От друга страна, ако антецедентът по-малкоотколкото следствието, тогава отношението е по-малко от едно и това се нарича отношение по-малко неравенство. Така че отношението 2:3 е по-малко от едно, защото дивидентът е по-малък от делителя.
346. Обратенсъотношението е отношението на две реципрочни величини.
Така че съотношението на обратното на 6 към 3 е към, тоест:.
Пряката връзка на a към b е $\frac(a)(b)$, т.е. антецедентът, разделен на следствието.
Обратната връзка е $\frac(1)(a)$:$\frac(1)(b)$ или $\frac(1)(a).\frac(b)(1)=\frac(b) (а)$.
тоест копоследователността b, разделена на антецедента a.
Следователно се изразява обратната връзка чрез обръщане на дроб, което показва пряка връзка, или, когато нотацията се извършва с помощта на точки, обръщане на реда на писане на членовете.
Така a е свързано с b по обратния начин, по който b е свързано с a.
347. Комплексно съотношениетова съотношение върши работасъответни термини с две или повече прости отношения.
Така че съотношението е 6:3, равно на 2
И съотношение 12:4 е равно на 3
Съотношението, съставено от тях, е 72:12 = 6.
Тук се получава сложна връзка чрез умножаване заедно на два антецедента, а също и две следствия на прости връзки.
Така че съотношението е съставено
От съотношението a:b
И съотношения c:d
и съотношението h:y
Това е релацията $ach:bdy=\frac(ach)(bdy)$.
Сложната връзка не се различава по своята природаот всяко друго съотношение. Този термин се използва, за да покаже произхода на връзка в определени случаи.
респ. Сложното съотношение е равно на произведението на простите съотношения.
Съотношението a:b е равно на $\frac(a)(b)$
Съотношението c:d е равно на $\frac(c)(d)$
Съотношението h:y е равно на $\frac(h)(y)$
И добавеното съотношение на тези три ще бъде ach/bdy, което е произведението на дроби, които изразяват прости съотношения.
348. Ако в последователността от отношения във всяка предходна двойка консеквентът е антецедент в следващата, то съотношението на първия антецедент и последното следствие е равно на това, получено от междинните съотношения.
Така че в редица съотношения
а:б
b:c
c:d
д:ч
съотношението a:h е равно на отношението, сумирано от съотношенията a:b и b:c и c:d и d:h. Така че сложната връзка в последната статия е $\frac(abcd)(bcdh)=\frac(a)(h)$ или a:h.
По същия начин, всички количества, които са едновременно предходни и последващи изчезва, когато произведението на дробите се опростява до по-малките членове и в остатъка сложното отношение ще бъде изразено от първия антецедент и последния консеквент.
349. Специален клас сложни отношения се получава чрез умножаване на просто отношение по себе сиили на друг равенсъотношение. Тези съотношения се наричат двойно, тройна, четворна, и така нататък, според броя на умноженията.
Съотношение съставено от дверавни пропорции, т.е. квадрат двойносъотношение.
Съставена от три, това е, кубпросто отношение се нарича тройна, и така нататък.
По същия начин съотношението квадратни коренидве величини се нарича съотношение корен квадратен, и съотношението кубични корени- съотношение кубичен корен, и така нататък.
Така че простото съотношение на a към b е a:b
Двойното съотношение на a към b е a 2:b 2
Тройното съотношение на a към b е a 3:b 3
Съотношението на корен квадратен от a към b е √a :√b
Съотношението на кубичния корен от a към b е 3 √a : 3 √b и т.н.
Условия двойно, тройна, и така нататък не е необходимо да се смесват с удвоени, утрои, и така нататък.
Съотношението 6 към 2 е 6:2 = 3
Ако удвоим това съотношение, тоест съотношението два пъти, получаваме 12:2 = 6
Утрояваме това съотношение, тоест това съотношение три пъти, получаваме 18: 2 = 9
А двойносъотношение, т.е квадратсъотношението е 6 2:2 2 = 9
И тройнасъотношението, т.е. кубът на отношението, е 6 3:2 3 = 27
350. За да бъдат корелирани помежду си количествата, те трябва да са от един и същи вид, за да може със сигурност да се твърди дали са равни помежду си или едното от тях е по-голямо или по-малко. Един фут е към един инч като 12 към 1: той е 12 пъти по-голям от един инч. Но не може, например, да се каже, че един час е по-дълъг или по-кратък от пръчка или че акър е по-голям или по-малък от градус. Въпреки това, ако тези стойности са изразени в числа, тогава може да има връзка между тези числа. Тоест може да има връзка между броя на минутите в един час и броя на стъпките в една миля.
351. Обръщайки се към природасъотношения, следващата стъпка, която трябва да вземем предвид, е как промяната в един или два члена, които се сравняват един с друг, ще повлияе на самото съотношение. Спомнете си, че прякото съотношение се изразява като дроб, където antecedetдвойките са винаги числител, А последователно - знаменател. Тогава ще бъде лесно да се получи от свойството на дробите, че промените в съотношението възникват чрез промяна на сравняваните количества. Съотношението на двете количества е същото като значениедроби, всяка от които представлява частен: числителят, разделен на знаменателя. (Чл. 341.) Сега беше показано, че умножаването на числителя на дроб по произволна стойност е същото като умножаването значениесъс същата сума и че разделянето на числителя е същото като разделянето на стойностите на дроб. Ето защо,
352. Да се умножи антецедентът на двойка по произволна стойност означава да се умножат съотношенията по тази стойност, а да се раздели антецедентът означава да се раздели това съотношение.
Така че съотношението 6:2 е 3
А съотношението 24:2 е 12.
Тук антецедентът и отношението в последната двойка са 4 пъти по-големи от тези в първата.
Отношението a:b е равно на $\frac(a)(b)$
И отношението na:b е равно на $\frac(na)(b)$.
респ. С известно последствие, толкова повече антецедент, колкото повече съотношение, и обратното, колкото по-голямо е съотношението, толкова по-голям е антецедентът.
353. Умножавайки следствието на двойка по произволна стойност, в резултат на това получаваме разделянето на съотношението на тази стойност и разделяйки следствието, умножаваме съотношението.Като умножим знаменателя на дроб, ние разделяме стойността, а като разделим знаменателя, стойността се умножава.
Така че съотношението 12:2 е 6
А съотношението 12:4 е 3.
Ето следствието от втората двойка в два пътиповече, но съотношението два пътипо-малко от първото.
Съотношението a:b е $\frac(a)(b)$
И съотношението a:nb е равно на $\frac(a)(nb)$.
респ. За даден антецедент, колкото по-голямо е следствието, толкова по-малко е отношението. Обратно, колкото по-голямо е съотношението, толкова по-малко е следствието.
354. От последните два члена следва, че умножителен антецедентдвойки с произволна стойност ще имат същия ефект върху съотношението като деление на следствиетос тази сума и антецедентно деление, ще има същия ефект като последователно умножение.
Така че съотношението 8:4 е 2
Умножавайки антецедента по 2, съотношението 16:4 е 4
Разделяйки антецедента на 2, съотношението 8:2 е 4.
респ. Всякакви факторили разделителможе да се прехвърли от антецедента на двойка към следствието или от следствието към антецедента, без да се променя връзката.
Струва си да се отбележи, че когато факторът се прехвърли по този начин от един член в друг, тогава той става делител, а прехвърленият делител става фактор.
Така че съотношението е 3,6:9 = 2
Изместване на фактора 3, $6:\frac(9)(3)=2$
същото съотношение.
Отношението $\frac(ma)(y):b=\frac(ma)(by)$
Преместване на y $ma:by=\frac(ma)(by)$
Преместване на m, a:$a:\frac(m)(by)=\frac(ma)(by)$.
355. Както е видно от чл. 352 и 353, ако и антецедентът, и следствието се умножат или разделят на една и съща сума, тогава съотношението не се променя.
респ. 1. Съотношението на две дроби, които имат общ знаменател, същият като отношението на техните числители.
Така съотношението a/n:b/n е същото като a:b.
респ. 2. директенотношението на две дроби, които имат общ числител, е равно на тяхното реципрочно отношение знаменатели.
356. Лесно е да се определи отношението на всеки две дроби от члена. Ако всеки член се умножи по два знаменателя, тогава отношението ще бъде дадено чрез интегрални изрази. По този начин, умножавайки членовете на двойката a/b:c/d по bd, получаваме $\frac(abd)(b)$:$\frac(bcd)(d)$, което става ad:bc, чрез намаляване общите стойности от числителите и знаменателите.
356 б. Съотношение по-голямо неравенство се увеличаванеговият
Нека съотношението на по-голямото неравенство е дадено като 1+n:1
И всяко съотношение а:б
Сложно съотношение ще бъде (чл. 347,) a + na:b
Какво е по-голямо от съотношението a:b (чл. 351 респ.)
Но съотношението по-малко неравенство, добавено с друго съотношение, намаляванеговият.
Нека отношението на по-малката разлика е 1-n:1
Всяко дадено съотношение а:б
Сложно отношение a - na:b
Какво е по-малко от a:b.
357. Ако към или от членове на която и да е двойкадобавете или извадете две други количества, които са в същото съотношение, тогава сумите или остатъците ще имат същото съотношение.
Нека отношението a:b
Ще стане същото като c:d
Тогава връзката сумиантецеденти към сумата от следствия, а именно a + c до b + d, също е същото.
Тоест, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.
Доказателство.
1. По предположение, $\frac(a)(b)$ = $\frac(c)(d)$
2. Умножете по b и по d, ad = bc
3. Добавете cd към двете страни, ad + cd = bc + cd
4. Разделете на d, $a+c=\frac(bc+cd)(d)$
5. Разделете на b + d, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.
Съотношение разликаантецедентите на разликата в последствията също са еднакви.
358. Ако съотношенията в няколко двойки са равни, тогава сумата от всички предходни елементи е спрямо сумата от всички следствия, както всеки предшестващ фактор е спрямо своето следствие.
Така съотношението
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
Така съотношението (12 + 10 + 8 + 6): (6 + 5 + 4 + 3) = 2.
358b. Съотношение по-голямо неравенствонамалява, добавяне същата сумаи на двамата членове.
Нека дадено отношение a+b:a или $\frac(a+b)(a)$
Като добавим x към двата члена, получаваме a+b+x:a+x или $\frac(a+b)(a)$.
Първият става $\frac(a^2+ab+ax+bx)(a(a+x))$
И последното е $\frac(a^2+ab+ax)(a(a+x))$.
Тъй като последният числител очевидно е по-малък от другия, тогава съотношениетрябва да бъде по-малко. (чл. 351 респ.)
Но съотношението по-малко неравенство се увеличава, добавяйки една и съща стойност към двата термина.
Нека дадената връзка е (a-b):a или $\frac(a-b)(a)$.
Като добавим x към двата термина, става (a-b+x):(a+x) или $\frac(a-b+x)(a+x)$
Привеждайки ги към общ знаменател,
Първият става $\frac(a^2-ab+ax-bx)(a(a+x))$
И последното, $\frac(a^2-ab+ax)(a(a+x)).\frac((a^2-ab+ax))(a(a+x))$.
Тъй като последният числител е по-голям от другия, тогава съотношениеПовече ▼.
Ако вместо да добавите същата стойност за вкъщиот два термина е очевидно, че ефектът върху съотношението ще бъде обратен.
Примери.
1. Кое е по-голямо: съотношение 11:9 или съотношение 44:35?
2. Кое е по-голямо: съотношението $(a+3):\frac(a)(6)$ или отношението $(2a+7):\frac(a)(3)$?
3. Ако антецедентът на двойка е 65 и съотношението е 13, какво е следствието?
4. Ако следствието на двойка е 7 и съотношението е 18, какъв е антецедентът?
5. Как изглежда комплексно съотношение, съставено от 8:7 и 2a:5b, а също и (7x+1):(3y-2)?
6. Как изглежда сложно съотношение, съставено от (x + y): b и (x-y): (a + b) и също (a + b): h? Представител (x 2 - y 2): bh.
7. Ако отношенията (5x+7):(2x-3) и $(x+2):\left(\frac(x)(2)+3\right)$ образуват сложна връзка, тогава каква връзка ще получите: повече или по-малко неравенство? Представител Коефициентът на по-голямо неравенство.
8. Какво е отношението, съставено от (x + y):a и (x - y):b и $b:\frac(x^2-y^2)(a)$? Представител Коефициент на равенство.
9. Какво е съотношението 7:5 и двойно 4:9 и утроено 3:2?
Представител 14:15 ч.
10. Какво е съотношението, съставено от 3:7 и утроено съотношението на x:y, и извличане на корена от съотношението 49:9?
Представител x3:y3.
Пропорциите са толкова позната комбинация, която вероятно е известна от начално училище средно училище. В най-общ смисъл, пропорцията е равенството на две или повече съотношения.
Тоест, ако има някои числа A, B и C
след това пропорцията
ако има четири числа A, B, C и D
или също е пропорция
Най-простият пример, когато се използва пропорция, е изчисляването на проценти.
Като цяло използването на пропорциите е толкова широко, че е по-лесно да се каже къде не са приложими.
Пропорциите могат да се използват за определяне на разстояния, маси, обеми, както и количеството на всичко, с едно важно условие: в пропорция трябва да има линейни зависимости между различните обекти. По-долу, като използвате примера за изграждане на оформление на Бронзов конник, ще видите как да изчислите пропорциите, където има нелинейни зависимости.
Определете колко килограма ориз ще бъде, ако вземете 17 процента от общия обем ориз от 150 килограма?
Нека направим пропорцията с думи: 150 килограма е общият обем на ориза. Така че нека го приемем за 100%. Тогава 17% от 100% ще бъдат изчислени като съотношение на две съотношения: 100 процента е към 150 килограма, същото като 17 процента е към неизвестно число.
Сега неизвестното число се изчислява елементарно
Тоест нашият отговор е 25,5 килограма ориз.
Има и интересни мистерии, свързани с пропорциите, които показват, че не е необходимо прибързано да се прилагат пропорции за всички случаи.
Ето един от тях, леко модифициран:
За демонстрация в офиса на компанията директорът нареди да се създаде макет на скулптурата "Бронзовият конник" без гранитен постамент. Едно от условията е макетът да е изработен от същите материали като оригинала, да се спазват пропорциите и височината на макета да е точно 1 метър. Въпрос: Какво ще бъде теглото на оформлението?
Да започнем със справочници.
Височината на ездача е 5,35 метра, а теглото му е 8000 кг.
Ако използваме първата мисъл - да направим пропорция: 5,35 метра се отнасят към 8000 килограма като 1 метър към неизвестна стойност, тогава може дори да не започнем изчислението, тъй като отговорът ще бъде грешен.
Всичко е въпрос на малък нюанс, който трябва да се вземе предвид. Всичко опира до връзката между маса и височинаскулптури нелинейни, тоест не може да се каже, че като увеличим например един куб с 1 метър (като спазваме пропорциите да си остане куб), ще увеличим теглото му със същото количество.
Това е лесно да се провери с примери:
1. залепете кубче с дължина на ръба 10 сантиметра. Колко вода ще влезе там? Логично е 10 * 10 * 10 \u003d 1000 кубически сантиметра, тоест 1 литър. Е, тъй като там са излели вода (плътността е равна на единица), а не друга течност, тогава масата ще бъде равна на 1 кг.
2. залепете подобен куб, но с дължина на реброто 20 см. Обемът на водата, излята в него, ще бъде равен на 20 * 20 * 20 = 8000 кубически сантиметра, тоест 8 литра. Е, теглото естествено е 8 кг.
Лесно се вижда, че връзката между масата и промяната в дължината на ръба на куба е нелинейна или по-скоро кубична.
Спомнете си, че обемът е продукт на височина, ширина и дълбочина.
Тоест, когато фигура се промени (в зависимост от пропорциите / формата) на линеен размер (височина, ширина, дълбочина), масата / обемът на триизмерна фигура се променя кубично.
Ние спорим:
Нашият линеен размер се е променил от 5,35 метра на 1 метър, тогава масата (обемът) ще се промени като корен кубичен от 8000/x
И вземете това оформление Бронзов конник в офиса на фирмата с ръст 1 метър ще тежи 52 килограма 243 грама.
Но от друга страна, ако задачата беше поставена така " оформлението трябва да бъде направено от същите материали като оригинала, пропорциите и обем 1 куб.м „Тогава знаейки, че има линейна връзка между обем и маса, ние просто ще използваме стандартното съотношение, стар обем към нов и стара маса към неизвестно число.
Но нашият бот помага да се изчислят пропорциите в други, по-чести и практични случаи.
Със сигурност ще бъде полезно за всички домакини, които готвят храна.
Възникват ситуации, когато се намери рецепта за невероятна торта от 10 кг, но обемът й е твърде голям за приготвяне .. Иска ми се да е по-малка, например само два килограма, но как да изчисля всички нови грамажи и обем на съставките?
Тук ще ви помогне бот, който ще може да изчисли новите параметри на 2-килограмова торта.
Освен това ботът ще помогне в изчисленията на трудолюбиви мъже, които строят къща и трябва да изчислят колко бетонови съставки да вземат, ако имат само 50 килограма пясък.
Синтаксис
За потребители на XMPP клиент: професионалист<строка>
където низът има задължителни елементи
число1 / число2 - намиране на пропорцията.
За да не се плашим от толкова кратко описание, даваме пример тук.
200 300 100 3 400/100
Което казва например следното:
200 грама брашно, 300 милилитра мляко, 100 грама масло, 3 яйца - разходът на палачинки е 400 грама.
Колко съставки трябва да вземете, за да изпечете само 100 грама палачинки?
Колко лесно се забелязва
400/100 е съотношението на типичната рецепта към добива, който искаме.
Ще разгледаме примерите по-подробно в съответния раздел.
Примери
Един приятел сподели чудесна рецепта
Тесто: 200 грама мак, 8 яйца, 200 пудра захар, 50 грама настъргани кифлички, 200 грама смлени ядки, 3 чаши мед.
Макът се вари 30 минути на слаб огън, смила се с пестик, добавя се разтопен мед, смлени бисквити, ядки.
Разбийте яйцата с пудра захар, добавете към масата.
Разбъркайте внимателно тестото, изсипете във форма, изпечете.
Охладената торта разрежете на 2 блата, намажете с кисело сладко, а след това с крем.
Гарнирайте с плодове от сладко.
Крем: 1 чаша заквасена сметана, 1/2 чаша захар, разбийте.
