Реклама на портала

Калкулаторни възли от три числа. Намиране на възли от три или повече числа. Калкулатор за намиране на GCD и NOC

Нарича се също дивидент, който се дели на даден делител без остатък многократни. Например 48 е кратно на 8, 48 е кратно и 8 е делител.

Едно число може да бъде кратно не на едно, а на няколко числа наведнъж, такова число се нарича общо кратно. Например числото 77 е общо кратно на числата: 1, 7, 11, 77.

Друг пример. Числото 3 е кратно на 12, 15, 24, 27, 30 и т.н. Числото 5 е кратно на 10, 15, 25, 30, 35 и т.н. Числата 3 и 5 имат общи кратни на 15 и 30 .

Намирането на общо кратно на няколко числа е доста просто, можете просто да умножите тези числа, в резултат на което продуктът на тези числа ще бъде тяхното общо кратно.

НОК

От всички общи кратни за дадени числа, най-малкото общо кратно е от особен интерес.

Най-малко общо кратно(съкратено LCM) от няколко дадени числа е най-малкото число, което се дели равномерно на всяко от дадените числа.

Например, за три числа: 3, 5 и 12, най-малкото общо кратно е числото 60, тъй като никое друго число, по-малко от 60, не се дели равномерно на 3, 5 или 12.

Обикновено най-малкото общо кратно се записва така: LCM ( а, б, ...) = х.

Според това пишем най-малкото общо кратно на числата 3, 5 и 12:

LCM (3, 5, 12) = 60.

NOC калкулатор

Този калкулатор ще ви помогне да намерите най-малкото общо кратно на числата. Просто въведете числата, разделени с интервали или запетаи, и щракнете върху бутона Calculate LCM.

Нека решим проблема. Имаме два вида бисквитки. Някои са шоколадови, други са обикновени. Шоколадовите парчета са 48, а простичките са 36. Необходимо е да направите максимален възможен брой подаръци от тези бисквитки, като всички те трябва да бъдат използвани.

Първо, нека запишем всички делители на всяко от тези две числа, тъй като и двете числа трябва да се делят на броя на подаръците.

Получаваме

  • 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
  • 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Нека намерим сред делителите общите, които имат и първото, и второто число.

Общите делители ще бъдат: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Най-големият общ делител от всички е 12. Това число се нарича най-голям общ делител на 36 и 48.

Въз основа на резултата можем да заключим, че от всички бисквитки могат да бъдат направени 12 подаръка. Един такъв подарък ще съдържа 4 шоколадови бисквитки и 3 обикновени бисквитки.

Намиране на най-големия общ делител

  • Най-голямото естествено число, на което две числа a и b се делят без остатък, се нарича най-голям общ делител на тези числа.

Понякога абревиатурата GCD се използва за съкращаване на записа.

Някои двойки числа имат едно като най-голям общ делител. Такива числа се наричат взаимно прости числа.Например, числа 24 и 35. Имат GCD =1.

Как да намерим най-големия общ делител

За да се намери най-големият общ делител, не е необходимо да се изписват всички делители на тези числа.

Можете да направите друго. Първо, разложете двете числа на прости фактори.

  • 48 = 2*2*2*2*3,
  • 36 = 2*2*3*3.

Сега от факторите, които са включени в разширяването на първото число, изтриваме всички тези, които не са включени в разширението на второто число. В нашия случай това са две двойки.

  • 48 = 2*2*2*2*3 ,
  • 36 = 2*2*3 *3.

Остават множителите 2, 2 и 3. Техният продукт е 12. Това число ще бъде най-големият общ делител на числата 48 и 36.

Това правило може да бъде разширено до случаите на три, четири и т.н. числа.

Обща схема за намиране на най-голям общ делител

  • 1. Разложете числата на прости множители.
  • 2. От факторите, включени в разрастването на едно от тези числа, зачертайте тези, които не са включени в разширението на други числа.
  • 3. Изчислете произведението на останалите фактори.

Онлайн калкулаторът ви позволява бързо да намерите най-големия общ делител и най-малкото общо кратно на две или друг брой числа.

Калкулатор за намиране на GCD и NOC

Намерете GCD и NOC

Намерени GCD и NOC: 12197

Как да използвате калкулатора

  • Въведете числа в полето за въвеждане
  • В случай на въвеждане на неправилни знаци, полето за въвеждане ще бъде маркирано в червено
  • натиснете бутона "Намерете GCD и NOC"

Как да въвеждате числа

  • Числата се въвеждат разделени с интервали, точки или запетаи
  • Дължината на въведените числа не е ограничена, така че намирането на gcd и lcm на дълги числа няма да е трудно

Какво е NOD и NOK?

Най-голям общ делителот няколко числа е най-голямото естествено число, на което всички оригинални числа се делят без остатък. Най-големият общ делител се съкращава като GCD.
Най-малко общо кратноняколко числа е най-малкото число, което се дели на всяко от оригиналните числа без остатък. Най-малкото общо кратно е съкратено като НОК.

Как да проверите дали едно число се дели на друго число без остатък?

За да разберете дали едно число се дели на друго без остатък, можете да използвате някои свойства на делимост на числата. След това, като ги комбинирате, може да се провери делимостта на някои от тях и техните комбинации.

Някои признаци за делимост на числата

1. Знак за делимост на число на 2
За да определите дали едно число се дели на две (дали е четно), достатъчно е да погледнете последната цифра на това число: ако е равно на 0, 2, 4, 6 или 8, тогава числото е четно, което означава, че се дели на 2.
пример:определете дали числото 34938 се дели на 2.
Решение:погледнете последната цифра: 8 означава, че числото се дели на две.

2. Знак за делимост на число на 3
Едно число се дели на 3, когато сборът от цифрите му се дели на 3. По този начин, за да определите дали едно число се дели на 3, трябва да изчислите сбора от цифрите и да проверите дали се дели на 3. Дори ако сумата от цифрите се окаже много голяма, можете да повторите същия процес отново.
пример:определете дали числото 34938 се дели на 3.
Решение:броим сбора от цифрите: 3+4+9+3+8 = 27. 27 се дели на 3, което означава, че числото се дели на три.

3. Знак за делимост на число на 5
Числото се дели на 5, когато последната му цифра е нула или пет.
пример:определи дали числото 34938 се дели на 5.
Решение:погледнете последната цифра: 8 означава, че числото НЕ се дели на пет.

4. Знак за делимост на число на 9
Този знак е много подобен на знака за делимост на три: числото се дели на 9, когато сборът от цифрите му се дели на 9.
пример:определи дали числото 34938 се дели на 9.
Решение:изчисляваме сбора от цифрите: 3+4+9+3+8 = 27. 27 се дели на 9, което означава, че числото се дели на девет.

Как да намерите GCD и LCM на две числа

Как да намерите GCD на две числа

Най-простият начин да се изчисли най-големият общ делител на две числа е да се намерят всички възможни делители на тези числа и да се избере най-големият от тях.

Помислете за този метод, като използвате примера за намиране на GCD(28, 36) :

  1. Разлагаме на множители и двете числа: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
  2. Намираме общи фактори, тоест тези, които имат и двете числа: 1, 2 и 2.
  3. Изчисляваме произведението на тези фактори: 1 2 2 \u003d 4 - това е най-големият общ делител на числата 28 и 36.

Как да намерите LCM на две числа

Има два най-често срещани начина за намиране на най-малкото кратно на две числа. Първият начин е, че можете да напишете първите кратни на две числа и след това да изберете измежду тях такова число, което ще бъде общо за двете числа и в същото време най-малкото. И второто е да се намери GCD на тези числа. Нека просто го разгледаме.

За да изчислите LCM, трябва да изчислите произведението на оригиналните числа и след това да го разделите на предварително намерения GCD. Нека намерим LCM за същите числа 28 и 36:

  1. Намерете произведението на числата 28 и 36: 28 36 = 1008
  2. gcd(28, 36) вече е известно, че е 4
  3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Намиране на GCD и LCM за множество числа

Най-големият общ делител може да се намери за няколко числа, а не само за две. За това числата, които трябва да се намерят за най-големия общ делител, се разлагат на прости множители, след което се намира произведението на общите прости множители на тези числа. Също така, за да намерите GCD на няколко числа, можете да използвате следната връзка: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Подобно отношение важи и за най-малкото общо кратно на числата: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

пример:намерете GCD и LCM за числа 12, 32 и 36.

  1. Първо, нека разложим числата на множители: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
  2. Нека намерим общи фактори: 1, 2 и 2.
  3. Техният продукт ще даде gcd: 1 2 2 = 4
  4. Сега нека намерим LCM: за това първо намираме LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
  5. За да намерите LCM и на трите числа, трябва да намерите GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2 . 2 3 = 12 .
  6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Най-големият общ делител и най-малкото общо кратно са ключови аритметични понятия, които ви позволяват лесно да работите с обикновени дроби. LCM и най-често се използват за намиране на общия знаменател на няколко дроби.

Основни понятия

Делителят на цяло число X е друго цяло число Y, на което X се дели без остатък. Например, делителят на 4 е 2, а 36 е 4, 6, 9. Кратно на цялото число X е число Y, което се дели на X без остатък. Например 3 е кратно на 15, а 6 е кратно на 12.

За всяка двойка числа можем да намерим общите им делители и кратни. Например за 6 и 9 общото кратно е 18, а общият делител е 3. Очевидно двойките могат да имат няколко делителя и кратни, така че при изчисленията се използват най-големият делител на GCD и най-малкото кратно на LCM .

Най-малкият делител няма смисъл, тъй като за всяко число той винаги е едно. Най-голямото кратно също е безсмислено, тъй като последователността от кратни клони към безкрайност.

Намиране на GCD

Има много методи за намиране на най-големия общ делител, най-известните от които са:

  • последователно изброяване на делителите, избор на общи за двойка и търсене на най-големия от тях;
  • разлагане на числата на неделими множители;
  • алгоритъм на Евклид;
  • двоичен алгоритъм.

Днес в образователните институции най-популярните методи за разлагане на прости фактори и евклидовия алгоритъм. Последното от своя страна се използва при решаването на диофантови уравнения: търсенето на GCD е необходимо, за да се провери уравнението за възможността за разрешаването му в цели числа.

Намиране на NOC

Най-малкото общо кратно също се определя точно чрез итеративно изброяване или разлагане на неделими фактори. Освен това е лесно да се намери LCM, ако най-големият делител вече е определен. За числата X и Y LCM и GCD са свързани чрез следната връзка:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

Например, ако gcd(15,18) = 3, тогава LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Най-очевидната употреба на LCM е да се намери общият знаменател, който е най-малкото общо кратно на дадени дроби.

Взаимно прости числа

Ако двойка числа няма общи делители, тогава такава двойка се нарича взаимно проста. GCM за такива двойки винаги е равен на единица и въз основа на връзката на делителите и кратните, GCM за взаимно простите е равен на тяхното произведение. Например числата 25 и 28 са взаимно прости, тъй като нямат общи делители и LCM(25, 28) = 700, което съответства на тяхното произведение. Всякакви две неделими числа винаги ще бъдат взаимно прости.

Общ делител и множествен калкулатор

С нашия калкулатор можете да изчислите GCD и LCM за произволен брой числа, от които да избирате. Задачите за изчисляване на общи делители и кратни се намират в аритметиката от класове 5, 6, но GCD и LCM - ключови понятияматематика и се използват в теорията на числата, планиметрията и комуникативната алгебра.

Примери от реалния живот

Общ знаменател на дроби

Най-малкото общо кратно се използва при намиране на общия знаменател на няколко дроби. Да предположим, че в аритметична задача се изисква да се сумират 5 дроби:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

За да добавите дроби, изразът трябва да бъде сведен до общ знаменател, което се свежда до проблема за намиране на LCM. За да направите това, изберете 5 числа в калкулатора и въведете стойностите на знаменателя в съответните клетки. Програмата ще изчисли LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Сега трябва да изчислите допълнителни фактори за всяка фракция, които се определят като отношението на LCM към знаменателя. Така че допълнителните множители ще изглеждат така:

  • 360/8 = 45
  • 360/9 = 40
  • 360/12 = 30
  • 360/15 = 24
  • 360/18 = 20.

След това умножаваме всички дроби по съответния допълнителен фактор и получаваме:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Можем лесно да добавим такива дроби и да получим резултата под формата на 159/360. Намаляваме дроба с 3 и виждаме крайния отговор - 53/120.

Решение на линейни диофантови уравнения

Линейните диофантови уравнения са изрази от вида ax + by = d. Ако съотношението d / gcd(a, b) е цяло число, тогава уравнението е разрешимо в цели числа. Нека проверим няколко уравнения за възможността за целочислено решение. Първо, проверете уравнението 150x + 8y = 37. С помощта на калкулатор намираме gcd (150,8) = 2. Разделете 37/2 = 18,5. Числото не е цяло число, следователно, уравнението няма цели числа.

Нека проверим уравнението 1320x + 1760y = 10120. Използвайте калкулатор, за да намерите gcd(1320, 1760) = 440. Разделете 10120/440 = 23. В резултат на това получаваме цяло число, следователно диофантовият коефициент е равен на коефициента в e .

Заключение

GCD и LCM играят важна роля в теорията на числата, а самите понятия се използват широко в различни области на математиката. Използвайте нашия калкулатор, за да изчислите най-големите делители и най-малките кратни на произволен брой числа.

общ делителна няколко числа е числото, на което всяко от дадените числа се дели. Например, дадени са две числа: 6 и 9. Числото 6 има делители 1, 2, 3, 6. Числото 9 има делители 1, 3, 9. Виждаме, че числата 6 и 9 имат общи делители 1 и 3.

Най-голям общ делител(съкратено GCD) на няколко числа, те наричат ​​най-големия от общите делители, на които всяко от тези числа се дели без остатък.

Така от всички общи делители на 6 и 9 най-големият общ делител е 3.

Обикновено най-големият общ делител се записва така: gcd ( а, б, ...) = х.

Според това пишем най-големия общ делител на числата 6 и 9:

gcd(6, 9) = 3.

Извикват се числа, чиито gcd е равно на единица взаимно прости числа. Например числата 14 и 15 са относително прости: gcd(14, 15) = 1.

GCD калкулатор

Този калкулатор ще ви помогне да намерите най-големия общ делител на числата. Просто въведете числа, разделени с интервали или запетаи, и щракнете върху бутона Изчисляване на GCD.