Как да намерите дължината на отсечка, ако координатите са известни. Намиране на координатите на средата на отсечката, примери, решения. Метод на координати в пространството

В тази статия ще говорим за намиране на координатите на средата на сегмент от координатите на неговите краища. Първо ще дадем необходимите понятия, след това ще получим формули за намиране на координатите на средата на сегмент и в заключение ще разгледаме решенията на типични примери и проблеми.

Навигация в страницата.

Концепцията за средата на сегмента.

За да въведем концепцията за средната точка на сегмента, се нуждаем от дефиниции на сегмент и неговата дължина.

Концепцията за отсечка се дава в уроците по математика в пети клас на гимназията, както следва: ако вземем две произволни несъвпадащи точки A и B, прикрепете към тях линийка и начертайте линия от A до B (или от B до А), тогава получаваме сегмент AB(или сегмент B A). Точки А и В се наричат краищата на сегмента. Трябва да имаме предвид, че сегмент AB и сегмент BA са един и същи сегмент.

Ако отсечката AB е безкрайно удължена в двете посоки от краищата, тогава получаваме права линия AB(или директно VA). Отсечката AB е частта от правата линия AB, затворена между точки A и B. Така отсечката AB е обединението на точки A, B и множеството от всички точки от правата AB, разположени между точки A и B. Ако вземем произволна точка M от правата AB, разположена между точки A и B, тогава те казват, че точката M лъжина сегмент AB.

Дължина на сегмента AB е разстоянието между точките A и B в даден мащаб (сегмент от единична дължина). Дължината на отсечката AB ще бъде обозначена като .

Определение.

точка C се нарича средата на сегмента AB, ако лежи върху отсечката AB и е на същото разстояние от краищата му.

Тоест, ако точка C е средата на отсечката AB, тогава тя лежи върху нея и.

Освен това нашата задача ще бъде да намерим координатите на средата на отсечката AB, ако координатите на точките A и B са дадени на координатната линия или в правоъгълна координатна система.

Координатата на средата на отсечката на координатната права.

Нека ни бъде дадена координатна права Ox и две несъвпадащи точки A и B върху нея, които отговарят на реални числа и . Нека точка C е средата на отсечка AB. Нека намерим координатата на точка C.

Тъй като точка C е средата на отсечката AB, тогава равенството е вярно. В раздела за разстоянието от точка до точка на координатна линия показахме, че разстоянието между точките е равно на модула на разликата между техните координати, следователно, . Тогава или . От равенство намерете координатата на средата на отсечката AB на координатната права: - тя е равна на половината от сбора от координатите на краищата на отсечката. От второто равенство получаваме , което е невъзможно, тъй като взехме несъвпадащи точки A и B.

Така, формулата за намиране на координатата на средата на отсечката AB с краища и има формата .

Координати на средата на отсечка от права.

Нека представим правоъгълна декартова координатна система Оxyz на равнината. Нека ни са дадени две точки и знаем, че точката C е средата на отсечката AB. Нека намерим координатите и точките C.

По конструкция, прави успоредни, както и успоредни прави следователно от Теорема на Талесот равенството на отсечките AC и CB следва равенството на отсечките и , както и отсечките и . Следователно точката е средата на сегмента и средата на сегмента. След това, по силата на предишния параграф на този член И .

Съгласно тези формули е възможно да се изчислят координатите на средата на отсечката AB в случаите, когато точки A и B лежат на една от координатните оси или на права линия, перпендикулярна на една от координатните оси. Нека оставим тези случаи без коментар и да дадем графични илюстрации.

По този начин, средата на отсечка AB на равнина с краища в точки и има координати .

Координати на средата на сегмента в пространството.

Нека се въведе правоъгълна координатна система Oxyz в триизмерно пространство и две точки И . Получаваме формули за намиране на координатите на точка C, която е средата на отсечката AB.

Нека разгледаме общия случай.

Нека и са проекциите на точки A, B и C върху координатните оси Ox, Oy и Oz, съответно.

Следователно според теоремата на Талес точките са средните точки на отсечките съответно. След това (вижте първия параграф на тази статия). Така че получихме формули за изчисляване на координатите на средата на сегмент от координатите на краищата му в пространството.

Тези формули могат да се прилагат и в случаите, когато точки A и B лежат на една от координатните оси или на права линия, перпендикулярна на една от координатните оси, както и ако точки A и B лежат в една от координатните равнини или в равнина, успоредна на една от координатните оси.равнини.

Координатите на средата на сегмента чрез координатите на радиус векторите на неговите краища.

Формули за намиране на координатите на средата на сегмент са лесни за получаване чрез позоваване на алгебрата на векторите.

Нека на равнината е дадена правоъгълна декартова координатна система Oxy и точка C е средата на отсечката AB, и и .

Според геометричната дефиниция на операциите върху вектори, равенството (точка C е пресечната точка на диагоналите на успоредник, построен върху вектори и , т.е. точка C е средата на диагонала на успоредника). В статията координати на вектор в правоъгълна координатна система открихме, че координатите на радиус вектора на точка са равни на координатите на тази точка, следователно, . След това, след извършване на съответните операции върху вектори в координати, имаме . Как можем да заключим, че точка C има координати .

Абсолютно по подобен начин координатите на средата на отсечката AB могат да бъдат намерени чрез координатите на краищата му в пространството. В този случай, ако C е средата на отсечката AB и , тогава имаме .

Намиране на координатите на средата на отсечката, примери, решения.

В много задачи трябва да използвате формули, за да намерите координатите на средата на сегмент. Нека разгледаме решенията на най-характерните примери.

Нека започнем с пример, който трябва само да приложи формула.

Пример.

Координатите на две точки са дадени на равнината . Намерете координатите на средата на отсечката AB.

Решение.

Нека точка C е средата на отсечка AB. Неговите координати са равни на полусуми от съответните координати на точки A и B:

По този начин средата на отсечката AB има координати.

Ако докоснете лист от тетрадката с добре заточен молив, ще остане следа, която дава представа за същността. (фиг. 3).

На лист хартия отбелязваме две точки A и B. Тези точки могат да бъдат свързани с различни линии (фиг. 4). И как да свържем точки A и B с най-късата линия? Това може да стане с помощта на линийка (фиг. 5). Получената линия се извиква сегмент.

Точка и линия - примери геометрични фигури.

Точки A и B се наричат краищата на сегмента.

Има един-единствен сегмент, чиито краища са точки A и B. Следователно отсечката се обозначава, като се записват точките, които са неговите краища. Например, сегментът на фигура 5 е обозначен по един от двата начина: AB или BA. Прочетете: "сегмент AB" или "сегмент BA".

Фигура 6 показва три сегмента. Дължината на отсечката AB е равна на 1 см. Поставя се точно три пъти в отсечката MN и точно 4 пъти в отсечката EF. Ще кажем това дължина на сегмента MN е 3 cm, а дължината на отсечката EF е 4 cm.

Също така е обичайно да се казва: "сегмент MN е 3 см", "сегмент EF е 4 см". Пишат: MN = 3 cm, EF = 4 cm.

Измерихме дължините на отсечките MN и EF единичен сегмент, чиято дължина е 1 см. За измерване на сегменти можете да изберете други единици за дължина, например: 1 mm, 1 dm, 1 km. На фигура 7 дължината на сегмента е 17 mm. Измерва се от единичен сегмент, чиято дължина е 1 мм, с помощта на линийка с деления. Също така с помощта на линийка можете да изградите (начертаете) сегмент с дадена дължина (вижте фиг. 7).

Изобщо, да измериш сегмент означава да преброиш колко единични сегмента се побират в него.

Дължината на сегмент има следното свойство.

Ако точка C е маркирана на отсечка AB, тогава дължината на отсечката AB е равна на сумата от дължините на отсечките AC и CB(фиг. 8).

Пишат: AB = AC + CB.

Фигура 9 показва два сегмента AB и CD. Тези сегменти ще съвпадат, когато се наслагват.

Два отсечка се наричат ​​равни, ако съвпадат при наслагване.

Следователно отсечките AB и CD са равни. Пишат: AB = CD.

Равните сегменти имат еднакви дължини.

От двата неравни сегмента ще считаме за по-голям този с по-голяма дължина. Например на фигура 6 сегментът EF е по-голям от сегмента MN.

Дължината на отсечката AB се нарича разстояниемежду точки А и Б.

Ако няколко сегмента са подредени, както е показано на фигура 10, тогава ще се получи геометрична фигура, която се нарича прекъсната линия. Обърнете внимание, че всички сегменти на фигура 11 не образуват прекъсната линия. Смята се, че сегментите образуват прекъсната линия, ако краят на първия сегмент съвпада с края на втория, а другият край на втория сегмент съвпада с края на третия и т.н.

Точки A, B, C, D, E − върхове на полилиния ABCDE, точки A и E − счупена линия завършва, а отсечките AB, BC, CD, DE са негови връзки(виж фиг. 10).

Дължината на прекъснатата линияе сборът от дължините на всички негови връзки.

Фигура 12 показва две прекъснати линии, чиито краища съвпадат. Такива прекъснати линии се наричат затворен.

Пример 1 . Отсечката BC е с 3 cm по-малка от отсечката AB, чиято дължина е 8 cm (фиг. 13). Намерете дължината на отсечката AC.

Решение. Имаме: BC \u003d 8 - 3 \u003d 5 (cm).

Използвайки свойството на дължината на отсечката, можем да напишем AC = AB + BC. Следователно AC = 8 + 5 = 13 (cm).

Отговор: 13 см.

Пример 2 . Известно е, че MK = 24 cm, NP = 32 cm, MP = 50 cm (фиг. 14). Намерете дължината на отсечката NK.

Решение. Имаме: MN = MP − NP.

Следователно MN = 50 − 32 = 18 (cm).

Имаме: NK = MK − MN.

Следователно NK = 24 − 18 = 6 (cm).

Отговор: 6 см.

Дължината, както вече беше отбелязано, се обозначава със знака за модул.

Ако са дадени две точки от равнината и, тогава дължината на отсечката може да се изчисли по формулата

Ако са дадени две точки в пространството и, тогава дължината на сегмента може да се изчисли по формулата

Забележка:Формулите ще останат правилни, ако съответните координати се разменят: и , но първата опция е по-стандартна

Пример 3

Решение:по съответната формула:

Отговор:

За по-голяма яснота ще направя рисунка

Раздел - не е вектор, и не можете да го преместите никъде, разбира се. Освен това, ако завършите чертежа в мащаб: 1 единица. \u003d 1 см (две тетрадни клетки), тогава отговорът може да бъде проверен с обикновена линийка чрез директно измерване на дължината на сегмента.

Да, решението е кратко, но има няколко важни момента в него, които бих искал да изясня:

Първо, в отговора задаваме измерението: „единици“. Условието не казва КАКВО е, милиметри, сантиметри, метри или километри. Следователно общата формулировка ще бъде математически компетентно решение: „единици“ - съкратено като „единици“.

Второ, нека повторим училищния материал, който е полезен не само за разглеждания проблем:

обърни внимание на важен технически трик – изваждането на множителя изпод корена. В резултат на изчисленията получихме резултата и добрият математически стил включва изваждането на множителя изпод корена (ако е възможно). Процесът изглежда така по-подробно: Разбира се, оставянето на отговора във формата няма да е грешка - но определено е недостатък и тежък аргумент за придирки от страна на учителя.

Ето и други често срещани случаи:

Често под корена се получава например достатъчно голям брой. Как да бъде в такива случаи? На калкулатора проверяваме дали числото се дели на 4:. Да, беше напълно разделено, така: . Или може би числото може да се раздели отново на 4? . По този начин: . Последната цифра на числото е нечетна, така че разделянето на 4 за трети път очевидно не е възможно. Опитвам се да разделя на девет: . Като резултат:
Готов.

Изход:ако под корена получим напълно неизвличащо число, тогава се опитваме да извадим фактора под корена - на калкулатора проверяваме дали числото се дели на: 4, 9, 16, 25, 36, 49, и т.н.

В хода на решаването на различни задачи често се намират корени, винаги се опитвайте да извлечете фактори изпод корена, за да избегнете по-нисък резултат и ненужни проблеми с финализирането на вашите решения според забележка на учителя.

Нека повторим квадратурата на корените и други степени едновременно:

Правилата за действия със степени в общ вид могат да се намерят в училищен учебник по алгебра, но мисля, че всичко или почти всичко вече е ясно от дадените примери.

Задача за самостоятелно решение със сегмент в пространството:

Пример 4

Дадени точки и . Намерете дължината на отсечката.

Решение и отговор в края на урока.

Дължината на сегмент може да се определи по различни начини. За да разберете как да намерите дължината на отсечка, достатъчно е да имате на разположение линийка или да знаете специални формули за изчисляване.

Дължина на линията с линийка

За да направите това, прилагаме линийка с милиметрови деления към сегмента, изграден върху равнината, като началната точка трябва да бъде подравнена с нулата на скалата на линийката. След това трябва да маркирате в тази скала местоположението на крайната точка на този сегмент. Полученият брой цели деления на скалата ще бъде дължината на сегмента, изразена в cm и mm.

Метод на равнинни координати

Ако координатите на сегмента (x1; y1) и (x2; y2) са известни, тогава неговата дължина трябва да се изчисли, както следва. От координатите в равнината на втората точка трябва да се извадят координатите на първата точка. Резултатът трябва да бъде две числа. Всяко от тези числа трябва да се постави на квадрат и след това да се намери сумата от тези квадрати. От полученото число трябва да се извлече квадратен корен, който ще бъде разстоянието между точките. Тъй като тези точки са краищата на сегмента, тази стойност ще бъде неговата дължина.

Помислете за пример как да намерите дължината на сегмент по координати. Има координати на две точки (-1;2) и (4;7). При намиране на разликата в координатите на точките получаваме следните стойности: x = 5, y = 5. Получените числа ще бъдат координатите на сегмента. След това квадратираме всяко число и намираме сбора от резултатите, той е 50. От това число извличаме квадратния корен. Резултатът е: 5 корена от 2. Това е дължината на сегмента.

Метод на координати в пространството

За да направите това, помислете как да намерите дължината на вектор. Именно той ще бъде сегмент в евклидовото пространство. Намира се по почти същия начин като дължината на сегмент от равнина. Конструирането на вектора се извършва в различни равнини. Как да намерим дължината на вектор?

1. Намерете координатите на вектора, за това от координатите на крайната му точка трябва да извадите координатите на началната му точка.
2. След това трябва да квадратирате всяка координата на вектора.
3. След това добавете квадратите на координатите.
4. За да намерите дължината на вектор, трябва да вземете корен квадратен от сумата от квадратите на координатите.

Нека разгледаме алгоритъма за изчисление с помощта на пример. Необходимо е да се намерят координатите на вектора AB. Точки A и B имат следните координати: A (1;6;3) и B (3;-1;7). Началото на вектора е в точка A, краят е в точка B. По този начин, за да се намерят неговите координати, е необходимо да се извадят координатите на точка A от координатите на точка B: (3 - 1; -1 - 6; 7 - 3) = (2; - 3) 7; 4).

Сега квадратираме всяка координата и ги събираме: 4+49+16=69. Накрая извлича квадратния корен от даденото число. Трудно е да го извлечем, така че записваме резултата по следния начин: дължината на вектора е равна на корена от 69.

Ако за вас не е важно сами да изчислявате дължината на сегментите и векторите, но ви трябва просто резултатът, тогава можете да използвате онлайн калкулатор, например този.

Сега, след като проучихме тези методи и разгледахме представените примери, можете лесно да намерите дължината на сегмента във всеки проблем.

сегментнаричаме частта от права линия, състояща се от всички точки от тази права, които се намират между тези две точки - те се наричат ​​краища на отсечката.

Нека разгледаме първия пример. Нека определен сегмент е даден в координатната равнина с две точки. В този случай можем да намерим дължината му, като приложим теоремата на Питагор.

И така, в координатната система начертайте сегмент с дадените координати на краищата му(x1; y1) И (x2; y2) . на ос х И Й пуснете перпендикуляри от краищата на сегмента. Маркирайте в червено сегментите, които са проекции от оригиналния сегмент върху координатната ос. След това прехвърляме проекционните сегменти успоредно на краищата на сегментите. Получаваме триъгълник (правоъгълник). Хипотенузата на този триъгълник ще бъде самият сегмент AB, а неговите крака са прехвърлените проекции.

Нека изчислим дължината на тези проекции. Така че по оста Й дължината на проекцията е y2-y1 , и по оста х дължината на проекцията е x2-x1 . Нека приложим питагоровата теорема: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . В такъв случай |AB| е дължината на сегмента.

Ако използвате тази схема за изчисляване на дължината на сегмент, тогава дори не можете да изградите сегмент. Сега изчисляваме каква е дължината на сегмента с координати (1;3) И (2;5) . Прилагайки теоремата на Питагор, получаваме: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . А това означава, че дължината на нашия сегмент е равна на 5:1/2 .

Помислете за следния метод за намиране на дължината на сегмент. За да направим това, трябва да знаем координатите на две точки в някаква система. Помислете за тази опция с помощта на двумерна декартова координатна система.

И така, в двумерна координатна система са дадени координатите на крайните точки на сегмента. Ако начертаем прави линии през тези точки, те трябва да са перпендикулярни на координатната ос, тогава получаваме правоъгълен триъгълник. Първоначалният сегмент ще бъде хипотенузата на получения триъгълник. Катетата на триъгълника образуват сегменти, дължината им е равна на проекцията на хипотенузата върху координатните оси. Въз основа на Питагоровата теорема заключаваме: за да намерите дължината на даден сегмент, трябва да намерите дължините на проекциите на две координатни оси.

Намерете дължините на проекциите (X и Y) оригиналния сегмент към координатните оси. Изчисляваме ги, като намираме разликата в координатите на точките по отделна ос: X=X2-X1, Y=Y2-Y1 .

Изчислете дължината на сегмента НО , за това намираме квадратния корен:

A = √(X²+Y²) = √((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

Ако нашият сегмент се намира между точки, чиито координати 2;4 И 4;1 , то дължината му, съответно, е равна на √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .