Произведение на числа с различни степени. Степента и нейните свойства. Изчерпателно ръководство (2020). Основни свойства на степени с ирационални показатели

В предишната статия говорихме за това какво представляват мономиите. В този материал ще анализираме как да решаваме примери и проблеми, в които се използват. Тук ще разгледаме такива действия като изваждане, събиране, умножение, деление на едночленни и издигането им на степен с естествен степен. Ще покажем как се дефинират подобни операции, ще посочим основните правила за тяхното изпълнение и какъв трябва да бъде резултатът. Всички теоретични положения, както обикновено, ще бъдат илюстрирани с примери на задачи с описания на решения.

Най-удобно е да се работи със стандартната нотация на мономи, така че представяме всички изрази, които ще бъдат използвани в статията, в стандартен вид. Ако първоначално са зададени по различен начин, се препоръчва първо да ги приведете в общоприета форма.

Правила за събиране и изваждане на мономи

Най-простите операции, които могат да се извършват с едночленни числа, са изваждане и събиране. В общия случай резултатът от тези действия ще бъде полином (в някои специални случаи е възможен моном).

Когато събираме или изваждаме мономи, първо записваме съответния сбор и разлика в общоприетия вид, след което опростяваме получения израз. Ако има подобни термини, те трябва да бъдат дадени, скобите трябва да се отворят. Нека обясним с пример.

Пример 1

състояние:съберете едночлените − 3 · x и 2 , 72 · x 3 · y 5 · z .

Решение

Нека запишем сумата от оригиналните изрази. Добавете скоби и поставете знак плюс между тях. Ще получим следното:

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

Когато разширим скобите, получаваме - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z . Това е полином, написан в стандартна форма, който ще бъде резултат от добавянето на тези мономи.

Отговор:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z .

Ако имаме дадени три, четири или повече термина, ние извършваме това действие по същия начин.

Пример 2

състояние:извършете дадените операции с полиноми в правилния ред

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Решение

Нека започнем с отваряне на скоби.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Виждаме, че полученият израз може да бъде опростен чрез намаляване на подобни термини:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 ac + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 ac + 4 9

Имаме полином, който ще бъде резултат от това действие.

Отговор: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

По принцип можем да извършим събиране и изваждане на два монома, с някои ограничения, така че в крайна сметка да получим един моном. За да направите това, е необходимо да се спазват някои условия по отношение на членовете и извадените мономи. Ще опишем как се прави това в отделна статия.

Правила за умножение на мономи

Действието за умножение не налага никакви ограничения върху множителите. Едночлените, които трябва да бъдат умножени, не трябва да отговарят на никакви допълнителни условия, за да може резултатът да бъде моном.

За да извършите умножение на мономи, трябва да изпълните следните стъпки:

1. Запишете парчето правилно.
2. Разширете скобите в получения израз.
3. Групирайте, ако е възможно, фактори със същите променливи и числови фактори поотделно.
4. Извършете необходимите действия с числа и приложете свойството на умножаване на степени със същите основи към останалите фактори.

Нека видим как се прави това на практика.

Пример 3

състояние:умножете едночлените 2 · x 4 · y · z и - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .

Решение

Нека започнем със състава на произведението.

Отваряме скобите в него и получаваме следното:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Всичко, което трябва да направим, е да умножим числата в първите скоби и да приложим свойството мощност към втората. В резултат на това получаваме следното:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

Отговор: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

Ако имаме три или повече полинома в условието, ние ги умножаваме по абсолютно същия алгоритъм. Ще разгледаме въпроса за умножението на мономи по-подробно в отделен материал.

Правила за издигане на моном на степен

Знаем, че произведението на определен брой еднакви фактори се нарича степен с естествен показател. Техният брой се обозначава с номера в индекса. Съгласно тази дефиниция, издигането на моном в степен е еквивалентно на умножаване на посочения брой еднакви мономи. Да видим как се прави.

Пример 4

състояние:повдигнем монома − 2 · a · b 4 на степен 3 .

Решение

Можем да заменим степенуването с умножение на 3 монома − 2 · a · b 4 . Нека запишем и получим желания отговор:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (aaa) (b 4 b 4 b 4) = − 8 a 3 b 12

Отговор:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .

Но какво да кажем, когато степента има голям показател? Записването на голям брой множители е неудобно. След това, за да решим такъв проблем, трябва да приложим свойствата на степента, а именно свойството на степента на произведението и свойството на степента в степента.

Нека решим проблема, който цитирахме по-горе по посочения начин.

Пример 5

състояние:вдигнем − 2 · a · b 4 на трета степен.

Решение

Познавайки свойството на степента в степента, можем да преминем към израз от следния вид:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .

След това повишаваме на степен - 2 и прилагаме свойството експонента:

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .

Отговор:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

Отделна статия посветихме и на издигането на моном в степен.

Правила за разделяне на мономи

Последното действие с едночлени, което ще анализираме в този материал, е разделянето на моном на моном. В резултат на това трябва да получим рационална (алгебрична) дроб (в някои случаи е възможно да се получи моном). Нека изясним веднага, че деление на нулев моном не е дефинирано, тъй като деленето на 0 не е дефинирано.

За да извършим деление, трябва да запишем посочените мономи под формата на дроб и да го намалим, ако е възможно.

Пример 6

състояние:разделим монома − 9 x 4 y 3 z 7 на − 6 p 3 t 5 x 2 y 2 .

Решение

Нека започнем с изписването на едночлените под формата на дроб.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

Тази фракция може да бъде намалена. След като направим това, получаваме:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

Отговор:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

Условията, при които в резултат на разделянето на мономи, получаваме моном, са дадени в отделна статия.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Силови формулиизползва се в процеса на редуциране и опростяване на сложни изрази, при решаване на уравнения и неравенства.

номер ° Се н-та степен на число акога:

Операции с градуси.

1. Умножавайки градуси със същата основа, техните показатели се сумират:

а мa n = a m + n .

2. При деление на степени с една и съща основа техните показатели се изваждат:

3. Степента на произведението на 2 или повече фактора е равна на произведението на степените на тези фактори:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Степента на дроб е равна на съотношението на степените на дивидента и делителя:

(a/b) n = a n / b n .

5. Повишавайки степен на степен, степените се умножават:

(am) n = a m n .

Всяка формула по-горе е правилна в посоките отляво надясно и обратно.

Например. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Операции с корени.

1. Коренът на произведението на няколко фактора е равен на произведението на корените на тези фактори:

2. Коренът на съотношението е равен на съотношението на дивидента и делителя на корените:

3. Когато се повдига корен на степен, достатъчно е да се повиши коренното число на тази степен:

4. Ако увеличим степента на корена в нведнъж и в същото време повдигнете до нстепента е коренно число, тогава стойността на корена няма да се промени:

5. Ако намалим степента на корена в н root едновременно нта степен от радикалното число, тогава стойността на корена няма да се промени:

Степен с отрицателен показател.Степента на определено число с неположителен (целочислен) показател се дефинира като единица, разделена на степента на същото число с експонент, равен на абсолютната стойност на неположителния показател:

Формула а м:a n = a m - nможе да се използва не само за м> н, но и при м< н.

Например. а4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

За формула а м:a n = a m - nстана справедлив при m=n, имате нужда от наличието на нулева степен.

Степен с нулева степен.Силата на всяко ненулево число с нулева степен е равна на единица.

Например. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степен с дробен показател.За да съберете реално число нодо степен м/н, трябва да извлечете корена нта степен на мстепен на това число но.

Понятието диплома по математика се въвежда още в 7 клас в урок по алгебра. И в бъдеще, през целия курс на изучаване на математика, това понятие се използва активно в различните му форми. Степените са доста трудна тема, изискваща запаметяване на стойности и способност за правилно и бързо броене. За по-бърза и по-добра работа с дипломите по математика измислиха свойствата на степен. Те помагат да се намалят големите изчисления, да се преобразува огромен пример в едно число до известна степен. Няма толкова много свойства и всички те са лесни за запомняне и прилагане на практика. Следователно в статията се разглеждат основните свойства на степента, както и къде се прилагат.

степенни свойства

Ще разгледаме 12 свойства на степен, включително свойства на степени със същата основа, и ще дадем пример за всяко свойство. Всяко от тези свойства ще ви помогне да решавате проблеми с градуси по-бързо, както и ще ви спести от многобройни изчислителни грешки.

1-ви имот.

Много хора много често забравят за това свойство, правят грешки, представяйки число до нулева степен като нула.

2-ри имот.

3-ти имот.

Трябва да се помни, че това свойство може да се използва само при умножение на числа, не работи със сумата! И не трябва да забравяме, че това и следващите свойства се отнасят само за степени със същата основа.

4-ти имот.

Ако числото в знаменателя се повиши до отрицателна степен, тогава при изваждане степента на знаменателя се взема в скоби, за да се замени правилно знакът при по-нататъшни изчисления.

Свойството работи само при деление, а не при изваждане!

5-ти имот.

6-ти имот.

Това свойство може да се приложи и обратно. Единица, разделена на число до известна степен, е това число на отрицателна степен.

7-ми имот.

Това свойство не може да се приложи към сума и разлика! При вдигане на сума или разлика в степен се използват съкратени формули за умножение, а не свойствата на степента.

8-ми имот.

9-ти имот.

Това свойство работи за всяка дробна степен с числител, равен на единица, формулата ще бъде същата, само степента на корена ще се промени в зависимост от знаменателя на степента.

Също така, това свойство често се използва в обратен ред. Коренът на всяка степен на число може да бъде представен като това число на степента на единица, разделена на степента на корена. Това свойство е много полезно в случаите, когато коренът на числото не е извлечен.

10-ти имот.

Това свойство работи не само с квадратен корен и втора степен. Ако степента на корена и степента, до която този корен е повдигнат, са еднакви, тогава отговорът ще бъде радикален израз.

11-ти имот.

Трябва да можете да видите това свойство навреме, когато го решавате, за да се спасите от огромни изчисления.

12-ти имот.

Всяко от тези свойства ще ви срещне повече от веднъж в задачи, може да бъде дадено в чист вид или може да изисква някои трансформации и използване на други формули. Следователно, за правилното решение не е достатъчно да знаете само свойствата, трябва да практикувате и свързвате останалите математически знания.

Приложение на степени и техните свойства

Те се използват активно в алгебрата и геометрията. Степените по математика имат отделно, важно място. С тяхна помощ се решават експоненциални уравнения и неравенства, както и степените често усложняват уравнения и примери, свързани с други раздели на математиката. Експонентите помагат да се избегнат големи и дълги изчисления, по-лесно е да се намаляват и изчисляват степените. Но за да работите с големи степени или със степени на големи числа, трябва да знаете не само свойствата на степента, но и да работите компетентно с основите, да можете да ги разлагате, за да улесните задачата си. За удобство трябва да знаете и значението на числата, повдигнати на степен. Това ще намали времето ви за решаване, като елиминира необходимостта от дълги изчисления.

Концепцията за степен играе специална роля в логаритмите. Тъй като логаритъмът по същество е степента на число.

Съкратените формули за умножение са друг пример за използване на степени. Те не могат да използват свойствата на степени, те се разлагат по специални правила, но във всяка съкратена формула за умножение неизменно има степени.

Степените се използват активно и във физиката и компютърните науки. Всички преводи в системата SI се извършват с помощта на градуси и в бъдеще при решаване на задачи се прилагат свойствата на степента. В компютърните науки степените на две се използват активно за удобство при броене и опростяване на възприемането на числата. По-нататъшни изчисления за преобразуване на мерни единици или изчисления на задачи, точно както във физиката, се извършват с помощта на свойствата на степента.

Градусите също са много полезни в астрономията, където рядко можете да намерите използване на свойствата на степен, но самите градуси се използват активно за съкращаване на записа на различни количества и разстояния.

Градусите се използват и в ежедневието, когато се изчисляват площи, обеми, разстояния.

С помощта на градуси се записват много големи и много малки стойности във всяка област на науката.

експоненциални уравнения и неравенства

Свойствата на степента заемат специално място именно в експоненциалните уравнения и неравенства. Тези задачи са много често срещани, както в училищния курс, така и на изпитите. Всички те се решават чрез прилагане на свойствата на степента. Неизвестното винаги е в самата степен, следователно, знаейки всички свойства, няма да е трудно да се реши такова уравнение или неравенство.

Ако не обърнем внимание на осмата степен, какво виждаме тук? Нека да разгледаме програмата за 7-ми клас. И така, помниш ли? Това е съкратената формула за умножение, а именно разликата на квадратите! Получаваме:

Внимателно разглеждаме знаменателя. Прилича много на един от числителните фактори, но какво не е наред? Грешен ред на термините. Ако бъдат разменени, правилото може да се приложи.

Но как да направите това? Оказва се, че е много лесно: тук ни помага четната степен на знаменателя.

Термините магически смениха местата си. Този „феномен“ се отнася за всеки израз в еднаква степен: можем свободно да сменяме знаците в скоби.

Но е важно да запомните: всички знаци се променят едновременно!

Да се ​​върнем към примера:

И отново формулата:

цяланазоваваме естествените числа, техните противоположности (тоест взети със знака "") и числото.

положително цяло число, и не се различава от естественото, тогава всичко изглежда точно както в предишния раздел.

Сега нека разгледаме новите случаи. Нека започнем с индикатор, равен на.

Всяко число с нулева степен е равно на единица:

Както винаги, ние се питаме: защо е така?

Помислете за някаква мощност с база. Вземете например и умножете по:

И така, умножихме числото по и получихме същото, каквото беше -. По какво число трябва да се умножи, за да не се промени нищо? Точно така, на. Средства.

Можем да направим същото с произволно число:

Нека повторим правилото:

Всяко число с нулева степен е равно на единица.

Но има изключения от много правила. И тук също е там - това е число (като основа).

От една страна, тя трябва да е равна на произволна степен - колкото и да умножите нулата сама по себе си, пак ще получите нула, това е ясно. Но от друга страна, като всяко число с нулева степен, то трябва да е равно. И така, каква е истината в това? Математиците решиха да не се намесват и отказаха да вдигнат нула на нулева степен. Тоест сега можем не само да разделим на нула, но и да го повдигнем до нулева степен.

Да отидем по-нататък. В допълнение към естествените числа и числа, целите числа включват отрицателни числа. За да разберем какво е отрицателна степен, нека направим същото като последния път: умножаваме някакво нормално число по същото в отрицателна степен:

От тук вече е лесно да изразите желаното:

Сега ние разширяваме полученото правило до произволна степен:

И така, нека формулираме правилото:

Число в отрицателна степен е обратното на същото число към положителна степен. Но в същото време базата не може да бъде нула:(защото е невъзможно да се раздели).

Нека обобщим:

I. Изразът не е дефиниран в случай. Ако, тогава.

II. Всяко число с нулева степен е равно на едно: .

III. Число, което не е равно на нула на отрицателна степен, е обратното на същото число към положителна степен: .

Задачи за самостоятелно решение:

Е, както обикновено, примери за независимо решение:

Анализ на задачи за самостоятелно решение:

Знам, знам, цифрите са страшни, но на изпита трябва да си готов на всичко! Решете тези примери или анализирайте тяхното решение, ако не можете да го решите и ще научите как лесно да се справяте с тях на изпита!

Нека продължим да разширяваме обхвата от числа, „подходящи“ като степен.

Сега помислете рационални числа.Кои числа се наричат ​​рационални?

Отговор: всичко, което може да бъде представено като дроб, където и са цели числа, освен това.

За да разберете какво е "дробна степен"Нека разгледаме дроб:

Нека повдигнем двете страни на уравнението на степен:

Сега запомнете правилото "степен до степен":

Какво число трябва да се повиши до степен, за да се получи?

Тази формулировка е определението на корена от та степен.

Нека ви напомня: коренът на тата степен на число () е число, което, когато се повдигне на степен, е равно.

Тоест коренът от та степен е обратната операция на степенуването: .

Оказва се, че. Очевидно този специален случай може да бъде разширен: .

Сега добавете числителя: какво е това? Отговорът е лесен за получаване с правилото мощност към мощност:

Но може ли основата да бъде произволно число? В крайна сметка коренът не може да бъде извлечен от всички числа.

Нито един!

Запомнете правилото: всяко число, повдигнато на четна степен, е положително число. Тоест, невъзможно е да се извлекат корени от четна степен от отрицателни числа!

А това означава, че такива числа не могат да бъдат повдигнати на дробна степен с четен знаменател, тоест изразът няма смисъл.

Ами изразяването?

Но тук възниква проблем.

Числото може да бъде представено като други, намалени дроби, например, или.

И се оказва, че съществува, но не съществува и това са просто два различни записа с едно и също число.

Или друг пример: веднъж, тогава можете да го запишете. Но щом напишем индикатора по различен начин, отново получаваме проблеми: (тоест получихме съвсем различен резултат!).

За да избегнете подобни парадокси, помислете само положителен основен показател с дробен степен.

Така че, ако:

• - естествено число;
• е цяло число;

Примери:

Степенностите с рационален показател са много полезни за трансформиране на изрази с корени, например:

5 практически примера

Анализ на 5 примера за обучение

1. Не забравяйте за обичайните свойства на градусите:

2. . Тук припомняме, че забравихме да научим таблицата с градуси:

все пак - това или. Решението се намира автоматично: .

Е, сега - най-трудното. Сега ще анализираме степен с ирационален показател.

Всички правила и свойства на степени тук са абсолютно същите като за степени с рационален експонент, с изключение на

Всъщност, по дефиниция, ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (тоест, ирационалните числа са всички реални числа с изключение на рационалните).

Когато изучаваме степени с естествен, целочислен и рационален индикатор, всеки път си измисляхме определен „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини.

Например естественият показател е число, умножено само по себе си няколко пъти;

...нулева мощност- това е така да се каже число, умножено само по себе си веднъж, тоест все още не е започнало да се умножава, което означава, че самото число още не се е появило - следователно резултатът е само известна „подготовка на число”, а именно число;

...отрицателен целочислен показател- сякаш се е случил определен „обратен процес“, тоест числото не е умножено само по себе си, а разделено.

Между другото, науката често използва степен с комплексен показател, тоест експонентът дори не е реално число.

Но в училище ние не мислим за подобни трудности; ще имате възможност да разберете тези нови концепции в института.

КЪДЕТО СМЕ СИГУРНИ, ЩЕ ИДНЕТЕ! (ако се научите как да решавате такива примери :))

Например:

Решете сами:

Анализ на решенията:

1. Да започнем с вече обичайното правило за повишаване на степен до степен:

Сега погледнете резултата. Той напомня ли ти за нещо? Припомняме формулата за съкратено умножение на разликата от квадрати:

В такъв случай,

Оказва се, че:

Отговор: .

2. Привеждаме дроби в степени до една и съща форма: или двете десетични, или и двете обикновени. Получаваме например:

Отговор: 16

3. Нищо особено, ние прилагаме обичайните свойства на градусите:

НАПРЕДНАЛО НИВО

Определение за степен

Степента е израз на формата: , където:

• — основа на степента;
• - степен.

Степен с естествен показател (n = 1, 2, 3,...)

Повишаването на число до естествената степен n означава умножаване на числото по себе си пъти:

Степен с целочислен експонент (0, ±1, ±2,...)

Ако степента е положително цяло числономер:

ерекция до нулева мощност:

Изразът е неопределен, защото, от една страна, до всяка степен е това, а от друга страна, всяко число до та степен е това.

Ако степента е цяло число отрицателнономер:

(защото е невъзможно да се раздели).

Още веднъж за nulls: изразът не е дефиниран в случая. Ако, тогава.

Примери:

Степен с рационален показател

• - естествено число;
• е цяло число;

Примери:

Свойства на степента

За да улесним решаването на проблеми, нека се опитаме да разберем: откъде идват тези свойства? Да ги докажем.

Да видим: какво е и?

По дефиниция:

И така, от дясната страна на този израз се получава следният продукт:

Но по дефиниция това е степен на число с експонента, тоест:

Q.E.D.

Пример : Опростете израза.

Решение : .

Пример : Опростете израза.

Решение : Важно е да се отбележи, че в нашето правило задължителнотрябва да има същата основа. Следователно, ние комбинираме градусите с основата, но оставаме отделен фактор:

Друга важна забележка: това правило - само за продукти на силите!

В никакъв случай не трябва да пиша това.

Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към дефиницията на степента:

Нека го пренаредим така:

Оказва се, че изразът се умножава по себе си веднъж, тоест, според дефиницията, това е -та степен на числото:

Всъщност това може да се нарече "закрепване на индикатора в скоби". Но никога не можете да направите това напълно:!

Нека си припомним формулите за съкратено умножение: колко пъти искахме да напишем? Но това не е вярно, наистина.

Мощност с отрицателна основа.

До този момент обсъждахме само това, което трябва да бъде индикаторстепен. Но каква трябва да бъде основата? В градуси от естествено индикатор основата може да бъде произволно число .

Всъщност можем да умножим всяко число едно по друго, независимо дали е положително, отрицателно или четно. Нека помислим какви знаци ("" или "") ще имат степени на положителни и отрицателни числа?

Например, числото ще бъде положително или отрицателно? НО? ?

С първото всичко е ясно: колкото и положителни числа да умножим едно с друго, резултатът ще бъде положителен.

Но негативните са малко по-интересни. В крайна сметка помним едно просто правило от 6-ти клас: „минус по минус дава плюс“. Това е, или. Но ако умножим по (), получаваме -.

И така нататък до безкрай: с всяко следващо умножение знакът ще се променя. Можете да формулирате тези прости правила:

1. дористепен, - брой положителен.
2. Отрицателното число се повишава до странностепен, - брой отрицателен.
3. Положително число на всяка степен е положително число.
4. Нула на всяка степен е равна на нула.

Определете сами какъв знак ще имат следните изрази:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Справихте ли се? Ето и отговорите:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В първите четири примера, надявам се, всичко е ясно? Просто разглеждаме основата и степента и прилагаме съответното правило.

В пример 5) всичко също не е толкова страшно, колкото изглежда: няма значение на какво е равна основата - степента е четна, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен. Е, освен когато основата е нула. Базата не е същата, нали? Очевидно не, тъй като (защото).

Пример 6) вече не е толкова прост. Тук трябва да разберете кое е по-малко: или? Ако си спомните това, става ясно, че това означава, че основата е по-малка от нула. Тоест прилагаме правило 2: резултатът ще бъде отрицателен.

И отново използваме определението за степен:

Всичко е както обикновено - записваме определението на степени и ги разделяме една на друга, разделяме ги на двойки и получаваме:

Преди да анализираме последното правило, нека решим няколко примера.

Изчислете стойностите на изразите:

Решения :

Ако не обърнем внимание на осмата степен, какво виждаме тук? Нека да разгледаме програмата за 7-ми клас. И така, помниш ли? Това е съкратената формула за умножение, а именно разликата на квадратите!

Получаваме:

Внимателно разглеждаме знаменателя. Прилича много на един от числителните фактори, но какво не е наред? Грешен ред на термините. Ако бъдат обърнати, може да се приложи правило 3. Но как да стане това? Оказва се, че е много лесно: тук ни помага четната степен на знаменателя.

Ако го умножите по, нищо не се променя, нали? Но сега изглежда така:

Термините магически смениха местата си. Този „феномен“ се отнася за всеки израз в еднаква степен: можем свободно да сменяме знаците в скоби. Но е важно да запомните: всички знаци се променят едновременно!Не може да бъде заменен със смяна само на един нежелателен за нас минус!

Да се ​​върнем към примера:

И отново формулата:

И така, сега последното правило:

Как ще го докажем? Разбира се, както обикновено: нека да разширим концепцията за степен и да опростим:

Е, сега нека отворим скобите. Колко букви ще има? пъти по множители - как изглежда? Това не е нищо друго освен определението за операция умножение: общо се оказа, че има множители. Тоест, по дефиниция е степен на число с експонента:

пример:

Степен с ирационален показател

Освен информация за степените за средно ниво, ще анализираме степента с ирационален индикатор. Всички правила и свойства на степени тук са точно същите като за степен с рационален експонент, с изключението - в края на краищата, по дефиниция, ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (т.е. , ирационалните числа са всички реални числа с изключение на рационалните).

Когато изучаваме степени с естествен, целочислен и рационален индикатор, всеки път си измисляхме определен „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини. Например естественият показател е число, умножено само по себе си няколко пъти; число до нулева степен е като че ли число, умножено само по себе си веднъж, тоест все още не е започнало да се умножава, което означава, че самото число дори не се е появило - следователно резултатът е само определена „подготовка на номер“, а именно номер; степен с отрицателно цяло число - сякаш е настъпил определен „обратен процес“, тоест числото не е умножено само по себе си, а разделено.

Изключително трудно е да си представим степен с ирационален показател (както е трудно да си представим 4-мерно пространство). По-скоро това е чисто математически обект, който математиците са създали, за да разширят концепцията за степен до цялото пространство от числа.

Между другото, науката често използва степен с комплексен показател, тоест експонентът дори не е реално число. Но в училище ние не мислим за подобни трудности; ще имате възможност да разберете тези нови концепции в института.

И така, какво да правим, ако видим ирационален показател? Правим всичко възможно да се отървем от него! :)

Например:

Решете сами:

1)

2)

3)

Отговори:

1. Запомнете формулата за разликата на квадратите. Отговор: .
2. Привеждаме дробите в една и съща форма: или двете десетични, или и двете обикновени. Получаваме например: .
3. Нищо особено, ние прилагаме обичайните свойства на градусите:

РЕЗЮМЕ НА РАЗДЕЛ И ОСНОВНА ФОРМУЛА

Степенсе нарича израз от формата: , където:

Степен с целочислен показател

степен, чийто показател е естествено число (т.е. цяло число и положително).

Степен с рационален показател

степен, чийто индикатор е отрицателни и дробни числа.

Степен с ирационален показател

степен, чийто показател е безкрайна десетична дроб или корен.

Свойства на степента

Характеристики на степени.

• Отрицателното число се повишава до дористепен, - брой положителен.
• Отрицателното число се повишава до странностепен, - брой отрицателен.
• Положително число на всяка степен е положително число.
• Нулата е равна на всяка степен.
• Всяко число с нулева степен е равно.

СЕГА ИМАТЕ ДУМА...

Как ви харесва статията? Кажете ми в коментарите по-долу дали ви е харесало или не.

Разкажете ни за вашия опит с енергийните свойства.

Може би имате въпроси. Или предложения.

Пишете в коментарите.

И успех с изпитите!

Съдържание на урока

Какво е диплома?

Степеннаречен продукт на няколко еднакви фактора. Например:

2×2×2

Стойността на този израз е 8

2 x 2 x 2 = 8

Лявата част на това уравнение може да бъде съкратена - първо запишете коефициента на повтаряне и посочете върху него колко пъти се повтаря. Повтарящият се множител в този случай е 2. Повтаря се три пъти. Следователно над двойката пишем тройката:

2 3 = 8

Този израз се чете така: две на трета степен е равно на осем или " третата степен на 2 е 8.

Кратката форма на изписване умножението на едни и същи множители се използва по-често. Следователно, трябва да помним, че ако друго число е вписано върху някакво число, тогава това е умножението на няколко еднакви фактора.

Например, ако е даден изразът 5 3, тогава трябва да се има предвид, че този израз е еквивалентен на изписването на 5 × 5 × 5.

Числото, което се повтаря, се извиква основа на степента. В израза 5 3 основата на степента е числото 5 .

И числото, което е вписано над числото 5, се нарича експонент. В израза 5 3 показателят е числото 3. Показателят показва колко пъти се повтаря основата на степента. В нашия случай база 5 се повтаря три пъти.

Нарича се операцията за умножение на еднакви фактори степенуване.

Например, ако трябва да намерите произведението на четири еднакви фактора, всеки от които е равен на 2, тогава те казват, че числото 2 повдигнат на четвърта степен:

Виждаме, че числото 2 на четвърта степен е числото 16.

Имайте предвид, че в този урок разглеждаме градуса с натурален показател. Това е вид степен, чийто показател е естествено число. Припомнете си, че естествените числа са цели числа, които са по-големи от нула. Например 1, 2, 3 и така нататък.

Като цяло дефиницията на степен с естествен показател е както следва:

Степен на ас естествен показател не израз на формата a n, което е равно на произведението нмножители, всеки от които е равен на а

Примери:

Бъдете внимателни, когато вдигате число на степен. Често поради невнимание човек умножава основата на степента по степента.

Например числото 5 на втора степен е произведение на два фактора, всеки от които е равен на 5. Това произведение е равно на 25

Сега си представете, че неволно умножихме основа 5 по степен 2

Имаше грешка, защото числото 5 на втора степен не е равно на 10.

Освен това трябва да се спомене, че степента на число с експонента 1 е самото число:

Например числото 5 на първа степен е самото число 5.

Съответно, ако числото няма индикатор, тогава трябва да приемем, че индикаторът е равен на единица.

Например числата 1, 2, 3 са дадени без степен, така че техните степени ще бъдат равни на единица. Всяко от тези числа може да бъде записано с степен 1

И ако повишите 0 на всяка степен, получавате 0. Наистина, колкото и пъти нищо да не се умножи само по себе си, нищо няма да се получи. Примери:

И изразът 0 0 няма смисъл. Но в някои клонове на математиката, по-специално в анализа и теорията на множествата, изразът 0 0 може да има смисъл.

За обучение ще решим няколко примера за повишаване на числата в степен.

Пример 1Повишете числото 3 на втора степен.

Числото 3 на втора степен е произведение на два фактора, всеки от които е равен на 3

3 2 = 3 × 3 = 9

Пример 2Повишете числото 2 на четвърта степен.

Числото 2 на четвърта степен е произведение на четири фактора, всеки от които е равен на 2

2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

Пример 3Повишете числото 2 на трета степен.

Числото 2 на трета степен е произведение на три фактора, всеки от които е равен на 2

2 3 = 2 × 2 × 2 = 8

Възлагане на степен на числото 10

За да повишите числото 10 на степен, достатъчно е да добавите броя нули след единицата, равен на степента.

Например, нека повдигнем числото 10 на втора степен. Първо пишем самото число 10 и посочваме числото 2 като индикатор

10 2

Сега поставяме знак за равенство, записваме едно и след това записваме две нули, тъй като броят на нулите трябва да е равен на степента

10 2 = 100

Значи числото 10 на втора степен е числото 100. Това се дължи на факта, че числото 10 на втора степен е произведение на два фактора, всеки от които е равен на 10

10 2 = 10 × 10 = 100

Пример 2. Нека повдигнем числото 10 на трета степен.

В този случай след единицата ще има три нули:

10 3 = 1000

Пример 3. Нека повдигнем числото 10 на четвърта степен.

В този случай ще има четири нули след единицата:

10 4 = 10000

Пример 4. Нека повдигнем числото 10 на първа степен.

В този случай ще има една нула след единицата:

10 1 = 10

Представяне на числата 10, 100, 1000 като степен с основа 10

За да представите числата 10, 100, 1000 и 10000 като степен с основа 10, трябва да напишете база 10 и да посочите число, равно на броя на нулите в оригиналното число като степен на степен.

Нека представим числото 10 като степен с основа 10. Виждаме, че има една нула. Така числото 10 като степен с основа 10 ще бъде представено като 10 1

10 = 10 1

Пример 2. Нека представим числото 100 като степен с основа 10. Виждаме, че числото 100 съдържа две нули. Така числото 100 като степен с основа 10 ще бъде представено като 10 2

100 = 10 2

Пример 3. Нека представим числото 1000 като степен с основа 10.

1 000 = 10 3

Пример 4. Нека представим числото 10 000 като степен с основа 10.

10 000 = 10 4

Възлагане в степен на отрицателно число

Когато се издига отрицателно число на степен, то трябва да бъде затворено в скоби.

Например, нека повдигнем отрицателното число −2 на втора степен. Числото −2 на втора степен е произведение на два фактора, всеки от които е равен на (−2)

(−2) 2 = (−2) × (−2) = 4

Ако не поставим в скоби числото -2 , тогава ще се окаже, че изчисляваме израза -2 2 , който не е равно 4 . Изразът -2² ще бъде равен на -4. За да разберем защо, нека се докоснем до някои точки.

Когато поставим минус пред положително число, по този начин изпълняваме операцията за вземане на обратната стойност.

Да кажем, че е дадено числото 2 и трябва да намерите противоположното му число. Знаем, че обратното на 2 е −2. С други думи, за да намерите противоположното число за 2, достатъчно е да поставите минус пред това число. Вмъкването на минус пред число вече се счита за пълноценна операция в математиката. Тази операция, както бе споменато по-горе, се нарича операция за вземане на обратната стойност.

В случай на израза -2 2 се извършват две операции: операция за вземане на противоположната стойност и степенуване. Повишаването в степен е операция с по-висок приоритет, отколкото вземането на обратната стойност.

Следователно изразът −2 2 се изчислява на две стъпки. Първо се извършва операцията по степенуване. В този случай положителното число 2 е повдигнато на втора степен.

Тогава беше взета обратната стойност. Тази противоположна стойност е намерена за стойността 4. А противоположната стойност за 4 е −4

−2 2 = −4

Скобите имат най-висок приоритет на изпълнение. Следователно, в случай на изчисляване на израза (−2) 2, първо се взема противоположната стойност и след това отрицателното число −2 се повишава на втора степен. Резултатът е положителен отговор от 4, тъй като произведението на отрицателните числа е положително число.

Пример 2. Повишете числото −2 на трета степен.

Числото −2 на трета степен е произведение на три фактора, всеки от които е равен на (−2)

(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8

Пример 3. Повишете числото −2 на четвърта степен.

Числото −2 на четвърта степен е произведение на четири фактора, всеки от които е равен на (−2)

(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16

Лесно е да се види, че при повишаване на отрицателно число на степен може да се получи положителен или отрицателен отговор. Знакът на отговора зависи от степента на началната степен.

Ако степента е четна, тогава отговорът е да. Ако степента е нечетна, отговорът е отрицателен. Нека покажем това на примера с числото −3

В първия и третия случай индикаторът беше страннономер, така че отговорът беше отрицателен.

Във втория и четвъртия случай индикаторът беше дориномер, така че отговорът беше положителен.

Пример 7Повишете числото -5 на трета степен.

Числото -5 на трета степен е произведение на три фактора, всеки от които е равен на -5. Показателят 3 е нечетно число, така че можем да кажем предварително, че отговорът ще бъде отрицателен:

(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125

Пример 8Повишете числото -4 на четвърта степен.

Числото -4 на четвърта степен е произведение на четири фактора, всеки от които е равен на -4. В този случай индикаторът 4 е четен, така че можем да кажем предварително, че отговорът ще бъде положителен:

(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256

Намиране на стойности на изрази

При намиране на стойности на изрази, които не съдържат скоби, първо ще се извърши степенуване, след това умножение и деление в техния ред и след това събиране и изваждане в техния ред.

Пример 1. Намерете стойността на израза 2 + 5 2

Първо се извършва степенуване. В този случай числото 5 се повишава на втора степен - оказва се 25. След това този резултат се добавя към числото 2

2 + 5 2 = 2 + 25 = 27

Пример 10. Намерете стойността на израза −6 2 × (−12)

Първо се извършва степенуване. Обърнете внимание, че числото −6 не е в скоби, така че числото 6 ще бъде повишено на втора степен, след което ще бъде поставен минус пред резултата:

−6 2 × (−12) = −36 × (−12)

Завършваме примера, като умножаваме −36 по (−12)

−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432

Пример 11. Намерете стойността на израза −3 × 2 2

Първо се извършва степенуване. След това резултатът се умножава с числото −3

−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12

Ако изразът съдържа скоби, тогава първо трябва да извършите операции в тези скоби, след това степенуване, след това умножение и деление и след това събиране и изваждане.

Пример 12. Намерете стойността на израза (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5

Нека първо направим скоби. Вътре в скобите прилагаме научените по-рано правила, а именно, първо повдигаме числото 3 на втора степен, след това извършваме умножението 1 × 3, след което добавяме резултатите от повишаването на числото 3 на степента и умножаването на 1 × 3. След това изваждане и събиране се извършват в реда, в който се появяват. Нека подредим следния ред на изпълнение на действието върху оригиналния израз:

(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12 - 15 + 5 = 2

Пример 13. Намерете стойността на израза 2 × 5 3 + 5 × 2 3

Първо повдигаме числата на степен, след това извършваме умножението и добавяме резултатите:

2 x 5 3 + 5 x 2 3 = 2 x 125 + 5 x 8 = 250 + 40 = 290

Трансформации на идентичност на правомощията

Различни идентични трансформации могат да бъдат извършени върху мощности, като по този начин се опростят.

Да предположим, че е необходимо да се изчисли изразът (2 3) 2 . В този пример две на трета степен се повишава на втора степен. С други думи, една степен се повишава до друга степен.

(2 3) 2 е произведение на две степени, всяка от които е равна на 2 3

Освен това всяка от тези степени е продукт на три фактора, всеки от които е равен на 2

Получаваме произведението 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 , което е равно на 64. Значи стойността на израза (2 3) 2 или равна на 64

Този пример може да бъде значително опростен. За това показателите на израза (2 3) 2 могат да бъдат умножени и това произведение може да се запише върху основата 2

Получих 26. Две на шеста степен е произведението на шест фактора, всеки от които е равен на 2. Това произведение е равно на 64

Това свойство работи, защото 2 3 е произведението на 2 × 2 × 2, което от своя страна се повтаря два пъти. Тогава се оказва, че основа 2 се повтаря шест пъти. От тук можем да запишем, че 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 е 2 6

Като цяло, по каквато и да е причина ас индикатори мИ н, важи следното равенство:

(a n)m = a n × m

Тази идентична трансформация се нарича степенуване. Може да се чете така: „При повишаване на степента в степен, основата остава непроменена, а степените се умножават“ .

След умножаване на показателите получавате друга степен, чиято стойност може да се намери.

Пример 2. Намерете стойността на израза (3 2) 2

В този пример основата е 3, а числата 2 и 2 са степените. Нека използваме правилото за степенуване. Оставяме основата непроменена и умножаваме индикаторите:

Получих 3 4 . А числото 3 на четвърта степен е 81

Нека разгледаме останалите трансформации.

Умножение на мощността

За да умножите градусите, трябва да изчислите отделно всяка степен и да умножите резултатите.

Например, нека умножим 2 2 по 3 3 .

2 2 е числото 4, а 3 3 е числото 27. Умножаваме числата 4 и 27, получаваме 108

2 2 x 3 3 = 4 x 27 = 108

В този пример основите на правомощията бяха различни. Ако основите са еднакви, тогава може да се запише една основа и като индикатор запишете сумата от показателите на началните степени.

Например, умножете 2 2 по 2 3

В този пример експонентите имат една и съща основа. В този случай можете да напишете една основа 2 и да напишете сумата от експонентите 2 2 и 2 3 като индикатор. С други думи, оставете основата непроменена и добавете експонентите на първоначалните степени. Ще изглежда така:

Получих 25. Числото 2 на пета степен е 32

Това свойство работи, защото 2 2 е произведението на 2 × 2, а 2 3 е продуктът на 2 × 2 × 2. Тогава се получава произведението на пет еднакви фактора, всеки от които е равен на 2. Този продукт може да бъде представен като 2 5

Като цяло, за всеки аи индикатори мИ нважи следното равенство:

Тази идентична трансформация се нарича основното свойство на степента. Може да се чете така: ППри умножаване на степени със същата основа основата се оставя непроменена, а степените се добавят. .

Имайте предвид, че тази трансформация може да се приложи към произволен брой градуси. Основното е, че основата е една и съща.

Например, нека намерим стойността на израза 2 1 × 2 2 × 2 3 . Фондация 2

При някои проблеми може да е достатъчно да се извърши съответната трансформация без да се изчислява крайната степен. Това разбира се е много удобно, тъй като не е толкова лесно да се изчислят големи мощности.

Пример 1. Изразете като степен израза 5 8 × 25

В тази задача трябва да направите така, че вместо израза 5 8 × 25 да се получи една степен.

Числото 25 може да бъде представено като 5 2 . Тогава получаваме следния израз:

В този израз можете да приложите основното свойство на степента - оставете основата 5 непроменена и добавете индикаторите 8 и 2:

Нека напишем решението накратко:

Пример 2. Изразете като степен израза 2 9 × 32

Числото 32 може да бъде представено като 2 5 . Тогава получаваме израза 2 9 × 2 5 . След това можете да приложите базовото свойство на степента - оставете основата 2 непроменена и добавете индикаторите 9 и 5. Това ще доведе до следното решение:

Пример 3. Изчислете продукта 3 × 3, като използвате основното свойство на мощността.

Всеки е наясно, че три по три е равно на девет, но задачата изисква да се използва основното свойство на степента в хода на решаването. Как да го направим?

Припомняме, че ако числото е дадено без индикатор, тогава индикаторът трябва да се счита за равен на единица. Така че факторите 3 и 3 могат да бъдат записани като 3 1 и 3 1

3 1 × 3 1

Сега използваме основното свойство на степента. Оставяме основата 3 непроменена и добавяме индикаторите 1 и 1:

3 1 × 3 1 = 3 2 = 9

Пример 4. Изчислете произведението 2 × 2 × 3 2 × 3 3, като използвате основното свойство на мощността.

Заменяме произведението 2 × 2 с 2 1 × 2 1 , след това с 2 1 + 1 и след това с 2 2 . Произведението на 3 2 × 3 3 се заменя с 3 2 + 3 и след това с 3 5

Пример 5. Извършете умножение x × x

Това са два еднакви азбучни фактора с индикатори 1. За по-голяма яснота записваме тези индикатори. Допълнителна база хоставете го непроменено и добавете индикаторите:

Когато сте на черната дъска, не бива да записвате умножението на степени със същите основи с толкова подробности, както е направено тук. Такива изчисления трябва да се правят наум. Подробно вписване най-вероятно ще дразни учителя и той ще намали оценката за това. Тук е даден подробен запис, така че материалът да е възможно най-достъпен за разбиране.

Решението на този пример трябва да бъде написано по следния начин:

Пример 6. Извършете умножение х 2 × x

Индексът на втория фактор е равен на единица. Нека го запишем за яснота. След това оставяме основата непроменена и добавяме индикаторите:

Пример 7. Извършете умножение г 3 г 2 г

Индексът на третия фактор е равен на единица. Нека го запишем за яснота. След това оставяме основата непроменена и добавяме индикаторите:

Пример 8. Извършете умножение аа 3 а 2 а 5

Индексът на първия фактор е равен на единица. Нека го запишем за яснота. След това оставяме основата непроменена и добавяме индикаторите:

Пример 9. Изразете степента на 3 8 като произведение на степени със същата основа.

В тази задача трябва да направите произведение от градуси, чиито основи ще бъдат равни на 3, а сумата от показателите ще бъде равна на 8. Можете да използвате всякакви индикатори. Представяме степента 3 8 като произведение на степени 3 5 и 3 3

В този пример отново разчитахме на основното свойство на степента. В крайна сметка изразът 3 5 × 3 3 може да се запише като 3 5 + 3, откъдето 3 8 .

Разбира се, беше възможно да се представи силата 3 8 като продукт на други сили. Например във формата 3 7 × 3 1 , тъй като този продукт също е 3 8

Представянето на степен като продукт на правомощия със същата база е предимно творческа работа. Така че не се страхувайте да експериментирате.

Пример 10. Подаване на степен х 12 като различни произведения на мощности с бази х .

Нека използваме основното свойство на степента. Представи си х 12 като продукти с основи х, и сумата от експонентите на която е равна на 12

За по-голяма яснота бяха записани конструкциите със суми от показатели. През повечето време те могат да бъдат пропуснати. Тогава получаваме компактно решение:

Експоненция на продукт

За да повишите продукт до степен, трябва да повишите всеки фактор от този продукт до определената степен и да умножите резултатите.

Например, нека повдигнем продукта 2 × 3 на втора степен. Взимаме този продукт в скоби и посочваме 2 като индикатор

Сега нека повдигнем всеки фактор от продукта 2 × 3 на втора степен и умножим резултатите:

Принципът на действие на това правило се основава на дефиницията на степента, която беше дадена в самото начало.

Повишаването на произведението от 2 × 3 на втора степен означава повторение на това произведение два пъти. И ако го повторите два пъти, можете да получите следното:

2×3×2×3

От пермутацията на местата на факторите, произведението не се променя. Това ви позволява да групирате едни и същи множители:

2×2×3×3

Повтарящите се множители могат да бъдат заменени с кратки записи - бази с експоненти. Продуктът 2 × 2 може да бъде заменен с 2 2 , а продуктът 3 × 3 може да бъде заменен с 3 2 . Тогава изразът 2 × 2 × 3 × 3 се превръща в израз 2 2 × 3 2 .

Нека бъде аборигинална работа. За да издигнете този продукт до силата н, трябва да повишите отделно факторите аИ бдо определената степен н

Това свойство е валидно за произволен брой фактори. Следните изрази също са валидни:

Пример 2. Намерете стойността на израза (2 × 3 × 4) 2

В този пример трябва да повишите продукта 2 × 3 × 4 на втора степен. За да направите това, трябва да повишите всеки фактор от този продукт на втора степен и да умножите резултатите:

Пример 3. Повишете продукта на трета степен a×b×c

Ограждаме този продукт в скоби и посочваме числото 3 като индикатор

Пример 4. Повишете продукта на трета степен 3 xyz

Ограждаме този продукт в скоби и посочваме 3 като индикатор

(3xyz) 3

Нека повдигнем всеки фактор от този продукт на трета степен:

(3xyz) 3 = 3 3 х 3 г 3 z 3

Числото 3 на трета степен е равно на числото 27. Останалото оставяме непроменено:

(3xyz) 3 = 3 3 х 3 г 3 z 3 = 27х 3 г 3 z 3

В някои примери умножението на степени със същите експоненти може да бъде заменено с произведението на основите със същия степен.

Например, нека изчислим стойността на израза 5 2 × 3 2 . Повишете всяко число на втора степен и умножете резултатите:

5 2 x 3 2 = 25 x 9 = 225

Но не можете да изчислите всяка степен поотделно. Вместо това това произведение на степените може да бъде заменено с произведение с една степен (5 × 3) 2 . След това изчислете стойността в скоби и повишете резултата на втора степен:

5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225

В този случай отново се използва правилото за степенуване на произведението. В крайна сметка, ако (a x b)н = a n × b n , тогава a n × b n = (a × b) n. Тоест лявата и дясната част на уравнението са обърнати.

Експоненция

Ние разглеждахме тази трансформация като пример, когато се опитвахме да разберем същността на идентичните трансформации на степени.

При повишаване на степента в степен, основата се оставя непроменена, а степените се умножават:

(a n)m = a n × m

Например, изразът (2 3) 2 е повдигане на степен на степен - две на трета степен се повишава на втора степен. За да се намери стойността на този израз, основата може да се остави непроменена и експонентите могат да бъдат умножени:

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64

Това правило се основава на предишните правила: степенуване на произведението и основното свойство на степента.

Да се ​​върнем към израза (2 3) 2 . Изразът в скоби 2 3 е произведение на три еднакви множителя, всеки от които е равен на 2. Тогава в израза (2 3) 2 мощността вътре в скобите може да бъде заменена с произведението 2 × 2 × 2.

(2×2×2) 2

И това е степента на продукта, който изследвахме по-рано. Припомнете си, че за да повишите продукт до степен, трябва да повишите всеки фактор от този продукт до определената степен и да умножите резултатите:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2

Сега имаме работа с основното свойство на степента. Оставяме основата непроменена и добавяме индикаторите:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6

Както преди, получихме 2 6 . Стойността на тази степен е 64

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64

Продукт, чиито фактори са и сили, също може да бъде издигнат до степен.

Например, нека намерим стойността на израза (2 2 × 3 2) 3 . Тук показателите на всеки множител трябва да се умножат по общия показател 3. След това намерете стойността на всяка степен и изчислете продукта:

(2 2 x 3 2) 3 = 2 2 x 3 x 3 2 x 3 = 2 6 x 3 6 = 64 x 729 = 46656

Приблизително същото се случва и при повишаване на силата на продукт. Казахме, че при издигане на произведение в степен всеки фактор от това произведение се повишава до посочената степен.

Например, за да увеличите произведението от 2 × 4 на трета степен, трябва да напишете следния израз:

Но по-рано беше казано, че ако числото е дадено без индикатор, тогава индикаторът трябва да се счита за равен на единица. Оказва се, че факторите на произведението 2 × 4 първоначално имат експоненти, равни на 1. Това означава, че изразът 2 1 × 4 1 ​​е повдигнат на трета степен. И това е издигането на степен до степен.

Нека пренапишем решението, използвайки правилото за степенуване. Трябва да получим същия резултат:

Пример 2. Намерете стойността на израза (3 3) 2

Оставяме основата непроменена и умножаваме индикаторите:

Получих 36. Числото 3 на шеста степен е числото 729

Пример 3xy)³

Пример 4. Извършете степенуване в израза ( abc)⁵

Нека повдигнем всеки фактор от продукта на пета степен:

Пример 5брадва) 3

Нека повдигнем всеки фактор от продукта на трета степен:

Тъй като отрицателното число −2 е повишено на трета степен, то е взето в скоби.

Пример 6. Извършете степенуване в израз (10 xy) 2

Пример 7. Извършете степенуване в израза (−5 х) 3

Пример 8. Извършете степенуване в израза (−3 г) 4

Пример 9. Извършете степенуване в израза (−2 abx)⁴

Пример 10. Опростете израза х 5×( х 2) 3

Степен х 5 ще остане непроменен за сега и в израза ( х 2) 3 извършете степента на степен:

х 5 × (х 2) 3 = х 5 × x 2×3 = х 5 × x 6

Сега нека направим умножението х 5 × x 6. За да направим това, използваме основното свойство на степента - основата хоставете го непроменено и добавете индикаторите:

х 5 × (х 2) 3 = х 5 × x 2×3 = х 5 × x 6 = х 5 + 6 = х 11

Пример 9. Намерете стойността на израза 4 3 × 2 2, като използвате основното свойство на степента.

Основното свойство на степента може да се използва, ако основите на началните степени са еднакви. В този пример основите са различни, следователно, като начало, първоначалният израз трябва да бъде леко модифициран, а именно, за да стане основите на степените еднакви.

Нека разгледаме отблизо силата на 4 3 . Основата на тази степен е числото 4, което може да бъде представено като 2 2 . Тогава първоначалният израз ще приеме формата (2 2) 3 × 2 2 . Чрез степенуване до степен в израза (2 2) 3 получаваме 2 6 . Тогава първоначалният израз ще приеме формата 2 6 × 2 2 , който може да бъде изчислен с помощта на основното свойство на степента.

Нека напишем решението на този пример:

Деление на степени

За да извършите деление на степен, трябва да намерите стойността на всяка степен, след което да извършите разделянето на обикновени числа.

Например, нека разделим 4 3 на 2 2 .

Изчислете 4 3 , получаваме 64 . Изчисляваме 2 2 , получаваме 4. Сега разделяме 64 на 4, получаваме 16

Ако при разделянето на степените на основата те се окажат еднакви, тогава основата може да бъде оставена непроменена, а степента на делителя може да се извади от степента на дивидента.

Например, нека намерим стойността на израза 2 3: 2 2

Оставяме основата 2 непроменена и изваждаме степента на делителя от степента на дивидента:

Значи стойността на израза 2 3: 2 2 е 2 .

Това свойство се основава на умножението на степени със същите основи или, както казвахме, на главното свойство на степента.

Нека се върнем към предишния пример 2 3: 2 2 . Тук дивидентът е 2 3, а делителят е 2 2 .

Разделянето на едно число на друго означава намиране на число, което, когато се умножи по делител, ще даде дивидента като резултат.

В нашия случай разделянето на 2 3 на 2 2 означава намиране на степен, която, когато се умножи по делителя 2 2, ще доведе до 2 3 . Каква мощност може да се умножи по 2 2, за да се получи 2 3? Очевидно само степента 2 1 . От основното свойство на степента имаме:

Можете да проверите дали стойността на израза 2 3: 2 2 е 2 1, като директно оцените израза 2 3: 2 2 . За да направите това, първо намираме стойността на степента 2 3 , получаваме 8 . След това намираме стойността на степента 2 2 , получаваме 4 . Разделяме 8 на 4, получаваме 2 или 2 1 , тъй като 2 = 2 1 .

2 3: 2 2 = 8: 4 = 2

По този начин, когато се разделят степени с една и съща основа, има следното равенство:

Може също така да се случи не само базите, но и показателите да са еднакви. В този случай отговорът ще бъде един.

Например, нека намерим стойността на израза 2 2: 2 2 . Нека да изчислим стойността на всяка степен и да извършим разделянето на получените числа:

Когато решавате пример 2 2: 2 2, можете да приложите и правилото за деление на степени със същите основи. Резултатът е число с нулева степен, тъй като разликата между експонентите на 2 2 и 2 2 е нула:

Защо числото 2 до нулева степен е равно на единица, разбрахме по-горе. Ако изчислите 2 2: 2 2 по обичайния начин, без да използвате правилото за делене на степени, получавате едно.

Пример 2. Намерете стойността на израза 4 12: 4 10

Оставяме 4 непроменени и изваждаме степента на делителя от степента на дивидента:

4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16

Пример 3. Изпратете частно х 3: хкато степен с основа х

Нека използваме правилото за деление на степени. База хоставете го непроменено и извадете степента на делителя от степента на дивидента. Показателят на делителя е равен на единица. За по-голяма яснота, нека го запишем:

Пример 4. Изпратете частно х 3: х 2 като мощност с основа х

Нека използваме правилото за деление на степени. База х

Делението на степени може да се запише като дроб. И така, предишният пример може да бъде написан по следния начин:

Числителят и знаменателят на дроб могат да бъдат записани в разширен вид, а именно под формата на произведения на еднакви фактори. Степен х 3 може да се запише като x × x × x, и степента х 2 като x × x. След това строителството х 3 − 2 може да се пропусне и да се използва намаляване на фракцията. В числителя и в знаменателя ще бъде възможно да се намалят по два фактора х. Резултатът ще бъде един множител х

Или още по-кратко:

Също така е полезно да можете бързо да намалявате дроби, състоящи се от степени. Например, една фракция може да бъде намалена до х 2. За намаляване на дроб с х 2 трябва да разделите числителя и знаменателя на дроба на х 2

Разделението на степените не може да бъде описано подробно. Горното съкращение може да бъде съкратено:

Или още по-кратко:

Пример 5. Извършете разделяне х 12 : х 3

Нека използваме правилото за деление на степени. База хоставете го непроменено и извадете степента на делителя от степента на дивидента:

Пишем решението, използвайки намаляване на фракцията. Деление на степени х 12 : х 3 ще се запише като . След това намаляваме тази фракция с х 3 .

Пример 6. Намерете стойността на израз

В числителя извършваме умножението на степени със същите основи:

Сега прилагаме правилото за разделяне на степени със същите основи. Оставяме основата 7 непроменена и изваждаме степента на делителя от степента на дивидента:

Завършваме примера, като изчисляваме степента на 7 2

Пример 7. Намерете стойността на израз

Нека извършим степенуване в числителя. Трябва да направите това с израза (2 3) 4

Сега нека извършим умножението на степени със същите основи в числителя.