Portalda reklama

Birinchi va ikkinchi hosila ta'rifi. Dumilar uchun hosilalarni echish: ta'rif, qanday topish mumkin, echimlarga misollar. Giperbolik funksiyalarning hosilalari

BIRINCHI DORIVATI

BIRINCHI DORIVATI

(birinchi hosila) Funksiyaning argumenti istalgan nuqtada ortganda funktsiya qiymatining ortishi tezligi, agar funktsiyaning o'zi shu nuqtada aniqlangan bo'lsa. Grafikda funktsiyaning birinchi hosilasi uning qiyaligini ko'rsatadi. Agar y=f(x), nuqtada uning birinchi hosilasi x0 moyillik chegarasi hisoblanadi f(x0+a)–f(x0)/a kabi A cheksiz kichik qiymatga intiladi. Birinchi hosilani belgilash mumkin dy/dx yoki y´(x). Funktsiya y(x) nuqtada doimiy qiymatga ega x0, Agar dy/dx nuqtada x0 nolga teng. Nolga teng bo'lgan birinchi hosila funktsiyaning ma'lum bir nuqtada maksimal yoki minimal darajaga yetishi uchun zarur, ammo etarli shart emas.


Iqtisodiyot. Izohli lug'at. - M.: "INFRA-M", "Ves Mir" nashriyoti. J. Qora. Bosh muharrir: iqtisod fanlari doktori Osadchaya I.M.. 2000 .


Iqtisodiy lug'at. 2000 .

Boshqa lug'atlarda "BIRINCHI TERIVATIVE" nima ekanligini ko'ring:

    - (hosil) funktsiyaning argumenti istalgan nuqtada oshirilganda, funktsiya qiymatining ortishi tezligi, agar funktsiyaning o'zi shu nuqtada aniqlangan bo'lsa. Grafikda funktsiyaning birinchi hosilasi uning qiyaligini ko'rsatadi. Agar y=f(x), uning nuqtadagi birinchi hosilasi... ... Iqtisodiy lug'at

    Bu atamaning boshqa maʼnolari ham bor, “Hosila”ga qarang. Hosila tushunchasi tasviri ... Vikipediya

    Hosila - bu funktsiyaning o'zgarish tezligini tavsiflovchi differentsial hisobning asosiy tushunchasi. Funksiya ortishining uning argumenti ortishiga nisbati chegarasi sifatida aniqlanadi, chunki argument ortishi nolga intiladi, agar bunday chegara... ... Vikipediya

    Maxsus turdagi chegaraviy masala; x=(x1,..., x n) oʻzgaruvchilar sohasi yechimini topishdan iborat. differensial tenglama(1) D hududining (yoki uning bir qismining) S chegarasida m dan yuqori bo'lmagan barcha tartibli hosilalarning berilgan qiymatlari uchun juft tartibli 2 m ... Matematik entsiklopediya

    - (ikkinchi hosila) Funksiyaning birinchi hosilasining birinchi hosilasi. Birinchi hosila funksiyaning qiyaligini o'lchaydi; Ikkinchi hosila argument ortishi bilan qiyalik qanday o'zgarishini o'lchaydi. y = f(x) ning ikkinchi hosilasi…… Iqtisodiy lug'at

    Ushbu maqola yoki bo'lim qayta ko'rib chiqilishi kerak. Iltimos, maqola yozish qoidalariga muvofiq maqolani yaxshilang. Vikipediya haqida kasr

    - (oʻzaro qisman hosila) Ikki yoki undan ortiq oʻzgaruvchidan funksiyaning bir argumentini oʻzgartirishning boshqa argumentga nisbatan olingan berilgan funksiya hosilasiga taʼsiri. Agar y=f(x,z) bo‘lsa, uning hosilasi yoki y funksiyaning x argumentiga nisbatan birinchi hosilasi... ... ga teng bo‘ladi. Iqtisodiy lug'at

    nuqta tezligining analogi- Mexanizmning umumlashgan koordinatasi bo‘yicha nuqta harakatining birinchi hosilasi...

    bog'lanish burchak tezligining analogi- Mexanizmning umumlashtirilgan koordinatasiga nisbatan zvenoning burilish burchagining birinchi hosilasi... Politexnik terminologik izohli lug'at

    mexanizmning umumiy tezligi- Mexanizmning vaqtga nisbatan umumlashtirilgan koordinatasining birinchi hosilasi... Politexnik terminologik izohli lug'at

Kitoblar

  • Differensial geometriya va topologiya bo'yicha masalalar to'plami, Mishchenko A.S.. Ushbu masalalar to'plami differensial geometriya va topologiya kurslari uchun yangi dasturlardan ham, boshqa kurslardan ham imkon qadar mavjud talablarni aks ettirish uchun mo'ljallangan...
  • Mening ilmiy maqolalarim. Kitob 3. Lazer, ixtiyoriy atomning kvant nazariyalarida zichlik matritsalari usuli, Bondarev Boris Vladimirovich. Ushbu kitobda nashr etilgan ilmiy maqolalar ko'rib chiqiladi, ularda zichlik matritsalari usulidan foydalangan holda yangi kvant nazariyalari lazer, ixtiyoriy atom va dampingli kvant osilatori ...

Mavzuni o'rganishda qulaylik va ravshanlik uchun biz yig'ma jadvalni taqdim etamiz.

Doimiyy = C

Quvvat funktsiyasi y = x p

(x p) " = p x p - 1

Eksponensial funktsiyay = a x

(a x) " = a x ln a

Xususan, qachona = ebizda ... bor y = e x

(e x) " = e x

Logarifmik funktsiya

(log a x) " = 1 x ln a

Xususan, qachona = ebizda ... bor y = logx

(ln x) " = 1 x

Trigonometrik funktsiyalar

(sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x

Teskari trigonometrik funksiyalar

(a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2

Giperbolik funktsiyalar

(s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Keling, ko'rsatilgan jadvalning formulalari qanday olinganligini tahlil qilaylik yoki boshqacha qilib aytganda, har bir funktsiya turi uchun hosila formulalarining kelib chiqishini isbotlaymiz.

Konstantaning hosilasi

Dalil 1

Bu formulani chiqarish uchun funktsiyaning nuqtadagi hosilasi ta'rifini asos qilib olamiz. Biz x 0 = x dan foydalanamiz, bu erda x har qanday haqiqiy sonning qiymatini oladi, yoki boshqacha qilib aytganda, x f (x) = C funktsiya sohasining istalgan soni. Funksiya ortishining argument ortishiga nisbati chegarasini ∆ x → 0 shaklida yozamiz:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

E'tibor bering, 0 ∆ x ifodasi chegara belgisi ostiga tushadi. Bu "nol nolga bo'lingan" noaniqlik emas, chunki numerator cheksiz kichik qiymatni o'z ichiga olmaydi, lekin aniq nolga teng. Boshqacha qilib aytganda, doimiy funktsiyaning o'sishi har doim nolga teng.

Shunday qilib, f (x) = C doimiy funktsiyaning hosilasi butun ta'rif sohasi bo'ylab nolga teng.

1-misol

Doimiy funktsiyalar berilgan:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Yechim

Keling, berilgan shartlarni tavsiflaymiz. Birinchi funktsiyada biz 3 natural sonining hosilasini ko'ramiz. Quyidagi misolda siz ning hosilasini olishingiz kerak A, Qayerda A- har qanday haqiqiy raqam. Uchinchi misol bizga irratsional 4 raqamining hosilasini beradi. 13 7 22, toʻrtinchisi nolning hosilasi (nol butun son). Nihoyat, beshinchi holatda biz ratsional kasrning hosilasiga egamiz - 8 7.

Javob: berilgan funksiyalarning hosilalari har qanday real uchun nolga teng x(butun ta'rif sohasi bo'ylab)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Quvvat funksiyasining hosilasi

Keling, quvvat funksiyasi va uning hosilasi formulasiga o'tamiz, u quyidagi ko'rinishga ega: (x p) " = p x p - 1, bu erda ko'rsatkich. p har qanday haqiqiy sondir.

Dalil 2

Ko'rsatkich bo'lganda formulaning isbotini keltiramiz natural son: p = 1, 2, 3, …

Biz yana hosila ta'rifiga tayanamiz. Quvvat funksiyasi ortishining argument ortishiga nisbati chegarasini yozamiz:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Numeratordagi ifodani soddalashtirish uchun Nyutonning binomial formulasidan foydalanamiz:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 +. . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Shunday qilib:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1) x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + .. + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p ! 1 ! · (p - 1) ! · x p - 1 = p · x p - 1

Shunday qilib, ko‘rsatkich natural son bo‘lganda daraja funksiyasining hosilasi formulasini isbotladik.

Dalil 3

Qachon ish bo'yicha dalillarni taqdim etish p- noldan boshqa har qanday haqiqiy son, biz logarifmik hosiladan foydalanamiz (bu erda biz logarifmik funktsiyaning hosilasidan farqini tushunishimiz kerak). To'liqroq tushunchaga ega bo'lish uchun logarifmik funktsiyaning hosilasini o'rganish va yashirin funktsiyaning hosilasi va murakkab funktsiyaning hosilasini yanada chuqurroq tushunish tavsiya etiladi.

Keling, ikkita holatni ko'rib chiqaylik: qachon x ijobiy va qachon x salbiy.

Shunday qilib, x > 0. Keyin: x p > 0 . y = x p tenglikni e asosiga logarifm qilamiz va logarifmning xossasini qo‘llaymiz:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

Ushbu bosqichda biz aniq belgilangan funktsiyani oldik. Keling, uning hosilasini aniqlaymiz:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Endi biz qachon ishni ko'rib chiqamiz x - manfiy raqam.

Agar ko'rsatkich p Mavjud juft son, keyin quvvat funksiyasi x uchun aniqlanadi< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Keyin x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Agar p toq son bo'lsa, u holda quvvat funksiyasi x uchun aniqlanadi< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Oxirgi o'tish, agar bo'lsa, tufayli mumkin p demak, bu toq raqam p - 1 juft son yoki nol (p = 1 uchun), shuning uchun salbiy uchun x(- x) p - 1 = x p - 1 tengligi to'g'ri.

Shunday qilib, biz har qanday haqiqiy p uchun darajali funktsiyaning hosilasi formulasini isbotladik.

2-misol

Berilgan funktsiyalar:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Ularning hosilalarini aniqlang.

Yechim

Berilgan funksiyalarning ba’zilarini daraja xossalariga asoslanib jadval ko‘rinishiga y = x p ga aylantiramiz va keyin formuladan foydalanamiz:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Isbot 4

Keling, ta'rifdan foydalanib, hosila formulasini asos qilib olaylik:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Bizda noaniqlik paydo bo'ldi. Uni kengaytirish uchun z = a ∆ x - 1 (z → 0 ni ∆ x → 0 ko'rinishida) yangi o'zgaruvchi yozamiz. Bunday holda, a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Oxirgi o'tish uchun yangi logarifm bazasiga o'tish formulasi ishlatilgan.

Keling, asl chegarani almashtiramiz:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Keling, ikkinchi ajoyib chegarani eslaylik va keyin ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi uchun formulani olamiz:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

3-misol

Eksponensial funktsiyalar berilgan:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Ularning hosilalarini topish kerak.

Yechim

Eksponensial funktsiyaning hosilasi va logarifmning xususiyatlari uchun formuladan foydalanamiz:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Logarifmik funktsiyaning hosilasi

Dalil 5

Har qanday logarifmik funktsiyaning hosilasi formulasining isbotini keltiramiz x ta'rif sohasida va logarifmning a asosining har qanday ruxsat etilgan qiymatlari. Loyqa tushunchasiga asoslanib, biz quyidagilarni olamiz:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Ko'rsatilgan tenglik zanjiridan ko'rinib turibdiki, o'zgarishlar logarifm xususiyatiga asoslangan. lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e tengligi ikkinchi ajoyib chegaraga muvofiq to'g'ri.

4-misol

Logarifmik funktsiyalar berilgan:

f 1 (x) = log ln 3 x, f 2 (x) = ln x

Ularning hosilalarini hisoblash kerak.

Yechim

Olingan formulani qo'llaymiz:

f 1 "(x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 "(x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Shunday qilib, natural logarifmning hosilasi bir ga bo'linadi x.

Trigonometrik funksiyalarning hosilalari

Isbot 6

Trigonometrik funktsiyaning hosilasi formulasini olish uchun ba'zi trigonometrik formulalar va birinchi ajoyib chegaradan foydalanamiz.

Sinus funktsiyasi hosilasining ta'rifiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Sinuslar farqi formulasi bizga quyidagi amallarni bajarishga imkon beradi:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Va nihoyat, biz birinchi ajoyib chegaradan foydalanamiz:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Demak, funktsiyaning hosilasi gunoh x bo'ladi chunki x.

Kosinus hosilasi formulasini ham isbotlaymiz:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Bular. cos x funksiyasining hosilasi bo'ladi - sin x.

Differensiallash qoidalariga asoslanib tangens va kotangens hosilalari uchun formulalarni olamiz:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Teskari trigonometrik funksiyalarning hosilalari

Teskari funksiyalarning hosilasi bo'limida arksinus, arkkosinus, arktangens va arkkotangens hosilalarining formulalarini isbotlash haqida to'liq ma'lumot berilgan, shuning uchun biz bu erda materialni takrorlamaymiz.

Giperbolik funksiyalarning hosilalari

Dalil 7

Giperbolik sinus, kosinus, tangens va kotangensning hosilalari uchun formulalarni differentsiallash qoidasi va ko'rsatkichli funktsiya hosilasi formulasidan foydalanib olishimiz mumkin:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Eslash juda oson.

Xo'sh, uzoqqa bormaylik, darhol teskari funktsiyani ko'rib chiqaylik. Qaysi funksiya ko‘rsatkichli funktsiyaga teskari funksiya hisoblanadi? Logarifm:

Bizning holatda, asosiy raqam:

Bunday logarifm (ya'ni, asosli logarifm) "tabiiy" deb ataladi va biz buning uchun maxsus belgidan foydalanamiz: o'rniga yozamiz.

Bu nimaga teng? Albatta, .

Tabiiy logarifmning hosilasi ham juda oddiy:

Misollar:

  1. Funktsiyaning hosilasini toping.
  2. Funktsiyaning hosilasi nima?

Javoblar: Eksponensial va natural logarifm hosila nuqtai nazaridan juda oddiy funksiyalardir. Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalar boshqa bazis bilan boshqa hosilaga ega bo‘ladi, biz ularni keyinroq, differentsiallash qoidalaridan o‘tganimizdan keyin tahlil qilamiz.

Farqlash qoidalari

Nima qoidalari? Yana yangi atama, yana?!...

Differentsiatsiya hosilani topish jarayonidir.

Ana xolos. Bu jarayonni bir so'z bilan yana nima deb atash mumkin? Hosil emas... Matematiklar differensialni funksiyaning bir xil o'sish qismi deb atashadi. Bu atama lotincha differentia - farq so'zidan kelib chiqqan. Bu yerga.

Ushbu qoidalarning barchasini olishda biz ikkita funktsiyadan foydalanamiz, masalan, va. Ularning o'sishi uchun bizga formulalar ham kerak bo'ladi:

Hammasi bo'lib 5 ta qoida mavjud.

Konstanta hosila belgisidan olinadi.

Agar - qandaydir doimiy son (doimiy), keyin.

Shubhasiz, bu qoida farq uchun ham ishlaydi: .

Keling, buni isbotlaylik. Bo'lsin, yoki oddiyroq.

Misollar.

Funksiyalarning hosilalarini toping:

  1. bir nuqtada;
  2. bir nuqtada;
  3. bir nuqtada;
  4. nuqtada.

Yechimlar:

  1. (hosil barcha nuqtalarda bir xil, chunki u chiziqli funktsiyadir, esingizdami?);

Mahsulotning hosilasi

Bu erda hamma narsa o'xshash: keling, yangi funktsiyani kiritamiz va uning o'sishini topamiz:

Hosil:

Misollar:

  1. va funksiyalarining hosilalarini toping;
  2. Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini toping.

Yechimlar:

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Endi sizning bilimingiz faqat ko'rsatkichlarni emas, balki har qanday ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasini qanday topishni o'rganish uchun etarli (bu nima ekanligini hali unutdingizmi?).

Xo'sh, qandaydir raqam qaerda.

Biz funktsiyaning hosilasini allaqachon bilamiz, shuning uchun funksiyamizni yangi bazaga qisqartirishga harakat qilaylik:

Buning uchun oddiy qoidadan foydalanamiz: . Keyin:

Mayli, ishladi. Endi hosilani topishga harakat qiling va bu funktsiya murakkab ekanligini unutmang.

Bo'ldimi?

Mana, o'zingizni tekshiring:

Formula ko'rsatkichning hosilasiga juda o'xshash bo'lib chiqdi: u xuddi shunday bo'lib qoldi, faqat omil paydo bo'ldi, bu shunchaki raqam, lekin o'zgaruvchi emas.

Misollar:
Funksiyalarning hosilalarini toping:

Javoblar:

Bu shunchaki kalkulyatorsiz hisoblab bo'lmaydigan raqam, ya'ni uni oddiyroq shaklda yozib bo'lmaydi. Shuning uchun biz uni javobda ushbu shaklda qoldiramiz.

    E'tibor bering, bu erda ikkita funktsiyaning nisbati mavjud, shuning uchun biz mos keladigan farqlash qoidasini qo'llaymiz:

    Ushbu misolda ikkita funktsiyaning mahsuloti:

Logarifmik funktsiyaning hosilasi

Bu erda ham xuddi shunday: siz tabiiy logarifmning hosilasini allaqachon bilasiz:

Shuning uchun, boshqa asosli ixtiyoriy logarifmni topish uchun, masalan:

Biz bu logarifmni bazaga qisqartirishimiz kerak. Logarifm asosini qanday o'zgartirish mumkin? Umid qilamanki, siz ushbu formulani eslaysiz:

Faqat hozir uning o'rniga yozamiz:

Maxraj oddiygina doimiy (o‘zgarmas son, o‘zgaruvchisiz). lotin juda oddiy olinadi:

Ko'rsatkichlarning hosilalari va logarifmik funktsiyalar Yagona davlat imtihonida deyarli ko'rinmaydi, lekin ularni bilish zarar qilmaydi.

Murakkab funktsiyaning hosilasi.

"Murakkab funktsiya" nima? Yo'q, bu logarifm emas, arktangent emas. Ushbu funktsiyalarni tushunish qiyin bo'lishi mumkin (garchi siz logarifmni qiyin deb bilsangiz, "Logarifmlar" mavzusini o'qing va siz yaxshi bo'lasiz), lekin matematik nuqtai nazardan, "murakkab" so'zi "qiyin" degani emas.

Kichkina konveyerni tasavvur qiling: ikki kishi o'tirib, ba'zi narsalar bilan ba'zi harakatlar qilmoqda. Misol uchun, birinchisi shokolad barini o'ramga o'radi, ikkinchisi esa uni lenta bilan bog'laydi. Natijada kompozitsion ob'ekt paydo bo'ladi: shokolad bari o'ralgan va lenta bilan bog'langan. Shokolad barini iste'mol qilish uchun siz teskari tartibda teskari qadamlarni bajarishingiz kerak.

Keling, shunga o'xshash matematik quvur liniyasini yarataylik: birinchi navbatda biz sonning kosinusini topamiz, so'ngra olingan sonning kvadratini olamiz. Shunday qilib, bizga raqam (shokolad) beriladi, men uning kosinusini (o'ramini) topaman, keyin men olgan narsamni kvadratga aylantirasiz (tasma bilan bog'lang). Nima bo'ldi? Funktsiya. Bu murakkab funktsiyaga misol: uning qiymatini topish uchun biz birinchi amalni to'g'ridan-to'g'ri o'zgaruvchi bilan, so'ngra ikkinchi amalni birinchisidan kelib chiqqan holda bajaramiz.

Boshqa so'z bilan, murakkab funksiya - bu argumenti boshqa funktsiya bo'lgan funksiya: .

Bizning misolimiz uchun, .

Xuddi shu amallarni teskari tartibda bemalol bajarishimiz mumkin: avval siz uni kvadratga aylantirasiz, keyin esa natijada olingan sonning kosinusini qidiraman: . Natija deyarli har doim boshqacha bo'lishini taxmin qilish oson. Murakkab funktsiyalarning muhim xususiyati: harakatlar tartibi o'zgarganda, funktsiya o'zgaradi.

Ikkinchi misol: (xuddi shunday). .

Oxirgi qilgan amalimiz chaqiriladi "tashqi" funktsiya, va birinchi bajarilgan harakat - mos ravishda "ichki" funktsiya(bu norasmiy nomlar, men ulardan faqat materialni sodda tilda tushuntirish uchun foydalanaman).

Qaysi funktsiya tashqi va qaysi ichki ekanligini aniqlashga harakat qiling:

Javoblar: Ichki va tashqi funktsiyalarni ajratish o'zgaruvchilarni o'zgartirishga juda o'xshaydi: masalan, funktsiyada

  1. Biz birinchi navbatda qanday harakat qilamiz? Birinchidan, sinusni hisoblab chiqamiz va shundan keyingina uni kubga aylantiramiz. Bu shuni anglatadiki, bu ichki funktsiya, lekin tashqi funktsiyadir.
    Va asl vazifasi ularning tarkibi: .
  2. Ichki: ; tashqi: .
    Imtihon: .
  3. Ichki: ; tashqi: .
    Imtihon: .
  4. Ichki: ; tashqi: .
    Imtihon: .
  5. Ichki: ; tashqi: .
    Imtihon: .

Biz o'zgaruvchilarni o'zgartiramiz va funktsiyani olamiz.

Xo'sh, endi biz shokolad barimizni ajratib olamiz va hosilani qidiramiz. Jarayon har doim teskari bo'ladi: birinchi navbatda tashqi funktsiyaning hosilasini qidiramiz, keyin natijani ichki funktsiya hosilasiga ko'paytiramiz. Asl misolga kelsak, u quyidagicha ko'rinadi:

Yana bir misol:

Shunday qilib, nihoyat rasmiy qoidani shakllantiramiz:

Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:

Bu oddiy ko'rinadi, to'g'rimi?

Keling, misollar bilan tekshiramiz:

Yechimlar:

1) ichki: ;

Tashqi: ;

2) ichki: ;

(Faqat hozircha uni kesishga urinmang! Kosinus ostidan hech narsa chiqmaydi, esingizdami?)

3) Ichki: ;

Tashqi: ;

Bu uch darajali murakkab funktsiya ekanligi darhol ayon bo'ladi: axir, bu allaqachon o'z-o'zidan murakkab funktsiyadir va biz undan ildizni ham chiqaramiz, ya'ni uchinchi harakatni bajaramiz (shokoladni o'rashga soling. va portfeldagi lenta bilan). Ammo qo'rqish uchun hech qanday sabab yo'q: biz hali ham bu funktsiyani odatdagidek tartibda "ochamiz": oxiridan.

Ya'ni, avval ildizni, keyin kosinusni va shundan keyingina qavs ichidagi ifodani farqlaymiz. Va keyin biz hammasini ko'paytiramiz.

Bunday hollarda harakatlarni raqamlash qulay. Ya'ni, biz bilgan narsalarni tasavvur qilaylik. Ushbu ifoda qiymatini hisoblash uchun qanday tartibda amallarni bajaramiz? Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Harakat qanchalik kech bajarilsa, mos keladigan funktsiya shunchalik "tashqi" bo'ladi. Harakatlar ketma-ketligi avvalgisiga o'xshaydi:

Bu erda uy qurish odatda 4 darajali. Keling, harakat yo'nalishini aniqlaylik.

1. Radikal ifoda. .

2. Ildiz. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Hammasini birlashtirib:

HOSILA. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA

Funktsiyaning hosilasi- funktsiya o'sishining argumentning cheksiz kichik o'sishi uchun argumentning o'sishiga nisbati:

Asosiy hosilalar:

Farqlash qoidalari:

Konstanta hosila belgisidan olinadi:

Yig'indining hosilasi:

Mahsulot hosilasi:

Ko'rsatkichning hosilasi:

Murakkab funktsiyaning hosilasi:

Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:

  1. Biz "ichki" funktsiyani aniqlaymiz va uning hosilasini topamiz.
  2. Biz "tashqi" funktsiyani aniqlaymiz va uning hosilasini topamiz.
  3. Birinchi va ikkinchi nuqtalarning natijalarini ko'paytiramiz.

Belgi sifatida chiqarilishi mumkin hosila:

(af(x)" =af "(x).

Masalan:

Algebraik yig‘indining hosilasi bir nechta funksiyalar (doimiy sonlarda olingan) ularning algebraik yig'indisiga teng hosilalari:

(f 1 (x) + f 2 (x) - f 3 (x))" = f 1 "(x) + f 2 "(x) - f 3 "(x).

Masalan:

(0,3 x 2 - 2 x + 0,8)" = (0,3 x 2)" - (2 x)" + (0,8)" = 0,6 x - 2 ( hosila oxirgi muddat tenglama nolga teng).

Agar funktsiyaning hosilasi g nolga teng bo'lsa, f/g nisbati ham mavjud yakuniy hosila. Bu xususiyat quyidagicha yozilishi mumkin:

.

Mayli funktsiyalari y = f(x) va y = g(x) ga ega chekli hosilalar x 0 nuqtasida. Keyin funktsiyalari f ± g va f g ham bor sonli hosilalar bu nuqta. Keyin biz olamiz:

(f ± g) ' = f ' ± g ',

(f g) ' = f ' g + f g '.

Murakkab funktsiyaning hosilasi.

Mayli funktsiyasi y = f(x) ga ega nuqtadagi chekli hosila x 0 , z = s(y) funksiya y 0 = f(x 0) nuqtada chekli hosilaga ega.

Keyin murakkab funktsiya z = s (f(x)) ham shu nuqtada chekli hosilaga ega. Yuqoridagilarni quyidagi shaklda yozish mumkin:

.

Teskari funktsiyaning hosilasi.

y = f(x) funksiyaga ega bo'lsin teskari funktsiya x = g(y) ba'zilarida interval(a, b) va nolga teng bo'lmagan yakuniy hosila ga tegishli x 0 nuqtasida bu funksiya ta'rif sohasi, ya'ni. x 0 ∈ (a, b).

Keyin teskari funktsiya Unda bor hosila y 0 = f(x 0) nuqtasida:

.

Yashirin funktsiyaning hosilasi.

Agar funktsiyasi y = f(x) bevosita berilgan tenglama F(x, y(x)) = 0, keyin uning hosila shartidan topiladi:

.

Ular shunday deyishadi funktsiyasi y = f(x) bilvosita ko'rsatilgan, Agar u xuddi shunday munosabatni qondiradi:

Bu erda F(x, y) ikkita argumentning qandaydir funksiyasi.

Parametrli aniqlangan funksiyaning hosilasi.

Agar funktsiyasi y = f(x) ko'rib chiqilgandan foydalanib parametrik tarzda aniqlanadi

Matematikada fizik masalalar yoki misollarni yechish hosila va uni hisoblash usullarini bilmasdan turib mutlaqo mumkin emas. Hosila eng muhim tushunchalardan biridir matematik tahlil. Biz bugungi maqolani ushbu asosiy mavzuga bag'ishlashga qaror qildik. Hosila nima, uning fizik va geometrik ma'nosi nima, funktsiyaning hosilasi qanday hisoblanadi? Bu savollarning barchasini bittaga birlashtirish mumkin: lotinni qanday tushunish kerak?

Hosilning geometrik va fizik ma'nosi

Funktsiya mavjud bo'lsin f(x) , ma'lum bir oraliqda ko'rsatilgan (a, b) . X va x0 nuqtalari shu intervalga tegishli. X o'zgarganda, funktsiyaning o'zi o'zgaradi. Argumentni o'zgartirish - uning qiymatlaridagi farq x-x0 . Bu farq quyidagicha yoziladi delta x va argument ortishi deyiladi. Funktsiyaning o'zgarishi yoki ortishi - bu funktsiyaning ikki nuqtadagi qiymatlari orasidagi farq. lotin ta'rifi:

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi - bu funksiyaning ma'lum nuqtadagi o'sishining argumentning o'sishiga nisbati chegarasi, ikkinchisi nolga intiladi.

Aks holda shunday yozilishi mumkin:

Bunday chegarani topishning nima keragi bor? Va bu nima:

nuqtadagi funktsiyaning hosilasi OX o'qi orasidagi burchak tangensiga va berilgan nuqtadagi funksiya grafigiga teginishga teng.


Jismoniy ma'no hosila: yo'lning vaqtga nisbatan hosilasi to'g'ri chiziqli harakat tezligiga teng.

Darhaqiqat, maktab davridan beri hamma tezlikni o'ziga xos yo'l ekanligini biladi x=f(t) va vaqt t . Muayyan vaqt oralig'idagi o'rtacha tezlik:

Bir vaqtning o'zida harakat tezligini aniqlash t0 limitni hisoblashingiz kerak:

Birinchi qoida: doimiyni o'rnating

Konstantani hosila belgisidan chiqarish mumkin. Bundan tashqari, buni qilish kerak. Matematikadan misollarni yechayotganda, uni qoida sifatida qabul qiling - Agar siz ifodani soddalashtira olsangiz, uni soddalashtirishga ishonch hosil qiling .

Misol. Keling, hosilani hisoblaylik:

Ikkinchi qoida: funksiyalar yig'indisining hosilasi

Ikki funktsiya yig'indisining hosilasi bu funksiyalarning hosilalari yig'indisiga teng. Xuddi shu narsa funksiyalar farqining hosilasi uchun ham amal qiladi.

Biz bu teoremaning isbotini keltirmaymiz, balki amaliy misolni ko'rib chiqamiz.

Funktsiyaning hosilasini toping:

Uchinchi qoida: funksiyalar mahsulotining hosilasi

Ikki differentsiallanuvchi funktsiyaning hosilasi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Misol: funktsiyaning hosilasini toping:

Yechim:

Bu yerda murakkab funksiyalarning hosilalarini hisoblash haqida gapirish muhim. Murakkab funktsiyaning hosilasi bu funktsiyaning oraliq argumentga nisbatan hosilasi va mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan oraliq argumentning hosilasi ko'paytmasiga teng.

Yuqoridagi misolda biz quyidagi iboraga duch kelamiz:

Bunday holda, oraliq argument beshinchi darajaga 8x. Bunday ifodaning hosilasini hisoblash uchun birinchi navbatda tashqi funktsiyaning oraliq argumentga nisbatan hosilasini hisoblab chiqamiz, so'ngra mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan oraliq argumentning hosilasiga ko'paytiramiz.

To'rtinchi qoida: ikkita funktsiyaning ko'rsatkichining hosilasi

Ikki funktsiyaning bo'linmasining hosilasini aniqlash formulasi:

Biz noldan dummies uchun derivativlar haqida gapirishga harakat qildik. Bu mavzu ko'rinadigan darajada oddiy emas, shuning uchun ogohlantiring: misollarda ko'pincha tuzoqlar mavjud, shuning uchun lotinlarni hisoblashda ehtiyot bo'ling.

Ushbu va boshqa mavzular bo'yicha har qanday savollar bilan siz talabalar xizmatiga murojaat qilishingiz mumkin. Orqada qisqa muddatga Biz sizga eng qiyin testlarni hal qilishda va muammolarni hal qilishda yordam beramiz, hatto siz ilgari hech qachon lotin hisob-kitoblarini qilmagan bo'lsangiz ham.