Chiziqli tenglamalar uchun o'zgartirish usuli. Yuqori tartibli chiziqli bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamalarni Lagranj usulida yechish. Ijtimoiy o'zgarishlar. Davlat va cherkov
Bir jinsli bo'lmaganlarni yechish uchun ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli qo'llaniladi differensial tenglamalar. Ushbu dars mavzuni ko'proq yoki kamroq bilgan talabalar uchun mo'ljallangan. Agar siz faqat masofadan boshqarish pulti bilan tanishishni boshlayotgan bo'lsangiz, ya'ni. Agar siz choynak bo'lsangiz, men birinchi darsdan boshlashni maslahat beraman: Birinchi tartibli differensial tenglamalar. Yechim misollari. Va agar siz allaqachon tugatayotgan bo'lsangiz, iltimos, bu usul qiyin degan taxminlardan voz keching. Chunki u oddiy.
Ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli qanday hollarda qo'llaniladi?
1) Ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usulini yechish uchun foydalanish mumkin 1-tartibli chiziqli bir hil bo'lmagan DE. Tenglama birinchi tartibli bo'lgani uchun doimiy (doimiy) ham bitta bo'ladi.
2) Ayrimlarni yechish uchun ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli qo'llaniladi ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamalar. Bu yerda ikkita konstanta (doimiy) farqlanadi.
Dars ikki paragrafdan iborat bo'ladi deb taxmin qilish mantiqan to'g'ri .... Shunday qilib, men bu taklifni yozdim va taxminan 10 daqiqa davomida amaliy misollarga silliq o'tish uchun yana qanday aqlli axlatni qo'shish kerakligini o'yladim. Ammo negadir bayramdan keyin hech qanday fikr yo'q, garchi men hech narsani suiiste'mol qilmagan bo'lsam ham. Shunday qilib, keling, birinchi xatboshiga o'tamiz.
O'zboshimchalik bilan doimiy o'zgarishlar usuli
chiziqli bir hil bo'lmagan birinchi tartibli tenglama uchun
Ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usulini ko'rib chiqishdan oldin maqola bilan tanishib chiqish maqsadga muvofiqdir. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar. O'sha darsda biz mashq qildik hal qilishning birinchi usuli 1-darajali bir jinsli bo'lmagan DE. Bu birinchi yechim, sizga eslatib o'taman, deyiladi almashtirish usuli yoki Bernoulli usuli(bilan adashtirmaslik kerak Bernulli tenglamasi!!!)
Endi ko'rib chiqamiz hal qilishning ikkinchi usuli– ixtiyoriy doimiyni o‘zgartirish usuli. Men faqat uchta misol keltiraman va ularni yuqoridagi darsdan olaman. Nega juda kam? Chunki aslida ikkinchi usuldagi yechim birinchi usuldagi yechimga juda o'xshash bo'ladi. Bundan tashqari, mening kuzatishlarimga ko'ra, ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli almashtirish usuliga qaraganda kamroq qo'llaniladi.
1-misol
(Darsning 2-misolidan farq 1-tartibli chiziqli bir jinsli DE)
Qaror: Ushbu tenglama chiziqli bir hil bo'lmagan va tanish ko'rinishga ega: 
Birinchi qadam oddiyroq tenglamani yechishdir: 
Ya'ni, biz ahmoqona o'ng tomonni tiklaymiz - buning o'rniga biz nol yozamiz.
Tenglama Men qo'ng'iroq qilaman yordamchi tenglama.
Ushbu misolda siz quyidagi yordamchi tenglamani echishingiz kerak:
Bizdan oldin ajratiladigan tenglama, uning yechimi (umid qilamanki) endi siz uchun qiyin emas: 
Shunday qilib: 
yordamchi tenglamaning umumiy yechimidir.
Ikkinchi bosqichda almashtiring ba'zilarining doimiysi hali"x" ga bog'liq bo'lgan noma'lum funktsiya:
Shuning uchun usulning nomi - biz doimiyni o'zgartiramiz. Shu bilan bir qatorda, doimiy hozir topishimiz kerak bo'lgan ba'zi funksiya bo'lishi mumkin.
DA boshlang'ich bir jinsli bo'lmagan tenglama Keling, almashtiramiz:
O'rniga va 
tenglamaga kiradi :
nazorat momenti - chap tomondagi ikkita atama bekor qilinadi. Agar bu sodir bo'lmasa, yuqoridagi xatoni qidirishingiz kerak.
O'zgartirish natijasida ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega bo'lgan tenglama olinadi. O'zgaruvchilarni ajratib oling va integratsiya qiling.
Qanday baxt, ko'rsatkichlar ham qisqarmoqda:
Topilgan funktsiyaga "normal" konstanta qo'shamiz:
Ustida yakuniy bosqich bizning almashtirishimizni eslang:
Funktsiya hozirgina topildi!
Shunday qilib, umumiy yechim: 
Javob: umumiy qaror: 
Agar siz ikkita yechimni chop qilsangiz, ikkala holatda ham bir xil integrallarni topganimizni osongina sezasiz. Farqi faqat yechim algoritmida.
Endi murakkabroq narsa, men ikkinchi misolga ham izoh beraman:
2-misol
Differensial tenglamaning umumiy yechimini toping 
(Darsning 8-misolidan farq 1-tartibli chiziqli bir jinsli DE)
Qaror: Tenglamani shaklga keltiramiz :
O'ng tomonni nolga qo'ying va yordamchi tenglamani yeching:
Yordamchi tenglamaning umumiy yechimi:
Bir hil bo'lmagan tenglamada biz almashtirishni qilamiz:
Mahsulotni farqlash qoidasiga ko'ra: 
O'rniga va asl bir hil bo'lmagan tenglamaga:
Chap tomondagi ikkita atama bekor qilinadi, ya'ni biz to'g'ri yo'ldamiz: 
Biz qismlarga birlashamiz. Qismlar bo'yicha integratsiya formulasidan mazali harf allaqachon yechimga kiritilgan, shuning uchun biz, masalan, "a" va "be" harflaridan foydalanamiz:
Endi almashtirishni ko'rib chiqamiz:
Javob: umumiy qaror:
Va o'z-o'zini hal qilish uchun bir misol:
3-misol
Berilgan boshlang‘ich shartga mos keladigan differensial tenglamaning muayyan yechimini toping.
,
(4-dars misolidan farq 1-tartibli chiziqli bir jinsli DE)
Qaror:
Bu DE chiziqli bir jinsli emas. Biz ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usulidan foydalanamiz. Yordamchi tenglamani yechamiz:
Biz o'zgaruvchilarni ajratamiz va birlashtiramiz: 
Umumiy qaror: 
Bir hil bo'lmagan tenglamada biz almashtirishni qilamiz: 
Keling, almashtirishni qilaylik: 
Shunday qilib, umumiy yechim: 
Berilgan boshlang'ich shartga mos keladigan maxsus yechim toping: 
Javob: shaxsiy yechim:
Dars oxiridagi yechim topshiriqni bajarish uchun taxminiy model bo'lib xizmat qilishi mumkin.
Ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli
chiziqli bir hil bo'lmagan ikkinchi tartibli tenglama uchun
doimiy koeffitsientlar bilan
Ikkinchi tartibli tenglama uchun ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli oson ish emas, degan fikrni tez-tez eshitgan. Ammo men quyidagilarni taxmin qilaman: bu usul ko'pchilik uchun qiyin bo'lib tuyuladi, chunki u unchalik keng tarqalgan emas. Ammo, aslida, alohida qiyinchiliklar yo'q - qarorning borishi aniq, shaffof va tushunarli. Va chiroyli.
Usulni o'zlashtirish uchun o'ng tomonning shakliga ko'ra ma'lum bir yechimni tanlash orqali ikkinchi tartibli bir jinsli bo'lmagan tenglamalarni yecha olish maqsadga muvofiqdir. Ushbu usul maqolada batafsil muhokama qilinadi. 2-tartibdagi bir jinsli bo'lmagan DE. Esda tutamizki, doimiy koeffitsientli ikkinchi darajali chiziqli bir hil bo'lmagan tenglama quyidagi shaklga ega:
Yuqoridagi darsda ko'rib chiqilgan tanlov usuli faqat cheklangan miqdordagi holatlarda, polinomlar, darajalar, sinuslar, kosinuslar o'ng tomonda bo'lganda ishlaydi. Lekin o'ng tomonda, masalan, kasr, logarifm, tangens bo'lganda nima qilish kerak? Bunday vaziyatda konstantalarni o'zgartirish usuli yordamga keladi.
4-misol
Ikkinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimini toping 
Qaror: Ushbu tenglamaning o'ng tomonida kasr mavjud, shuning uchun biz darhol ma'lum bir yechimni tanlash usuli ishlamasligini aytishimiz mumkin. Biz ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usulidan foydalanamiz.
Hech narsa momaqaldiroqni ko'rsatmaydi, yechimning boshlanishi juda oddiy:
Keling, topamiz umumiy qaror muvofiq bir hil tenglamalar: 
Biz xarakteristik tenglamani tuzamiz va yechamiz: 
– konjugat kompleks ildizlar olinadi, shuning uchun umumiy yechim:
Umumiy yechimning yozuviga e'tibor bering - agar qavslar bo'lsa, ularni oching.
Endi biz birinchi tartibli tenglama uchun deyarli bir xil hiyla qilamiz: biz doimiylarni o'zgartiramiz, ularni noma'lum funktsiyalar bilan almashtiramiz. Ya'ni, bir jinsli bo'lmaganlarning umumiy yechimi Biz tenglamalarni quyidagi shaklda qidiramiz:
Qaerda - hali noma'lum funktsiyalar.
Bu axlatxonaga o'xshaydi, lekin endi hamma narsani tartibga solamiz.
Funksiyalarning hosilalari noma’lumlar vazifasini bajaradi. Bizning maqsadimiz hosilalarni topishdir va topilgan hosilalar tizimning birinchi va ikkinchi tenglamalarini qondirishi kerak.
"O'yinlar" qaerdan keladi? Laylak ularni olib keladi. Biz ilgari olingan umumiy yechimni ko'rib chiqamiz va yozamiz:
Keling, hosilalarni topamiz:
Chap tomon bilan shug'ullanadi. O'ng tomonda nima bor?
asl tenglamaning o'ng tomoni, bu holda:
Koeffitsient ikkinchi hosiladagi koeffitsientdir:
Amalda, deyarli har doim va bizning misolimiz bundan mustasno emas.
Hamma narsa tozalandi, endi siz tizim yaratishingiz mumkin: 
Tizim odatda hal qilinadi Kramer formulalariga muvofiq standart algoritm yordamida. Yagona farq shundaki, raqamlar o'rniga bizda funktsiyalar mavjud.
Tizimning asosiy determinantini toping: 
Agar siz "ikki-ikki" determinant qanday ochilganini unutgan bo'lsangiz, darsga murojaat qiling Determinantni qanday hisoblash mumkin? Havola sharmandalik taxtasiga olib boradi =)
Demak: , demak, sistemaning yagona yechimi bor.
Biz hosilani topamiz: 
Lekin bu hammasi emas, hozircha biz faqat hosilani topdik.
Funktsiyaning o'zi integratsiya orqali tiklanadi:
Keling, ikkinchi funktsiyani ko'rib chiqaylik: 
Bu erda biz "normal" doimiyni qo'shamiz
Yechimning yakuniy bosqichida biz bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimini qanday shaklda qidirganimizni eslaymiz? Bunday holda:
Sizga kerak bo'lgan xususiyatlar hozirgina topildi! 
O'zgartirishni amalga oshirish va javobni yozish qoladi:
Javob: umumiy qaror:
Aslida, javob qavslarni ochishi mumkin.
Javobni to'liq tekshirish darsda ko'rib chiqilgan standart sxema bo'yicha amalga oshiriladi. 2-tartibdagi bir jinsli bo'lmagan DE. Ammo tekshirish oson bo'lmaydi, chunki biz juda og'ir hosilalarni topishimiz va og'ir almashtirishni amalga oshirishimiz kerak. Bu kabi farqlarni hal qilayotganingizda bu yomon xususiyatdir.
5-misol
Differensial tenglamani ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli bilan yeching
Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Aslida, o'ng tomon ham kasrdir. Biz trigonometrik formulani eslaymiz, aytmoqchi, uni yo'lda qo'llash kerak bo'ladi.
Ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli eng universal usul hisoblanadi. Ular echilishi mumkin bo'lgan har qanday tenglamani yecha oladilar o'ng tomonning shakli bo'yicha ma'lum bir yechimni tanlash usuli. Savol tug'iladi, nega u erda ham ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usulidan foydalanmaslik kerak? Javob aniq: darsda ko'rib chiqilgan muayyan yechimni tanlash Ikkinchi tartibli bir jinsli bo'lmagan tenglamalar, yechimni sezilarli darajada tezlashtiradi va yozuvni kamaytiradi - determinantlar va integrallar bilan aralashmaslik.
bilan ikkita misolni ko'rib chiqing Cauchy muammosi.
6-misol
Berilgan boshlang'ich shartlarga mos keladigan differensial tenglamaning muayyan yechimini toping
, 
Qaror: Yana kasr va ko'rsatkich qiziqarli joyda.
Biz ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usulidan foydalanamiz.
Keling, topamiz umumiy qaror muvofiq bir hil tenglamalar: 
– turli xil haqiqiy ildizlar olinadi, shuning uchun umumiy yechim:
Bir hil bo'lmaganlarning umumiy yechimi biz quyidagi ko'rinishdagi tenglamalarni qidiramiz: , bu erda - hali noma'lum funktsiyalar.
Keling, tizim yarataylik:
Ushbu holatda:
,
hosilalarni topish: 
, 
Shunday qilib: 
Biz tizimni Kramer formulalari yordamida hal qilamiz:
, shuning uchun tizim noyob yechimga ega.
Funktsiyani integratsiya orqali tiklaymiz:
Bu yerda ishlatilgan funksiyani differentsial belgi ostida keltirish usuli.
Biz ikkinchi funktsiyani integratsiya orqali tiklaymiz: 
Bunday integral yechilgan o'zgaruvchan almashtirish usuli:
O'zgartirishning o'zidan biz quyidagilarni ifodalaymiz:
Shunday qilib: 
Bu integralni topish mumkin to'liq kvadrat tanlash usuli, lekin diffurli misollarda men kasrni kengaytirishni afzal ko'raman noaniq koeffitsientlar usuli:
Ikkala funktsiya topildi:
Natijada, bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimi:
Dastlabki shartlarni qanoatlantiradigan muayyan yechim toping .
Texnik jihatdan, yechimni izlash maqolada muhokama qilingan standart usulda amalga oshiriladi. Bir jinsli bo'lmagan ikkinchi tartibli differensial tenglamalar.
Kutib turing, endi topilgan umumiy yechimning hosilasini topamiz:
Mana shunday sharmandalik. Uni soddalashtirish shart emas, darhol tenglamalar tizimini tuzish osonroq. Dastlabki shartlarga ko'ra :
Konstantalarning topilgan qiymatlarini almashtiring 
umumiy yechimga:
Javobda logarifmlar biroz to'planishi mumkin.
Javob: shaxsiy yechim: 
Ko'rib turganingizdek, integral va hosilalarda qiyinchiliklar paydo bo'lishi mumkin, ammo ixtiyoriy doimiylarni o'zgartirish usuli algoritmida emas. Sizni qo'rqitgan men emas, bularning barchasi Kuznetsovning to'plami!
Dam olish uchun, yakuniy, sodda, o'z-o'zini hal qilish misoli:
7-misol
Koshi muammosini hal qiling
, 
Misol oddiy, ammo ijodiy, tizim yaratganingizda, qaror qabul qilishdan oldin uni diqqat bilan ko'rib chiqing ;-),
Natijada, umumiy yechim:
Dastlabki shartlarga mos keladigan muayyan yechim toping .
Konstantalarning topilgan qiymatlarini umumiy yechimga almashtiramiz:
Javob: shaxsiy yechim:
Endi chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamani ko'rib chiqing
. (2)
y 1 ,y 2 ,.., y n asosiy yechimlar sistemasi boʻlsin va mos keladigan L(y)=0 bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi boʻlsin. Birinchi tartibli tenglamalar holatiga o'xshab, (2) tenglamaning yechimini shaklda izlaymiz.
. (3)
Keling, ushbu shakldagi yechim mavjudligini tekshiramiz. Buning uchun funksiyani tenglamaga almashtiramiz. Bu funksiyani tenglamaga almashtirish uchun uning hosilalarini topamiz. Birinchi hosila 
. (4)
Ikkinchi hosila hisoblanganda (4) ning o'ng tomonida to'rtta had, uchinchi hosilani hisoblashda sakkizta had va hokazo. Shuning uchun keyingi hisob-kitoblar qulayligi uchun (4) ning birinchi hadi nolga teng deb qabul qilinadi. Buni hisobga olgan holda, ikkinchi hosila tengdir 
. (5)
Avvalgi kabi sabablarga ko'ra (5) da biz birinchi hadni nolga tenglashtirdik. Nihoyat, n-chi hosila 
. (6)
Olingan lotin qiymatlarini asl tenglamaga almashtirib, biz bor 
. (7)
y j , j=1,2,...,n funksiyalar mos L(y)=0 bir jinsli tenglamaning yechimlari bo’lganligi uchun (7) dagi ikkinchi had nolga teng. Oldingi bilan birlashtirib, biz C" j (x) funktsiyalarini topish uchun algebraik tenglamalar tizimini olamiz. 
(8)
Bu sistemaning determinanti L(y)=0 mos keladigan bir jinsli tenglamaning y 1 ,y 2 ,..,y n asosiy yechimlar sistemasining Vronskiy determinantidir va shuning uchun nolga teng emas. Shuning uchun tizimning yagona yechimi mavjud (8). Uni topib, biz C "j (x), j=1,2,…,n funktsiyalarini olamiz va natijada C j (x), j=1,2,...,n Bu qiymatlarni o'rniga qo'yamiz. (3), chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamaning yechimini olamiz.
Ta'riflangan usul ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usuli yoki Lagranj usuli deb ataladi.
№1 misol. y "" + 4y" + 3y \u003d 9e -3 x tenglamaning umumiy yechimini topamiz. Tegishli bir jinsli y "" + 4y" + 3y \u003d 0 tenglamasini ko'rib chiqamiz. Uning xarakteristik tenglamasining ildizlari r 2 + 4r + 3 \u003d 0 -1 va - 3 ga teng. Demak, bir jinsli tenglamaning asosiy yechimlar sistemasi y 1 = e - x va y 2 = e -3 x funksiyalardan iborat. Biz y \u003d C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x ko'rinishidagi bir hil bo'lmagan tenglamaning yechimini qidirmoqdamiz. C " 1 , C" 2 hosilalarini topish uchun (8) tenglamalar tizimini tuzamiz.
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 e -x -3C′ 2 e -3x =9e -3x
yechish, biz topamiz , Olingan funksiyalarni integrallash, biz bor 
Nihoyat, olamiz
№2 misol. O'zgarmas koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli bilan yeching: 
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3
Qaror:
Bu differentsial tenglama doimiy koeffitsientli chiziqli differensial tenglamalarga tegishli.
Tenglama yechimini y = e rx ko rinishda izlaymiz. Buning uchun biz doimiy koeffitsientli chiziqli bir hil differentsial tenglamaning xarakteristik tenglamasini tuzamiz:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4
Xarakteristik tenglamaning ildizlari: r 1 = 4, r 2 = 2
Demak, asosiy yechimlar sistemasi funksiyalardir: y 1 =e 4x , y 2 =e 2x.
Bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko‘rinishga ega: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usuli bilan ma'lum bir yechimni qidiring.
C "i" ning hosilalarini topish uchun biz tenglamalar tizimini tuzamiz:
C′ 1 e 4x +C′ 2 e 2x =0
C' 1 (4e 4x) + C' 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Birinchi tenglamadan C" 1 ni ifodalang:
C" 1 \u003d -c 2 e -2x
va ikkinchisiga almashtiring. Natijada biz quyidagilarni olamiz:
C" 1 \u003d 2 / (e 2x + 2e 4x)
C" 2 \u003d -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
Olingan C" i funktsiyalarini birlashtiramiz:
C 1 = 2ln (e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2
y \u003d C 1 e 4x + C 2 e 2x bo'lgani uchun, natijada olingan iboralarni quyidagi shaklda yozamiz:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Shunday qilib, differentsial tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko'rinishga ega:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
yoki
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x
Biz quyidagi shartlar asosida maxsus yechim topamiz:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3
Topilgan tenglamaga x = 0 ni almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Olingan umumiy yechimning birinchi hosilasini topamiz:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
x = 0 ni almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
Biz ikkita tenglama tizimini olamiz:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10ln(3) -4 = 10ln3
yoki
C * 1 + C * 2 = 2
4C1 + 2C2 = 4
yoki
C * 1 + C * 2 = 2
2C1 + C2 = 2
Kimdan: C 1 = 0, C * 2 = 2
Muayyan yechim quyidagicha yoziladi:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x
Lagranj konstantalarini o'zgartirish usuli bilan doimiy koeffitsientli yuqori tartibli chiziqli bir hil bo'lmagan differensial tenglamalarni yechish usuli ko'rib chiqiladi. Agar bir jinsli tenglama yechimlarining asosiy tizimi ma'lum bo'lsa, Lagranj usuli har qanday chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamalarni echishda ham qo'llaniladi.
TarkibShuningdek qarang:
Lagrange usuli (konstantalarni o'zgartirish)
Ixtiyoriy n-tartibli doimiy koeffitsientli chiziqli bir jinsli differensial tenglamani ko'rib chiqing:
(1)
.
Birinchi tartibli tenglama uchun biz ko'rib chiqqan doimiy o'zgarishlar usuli yuqori tartibli tenglamalarga ham tegishli.
Yechim ikki bosqichda amalga oshiriladi. Birinchi bosqichda biz o'ng tomonni tashlaymiz va bir hil tenglamani echamiz. Natijada n ixtiyoriy konstantadan iborat yechimga erishamiz. Ikkinchi bosqichda biz konstantalarni o'zgartiramiz. Ya'ni, bu konstantalarni mustaqil x o'zgaruvchining funksiyalari deb hisoblaymiz va bu funksiyalarning shaklini topamiz.
Garchi biz bu erda doimiy koeffitsientli tenglamalarni ko'rib chiqsak ham, lekin Lagranj usuli har qanday chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamalarni yechishda ham qo'llaniladi. Buning uchun esa bir jinsli tenglamaning asosiy yechimlar sistemasi ma'lum bo'lishi kerak.
1-qadam. Bir jinsli tenglamani yechish
Birinchi tartibli tenglamalarda bo'lgani kabi, biz birinchi navbatda bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini qidiramiz, to'g'ri bir jinsli bo'lmagan qismni nolga tenglashtiramiz:
(2)
.
Bunday tenglamaning umumiy yechimi quyidagi shaklga ega:
(3)
.
Bu erda ixtiyoriy doimiylar; - bir jinsli (2) tenglamaning n chiziqli mustaqil yechimlari, bu tenglamaning asosiy yechimlar tizimini tashkil qiladi.
Qadam 2. Konstantalarni o'zgartirish - doimiylarni funksiyalar bilan almashtirish
Ikkinchi bosqichda biz konstantalarning o'zgarishi bilan shug'ullanamiz. Boshqacha qilib aytganda, biz konstantalarni mustaqil x o'zgaruvchining funktsiyalari bilan almashtiramiz:
.
Ya'ni, biz (1) dastlabki tenglamaning yechimini quyidagi shaklda qidiramiz:
(4)
.
Agar (4) ni (1) ga almashtirsak, n ta funksiya uchun bitta differensial tenglamani olamiz. Bunday holda, biz ushbu funktsiyalarni qo'shimcha tenglamalar bilan bog'lashimiz mumkin. Keyin siz n ta tenglama olasiz, ulardan n ta funktsiyani aniqlashingiz mumkin. Qo'shimcha tenglamalarni turli usullar bilan yozish mumkin. Lekin biz buni yechim eng oddiy shaklga ega bo'ladigan tarzda qilamiz. Buning uchun farqlashda funksiyalarning hosilalarini o'z ichiga olgan hadlarni nolga tenglashtirish kerak. Keling, buni namoyish qilaylik.
Taklif etilayotgan yechimni (4) asl tenglamaga (1) almashtirish uchun (4) shaklda yozilgan funksiyaning birinchi n ta tartibli hosilalarini topishimiz kerak. Yig'indi va ko'paytmani farqlash qoidalarini qo'llash orqali (4) farqlang:
.
Keling, a'zolarni guruhlaymiz. Birinchidan, ning hosilalari bilan atamalarni, keyin esa hosilalari bilan atamalarni yozamiz:
.
Biz funktsiyalarga birinchi shartni qo'yamiz:
(5.1)
.
Keyin birinchi hosila uchun ifoda oddiyroq shaklga ega bo'ladi:
(6.1)
.
Xuddi shu tarzda, biz ikkinchi hosilani topamiz:
.
Funktsiyalarga ikkinchi shartni qo'yamiz:
(5.2)
.
Keyin
(6.2)
.
Va boshqalar. Qo'shimcha shartlarda biz funktsiyalarning hosilalarini o'z ichiga olgan atamalarni nolga tenglashtiramiz.
Shunday qilib, funktsiyalar uchun quyidagi qo'shimcha tenglamalarni tanlasak:
(5,k) ,
u holda birinchi hosilalar eng oddiy shaklga ega bo'ladi:
(6,k) .
Bu yerda .
n-chi hosilani topamiz:
(6.n)
.
Dastlabki tenglamani (1) almashtiramiz:
(1)
;
.
Biz barcha funktsiyalar tenglamani (2) qanoatlantirishini hisobga olamiz:
.
Keyin o'z ichiga olgan shartlar yig'indisi nolga teng. Natijada biz quyidagilarni olamiz:
(7)
.
Natijada hosilalar uchun chiziqli tenglamalar tizimini oldik:
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .
Bu sistemani yechib, hosilalarning x funksiyasi sifatida ifodalarini topamiz. Integratsiyalash natijasida biz quyidagilarni olamiz:
.
Bu erda endi x ga bog'liq bo'lmagan doimiylar mavjud. (4) ga almashtirib, asl tenglamaning umumiy yechimini olamiz.
E'tibor bering, biz hech qachon a i koeffitsientlari hosilalarning qiymatlarini aniqlash uchun doimiy ekanligidan foydalanmaganmiz. Shunday qilib Lagranj usuli har qanday chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamalarni yechish uchun qo'llaniladi, agar (2) bir jinsli tenglamaning asosiy yechimlar tizimi ma'lum bo'lsa.
Misollar
Konstantalarni o'zgartirish usuli (Lagranj) bilan tenglamalarni yeching.
Misollar yechimi > > >
Yuqori tartibli tenglamalarni Bernulli usulida yechish
Doimiy koeffitsientli chiziqli bir jinsli yuqori tartibli differensial tenglamalarni chiziqli almashtirish orqali yechish
44-ma'ruza. Ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamalar. Ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli. Doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli tenglamalar. (maxsus o'ng tomonda).
Ijtimoiy o'zgarishlar. Davlat va cherkov.
Bolsheviklarning ijtimoiy siyosati asosan ularning sinfiy yondashuvi bilan bog'liq edi. 1917 yil 10 noyabrdagi farmon bilan mulk tizimi tugatildi, inqilobdan oldingi unvonlar, unvonlar va mukofotlar bekor qilindi. Sudyalarni saylash belgilandi; fuqarolik davlatlarining sekulyarizatsiyasi amalga oshirildi. Bepul ta'lim va tibbiy yordam o'rnatildi (1918 yil 31 oktyabrdagi qaror). Ayollar erkaklar bilan huquqlar boʻyicha tenglashtirildi (1917 yil 16 va 18 dekabrdagi farmonlar). Nikoh to'g'risidagi farmonda fuqarolik nikohi instituti joriy etildi.
Xalq Komissarlari Sovetining 1918-yil 20-yanvardagi farmoni bilan cherkov davlat va taʼlim tizimidan ajratilgan. Cherkov mulkining katta qismi musodara qilindi. Moskva va Butun Rossiya Patriarxi Tixon (1917 yil 5 noyabrda saylangan) 1918 yil 19 yanvarda anathematizatsiya qilingan. Sovet hokimiyati va bolsheviklarga qarshi kurashga chaqirdi.
Chiziqli bir jinsli bo'lmagan ikkinchi tartibli tenglamani ko'rib chiqaylik
Bunday tenglamaning umumiy yechimining tuzilishi quyidagi teorema bilan aniqlanadi:
Teorema 1. Bir jinsli boʻlmagan tenglamaning (1) umumiy yechimi bu tenglamaning qandaydir xususiy yechimi va mos keladigan bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi yigʻindisi sifatida ifodalanadi.
Isbot. Bu summani isbotlashimiz kerak
(1) tenglamaning umumiy yechimidir. Avval (3) funksiya (1) tenglamaning yechimi ekanligini isbotlaymiz.
Yig'indini tenglamaga (1) o'rniga qo'yish da, ega bo'ladi
(2) tenglamaning yechimi borligi sababli, birinchi qavslardagi ifoda xuddi shunday nolga teng. (1) tenglamaning yechimi borligi sababli, ikkinchi qavsdagi ifoda teng f(x). Demak, tenglik (4) o'ziga xoslikdir. Shunday qilib, teoremaning birinchi qismi isbotlangan.
Ikkinchi fikrni isbotlaylik: (3) ifoda umumiy(1) tenglamaning yechimi. Ushbu ifodaga kiritilgan ixtiyoriy konstantalarni dastlabki shartlar qondirilishi uchun tanlash mumkinligini isbotlashimiz kerak:
qanday raqamlar bo'lishidan qat'iy nazar x 0 , y 0 va (agar faqat x 0 funksiyalari joylashgan hududdan olingan a 1, a 2 va f(x) davomiy).
Shaklda ifodalash mumkinligini payqab. Keyin, (5) shartlarga asoslanib, biz bor
Keling, ushbu tizimni hal qilamiz va topamiz 1 dan va 2 dan. Keling, tizimni quyidagicha qayta yozamiz:
E'tibor bering, ushbu tizimning determinanti funktsiyalar uchun Vronskiy determinantidir 1 va 2 da nuqtada x=x 0. Bu funksiyalar faraz bo'yicha chiziqli mustaqil bo'lganligi sababli, Vronskiy determinanti nolga teng emas; demak (6) sistemaning aniq yechimi bor 1 dan va 2 dan, ya'ni. shunday qadriyatlar bor 1 dan va 2 dan, buning uchun formula (3) berilgan boshlang'ich shartlarni qanoatlantiradigan (1) tenglamaning yechimini aniqlaydi. Q.E.D.
Keling, bir jinsli bo'lmagan tenglamaning alohida yechimlarini topishning umumiy usuliga murojaat qilaylik.
Bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini yozamiz (2)
Biz bir jinsli bo'lmagan tenglamaning (1) ma'lum bir yechimini (7) ko'rinishda qidiramiz, 1 dan va 2 dan hali noma'lum bo'lgan ba'zi xususiyatlar kabi X.
Tenglikni farqlaylik (7):
Biz kerakli funktsiyalarni tanlaymiz 1 dan va 2 dan shuning uchun tenglik
Agar bu qo'shimcha shart hisobga olinsa, birinchi hosila shaklni oladi
Endi bu ifodani farqlab, biz quyidagilarni topamiz:
Tenglamani (1) o'rniga qo'yib, olamiz
Birinchi ikkita qavsdagi iboralar yo'qoladi, chunki y 1 va y2 bir jinsli tenglamaning yechimlaridir. Shuning uchun oxirgi tenglik shaklni oladi
Shunday qilib, (7) funktsiya, agar funktsiyalar bo'lsa, bir hil bo'lmagan (1) tenglamaning yechimi bo'ladi 1 dan va 2 dan(8) va (9) tenglamalarni qanoatlantiring. (8) va (9) tenglamalardan tenglamalar sistemasini tuzamiz.
Chunki bu sistemaning determinanti chiziqli mustaqil yechimlar uchun Vronskiy determinantidir y 1 va y2 tenglama (2), u holda u nolga teng emas. Shunday qilib, tizimni hal qilishda biz ikkala ma'lum funktsiyalarni topamiz X:
Ushbu tizimni yechish orqali biz integrasiya natijasida ni topamiz. Keyinchalik, topilgan funktsiyalarni formulaga almashtiramiz, biz bir hil bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimini olamiz, bu erda ixtiyoriy doimiylar.
