Maktabga tayyorgarlik

Matematika entsiklopediyasi. Matematik ensiklopediya Aksiomalar va isbotlash usullari

5 jildli matematik ensiklopediya kitob yuklab olish mutlaqo bepul.

Fayl hostingidan kitobni bepul yuklab olish uchun bepul kitob tavsifidan so'ng darhol havolalarni bosing.

Hurmatli o'quvchilar, agar muvaffaqiyatsiz bo'lsangiz

5 jildli matematik ensiklopediya yuklab olish

Izohlarda bu haqda yozing va biz sizga albatta yordam beramiz.

Umid qilamizki, siz kitobni yoqtirdingiz va uni o'qidingiz. Tashakkur sifatida forum yoki blogda veb-saytimizga havolani qoldirishingiz mumkin :) Elektron kitob 5 jilddan iborat matematik entsiklopediya faqat qog'oz kitob sotib olishdan oldin ko'rib chiqish uchun taqdim etiladi va bosma nashrlarga raqobatchi emas.

Maqolaning mazmuni

MATEMATIKA. Matematika odatda uning ba'zi an'anaviy tarmoqlarining nomlarini sanab o'tish orqali aniqlanadi. Avvalo, bu raqamlarni o'rganish, ular o'rtasidagi munosabatlar va raqamlar bilan ishlash qoidalari bilan shug'ullanadigan arifmetika. Arifmetika faktlari har xil aniq talqinlarga ochiq; masalan, 2 + 3 = 4 + 1 nisbati ikkita va uchta kitob to'rtta va bitta kitobni tashkil qiladi, degan fikrga mos keladi. 2 + 3 = 4 + 1 kabi har qanday munosabat, ya'ni. fizik dunyodan hech qanday talqinga murojaat qilmasdan sof matematik ob'ektlar orasidagi munosabat mavhum deyiladi. Matematikaning mavhum tabiati uni eng ko'p yechishda qo'llash imkonini beradi turli muammolar. Masalan, sonlar ustida amallar bilan shug’ullanuvchi algebra arifmetikadan tashqariga chiqadigan masalalarni yechishga imkon beradi. Matematikaning aniqroq sohasi geometriya bo'lib, uning asosiy vazifasi ob'ektlarning o'lchamlari va shakllarini o'rganishdir. Algebraik usullarning geometrik usullar bilan uyg‘unlashuvi, bir tomondan, trigonometriyaga (dastlab geometrik uchburchaklarni o‘rganishga bag‘ishlangan, hozir esa ancha kengroq masalalarni qamrab olgan), ikkinchi tomondan, analitik geometriyaga olib keladi. geometrik jismlar va figuralar algebraik usullar bilan o‘rganiladi. Oliy algebra va geometriyaning bir qancha tarmoqlari borki, ular yuqori darajada abstraksiyaga ega bo‘lib, oddiy sonlar va oddiy geometrik figuralarni o‘rganish bilan shug‘ullanmaydi; geometrik fanlarning eng mavhumi topologiya deb ataladi.

Matematik tahlil fazoda yoki vaqt ichida oʻzgaruvchan miqdorlarni oʻrganish bilan shugʻullanadi va matematikaning elementar boʻlimlarida uchramaydigan ikkita asosiy tushuncha – funksiya va limitga tayanadi. Dastlab, matematik tahlil differentsial va integral hisoblardan iborat bo'lsa, endi boshqa bo'limlarni ham o'z ichiga oladi.

Matematikaning ikkita asosiy yo'nalishi mavjud - sof matematika, unda asosiy e'tibor deduktiv fikrlash va amaliy matematikadir. “Amaliy matematika” atamasi baʼzan matematikaning fan ehtiyojlari va talablarini qondirish uchun maxsus yaratilgan boʻlimlarini, baʼzan esa matematikadan yechish vositasi sifatida foydalaniladigan turli fanlarning (fizika, iqtisod va boshqalar) boʻlimlarini bildiradi. ularning vazifalari. Matematikaga oid ko'plab noto'g'ri tushunchalar "amaliy matematika" ning ushbu ikki talqini o'rtasidagi chalkashlikdan kelib chiqadi. Arifmetika birinchi ma'noda amaliy matematikani, ikkinchi ma'noda esa buxgalteriya hisobini misol qilib keltirishi mumkin.

Ommabop e'tiqoddan farqli o'laroq, matematika jadal rivojlanishda davom etmoqda. Mathematical Review har yili taxminan nashr etadi. Eng so'nggi natijalarni o'z ichiga olgan 8000 ta maqolaning qisqacha mazmuni - yangi matematik faktlar, eski faktlarning yangi dalillari va hatto matematikaning mutlaqo yangi sohalari haqida ma'lumot. Matematik ta'limning hozirgi tendentsiyasi matematikani o'qitishning dastlabki bosqichida talabalarni zamonaviy, mavhum matematik g'oyalar bilan tanishtirishdan iborat. Shuningdek qarang MATEMATIKA TARIX. Matematika tsivilizatsiyaning asoslaridan biridir, ammo bu fanning hozirgi holati haqida juda kam odam tasavvurga ega.

Matematika so'nggi yuz yil ichida ham mavzu, ham o'rganish usullari jihatidan juda katta o'zgarishlarga duch keldi. Ushbu maqolada biz zamonaviy matematika evolyutsiyasining asosiy bosqichlari haqida umumiy fikr berishga harakat qilamiz, ularning asosiy natijalarini, bir tomondan, sof va amaliy matematika o'rtasidagi tafovutning oshishi, deb hisoblash mumkin. va ikkinchi tomondan, matematikaning an'anaviy sohalarini to'liq qayta ko'rib chiqish.

MATEMATIK USULNI ISHLAB CHIQISH

Matematikaning tug'ilishi.

Miloddan avvalgi 2000 yillar atrofida tomonlari 3, 4 va 5 birlik uzunlikdagi uchburchakda burchaklardan biri 90 ° ga teng ekanligi aniqlandi (bu kuzatish amaliy ehtiyojlar uchun to'g'ri burchakni qurishni osonlashtirdi). 5 2 = 3 2 + 4 2 munosabatini payqadingizmi? Bizda bu borada hech qanday ma'lumot yo'q. Bir necha asr o'tgach, umumiy qoida topildi: har qanday uchburchakda ABC tepada to'g'ri burchak bilan A va partiyalar b = AC va c = AB, ular orasida bu burchak o'ralgan va unga qarama-qarshi tomon a = Miloddan avvalgi nisbati a 2 = b 2 + c 2. Aytish mumkinki, fan individual kuzatishlar massasi bitta umumiy qonun bilan izohlanganda boshlanadi; demak, "Pifagor teoremasi" ning kashf etilishini chinakam ilmiy yutuqning birinchi ma'lum misollaridan biri sifatida ko'rish mumkin.

Ammo umuman fan va xususan matematika uchun undan ham muhimroq narsa formula bilan bir qatorda umumiy Qonun buni isbotlashga urinishlar bor, ya'ni. u boshqa geometrik xossalardan majburiy ravishda kelib chiqishini ko'rsating. Sharqiy "dalil" lardan biri, ayniqsa, soddaligi bilan tasvirlangan: kvadratga ma'lum biriga teng to'rtta uchburchak yozilgan. BCDE chizmada ko'rsatilganidek. kvadrat maydon a 2 umumiy maydoni 2 bo'lgan to'rtta teng uchburchakka bo'lingan mil. avv va kvadrat AFGH hudud ( b – c) 2 . Shunday qilib, a 2 = (b – c) 2 + 2mil. avv = (b 2 + c 2 – 2mil. avv) + 2mil. avv = b 2 + c 2. Bir qadam oldinga borish va qaysi "oldingi" xususiyatlar ma'lum bo'lishi kerakligini aniqroq aniqlash ibratlidir. Eng aniq fakt uchburchaklar beri BAC va BEF aniq, bo'shliqlarsiz va bir-birining ustiga chiqmasdan, tomonlar bo'ylab "o'rnatilgan" BA va bf, ya'ni cho'qqilardagi ikkita burchak B va BILAN uchburchakda ABS birgalikda 90 ° burchak hosil qiladi va shuning uchun uning uchta burchagining yig'indisi 90 ° + 90 ° = 180 ° dir. Yuqoridagi "dalil" formuladan ham foydalanadi ( mil. avv/2) uchburchakning maydoni uchun ABC tepada 90 ° burchak bilan A. Aslida, boshqa taxminlar ham qo'llanilgan, ammo aytilganlar biz matematik isbotlashning muhim mexanizmini - sof mantiqiy dalillardan foydalanishga imkon beruvchi deduktiv fikrlashni aniq ko'rishimiz uchun kifoya qiladi (to'g'ri tayyorlangan materialga asoslanib, bizning misolimizda - bo'linish). kvadrat) dan xulosa chiqarish ma'lum natijalar yangi xususiyatlar, qoida tariqasida, mavjud ma'lumotlardan to'g'ridan-to'g'ri amal qilmaydi.

Aksiomalar va isbotlash usullari.

Matematik metodning asosiy xususiyatlaridan biri - bu har bir keyingi bo'g'in avvalgilariga bog'langan, sinchkovlik bilan tuzilgan sof mantiqiy dalillar yordamida bayonotlar zanjirini yaratish jarayonidir. Birinchi juda aniq fikr shundaki, har qanday zanjir birinchi bo'g'inga ega bo'lishi kerak. Bu holat yunonlar uchun 7-asrda matematik dalillar kodini tizimlashtirishni boshlaganlarida ayon bo'ldi. Miloddan avvalgi. Yunonlarga taxminan kerak bo'ldi. 200 yoshda va omon qolgan hujjatlar ular qanday harakat qilgani haqida taxminiy tasavvur beradi. Biz faqat tadqiqotning yakuniy natijasi - mashhur haqida aniq ma'lumotga egamiz Boshlanishlar Evklid (miloddan avvalgi 300-yillar). Evklid boshlang'ich pozitsiyalarni sanab o'tishni boshlaydi, qolganlarning hammasi sof mantiqiy tarzda chiqariladi. Ushbu qoidalar aksiomalar yoki postulatlar deb ataladi (atamalar amalda bir-birini almashtiradi); ular har qanday turdagi ob'ektlarning juda umumiy va biroz noaniq xususiyatlarini, masalan, "butun qismdan katta" yoki ba'zi o'ziga xos matematik xususiyatlarni, masalan, har qanday ikkita nuqta uchun ularni bog'laydigan yagona to'g'ri chiziq mavjudligini ifodalaydi. . Yunonlar aksiomalarning "haqiqatiga" chuqurroq ma'no yoki ahamiyat berganliklari haqida ham bizda hech qanday ma'lumot yo'q, garchi yunonlar ba'zi aksiomalarni qabul qilishdan oldin ularni bir muncha vaqt muhokama qilganliklari haqida ba'zi maslahatlar mavjud. Evklid va uning izdoshlarida aksiomalar faqat matematikani qurish uchun boshlang'ich nuqta sifatida taqdim etilgan, ularning tabiati haqida hech qanday izoh berilmagan.

Isbotlash usullariga kelsak, ular, qoida tariqasida, ilgari isbotlangan teoremalardan bevosita foydalanishga qisqartirilgan. Biroq, ba'zida fikrlash mantig'i murakkabroq bo'lib chiqdi. Biz bu erda Evklidning matematikaning kundalik amaliyotiga aylangan sevimli usulini - bilvosita isbotlash yoki qarama-qarshilik bilan isbotlashni eslatib o'tamiz. Qarama-qarshilik bilan isbotlashning elementar misoli sifatida, diagonalning qarama-qarshi uchlarida joylashgan ikkita burchak maydoni kesilgan shaxmat taxtasini har biri ikkita maydonga teng bo'lgan dominolar bilan qoplash mumkin emasligini ko'rsatamiz. (Shaxmat taxtasining har bir kvadrati faqat bir marta qoplanishi kerak deb taxmin qilinadi.) Faraz qilaylik, qarama-qarshi ("qarama-qarshi") gap to'g'ri, ya'ni. taxta domino bilan qoplangan bo'lishi mumkin. Har bir plitka bitta qora va bitta oq kvadratni qoplaydi, shuning uchun dominolar qayerga qo'yilmasin, ular teng miqdordagi qora va oq kvadratlarni qoplaydi. Biroq, ikkita burchak kvadrati olib tashlanganligi sababli, shaxmat taxtasi (dastlab oq kvadratchalar kabi ko'p qora kvadratlarga ega bo'lgan) boshqa rangdagi kvadratlarga qaraganda bir rangdagi ikkita kvadrat ko'proq. Bu bizning dastlabki taxminimiz haqiqat bo'lishi mumkin emasligini anglatadi, chunki u qarama-qarshilikka olib keladi. Va qarama-qarshi takliflar bir vaqtning o'zida ikkalasi ham yolg'on bo'la olmasligi sababli (agar ulardan biri yolg'on bo'lsa, buning aksi to'g'ri bo'ladi), bizning dastlabki taxminimiz haqiqat bo'lishi kerak, chunki qarama-qarshi taxmin yolg'ondir; shuning uchun diagonal ravishda joylashtirilgan ikkita kesilgan burchak kvadratlari bo'lgan shaxmat taxtasini domino bilan qoplab bo'lmaydi. Demak, ma'lum bir fikrni isbotlash uchun uni yolg'on deb taxmin qilishimiz va bu farazdan haqiqati ma'lum bo'lgan boshqa bir fikrga qarama-qarshilik chiqarishimiz mumkin.

Qadimgi yunon matematikasining rivojlanishidagi muhim bosqichlardan biriga aylangan qarama-qarshilik bilan isbotlashning ajoyib namunasi ratsional son bo'lmagan dalildir, ya'ni. kasr sifatida ifodalanmaydi p/q, qayerda p va q- butun sonlar. Agar bo'lsa, u holda 2 = p 2 /q 2, qaerdan p 2 = 2q 2. Faraz qilaylik, ikkita butun son bor p va q, buning uchun p 2 = 2q 2. Boshqacha qilib aytganda, kvadrati boshqa butun sonning kvadratidan ikki baravar katta bo'lgan butun son mavjud deb taxmin qilamiz. Agar biron-bir butun son bu shartni qanoatlantirsa, u holda ulardan biri barcha qolganlaridan kichik bo'lishi kerak. Keling, ushbu raqamlarning eng kichigiga e'tibor qarataylik. Bu raqam bo'lsin p. 2 yildan beri q 2 juft son va p 2 = 2q 2, keyin raqam p 2 teng bo'lishi kerak. Chunki barcha toq sonlarning kvadratlari toq va kvadrat p 2 juft, shuning uchun raqamning o'zi p teng bo'lishi kerak. Boshqacha aytganda, raqam p ikki baravar butun son r. Chunki p = 2r va p 2 = 2q 2, bizda: (2 r) 2 = 4r 2 = 2q 2 va q 2 = 2r 2. Oxirgi tenglik tenglik bilan bir xil shaklga ega p 2 = 2q 2 , va biz xuddi shu fikrni takrorlab, raqamni ko'rsatishimiz mumkin q juft va shunday butun son mavjudligi s, nima q = 2s. Ammo keyin q 2 = (2s) 2 = 4s 2 va shundan beri q 2 = 2r 2, biz 4 degan xulosaga keldik s 2 = 2r 2 yoki r 2 = 2s 2. Shunday qilib, biz uning kvadrati boshqa butun sonning kvadratidan ikki baravar ko'p bo'lishi shartini qondiradigan ikkinchi butun sonni olamiz. Ammo keyin p bunday raqam eng kichik bo'lishi mumkin emas (chunki r = p/2), garchi dastlab biz bu raqamlarning eng kichigi deb taxmin qilgan edik. Shuning uchun, bizning dastlabki taxminimiz noto'g'ri, chunki u qarama-qarshilikka olib keladi va shuning uchun bunday butun sonlar yo'q. p va q, buning uchun p 2 = 2q 2 (ya'ni, shunday). Va bu raqam oqilona bo'lishi mumkin emasligini anglatadi.

Evkliddan 19-asr boshlarigacha.

Bu davrda matematika uchta yangilik natijasida sezilarli darajada o'zgardi.

(1) Algebra fanining rivojlanishi jarayonida miqdorlar orasidagi tobora murakkablashib borayotgan munosabatlarni qisqartirilgan shaklda ifodalash imkonini beruvchi ramziy belgilar usuli ixtiro qilindi. Agar bunday "kursiv yozuv" bo'lmaganida yuzaga keladigan noqulayliklarga misol sifatida keling, nisbatni so'z bilan etkazishga harakat qilaylik ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2: "Bir tomoni berilgan ikkita kvadratning tomonlari yig'indisiga teng bo'lgan kvadratning maydoni, tomonlari tomonlariga teng bo'lgan to'rtburchaklar maydonining ikki barobari bilan birga ularning maydonlari yig'indisiga teng. berilgan kvadratlar."

(2) 17-asrning birinchi yarmidagi yaratilish. analitik geometriya, bu klassik geometriyaning har qanday muammosini qandaydir algebraik masalaga qisqartirish imkonini berdi.

(3) 1600-1800 yillar oralig'ida cheksiz kichik hisobning yaratilishi va rivojlanishi, bu chegara va uzluksizlik tushunchalari bilan bog'liq yuzlab muammolarni oson va tizimli ravishda hal qilish imkonini berdi, ulardan faqat juda oz qismi qadimgi yunon tomonidan katta qiyinchilik bilan yechilgan. matematiklar. Matematikaning bu bo'limlari ALGEBRA maqolalarida batafsil ko'rib chiqiladi; ANALİTİK GEOMETRIYA; MATEMATIK TAHLIL; GEOMETRIYA SHARHI.

17-asrdan boshlab. shu paytgacha hal etilmagan savolni asta-sekin aniqlab beradi. Matematika nima? 1800 yilgacha javob juda oddiy edi. O'sha paytda turli fanlar o'rtasida aniq chegaralar yo'q edi, matematika "bir qismi edi" tabiiy falsafa"- Uyg'onish davri va 17-asr boshlarining buyuk islohotchilari tomonidan taklif qilingan usullar bilan tabiatni tizimli o'rganish. - Galiley (1564–1642), F.Bekon (1561–1626) va R.Dekart (1596–1650). Matematiklarning o'ziga xos tadqiqot sohasi - raqamlar va geometrik jismlar bor, deb hisoblar edi va matematiklar eksperimental usuldan foydalanmaydilar. Biroq, Nyuton va uning izdoshlari Evklid geometriyasini taqdim qilish usuliga o'xshash aksiomatik usul yordamida mexanika va astronomiyani o'rganishdi. Umuman olganda, tajriba natijalari raqamlar yoki raqamlar tizimi yordamida ifodalanishi mumkin bo'lgan har qanday fan matematikaning qo'llanilish sohasiga aylanishi e'tirof etildi (fizikada bu g'oya faqat 19-asrda yaratilgan).

Eksperimental fanning matematik ishlovdan o‘tgan sohalari ko‘pincha “amaliy matematika” deb ataladi; Bu juda achinarli nom, chunki bu ilovalarda na klassik, na zamonaviy standartlarga ko'ra (qat'iy ma'noda) haqiqiy matematik dalillar mavjud emas, chunki ularda matematik bo'lmagan ob'ektlar o'rganish mavzusidir. Eksperimental ma’lumotlar raqamlar yoki tenglamalar tiliga tarjima qilingandan so‘ng (bunday “tarjima” ko‘pincha “amaliy” matematikdan katta zukkolikni talab qiladi), matematik teoremalarni keng qo‘llash imkoniyati paydo bo‘ladi; natija keyin orqaga tarjima qilinadi va kuzatishlar bilan solishtiriladi. “Matematika” atamasining bunday jarayonga nisbatan qo‘llanilishi cheksiz tushunmovchiliklar manbalaridan biridir. Biz hozir gapirayotgan “klassik” zamonlarda bunday tushunmovchilik bo‘lmagan, chunki bir xil odamlar bir vaqtning o‘zida matematik tahlil yoki sonlar nazariyasi muammolari bilan shug‘ullanuvchi “amaliy” va “sof” matematiklar bo‘lgan. dinamika yoki optika. Biroq, ixtisoslashuvning kuchayishi va "sof" va "amaliy" matematiklarni ajratish tendentsiyasi ilgari mavjud bo'lgan universallik an'analarini sezilarli darajada zaiflashtirdi va J. fon Neumann (1903-1957) kabi olimlar faol ravishda harakat qila oldilar. ilmiy faoliyat amaliy va sof matematikada ham qoidadan ko'ra istisnoga aylandi.

Biz mavjudligini tabiiy deb bilgan matematik ob'ektlar - sonlar, nuqtalar, chiziqlar, burchaklar, sirtlar va boshqalar qanday tabiatga ega? Bunday ob'ektlarga nisbatan "haqiqat" tushunchasi nimani anglatadi? Klassik davrda bu savollarga aniq javoblar berildi. Albatta, o'sha davr olimlari bizning hislar olamida Evklidning "cheksiz cho'zilgan to'g'ri chizig'i" yoki "o'lchovsiz nuqta" kabi narsalar yo'qligini, xuddi "sof metallar", "monoxromatik yorug'lik" yo'qligini aniq tushundilar. ", "issiqlik izolyatsiyalangan tizimlar" va hokazo. .d., tajribachilar o'zlarining fikrlashlarida ishlaydilar. Bu tushunchalarning barchasi "Platonik g'oyalar", ya'ni. tubdan boshqacha xarakterga ega bo'lsada, empirik tushunchalarning o'ziga xos generativ modellari. Shunga qaramay, g'oyalarning jismoniy "tasvirlari" o'zboshimchalik bilan g'oyalarning o'ziga yaqin bo'lishi mumkin, deb yashirincha taxmin qilingan. Ob'ektlarning g'oyalarga yaqinligi haqida hamma narsani aytish mumkin bo'lgan darajada, "g'oyalar" jismoniy ob'ektlarning "cheklangan holatlari" deb aytiladi. Shu nuqtai nazardan, Evklid aksiomalari va ulardan kelib chiqadigan teoremalar "ideal" ob'ektlarning xususiyatlarini ifodalaydi, ular bashorat qilinadigan eksperimental faktlarga mos kelishi kerak. Masalan, kosmosdagi uch nuqtadan tashkil topgan uchburchakning burchaklarini optik usullar bilan o'lchash "ideal holatda" 180 ° ga teng yig'indini berishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, aksiomalar fizik qonunlar bilan bir darajaga joylashtirilgan va shuning uchun ularning "haqiqati" fizik qonunlarning haqiqati kabi idrok etiladi; bular. aksiomalarning mantiqiy natijalari eksperimental ma'lumotlar bilan taqqoslash yo'li bilan tekshirilishi kerak. Albatta, kelishuvga faqat o'lchash moslamasining "nomukammalligi" va o'lchanayotgan ob'ektning "nomukammalligi" bilan bog'liq bo'lgan xato doirasida erishish mumkin. Biroq, har doim, agar qonunlar "to'g'ri" bo'lsa, o'lchov jarayonlaridagi yaxshilanishlar, qoida tariqasida, o'lchov xatosini kerakli darajada kichik qilishi mumkin deb taxmin qilinadi.

18-asr davomida Asosiy aksiomalardan, ayniqsa astronomiya va mexanikada olingan barcha natijalar eksperimental ma'lumotlarga mos kelishi haqida tobora ko'proq dalillar mavjud edi. Va bu natijalar o'sha paytda mavjud bo'lgan matematik apparatlar yordamida olinganligi sababli, erishilgan muvaffaqiyatlar Evklid aksiomalarining haqiqati haqidagi fikrni mustahkamlashga yordam berdi, bu Platon aytganidek, "hammaga tushunarli" va muhokama qilinmaydi.

Shubhalar va yangi umidlar.

Evklid bo'lmagan geometriya.

Evklid tomonidan berilgan postulatlar orasida bittasi shunchalik noaniq ediki, hatto buyuk matematikning birinchi shogirdlari ham buni tizimdagi zaif nuqta deb bilishgan. Boshlandi. Ko'rib chiqilayotgan aksioma ma'lum bir chiziqdan tashqarida joylashgan nuqta orqali faqat bitta chiziqqa parallel ravishda o'tkazilishi mumkinligini aytadi. Aksariyat geometriyachilar parallellar aksiomasini boshqa aksiomalar yordamida isbotlash mumkinligiga ishonishgan va Evklid parallellar tasdig'ini shunchaki bunday isbot keltira olmagani uchun postulat sifatida ifodalagan. Ammo, garchi eng yaxshi matematiklar parallellar muammosini hal qilishga harakat qildi, ularning hech biri Evkliddan oshib keta olmadi. Nihoyat, 18-asrning ikkinchi yarmida. Evklidning parallellar postulatini qarama-qarshilik bilan isbotlashga urinishlar bo'ldi. Parallel aksioma noto'g'ri degan fikr bor. Apriori Evklid postulati ikkita holatda noto'g'ri bo'lishi mumkin: agar berilgan chiziqdan tashqaridagi nuqta orqali bitta parallel chiziq o'tkazish mumkin bo'lmasa; yoki u orqali bir nechta parallel chiziqlar o'tkazish mumkin bo'lsa. Ma'lum bo'lishicha, birinchi apriori imkoniyat boshqa aksiomalar tomonidan inkor etilgan. Parallellar haqidagi an'anaviy aksioma o'rniga yangi aksiomani qabul qilib, (ma'lum bir chiziqdan tashqaridagi nuqta orqali, berilganiga parallel ravishda bir nechta chiziq chizish mumkin), matematiklar undan boshqa aksiomalarga zid bo'lgan bayonotni chiqarishga harakat qilishdi, ammo muvaffaqiyatsizlikka uchradi: ular yangi "anti-evklid" yoki "evklid bo'lmagan" aksiomadan oqibatlar chiqarishga qanchalik harakat qilishmasin, qarama-qarshilik paydo bo'lmadi. Nihoyat, bir-biridan mustaqil ravishda N.I.Lobachevskiy (1793–1856) va J.Bolyai (1802–1860) Evklidning parallellar haqidagi postulatini isbotlab bo‘lmasligini yoki boshqacha qilib aytganda, “evklid bo‘lmagan geometriya”da qarama-qarshilik paydo bo‘lmasligini anglab yetdi. .

Evklid bo'lmagan geometriyaning paydo bo'lishi bilan darhol bir nechta falsafiy muammolar paydo bo'ldi. Aksiomalarning aprior zaruriyatiga da'vo yo'qolganligi sababli, ularning "haqiqatini" tekshirishning yagona yo'li - eksperimental tarzda qoldi. Ammo, keyinchalik A. Puankare (1854–1912) ta’kidlaganidek, har qanday hodisani tavsiflashda shunchalik ko‘p fizik taxminlar yashiringanki, hech bir tajriba matematik aksiomaning haqiqat yoki yolg‘onligini ishonchli isbotlay olmaydi. Bundan tashqari, bizning dunyomiz "evklid bo'lmagan" deb faraz qilsak ham, barcha Evklid geometriyasi yolg'on degan xulosaga keladimi? Ma'lumki, hech bir matematik bunday taxminni jiddiy ko'rib chiqmagan. Sezgi shuni ko'rsatdiki, Evklid geometriyasi ham, Evklid bo'lmagan geometriya ham to'liq matematikaning namunasidir.

Matematik hayvonlar.

Kutilmaganda, xuddi shunday xulosalar butunlay boshqacha yo'nalishda paydo bo'ldi - 19-asr matematiklarini hayratga solgan ob'ektlar topildi. hayratda qoldirgan va "matematik yirtqich hayvonlar" deb nomlangan. Ushbu kashfiyot faqat 19-asrning o'rtalarida paydo bo'lgan matematik tahlilning juda nozik savollari bilan bevosita bog'liq. Egri chiziqning eksperimental kontseptsiyasining aniq matematik analogini topishga urinishda qiyinchiliklar paydo bo'ldi. "Uzluksiz harakat" tushunchasining mohiyati nimadan iborat edi (masalan, qog'oz varag'i bo'ylab harakatlanuvchi qalamning uchi) aniq matematik ta'rifga bo'ysundi va bu maqsadga uzluksizlik tushunchasi qat'iy matematikaga ega bo'lganda erishildi. ma'nosi ( sm. shuningdek CURVE). Intuitiv ravishda, uning har bir nuqtasida "egri" yo'nalishga ega bo'lib tuyuldi, ya'ni. umumiy holatda, uning har bir nuqtasining qo'shnisida, egri chiziq to'g'ri chiziq bilan deyarli bir xil tarzda harakat qiladi. (Boshqa tomondan, egri chiziqning ko'pburchak kabi chekli sonli burchak nuqtalari borligini tasavvur qilish oson, "burilishlar"). , va 19-asrning o'rtalariga qadar. "egri chiziq" deyarli barcha nuqtalarida, ehtimol, ba'zi "maxsus" nuqtalar bundan mustasno, tangensga ega deb hisoblangan. Shu sababli, hech qanday nuqtada tangensga ega bo'lmagan "egri chiziqlar" ning kashf etilishi haqiqiy janjalni keltirib chiqardi ( sm. shuningdek FUNKSIYALAR NAZARIYASI). (Trigonometriya va analitik geometriya bilan tanish bo'lgan o'quvchi osonlik bilan tenglama tomonidan berilgan egri chiziq ekanligini tekshirishi mumkin. y = x gunoh (1/ x), boshida tangensga ega emas, lekin uning biron bir nuqtasida tangensga ega bo'lmagan egri chiziqni aniqlash ancha qiyinroq.)

Biroz vaqt o'tgach, ancha "patologik" natijaga erishildi: kvadratni to'liq to'ldiradigan egri chiziq misolini qurish mumkin edi. O'shandan beri "sog'lom aql" dan farqli o'laroq, yuzlab bunday "yirtqich hayvonlar" ixtiro qilindi. Shuni ta'kidlash kerakki, bunday g'ayrioddiy matematik ob'ektlarning mavjudligi asosiy aksiomalardan uchburchak yoki ellipsning mavjudligi kabi qat'iy va mantiqiy jihatdan mukammaldir. Matematik "yirtqich hayvonlar" hech qanday eksperimental ob'ektga to'g'ri kelmaydiganligi sababli va yagona mumkin bo'lgan xulosa shundan iboratki, matematik "g'oyalar" dunyosi kutilganidan ko'ra ancha boy va g'ayrioddiyroqdir va ularning juda kam qismi bizning his-tuyg'ularimiz dunyosida mos keladi. . Ammo agar matematik "yirtqich hayvonlar" mantiqiy ravishda aksiomalardan kelib chiqsa, aksiomalarni hali ham to'g'ri deb hisoblash mumkinmi?

Yangi ob'ektlar.

Yuqoridagi natijalar boshqa tomondan tasdiqlandi: matematikada, asosan, algebrada birin-ketin yangi matematik ob'ektlar paydo bo'la boshladi, ular son tushunchasini umumlashtirish edi. Oddiy butun sonlar juda "intuitiv" va kasrning eksperimental kontseptsiyasiga erishish unchalik qiyin emas (garchi tan olish kerakki, birlikni bir nechta teng qismlarga bo'lish va ulardan bir nechtasini tanlash amaliyoti o'z-o'zidan farq qiladi. hisoblash jarayoni). Raqamni kasr sifatida ifodalash mumkin emasligi aniq bo'lgandan so'ng, yunonlar irratsional sonlarni ko'rib chiqishga majbur bo'lishdi, ularning to'g'ri ta'rifi ratsional sonlar bo'yicha cheksiz yaqinlashishlar ketma-ketligidan foydalanib, inson ongining eng yuqori yutuqlariga tegishli, ammo bizning jismoniy dunyomizdagi haqiqiy narsaga deyarli mos kelmaydi (har qanday o'lchov doimo xatolarga duchor bo'ladi). Shunga qaramay, irratsional sonlarning kiritilishi ko'proq yoki kamroq jismoniy tushunchalarni "ideallashtirish" ruhida sodir bo'ldi. Ammo asta-sekin katta qarshilikka uchrab, algebraning rivojlanishi bilan bog'liq holda ilmiy foydalanishni boshlagan salbiy sonlar haqida nima deyish mumkin? Ishonch bilan aytish mumkinki, tayyor jismoniy ob'ektlar yo'q edi, ulardan boshlab biz to'g'ridan-to'g'ri abstraktsiya jarayonidan foydalangan holda manfiy son tushunchasini ishlab chiqishimiz mumkin edi va boshlang'ich algebra kursini o'qitishda biz ko'plab narsalarni kiritishimiz kerak. salbiy raqamlar nima ekanligini tushuntirish uchun yordamchi va ancha murakkab misollar (yo'naltirilgan segmentlar, haroratlar, qarzlar va boshqalar). Bu pozitsiya Platon matematikaning asosiy g'oyalarini talab qilganidek, "hammaga tushunarli" bo'lishdan juda uzoqdir va belgilar qoidasi haligacha sir bo'lib qolayotgan kollej bitiruvchilari bilan uchrashish odatiy hol emas (- a)(–b) = ab. Shuningdek qarang NUMBER.

Vaziyat "xayoliy" yoki "murakkab" raqamlar bilan yanada yomonroq, chunki ular "raqam" ni o'z ichiga oladi. i, shu kabi i 2 = -1, bu belgi qoidasining aniq buzilishi. Shunga qaramay, 16-asr oxiridan boshlab matematiklar. murakkab raqamlar bilan hisob-kitoblarni xuddi "mantiqiy" kabi bajarishdan tortinmang, garchi 200 yil oldin ular bu "ob'ektlar" ni aniqlay olmadilar yoki ularni biron bir yordamchi konstruktsiya yordamida izohlay olmadilar, masalan, ular yo'naltirilgan segmentlar manfiy raqamlar yordamida talqin qilingan. . (1800 yildan keyin bir nechta talqinlar taklif qilindi murakkab sonlar, eng yaxshi ma'lum - tekislikdagi vektorlar yordamida.)

zamonaviy aksiomatika.

Inqilob 19-asrning ikkinchi yarmida sodir bo'ldi. Va bu rasmiy bayonotlar qabul qilinmagan bo'lsa-da, aslida bu o'ziga xos "mustaqillik deklaratsiyasi"ni e'lon qilish haqida edi. Aniqrog'i, matematikaning tashqi dunyodan mustaqilligini de-fakto e'lon qilish haqida.

Shu nuqtai nazardan qaraganda, matematik "ob'ektlar", agar ularning "mavjudligi" haqida gapirish mantiqan to'g'ri kelsa, ular aqlning sof ijodidir va ularda qandaydir "muvofiqlik" bormi va ular "talqin" ga ruxsat beradimi yoki yo'qmi? jismoniy dunyo, matematika uchun ahamiyatsiz (savolning o'zi qiziq bo'lsa ham).

Bunday "ob'ektlar" haqidagi "to'g'ri" bayonotlar aksiomalardan bir xil mantiqiy natijalardir. Ammo endi aksiomalarni mutlaqo o'zboshimchalik bilan qabul qilish kerak va shuning uchun ularni "ideallashtirish" orqali kundalik tajribadan "ravshan" yoki chiqarib tashlashning hojati yo'q. Amalda to'liq erkinlik turli mulohazalar bilan cheklanadi. Albatta, "klassik" ob'ektlar va ularning aksiomalari o'zgarishsiz qolmoqda, ammo hozir ularni matematikaning yagona ob'ektlari va aksiomalari deb hisoblash mumkin emas va aksiomalarni turli yo'llar bilan ishlatish mumkin bo'lgan tarzda tashlash yoki qayta ishlash odati, o'tish davrida amalga oshirilganidek, kundalik amaliyotga kirdi.Evklid geometriyasidan Evklid bo'lmagan geometriyaga. (Yevklid geometriyasi va Lobachevskiy-Bolyai geometriyasidan boshqa koʻp sonli “Yevklid boʻlmagan” geometriya variantlari mana shunday olingan; masalan, parallel chiziqlar boʻlmagan Evklid boʻlmagan geometriyalar ham bor).

Matematik "ob'ektlar"ga yangi yondashuvdan kelib chiqadigan bir holatni alohida ta'kidlamoqchiman: barcha dalillar faqat aksiomalarga asoslangan bo'lishi kerak. Agar matematik dalilning ta'rifini eslasak, unda bunday bayonot takrorlash kabi ko'rinishi mumkin. Biroq, bu qoida klassik matematikada uning ob'ektlari yoki aksiomalarining "intuitiv" tabiati tufayli kamdan-kam qo'llaniladi. Hatto ichida Boshlanishlar Evklid, ularning barcha "qat'iyligi" uchun ko'p aksiomalar aniq shakllantirilmagan va ko'plab xususiyatlar so'zsiz qabul qilingan yoki etarli asossiz kiritilgan. Evklid geometriyasini mustahkam poydevorga qo'yish uchun uning printsiplarini tanqidiy qayta ko'rib chiqish kerak edi. Aytishga hojat yo'q, isbotning eng kichik tafsilotlari ustidan pedantik nazorat zamonaviy matematiklarni o'z xulosalarida ehtiyotkor bo'lishga o'rgatgan "yirtqich hayvonlar" paydo bo'lishining natijasidir. Klassik ob'ektlar haqidagi eng zararsiz va "o'z-o'zidan ravshan" ta'kid, masalan, to'g'ri chiziqning qarama-qarshi tomonlarida joylashgan nuqtalarni bog'lovchi egri chiziq bu to'g'ri chiziqni kesib o'tishi shart, zamonaviy matematikada qat'iy rasmiy isbot talab etiladi.

Aynan aksiomalarga sodiqligi tufayli zamonaviy matematika har qanday fan qanday bo'lishi kerakligiga yaqqol misol bo'lib xizmat qiladi, deyish paradoksal tuyulishi mumkin. Shunga qaramay, bu yondashuv ilmiy fikrlashning eng fundamental jarayonlaridan biri - to'liq bo'lmagan bilim sharoitida aniq ma'lumot olishning o'ziga xos xususiyatini ko'rsatadi. Ilmiy tadqiqot ob'ektlarning ma'lum bir sinfining bir ob'ektni ikkinchisidan farqlash imkonini beradigan xususiyatlar ataylab unutiladi va faqat ko'rib chiqilayotgan ob'ektlarning umumiy belgilari saqlanib qoladi. Matematikani umumiy fanlardan ajratib turadigan narsa bu dasturga uning barcha bandlarida qat'iy rioya qilishdir. Matematik ob'ektlar ushbu ob'ektlar nazariyasida qo'llaniladigan aksiomalar bilan to'liq aniqlanadi, deb ishoniladi; yoki, Puankare so'zlari bilan aytganda, aksiomalar o'zlari murojaat qilgan ob'ektlarning "niqobdagi ta'riflari" bo'lib xizmat qiladi.

ZAMONAVIY MATEMATIKA

Har qanday aksiomalarning mavjudligi nazariy jihatdan mumkin boʻlsa-da, hozirgacha oz sonli aksiomalar taklif qilingan va oʻrganilgan. Odatda, bir yoki bir nechta nazariyalarni ishlab chiqish jarayonida isbotlashning ba'zi sxemalari ko'p yoki kamroq o'xshash sharoitlarda takrorlanishi kuzatiladi. Isbotlarning umumiy sxemalarida qo‘llaniladigan xossalar ochilgandan so‘ng, ular aksiomalar ko‘rinishida shakllantiriladi va ularning oqibatlari aksiomalar mavhumlashtirilgan o‘ziga xos kontekstlarga bevosita bog‘liq bo‘lmagan umumiy nazariyaga asoslanadi. Shu tarzda olingan umumiy teoremalar mos aksiomalarni qanoatlantiradigan ob'ektlar tizimi mavjud bo'lgan har qanday matematik vaziyatga nisbatan qo'llaniladi. Turli matematik vaziyatlarda bir xil isbot sxemalarining takrorlanishi biz bir xil umumiy nazariyaning turli konkretlashtirishlari bilan shug‘ullanayotganimizni ko‘rsatadi. Demak, tegishli talqindan keyin bu nazariyaning aksiomalari har bir vaziyatda teoremaga aylanadi. Aksiomalardan chiqarilgan har qanday xususiyat bu barcha vaziyatlarda to'g'ri bo'ladi, lekin har bir holat uchun alohida dalil kerak emas. Bunday hollarda matematik vaziyatlar bir xil matematik "tuzilish"ga ega deyiladi.

Biz tuzilish tushunchasini har bir qadamda ishlatamiz Kundalik hayot. Agar termometr 10°C ni koʻrsatsa va prognoz idorasi harorat 5°C ga oshishini bashorat qilsa, biz hech qanday hisob-kitoblarsiz 15°C haroratni kutamiz.Agar kitob 10-sahifagacha ochilsa va bizdan 5 sahifani koʻproq qidirishimiz soʻralsa, oraliq sahifalarni hisoblamasdan, 15-sahifada ochishdan tortinmaymiz. Ikkala holatda ham, raqamlarning qo'shilishi, ularning talqinidan qat'i nazar, to'g'ri natija beradi deb hisoblaymiz - harorat yoki sahifa raqamlari ko'rinishida. Termometrlar uchun bitta arifmetikani va sahifa raqamlari uchun boshqasini o'rganishimiz shart emas (garchi biz soatlar uchun maxsus arifmetikadan foydalanamiz, unda 8 + 5 = 1, chunki soatlar kitob sahifalaridan farqli tuzilishga ega). Matematiklarni qiziqtiradigan tuzilmalar biroz yuqoriroq murakkablik bilan ajralib turadi, buni misollardan osongina ko'rish mumkin, tahlili ushbu maqolaning keyingi ikki bo'limiga bag'ishlangan. Ulardan biri guruhlar nazariyasi va tuzilmalar va izomorfizmlarning matematik tushunchalari bilan bog'liq.

Guruh nazariyasi.

Yuqorida tavsiflangan jarayonni yaxshiroq tushunish uchun umumiy ma'noda, keling, zamonaviy matematikning laboratoriyasini ko'rib chiqish erkinligini olaylik va uning asosiy vositalaridan biri - guruh nazariyasini batafsil ko'rib chiqamiz ( sm. shuningdek ALGEBRA ABTRAKTI). Guruh - bu ob'ektlar to'plami (yoki "to'plami"). G, bunda har qanday ikkita ob'ekt yoki elementni bog'laydigan operatsiya aniqlanadi a, b dan G, belgilangan tartibda olingan (birinchi element element a, ikkinchisi - element b), uchinchi element c dan G qat'iy belgilangan qoidaga muvofiq. Qisqartirish uchun biz ushbu elementni belgilaymiz a*b; yulduzcha (*) ikki element tarkibining ishlashini bildiradi. Guruhni ko'paytirish deb ataydigan ushbu operatsiya quyidagi shartlarga javob berishi kerak:

(1) har qanday uchta element uchun a, b, c dan G assotsiativlik xususiyati qanoatlansa: a* (b*c) = (a*b) *c;

(2) ichida G shunday element mavjud e, bu har qanday element uchun a dan G nisbat mavjud e*a = a*e = a; bu element e guruhning o'ziga xosligi yoki neytral elementi deb ataladi;

(3) har qanday element uchun a dan G shunday element mavjud a¢, teskari yoki nosimmetrik deb ataladi elementga a, nima a*aў = aў* a = e.

Agar bu xususiyatlar aksioma sifatida qabul qilinsa, ularning mantiqiy oqibatlari (boshqa aksioma yoki teoremalardan mustaqil) birgalikda umumiy guruh nazariyasi deb ataladigan narsani tashkil qiladi. Guruhlar matematikaning barcha sohalarida keng qo'llanilganligi sababli, bu natijalarni bir marta va umuman olganda juda foydali bo'ldi. Guruhlarning minglab mumkin bo'lgan misollaridan biz eng oddiylaridan bir nechtasini tanlaymiz.

(a) kasrlar p/q, qayerda p va q i1 ixtiyoriy butun sonlar (uchun q= 1 biz oddiy butun sonlarni olamiz). Kasrlar p/q guruhni ko'paytirishga ko'ra guruh hosil qilish ( p/q) *(r/s) = (pr)/(qs). (1), (2), (3) xossalari arifmetika aksiomalaridan kelib chiqadi. Haqiqatan ham, [( p/q) *(r/s)] *(t/u) = (prt)/(qsu) = (p/q)*[(r/s)*(t/u)]. Identifikatsiya elementi 1 = 1/1 raqamidir, chunki (1/1)*( p/q) = (1H p)/(1H q) = p/q. Nihoyat, element kasrga teskari p/q, kasrdir q/p, chunki ( p/q)*(q/p) = (pq)/(pq) = 1.

(b) deb hisoblang G 0, 1, 2, 3 va kabi to'rtta butun sonlar to'plami a*b- bo'linmaning qolgan qismi a + b 4. Shu tarzda kiritilgan operatsiya natijalari Jadvalda keltirilgan. 1 (element a*b chiziqning kesishgan joyida turadi a va ustun b). (1)–(3) xossalari qanoatlantirilganligini tekshirish oson va 0 raqami identifikatsiya elementi hisoblanadi.

(c) Biz tanlaymiz G 1, 2, 3, 4 va kabi raqamlar to'plami a*b- bo'linmaning qolgan qismi ab(oddiy mahsulot) tomonidan 5. Natijada, biz jadvalni olamiz. 2. (1)–(3) xossalari qanoatlantirilganligini va 1 identifikatsiya elementi ekanligini tekshirish oson.

d) 1, 2, 3, 4 kabi toʻrtta obʼyektni bir qatorda 24 ta usulda joylashtirish mumkin. Har bir joylashuvni "tabiiy" joylashuvni ma'lum joyga aylantiruvchi transformatsiya sifatida ko'rish mumkin; masalan, 4, 1, 2, 3 joylashuvi transformatsiya natijasida olinadi

S: 1 ® 4, 2 ® 1, 3 ® 2, 4 ® 3,

qulayroq shaklda yozilishi mumkin

Har qanday ikkita bunday transformatsiya uchun S, T aniqlaymiz S*T ketma-ket bajarilishi natijasida yuzaga keladigan transformatsiya sifatida T, undan keyin S. Masalan, agar , keyin . Ushbu ta'rif bilan barcha 24 ta mumkin bo'lgan transformatsiyalar bir guruhni tashkil qiladi; uning identifikator elementi , element esa ga teskari S, ta'rifdagi o'qlarni almashtirish orqali olinadi S teskarisiga; masalan, agar , keyin .

Birinchi uchta misolda buni ko'rish oson a*b = b*a; bunday hollarda guruh yoki guruhni ko'paytirish kommutativ deyiladi. Boshqa tomondan, oxirgi misolda va shuning uchun T*S dan farq qiladi S*T.

(d) misolidagi guruh deb ataluvchining maxsus holatidir. nosimmetrik guruh, qo'llanish doirasi, jumladan, algebraik tenglamalarni echish usullari va atomlar spektrlaridagi chiziqlarning xatti-harakatlarini o'z ichiga oladi. (b) va (c) misollardagi guruhlar sonlar nazariyasida muhim rol o'ynaydi; misolda (b) 4 raqamini istalgan butun son bilan almashtirish mumkin n, va 0 dan 3 gacha bo'lgan raqamlar - 0 dan 0 gacha bo'lgan raqamlar n– 1 (qachon n= 12 biz yuqorida aytib o'tganimizdek, soat yuzlarida joylashgan raqamlar tizimini olamiz); misolda (c) 5 raqamini istalgan tub son bilan almashtirish mumkin R, va 1 dan 4 gacha bo'lgan raqamlar - 1 dan 4 gacha bo'lgan raqamlar p – 1.

Tuzilmalar va izomorfizm.

Oldingi misollar guruhni tashkil etuvchi ob'ektlarning tabiati qanchalik xilma-xil bo'lishi mumkinligini ko'rsatadi. Lekin, aslida, har bir holatda, hamma narsa bir xil stsenariyga tushadi: ob'ektlar to'plamining xususiyatlaridan biz faqat ushbu to'plamni guruhga aylantiradigan narsalarni ko'rib chiqamiz (bu to'liq bo'lmagan bilimga misol!). Bunday hollarda biz tanlagan guruhni ko'paytirish orqali berilgan guruh tuzilishini ko'rib chiqamiz, deymiz.

Tuzilishning yana bir misoli deb ataladigan narsadir. buyurtma tuzilishi. Bir guruh E tartib tuzilishi bilan ta'minlangan yoki elementlar orasida tartiblangan a è b ga tegishli E, qandaydir munosabat berilgan, biz buni belgilaymiz R (a,b). (Bunday munosabat har qanday element juftligi uchun mantiqiy bo'lishi kerak E, lekin umuman olganda, bu ba'zi juftliklar uchun noto'g'ri va boshqalar uchun to'g'ri, masalan, 7 munosabati

(1) R (a,a) har biri uchun to'g'ri a egalik qiladi E;

(2) tashqariga R (a,b) va R (b,a) shundan kelib chiqadi a = b;

(3) tashqariga chiqadi R (a,b) va R (b,c) kerak R (a,c).

Keling, ko'p sonli buyurtma qilingan to'plamlardan ba'zi misollar keltiraylik.

(a) E barcha butun sonlardan iborat, R (a,b) munosabatdir" a kamroq yoki teng b».

(b) E>1 barcha butun sonlardan iborat, R (a,b) munosabatdir" a ajratadi b yoki teng b».

Tuzilishning oxirgi misoli sifatida biz metrik fazoning tuzilishini eslatib o'tamiz; bunday tuzilma to'plamda berilgan E, har bir juft element bo'lsa a va b ga tegishli E, siz raqamga mos kelishingiz mumkin d (a,b) i 0 quyidagi xususiyatlarni qondiradi:

(1) d (a,b) = 0 agar va faqat agar a = b;

(2) d (b,a) = d (a,b);

(3) d (a,c) Ј d (a,b) + d (b,c) har qanday uchta element uchun a, b, c dan E.

Metrik bo'shliqlarga misollar keltiramiz:

(a) odatiy "uch o'lchovli" fazo, bu erda d (a,b) odatdagi (yoki "Yevklid") masofa;

(b) sharning yuzasi, bu erda d (a,b) ikki nuqtani tutashtiruvchi aylananing eng kichik yoyi uzunligi a va b sharda;

Tuzilish tushunchasining aniq ta'rifi juda qiyin. Tafsilotlarga kirmasdan, buni to'plamda aytishimiz mumkin E to'plam elementlari orasida bo'lsa, ma'lum turdagi struktura beriladi E(va ba'zan boshqa ob'ektlar, masalan, yordamchi rol o'ynaydigan raqamlar) ko'rib chiqilayotgan turning tuzilishini tavsiflovchi ba'zi qat'iy aksiomalar to'plamini qanoatlantiradigan munosabatlar berilgan. Yuqorida biz uchta turdagi tuzilmalarning aksiomalarini keltirdik. Albatta, nazariyalari to'liq ishlab chiqilgan boshqa ko'plab turdagi tuzilmalar mavjud.

Ko'pgina mavhum tushunchalar struktura tushunchasi bilan chambarchas bog'liq; Eng muhimlaridan faqat bittasini nomlaymiz - izomorfizm tushunchasi. Oldingi bo'limdagi (b) va (c) guruhlar misolini eslang. Buni Tab orqali tekshirish oson. 1 stolga. 2-ni moslashtirish yordamida navigatsiya qilish mumkin

0 ® 1, 1 ® 2, 2 ® 4, 3 ® 3.

Bunda berilgan guruhlar izomorf deb aytamiz. Umuman olganda, ikkita guruh G va G o guruh elementlari orasida bo'lsa, izomorf bo'ladi G va guruh elementlari G¢ shunday yakkama-yakka yozishmalarni o'rnatish mumkin a « a¢ agar c = a*b, keyin cў = aў* b¢ tegishli elementlar uchun Gʻ. Guruh nazariyasidan guruh uchun to'g'ri bo'lgan har qanday bayonot G, guruh uchun amal qiladi G¢ va aksincha. Algebraik guruhlar G va G¢ farqlanmaydi.

O'quvchi ikkita izomorf tartibli to'plamni yoki ikkita izomorf metrik bo'shliqni xuddi shu tarzda aniqlash mumkinligini osongina ko'radi. Izomorfizm tushunchasi har qanday turdagi tuzilmalarga taalluqli ekanligini ko'rsatish mumkin.

TASNIFI

Matematikaning eski va yangi tasniflari.

Struktura tushunchasi va unga aloqador boshqa tushunchalar sof “texnik” nuqtai nazardan ham, falsafiy va metodologik nuqtai nazardan ham zamonaviy matematikada markaziy oʻrinni egalladi. Asosiy turdagi tuzilmalarning umumiy teoremalari matematik "texnika" ning nihoyatda kuchli quroli bo'lib xizmat qiladi. Qachonki matematik oʻzi oʻrganayotgan obʼyektlar maʼlum turdagi strukturaning aksiomalarini qondirishini koʻrsatishga muvaffaq boʻlsa, u shu bilan ushbu turdagi struktura nazariyasining barcha teoremalari oʻzi oʻrganayotgan aniq obʼyektlarga tegishli ekanligini isbotlaydi (bu umumiy teoremalarsiz, u Ularning o'ziga xos variantlari ko'zdan chetda qolishi yoki o'z mulohazalarini keraksiz taxminlar bilan yuklashga majbur bo'lishi mumkin). Xuddi shunday, agar ikkita strukturaning izomorf ekanligi isbotlansa, teoremalar soni darhol ikki baravar ko'payadi: tuzilmalardan biri uchun isbotlangan har bir teorema darhol ikkinchisiga mos keladigan teoremani beradi. Shuning uchun ham juda murakkab va mushkul nazariyalar, masalan, sonlar nazariyasidagi “sinf maydon nazariyasi” borligi ajablanarli emas, ularning asosiy maqsadi tuzilmalarning izomorfizmini isbotlashdir.

Falsafiy nuqtai nazardan, tuzilmalar va izomorfizmlarning keng qo'llanilishi zamonaviy matematikaning asosiy xususiyatini ko'rsatadi - matematik "ob'ektlar" ning "tabiati" haqiqatda muhim emas, faqat ob'ektlar orasidagi munosabatlar muhim (bir turdagi). to'liq bo'lmagan bilim printsipi).

Nihoyat, tuzilma tushunchasi matematikaning bo`limlarini yangicha tarzda tasniflash imkonini berganligini ta`kidlamaslik mumkin emas. 19-asrning o'rtalariga qadar. ular tadqiqot mavzusiga ko'ra bir-biridan farq qilgan. Arifmetika (yoki sonlar nazariyasi) butun sonlar bilan, geometriya esa chiziqlar, burchaklar, ko‘pburchaklar, doiralar, maydonlar va hokazolar bilan bog‘liq edi. Algebra deyarli faqat raqamli tenglamalar yoki tenglamalar tizimini yechish usullari bilan shug'ullangan; analitik geometriya geometrik muammolarni ekvivalent algebraik masalalarga aylantirish usullarini ishlab chiqdi. “Matematik tahlil” deb ataladigan yana bir muhim matematikaning qiziqish doirasi asosan differensial va integral hisoblar hamda ularning geometriya, algebra va hatto sonlar nazariyasiga turlicha qoʻllanilishini oʻz ichiga olgan. Ushbu ilovalar soni ko'paydi va ularning ahamiyati ham oshdi, bu matematik tahlilning kichik bo'limlarga bo'linishiga olib keldi: funktsiyalar nazariyasi, differensial tenglamalar (oddiy va qisman hosilalar), differensial geometriya, variatsiyalar hisobi va boshqalar.

Ko'pgina zamonaviy matematiklar uchun bu yondashuv hayvonlarni birinchi tabiatshunoslar tomonidan tasniflash tarixini eslatadi: bir vaqtlar dengiz toshbaqasi ham, orkinos ham baliq hisoblangan, chunki ular suvda yashagan va o'xshash xususiyatlarga ega edi. Zamonaviy yondashuv bizga nafaqat yuzada yotgan narsani ko'rishni, balki chuqurroq qarashga va matematik ob'ektlarning aldamchi ko'rinishi ortida yotgan fundamental tuzilmalarni tan olishga harakat qilishni o'rgatdi. Shu nuqtai nazardan, eng muhim turdagi tuzilmalarni o'rganish muhimdir. Bizning ixtiyorimizda bu turlarning to'liq va aniq ro'yxati bo'lishi dargumon; ularning ba'zilari so'nggi 20 yil ichida kashf etilgan va kelajakda ko'proq kashfiyotlar kutish uchun barcha asoslar mavjud. Biroq, bizda ko'plab asosiy "mavhum" turdagi tuzilmalar haqida tasavvurga egamiz. (Matematikaning "klassik" ob'ektlari bilan solishtirganda ular "mavhum" bo'lib, hatto ularni "konkret" deb atash qiyin; bu ko'proq mavhumlik darajasida.)

Ma'lum tuzilmalarni o'z ichiga olgan munosabatlarga yoki ularning murakkabligiga qarab tasniflash mumkin. Bir tomondan, "algebraik" tuzilmalarning keng bloki mavjud bo'lib, uning alohida holati, masalan, guruh tuzilishi; boshqa algebraik tuzilmalar qatorida biz halqalar va maydonlarni nomlaymiz ( sm. shuningdek ALGEBRA ABSTRAKT). Matematikaning algebraik tuzilmalarni oʻrganish bilan shugʻullanuvchi boʻlimi anʼanaviy yoki klassik algebradan farqli ravishda “zamonaviy algebra” yoki “mavhum algebra” deb ataladi. Evklid geometriyasining muhim qismi, evklid bo'lmagan geometriya va analitik geometriya ham yangi algebraning bir qismiga aylandi.

Xuddi shu darajadagi umumiylik darajasida yana ikkita tuzilma bloklari mavjud. Ulardan biri umumiy topologiya deb ataladigan tuzilmalar turlari nazariyalarini o'z ichiga oladi, ularning alohida holati metrik fazoning tuzilishi ( sm. TOPOLOGIYA; mavhum bo'shliqlar). Uchinchi blok tartibli tuzilmalar va ularning kengaytmalari nazariyalaridan iborat. Strukturaning "kengayishi" mavjud aksiomalarga yangilarini qo'shishdan iborat. Masalan, to'rtinchi aksioma sifatida guruh aksiomalariga kommutativlik xossasini qo'shsak. a*b = b*a, keyin biz kommutativ (yoki abelian) guruhning tuzilishini olamiz.

Ushbu uchta blokdan oxirgi ikkitasi yaqin vaqtgacha nisbatan barqaror holatda edi va "zamonaviy algebra" bloki tez sur'atlar bilan, ba'zan kutilmagan yo'nalishlarda o'sib bordi (masalan, "homologik algebra" deb nomlangan butun bir tarmoq ishlab chiqilgan). Deb atalmish tashqarida. Tuzilmalarning "sof" turlari yana bir daraja - "aralash" tuzilmalar, masalan, algebraik va topologik, ularni bog'laydigan yangi aksiomalar bilan birga. Ko'pgina bunday kombinatsiyalar o'rganilgan, ularning aksariyati ikkita keng blokga bo'linadi - "topologik algebra" va "algebraik topologiya".

Birgalikda bu bloklar hajm jihatidan fanning juda mustahkam "mavhum" sohasini tashkil qiladi. Ko'pgina matematiklar klassik nazariyalarni yaxshiroq tushunishga va yangi vositalar yordamida qiyin muammolarni hal qilishga umid qilishadi. Darhaqiqat, mavhumlik va umumlashtirishning tegishli darajasi bilan qadimgi odamlarning muammolari yangi nuqtai nazardan paydo bo'lishi mumkin, bu ularning echimlarini topishga imkon beradi. Klassik materiallarning katta bo'laklari yangi matematikaning ta'siri ostida bo'lib, o'zgartirildi yoki boshqa nazariyalar bilan birlashtirildi. Zamonaviy usullar unchalik chuqur kirib bormagan keng hududlar mavjud. Bunga nazariyani misol qilib keltirish mumkin differensial tenglamalar va ko'p sonlar nazariyasi. Yangi turdagi tuzilmalar kashf etilgan va sinchkovlik bilan o‘rganilgandan so‘ng bu sohalarda sezilarli yutuqlarga erishish ehtimoli katta.

FALSAFIY QIYINCHILIKLAR

Hatto qadimgi yunonlar ham matematik nazariya qarama-qarshiliklardan xoli bo'lishi kerakligini aniq tushunishgan. Demak, aksiomalardan mantiqiy natija sifatida bayonni chiqarish mumkin emas R va uning inkori P. Biroq, matematik ob'ektlarning real dunyoda mos kelishi va aksiomalar tabiat qonunlarining "idealizatsiyasi" ekanligiga ishonishganligi sababli, matematikaning izchilligiga hech kim shubha qilmadi. Klassik matematikadan zamonaviy matematikaga o'tishda izchillik muammosi boshqacha ma'no kasb etdi. Har qanday matematik nazariyaning aksiomalarini tanlash erkinligi izchillik sharti bilan aniq chegaralangan bo'lishi kerak, ammo bu shartning bajarilishiga ishonch hosil qilish mumkinmi?

Biz to‘plam tushunchasini yuqorida aytib o‘tgan edik. Bu tushuncha har doim matematika va mantiqda ko'proq yoki kamroq aniq ishlatilgan. 19-asrning ikkinchi yarmida to'plam kontseptsiyasi bilan ishlashning elementar qoidalari qisman tizimlashtirildi, qo'shimcha ravishda, deb atalmish mazmunini tashkil etgan ba'zi muhim natijalarga erishildi. to'plam nazariyasi ( sm. shuningdek SET NAZARIYASI), go'yo barcha boshqa matematik nazariyalarning asosiga aylandi. Antik davrdan 19-asrgacha. cheksiz to'plamlar haqida qo'rquv bor edi, masalan, Elea Zenon (miloddan avvalgi V asr) mashhur paradokslarda aks ettirilgan. Bu qo'rquvlar qisman metafizik va qisman miqdorlarni o'lchash tushunchasi bilan bog'liq qiyinchiliklar (masalan, uzunlik yoki vaqt) bilan bog'liq edi. Faqat 19-asrdan keyin bu qiyinchiliklar bartaraf etildi. matematik tahlilning asosiy tushunchalari qat'iy belgilab berildi. 1895 yilga kelib, barcha qo'rquvlar yo'qoldi va matematika to'plamlar nazariyasining mustahkam poydevoriga tayanganga o'xshardi. Ammo keyingi o'n yillikda to'plamlar nazariyasining (va boshqa barcha matematikaning) o'ziga xos nomuvofiqligini ko'rsatadigan yangi dalillar paydo bo'ldi.

Yangi paradokslar juda oddiy edi. Ulardan birinchisi - Rassellning paradoksi - "sartarosh paradoksi" deb nomlanuvchi oddiy versiyada ko'rib chiqilishi mumkin. Ma'lum bir shaharda sartarosh o'zini soqol qilmagan barcha aholining sochini oladi. Sartaroshning o'zi sochini kim kesadi? Agar sartarosh o'zini soqol qo'ysa, u nafaqat o'zini soqol qo'ymagan aholini, balki o'zini soqol olgan bir aholini ham soqolini oladi; agar u o'zini o'zi soqol qilmasa, u o'zini soqol qo'ymagan shahar aholisining hammasini ham soqolini oldirmaydi. Ushbu turdagi paradoks "barcha to'plamlar to'plami" tushunchasi ko'rib chiqilganda paydo bo'ladi. Garchi bu matematik ob'ekt juda tabiiy ko'rinsa-da, bu haqda mulohaza yuritish tezda qarama-qarshiliklarga olib keladi.

Berrining paradoksi yanada oshkora. O'n etti so'zdan ko'p bo'lmagan rus tilidagi barcha iboralar to'plamini ko'rib chiqing; rus tilidagi so'zlar soni cheklangan, shuning uchun bunday iboralar soni ham cheklangan. Biz ular orasidan ba'zi bir butun sonni yagona aniqlaydiganlarni tanlaymiz, masalan: "Eng katta toq son o'ndan kichik". Bunday iboralar soni ham chekli; demak, ular belgilaydigan butun sonlar to'plami ham chekli. Bu sonlarning chekli to‘plamini bilan belgilang D. Arifmetika aksiomalaridan kelib chiqadiki, ularga tegishli bo'lmagan butun sonlar mavjud D, va bu raqamlar orasida eng kichik raqam bor n. Bu raqam n"O'n etti ruscha so'zdan ko'p bo'lmagan ibora bilan aniqlanishi mumkin bo'lmagan eng kichik butun son" iborasi bilan noyob tarzda aniqlanadi. Lekin bu iborada roppa-rosa o‘n yetti so‘z bor. Shuning uchun u raqamni aniqlaydi n tegishli bo'lishi kerak D, va biz paradoksal qarama-qarshilikka erishamiz.

Intuitivistlar va formalistlar.

To'plamlar nazariyasining paradokslari tufayli yuzaga kelgan zarba turli reaktsiyalarni keltirib chiqardi. Ba'zi matematiklar juda qat'iyatli bo'lib, matematika boshidanoq noto'g'ri yo'nalishda rivojlangan va butunlay boshqa poydevorga asoslanishi kerak degan fikrni bildirishdi. Bunday "intuitivistlar" (ular o'zlarini shunday deb atay boshladilar) nuqtai nazarini hech qanday aniqlik bilan tasvirlab bo'lmaydi, chunki ular o'z qarashlarini sof mantiqiy sxemaga qisqartirishdan bosh tortdilar. Intuitivistlar nuqtai nazaridan, mantiqiy jarayonlarni intuitiv ravishda ifodalanmaydigan ob'ektlarga qo'llash noto'g'ri. Yagona intuitiv tushunarli ob'ektlar 1, 2, 3,... natural sonlari va aniq berilgan qoidalarga muvofiq "qurilgan" natural sonlarning cheklangan to'plamlaridir. Ammo bunday ob'ektlarga ham intuitivlar klassik mantiqning barcha deduksiyalarini qo'llashga ruxsat bermadilar. Masalan, ular buni hech qanday bayonot uchun tan olishmadi R ham haqiqat R, yoki yo'q- R. Bunday cheklangan vositalar bilan ular "paradokslar" dan osongina qochishdi, lekin bu bilan ular nafaqat barcha zamonaviy matematikani, balki klassik matematika natijalarining muhim qismini ham chetga surib qo'yishdi va haligacha qolganlar uchun yangi, yanada murakkab dalillarni topish kerak edi.

Zamonaviy matematiklarning ko'pchiligi intuitivistlarning dalillariga qo'shilmagan. Intuisionist bo'lmagan matematiklar paradokslarda qo'llaniladigan argumentlar to'plamlar nazariyasi bilan oddiy matematik ishda qo'llaniladiganlardan sezilarli darajada farq qilishini payqashdi va shuning uchun bunday dalillar mavjud matematik nazariyalarni buzmasdan noqonuniy deb hisoblanishi kerak. Yana bir kuzatish shundan iboratki, “paradokslar” paydo bo‘lgunga qadar mavjud bo‘lgan “sodda” to‘plamlar nazariyasida “to‘plam”, “xususiyat”, “munosabat” atamalarining ma’nosi shubha ostiga olinmagan – xuddi klassik geometriyadagi kabi “intuitiv” oddiy geometrik tushunchalarning tabiati. Binobarin, xuddi geometriyada bo'lgani kabi davom etish mumkin, ya'ni "sezgi" ga murojaat qilish uchun barcha urinishlardan voz kechish va to'plamlar nazariyasining boshlang'ich nuqtasi sifatida aniq tuzilgan aksiomalar tizimini olish mumkin. Biroq, «mulk» yoki «munosabat» kabi so'zlar qanday qilib odatiy ma'nosidan mahrum bo'lishi aniq emas; Agar biz Berri paradoksi kabi dalillarni istisno qilmoqchi bo'lsak, buni qilish kerak. Usul aksioma yoki teoremalarni shakllantirishda oddiy tildan foydalanishdan voz kechishdan iborat; faqat qat'iy qoidalarning aniq tizimi bo'yicha tuzilgan jumlalar matematikada "xususiyatlar" yoki "munosabatlar" sifatida ruxsat etiladi va aksiomalarni shakllantirishga kiradi. Bu jarayon rasmiylashtirish deb ataladi. matematik til(oddiy tilning noaniqliklaridan kelib chiqadigan chalkashliklarga yo'l qo'ymaslik uchun, bir qadam oldinga borish va so'zlarning o'zini rasmiylashtirilgan jumlalarda maxsus belgilar bilan almashtirish tavsiya etiladi, masalan, "va" bog'lovchisini & belgisi bilan, bog'lovchi "yoki" bilan almashtiring. ” belgisi bilan b, “mavjud” belgisi bilan $ va hokazo). Intuitivistlar tomonidan taklif qilingan usullarni rad etgan matematiklar "formalistlar" deb atala boshlandi.

Biroq, asl savolga hech qachon javob berilmagan. "Aksiomatik to'plam nazariyasi" qarama-qarshiliklardan xolimi? 1920-yillarda D. Gilbert (1862-1943) va uning maktabi tomonidan “rasmiylashtirilgan” nazariyalarning izchilligini isbotlash bo‘yicha yangi urinishlar bo‘lib “metamatematika” deb nomlangan. Aslini olganda, metamatematika "amaliy matematika" ning bir bo'limi bo'lib, unda matematik fikrlash qo'llaniladigan ob'ektlar rasmiylashtirilgan nazariyaning takliflari va ularning dalillar ichida joylashishi hisoblanadi. Ushbu jumlalar faqat ma'lum bir belgilangan qoidalarga muvofiq ishlab chiqarilgan belgilarning moddiy kombinatsiyasi sifatida qaralishi kerak, bu belgilarning mumkin bo'lgan "ma'nosi" ga hech qanday havolasiz (agar mavjud bo'lsa). Shaxmat o'yini yaxshi o'xshashlik bo'lib xizmat qilishi mumkin: ramzlar donalarga, jumlalar doskadagi turli pozitsiyalarga va donalarni harakatlantirish qoidalariga xulosalar. Rasmiylashtirilgan nazariyaning izchilligini aniqlash uchun ushbu nazariyada hech qanday dalil 0 No 0 bayonoti bilan tugamasligini ko'rsatish kifoya. Biroq, matematik dalillarning izchilligini "metamatematik" isbotlashda foydalanishga e'tiroz bildirish mumkin. matematik nazariya; agar matematika nomuvofiq bo'lsa, matematik dalillar o'z kuchini yo'qotadi va biz ayovsiz doira holatiga tushib qolamiz. Ushbu e'tirozlarga javob berish uchun Hilbert metamatematikada sezgishunoslar maqbul deb hisoblaydigan juda cheklangan matematik fikrlashdan foydalanishga ruxsat berdi. Biroq, K.Godel tez orada (1931) ko'rsatdiki, arifmetikaning izchilligini, agar u haqiqatan ham izchil bo'lsa, bunday cheklangan vositalar bilan isbotlab bo'lmaydi (ushbu maqolaning ko'lami ushbu ajoyib natijaga erishilgan mohir usulni taqdim etishga imkon bermaydi, va metamatematikaning keyingi tarixi).

Mavjud muammoli vaziyatni rasmiyatchilik nuqtai nazaridan sarhisob qilsak, bu hali tugamaganini tan olishimiz kerak. To'plam tushunchasidan foydalanish ma'lum paradokslardan qochish uchun ataylab kiritilgan shartlar bilan cheklangan va aksiomatlashtirilgan to'plam nazariyasida yangi paradokslar paydo bo'lmasligiga kafolat yo'q. Shunga qaramay, aksiomatik to'plamlar nazariyasining cheklovlari yangi hayotiy nazariyalarning tug'ilishiga to'sqinlik qilmadi.

MATEMATIKA VA HAQIQIY DUNYO

Matematikaning mustaqilligi haqidagi da'volarga qaramay, hech kim matematika va jismoniy dunyo bir-biri bilan bog'liqligini inkor eta olmaydi. Albatta, klassik fizika muammolarini hal qilishda matematik yondashuv o'z kuchini saqlab qoladi. Matematikaning juda muhim sohasida, ya'ni differensial tenglamalar, oddiy va qisman hosilalar nazariyasida fizika va matematikaning o'zaro boyitish jarayoni ancha samarali kechishi ham haqiqatdir.

Matematika mikrodunyo hodisalarini izohlashda foydalidir. Biroq, matematikaning yangi "ilovalari" klassiklardan sezilarli darajada farq qiladi. Fizikaning eng muhim vositalaridan biri ehtimollar nazariyasi bo'lib qoldi, bundan oldin asosan qimor va sug'urta nazariyasida foydalanilgan. Fiziklar "atom holatlari" yoki "o'tishlar" bilan bog'laydigan matematik ob'ektlar tabiatan juda mavhum bo'lib, kvant mexanikasi paydo bo'lishidan ancha oldin matematiklar tomonidan kiritilgan va o'rganilgan. Shuni qo'shimcha qilish kerakki, birinchi muvaffaqiyatlardan keyin jiddiy qiyinchiliklar paydo bo'ldi. Bu fiziklar matematik g'oyalarni yanada nozik jihatlarga tatbiq etishga urinayotgan bir paytda sodir bo'ldi. kvant nazariyasi; shunga qaramay, ko'pgina fiziklar hali ham yangi matematik nazariyalarni intiqlik bilan kutishadi, ular yangi muammolarni hal qilishda yordam beradi deb o'ylashadi.

Matematika - fan yoki san'at?

Ehtimollar nazariyasi yoki matematik mantiqni “sof” matematikaga kiritsak ham, ma’lum bo‘lishicha, hozirgi vaqtda boshqa fanlar ma’lum matematik natijalarning 50% dan kamini ishlatadi. Qolgan yarmi haqida nima deb o'ylashimiz kerak? Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, fizikaviy muammolarni hal qilish bilan bog'liq bo'lmagan matematikaning o'sha sohalari ortida qanday sabablar bor?

Biz bu turdagi teoremalarning tipik vakili sifatida sonning irratsionalligini aytib o'tgan edik. Yana bir misol, J.-L. Lagranj (1736-1813) tomonidan isbotlangan teorema. Uni "muhim" yoki "chiroyli" deb atamaydigan matematik topilmasa kerak. Lagranj teoremasi shuni ko'rsatadiki, birdan katta yoki unga teng har qanday butun sonni ko'pi bilan to'rtta sonning kvadratlari yig'indisi sifatida ifodalash mumkin; masalan, 23 = 3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2 . Hozirgi vaziyatda bu natija har qanday eksperimental muammoni hal qilishda foydali bo'lishi mumkinligini tasavvur qilib bo'lmaydi. To'g'ri, bugungi kunda fiziklar butun sonlar bilan o'tmishdagiga qaraganda ancha tez-tez shug'ullanishadi, lekin ular ishlaydigan butun sonlar doimo cheklangan (ular kamdan-kam hollarda bir necha yuzdan oshadi); demak, Lagranj teoremasi qandaydir chegaradan tashqariga chiqmaydigan butun sonlarga nisbatan qo‘llanilsagina “foydali” bo‘lishi mumkin. Ammo biz Lagranj teoremasini shakllantirishni cheklashimiz bilanoq, u darhol matematikni qiziqtirmaydi, chunki bu teoremaning barcha jozibador kuchi uning barcha butun sonlarga qo'llanilishidadir. (Kompyuterlar tomonidan juda katta sonlar uchun sinovdan o'tkazilishi mumkin bo'lgan butun sonlar haqida juda ko'p takliflar mavjud; ammo, hech qanday umumiy dalil topilmasa, ular faraz bo'lib qoladi va professional matematiklarni qiziqtirmaydi.)

Astronomiya yoki biologiya bo'lsin, har qanday sohada ishlaydigan olimlar uchun darhol qo'llanilishidan uzoq bo'lgan mavzularga e'tibor berish odatiy hol emas. Biroq, eksperimental natijani yaxshilash va yaxshilash mumkin bo'lsa-da, matematik isbot har doim yakuniy hisoblanadi. Shuning uchun matematikani yoki hech bo'lmaganda uning "haqiqat" bilan hech qanday aloqasi bo'lmagan qismini san'at sifatida qabul qilish vasvasasiga qarshi turish qiyin. Matematik muammolar tashqaridan qo'yilmaydi va agar biz zamonaviy nuqtai nazardan qarasak, biz material tanlashda mutlaqo erkinmiz. Ba'zi matematik ishlarni baholashda matematiklar "ob'ektiv" mezonlarga ega emaslar va ular o'zlarining "ta'mi" ga tayanishga majbur bo'lishadi. Ta'mlar vaqtga, mamlakatga, urf-odatlarga va shaxslarga qarab juda farq qiladi. Zamonaviy matematikada modalar va "maktablar" mavjud. Hozirgi vaqtda uchta shunday "maktab" mavjud bo'lib, ularni qulaylik uchun "klassitsizm", "modernizm" va "abstraktsionizm" deb ataymiz. Ularning orasidagi farqni yaxshiroq tushunish uchun keling, matematiklar teorema yoki teoremalar guruhini baholashda foydalanadigan turli mezonlarni tahlil qilaylik.

(1) Umumiy fikrga ko'ra, "chiroyli" matematik natija ahamiyatsiz bo'lishi kerak, ya'ni. aksiomalar yoki ilgari isbotlangan teoremalarning aniq natijasi bo'lmasligi kerak; dalil ba'zilarini ishlatishi kerak yangi fikr yoki eski g'oyalarni aqlli qo'llash. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, matematik uchun natijaning o'zi emas, balki uni olishda duch kelgan qiyinchiliklarni bartaraf etish jarayoni muhim ahamiyatga ega.

(2) Har qanday matematik muammoning o'ziga xos tarixi, ta'bir joiz bo'lsa, "nasabnomasi" bor, u har qanday fan tarixi qanday rivojlansa, xuddi shunday umumiy qonuniyatga amal qiladi: birinchi muvaffaqiyatlardan so'ng, savolga javob berilgunga qadar ma'lum vaqt o'tishi mumkin. qo‘yilgani topiladi. Qaror qabul qilinganda, hikoya u erda tugamaydi, chunki kengayish va umumlashtirishning taniqli jarayonlari boshlanadi. Masalan, yuqorida aytib o'tilgan Lagranj teoremasi har qanday butun sonni kublar yig'indisi, 4, 5 darajalari va boshqalar sifatida ifodalash masalasiga olib keladi. Shunday qilib, hali yakuniy yechimni olmagan "Ogohlantirish muammosi" paydo bo'ladi. Shuningdek, nasib qilsa, biz hal qilgan muammo bir yoki bir nechta fundamental tuzilmalar bilan bog'liq bo'lib chiqadi va bu, o'z navbatida, ushbu tuzilmalar bilan bog'liq yangi muammolarni keltirib chiqaradi. Agar asl nazariya oxir-oqibat "o'lsa" ham, u ko'plab tirik kurtaklarni qoldirishga intiladi. Zamonaviy matematiklar muammolarning shu qadar ko'p tarqalishiga duch kelishmoqdaki, hatto tajriba fanlari bilan barcha aloqalar uzilgan taqdirda ham, ularni hal qilish uchun yana bir necha asr kerak bo'ladi.

(3) Har bir matematik unga yangi muammo taqdim etilganda, uni har qanday vosita bilan hal qilish uning burchi ekanligiga rozi bo'ladi. Muammo klassik matematik ob'ektlarga taalluqli bo'lsa (klassiklar kamdan-kam hollarda boshqa turdagi ob'ektlar bilan shug'ullanadilar), klassiklar uni faqat klassik vositalar yordamida hal qilishga harakat qilishadi, boshqa matematiklar esa vazifaga tegishli umumiy teoremalardan foydalanish uchun ko'proq "mavhum" tuzilmalarni kiritadilar. Yondashuvdagi bu farq yangilik emas. 19-asrdan boshlab. matematiklar muammoning sof kuchli yechimini topishga intiladigan “taktiklar”ga va kichik kuchlar bilan dushmanni tor-mor etishga imkon beradigan aylanma yo‘llarga moyil bo‘lgan “strateglar”ga bo‘linadi.

(4) Teorema "go'zalligi" ning muhim elementi uning soddaligidir. Albatta, soddalikni izlash barcha ilmiy tafakkurga xosdir. Ammo tajribachilar faqat muammo hal bo'lsa, "xunuk echimlar" bilan chidashga tayyor. Xuddi shunday, matematikada klassiklar va abstraksionistlar "patologik" natijalarning paydo bo'lishidan unchalik tashvishlanmaydilar. Boshqa tomondan, modernistlar nazariy jihatdan "patologiyalar" paydo bo'lishini fundamental tushunchalarning nomukammalligining alomati sifatida ko'rishgacha borishadi.

Matematik entsiklopediya

Matematik entsiklopediya- matematika mavzulariga bag'ishlangan besh jildlik sovet ensiklopedik nashri. -1985 yilda "Sovet Entsiklopediyasi" nashriyoti tomonidan chiqarilgan. Bosh muharrir: Akademik I. M. Vinogradov.

Bu matematikaning barcha asosiy bo'limlari bo'yicha fundamental tasvirlangan nashr. Kitobda mavzuga oid keng materiallar, mashhur matematiklarning tarjimai hollari, chizmalar, grafiklar, diagrammalar va diagrammalar mavjud.

Umumiy hajmi: taxminan 3000 sahifa. Maqolalarni jildlar bo'yicha taqsimlash:

1-jild: Abak - Gyuygens printsipi, 576 pp.
2-jild: D'Alembert Operator - Co-op Game, 552 pp.
3-jild: Koordinatalar - Monomial, 592 pp.
4-jild: Teoremaning ko‘zi – Murakkab funksiya, 608 bet.
5-jild: Tasodifiy o'zgaruvchi - hujayra, 623 pp.
5-jildga ilova: mavzu ko'rsatkichi, ko'rsatilgan tipografik xatolar ro'yxati.

Havolalar

Ensiklopediyani elektron shaklda yuklab olishingiz mumkin bo'lgan "Matematik tenglamalar olami" portalida matematika bo'yicha umumiy va maxsus ma'lumotnomalar va ensiklopediyalar.

Kategoriyalar:

Kitoblar alifbo tartibida
Matematik adabiyot
ensiklopediyalar
"Sovet entsiklopediyasi" nashriyoti kitoblari
SSSR entsiklopediyasi

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Matematik kimyo
Kvant mexanikasining matematik asoslari

Boshqa lug'atlarda "Matematik entsiklopediya" nima ekanligini ko'ring:

matematik mantiq- (nazariy mantiq, ramziy mantiq) matematika asoslarining dalillari va savollarini oʻrganuvchi matematika boʻlimi. "Zamonaviy matematik mantiqning predmeti xilma-xildir". P. S. Poretskiy ta'rifiga ko'ra, "matematik ... ... Vikipediya

Entsiklopediya- (yangi lat. entsiklopediyasi (XVI asrdan oldin emas) boshqa yunoncha ἐgkōkilos πádiēia "to'liq doirada mashg'ulot", kylos to'garagi va pyadiki ta'lim tizimiga pullik ...

Entsiklopediya- (yunon tilidan. enkyklios payeia bilimlarning butun doirasiga ta'lim berish), ilmiy. yoki ilmiy sistematizatsiyani o'z ichiga olgan mashhur ma'lumotnoma. bilimlar majmuasi. E.dagi material alifbo yoki tizimli tartibda joylashtirilgan. printsipi (bilim sohalari bo'yicha). ... ... Tabiiy fan. ensiklopedik lug'at

MATEMATIK MANTIQ- ikkinchidan kelgan zamonaviy mantiqning nomlaridan biri. qavat. 19 erta 20-asr an'anaviy mantiq o'rniga. Ramziy mantiq atamasi mantiq fanining rivojlanishidagi zamonaviy bosqichning boshqa nomi sifatida ham qo`llaniladi. Ta'rif…… Falsafiy entsiklopediya

MATEMATIK CHEKSIZLIK- umumiy ism dekabr. matematikada cheksizlik g'oyasini amalga oshirish. Garchi M. tushunchasi maʼnolari orasida b. Cheksizlik atamasi ishlatiladigan boshqa ma'nolarda qat'iy chegara yo'q (chunki bu tushunchalarning barchasi oxir-oqibatda juda ... ... Falsafiy entsiklopediya

MATEMATIK INDUKSIYA- to'liq matematik induksiya (matematikada u ko'pincha oddiy to'liq induksiya deb ataladi; bu holda, bu tushunchani matematik bo'lmagan rasmiy mantiqda ko'rib chiqiladigan to'liq induksiya tushunchasidan farqlash kerak), - ...dagi umumiy takliflarni isbotlash usuli. ... Falsafiy entsiklopediya

MATEMATIK GIPOTEZA- o'rganilayotgan hodisalar sohasi qonunini ifodalovchi tenglamaning shakli, turi, tabiati, unga xos bo'lgan qonun sifatida uni yangi, hali o'rganilmagan sohaga kengaytirish maqsadida o'zgarishi. M. hozirgi zamonda keng qoʻllaniladi. nazariy ... ... Falsafiy entsiklopediya

SIYOSIY IQTISODIYoT MATEMATIKA MAKTABI- Ingliz. siyosiy iqtisoddagi matematik maktab; nemis Mathematische Schule in der politischen Okonomie. 19-asrning ikkinchi yarmida vujudga kelgan siyosat, iqtisoddagi yoʻnalish, uning vakillari (L.Valras, V.Pareto, O.Jevons va boshqalar) ... ... berdi. Sotsiologiya entsiklopediyasi

SOTSIOLOGIYA FANIDAN MATEMATIKA MAKTABI- Ingliz. sotsiologiyadagi matematik maktab; nemis Mathematische Schule in der Soziologie. 20-asrning birinchi yarmida paydo boʻlgan sotsiologiya yoʻnalishi, uning asoschilari (A.Zipf, E.Dodd va boshqalar) sotsiolog, nazariyalar ... ... darajasiga etadi, deb hisoblaydilar. Sotsiologiya entsiklopediyasi

Bino va inshootlarning matematik modeli- Bino va inshootlarning matematik (kompyuter) modeli - loyihalash, qurish va ... ... jarayonida yuzaga keladigan muammolar to'plamini hal qilishda sonli hisob-kitoblar uchun binolar va inshootlarni chekli elementlar diagrammasi ko'rinishida ko'rsatish. Qurilish materiallarining atamalari, ta'riflari va tushuntirishlari entsiklopediyasi

Kitoblar

Matematik ensiklopediya (5 ta kitobdan iborat), . Matematik entsiklopediya matematikaning barcha sohalari bo'yicha qulay ma'lumotnomadir. Entsiklopediya matematikaning eng muhim sohalariga bag'ishlangan maqolalarga asoslangan. Joylashuv printsipi ...

Matematik ensiklopediya - matematikaning barcha sohalari bo'yicha ma'lumotnoma. Entsiklopediya matematikaning eng muhim sohalariga bag'ishlangan sharh maqolalariga asoslanadi. Ushbu turdagi maqolalarga qo'yiladigan asosiy talab - taqdimotning maksimal qulayligi bilan nazariyaning hozirgi holatini ko'rib chiqishning mumkin bo'lgan to'liqligi; Ushbu maqolalar odatda matematikaning yuqori kurs talabalari, aspirantlari va matematikaning tegishli sohalari mutaxassislari, ayrim hollarda esa o'z ishlarida matematik usullardan foydalanadigan boshqa bilim sohalari mutaxassislari, muhandislar va matematika o'qituvchilari uchun mavjud. Keyinchalik, matematikaning individual o'ziga xos muammolari va usullari bo'yicha o'rta hajmli maqolalar taqdim etiladi; ushbu maqolalar o'quvchilarning tor doirasi uchun mo'ljallangan, shuning uchun ulardagi taqdimot kamroq bo'lishi mumkin. Va nihoyat, maqolalarning yana bir turi bor - qisqacha havolalar-ta'riflar. Entsiklopediyaning oxirgi jildining oxirida mavzu ko'rsatkichi joylashtiriladi, u nafaqat barcha maqolalarning sarlavhalarini, balki ko'plab tushunchalarni ham o'z ichiga oladi, ularning ta'riflari birinchi ikki turdagi maqolalar ichida beriladi. shuningdek, maqolalarda aytib o'tilgan eng muhim natijalar. Entsiklopediyaning aksariyat maqolalariga har bir sarlavha uchun tartib raqamlari ko'rsatilgan adabiyotlar ro'yxati ilova qilinadi, bu esa maqola matnlarida iqtibos keltirish imkonini beradi. Maqolalar oxirida (qoida tariqasida) muallif yoki manba ko'rsatiladi, agar maqola ilgari nashr etilgan bo'lsa (asosan bu Buyuk Sovet Entsiklopediyasining maqolalari). Maqolada tilga olingan xorijiy (qadimgi olimlardan tashqari) nomlari lotin imlosi bilan (agar foydalanilgan adabiyotlar roʻyxatiga havola boʻlmasa) qoʻshiladi.

Yuklab oling va o'qing Matematik ensiklopediya, 3-jild, Vinogradov I.M., 1982 yil

Yuklab oling va o'qing Matematik ensiklopediya, 2-jild, Vinogradov I.M., 1979 yil

Yuklab oling va o'qing Matematik ensiklopediya, 1-jild, Vinogradov I.M., 1977 yil

Algebra dastlab matematikaning tenglamalarni echish bilan bog'liq bo'limi edi. Geometriyadan farqli o'laroq, algebraning aksiomatik qurilishi 19-asrning o'rtalariga qadar, ya'ni algebraning predmeti va tabiatining tubdan yangi ko'rinishi paydo bo'lgan paytgacha mavjud emas edi. Tadqiqotlar algebraik tuzilmalar deb ataladigan narsalarni o'rganishga ko'proq e'tibor qarata boshladi. Buning ikkita foydasi bor edi. Bir tomondan, ma'lum teoremalar o'rinli bo'lgan sohalar aniqlangan bo'lsa, ikkinchi tomondan, bir xil dalillarni butunlay boshqa sohalarda qo'llash mumkin bo'ldi. Algebraning bunday bo'linishi 20-asrning o'rtalarigacha davom etdi va ikkita nom paydo bo'lishida o'z ifodasini topdi: "klassik algebra" va "zamonaviy algebra". Ikkinchisi ko'proq boshqa nom bilan tavsiflanadi: "mavhum algebra". Gap shundaki, bu bo'lim - matematikada birinchi marta - to'liq abstraktsiya bilan ajralib turardi.

Kichik matematik entsiklopediyani yuklab oling va o'qing, Frid E., Pastor I., Reyman I., Reves P., Ruja I., 1976

"Ehtimollik va matematik statistika" - ehtimollar nazariyasi, matematik statistika va ularning fan va texnikaning turli sohalarida qo'llanilishi bo'yicha ma'lumotnoma. Ensiklopediya ikki qismdan iborat: asosiy qismida sharh maqolalari, alohida muammolar va usullarga bag'ishlangan maqolalar, asosiy tushunchalarning ta'riflari berilgan qisqacha havolalar, eng muhim teorema va formulalar mavjud. Amaliy masalalar - axborot nazariyasi, navbat nazariyasi, ishonchlilik nazariyasi, eksperimentni rejalashtirish va tegishli sohalar - fizika, geofizika, genetika, demografiya va texnologiyaning ayrim bo'limlariga muhim o'rin beriladi. Maqolalarning aksariyati ushbu masala bo'yicha eng muhim maqolalarning bibliografiyasi bilan birga keladi. Maqolalar sarlavhalari inglizcha tarjimada ham berilgan. Ikkinchi qism - "Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika bo'yicha o'quvchi" o'tmishdagi rus ensiklopediyalari uchun yozilgan maqolalar, shuningdek, boshqa asarlarda ilgari nashr etilgan ensiklopedik materiallarni o'z ichiga oladi. Ensiklopediya ehtimollar nazariyasi va matematik statistika muammolarini yorituvchi jurnallar, davriy nashrlar va doimiy nashrlarning keng ro'yxati bilan birga keladi.
Entsiklopediyaga kiritilgan material o‘z tadqiqot va amaliy ishlarida ehtimollik usullaridan foydalanadigan matematika va boshqa fanlar sohasidagi talabalar, aspirantlar va tadqiqotchilar uchun zarurdir.

Matematik ensiklopediya - matematikaning barcha sohalari bo'yicha ma'lumotnoma. Entsiklopediya matematikaning eng muhim sohalariga bag'ishlangan sharh maqolalariga asoslanadi. Ushbu turdagi maqolalarga qo'yiladigan asosiy talab - taqdimotning maksimal qulayligi bilan nazariyaning hozirgi holatini ko'rib chiqishning mumkin bo'lgan to'liqligi; Ushbu maqolalar odatda katta matematika talabalari, aspirantlar va matematikaning tegishli sohalari mutaxassislari, ayrim hollarda - o'z ishlarida matematik usullardan foydalanadigan boshqa bilim sohalari mutaxassislari, muhandislar va matematika o'qituvchilari uchun mavjud. Keyinchalik, matematikaning individual o'ziga xos muammolari va usullari bo'yicha o'rta hajmli maqolalar taqdim etiladi; ushbu maqolalar o'quvchilarning tor doirasi uchun mo'ljallangan, shuning uchun ulardagi taqdimot kamroq bo'lishi mumkin. Va nihoyat, maqolalarning yana bir turi bor - qisqacha havolalar-ta'riflar. Ba'zi ta'riflar birinchi ikki turdagi maqolalar ichida berilgan. Entsiklopediyaning aksariyat maqolalariga har bir sarlavha uchun tartib raqamlari ko'rsatilgan adabiyotlar ro'yxati ilova qilinadi, bu esa maqola matnlarida iqtibos keltirish imkonini beradi. Maqolalar oxirida (qoida tariqasida) muallif yoki manba ko'rsatiladi, agar maqola ilgari nashr etilgan bo'lsa (asosan bu Buyuk Sovet Entsiklopediyasining maqolalari). Maqolada tilga olingan xorijiy (qadimgi olimlardan tashqari) nomlari lotin imlosi bilan (agar foydalanilgan adabiyotlar roʻyxatiga havola boʻlmasa) qoʻshiladi.

Entsiklopediyadagi maqolalarni joylashtirish printsipi alifbo tartibida. Agar maqolaning nomi sinonimga ega bo'lgan atama bo'lsa, ikkinchisi asosiydan keyin beriladi. Ko'p hollarda maqola sarlavhalari ikki yoki undan ortiq so'zlardan iborat. Bunday hollarda atamalar yoki eng keng tarqalgan shaklda beriladi yoki ma'nodagi asosiy so'z birinchi o'ringa qo'yiladi. Agar maqola sarlavhasida tegishli nom bo‘lsa, u birinchi o‘ringa qo‘yiladi (bunday maqolalar uchun foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatida, qoida tariqasida, atama nomini tushuntiruvchi asosiy manba mavjud). Maqolalar sarlavhalari asosan birlikda berilgan.

Entsiklopediya boshqa maqolalarga havolalar tizimidan keng foydalaniladi, bu erda o'quvchi ko'rib chiqilayotgan mavzu bo'yicha qo'shimcha ma'lumotlarni topadi. Ta'rif maqolaning sarlavhasida ko'rsatilgan atamaga taalluqli emas.

Maqolalarda bo'sh joyni tejash maqsadida ensiklopediyalar uchun ba'zi so'zlarning odatiy qisqartmalari qabul qilinadi.

1-jild ustida ishlagan

Sovet entsiklopediyasi nashriyotining matematika tahririyati - V. I. BITYUTSKOV (tahririyat boshlig'i), M. I. VOITSEHOVSKY (ilmiy muharrir), Yu. A. GORBKOV (ilmiy muharrir), A. B. IVANOV (AVANOV) (Senior muharrir) katta ilmiy muharrir), T. Yu. L. R. KHABIB (muharrir yordamchisi).

Nashriyot xodimlari: E. P. RYABOVA (adabiy tahrir hay'ati). E. I. ZHAROVA, A. M. MARTYNOV (bibliografiya). A. F. DALKOVSKY (transkripsiya). N. A. FEDOROV (Xarid bo'limi). 3. A. SUXOVA (Tahr. rasmlari). E. I. ALEKSEEVA, N. YU. KRUZHALOV (redaktsiya lug'ati). M. V. AKIMOVA, A. F. PROSHKO (tekshirish). G. V. SMIRNOV (texnik nashr).

Rassom R. I. MALANICEV tomonidan muqova.

1-jild haqida qo'shimcha ma'lumot

"Sovet entsiklopediyasi" nashriyoti

Entsiklopediya lug'atlar ma'lumotnomalar

Nashriyotning ilmiy-tahririyat hay’ati

A. M. PROXOROV (rais), I. V. ABASHIDZE, P. A. AZIMOV, A. P. ALEKSANDROV, V. A. AMBARTZUMYAN, I. I. ARTOBOLEVSKY, A. V. ARTSIXOVSKY, M. S. ASIMOV, M. S. ASIMOV, M. B. B. Yu., Ba., Yu., N., Yu., B., AZIMOV. , V. V. Volskiy, BM Vul, BG Gafurov, SR Gershberg, MS Gilyarov, VP Glushko, VM Glushkov, G. N GOLIKOV, DB GULIEV, AA GUSEV (rais o'rinbosari), VP ELYUTIN, VS EMELYANOV, EM AAA IHUKOV, INOZEMTSEV, M I. Kabachnik, S. V. Kalesnik, G. A. Karavaev, K. K. Karakeev, M. K. Karataev, B. M. Kedrov, G. V. Keldysh, V. A. Kirillin va I. L KNUNYANTS, SM KOVALEV (birinchi o'rinbosar, KVVUZNETV, KVUDONSTV, KVVUZNETSOVN. (rais oʻrinbosari), BV KUKARKIN, VG KULIKOV, I. A. Kutuzov, P. P. Lobanov, G. M. Loza, Yu. E. Maksarev, P. A. Markov, A. I. Markushevich, Yu. Yu. Obichkin, B. E. Paton, V. M. Polevo. J, M. A. Prokofyev, Yu. V. Proxorov, N. F. Rostovtsev, A. M. Rumyantsev, B. A. Rybakov, V. P. Samson, M. I. Sladkovskiy, V. I. Smirnov, DN SOLOVIEV (rais o‘rinbosari), VG SOLODOVENTV, SLODOVNITOV, SLODOVNITOV, VG. , SA TOKAREV, VA Trapeznikov, E. K. Fedorov, M. B. Xrapchenko, E. I. Chazov, V. N. Chernigovskiy, Ya. E. Shmushkis va S. I. Yutkevich. Kengash kotibi L. V. KIRILLOVA.

Moskva 1977 yil

Matematik ensiklopediya. 1-jild (A - D)

Bosh muharrir I. M. VINOGRADOV

Tahririyat jamoasi

S. I. ADYAN, P. S. ALEKSANDROV, N. S. BAXVALOV, V. I. BITYUTSKOV (bosh muharrir oʻrinbosari), A. V. BITSADZE, L. N. BOLSHEV, A. A. GONCHAR, N. V. Efimov, VA, I. A. A. Ilyinba, K. B. B. A. A. I. A. Ilyinbazv, K. B. B. A. K. SP Novikov va EG Poznyak, Yu. V. PROXOROV (bosh muharrir o'rinbosari), A. G. SVESHNIKOV, A. N. TIKHONOV, P. L. ULYANOV, A. I. SHIRSHOV, S. V. YABLONSKY.

Matematik entsiklopediya. Ed. kollegiya: I. M. Vinogradov (muharrirlar rahbari) [va boshqalar] T. 1 - M., “ Sovet entsiklopediyasi", 1977 yil

(Entsiklopediyalar. Lug'atlar. Ma'lumotnomalar), 1-jild. A - G. 1977. 1152 stb. kasaldan.

Komplektga topshirilgan 9. 06. 1976. Chop etish uchun imzolangan 18. 02. 1977. Birinchi namunali bosmaxonada tayyorlangan matritsalardan matn chop etish. A. A. Jdanova. Mehnat Qizil Bayroq ordeni, "Sovet Entsiklopediyasi" nashriyoti. 109817. Moskva, Zh - 28, Pokrovskiy bulvari, 8. T - 02616 Tijorat 150 000 nusxa. Buyurtma № 418. Bosma qog'oz № 1. Qog'oz o'lchami 84xl08 1/14. Jismoniy jild 36 p. l. ; 60, 48 konv. p. l. matn. 101, 82 hisoblar - tahrir. l. Kitobning narxi 7 rubl. 10 k.

Mehnat Qizil Bayroq ordeni Moskva SSSR Vazirlar Kengashining Nashriyot, poligrafiya va kitob savdosi davlat qo'mitasi huzuridagi 1-sonli "Soyuzpoligrafprom" bosmaxonasi, Moskva, I - 85, Prospekt Mira, 105. Buyurtma No. 865.