Kärnan i fenomenet längsgående böjning. Längsgående böj. Utbildnings- och introduktionspraktik på KamchatSTU
i materialresistans, böjning av en initialt rak stång under verkan av centralt applicerade längsgående tryckkrafter på grund av dess förlust av stabilitet. I en elastisk stav med konstant tvärsnitt motsvarar olika former av förlust av stabilitet kritiska värden för tryckkrafter där E är elasticitetsmodulen för stavens material, I är minimivärdet för det axiella tröghetsmomentet av stavens tvärsnitt är l stavens längd, - är koefficienten för reducerad längd, beroende på förutsättningarna för att fästa stavens ändar, n är ett heltal. Av praktiskt intresse är vanligtvis minimivärdet för den kritiska kraften. I fallet med en gångjärnsförsedd stav (? = 1), får en sådan kraft att staven böjas längs en sinusform med en halvvåg (n = 1); den bestäms av Eulers formel (F är stavens tvärsnittsarea), som motsvarar den kritiska kraften kallas kritisk. Om värdet på den kritiska spänningen överstiger proportionalitetsgränsen för stavmaterialet, uppstår stabilitetsförlust i zonen för plastisk deformation. Då bestäms den minsta kritiska kraften av formeln T - Engesser-Karman modul, som kännetecknar förhållandet mellan töjningar och spänningar bortom elastiska töjningar.
Vid beräkning av strukturer, med hänsyn till P. och. handlar om att minska designspänningsvärdena för komprimerade stavar.
Belyst. se under art. Materialets styrka.
L. V. Kasabyan.
Länkar till sidan
- Direktlänk: http://site/bse/63427/;
- HTML-kod för länken: Vad betyder längsgående böjning i Great Soviet Encyclopedia;
- BB-kod för länken: Definition av begreppet longitudinell böjning i den stora sovjetiska encyklopedin.
29 november 2011Krökning av en lång rätlinjig balk, komprimerad av en kraft riktad längs axeln, på grund av förlust av jämviktsstabilitet (se STABILITET HOS ELASTISKA SYSTEM). Medan den verkande kraften P är liten, komprimeras strålen bara. När ett visst värde överskrids, anropas. kritisk kraft, buktar strålen spontant. Detta leder ofta till förstörelse eller oacceptabla deformationer av stångstrukturer.
Fysisk encyklopedisk ordbok. - M.: Sovjetiskt uppslagsverk.Chefredaktör A. M. Prokhorov.1983 .
LÄNGDSBÖJNING
Deformation böjning rak stång under inverkan av längsgående (axiellt riktade) tryckkrafter. Vid kvasi-statisk När belastningen ökar förblir den rätlinjiga formen av stången stabil tills en viss kritisk punkt nås. lastvärde, varefter den krökta formen blir stabil, och med ytterligare ökning av lasten ökar nedböjningarna snabbt.
För prismatisk stång tillverkad av linjärt elastiskt material, komprimerad av kraft P, kritisk. värdet ges av Eulers f-loy where E- materialets elasticitetsmodul, jag- tröghetsmoment för tvärsnittet kring den axel som motsvarar böjningen, l- längden på stången är en koefficient beroende på sättet att fästa för en stång som vilar dess ändar på ett stöd = 1. Vid liten P-> 0 krökt axel är nära i form där x- koordinat mätt från en av ändarna på staven. För en stång som är styvt fixerad i båda ändar = 1/4; för en stång, vars ena ände är fixerad, och den andra (belastade) änden är fri, = 2. Kritisk. kraften för en elastisk stav motsvarar spetsen bifurkationer i diagrammet är tryckkraften en karakteristisk avböjning. Pi.- specialfall bredare begrepp - förlust stabilitet hos elastiska system.
När det gäller ett oelastiskt material, det kritiska kraft beror på sambandet mellan stress A och hänvisar till deformation under enaxlig kompression. De enklaste modellerna av elastisk-plast. P. och. leda till parametrar av Euler-typ med ersättning av elasticitetsmodulen E antingen till tangentmodulen eller till den reducerade modulen. För en rektangulär stav. sektioner = I verkliga problem har stavarnas axlar en initial krökning och belastningar appliceras med excentricitet. Böjningsdeformation i kombination med kompression sker från början av belastningen. Detta fenomen kallas. längsgående-tvärböjning. Resultat av teorin om P. och. används för en ungefärlig bedömning av deformation och bärförmåga hos stavar med små initiala värden. störningar.
Med dynamik massor av formen P. och. och longitudinell-tvärböjning kan skilja sig avsevärt från formerna av buckling under kvasistatisk. läser in. Sålunda, med mycket snabb belastning av en stång uppburen av dess ändar, realiseras former av böjning som har två eller flera halvvågor av böjning. Med en längsgående kraft ändras kanterna periodiskt över tiden, a parametrisk resonans tvärgående vibrationer, om belastningsfrekvensen är , var är den naturliga frekvensen av tvärgående vibrationer av stången, h- naturligt nummer. I vissa fall parametrisk. resonans är också upphetsad när
Prof. S. P. Timosjenko, Stabilitet av elastiska system, Tekhteoretizdat, 1955; prof. I. P. Prokofiev och A. F. Smirnov, Theory of Structures, del III, Transzheldorizdat, 1948; prof. I. Ya. Shtaerman och A. A. Pikovsky, Grunderna i teorin om stabilitet i byggnadsstrukturer, Gosstroyizdat, 1939.
I stålkonstruktioner är problemet med stabilitet mycket stor betydelse. Att underskatta det kan leda till katastrofala konsekvenser.
Om en rak stav komprimeras av en centralt applicerad kraft P, kommer staven först att förbli rak och detta jämviktstillstånd kommer att vara stabilt. Det stabila jämviktstillståndet för en elastisk stav kännetecknas av det faktum att staven, laddad och sedan får en obetydlig möjlig avvikelse på grund av någon anledning (liten störning), efter att denna orsak upphört återgår till sitt ursprungliga tillstånd, efter att ha gjort obetydlig dämpade svängningar.
Detta beror på att den yttre tryckkraften inte kan övervinna stångens motstånd mot den lätta böjning som den utsattes för när axeln avböjdes, d.v.s. på grund av att det inre elastiska arbetet med att böja stången till följd av avböjningen av stången. axeln (böjningspotentialenergi ΔV), mer externt arbete (ΔT) som utförs av tryckkraften som ett resultat av konvergensen av stavens ändar under dess böjning: ΔV > ΔT.
a - huvudfall;
b - kritiska spänningskurvor för stålsort St. 3 och knäckningskoefficient:
1 - Euler-kurva;
2 - kritisk spänningskurva med hänsyn till materialets plastiska arbete;
3 - φ-koefficientkurva.
Med ytterligare ökning kan tryckkraften nå ett sådant värde att dess arbete kommer att vara lika med arbetet med böjningsdeformation orsakad av någon tillräckligt liten störande faktor.
I detta fall = ΔV och tryckkraften når sitt kritiska värde P cr. Således har en rak stång, när den belastas med kraft till ett kritiskt tillstånd, en rätlinjig form av ett stabilt jämviktstillstånd. När kraften når ett kritiskt värde upphör dess rätlinjiga form av jämvikt att vara stabil, stången kan böjas i planet med minst styvhet och dess nya krökta form kommer att vara i stabil jämvikt.
Värdet på kraften vid vilken den initiala stabila formen av jämvikt hos staven blir instabil kallas den kritiska kraften.
Om det finns en liten initial krökning av stången (eller en lätt excentricitet av tryckkraften), avviker stången från den raka linjen med ökande belastning redan från början. Men denna avvikelse är liten till en början, och först när tryckkraften närmar sig kritisk (skillnad från den inom 1%) blir avvikelserna betydande, vilket innebär en övergång till ett instabilt tillstånd.
Således kännetecknas ett instabilt jämviktstillstånd av att även med en liten ökning av krafterna uppstår stora förskjutningar. En ytterligare ökning av tryckkraften P > P cr orsakar ständigt ökande avvikelser, och stången tappar sin bärförmåga.
I det här fallet motsvarar olika typer av stångfästen olika värden på den kritiska kraften. För den centralt komprimerade staven som visas i figuren, som har gångjärnsfästen i ändarna (huvudfallet), definierades den kritiska kraften av den store matematikern L. Euler 1744 i följande form:
Spänningen som uppstår i stången från en kritisk kraft kallas kritisk spänning:
— Minsta rotationsradie.
F 6р— stavens bruttotvärsnittsarea;
— stavens flexibilitet, lika med förhållandet mellan stavens beräknade längd och svängningsradien för dess tvärsnitt.
Det framgår av formeln att den kritiska spänningen beror på stavens flexibilitet (eftersom täljaren är ett konstant värde), och flexibilitet är ett värde som endast beror på stavens geometriska dimensioner. Följaktligen ligger möjligheten att öka värdet av den kritiska spänningen genom att ändra stångens flexibilitet (främst genom att öka sektionens svängningsradie) i händerna på designern och bör användas rationellt av honom.
Grafiskt är Eulers formel avbildad som en hyperbel.
De kritiska spänningarna som bestäms av Eulerformeln är endast giltiga vid en konstant elasticitetsmodul E, dvs inom elasticitetsgränserna (mer exakt, inom proportionalitetsgränserna), och detta kan endast ske med hög flexibilitet (X > 105) , enligt följande från ekvationen:
Här är σ pc = 2000 kg/cm 2 proportionalitetsgränsen för stålsort St. 3.
"Design av stålkonstruktioner",
K.K. Mukhanov
Kritiska spänningar för små (X > 30) och medelstora (30< Х < 100) гибкостей получаются выше предела пропорциональности, но, понятно, ниже предела текучести. Теоретическое определение критических напряжений для таких стержней значительно усложняется вследствие того, что явление потери устойчивости происходит при частичном развитии пластических деформаций и переменном модуле упругости. В результате многочисленных опытов, подтвердивших…
Förlusten av stabilitet hos den rätlinjiga jämviktsformen av en centralt komprimerad rak stav kallas längsgående böjning; Detta är det enklaste och samtidigt ett av de viktigaste tekniska problemen relaterade till problemet med stabilitet.
Låt oss betrakta en rak stång med konstant tvärsnitt med gångjärnsförsedda ändar, belastad i den övre änden av en centralt applicerad tryckkraft P (Fig. 3.13).
Det minsta värdet av den centralt applicerade tryckkraften P, vid vilken stavens rätlinjiga jämviktsform blir instabil, kallas den kritiska kraften. För att bestämma det, böjer vi staven till läget som visas av den streckade linjen och bestämmer vid vilket minimivärde av kraft P som staven kanske inte återgår till sin tidigare position.
Den ungefärliga differentialekvationen för en elastisk linje har formen [se. formel (68.7)]
Vi anser att ursprunget för koordinaterna är placerat i den nedre änden av stången och att axeln är riktad uppåt.
Böjmomentet i sektionen med abskissan är lika med
Låt oss ersätta uttrycket M i ekvationen (1.13):
Väsentlig differentialekvation(2.13) har formen
Godtyckliga konstanter A och B kan bestämmas från randvillkoren:
a) för och och därför baserat på ekvation (4.13)
b) vid och därför baserat på ekvation (4.13)
Villkor (5.13) är uppfyllt när eller När vi substituerar värdet och det funna värdet i ekvation (4.13) får vi ett uttryck som inte motsvarar problemets villkor, vars syfte är att bestämma ett sådant värde på kraften P där värdena på y kanske inte är lika med noll.
För att uppfylla villkoren för problemet och villkoret (5.13) är det alltså nödvändigt att acceptera eller [baserat på uttryck (3.13)]
Villkor (6.13) är uppfyllt och det följer dock av uttryck (7.13) att det inte uppfyller problemets villkor. Det minsta värdet som inte är noll kan erhållas från uttryck (7.13) med Then
Formel (8.13) erhölls först av Euler, därför kallas den kritiska kraften även Eulers kritiska kraft.
Om tryckkraften är mindre än den kritiska kraften är endast en rätlinjig form av jämvikt möjlig, som i detta fall är stabil.
Formel (8.13) ger värdet på den kritiska kraften för en stav med gångjärnsförsedda ändar. Låt oss nu bestämma värdet på den kritiska kraften för andra typer av fastsättning av stavens ändar.
Låt oss betrakta en centralt komprimerad stång med längd fastklämd (inbäddad) i ena änden. Den möjliga formen av jämvikt för en sådan stav vid ett kritiskt värde för kraften P har den form som visas i fig. 4.13.
Att jämföra fig. 4.13 och fig. 3.13 konstaterar vi att en längdstav med en klämd ände kan betraktas som en stav med längd 21 med gångjärnsförsedda ändar, vars krökta axel visas i fig. 4,13 prickad linje.
Följaktligen kan värdet på den kritiska kraften för en stav med en spänd ände hittas genom att ersätta värdet i formel (8.13) istället för då
För en stång med båda ändar inbäddade visas den möjliga böjningsformen under buckling i fig. 5.13. Den är symmetrisk i förhållande till mitten av staven; Böjningspunkterna för den krökta axeln är placerade vid fjärdedelar av stångens längd.
Från en jämförelse av fig. 5.13 och fig. 4.13 kan man se att varje fjärdedel av stavens längd, inbäddad i båda ändar, är i samma förhållanden som hela staven som visas i Fig. 4.13. Följaktligen kan värdet på den kritiska kraften för en stav med båda ändar fixerade hittas genom att ersätta värdet i formel (9.13) istället för
(10.13)
Sålunda är den kritiska kraften för en stång med gångjärnsförsedda ändar fyra gånger större än för en stång med en spänd ände och den andra fri, och fyra gånger mindre än för en stång med båda spända ändar. Fallet med gångjärnsfästning av ändarna på stången kallas vanligtvis den huvudsakliga.
Eulers formler (8.13), (9.13) och (10.13) för att bestämma den kritiska kraften för olika fästen av stavens ändar kan presenteras enligt följande allmän syn:
(11.13)
Här är den så kallade längdminskningskoefficienten; - minskad längd på spöet.
Koefficienten gör att varje fall av fästande av stavens ändar kan reduceras till huvudfallet, d.v.s. till en stång med gångjärnsförsedda ändar. För de fyra vanligaste fallen att fästa ändarna på staven har koefficienten följande värden.
Begreppet stabila och instabila former
Jämvikt fasta ämnen. Rak formstabilitet
Komprimerade stavar
För en balk (stav) sträckt eller sammanpressad med kraft F, vi använde villkoret
där det antogs att brott uppstår när spänningarna blir lika med brotthållfastheten σ in för sprött material eller sträckgräns σ T för plastmaterial. I detta fall togs inte hänsyn till stångens längd och formen på dess tvärsnitt.
Låt oss ta en trästång med tvärsnittsdimensioner i form av en rektangel och applicera en längsgående tryckbelastning på den. Gradvis ökar belastningen ser vi att stavens axel till en början förblir nästan rak, och sedan, under viss belastning, böjer den sig plötsligt och slutligen inträffar dess förstörelse. Observera att när längden på stången ändras ändras också brottbelastningen - ju längre spöet är, desto mindre belastning kommer den att misslyckas.
Dessutom, när långa stavar komprimeras, orsakar en förändring i tvärsnittsformen, allt annat lika, också en förändring av brottbelastningen.
Följaktligen, i olika strukturella element, måste förhållandet mellan längden på den komprimerade stången och dimensionerna på dess tvärsnitt väljas på ett sådant sätt att tillförlitlig drift av strukturen säkerställs.
Det är känt att jämvikten mellan fasta ämnen kan vara stabil, instabil och likgiltig (Fig. 12.1).
Likaså kan jämvikten mellan elastiska system vara stabil och instabil.
Överväg en tunn stång som genomgår kompression med en gradvis ökande belastning F 1 ≤ F 2 ≤ F 3 .
Ris. 12.1. Typer av jämvikt hos fasta kroppar
Vid låg tryckkraft F stavens axel förblir rak. Om stången avböjs av en lätt horisontell kraft, kommer stången att återgå till sin ursprungliga position efter att den tagits bort. Sådan elastisk jämvikt hos staven kallas stabil (fig. 12.2, a).
Med stor tryckkraft F 3, efter en lätt avböjning av stången, böjs dess axel och stången kan inte återgå till sitt ursprungliga läge, den fortsätter att böjas ännu mer under inverkan av tryckkraft. I det här fallet har vi en instabil form av elastisk jämvikt hos staven. Därefter inträffar en förlust av stabilitet (Fig. 12.2, c). Detta fall av böjning kallas längsgående böjning böjning orsakad av en tryckkraft som verkar längs stångens axel.
Ris. 12.2. Typer av elastisk jämvikt hos en tunn stav
Utseendet på längsgående böjning är farligt eftersom det orsakar en betydande ökning av deformation med en lätt ökning av tryckbelastningen. Förstörelser från längsgående böjningar inträffar plötsligt, vilket är fyllt med katastrofala konsekvenser inom teknik och konstruktion.
Mellan dessa två jämviktstillstånd finns ett övergångstillstånd som kallas kritiskt, där den deformerade kroppen befinner sig i likgiltig jämvikt. Den kan behålla sin ursprungliga raka form, men den kan också förlora den vid minsta stöt (Fig. 12.2, b).
Belastningen, vars överskott orsakar förlust av stabiliteten hos den ursprungliga formen av kroppen (staven), kallas kritisk och betecknas F cr.
För att säkerställa stabilitet i konstruktioner och konstruktioner tillåts belastningar som är betydligt mindre än kritiska, d.v.s. villkoret måste uppfyllas
Var [ F] – tillåten belastning på stången;
n y är stabilitetssäkerhetsfaktorn, beroende på material, från
som staven är gjord.
Vanligtvis tas:
Trä – = 2,8...3,2;
Stål – = 1,8...3,0;
Gjutjärn – =5,0...5,5.
Således, för att utföra beräkningar av komprimerade stavar för stabilitet, är det nödvändigt att veta hur man bestämmer kritiska belastningar F cr.
