Një qasje aksiomatike për ndërtimin e një sistemi numrash natyrorë. Metodat aksiomatike në matematikë. Konceptet dhe përkufizimet bazë
Polisemia
Polisemia, ose polisemia e fjalëve, lind për faktin se gjuha përfaqëson një sistem që është i kufizuar në krahasim me shumëllojshmërinë e pafund të realitetit real, kështu që sipas fjalëve të Akademik Vinogradov, “Gjuha detyrohet të shpërndajë kuptime të panumërta nën një ose një rubrikë tjetër e koncepteve bazë.” (Vinogradov "Gjuha ruse" 1947). Është e nevojshme të bëhet dallimi midis përdorimeve të ndryshme të fjalëve në një variant leksiko-semantik dhe ndryshimit aktual të fjalës. Kështu, për shembull, fjala (das)Ol mund të përcaktojë një sërë vajrash të ndryshëm, përveç vajit të lopës (për të cilin ekziston fjala Gjalpë). Megjithatë, nga kjo nuk rezulton se, duke treguar vajra të ndryshëm, fjala Ol do të ketë një kuptim të ndryshëm çdo herë: në të gjitha rastet kuptimi i saj do të jetë i njëjtë, domethënë vaj (gjithçka përveç lopës). Ashtu si për shembull kuptimi i fjalës tabelë Tisch, pavarësisht se çfarë lloj tabele tregon fjala në këtë rast të veçantë. Ndryshe është situata kur fjala Ol do të thotë vaj. Këtu, ajo që del në pah nuk është më ngjashmëria e vajit për nga yndyrshmëria me lloje të ndryshme vaji, por cilësia e veçantë e vajit - ndezshmëria. Dhe në të njëjtën kohë, fjalët që tregojnë lloje të ndryshme të karburantit do të lidhen me fjalën Ol: Kohl, Holz, etj. Kjo na jep mundësinë të dallojmë dy kuptime nga fjala Ol (ose thënë ndryshe dy opsione leksiko-semantike): 1) vaj (jo kafshë) 2) vaj.
Në mënyrë tipike, kuptimet e reja lindin duke transferuar një nga fjalët ekzistuese në një objekt ose fenomen të ri. Kështu formohen kuptimet e figurshme. Ato bazohen ose në ngjashmërinë e objekteve ose në lidhjen e një objekti me një tjetër. Janë të njohura disa lloje të transferimit të emrit. Më të rëndësishmet prej tyre janë metafora ose metonimia.
Në metaforë, transferimi bazohet në ngjashmërinë e gjërave në ngjyrë, formë, natyrën e lëvizjes etj. Me të gjitha ndryshimet metaforike, mbetet një shenjë e konceptit origjinal
Homonimi
Polisemia e një fjale është një problem kaq i madh dhe i shumëanshëm, saqë një larmi problemesh në leksikologji lidhen disi me të. Në veçanti, problemi i homonimisë bie në kontakt me këtë problem në disa aspekte.
Homonimet janë fjalë që tingëllojnë njësoj, por kanë kuptime të ndryshme. Në disa raste, homonimet lindin nga polisemia që i është nënshtruar një procesi shkatërrimi. Por homonimet mund të lindin edhe si rezultat i rastësive të tingujve të rastësishëm. Çelësi që hap derën, dhe çelësi - një sustë ose një kosë - një model flokësh dhe një kosë - një mjet bujqësor - këto fjalë kanë kuptime të ndryshme dhe origjinë të ndryshme, por rastësisht përkojnë në tingullin e tyre.
Homonimet dallohen nga leksikore (kanë të bëjnë me një pjesë të të folurit, për shembull, një çelës - për të hapur një bravë dhe një çelës - një burim. burim) morfologjik (ato kanë të bëjnë me pjesë të ndryshme të të folurit, për shembull, tre është një numër , tre është një folje në humor imperativ), leksiko-gramatikore, të cilat krijohen si rezultat i konvertimit, kur një fjalë e dhënë kalon në një pjesë tjetër të ligjëratës. për shembull në anglisht vështrim-shikoj dhe shiko-duke. Ka veçanërisht shumë homonime leksiko-gramatikore në gjuhe angleze.
Homofonët dhe homografët duhet të dallohen nga homonimet. Homofonët janë fjalë të ndryshme që, megjithëse të ndryshme në drejtshkrim, janë të njëjta në shqiptim, p.sh.: qepë - livadh, Seite - faqe dhe Saite - varg.
Homografët janë fjalë kaq të ndryshme që kanë të njëjtën drejtshkrim, megjithëse shqiptohen ndryshe (si në përbërjen e tingullit ashtu edhe nga vendi i stresit në fjalë), për shembull, Kalaja - kështjellë.
Sinonimi
Sinonimet janë fjalë që janë të afërta në kuptim, por tingëllojnë ndryshe, duke shprehur nuancat e një koncepti.
Ekzistojnë tre lloje sinonimish:
1. Konceptuale ose ideografike. Ato ndryshojnë nga njëra-tjetra në kuptimin leksikor. Ky dallim është i dukshëm në në shkallë të ndryshme atributi i caktuar (acar - i ftohtë, i fortë, i fuqishëm, i fuqishëm), në natyrën e emërtimit të tij (xhaketë me tegela - xhaketë me tegela - xhaketë e mbushur), në shtrirjen e konceptit të shprehur (banderolë - flamur, guxim - guximshëm), në shkalla e lidhjes së kuptimit leksikor (kafe - kafe, e zezë - e zezë).
2. Sinonimet janë stilistike ose funksionale. Ato ndryshojnë nga njëri-tjetri në sferën e përdorimit, për shembull, sy - sy, fytyrë - fytyrë, ballë - ballë. Sinonimet emocionalisht - vlerësuese. Këto sinonime shprehin hapur qëndrimin e folësit ndaj personit, objektit ose fenomenit të caktuar. Për shembull, një fëmijë mund të quhet solemnisht një fëmijë, me përkëdhelje një djalë i vogël dhe një djalë i vogël, me përbuzje një djalë dhe një pinjoll, dhe gjithashtu i intensifikuar dhe përçmues një qenush, një pinjoll, një plaçkë.
3. Antonimet - kombinime fjalësh që janë të kundërta në kuptimin leksikor, p.sh.: sipër - poshtë, e bardhë - e zezë, bisedë - heshtur, me zë - qetë.
Antonimia
Ekzistojnë tre lloje të antonimeve:
1. Antonimet e kundërshtimit gradual dhe të koordinuar, për shembull, e bardhë - e zezë, e qetë - me zë të lartë, e afërt - e largët, e mirë - e keqe etj. Këto antonime kanë diçka të përbashkët në kuptimin e tyre, gjë që u lejon atyre të kontrastohen. Pra, konceptet bardh e zi tregojnë koncepte të kundërta me ngjyra.
2. Antonimet e kundrinorëve plotësues dhe konvertues: luftë - paqe, burrë - grua, i martuar - beqar, i mundshëm - i pamundur, i mbyllur - i hapur.
3. Antonimet e ndarjes dikotomike të koncepteve. Shpesh janë fjalë të njëjta rrënjësore: popullore - antikombëtare, legale - ilegale, humane - çnjerëzore.
Me interes është i ashtuquajturi antonimi brenda fjalëve, kur kundërshtohen kuptimet e fjalëve që kanë të njëjtën guaskë materiale. Për shembull, në rusisht folja për t'i dhënë hua dikujt para do të thotë "të japësh hua", dhe të marrësh para nga dikush tashmë do të thotë të marrësh para hua nga dikush. Kundërvënia brendafjalore e kuptimeve quhet enantiosemi.
6. Ndërtimi aksiomatik i sistemit numrat natyrorë. Metoda aksiomatike e ndërtimit të një teorie matematikore. Kërkesat për sistemin e aksiomave: qëndrueshmëri, pavarësi, plotësi. Aksiomatika e Peanos. Koncepti i një numri natyror nga një pozicion aksiomatik. Modelet e sistemit të aksiomave Peano. Mbledhja dhe shumëzimi i numrave natyrorë nga pozicionet aksiomatike. Rregullsia e bashkësisë së numrave natyrorë. Vetitë e bashkësisë së numrave natyrorë. Zbritja dhe pjesëtimi i një grupi numrash natyrorë nga pozicionet aksiomatike. Metoda e induksionit matematik. Prezantimi i zeros dhe ndërtimi i një grupi numrash të plotë numra jonegativë. Teorema mbi pjesëtimin me mbetje.
Konceptet dhe përkufizimet bazë
Numri -është shprehje e një sasie të caktuar.
Numri natyror element i një sekuence të pacaktuar të vazhdueshme.
Numrat natyrorë (numrat natyrorë) - numra që lindin natyrshëm gjatë numërimit (si në kuptimin e numërimit ashtu edhe në kuptimin e llogaritjes).
Ekzistojnë dy qasje për përcaktimin e numrave natyrorë - numrat e përdorur në:
renditja (numërimi) i artikujve (i pari, i dyti, i treti, ...);
përcaktimi i numrit të artikujve (pa artikuj, një artikull, dy artikuj, ...).
Aksioma - këto janë pikënisjet themelore (parimet e vetëkuptueshme) të një teorie të caktuar, nga e cila nxirret pjesa tjetër e përmbajtjes së kësaj teorie me deduksion, pra me mjete thjesht logjike.
Një numër që ka vetëm dy pjesëtues (vetë numri dhe një) quhet - një numër i thjeshtë.
Numri i përbërëështë një numër që ka më shumë se dy pjesëtues.
§2. Aksiomatika e numrave natyrorë
Numrat natyrorë fitohen duke numëruar objektet dhe duke matur sasitë. Por nëse gjatë matjes shfaqen numra të ndryshëm nga numrat natyrorë, atëherë numërimi çon vetëm në numra natyrorë. Për të numëruar, ju nevojitet një sekuencë numrash që fillon me një dhe që ju lejon të lëvizni nga një numër në tjetrin aq herë sa është e nevojshme. Me fjalë të tjera, ne kemi nevojë për një segment të serisë natyrore. Prandaj, gjatë zgjidhjes së problemit të justifikimit të sistemit të numrave natyrorë, para së gjithash ishte e nevojshme t'i përgjigjemi pyetjes se çfarë është një numër si element i serisë natyrore. Përgjigja për këtë u dha në veprat e dy matematikanëve - gjermani Grassmann dhe italiani Peano. Ata propozuan një aksiomatikë në të cilën numri natyror justifikohej si një element i një sekuence të pacaktuar të vazhdueshme.
Ndërtimi aksiomatik i një sistemi numrash natyrorë kryhet sipas rregullave të formuluara.
Pesë aksiomat mund të konsiderohen si një përkufizim aksiomatik i koncepteve bazë:
1 është një numër natyror;
Numri tjetër natyror është një numër natyror;
1 nuk ndjek asnjë numër natyror;
Nëse një numër natyror A ndjek një numër natyror b dhe përtej numrit natyror Me, Kjo b Dhe Me janë identike;
Nëse ndonjë propozim vërtetohet për 1 dhe nëse nga supozimi se është i vërtetë për një numër natyror n, rezulton se është e vërtetë për sa vijon n numër natyror, atëherë kjo fjali është e vërtetë për të gjithë numrat natyrorë.
Njësia– ky është numri i parë i serisë natyrore , si dhe një nga shifrat në sistemin e numrave dhjetorë.
Besohet se përcaktimi i një njësie të çdo kategorie me të njëjtën shenjë (mjaft afër me atë moderne) u shfaq për herë të parë në Babiloninë e Lashtë afërsisht 2 mijë vjet para Krishtit. e.
Grekët e lashtë, të cilët i konsideronin numra vetëm numrat natyrorë, e konsideronin secilin prej tyre si një koleksion njësish. Vetë njësisë i jepet një vend i veçantë: nuk konsiderohej numër.
I. Njuton shkroi: "... me numër ne kuptojmë jo aq shumë një koleksion njësish sa një lidhje abstrakte të një sasie me një sasi tjetër, të pranuar në mënyrë konvencionale nga ne si një njësi." Kështu, njëri tashmë ka zënë vendin e merituar midis numrave të tjerë.
Veprimet aritmetike mbi numrat kanë një sërë veçorish. Ato mund të përshkruhen me fjalë, për shembull: "Shuma nuk ndryshon duke ndryshuar vendet e termave". Mund ta shkruani me shkronja: a+b = b+a. Mund të shprehet me terma të veçantë.
Ne i zbatojmë ligjet bazë të aritmetikës shpesh nga zakoni, pa e kuptuar:
1) ligji komutativ (komutativiteti), - vetia e mbledhjes dhe shumëzimit të numrave, e shprehur me identitete:
a+b = b+a a*b = b*a;
2) ligji i kombinimit (asociativiteti), - vetia e mbledhjes dhe shumëzimit të numrave, e shprehur me identitete:
(a+b)+c = a+(b+c) (a*b)*c = a*(b*c);
3) ligji shpërndarës (shpërndarja), - një veti që lidh mbledhjen dhe shumëzimin e numrave dhe shprehet me identitete:
a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.
Pas vërtetimit të ligjeve komutative, kombinuese dhe shpërndarëse (në lidhje me mbledhjen) të veprimit të shumëzimit, ndërtimi i mëtejshëm i teorisë së veprimeve aritmetike mbi numrat natyrorë nuk paraqet ndonjë vështirësi themelore.
Aktualisht, në mendjet tona ose në një copë letër, ne bëjmë vetëm më shumë llogaritje të thjeshta, duke iu besuar gjithnjë e më shumë punë llogaritëse më komplekse llogaritësve dhe kompjuterëve. Sidoqoftë, funksionimi i të gjithë kompjuterëve - të thjeshtë dhe kompleks - bazohet në veprimin më të thjeshtë - mbledhjen e numrave natyrorë. Rezulton se llogaritjet më komplekse mund të reduktohen në mbledhje, por ky operacion duhet të bëhet shumë miliona herë.
Metodat aksiomatike në matematikë
Një nga arsyet kryesore për zhvillimin e logjikës matematikore është përhapja e gjerë metodë aksiomatike në ndërtimin e teorive të ndryshme matematikore, në radhë të parë të gjeometrisë, e më pas të aritmetikës, të teorisë së grupeve etj. Metoda aksiomatike mund të përkufizohet si një teori që ndërtohet mbi një sistem të parazgjedhur konceptesh dhe marrëdhëniesh të papërcaktuara ndërmjet tyre.
Në ndërtimin aksiomatik të një teorie matematikore, zgjidhet paraprakisht një sistem i caktuar konceptesh dhe marrëdhëniesh të pacaktuara ndërmjet tyre. Këto koncepte dhe marrëdhënie quhen themelore. Më pas, futni aksiomat ato. dispozitat kryesore të teorisë në shqyrtim, të pranuara pa prova. E gjithë përmbajtja e mëtejshme e teorisë rrjedh logjikisht nga aksiomat. Për herë të parë, ndërtimi aksiomatik i një teorie matematikore u ndërmor nga Euklidi në ndërtimin e gjeometrisë.
Metoda aksiomatike në matematikë.
Konceptet bazë dhe marrëdhëniet e teorisë aksiomatike të serive natyrore. Përkufizimi i një numri natyror.
Mbledhja e numrave natyrorë.
Shumëzimi i numrave natyrorë.
Vetitë e bashkësisë së numrave natyrorë
Zbritja dhe pjesëtimi i numrave natyrorë.
Metoda aksiomatike në matematikë
Në ndërtimin aksiomatik të çdo teorie matematikore, respektohen parimet e mëposhtme: rregulla të caktuara:
1. Disa koncepte të teorisë janë zgjedhur si kryesore dhe pranohen pa përkufizim.
2. Janë të formuluara aksiomat, të cilat në këtë teori janë pranuar pa prova, ato zbulojnë vetitë e koncepteve bazë.
3. Është dhënë çdo koncept i teorisë që nuk është i përfshirë në listën e atyre bazë përkufizim, ai shpjegon kuptimin e tij me ndihmën e koncepteve kryesore dhe paraardhëse.
4. Çdo propozim i një teorie që nuk përfshihet në listën e aksiomave duhet të vërtetohet. Propozime të tilla quhen teorema dhe t'i vërtetojë ato në bazë të aksiomave dhe teoremave që i paraprijnë asaj në shqyrtim.
Sistemi i aksiomave duhet të jetë:
a) konsistente: duhet të jemi të sigurt se, duke nxjerrë të gjitha përfundimet e mundshme nga një sistem i caktuar aksiomash, nuk do të arrijmë kurrë në një kontradiktë;
b) të pavarur: asnjë aksiomë nuk duhet të jetë pasojë e aksiomave të tjera të këtij sistemi.
V) plot, nëse brenda kornizës së tij është gjithmonë e mundur të vërtetohet ose një pohim i dhënë ose mohimi i tij.
Përvoja e parë e ndërtimit të teorisë aksiomatike mund të konsiderohet prezantimi i gjeometrisë nga Euklidi në "Elementet" e tij (shek. III para Krishtit). Një kontribut i rëndësishëm në zhvillimin e metodës aksiomatike të ndërtimit të gjeometrisë dhe algjebrës dha N.I. Lobachevsky dhe E. Galois. Në fund të shekullit të 19-të. Matematikani italian Peano zhvilloi një sistem aksiomash për aritmetikën.
Konceptet bazë dhe relacionet e teorisë aksiomatike të numrave natyrorë. Përkufizimi i një numri natyror.
Si koncept bazë (i papërcaktuar) në një grup të caktuar N është zgjedhur qëndrim , dhe përdor gjithashtu konceptet teorike të grupeve, si dhe rregullat e logjikës.
Elementi menjëherë pas elementit A, tregojnë A".
Marrëdhënia "ndikim drejtpërdrejt" plotëson aksiomat e mëposhtme:
Aksiomat e Peanos:
Aksioma 1. Me bollëk N ekziston një element drejtpërdrejt jo tjetër jo për asnjë element të këtij grupi. Le ta thërrasim atë njësi dhe shënohet me simbolin 1 .
Aksioma 2. Për çdo element A nga N ka vetëm një element A" , menjëherë pas A .
Aksioma 3. Për çdo element A nga N ka më së shumti një element që ndiqet menjëherë nga A .
Aksioma 4.Çdo nëngrup M grupe N përkon me N , nëse ka vetitë e mëposhtme: 1) 1 të përfshira në M ; 2) nga fakti se A të përfshira në M , rrjedh se A" të përfshira në M.
Përkufizimi 1. Një tufë me N , për elementet e të cilit vendoset marrëdhënia "ndiq direkt", që plotëson aksiomat 1-4, quhet grup numrash natyrorë, dhe elementet e tij janë numrat natyrorë.
NË këtë përkufizim nuk thuhet asgjë për natyrën e elementeve të grupit N . Pra, mund të jetë çdo gjë. Zgjedhja si një grup N një grup specifik mbi të cilin është dhënë një relacion specifik "ndjek drejtpërdrejt", duke përmbushur aksiomat 1-4, marrim modeli i këtij sistemi aksiomë.
Modeli standard Sistemi i aksiomave të Peanos është ai që lind në proces zhvillim historik shoqëria, një seri numrash: 1,2,3,4,... Seria natyrore fillon me numrin 1 (aksioma 1); çdo numër natyror pasohet menjëherë nga një numër i vetëm natyror (aksioma 2); çdo numër natyror pason menjëherë maksimumi një numër natyror (aksioma 3); duke u nisur nga numri 1 dhe duke lëvizur në drejtim të numrave natyrorë menjëherë pas njëri-tjetrit, fitojmë të gjithë bashkësinë e këtyre numrave (aksioma 4).
Pra, filluam ndërtimin aksiomatik të një sistemi numrash natyrorë duke zgjedhur bazën marrëdhënien "ndiq drejtpërdrejt". dhe aksiomat që përshkruajnë vetitë e tij. Ndërtimi i mëtejshëm i teorisë përfshin shqyrtimin e vetive të njohura të numrave natyrorë dhe veprimeve mbi to. Ato duhet të shpalosen në përkufizime dhe teorema, d.m.th. rrjedhin thjesht logjikisht nga relacioni “ndikim drejtpërdrejt” dhe aksiomat 1-4.
Koncepti i parë që do të prezantojmë pas përcaktimit të një numri natyror është qëndrim "Menjëherë paraprin" , e cila përdoret shpesh kur merren parasysh vetitë e serisë natyrore.
Përkufizimi 2. Nëse një numër natyror b ndjek drejtpërdrejt numri natyror A, atë numër A thirrur menjëherë përpara(ose e mëparshme) numri b .
Lidhja “paraprin” ka një sërë pronash.
Teorema 1. Njësia nuk ka numër natyror të mëparshëm.
Teorema 2. Çdo numër natyror A, përveç 1, ka një numër të vetëm paraardhës b, sikurse b"= A.
Ndërtimi aksiomatik i teorisë së numrave natyrorë nuk merret parasysh as në fillestar, as në gjimnaz. Megjithatë, ato veti të relacionit “pasojnë drejtpërdrejt”, të cilat pasqyrohen në aksiomat e Peanos, janë objekt studimi në kursin fillestar të matematikës. Tashmë në klasën e parë, kur merren parasysh numrat e dhjetëshes së parë, bëhet e qartë se si mund të merret secili numër. Përdoren konceptet "pason" dhe "paraprin". Çdo numër i ri vepron si vazhdim i segmentit të studiuar të serisë natyrore të numrave. Nxënësit janë të bindur se çdo numër pasohet nga tjetri dhe, për më tepër, vetëm një gjë, se seria natyrore e numrave është e pafundme.
Mbledhja e numrave natyrorë
Sipas rregullave për ndërtimin e një teorie aksiomatike, përkufizimi i mbledhjes së numrave natyrorë duhet të prezantohet duke përdorur vetëm relacionin "ndiq drejtpërdrejt", dhe konceptet "numri natyror" Dhe "numri i mëparshëm".
Le të paraprijmë përkufizimin e shtesës me konsideratat e mëposhtme. Nëse për ndonjë numër natyror A shtoni 1, marrim numrin A", menjëherë pas A, d.m.th. A+ 1= a" dhe për këtë arsye marrim rregullin për mbledhjen e 1 në çdo numër natyror. Por si të shtoni në një numër A numri natyror b, ndryshe nga 1? Le të përdorim faktin e mëposhtëm: nëse dimë se 2 + 3 = 5, atëherë shuma është 2 + 4 = 6, e cila menjëherë pason numrin 5. Kjo ndodh sepse në shumën 2 + 4 termi i dytë është numri menjëherë pas numri 3. Kështu, 2 + 4 =2+3 " =(2+3)". Të gjitha në të gjitha ne kemi, .
Këto fakte përbëjnë bazën për përcaktimin e mbledhjes së numrave natyrorë në teorinë aksiomatike.
Përkufizimi 3. Mbledhja e numrave natyrorëështë një veprim algjebrik që ka këto veti:
Numri a + b thirrur shuma e numrave A Dhe b , dhe vetë numrat A Dhe b - kushtet.
Si koncept bazë kur
ndërtimi aksiomatik i aritmetikës
numrat natyrorë marrin raportin
"ndiq drejtpërdrejt" dhënë në
grup jo bosh N.
Elementi menjëherë pas
elementi a, shënoni a."
as elementi që nuk pason menjëherë
prapa cilit element të këtij grupi. ne do
quaj një njësi.
Aksioma 2. Për çdo element a të N
ka vetëm një element a",
menjëherë pas a. Aksioma 3. Për çdo element a të N
ka më së shumti një element për
e cila ndiqet menjëherë nga një.
Aksioma 4. Çdo nëngrup i M
grupi N, ka vetitë e mëposhtme:
1) njësia i përket grupit M;
2) nga fakti që a përmbahet në M, rrjedh se
që a" përmbahet në M, atëherë M përkon me
grup N.
Përkufizimi i numrit natyror
Një bashkësi N, për elementet e të cilit vendoset relacioni"ndiq drejtpërdrejt", duke plotësuar aksiomat 1-4,
quhet bashkësia e numrave natyrorë dhe elementët e saj janë numra natyrorë.
Shtim
Përkufizimi. Mbledhja e numrave natyrorë quhetveprim algjebrik me vetitë e mëposhtme:
1) (Ɐa ∈ N) a + 1 = a",
2) (Ɐa, b ∈ N) a + b"=(a+b)".
Numri a+b quhet shuma e numrave a dhe b, dhe vetë numrat a dhe b
kushtet.
Le të biem dakord për shënimin e mëposhtëm:
1" = 2; 2" = 3; 3" = 4; 4" = 5, etj.
Vetitë e shtimit
Teorema 3. Mbledhja e numrave natyrorë ekziston dhe ajovetëm
Teorema 4. (Ɐ a, b, c ∈ N)(a + b) + c = a + (b + c)
Teorema 5. (Ɐ a, b ∈ N) a+b = b+a
Shumëzimi
Shumëzimi i numrave natyrorë quhet algjebriknjë operacion me karakteristikat e mëposhtme:
1)(Ɐ a ∈ N) a·1 =a;
2)(Ɐ a, b ∈ N) a·b" = a·b + a.
Numri a b quhet prodhim i numrave a dhe b, dhe vetë numrat a dhe
b - shumëzuesit
Vetitë e shumëzimit
Teorema 7. Shumëzimi i numrave natyrorë ekziston, dhe aivetëm.
Teorema 8. (Ɐ a, b, c ∈ N)(a + b) c = ac + b c - distributiviteti
djathtas në lidhje me shtimin.
Teorema 9. (Ɐ a, b, c ∈ N) a·(b + c) = + a·c - shpërndarja e majtë
në lidhje me shtimin.
Teorema 10. (Ɐ a, b, c ∈ N) (a b) c = a (b c) - asociativiteti
shumëzimi.
Teorema 11. (Ɐ a, b ∈ N) a·b = a·b - komutativiteti i shumëzimit
Pyetje vetë-testimi
1. A mund të formulohet aksioma 3 si më poshtë: “Për çdo elementdhe nga N ka një element të vetëm të ndjekur menjëherë nga
duhet një"?
2. Vazhdo përkufizimin e një numri natyror: “Një numër natyror
quhet element i grupit...”
3. A është e vërtetë se çdo numër natyror është marrë nga ai i mëparshmi?
duke shtuar një?
4. Cilat veti të shumëzimit mund të përdoren gjatë gjetjes
kuptimet e shprehjes:
a) 5·(10 + 4); b) 125·15·6; c) (8·379)·125?
Letërsia
Stoilova L.P.Matematika: Libër mësuesi për nxënës. më të larta ped. teksti shkollor ndërmarrjet.
M.: Qendra botuese "Akademia". 2002. - 424 f.
GOUVPO
Shteti Tula Universiteti Pedagogjik
Me emrin L.N. Tolstoy
SISTEMET NUMERIKE
Tula 2008
Sistemet numerike
Manuali është menduar për studentët e specialiteteve matematikore të një universiteti pedagogjik dhe është zhvilluar në përputhje me standardin shtetëror për kursin "Sistemet numerike". Prezantohet materiali teorik. Analizohen zgjidhjet e detyrave tipike. Janë dhënë ushtrime për zgjidhje gjatë orëve praktike.
Përpiluar nga -
Kandidat i Shkencave Fizike dhe Matematikore, Profesor i Asociuar i Departamentit të Algjebrës dhe Gjeometrisë, TSPU me emrin. L. N. Tolstoy Yu
recensues -
Kandidat i Shkencave Fizike dhe Matematikore, Profesor i Departamentit analiza matematikore TSPU me emrin. L. N. Tolstoy I. V. Denisov
Botim edukativ
Sistemet numerike
Përpiluar nga
IGNATOV Yuri Alexandrovich
© Yu. Ignatov, 2008
SISTEMET NUMERIKE
Ky kurs mbulon bazat e matematikës. Ai siguron një ndërtim të rreptë aksiomatik të sistemeve bazë numerike: natyrore, numër i plotë, racional, real, kompleks, si dhe kuaternionet. Ai bazohet në teorinë e sistemeve formale aksiomatike, e diskutuar në kursin e logjikës matematikore.
Në çdo paragraf, teoremat numërohen së pari. Nëse është e nevojshme t'i referohemi një teoreme nga një paragraf tjetër, përdoret numërimi hap pas hapi: numri i paragrafit vendoset para numrit të teoremës. Për shembull, Teorema 1.2.3 është Teorema 3 nga paragrafi 1.2.
Numrat e plotë
Teoria aksiomatike e numrave natyrorë
Teoria aksiomatike përcaktohet nga elementët e mëposhtëm:
Një grup konstantesh;
Një grup simbolesh funksionale për të treguar operacionet;
Një grup simbolesh kallëzues për të përfaqësuar marrëdhëniet;
Një listë aksiomash që lidhin elementët e mësipërm.
Për një teori formale aksiomatike, tregohen edhe rregullat e përfundimit me ndihmën e të cilave vërtetohen teoremat. Në këtë rast, të gjitha deklaratat shkruhen në formën e formulave, kuptimi i të cilave nuk ka rëndësi, dhe në këto formula bëhen shndërrime sipas rregullave të dhëna. Në një teori aksiomatike përmbajtësore, rregullat e përfundimit nuk janë të specifikuara. Provat kryhen në bazë të konstruksioneve të zakonshme logjike që marrin parasysh kuptimin e pohimeve që vërtetohen.
Ky kurs ndërton teori kuptimplote të sistemeve numerike bazë.
Kërkesa më e rëndësishme për një teori aksiomatike është konsistenca e saj. Vërtetimi i konsistencës kryhet duke ndërtuar një model të një teorie në një teori tjetër. Pastaj konsistenca e teorisë në shqyrtim reduktohet në konsistencën e teorisë në të cilën është ndërtuar modeli.
Për një sistem numrash të plotë, modeli ndërtohet brenda kornizës së një sistemi numrash natyrorë, për numrat racionalë - brenda një sistemi numrash të plotë, etj. Rezultati është një zinxhir teorish aksiomatike, në të cilën secila teori bazohet në atë të mëparshmen. Por për teorinë e parë në këtë zinxhir, përkatësisht teorinë e numrave natyrorë, nuk ka ku të ndërtohet një model. Prandaj, për një sistem numrash natyrorë është e nevojshme të ndërtohet një teori për të cilën ekzistenca e një modeli është pa dyshim, megjithëse është e pamundur të vërtetohet rreptësisht.
Teoria duhet të jetë shumë e thjeshtë. Për këtë qëllim, ne e konsiderojmë sistemin e numrave natyrorë vetëm si një mjet për numërimin e objekteve. Operacionet e lidhjeve të mbledhjes, shumëzimit dhe renditjes duhet të përcaktohen pasi të jetë ndërtuar teoria në formën e treguar.
Për nevoja të numërimit, sistemi i numrave natyrorë duhet të jetë një sekuencë në të cilën përcaktohet elementi (njësia) i parë dhe për çdo element përcaktohet ai tjetër. Në përputhje me këtë, marrim teorinë e mëposhtme.
Konstante: 1 (njësi).
Simboli i funksionit: "¢". Tregon operacionin unar "ndjekim", d.m.th A¢ - numri i mëposhtëm A. Në këtë rast, numri A thirrur e mëparshme Për A¢.
Nuk ka karaktere të veçanta kallëzuese. Përdoren relacioni i zakonshëm i barazisë dhe marrëdhëniet teorike të grupeve. Aksiomat për ta nuk do të tregohen.
Shënohet grupi në të cilin bazohet teoria N.
Aksiomat:
(N1) (" a) a¢ ¹ 1 (nuk ndjek asnjë numër).
(N2) (" a)("b) (a¢ = b¢ ® a = b) (çdo numër ka më së shumti një paraardhës).
(N3) M Í N, 1О M, ("a)(aÎ M ® a¢Î M) Þ M = N(aksioma e induksionit matematik).
Aksiomatika e mësipërme u propozua (me ndryshime të vogla) nga matematikani italian Peano në fundi i XIX shekulli.
Nuk është e vështirë të nxirren disa teorema nga aksiomat.
Teorema 1. (Metoda e induksionit matematik). Le R(n) – një kallëzues i përcaktuar në një grup N. Le të jetë e vërtetë R(1) dhe (" n)(P(n)® P(n¢)). Pastaj R(n) është një kallëzues identikisht i vërtetë mbi N.
Dëshmi. Le M– bashkësi numrash natyrorë n, per cilin R(n) është e vërtetë. Pastaj 1О M sipas kushteve të teoremës. Më pas, nëse nÎ M, Kjo P(n) e vërtetë sipas përkufizimit M, P(n¢) është e vërtetë sipas kushteve të teoremës, dhe n¢Î M a-paror M. Të gjitha premisat e aksiomës së induksionit janë të kënaqura, prandaj, M = N. Sipas përcaktimit M, do të thotë se R(n) është e vërtetë për të gjithë numrat nga N. Teorema është e vërtetuar.
Teorema 2.Çdo numër A Nr. 1 ka një paraardhës dhe vetëm një.
Dëshmi. Le M– bashkësia e numrave natyrorë që përmbajnë 1 dhe të gjithë numrat që kanë një paraardhës. Pastaj 1О M. Nëse aÎ M, Kjo a¢Î M, sepse a¢ ka një paraardhës (kushti nuk përdoret as këtu aÎ M). Pra, me aksiomën e induksionit M = N. Teorema është e vërtetuar.
Teorema 3.Çdo numër është i ndryshëm nga ai tjetër.
Ushtrimi. Pasi të keni përcaktuar numrat natyrorë 1¢ = 2, 2¢ = 3, 3¢ = 4, 4¢ = 5, 5¢ = 6, provoni se 2 ¹ 6.
Mbledhja e numrave natyrorë
Për mbledhjen e numrave natyrorë jepet përkufizimi rekurziv i mëposhtëm.
Përkufizimi. Mbledhja e numrave natyrorë është një veprim binar që zbatohet për numrat natyrorë A Dhe b përputhet me numrin a+b, që ka vetitë e mëposhtme:
(S1) A + 1 = A¢ për këdo A;
(S2) a+b¢ = ( a+b)¢ për çdo A Dhe b.
Kërkohet të vërtetohet se ky përkufizim është i saktë, domethënë ekziston një operacion që plotëson vetitë e dhëna. Kjo detyrë duket shumë e thjeshtë: mjafton të kryhet induksioni b, duke numëruar A fikse. Në këtë rast, është e nevojshme të zgjidhni një grup M vlerat b, për të cilin operacioni a+bështë përcaktuar dhe plotëson kushtet (S1) dhe (S2). Kur kryejmë një tranzicion induktiv, duhet të supozojmë se për b operacioni kryhet, dhe provoni se është kryer për b¢. Por në pronën (S2), e cila duhet të jetë e kënaqur për b, tashmë ekziston një lidhje me a+b¢. Kjo do të thotë që kjo veti supozon automatikisht ekzistencën e një operacioni për a+b¢, dhe për këtë arsye për numrat pasues: në fund të fundit, për a+b¢ prona (S2) gjithashtu duhet të plotësohet. Dikush mund të mendojë se kjo vetëm e bën problemin më të lehtë duke e bërë hapin induktiv të parëndësishëm: pohimi që provohet thjesht përsërit hipotezën induktive. Por vështirësia këtu është në provën për bazën e induksionit. Për vlerën b= 1, vetitë (S1) dhe (S2) gjithashtu duhet të plotësohen. Por vetia (S2), siç tregohet, presupozon ekzistencën e një operacioni për të gjitha vlerat pas 1. Kjo do të thotë se kontrollimi i bazës së induksionit presupozon një provë jo për një, por për të gjithë numrat, dhe induksioni humbet kuptimin e tij: baza e induksionit përkon me pohimin që vërtetohet.
Arsyetimi i mësipërm nuk do të thotë se përkufizimet rekursive janë të pasakta ose kërkojnë justifikim të kujdesshëm çdo herë. Për t'i justifikuar ato, duhet të përdorni vetitë e numrave natyrorë, të cilat po krijohen vetëm në këtë fazë. Pasi të jenë vendosur këto, mund të vërtetohet vlefshmëria e përkufizimeve rekursive. Tani për tani, le të provojmë ekzistencën e mbledhjes me induksion në A: në formulat (S1) dhe (S2) nuk ka lidhje midis shtimit për A Dhe A¢.
Teorema 1. Mbledhja e numrave natyrorë është gjithmonë e realizueshme dhe në mënyrë unike.
Dëshmi. a) Së pari vërtetojmë unike. Le ta rregullojmë A. Pastaj rezultati i operacionit a+b ka një funksion nga b. Supozoni se ka dy funksione të tilla f(b) Dhe g(b), me veti (S1) dhe (S2). Le të vërtetojmë se janë të barabartë.
Le M– grup kuptimesh b, per cilin f(b) = g(b). Sipas pronës (S1)
f(1) = A + 1 = A¢ dhe g(1) = A + 1 = A¢ do të thotë f(1) = g(1), dhe 1О M.
Lëreni tani bÎ M, kjo eshte f(b) = g(b). Sipas pronës (S2)
f(b¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= f(b)¢, g(b¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= g(b)¢ = f(b¢),
Do të thotë, b¢Î M. Me aksiomën e induksionit M = N. Unikiteti është vërtetuar.
b) Tani me induksion në A le të vërtetojmë ekzistencën e operacionit a+b. Le M– grup i atyre vlerave A, për të cilin operacioni a+b me vetitë (S1) dhe (S2) është përcaktuar për të gjithë b.
Le A= 1. Le të japim një shembull të një operacioni të tillë. Sipas përkufizimit supozojmë 1 + b == b¢. Le të tregojmë se ky operacion plotëson vetitë (S1) dhe (S2). (S1) ka formën 1 + 1 = 1¢, që korrespondon me përkufizimin. Kontrollimi (S2): 1 + b¢ =( b¢)¢ =
= (1+ b)¢, dhe (S2) është i kënaqur. Pra, 1О M.
Lëreni tani AÎ M. Le ta vërtetojmë këtë A¢Î M. Ne besojmë me përkufizim
a¢ + b = (a+ b)¢. Pastaj
a¢ + 1 = (a+ 1) ¢ = ( A¢)¢,
a¢ + b¢ = ( a+ b¢)¢ = (( a+ b)¢)¢ = ( a¢ + b)¢,
dhe vetitë (S1) dhe (S2) janë të kënaqura.
Kështu, M = N, dhe mbledhja përcaktohet për të gjithë numrat natyrorë. Teorema është e vërtetuar.
Teorema 2. Mbledhja e numrave natyrorë është asociative, d.m.th
(a+b) + c = a + (b+c).
Dëshmi. Le ta rregullojmë A Dhe b dhe të kryejë induksionin në Me. Le M- një grup i atyre numrave Me, për të cilat barazia është e vërtetë. Bazuar në vetitë (S1) dhe (S2), kemi:
(a+b) + 1 = (a+b)¢ = ( a+b¢) = një +(b+ 1) Þ 1О M.
Lëreni tani MeÎ M. Pastaj
(a+b) + c¢ = (( a+b) + c)¢ = ( një +(b + c))¢ = një +(b + c)¢ = një +(b + c¢),
Dhe c¢Î M. Sipas aksiomës (N3) M = N. Teorema është e vërtetuar.
Teorema 3. Mbledhja e numrave natyrorë është komutative, d.m.th
a + b = b + a. (1)
Dëshmi. Le ta rregullojmë A dhe të kryejë induksionin në b.
Le b= 1, domethënë është e nevojshme të vërtetohet barazia
A + 1 = 1 + A. (2)
Ne e vërtetojmë këtë barazi me induksion në A.
Në A= 1 barazia është e parëndësishme. Le të bëhet për A, le ta vërtetojmë për A¢. Ne kemi
A¢ + 1 = ( A + 1) + 1 = (1 + A) + 1 = (1 + A)¢ = 1 + A¢.
Tranzicioni induktiv është i plotë. Sipas parimit të induksionit matematik, barazia (2) është e vërtetë për të gjithë A. Kjo dëshmon pohimin e bazës së induksionit në b.
Tani le të plotësohet formula (1) për b. Le ta vërtetojmë për b¢. Ne kemi
a +b¢ = ( a +b)¢ = ( b + a)¢ = b + a¢ = b + (a + 1) = b + (1 + a) = (b + 1) + a = b¢ + a.
Duke përdorur parimin e induksionit matematik, vërtetohet teorema.
Teorema 4.a + b ¹ b.
Prova është një ushtrim.
Teorema 5. Për çdo numër A Dhe b ndodh një dhe vetëm një nga rastet e mëposhtme:
1) a = b.
2) Ka një numër k sikurse a = b + k.
3) Ka një numër l sikurse b = a + l.
Dëshmi. Nga Teorema 4 rezulton se më së shumti një nga këto raste ndodh, pasi, padyshim, rastet 1) dhe 2), si dhe 1) dhe 3), nuk mund të ndodhin njëkohësisht. Nëse rastet 2) dhe 3) kanë ndodhur njëkohësisht, atëherë a = b + k=
= (A + l) + k = A+ (l + k),
e cila përsëri bie ndesh me Teoremën 4. Le të vërtetojmë se të paktën një nga këto raste ndodh gjithmonë.
Le të zgjidhet një numër A Dhe M - shumë prej tyre b, për secilën prej të cilave, të dhëna a ndodh rasti 1), 2) ose 3).
Le b= 1. Nëse a= 1, atëherë kemi rastin 1). Nëse A¹ 1, atëherë nga teorema 1.1.2 kemi
a = k" = k + 1 = 1 + k,
domethënë kemi rastin 2) për b= 1. Pra 1 i takon M.
Le b i takon M. Atëherë rastet e mëposhtme janë të mundshme:
- A = b, Do të thotë, b" = b + 1 = A+ 1, domethënë kemi rastin 3) për b";
- A = b+k, dhe nëse k= 1, atëherë A = b+ 1 = b", pra rasti 1) zhvillohet për b";
nëse k Nr. 1, pra k = t" Dhe
a = b + t" = b + (t + 1)= b + (1+m) = (b+ 1)+ m = b¢ +m,
pra rasti 2) ndodh për b";
- b = një + l, dhe b" =(a + l)¢ = A + l¢, domethënë kemi rastin 3) për b".
Në të gjitha rastet b" i takon M. Teorema është vërtetuar.
Ushtrimi. Vërtetoni, bazuar në përkufizimin e shumës, se 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 2 = 4, 2 + 3 = 5, 2 + 4 = 3 + 3 = 6.
Shumëzimi i numrave natyrorë
Përkufizimi. Shumëzimi i numrave natyrorë është një veprim binar që zbatohet për numrat natyrorë A Dhe b përputhet me numrin ab(ose a×b), me vetitë e mëposhtme:
(P1) A×1 = A për këdo A;
(P2) ab" = ab + a për çdo A Dhe b.
Për sa i përket përkufizimit të shumëzimit, të gjitha komentet që janë bërë në paragrafin e mëparshëm në lidhje me përkufizimin e mbledhjes mbeten të vlefshme. Në veçanti, nuk është ende e qartë prej tij se ka një korrespondencë me pronat e dhëna në përkufizim. Prandaj, teorema e mëposhtme, e ngjashme me Teoremën 1.2.1, ka një rëndësi të madhe themelore.
Teorema 1. Ekziston vetëm një shumëzim i numrave natyrorë. Me fjalë të tjera, shumëzimi është gjithmonë i realizueshëm dhe i paqartë.
Prova është mjaft e ngjashme me atë të Teoremës 1.2.1 dhe ofrohet si ushtrim.
Vetitë e shumëzimit të formuluara në teoremat e mëposhtme vërtetohen lehtësisht. Vërtetimi i secilës teoremë bazohet në ato të mëparshmet.
Teorema 2.(Ligji i drejtë shpërndarës): ( a+b)c = ac + bc.
Teorema 3. Shumëzimi është komutativ: ab = ba.
Teorema 4.(Ligji i majtë shpërndarës): c(a+b)= сa + сb.
Teorema 5. Shumëzimi është shoqërues: a(p.e.s) = (ab)c.
Përkufizimi. Një semiring është një sistem ku + dhe × janë operacione binare të mbledhjes dhe shumëzimit që plotësojnë aksiomat:
(1) është një gjysmëgrup komutativ, domethënë, shtimi është komutativ dhe asociativ;
(2) – gjysmëgrupi, pra shumëzimi është asociativ;
(3) distributiviteti djathtas dhe majtas qëndron.
Nga pikëpamja algjebrike, sistemi i numrave natyrorë në lidhje me mbledhjen dhe shumëzimin formon një gjysëm.
Ushtrimi. Vërtetoni bazuar në përkufizimin e një produkti që
2×2 = 4, 2×3 = 6.
Ushtrime
Vërtetoni identitetin:
1.
1 2 + 2 2 + ... + n 2 = 
.
2. 1 3 + 2 3 + ... + n 3 = .
Gjeni shumën:
3.
.
4.
.
5.
.
6. 1x1! + 2x2! + ... + n×n!.
Vërtetoni pabarazitë:
7. n 2 < 2n для n > 4.
8. 2n < n! Për n³ 4.
9. (1 + x)n³ 1 + nx, Ku x > –1.
10. në n > 1.
11.
në n > 1.
12.
.
13.
Gjeni gabimin në vërtetimin me induksion se të gjithë numrat janë të barabartë. Ne vërtetojmë një pohim ekuivalent: në çdo grup të n numrat, të gjithë numrat janë të barabartë me njëri-tjetrin. Në n= 1 pohim është i vërtetë. Le të jetë e vërtetë për n = k, le ta vërtetojmë për n = k+ 1. Merrni një sërë arbitrare
(k+ 1) numrat. Le të heqim një numër prej tij A. Majtas k numrat, me hipotezë induktive janë të barabartë me njëri-tjetrin. Në veçanti, dy numra janë të barabartë b Dhe Me. Tani le të heqim numrin nga grupi Me dhe ndizeni A. Në grupin që rezulton ka ende k numra, që do të thotë se ata janë gjithashtu të barabartë me njëri-tjetrin. Veçanërisht, a = b. Do të thotë, a = b = c, dhe kjo eshte e gjitha ( k+ 1) numrat janë të barabartë me njëri-tjetrin. Kalimi induktiv plotësohet dhe pohimi vërtetohet.
14. Vërtetoni parimin e zgjeruar të induksionit matematik:
Le A(n) është një kallëzues në bashkësinë e numrave natyrorë. Le A(1) e vërtetë dhe nga e vërteta A(k) për të gjithë numrat k < m ndjek të vërtetën A(m). Pastaj A(n) e vërtetë për të gjithë n.
Komplete të porositura
Le të kujtojmë përkufizimet bazë që lidhen me relacionin e rendit.
Përkufizimi. Lidhja f (“sipër”) në një grup M thirrur relacioni i rendit, ose thjesht në rregull, nëse kjo lidhje është kalimtare dhe antisimetrike. Sistemi b M, fñ quhet set i porositur.
Përkufizimi. urdhër i rreptë, nëse është antirefleksiv, dhe rendit të lirë, nëse refleksiv.
Përkufizimi. Një relacion i rendit f quhet relacion rendi linear, nëse është i lidhur, d.m.th a ¹ bÞ a f bÚ b f a. Një rend që nuk është linear quhet i pjesshëm.
Përkufizimi. Le á M A– nëngrup M. Elementi T grupe A thirrur më i vogli, nëse është më pak se të gjithë elementët e tjerë të grupit A, kjo eshte
("XÎ A)(X ¹ T® X f T).
Përkufizimi. Le á M, fñ – grup i porositur, A– nëngrup M. Elementi T grupe A thirrur minimale, nëse në një grup A nuk ka asnjë element më të vogël, domethënë (" XÎ A)(X ¹ T® Ø T f X).
Elementet më të mëdha dhe maksimale përcaktohen në mënyrë të ngjashme.
Ushtrime
1. Vërtetoni se marrëdhënia kalimtare dhe antirefleksive është një relacion i rendit.
2. Vërtetoni se marrëdhënia e pjesëtueshmërisë M në bashkësinë N ekziston një lidhje e pjesshme e rendit.
3. Vërtetoni se një grup mund të ketë më së shumti një element më të madh dhe më së shumti një element më të vogël.
4. Gjeni të gjithë elementet minimale, maksimale, më të mëdha dhe më të vogla në bashkësinë (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) për relacionin e pjesëtueshmërisë.
5. Vërtetoni se nëse një grup ka një element më të vogël, atëherë ai është i vetmi minimal.
6. Në sa mënyra mund të përcaktojmë rendin linear në një grup prej tre elementësh? lineare dhe strikte? lineare dhe e dobët?
7. Le á M, fñ është një grup i renditur në mënyrë lineare. Vërtetoni se relacioni > përcaktohet nga kushti
a > b Û a f b & a¹ b
është një relacion i rendit të rreptë linear.
8. Le á M, fñ është një grup i renditur në mënyrë lineare. Vërtetoni se relacioni ³ përcaktohet nga kushti
a ³ b Û a f b Ú a= b,
është një lidhje e rendit linear jo të rreptë.
Përkufizimi. Kompleti i renditur linear b M, fñ në të cilën çdo nëngrup jo bosh ka elementin më të vogël quhet mjaft i rregullt. Relacioni f në këtë rast quhet relacion porosi e plotë.
Sipas teoremës 1.4.6, sistemi i numrave natyrorë është një bashkësi plotësisht e renditur.
Përkufizimi. Le á M Një interval i ndarë nga elementi a, i quajtur një grup R a të gjithë elementët më poshtë A dhe të ndryshme nga A, kjo eshte
R a = {x Î Mï a f x, x¹ a}.
Në veçanti, nëse Aështë elementi minimal, pra R a = Æ.
Teorema 1.(Parimi i induksionit transfinit). Le á M, fñ është një grup plotësisht i porositur dhe A Í M. Le për çdo element A nga M nga përkatësia në A të gjithë elementët e intervalit R a vijon se AÎ A. Pastaj A = M.
Dëshmi.
Le A" = M\Aështë diferenca e bashkësive-teorike e bashkësive M Dhe A. Nëse A"= Æ, atëherë A = M, dhe teorema është e vërtetë. Nëse A"¹ Æ , atëherë, që nga Mështë një komplet i porositur plotësisht, pastaj kompleti A" përmban elementin më të vogël T. Në këtë rast, të gjithë elementët e mëparshëm T dhe të ndryshme nga T, nuk bëjnë pjesë A" dhe për këtë arsye i përkasin A. Kështu, Р m Í A. Prandaj, sipas kushteve të teoremës T Î A, dhe për këtë arsye T Ï A", në kundërshtim me supozimin.
Le á A; fñ është një grup i porositur. Ne do të supozojmë se A- një grup i kufizuar. Me çdo element A grupe A le të krahasojmë një pikë T (A) të një rrafshi të caktuar në mënyrë që nëse një element A menjëherë pason elementin b, pastaj pikë T (a) do të vendoset mbi pikë T(b) dhe lidhni ato me një segment. Si rezultat, marrim një grafik që korrespondon me këtë grup të renditur.
Ushtrime
9. Le á M, fñ është një grup plotësisht i porositur, b Î ZnjÎ M. Vërtetoni se ose Pb = R s, ose Pb Ì R s, ose R s Ì Pb.
10.
Le á M, f 1 с dhe b L, f 2 ñ janë grupe të renditura plotësisht të tilla që
M Ç L=Æ .
Me bollëk M È L Le të përcaktojmë lidhjen binare f me kushtet e mëposhtme:
1) nëse a, bÎ M, Se, a f b Û a f 1 b;
2) nëse a, bÎ L, Se, a f b Û a f 2 b;
3) nëse AÎ M,bÎ L, Se, a f b.
Vërtetoni se sistemi b MÈ L, fñ është një grup plotësisht i porositur.
Semigrupe të porositura
Përkufizimi.Semigrupi quhet algjebër á A, *ñ, ku * është një operacion binar asociativ.
Përkufizimi. Semigrup á A, *ñ quhet gjysmëgrup me reduktim nëse i plotëson vetitë
a*c = b*c Þ a = b;c*a = c*b Þ a = b.
Përkufizimi.Semigrup i porositur i quajtur sistem b A, +, fñ, ku:
1) sistemi b A, +ñ – gjysmëgrupi;
2) sistemi b A, fñ – grup i porositur;
3) relacioni f është monoton në lidhje me veprimin gjysmëgrupor, d.m.th
a f b Þ a+c f b + c, c + a f c+b.
Semigrup i renditur á A, +, fñ quhen grup i porositur, nëse sistemi b A, +ñ – grup.
Në përputhje me llojet e rendit përcaktohen marrëdhëniet gjysmëgrup i renditur në mënyrë lineare, grup i renditur në mënyrë lineare, gjysmëgrup i renditur pjesërisht, gjysmëgrup i renditur rreptësisht etj.
Teorema 1. Në një gjysmëgrup të renditur á A, +, fñ pabarazitë mund të shtohen, d.m.th a f b, c f d Þ a+c f b+d.
Dëshmi. Ne kemi
a f b Þ a+c f b + c, c f d Þ b+c f b + d,
nga ku nga kalueshmëria a+c f b+d. Teorema është e vërtetuar.
Ushtrimi 1. Vërtetoni se sistemi i numrave natyrorë është një gjysmëgrup i renditur pjesërisht në lidhje me shumëzimin dhe pjesëtueshmërinë.
Është e lehtë të shihet se sistemi b N, +, >ñ – gjysmëgrup i renditur rreptësisht, b N, +, ³ñ është një gjysmëgrup i renditur jo rreptësisht. Mund të japim një shembull të renditjes së tillë të gjysmëgrupit á N, +ñ, në të cilën rendi nuk është as i rreptë as jo i rreptë.
Ushtrimi 2. Le të përcaktojmë rendin f në sistemin e numrave natyrorë si më poshtë: a f b Û a ³ b & a¹ 1. Vërtetoni se b N, +, fñ është një gjysmëgrup i renditur në të cilin rendi nuk është as i rreptë as jo i rreptë.
Shembulli 1. Le A– një bashkësi numrash natyrorë jo të barabartë me një. Le të përcaktojmë raportin f in A në mënyrën e mëposhtme:
a f b Û ($ kÎ N)(a = b+k) & b nr 3.
Vërtetoni se sistemi b A, +, fñ është një gjysmëgrup i renditur pjesërisht dhe rreptësisht.
Dëshmi. Le të kontrollojmë kalueshmërinë:
a f b, b f c Þ a = b + k, b nr. 3, b = c + l, c¹ 3 Þ a = c +(k+l), c¹ 3 Þ a f c.
Sepse a f b Þ a > b, atëherë anti-refleksiviteti është i kënaqur. Nga ushtrimi 2.1.1 rezulton se f është një relacion i rendit të rreptë. Rendi është i pjesshëm sepse elementët 3 dhe 4 nuk janë në asnjë lidhje.
Lidhja f është monotonike në lidhje me mbledhjen. Në të vërtetë, kushti a f b Þ a+c f b+c mund të shkelet vetëm kur
b+c= 3. Por shuma mund të jetë e barabartë me 3, pasi është e mundur A asnjë njësi.
Një grup prej dy elementësh nuk mund të renditet në mënyrë lineare dhe strikte. Në fakt, le të jenë 0 dhe 1 elementet e tij (0 është zeroja e grupit). Le të supozojmë se 1 > 0. Pastaj marrim 0 = 1 + 1 > 0 + 1 = 1.
Teorema 2.Çdo gjysmëgrup i anulueshëm i renditur në mënyrë lineare mund të renditet në mënyrë lineare dhe rreptësisht.
Dëshmi. Le á A, +, fñ është një gjysmëgrup i renditur. Lidhja strikte e rendit > përcaktohet si në ushtrimin 2.1.5: a > b Û a f b & a¹ b. Le të tregojmë se kushti 3) nga përkufizimi i një gjysmëgrupi të renditur është i plotësuar.
a > b Þ a f b, a¹ bÞ a+c f b+c.
Nëse a+c = b+c pastaj, duke reduktuar, marrim a = b, që bie ndesh me kushtin
A > b. Do të thotë, a+c ¹ b+c, Dhe a+c > b+c. Në mënyrë të ngjashme kontrollohet pjesa e dytë e kushtit 3), e cila vërteton teoremën.
Teorema 3. Nëse b A, +, fñ është një gjysmëgrup i renditur në mënyrë lineare dhe strikte, atëherë:
1) A + Me = b + c Û a = b Û c + a = Me + b;
2) A + Me f b + c Û A f b Û Me + a f Me + b.
Dëshmi. Le A + Me = b + c. Nëse a ¹ b, pastaj për shkak të lidhjes A f b ose
b f a. Por pastaj në përputhje me rrethanat A + Me f b+ c ose b + Me f a+ c, që bie ndesh me kushtin A + Me = b + c. Rastet e tjera trajtohen në mënyrë të ngjashme.
Pra, çdo gjysmëgrup i renditur në mënyrë lineare dhe strikte është një gjysmëgrup i anulueshëm.
Përkufizimi. Le á A, +, fñ është një gjysmëgrup i renditur. Elementi A grupe A quhet pozitiv (negativ) nëse a + a¹ A Dhe a+a f A(përkatësisht A f a + a).
Shembulli 2. Vërtetoni se një element i një gjysmëgrupi të renditur komutativ me anulim më të madh se një element pozitiv nuk është domosdoshmërisht pozitiv.
Zgjidhje. Le të përdorim shembullin 1. Kemi 2 + 2 f 2, që do të thotë 2 është një element pozitiv. 3 = 2 + 1, që do të thotë 3 f 2. Në të njëjtën kohë, relacioni 3 + 3 f 3 nuk vlen, që do të thotë 3 nuk është një element pozitiv.
Teorema 4. Shuma e elementeve pozitive të një gjysmëgrupi komutativ me anulim është pozitive.
Dëshmi. Nëse a + a f A Dhe b+b f b, pastaj nga teorema 1
a + a+ b+b f a + b Þ ( a + b)+ (a+b) f a + b.
Mbetet për të kontrolluar që ( a + b)+ (a+b)¹ a + b. Ne kemi:
b+b f b Þ a+b+b f a+b(1)
Le të pretendojmë se ( a + b)+ (a+b)=a + b. Duke zëvendësuar në (1), marrim
a+b+b f a+b+a+b Þ a f a+a.
Për shkak të antisimetrisë a = a + a. Kjo bie ndesh me faktin se elementi A pozitive.
Teorema 5. Nëse Aështë një element pozitiv i një gjysmëgrupi të renditur në mënyrë lineare dhe strikte, pastaj për cilindo b ne kemi a+b f b, b + a f b.
Dëshmi. Ne kemi a+ a f A Þ a+ a+ b f a+ b. Nëse kjo nuk është e vërtetë a+ b f b, atëherë, për shkak të linearitetit, qëndron a+b=b ose b f a+ b. Shtimi nga e majta A, marrim në përputhje me rrethanat a+ a+ b= a+ b ose a+ b f a+ a+ b. Këto kushte bien ndesh me antisimetrinë dhe rreptësinë e relacionit të rendit.
Teorema 6. Le á A, +, fñ – gjysmëgrup i renditur në mënyrë lineare dhe strikte, AÎ A Dhe A+ A¹ a. Pastaj elementet:
A, 2*A, 3*A, ...
të gjithë janë të ndryshëm. Nëse në këtë rast sistemi b A, +, fñ është një grup, atëherë të gjithë elementët janë të ndryshëm:
0, A,–A, 2*A, - 2*a, 3*a, –3*A, ...
(nën k*a, kÎ N , aÎ A, nënkupton shumën a+ …+ a, që përmban k kushtet)
Dëshmi. Nëse a + A f A, Kjo a + A + A f a + a, etj. Si rezultat, marrim zinxhirin ... f ka f… f 4 A f3 A f2 A f A. Për shkak të transititetit dhe antisimetrisë, të gjithë elementët në të janë të ndryshëm. Në një grup, zinxhiri mund të vazhdohet në drejtimin tjetër duke shtuar një element - A.
Pasoja. Një gjysmëgrup i fundëm me anulim, nëse numri i elementeve të tij është të paktën 2, nuk mund të renditet në mënyrë lineare.
Teorema 7. Le á A, +, fñ është një grup i renditur në mënyrë lineare. Pastaj
a f a Û b f b.
Prova është një ushtrim.
Kështu, çdo grup i renditur në mënyrë lineare është i renditur në mënyrë strikte ose jo strikte. Për të treguar këto rende, ne do të përdorim përkatësisht shenjat > dhe ³.
Ushtrime
3. Vërtetoni se shuma e elementeve pozitive të një gjysmëgrupi të renditur në mënyrë lineare dhe strikte është pozitive.
4. Vërtetoni se çdo element i renditur në mënyrë lineare dhe strikte i një gjysmëgrupi më i madh se një element pozitiv është në vetvete pozitiv.
5. Vërtetoni se një gjysmëgrup i renditur është i renditur në mënyrë lineare nëse dhe vetëm nëse ndonjë grup i kufizuar i elementeve të tij ka vetëm një element më të madh.
6. Vërtetoni se bashkësia e elementeve pozitive të një grupi të renditur në mënyrë lineare nuk është bosh.
7. Le á A, +, fñ është një grup i renditur në mënyrë lineare dhe strikte. Vërtetoni se elementi A sistemeve A nëse dhe vetëm nëse është pozitive nëse A > 0.
8. Vërtetoni se ekziston vetëm një rend linear dhe i rreptë në gjysmëgrupin shtesë të numrave natyrorë, në të cilin grupi i elementeve pozitive nuk është bosh.
9. Vërtetoni se gjysmëgrupi shumëzues i numrave të plotë nuk mund të renditet në mënyrë lineare.
Unaza të porositura
Përkufizimi. Sistemi b A, +, ×, fñ quhet urdhëroi semiring, Nëse
1) sistemi b A, +, ×ñ – gjysëm;
2) sistemi b A, +, fñ – gjysmëgrup i renditur me grup jo bosh A+ elemente pozitive;
3) qëndron monotonia në lidhje me shumëzimin me elemente pozitive, domethënë nëse MeÎ A+ dhe A f b, Kjo ac f p.e.s, rreth f cb.
Element pozitiv urdhëroi semiring Aështë çdo element pozitiv i një gjysmëgrupi të renditur á A, +, fñ.
Urdhërohet semiring b A, +, ×, fñ quhet unazë e porositur (fushë), nëse gjysma b A, +, ×ñ – unazë (përkatësisht fushë).
Përkufizimi. Le á A, +, ×, fñ – gjysma e renditur. Rendi f i sistemit A thirrur Arkimedi, dhe sistemi A - Urdhëroi Arkimedi, nëse, çfarëdo qofshin elementet pozitive A Dhe b sistemeve A, mund të specifikoni një numër të tillë natyror P,Çfarë na f b.
Shembulli 1. Gjysmërimi i numrave natyrorë me relacionin > (më i madh se) është një gjysmëgjysmëzim linear, rreptësisht dhe i renditur nga Arkimedi.
Për një unazë të renditur në mënyrë lineare b A, +, ×, 0, sistemi fñ b A, +, 0, fñ është një grup i renditur në mënyrë lineare. Kjo nënkupton, sipas teoremës 2.2.7, se rendi i f është ose i rreptë ose jo i rreptë. Me bollëk A mund të futni (ushtrimet 2.1.5. dhe 2.1.6) një të re rendi linear, i cili do të jetë i rreptë nëse rendi i f është jo i rreptë dhe jo i rreptë nëse rendi i f është i rreptë. Në lidhje me këtë vërejtje, në një unazë të renditur në mënyrë lineare A Zakonisht konsiderohen dy marrëdhënie të rendit binar, njëra prej të cilave, e rreptë, shënohet me shenjë >, dhe shenja e dytë, jo e rreptë, ³.
Për sa vijon, është e dobishme të kujtojmë se në një unazë të renditur në mënyrë lineare elementi Aështë pozitive nëse dhe vetëm nëse A> 0 (Ushtrimi 2.2.7).
Teorema 1. Le të sistemit b A,+,×,0,>ñ – unazë e renditur në mënyrë lineare. Pastaj për çdo element A nga A ose A = 0, ose A> 0, ose - A > 0.
Dëshmi. Për shkak të linearitetit dhe rreptësisë ndërmjet elementeve
a+ a Dhe A ekziston një dhe vetëm njëra prej marrëdhënieve a+ a>a, a+ a = a, a+ a < a. Në rastin e parë A– element pozitiv. Në të dytën i shtojmë të dyja pjesët - A dhe marrim A= 0. Në rastin e tretë, ne i shtojmë të dyja anët - a – a – a dhe marrim -a < -a-a, ku -a– element pozitiv.
Teorema 2. Shuma dhe prodhimi i elementeve pozitive të një unaze të renditur në mënyrë lineare janë pozitive.
Prova është një ushtrim.
Teorema 3. Në një unazë të renditur në mënyrë lineare, katrori i çdo elementi jozero është pozitiv.
Prova është një ushtrim.
Teorema 4. Në një fushë të renditur linearisht nëse a> 0, atëherë a –1 > 0.
Prova është një ushtrim.
Teorema 5. ( Kriteri i renditjes) . Unaza á A, +, ×, 0ñ nëse dhe vetëm atëherë mund të renditen në mënyrë lineare dhe strikte (d.m.th., të prezantohet një rend linear dhe i rreptë) nëse grupi A ka një nëngrup A+ , duke plotësuar kushtet:
1) AÎ A + Þ A¹ 0 & – AÏ A + ;
A¹ 0 Þ AÎ A + Ú – AÎ A + ;
2)a, bÎ A + Þ a+ bÎ A + & abÎ A + .
Dëshmi. Le të parë á A,+,×,0,>ñ – unazë e renditur në mënyrë lineare. Si nëngrup i dëshiruar A+ në këtë rast, në bazë të teoremave 1 dhe 2, mund të shfaqen shumë elementë pozitivë të sistemit A.
Lëreni tani A+ është një nëngrup i unazës b A,+,×,0ñ, duke plotësuar kushtet e teoremës. Le të përpiqemi të prezantojmë një rend linear > në unazën á A,+,×,0ñ. Le ta përcaktojmë këtë marrëdhënie si më poshtë:
A > b Û a – b Î A + .
Është e lehtë të kontrollohet nëse relacioni që kemi prezantuar është i lidhur, antirefleksiv, antisimetrik, kalimtar dhe monoton në lidhje me mbledhjen dhe shumëzimin me ndonjë element nga A + .
Një tufë me A+ me vetitë e përmendura në kushtet e teoremës 4 quhen pjesë pozitive e unazës á A,+,×,0ñ. Në të ardhmen, kur vendosim rendin në ndonjë unazë, do të kërkojmë "pjesën pozitive" në të. Nëse një pjesë e tillë ekziston në unazë, atëherë unaza mund të porositet nëse jo, atëherë nuk mundet nëse ka disa pjesë të tilla pozitive, atëherë mund të porositet në disa mënyra;
Nga sa më sipër rezulton se gjatë përcaktimit të një unaze të renditur në mënyrë lineare, në vend të relacionit binar >, mund të merret relacioni unar "pjesa pozitive" si relacion kryesor.
Teorema 6. ( Kriteri për veçantinë e rendit linear) . Le A+ dhe A++ – pjesë pozitive të unazës b A,+,×,0ñ. Pastaj
A + = A ++ Û A + Í A ++ .
Kërkesat për sistemin e aksiomave, aksiomat Peano. Kur ndërtohet në mënyrë aksiomatike ndonjë teori matematikore, respektohen disa rregulla: 1) disa koncepte të teorisë zgjidhen si bazë dhe pranohen pa përkufizim; 2) çdo koncepti të teorisë që nuk përfshihet në listën e atyre themelore i jepet një përkufizim. Ai shpjegon kuptimin e tij me ndihmën e kryesores dhe të mëparshme konceptet e dhëna. 3) formulohen aksiomat, pra pohimet që në një teori të caktuar pranohen pa prova. Aksiomat zbulojnë vetitë e koncepteve bazë. 4) çdo propozim i teorisë që nuk përfshihet në listën e aksiomave duhet të vërtetohet. Pohime të tilla quhen teorema. Ato vërtetohen në bazë të aksiomave dhe teoremave që i paraprijnë kësaj.
QE. metoda aksiomatike e ndërtimit të një teorie matematikore kalon në disa faza: 1) prezantimi i koncepteve bazë të papërcaktuara (p.sh.: grupi, elementi i grupit në teorinë e grupeve). 2) futja e marrëdhënieve bazë (p.sh.: relacioni i anëtarësimit në teorinë e grupeve). 3) duke treguar konceptet themelore dhe marrëdhëniet themelore, futet përkufizimi i koncepteve dhe marrëdhënieve të tjera (për shembull: në teorinë e grupeve, konceptet e bashkimit, kryqëzimit, ndryshimit, plotësimit).
Në ndërtimin aksiomatik të një teorie, të gjitha pohimet rrjedhin nga prova nga aksiomat. Baza e një teorie të tillë është një sistem aksiomash, dhe për sistemin e aksiomave vendosen kërkesa të veçanta: 1) sistemi i aksiomave duhet të jetë konsistent. Një sistem aksiomash quhet konsistent nëse dy propozime reciprokisht përjashtuese nuk mund të nxirren logjikisht prej tij. Me fjalë të tjera, është e pamundur të nxirret një pohim dhe mohimi i një deklarate të caktuar në mënyrë që ato të jenë njëkohësisht të vërteta. Për të verifikuar konsistencën e sistemit të aksiomave, mjafton të ndërtohet një model i këtij sistemi. 2) sistemi i aksiomave duhet të jetë i pavarur. Një sistem aksiomash quhet i pavarur nëse asnjë nga aksiomat e këtij sistemi nuk është pasojë e aksiomave të tjera. Me fjalë të tjera, çdo aksiomë e këtij sistemi nuk mund të nxirret nga aksiomat e tjera. Për të vërtetuar pavarësinë e një sistemi aksiomash, mjafton të ndërtohet një model i këtij sistemi. 3) sistemi i aksiomave duhet të jetë i plotë, d.m.th. numri i aksiomave të zgjedhura në një teori të caktuar duhet të jetë i mjaftueshëm për të prezantuar koncepte, marrëdhënie të reja, për të vërtetuar teorema dhe për të ndërtuar të gjithë teorinë.
Kur ndërtoni në mënyrë aksiomatike të njëjtën teori, mund të përdorni sisteme të ndryshme aksiomash, por ato duhet të jenë ekuivalente. Relacioni “ndikim drejtpërdrejt” merret si koncept bazë në ndërtimin aksiomatik të një sistemi numrash natyrorë. Konceptet e "bashkësisë", "elementit të një grupi" dhe një rregulli logjik konsiderohen gjithashtu të njohura. Elementi menjëherë pas elementit a caktohet a - kryesor.
Thelbi i marrëdhënies "ndjek drejtpërdrejt" zbulohet në aksiomat e mëposhtme: 1) në bashkësinë e numrave natyrorë ekziston një element që nuk ndjek drejtpërdrejt asnjë element të kësaj bashkësie, këtë element 1 (një). 2) për çdo element a nga bashkësia e numrave natyrorë (N) ekziston një element unik a? , menjëherë pas a. 3) për çdo element a të N, ka më së shumti një element i ndjekur menjëherë nga a. 4) çdo nënbashkësi M e bashkësisë N që ka vetitë: 1 M, dhe nga fakti që a gjendet në M, çfarë është a? që përmbahet në M, përkon me grupin N.
Sistemet e listuara të aksiomave quhen aksioma Peano. QE. bashkësia e numrave për të cilat vendoset relacioni menjëherë pasardhës, që plotëson aksiomat e Peanos, quhet bashkësia e numrave natyrorë dhe elementi i tij quhet numër natyror. Aksioma e katërt përshkruan pafundësinë e serisë natyrore të numrave dhe quhet aksioma e induksionit. Mbi bazën e tij, kryhet një vërtetim i pohimeve të ndryshme duke përdorur metodën e induksionit matematik, e cila është si më poshtë: për të vërtetuar se një pohim i dhënë është i vërtetë për çdo numër natyror, është e nevojshme: 1) të vërtetohet se ky pohim është i vërtetë për një, 2) nga pohimi se pohimi është i vërtetë për një numër arbitrar k, provoni se është i vërtetë për numrin tjetër k?.
Përkufizimi i grupit N nuk thotë asgjë për natyrën e këtij grupi, që do të thotë se mund të jetë çdo gjë. Duke zgjedhur si bashkësi N çdo grup mbi të cilin jepet relacioni për të ndjekur menjëherë dhe duke përmbushur aksiomat Peano, marrim një model të këtij sistemi aksiomash. Një korrespondencë një-për-një mund të krijohet midis të gjitha modeleve të tilla. Këto modele do të ndryshojnë vetëm në natyrën e elementeve, emrit dhe përcaktimit. Nr.: 1, 2, 3, 4, 5… 0,00,000,0000,00000,… Ѕ, 1/3, ј, 1/5,
