Metodat e Zhvillimit

Prodhimi i numrave me fuqi të ndryshme. Shkalla dhe vetitë e saj. Një udhëzues shterues (2020). Vetitë themelore të shkallëve me eksponentë irracionalë

Në artikullin e mëparshëm, ne folëm se çfarë janë monomet. Në këtë material, ne do të analizojmë se si të zgjidhim shembuj dhe probleme në të cilat ato përdoren. Këtu do të konsiderojmë veprime të tilla si zbritja, mbledhja, shumëzimi, pjesëtimi i monomëve dhe ngritja e tyre në një fuqi me një eksponent natyror. Ne do të tregojmë se si përcaktohen operacione të tilla, do të tregojmë rregullat themelore për zbatimin e tyre dhe cili duhet të jetë rezultati. Të gjitha dispozitat teorike, si zakonisht, do të ilustrohen me shembuj të problemeve me përshkrime të zgjidhjeve.

Është më e përshtatshme të punohet me shënimin standard të monomëve, prandaj, ne paraqesim të gjitha shprehjet që do të përdoren në artikull në një formë standarde. Nëse fillimisht janë vendosur ndryshe, rekomandohet që fillimisht t'i sillni ato në një formë të pranuar përgjithësisht.

Rregullat për mbledhjen dhe zbritjen e monomëve

Veprimet më të thjeshta që mund të kryhen me monomë janë zbritja dhe mbledhja. Në rastin e përgjithshëm, rezultati i këtyre veprimeve do të jetë një polinom (një monom është i mundur në disa raste të veçanta).

Kur mbledhim ose zbresim monomë, fillimisht shkruajmë shumën dhe ndryshimin përkatës në formën e pranuar përgjithësisht, pas së cilës thjeshtojmë shprehjen që rezulton. Nëse ka terma të ngjashëm, ato duhet të jepen, kllapat duhet të hapen. Le të shpjegojmë me një shembull.

Shembulli 1

Kushti: shtoni monomët − 3 · x dhe 2, 72 · x 3 · y 5 · z.

Zgjidhje

Le të shkruajmë shumën e shprehjeve origjinale. Shtoni kllapa dhe vendosni një shenjë plus midis tyre. Ne do të marrim sa vijon:

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

Kur zgjerojmë kllapat, marrim - 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z. Ky është një polinom, i shkruar në formë standarde, i cili do të jetë rezultat i shtimit të këtyre monomëve.

Përgjigje:(− 3 x) + (2, 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z.

Nëse kemi tre, katër ose më shumë terma të dhënë, ne e kryejmë këtë veprim në të njëjtën mënyrë.

Shembulli 2

Kushti: kryejnë veprimet e dhëna me polinome sipas rendit të duhur

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Zgjidhje

Le të fillojmë duke hapur kllapat.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Ne shohim se shprehja që rezulton mund të thjeshtohet duke reduktuar termat e ngjashëm:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 ac + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 ac + 4 9

Kemi një polinom, i cili do të jetë rezultat i këtij veprimi.

Përgjigje: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Në parim, mund të kryejmë mbledhjen dhe zbritjen e dy monomëve, me disa kufizime, në mënyrë që të përfundojmë me një monom. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të respektohen disa kushte në lidhje me termat dhe monomët e zbritur. Ne do të përshkruajmë se si bëhet kjo në një artikull të veçantë.

Rregullat për shumëzimin e monomëve

Veprimi i shumëzimit nuk vendos asnjë kufizim për shumëzuesit. Monomët që do të shumëzohen nuk duhet të plotësojnë asnjë kusht shtesë në mënyrë që rezultati të jetë monom.

Për të kryer shumëzimin e monomëve, duhet të kryeni hapat e mëposhtëm:

Regjistroni saktë pjesën.
Zgjeroni kllapat në shprehjen që rezulton.
Gruponi, nëse është e mundur, faktorët me të njëjtat variabla dhe faktorët numerikë veç e veç.
Kryeni veprimet e nevojshme me numra dhe zbatoni vetinë e shumëzimit të fuqive me baza të njëjta për faktorët e mbetur.

Le të shohim se si bëhet kjo në praktikë.

Shembulli 3

Kushti: shumëzojmë monomët 2 · x 4 · y · z dhe - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .

Zgjidhje

Le të fillojmë me përbërjen e veprës.

Duke hapur kllapat në të dhe marrim sa vijon:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Gjithçka që duhet të bëjmë është të shumëzojmë numrat në kllapat e para dhe të aplikojmë vetinë e fuqisë në të dytën. Si rezultat, marrim sa vijon:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

Përgjigje: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

Nëse kemi tre ose më shumë polinome në kusht, i shumëzojmë duke përdorur saktësisht të njëjtin algoritëm. Çështjen e shumëzimit të monomëve do ta shqyrtojmë më në detaje në një material të veçantë.

Rregullat për ngritjen e një monomi në fuqi

Ne e dimë se prodhimi i një numri të caktuar faktorësh identikë quhet një shkallë me një eksponent natyror. Numri i tyre tregohet nga numri në indeks. Sipas këtij përkufizimi, ngritja e një monomi në një fuqi është e barabartë me shumëzimin e numrit të treguar të monomëve identikë. Le të shohim se si është bërë.

Shembulli 4

Kushti: Ngrini monomin − 2 · a · b 4 në fuqinë 3 .

Zgjidhje

Mund të zëvendësojmë fuqizimin me shumëzim të 3 monomëve − 2 · a · b 4 . Le të shkruajmë dhe të marrim përgjigjen e dëshiruar:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (aaa) (b 4 b 4 b 4) = − 8 a 3 b 12

Përgjigje:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .

Por çfarë ndodh kur diploma ka një eksponent të madh? Regjistrimi i një numri të madh të shumëzuesve është i papërshtatshëm. Pastaj, për të zgjidhur një problem të tillë, duhet të zbatojmë vetitë e shkallës, përkatësisht vetinë e shkallës së produktit dhe vetinë e shkallës në shkallë.

Le ta zgjidhim problemin që përmendëm më lart në mënyrën e treguar.

Shembulli 5

Kushti: ngre − 2 · a · b 4 në fuqinë e tretë.

Zgjidhje

Duke ditur veçorinë e gradës në shkallë, mund të vazhdojmë në një shprehje të formës së mëposhtme:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .

Pas kësaj, ne e ngremë në fuqi - 2 dhe zbatojmë vetinë e eksponentit:

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .

Përgjigje:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

Ne gjithashtu i kushtuam një artikull të veçantë ngritjes së një monomi në një pushtet.

Rregullat për ndarjen e monomëve

Veprimi i fundit me monomë që do të analizojmë në këtë material është ndarja e një monomi me një monom. Si rezultat, duhet të marrim një thyesë racionale (algjebrike) (në disa raste, është e mundur të merret një monom). Le të sqarojmë menjëherë se pjesëtimi me monom zero nuk është i përcaktuar, pasi pjesëtimi me 0 nuk është i përcaktuar.

Për të kryer ndarjen, duhet të shkruajmë monomët e treguar në formën e një thyese dhe ta zvogëlojmë atë, nëse është e mundur.

Shembulli 6

Kushti: pjesëtojeni monomin − 9 x 4 y 3 z 7 me − 6 p 3 t 5 x 2 y 2 .

Zgjidhje

Le të fillojmë duke i shkruar monomët në formën e një thyese.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

Ky fraksion mund të reduktohet. Pasi ta bëjmë këtë, marrim:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

Përgjigje:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

Kushtet në të cilat, si rezultat i ndarjes së monomëve, marrim një monom jepen në një artikull të veçantë.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Formulat e fuqisë përdoret në procesin e zvogëlimit dhe thjeshtimit të shprehjeve komplekse, në zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive.

Numri c eshte nje n-fuqia e një numri a kur:

Operacionet me gradë.

1. Duke shumëzuar shkallët me të njëjtën bazë, treguesit e tyre mblidhen:

jama n = a m + n .

2. Në ndarjen e shkallëve me bazë të njëjtë zbriten treguesit e tyre:

3. Shkalla e prodhimit të 2 ose më shumë faktorëve është e barabartë me prodhimin e shkallëve të këtyre faktorëve:

(abc…) n = a n b n c n…

4. Shkalla e një thyese është e barabartë me raportin e shkallëve të dividendit dhe pjesëtuesit:

(a/b) n = a n / b n .

5. Duke ngritur një fuqi në një fuqi, eksponentët shumëzohen:

(am) n = a m n .

Çdo formulë e mësipërme është e saktë në drejtimet nga e majta në të djathtë dhe anasjelltas.

Për shembull. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacionet me rrënjë.

1. Rrënja e prodhimit të disa faktorëve është e barabartë me produktin e rrënjëve të këtyre faktorëve:

2. Rrënja e raportit është e barabartë me raportin e dividendit dhe pjesëtuesit të rrënjëve:

3. Kur ngrihet një rrënjë në një fuqi, mjafton të ngrihet numri i rrënjës në këtë fuqi:

4. Nëse e rrisim shkallën e rrënjës në n një herë dhe në të njëjtën kohë ngrit në n fuqia është një numër rrënjë, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë:

5. Nëse e ulim shkallën e rrënjës në n rrënjë në të njëjtën kohë n shkalla e th nga numri radikal, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë:

Shkallë me një eksponent negativ. Shkalla e një numri të caktuar me një eksponent jopozitiv (numër i plotë) përcaktohet si një pjesëtuar me shkallën e të njëjtit numër me një eksponent të barabartë me vlerën absolute të eksponentit jopozitiv:

Formula jam:a n = a m - n mund të përdoret jo vetëm për m> n, por edhe në m< n.

Për shembull. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Në formulë jam:a n = a m - n u bë e drejtë në m=n, keni nevojë për praninë e shkallës zero.

Shkallë me eksponent zero. Fuqia e çdo numri jozero me një eksponent zero është e barabartë me një.

Për shembull. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Shkallë me një eksponent thyesor. Për të ngritur një numër real por deri në një shkallë m/n, ju duhet të nxirrni rrënjën n shkalla e m fuqia e këtij numri por.

Koncepti i një diplome në matematikë është futur që në klasën e 7-të në një mësim algjebër. Dhe në të ardhmen, gjatë gjithë kursit të studimit të matematikës, ky koncept përdoret në mënyrë aktive në format e tij të ndryshme. Diplomat janë një temë mjaft e vështirë, që kërkon memorizimin e vlerave dhe aftësinë për të numëruar saktë dhe shpejt. Për punë më të shpejtë dhe më të mirë me diplomat e matematikës, ata dolën me vetitë e një diplome. Ato ndihmojnë për të reduktuar llogaritjet e mëdha, për të kthyer në një farë mase një shembull të madh në një numër të vetëm. Nuk ka aq shumë prona, dhe të gjitha ato janë të lehta për t'u mbajtur mend dhe zbatuar në praktikë. Prandaj, artikulli diskuton vetitë kryesore të diplomës, si dhe vendin ku ato aplikohen.

vetitë e shkallës

Ne do të shqyrtojmë 12 veti të një shkalle, duke përfshirë vetitë e fuqive me të njëjtën bazë, dhe do të japim një shembull për secilën pronë. Secila prej këtyre veçorive do t'ju ndihmojë të zgjidhni problemet me gradë më shpejt, si dhe do t'ju shpëtojë nga gabimet e shumta llogaritëse.

Prona e 1-rë.

Shumë njerëz shpesh e harrojnë këtë pronë, bëjnë gabime, duke përfaqësuar një numër në shkallën zero si zero.

Prona e dytë.

Prona e 3-të.

Duhet mbajtur mend se kjo veti mund të përdoret vetëm kur shumëzohen numrat, nuk funksionon me shumën! Dhe nuk duhet të harrojmë se kjo dhe vetitë e mëposhtme vlejnë vetëm për fuqitë me të njëjtën bazë.

Prona e 4-të.

Nëse numri në emërues rritet në një fuqi negative, atëherë kur zbritet, shkalla e emëruesit merret në kllapa për të zëvendësuar saktë shenjën në llogaritjet e mëtejshme.

Prona funksionon vetëm kur pjesëtohet, jo kur zbritet!

Prona e 5-të.

Prona e 6-të.

Kjo veti mund të zbatohet edhe në të kundërt. Një njësi e ndarë me një numër në një farë mase është ai numër në një fuqi negative.

Prona e 7-të.

Kjo pronë nuk mund të zbatohet për shumën dhe diferencën! Kur rritet një shumë ose diferencë në një fuqi, përdoren formulat e shkurtuara të shumëzimit, jo vetitë e fuqisë.

Prona e 8-të.

Prona e 9-të.

Kjo veti funksionon për çdo shkallë thyesore me numërues të barabartë me një, formula do të jetë e njëjtë, vetëm shkalla e rrënjës do të ndryshojë në varësi të emëruesit të shkallës.

Gjithashtu, kjo pronë shpesh përdoret në rend të kundërt. Rrënja e çdo fuqie të një numri mund të përfaqësohet si ai numër në fuqinë e një të ndarë me fuqinë e rrënjës. Kjo veti është shumë e dobishme në rastet kur rrënja e numrit nuk nxirret.

Prona e 10-të.

Kjo pronë funksionon jo vetëm me rrënjën katrore dhe shkallën e dytë. Nëse shkalla e rrënjës dhe shkalla në të cilën është ngritur kjo rrënjë janë të njëjta, atëherë përgjigja do të jetë një shprehje radikale.

Prona e 11-të.

Ju duhet të jeni në gjendje ta shihni këtë pronë në kohë kur e zgjidhni atë në mënyrë që të shpëtoni nga llogaritjet e mëdha.

Prona e 12-të.

Secila prej këtyre veçorive do t'ju takojë më shumë se një herë në detyra, mund të jepet në formën e saj të pastër ose mund të kërkojë disa transformime dhe përdorimin e formulave të tjera. Prandaj, për zgjidhjen e saktë nuk mjafton të njihni vetëm vetitë, duhet të praktikoni dhe lidhni pjesën tjetër të njohurive matematikore.

Zbatimi i gradave dhe vetive të tyre

Ato përdoren në mënyrë aktive në algjebër dhe gjeometri. Diplomat në matematikë kanë një vend të veçantë, të rëndësishëm. Me ndihmën e tyre, zgjidhen ekuacionet eksponenciale dhe pabarazitë, si dhe fuqitë shpesh ndërlikojnë ekuacionet dhe shembujt që lidhen me seksionet e tjera të matematikës. Eksponentët ndihmojnë për të shmangur llogaritjet e mëdha dhe të gjata, është më e lehtë të zvogëlohen dhe llogariten eksponentët. Por për të punuar me fuqi të mëdha, ose me fuqi të numrave të mëdhenj, duhet të dini jo vetëm vetitë e shkallës, por edhe të punoni me kompetencë me bazat, të jeni në gjendje t'i zbërtheni ato në mënyrë që ta lehtësoni detyrën tuaj. Për lehtësi, duhet të dini gjithashtu kuptimin e numrave të ngritur në një fuqi. Kjo do të zvogëlojë kohën tuaj në zgjidhje duke eliminuar nevojën për llogaritje të gjata.

Koncepti i shkallës luan një rol të veçantë në logaritme. Meqenëse logaritmi, në thelb, është fuqia e një numri.

Formulat e shkurtuara të shumëzimit janë një shembull tjetër i përdorimit të fuqive. Ata nuk mund të përdorin vetitë e shkallëve, ato zbërthehen sipas rregullave të veçanta, por në secilën formulë të shkurtuar të shumëzimit ka pa ndryshim shkallë.

Diplomat përdoren gjithashtu në mënyrë aktive në fizikë dhe shkenca kompjuterike. Të gjitha përkthimet në sistemin SI bëhen duke përdorur shkallë, dhe në të ardhmen, kur zgjidhen problemet, zbatohen vetitë e shkallës. Në shkencën kompjuterike, fuqitë e dy përdoren në mënyrë aktive, për lehtësinë e numërimit dhe thjeshtimin e perceptimit të numrave. Llogaritjet e mëtejshme për shndërrimet e njësive matëse ose llogaritjet e problemeve, ashtu si në fizikë, ndodhin duke përdorur vetitë e shkallës.

Diplomat janë gjithashtu shumë të dobishme në astronomi, ku rrallë mund të gjesh përdorimin e vetive të një diplome, por vetë gradët përdoren në mënyrë aktive për të shkurtuar regjistrimin e sasive dhe distancave të ndryshme.

Diplomat përdoren gjithashtu në jetën e përditshme, kur llogariten sipërfaqet, vëllimet, distancat.

Me ndihmën e gradave, shkruhen vlera shumë të mëdha dhe shumë të vogla në çdo fushë të shkencës.

ekuacionet eksponenciale dhe pabarazitë

Vetitë e shkallës zënë një vend të veçantë pikërisht në ekuacionet dhe pabarazitë eksponenciale. Këto detyra janë shumë të zakonshme, si në kursin e shkollës ashtu edhe në provime. Të gjitha zgjidhen duke zbatuar vetitë e gradës. E panjohura është gjithmonë në vetë shkallën, prandaj, duke ditur të gjitha vetitë, nuk do të jetë e vështirë të zgjidhet një ekuacion ose pabarazi e tillë.

Nëse nuk i kushtojmë vëmendje shkallës së tetë, çfarë shohim këtu? Le t'i hedhim një sy programit të klasës së 7-të. Pra, mbani mend? Kjo është formula e shkurtuar e shumëzimit, përkatësisht ndryshimi i katrorëve! Ne marrim:

Ne e shikojmë me kujdes emëruesin. Duket shumë si një nga faktorët numërues, por çfarë nuk shkon? Rendi i gabuar i termave. Nëse ato shkëmbeheshin, rregulli mund të zbatohej.

Por si ta bëjmë këtë? Rezulton se është shumë e lehtë: shkalla çift e emëruesit na ndihmon këtu.

Termat kanë ndryshuar në mënyrë magjike vende. Ky "dukuri" vlen për çdo shprehje në një shkallë të barabartë: ne mund t'i ndryshojmë lirisht shenjat në kllapa.

Por është e rëndësishme të mbani mend: të gjitha shenjat ndryshojnë në të njëjtën kohë!

Le të kthehemi te shembulli:

Dhe përsëri formula:

e tërë emërtojmë numrat natyrorë, të kundërtat e tyre (pra të marra me shenjën "") dhe numrin.

numër i plotë pozitiv, dhe nuk ndryshon nga natyralja, atëherë gjithçka duket tamam si në pjesën e mëparshme.

Tani le të shohim rastet e reja. Le të fillojmë me një tregues të barabartë me.

Çdo numër në fuqinë zero është i barabartë me një:

Si gjithmonë, ne pyesim veten: pse është kështu?

Konsideroni pak fuqi me një bazë. Merrni, për shembull, dhe shumëzoni me:

Pra, ne e shumëzuam numrin me, dhe morëm të njëjtën gjë siç ishte -. Me cilin numër duhet të shumëzohet në mënyrë që asgjë të mos ndryshojë? Kjo është e drejtë, në. Do të thotë.

Ne mund të bëjmë të njëjtën gjë me një numër arbitrar:

Le të përsërisim rregullin:

Çdo numër në fuqinë zero është i barabartë me një.

Por ka përjashtime nga shumë rregulla. Dhe këtu është gjithashtu atje - ky është një numër (si bazë).

Nga njëra anë, ajo duhet të jetë e barabartë me çdo shkallë - pa marrë parasysh sa shumëzoni zeron me vetveten, ju prapë merrni zero, kjo është e qartë. Por nga ana tjetër, si çdo numër në shkallën zero, ai duhet të jetë i barabartë. Pra, cila është e vërteta e kësaj? Matematikanët vendosën të mos përfshiheshin dhe refuzuan të ngrinin zeron në fuqinë zero. Kjo do të thotë, tani jo vetëm që mund ta ndajmë me zero, por edhe ta ngremë atë në fuqinë zero.

Le të shkojmë më tej. Përveç numrave natyrorë dhe numrave, numrat e plotë përfshijnë numra negativë. Për të kuptuar se çfarë është një shkallë negative, le të bëjmë njësoj si herën e kaluar: shumëzojmë një numër normal me të njëjtin në një shkallë negative:

Nga këtu tashmë është e lehtë të shprehësh dëshirën:

Tani ne e zgjerojmë rregullin që rezulton në një shkallë arbitrare:

Pra, le të formulojmë rregullin:

Një numër në një fuqi negative është inversi i të njëjtit numër ndaj një fuqie pozitive. Por në të njëjtën kohë baza nuk mund të jetë nule:(sepse është e pamundur të ndahet).

Le të përmbledhim:

I. Shprehja nuk përcaktohet në rast. Nese atehere.

II. Çdo numër në fuqinë zero është i barabartë me një: .

III. Një numër që nuk është i barabartë me zero për një fuqi negative është e anasjellta e të njëjtit numër me një fuqi pozitive: .

Detyrat për zgjidhje të pavarur:

Epo, si zakonisht, shembuj për një zgjidhje të pavarur:

Analiza e detyrave për zgjidhje të pavarur:

E di, e di, numrat janë të frikshëm, por në provim duhet të jesh gati për gjithçka! Zgjidhini këta shembuj ose analizoni zgjidhjen e tyre nëse nuk keni mundur t'i zgjidhni dhe do të mësoni se si t'i trajtoni lehtësisht në provim!

Le të vazhdojmë të zgjerojmë gamën e numrave "të përshtatshëm" si një eksponent.

Tani merrni parasysh numrat racionalë. Cilët numra quhen racionalë?

Përgjigje: gjithçka që mund të përfaqësohet si thyesë, ku dhe janë numra të plotë, për më tepër.

Për të kuptuar se çfarë është "shkalla e pjesshme" Le të shqyrtojmë një thyesë:

Le t'i ngremë të dyja anët e ekuacionit në një fuqi:

Tani mbani mend rregullin "gradë në shkallë":

Çfarë numri duhet të rritet në një fuqi për të marrë?

Ky formulim është përkufizimi i rrënjës së shkallës së th.

Më lejoni t'ju kujtoj: rrënja e fuqisë së th të një numri () është një numër që, kur ngrihet në një fuqi, është i barabartë.

Domethënë, rrënja e shkallës së th është veprimi i anasjelltë i fuqisë: .

Rezulton se. Natyrisht, ky rast i veçantë mund të zgjerohet: .

Tani shtoni numëruesin: çfarë është? Përgjigja është e lehtë për t'u marrë me rregullin fuqi-për-pushtet:

Por a mund të jetë baza ndonjë numër? Në fund të fundit, rrënja nuk mund të nxirret nga të gjithë numrat.

Asnje!

Mbani mend rregullin: çdo numër i ngritur në një fuqi çift është një numër pozitiv. Kjo do të thotë, është e pamundur të nxirren rrënjë të një shkalle çift nga numrat negativë!

Dhe kjo do të thotë që numra të tillë nuk mund të ngrihen në një fuqi thyesore me një emërues çift, domethënë, shprehja nuk ka kuptim.

Po shprehja?

Por këtu lind një problem.

Numri mund të përfaqësohet si thyesa të tjera, të reduktuara, për shembull, ose.

Dhe rezulton se ekziston, por nuk ekziston, dhe këto janë vetëm dy rekorde të ndryshme të të njëjtit numër.

Ose një shembull tjetër: një herë, atëherë mund ta shkruani. Por sapo e shkruajmë treguesin në një mënyrë tjetër, përsëri kemi telashe: (d.m.th., kemi marrë një rezultat krejtësisht të ndryshëm!).

Për të shmangur paradokse të tilla, merrni parasysh vetëm eksponent bazë pozitiv me eksponent thyesor.

Keshtu nese:

- numri natyror;
është një numër i plotë;

Shembuj:

Fuqitë me një eksponent racional janë shumë të dobishme për transformimin e shprehjeve me rrënjë, për shembull:

5 shembuj praktike

Analiza e 5 shembujve për trajnim

1. Mos harroni për vetitë e zakonshme të gradave:

2. . Këtu kujtojmë se kemi harruar të mësojmë tabelën e gradave:

në fund të fundit - kjo ose. Zgjidhja gjendet automatikisht: .

Epo, tani - më e vështira. Tani do të analizojmë shkallë me një eksponent irracional.

Të gjitha rregullat dhe vetitë e shkallëve këtu janë saktësisht të njëjta si për shkallët me një eksponent racional, me përjashtim të

Në të vërtetë, sipas përkufizimit, numrat irracionalë janë numra që nuk mund të paraqiten si thyesë, ku dhe janë numra të plotë (d.m.th., numrat irracionalë janë të gjithë numra realë përveç atyre racionalë).

Kur studiojmë diploma me një tregues natyror, numër të plotë dhe racional, çdo herë kemi krijuar një "imazh", "analogji" ose përshkrim të caktuar në terma më të njohur.

Për shembull, një eksponent natyror është një numër i shumëzuar në vetvete disa herë;

...fuqi zero- ky është, si të thuash, një numër i shumëzuar në vetvete një herë, domethënë nuk ka filluar ende të shumëzohet, që do të thotë se vetë numri as nuk është shfaqur akoma - prandaj, rezultati është vetëm një "përgatitje e caktuar e një numër”, përkatësisht një numër;

...eksponent negativ i numrit të plotë- është sikur të ketë ndodhur një "proces i kundërt" i caktuar, domethënë, numri nuk është shumëzuar në vetvete, por është ndarë.

Nga rruga, në shkencë, shpesh përdoret një shkallë me një eksponent kompleks, domethënë, një eksponent nuk është as një numër real.

Por në shkollë, ne nuk mendojmë për vështirësi të tilla; ju do të keni mundësinë t'i kuptoni këto koncepte të reja në institut.

KU JEMI SIGURT DO TË SHKONI! (nëse mësoni si të zgjidhni shembuj të tillë :))

Për shembull:

Vendosni vetë:

Analiza e zgjidhjeve:

1. Le të fillojmë me rregullin tashmë të zakonshëm për ngritjen e një diplome në një shkallë:

Tani shikoni rezultatin. A ju kujton ai ndonjë gjë? Kujtojmë formulën për shumëzimin e shkurtuar të ndryshimit të katrorëve:

Në këtë rast,

Rezulton se:

Përgjigje: .

2. I sjellim thyesat në eksponentë në të njëjtën formë: ose të dyja dhjetore ose të dyja të zakonshme. Ne marrim, për shembull:

Përgjigje: 16

3. Asgjë e veçantë, ne aplikojmë vetitë e zakonshme të gradave:

NIVELI I AVANCUAR

Përkufizimi i gradës

Shkalla është një shprehje e formës: , ku:

— baza e shkallës;
- eksponent.

Shkalla me eksponent natyror (n = 1, 2, 3,...)

Ngritja e një numri në fuqinë natyrore n do të thotë të shumëzosh numrin me vetveten herë:

Fuqia me eksponent numër të plotë (0, ±1, ±2,...)

Nëse eksponenti është numër i plotë pozitiv numri:

ereksioni në fuqi zero:

Shprehja është e pacaktuar, sepse, nga njëra anë, në çdo shkallë është kjo, dhe nga ana tjetër, çdo numër në shkallën e th është ky.

Nëse eksponenti është numër i plotë negativ numri:

(sepse është e pamundur të ndahet).

Edhe një herë për null: shprehja nuk është e përcaktuar në rast. Nese atehere.

Shembuj:

Shkallë me eksponent racional

- numri natyror;
është një numër i plotë;

Shembuj:

Karakteristikat e diplomës

Për ta bërë më të lehtë zgjidhjen e problemeve, le të përpiqemi të kuptojmë: nga erdhën këto prona? Le t'i vërtetojmë ato.

Le të shohim: çfarë është dhe?

Sipas përkufizimit:

Pra, në anën e djathtë të kësaj shprehjeje, merret produkti i mëposhtëm:

Por sipas përkufizimit, kjo është një fuqi e një numri me një eksponent, që është:

Q.E.D.

Shembull : Thjeshtoni shprehjen.

Zgjidhje : .

Shembull : Thjeshtoni shprehjen.

Zgjidhje : Është e rëndësishme të theksohet se në rregullin tonë detyrimisht duhet të ketë të njëjtën bazë. Prandaj, ne kombinojmë shkallët me bazën, por mbesim një faktor më vete:

Një tjetër shënim i rëndësishëm: ky rregull - vetëm për produktet e fuqive!

Në asnjë rrethanë nuk duhet ta shkruaj atë.

Ashtu si me pronën e mëparshme, le të kthehemi te përkufizimi i shkallës:

Le ta riorganizojmë kështu:

Rezulton se shprehja shumëzohet në vetvete një herë, domethënë, sipas përkufizimit, kjo është fuqia --të e numrit:

Në fakt, kjo mund të quhet "kllapa e treguesit". Por këtë nuk mund ta bëni kurrë në total:!

Le të kujtojmë formulat për shumëzimin e shkurtuar: sa herë kemi dashur të shkruajmë? Por kjo nuk është e vërtetë, me të vërtetë.

Fuqia me bazë negative.

Deri në këtë pikë, ne kemi diskutuar vetëm atë që duhet të jetë tregues shkallë. Por cila duhet të jetë baza? Në gradë nga natyrore tregues baza mund të jetë çdo numër .

Në të vërtetë, ne mund të shumëzojmë çdo numër me njëri-tjetrin, qofshin ata pozitivë, negativë ose çift. Le të mendojmë se cilat shenja ("" ose "") do të kenë shkallë të numrave pozitivë dhe negativë?

Për shembull, a do të jetë numri pozitiv apo negativ? POR? ?

Me të parën, gjithçka është e qartë: pa marrë parasysh sa numra pozitivë shumëzojmë me njëri-tjetrin, rezultati do të jetë pozitiv.

Por ato negative janë pak më interesante. Në fund të fundit, ne kujtojmë një rregull të thjeshtë nga klasa e 6-të: "një minus shumëfish një minus jep një plus". Kjo është, ose. Por nëse shumëzojmë me (), marrim -.

Dhe kështu me radhë ad infinitum: me çdo shumëzim pasues, shenja do të ndryshojë. Ju mund të formuloni këto rregulla të thjeshta:

madje shkallë, - numër pozitive.
Numri negativ u ngrit në i rastësishëm shkallë, - numër negativ.
Një numër pozitiv për çdo fuqi është një numër pozitiv.
Zero për çdo fuqi është e barabartë me zero.

Përcaktoni vetë se çfarë shenje do të kenë shprehjet e mëposhtme:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

A ia dolët? Këtu janë përgjigjet:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Në katër shembujt e parë, shpresoj se gjithçka është e qartë? Ne thjesht shikojmë bazën dhe eksponentin dhe zbatojmë rregullin e duhur.

Në shembullin 5), gjithçka nuk është gjithashtu aq e frikshme sa duket: nuk ka rëndësi se me çfarë është baza - shkalla është e barabartë, që do të thotë se rezultati do të jetë gjithmonë pozitiv. Epo, përveç rasteve kur baza është zero. Baza nuk është e njëjtë, apo jo? Natyrisht jo, pasi (sepse).

Shembulli 6) nuk është më aq i thjeshtë. Këtu duhet të zbuloni se cili është më pak: apo? Nëse e mbani mend këtë, bëhet e qartë se, që do të thotë se baza është më e vogël se zero. Kjo do të thotë, ne zbatojmë rregullin 2: rezultati do të jetë negativ.

Dhe përsëri ne përdorim përkufizimin e shkallës:

Gjithçka është si zakonisht - ne shkruajmë përkufizimin e shkallëve dhe i ndajmë ato në njëra-tjetrën, i ndajmë në çifte dhe marrim:

Para se të analizojmë rregullin e fundit, le të zgjidhim disa shembuj.

Llogaritni vlerat e shprehjeve:

Zgjidhjet :

Ne marrim:

Ne e shikojmë me kujdes emëruesin. Duket shumë si një nga faktorët numërues, por çfarë nuk shkon? Rendi i gabuar i termave. Nëse do të ndryshonin, mund të zbatohej rregulli 3. Por si ta bëni këtë? Rezulton se është shumë e lehtë: shkalla çift e emëruesit na ndihmon këtu.

Nëse e shumëzoni me, asgjë nuk ndryshon, apo jo? Por tani duket kështu:

Termat kanë ndryshuar në mënyrë magjike vende. Ky "dukuri" vlen për çdo shprehje në një shkallë të barabartë: ne mund t'i ndryshojmë lirisht shenjat në kllapa. Por është e rëndësishme të mbani mend: të gjitha shenjat ndryshojnë në të njëjtën kohë! Nuk mund të zëvendësohet duke na ndryshuar vetëm një minus të pakëndshëm!

Le të kthehemi te shembulli:

Dhe përsëri formula:

Pra, tani rregulli i fundit:

Si do ta vërtetojmë? Sigurisht, si zakonisht: le të zgjerojmë konceptin e shkallës dhe të thjeshtojmë:

Epo, tani le të hapim kllapat. Sa shkronja do të ketë? herë nga shumëzuesit - si duket? Ky nuk është gjë tjetër veçse përkufizimi i një operacioni shumëzimi: gjithsej doli të kishte shumëzues. Kjo do të thotë, është, sipas përkufizimit, një fuqi e një numri me një eksponent:

Shembull:

Shkallë me eksponent irracional

Përveç informacionit për shkallët për nivelin mesatar, ne do të analizojmë shkallën me një tregues irracional. Të gjitha rregullat dhe vetitë e shkallëve këtu janë saktësisht të njëjta si për një shkallë me një eksponent racional, me përjashtim - në fund të fundit, sipas përkufizimit, numrat irracionalë janë numra që nuk mund të përfaqësohen si thyesë, ku dhe janë numra të plotë (d.m.th. , numrat irracionalë janë të gjithë numra realë përveç atyre racionalë).

Kur studiojmë diploma me një tregues natyror, numër të plotë dhe racional, çdo herë kemi krijuar një "imazh", "analogji" ose përshkrim të caktuar në terma më të njohur. Për shembull, një eksponent natyror është një numër i shumëzuar në vetvete disa herë; një numër në shkallën zero është, si të thuash, një numër i shumëzuar në vetvete një herë, domethënë, ai ende nuk ka filluar të shumëzohet, që do të thotë se vetë numri as nuk është shfaqur akoma - prandaj, rezultati është vetëm një “përgatitja e një numri”, përkatësisht një numri; një shkallë me një numër të plotë negativ - është sikur të ketë ndodhur një "proces i kundërt" i caktuar, domethënë, numri nuk është shumëzuar në vetvete, por është ndarë.

Është jashtëzakonisht e vështirë të imagjinohet një shkallë me një eksponent irracional (ashtu siç është e vështirë të imagjinohet një hapësirë 4-dimensionale). Përkundrazi, është një objekt thjesht matematikor që matematikanët kanë krijuar për të shtrirë konceptin e një shkalle në të gjithë hapësirën e numrave.

Nga rruga, në shkencë, shpesh përdoret një shkallë me një eksponent kompleks, domethënë, një eksponent nuk është as një numër real. Por në shkollë, ne nuk mendojmë për vështirësi të tilla; ju do të keni mundësinë t'i kuptoni këto koncepte të reja në institut.

Pra, çfarë të bëjmë nëse shohim një eksponent irracional? Ne po përpiqemi të bëjmë më të mirën për ta hequr qafe atë! :)

Për shembull:

Vendosni vetë:

Përgjigjet:

Mbani mend ndryshimin e formulës së katrorëve. Përgjigje:.
I sjellim thyesat në të njëjtën formë: ose të dy dhjetoret, ose të dyja të zakonshmet. Ne marrim, për shembull: .
Asgjë e veçantë, ne zbatojmë vetitë e zakonshme të gradave:

PËRMBLEDHJA E SEKSIONIT DHE FORMULA THEMELORE

Diplomë quhet shprehje e formës: , ku:

Shkalla me eksponent numër i plotë

shkallë, eksponenti i të cilit është një numër natyror (d.m.th. numër i plotë dhe pozitiv).

Shkallë me eksponent racional

shkallë, treguesi i së cilës janë numrat negativë dhe thyesorë.

Shkallë me eksponent irracional

eksponent eksponenti i të cilit është një thyesë dhjetore ose rrënjë e pafundme.

Karakteristikat e diplomës

Karakteristikat e gradave.

Numri negativ u ngrit në madje shkallë, - numër pozitive.
Numri negativ u ngrit në i rastësishëm shkallë, - numër negativ.
Një numër pozitiv për çdo fuqi është një numër pozitiv.
Zero është e barabartë me çdo fuqi.
Çdo numër me fuqinë zero është i barabartë.

TANI KENI NJË FJALË...

Si ju pëlqen artikulli? Më tregoni në komentet më poshtë nëse ju pëlqeu apo jo.

Na tregoni për përvojën tuaj me vetitë e energjisë.

Ndoshta keni pyetje. Ose sugjerime.

Shkruani në komente.

Dhe fat të mirë me provimet tuaja!

Përmbajtja e mësimit

Çfarë është një diplomë?

Diplomë quhet produkt i disa faktorëve identikë. Për shembull:

2×2×2

Vlera e kësaj shprehjeje është 8

2 x 2 x 2 = 8

Ana e majtë e këtij ekuacioni mund të bëhet më e shkurtër - fillimisht shkruani faktorin përsëritës dhe tregoni mbi të sa herë përsëritet. Shumëzuesi përsëritës në këtë rast është 2. Përsëritet tri herë. Prandaj, mbi deuce, ne shkruajmë trefishin:

2 3 = 8

Kjo shprehje lexohet kështu: dy deri në fuqinë e tretë është e barabartë me tetë ose " fuqia e tretë e 2 është 8.

Më shpesh përdoret forma e shkurtër e shkrimit të shumëzimit të të njëjtëve faktorë. Prandaj, duhet të kujtojmë se nëse një numër tjetër është i gdhendur mbi një numër, atëherë ky është shumëzimi i disa faktorëve identikë.

Për shembull, nëse është dhënë shprehja 5 3, atëherë duhet të kihet parasysh se kjo shprehje është e barabartë me shkrimin 5 × 5 × 5.

Numri që përsëritet quhet bazë e shkallës. Në shprehjen 5 3 baza e shkallës është numri 5 .

Dhe numri që është shënuar mbi numrin 5 quhet eksponent. Në shprehjen 5 3, eksponenti është numri 3. Eksponenti tregon sa herë përsëritet baza e shkallës. Në rastin tonë, baza 5 përsëritet tre herë.

Operacioni i shumëzimit të faktorëve identikë quhet fuqizimi.

Për shembull, nëse ju duhet të gjeni produktin e katër faktorëve identikë, secili prej të cilëve është i barabartë me 2, atëherë ata thonë se numri 2 ngritur në fuqinë e katërt:

Shohim që numri 2 në fuqinë e katërt është numri 16.

Vini re se në këtë mësim ne po shikojmë gradë me një tregues natyror. Kjo është një lloj shkalle, eksponenti i së cilës është një numër natyror. Kujtoni se numrat natyrorë janë numra të plotë që janë më të mëdhenj se zero. Për shembull, 1, 2, 3 dhe kështu me radhë.

Në përgjithësi, përkufizimi i një diplome me një tregues natyror është si më poshtë:

Shkalla e a me një tregues natyror nështë shprehje e formës a n, e cila është e barabartë me produktin n shumëzues, secili prej të cilëve është i barabartë me a

Shembuj:

Kini kujdes kur ngrini një numër në një fuqi. Shpesh, përmes pavëmendjes, një person shumëzon bazën e shkallës me eksponentin.

Për shembull, numri 5 në fuqinë e dytë është prodhimi i dy faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me 5. Ky produkt është i barabartë me 25

Tani imagjinoni që pa dashje kemi shumëzuar bazën 5 me eksponentin 2

Kishte një gabim, sepse numri 5 në fuqinë e dytë nuk është i barabartë me 10.

Për më tepër, duhet përmendur se fuqia e një numri me një eksponent 1 është vetë numri:

Për shembull, numri 5 në fuqinë e parë është vetë numri 5.

Prandaj, nëse numri nuk ka një tregues, atëherë duhet të supozojmë se treguesi është i barabartë me një.

Për shembull, numrat 1, 2, 3 janë dhënë pa eksponent, kështu që eksponentët e tyre do të jenë të barabartë me një. Secili prej këtyre numrave mund të shkruhet me një eksponent 1

Dhe nëse ngreni 0 në ndonjë fuqi, ju merrni 0. Në të vërtetë, sado që asgjë të mos shumëzohet në vetvete, asgjë nuk do të dalë. Shembuj:

Dhe shprehja 0 0 nuk ka kuptim. Por në disa degë të matematikës, në veçanti analiza dhe teoria e grupeve, shprehja 0 0 mund të ketë kuptim.

Për trajnim, ne do të zgjidhim disa shembuj të rritjes së numrave në një fuqi.

Shembulli 1 Ngrini numrin 3 në fuqinë e dytë.

Numri 3 në fuqinë e dytë është produkt i dy faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me 3

3 2 = 3 × 3 = 9

Shembulli 2 Ngrini numrin 2 në fuqinë e katërt.

Numri 2 në fuqinë e katërt është prodhimi i katër faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me 2

2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

Shembulli 3 Ngrini numrin 2 në fuqinë e tretë.

Numri 2 në fuqinë e tretë është produkt i tre faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me 2

2 3 = 2 × 2 × 2 = 8

Përhapja e numrit 10

Për të ngritur numrin 10 në një fuqi, mjafton të shtoni numrin e zerove pas njësisë, të barabartë me eksponentin.

Për shembull, le të ngremë numrin 10 në fuqinë e dytë. Së pari, ne shkruajmë vetë numrin 10 dhe tregojmë numrin 2 si tregues

10 2

Tani vendosim një shenjë të barabartë, shkruajmë një dhe pas kësaj shkruajmë dy zero, pasi numri i zerove duhet të jetë i barabartë me eksponentin

10 2 = 100

Pra, numri 10 në fuqinë e dytë është numri 100. Kjo për faktin se numri 10 në fuqinë e dytë është produkt i dy faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me 10.

10 2 = 10 × 10 = 100

Shembulli 2. Le ta ngremë numrin 10 në fuqinë e tretë.

Në këtë rast, do të ketë tre zero pas një:

10 3 = 1000

Shembulli 3. Le ta ngremë numrin 10 në fuqinë e katërt.

Në këtë rast, do të ketë katër zero pas një:

10 4 = 10000

Shembulli 4. Le ta ngremë numrin 10 në fuqinë e parë.

Në këtë rast, do të ketë një zero pas një:

10 1 = 10

Paraqitja e numrave 10, 100, 1000 si fuqi me bazën 10

Për të përfaqësuar numrat 10, 100, 1000 dhe 10000 si një fuqi me bazën 10, duhet të shkruani bazën 10 dhe të specifikoni një numër të barabartë me numrin e zeros në numrin origjinal si një eksponent.

Të paraqesim numrin 10 si fuqi me bazën 10. Shohim që ka një zero. Pra, numri 10 si fuqi me bazën 10 do të përfaqësohet si 10 1

10 = 10 1

Shembulli 2. Të paraqesim numrin 100 si fuqi me bazën 10. Shohim që numri 100 përmban dy zero. Pra, numri 100 si fuqi me bazën 10 do të përfaqësohet si 10 2

100 = 10 2

Shembulli 3. Le të paraqesim numrin 1000 si fuqi me bazën 10.

1 000 = 10 3

Shembulli 4. Le të paraqesim numrin 10,000 si fuqi me bazën 10.

10 000 = 10 4

Shpallja e një numri negativ

Kur ngrihet një numër negativ në një fuqi, ai duhet të vendoset në kllapa.

Për shembull, le ta ngremë numrin negativ −2 në fuqinë e dytë. Numri −2 në fuqinë e dytë është prodhim i dy faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me (−2)

(−2) 2 = (−2) × (−2) = 4

Nëse nuk do të vendosnim në kllapa numrin -2 , atëherë do të rezultonte që ne llogarisim shprehjen -2 2 , e cila jo të barabartë 4 . Shprehja -2² do të jetë e barabartë me -4. Për të kuptuar pse, le të prekim disa pika.

Kur vendosim një minus përpara një numri pozitiv, ne kryejmë në këtë mënyrë operacioni i marrjes së vlerës së kundërt.

Le të themi se është dhënë numri 2 dhe ju duhet të gjeni numrin e kundërt të tij. Ne e dimë se e kundërta e 2 është −2. Me fjalë të tjera, për të gjetur numrin e kundërt për 2, mjafton të vendosni një minus përpara këtij numri. Futja e një minus para një numri konsiderohet tashmë një operacion i plotë në matematikë. Ky operacion, siç u përmend më lart, quhet operacioni i marrjes së vlerës së kundërt.

Në rastin e shprehjes -2 2 ndodhin dy veprime: operacioni i marrjes së vlerës së kundërt dhe fuqizimi. Ngritja në fuqi është një operacion me prioritet më të lartë sesa marrja e vlerës së kundërt.

Prandaj, shprehja -2 2 llogaritet në dy hapa. Së pari, kryhet operacioni i fuqizimit. Në këtë rast, numri pozitiv 2 u ngrit në fuqinë e dytë.

Pastaj u mor vlera e kundërt. Kjo vlerë e kundërt u gjet për vlerën 4. Dhe vlera e kundërt për 4 është −4

−2 2 = −4

Kllapat kanë përparësinë më të lartë të ekzekutimit. Prandaj, me rastin e llogaritjes së shprehjes (−2) 2, fillimisht merret vlera e kundërt, dhe më pas numri negativ −2 ngrihet në fuqinë e dytë. Rezultati është një përgjigje pozitive prej 4, pasi prodhimi i numrave negativ është një numër pozitiv.

Shembulli 2. Ngrini numrin −2 në fuqinë e tretë.

Numri -2 në fuqinë e tretë është prodhimi i tre faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me (-2)

(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8

Shembulli 3. Ngrini numrin −2 në fuqinë e katërt.

Numri −2 në fuqinë e katërt është prodhim i katër faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me (−2)

(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16

Është e lehtë të shihet se kur rritet një numër negativ në një fuqi, mund të merret ose një përgjigje pozitive ose një negative. Shenja e përgjigjes varet nga eksponenti i shkallës fillestare.

Nëse eksponenti është çift, atëherë përgjigja është po. Nëse eksponenti është tek, përgjigja është negative. Le ta tregojmë këtë në shembullin e numrit −3

Në rastin e parë dhe të tretë, treguesi ishte i rastësishëm numër, kështu që përgjigja u bë negativ.

Në rastin e dytë dhe të katërt, treguesi ishte madje numër, kështu që përgjigja u bë pozitive.

Shembulli 7 Ngrini numrin -5 në fuqinë e tretë.

Numri -5 në fuqinë e tretë është produkt i tre faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me -5. Eksponenti 3 është një numër tek, kështu që mund të themi paraprakisht se përgjigja do të jetë negative:

(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125

Shembulli 8 Ngrini numrin -4 në fuqinë e katërt.

Numri -4 në fuqinë e katërt është prodhimi i katër faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me -4. Në këtë rast, treguesi 4 është i barabartë, kështu që mund të themi paraprakisht se përgjigja do të jetë pozitive:

(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256

Gjetja e vlerave të shprehjes

Me rastin e gjetjes së vlerave të shprehjeve që nuk përmbajnë kllapa, së pari do të kryhet fuqizimi, më pas shumëzimi dhe pjesëtimi sipas rendit të tyre dhe më pas mbledhja dhe zbritja sipas renditjes së tyre.

Shembulli 1. Gjeni vlerën e shprehjes 2 + 5 2

Së pari, kryhet fuqizimi. Në këtë rast, numri 5 ngrihet në fuqinë e dytë - rezulton 25. Pastaj ky rezultat i shtohet numrit 2

2 + 5 2 = 2 + 25 = 27

Shembulli 10. Gjeni vlerën e shprehjes −6 2 × (−12)

Së pari, kryhet fuqizimi. Vini re se numri -6 nuk është në kllapa, kështu që numri 6 do të ngrihet në fuqinë e dytë, më pas do të vendoset një minus para rezultatit:

−6 2 × (−12) = −36 × (−12)

Ne e plotësojmë shembullin duke shumëzuar −36 me (−12)

−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432

Shembulli 11. Gjeni vlerën e shprehjes −3 × 2 2

Së pari, kryhet fuqizimi. Pastaj rezultati shumëzohet me numrin -3

−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12

Nëse shprehja përmban kllapa, atëherë së pari duhet të kryeni veprime në këto kllapa, pastaj fuqizimin, pastaj shumëzimin dhe ndarjen, dhe më pas mbledhjen dhe zbritjen.

Shembulli 12. Gjeni vlerën e shprehjes (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5

Le të bëjmë fillimisht kllapat. Brenda kllapave zbatojmë rregullat e mësuara më parë, përkatësisht, së pari ngremë numrin 3 në fuqinë e dytë, më pas kryejmë shumëzimin 1 × 3, pastaj shtojmë rezultatet e ngritjes së numrit 3 në fuqi dhe shumëzimit 1 × 3. Pastaj zbritja dhe mbledhja kryhen sipas radhës në të cilën shfaqen. Le të rregullojmë rendin e mëposhtëm të kryerjes së veprimit në shprehjen origjinale:

(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12 - 15 + 5 = 2

Shembulli 13. Gjeni vlerën e shprehjes 2 × 5 3 + 5 × 2 3

Së pari, i ngremë numrat në një fuqi, më pas kryejmë shumëzimin dhe shtojmë rezultatet:

2 x 5 3 + 5 x 2 3 = 2 x 125 + 5 x 8 = 250 + 40 = 290

Transformimet identitare të pushteteve

Transformime të ndryshme identike mund të kryhen në fuqi, duke i thjeshtuar ato.

Supozoni se kërkohej llogaritja e shprehjes (2 3) 2 . Në këtë shembull, dy në fuqinë e tretë është ngritur në fuqinë e dytë. Me fjalë të tjera, një diplomë ngrihet në një shkallë tjetër.

(2 3) 2 është prodhimi i dy fuqive, secila prej të cilave është e barabartë me 2 3

Për më tepër, secila prej këtyre fuqive është produkt i tre faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me 2

Ne morëm produktin 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 , i cili është i barabartë me 64. Pra, vlera e shprehjes (2 3) 2 ose e barabartë me 64

Ky shembull mund të thjeshtohet shumë. Për këtë, treguesit e shprehjes (2 3) 2 mund të shumëzohen dhe ky produkt mund të shkruhet mbi bazën 2.

Mora 2 6. Dy deri në fuqinë e gjashtë është prodhimi i gjashtë faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me 2. Ky produkt është i barabartë me 64

Kjo veti funksionon sepse 2 3 është prodhimi i 2 × 2 × 2 , i cili nga ana tjetër përsëritet dy herë. Pastaj rezulton se baza 2 përsëritet gjashtë herë. Nga këtu mund të shkruajmë se 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 është 2 6

Në përgjithësi, për çdo arsye a me tregues m Dhe n, vlen barazia e mëposhtme:

(a n)m = a n × m

Ky transformim identik quhet fuqizimi. Mund të lexohet kështu: "Kur ngrihet një fuqi në një fuqi, baza lihet e pandryshuar dhe eksponentët shumëzohen" .

Pas shumëzimit të treguesve, ju merrni një shkallë tjetër, vlera e së cilës mund të gjendet.

Shembulli 2. Gjeni vlerën e shprehjes (3 2) 2

Në këtë shembull, baza është 3, dhe numrat 2 dhe 2 janë eksponentë. Le të përdorim rregullin e fuqizimit. Ne e lëmë bazën të pandryshuar dhe shumëzojmë treguesit:

Mora 3 4. Dhe numri 3 në fuqinë e katërt është 81

Le të shohim pjesën tjetër të transformimeve.

Shumëzimi i fuqisë

Për të shumëzuar shkallët, duhet të llogaritni veçmas secilën shkallë dhe të shumëzoni rezultatet.

Për shembull, le të shumëzojmë 2 2 me 3 3 .

2 2 është numri 4 dhe 3 3 është numri 27 . Ne shumëzojmë numrat 4 dhe 27, marrim 108

2 2 x 3 3 = 4 x 27 = 108

Në këtë shembull, bazat e pushteteve ishin të ndryshme. Nëse bazat janë të njëjta, atëherë mund të shkruhet një bazë dhe si tregues të shkruhet shuma e treguesve të shkallëve fillestare.

Për shembull, shumëzojeni 2 2 me 2 3

Në këtë shembull, eksponentët kanë të njëjtën bazë. Në këtë rast, mund të shkruani një bazë 2 dhe të shkruani shumën e eksponentëve 2 2 dhe 2 3 si tregues. Me fjalë të tjera, lini bazën të pandryshuar dhe shtoni eksponentët e shkallëve origjinale. Do të duket kështu:

Mora 2 5. Numri 2 në fuqinë e pestë është 32

Kjo veti funksionon sepse 2 2 është prodhimi i 2 × 2 dhe 2 3 është prodhimi i 2 × 2 × 2 . Pastaj fitohet prodhimi i pesë faktorëve identikë, secili prej të cilëve është i barabartë me 2. Ky produkt mund të përfaqësohet si 2 5

Në përgjithësi, për çdo a dhe treguesit m Dhe n vlen barazia e mëposhtme:

Ky transformim identik quhet vetia kryesore e diplomës. Mund të lexohet kështu: PKur shumëzohen fuqitë me të njëjtën bazë, baza lihet e pandryshuar dhe shtohen eksponentët. .

Vini re se ky transformim mund të zbatohet në çdo numër shkallësh. Gjëja kryesore është që baza është e njëjtë.

Për shembull, le të gjejmë vlerën e shprehjes 2 1 × 2 2 × 2 3 . Themeli 2

Në disa probleme, mund të jetë e mjaftueshme për të kryer transformimin përkatës pa llogaritur shkallën përfundimtare. Kjo është sigurisht shumë e përshtatshme, pasi nuk është aq e lehtë të llogaritësh fuqi të mëdha.

Shembulli 1. Shprehni si fuqi shprehjen 5 8 × 25

Në këtë problem, duhet ta bëni atë në mënyrë që në vend të shprehjes 5 8 × 25, të merret një shkallë.

Numri 25 mund të përfaqësohet si 5 2 . Pastaj marrim shprehjen e mëposhtme:

Në këtë shprehje, ju mund të aplikoni pronën kryesore të shkallës - lini bazën 5 të pandryshuar dhe shtoni treguesit 8 dhe 2:

Le ta shkruajmë zgjidhjen shkurt:

Shembulli 2. Shprehni si fuqi shprehjen 2 9 × 32

Numri 32 mund të përfaqësohet si 2 5 . Pastaj marrim shprehjen 2 9 × 2 5 . Tjetra, mund të aplikoni veçorinë bazë të shkallës - lini bazën 2 të pandryshuar dhe shtoni treguesit 9 dhe 5. Kjo do të rezultojë në zgjidhjen e mëposhtme:

Shembulli 3. Llogaritni produktin 3 × 3 duke përdorur veçorinë bazë të fuqisë.

Të gjithë e dinë mirë se tre herë tre është e barabartë me nëntë, por detyra kërkon përdorimin e vetive kryesore të shkallës gjatë zgjidhjes. Si ta bëjmë atë?

Kujtojmë që nëse një numër jepet pa tregues, atëherë treguesi duhet të konsiderohet i barabartë me një. Pra, faktorët 3 dhe 3 mund të shkruhen si 3 1 dhe 3 1

3 1 × 3 1

Tani përdorim vetinë kryesore të gradës. Ne e lëmë bazën 3 të pandryshuar dhe shtojmë treguesit 1 dhe 1:

3 1 × 3 1 = 3 2 = 9

Shembulli 4. Llogaritni produktin 2 × 2 × 3 2 × 3 3 duke përdorur veçorinë bazë të fuqisë.

Ne zëvendësojmë produktin 2 × 2 me 2 1 × 2 1 , pastaj me 2 1 + 1 dhe më pas me 2 2 . Prodhimi i 3 2 × 3 3 zëvendësohet me 3 2 + 3 dhe më pas me 3 5

Shembulli 5. Kryeni shumëzimin x x x

Këta janë dy faktorë alfabetikë identikë me treguesit 1. Për qartësi, i shkruajmë këta tregues. Baza e mëtejshme x lëreni të pandryshuar dhe shtoni treguesit:

Duke qenë në dërrasën e zezë, nuk duhet të shënohet shumëzimi i fuqive me të njëjtat baza me aq detaje siç bëhet këtu. Llogaritjet e tilla duhet të bëhen në mendje. Një hyrje e detajuar ka shumë të ngjarë të fyejë mësuesin dhe ai do të ulë notën për këtë. Këtu jepet një regjistrim i detajuar në mënyrë që materiali të jetë sa më i arritshëm për t'u kuptuar.

Zgjidhja për këtë shembull duhet të shkruhet si kjo:

Shembulli 6. Kryeni shumëzimin x 2 × x

Indeksi i faktorit të dytë është i barabartë me një. Le ta shkruajmë për qartësi. Tjetra, ne e lëmë bazën të pandryshuar dhe shtojmë treguesit:

Shembulli 7. Kryeni shumëzimin y 3 y 2 y

Indeksi i faktorit të tretë është i barabartë me një. Le ta shkruajmë për qartësi. Tjetra, ne e lëmë bazën të pandryshuar dhe shtojmë treguesit:

Shembulli 8. Kryeni shumëzimin aa 3 a 2 a 5

Indeksi i faktorit të parë është i barabartë me një. Le ta shkruajmë për qartësi. Tjetra, ne e lëmë bazën të pandryshuar dhe shtojmë treguesit:

Shembulli 9. Shprehni fuqinë e 3 8 si produkt i fuqive me të njëjtën bazë.

Në këtë problem, ju duhet të bëni një produkt të fuqive, bazat e të cilit do të jenë të barabarta me 3, dhe shuma e eksponentëve të të cilit do të jetë e barabartë me 8. Ju mund të përdorni çdo tregues. Ne paraqesim shkallën 3 8 si prodhim të fuqive 3 5 dhe 3 3

Në këtë shembull, ne përsëri u mbështetëm në vetinë kryesore të gradës. Në fund të fundit, shprehja 3 5 × 3 3 mund të shkruhet si 3 5 + 3, prej nga vjen 3 8 .

Natyrisht, ishte e mundur të përfaqësohej fuqia 3 8 si produkt i fuqive të tjera. Për shembull, në formën 3 7 × 3 1, pasi ky produkt është gjithashtu 3 8

Përfaqësimi i një diplome si produkt i fuqive me të njëjtën bazë është kryesisht punë krijuese. Pra, mos kini frikë të eksperimentoni.

Shembulli 10. Paraqisni diplomën x 12 si prodhime të ndryshme të fuqive me baza x .

Le të përdorim vetinë kryesore të gradës. Imagjinoni x 12 si produkte me baza x, dhe shuma e eksponentëve të të cilave është e barabartë me 12

Ndërtimet me shuma treguesish u regjistruan për qartësi. Shumicën e kohës ato mund të anashkalohen. Pastaj marrim një zgjidhje kompakte:

Shpallja e një produkti

Për të ngritur një produkt në fuqi, duhet të ngrini çdo faktor të këtij produkti në fuqinë e treguar dhe të shumëzoni rezultatet.

Për shembull, le ta ngremë produktin 2 × 3 në fuqinë e dytë. Ne e marrim këtë produkt në kllapa dhe tregojmë 2 si tregues

Tani le të ngremë çdo faktor të produktit 2 × 3 në fuqinë e dytë dhe të shumëzojmë rezultatet:

Parimi i funksionimit të këtij rregulli bazohet në përcaktimin e shkallës, i cili u dha që në fillim.

Ngritja e produktit prej 2 × 3 në fuqinë e dytë do të thotë të përsërisësh këtë produkt dy herë. Dhe nëse e përsëritni dy herë, mund të merrni sa vijon:

2×3×2×3

Nga ndërrimi i vendeve të faktorëve, produkti nuk ndryshon. Kjo ju lejon të gruponi të njëjtët shumëzues:

2×2×3×3

Shumëzuesit përsëritës mund të zëvendësohen me hyrje të shkurtra - baza me eksponentë. Produkti 2 × 2 mund të zëvendësohet me 2 2 , dhe produkti 3 × 3 mund të zëvendësohet me 3 2 . Më pas shprehja 2 × 2 × 3 × 3 kthehet në shprehjen 2 2 × 3 2 .

Le te jete ab vepër origjinale. Për ta ngritur këtë produkt në fuqi n, ju duhet të ngrini veçmas faktorët a Dhe b në shkallën e caktuar n

Kjo pronë është e vlefshme për çdo numër faktorësh. Shprehjet e mëposhtme janë gjithashtu të vlefshme:

Shembulli 2. Gjeni vlerën e shprehjes (2 × 3 × 4) 2

Në këtë shembull, ju duhet ta ngrini produktin 2 × 3 × 4 në fuqinë e dytë. Për ta bërë këtë, ju duhet të ngrini çdo faktor të këtij produkti në fuqinë e dytë dhe të shumëzoni rezultatet:

Shembulli 3. Ngrini produktin në fuqinë e tretë a×b×c

Ne e mbyllim këtë produkt në kllapa dhe tregojmë numrin 3 si tregues

Shembulli 4. Ngrini produktin në fuqinë e tretë 3 xyz

Ne e mbyllim këtë produkt në kllapa dhe tregojmë 3 si tregues

(3xyz) 3

Le të ngremë çdo faktor të këtij produkti në fuqinë e tretë:

(3xyz) 3 = 3 3 x 3 y 3 z 3

Numri 3 në fuqinë e tretë është i barabartë me numrin 27. E lëmë pjesën tjetër të pandryshuar:

(3xyz) 3 = 3 3 x 3 y 3 z 3 = 27x 3 y 3 z 3

Në disa shembuj, shumëzimi i fuqive me të njëjtët eksponentë mund të zëvendësohet nga produkti i bazave me të njëjtin eksponent.

Për shembull, le të llogarisim vlerën e shprehjes 5 2 × 3 2 . Ngrini çdo numër në fuqinë e dytë dhe shumëzoni rezultatet:

5 2 x 3 2 = 25 x 9 = 225

Por nuk mund të llogarisni secilën shkallë veç e veç. Në vend të kësaj, ky produkt i fuqive mund të zëvendësohet nga një produkt me një eksponent (5 × 3) 2 . Më pas, llogarisni vlerën në kllapa dhe ngrini rezultatin në fuqinë e dytë:

5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225

Në këtë rast, rregulli i fuqizimit të produktit u përdor përsëri. Në fund të fundit, nëse (a x b)n = a n × b n , pastaj a n × b n = (a × b) n. Kjo do të thotë, ana e majtë dhe e djathtë e ekuacionit janë të kundërta.

Eksponentimi

Ne e konsideruam këtë transformim si një shembull kur u përpoqëm të kuptonim thelbin e transformimeve identike të shkallëve.

Kur rritet një fuqi në një fuqi, baza lihet e pandryshuar dhe eksponentët shumëzohen:

(a n)m = a n × m

Për shembull, shprehja (2 3) 2 është duke ngritur një fuqi në një fuqi - dy në fuqinë e tretë është ngritur në fuqinë e dytë. Për të gjetur vlerën e kësaj shprehjeje, baza mund të lihet e pandryshuar dhe eksponentët mund të shumëzohen:

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64

Ky rregull bazohet në rregullat e mëparshme: fuqizimi i produktit dhe vetia bazë e shkallës.

Le të kthehemi te shprehja (2 3) 2 . Shprehja në kllapat 2 3 është prodhimi i tre faktorëve identikë, secili prej të cilëve është i barabartë me 2. Më pas në shprehjen (2 3) 2 fuqia brenda kllapave mund të zëvendësohet me produktin 2 × 2 × 2.

(2×2×2) 2

Dhe ky është përforcimi i produktit që kemi studiuar më parë. Kujtoni që për të ngritur një produkt në fuqi, duhet të ngrini çdo faktor të këtij produkti në fuqinë e specifikuar dhe të shumëzoni rezultatet:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2

Tani kemi të bëjmë me vetinë kryesore të diplomës. Ne e lëmë bazën të pandryshuar dhe shtojmë treguesit:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6

Si më parë, morëm 2 6 . Vlera e kësaj diplome është 64

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64

Një produkt, faktorët e të cilit janë gjithashtu fuqi, gjithashtu mund të ngrihet në një fuqi.

Për shembull, le të gjejmë vlerën e shprehjes (2 2 × 3 2) 3 . Këtu, treguesit e secilit shumëzues duhet të shumëzohen me treguesin total 3. Më pas, gjeni vlerën e secilës shkallë dhe llogaritni produktin:

(2 2 x 3 2) 3 = 2 2 x 3 x 3 2 x 3 = 2 6 x 3 6 = 64 x 729 = 46656

Përafërsisht e njëjta gjë ndodh kur ngrihet në fuqinë e një produkti. Thamë që kur ngrihet një produkt në fuqi, çdo faktor i këtij produkti ngrihet në fuqinë e treguar.

Për shembull, për të ngritur produktin prej 2 × 4 në fuqinë e tretë, duhet të shkruani shprehjen e mëposhtme:

Por më herët u tha se nëse një numër jepet pa tregues, atëherë treguesi duhet të konsiderohet i barabartë me një. Rezulton se faktorët e prodhimit 2 × 4 fillimisht kanë eksponentë të barabartë me 1. Kjo do të thotë se shprehja 2 1 × 4 1 u ngrit në fuqinë e tretë. Dhe kjo është ngritja e një shkalle në një pushtet.

Le ta rishkruajmë zgjidhjen duke përdorur rregullën e fuqisë. Duhet të marrim të njëjtin rezultat:

Shembulli 2. Gjeni vlerën e shprehjes (3 3) 2

Ne e lëmë bazën të pandryshuar dhe shumëzojmë treguesit:

Mora 3 6. Numri 3 në fuqinë e gjashtë është numri 729

Shembulli 3xy)³

Shembulli 4. Kryeni fuqizimin në shprehjen ( abc)⁵

Le të ngremë çdo faktor të produktit në fuqinë e pestë:

Shembulli 5sëpatë) 3

Le të ngremë çdo faktor të produktit në fuqinë e tretë:

Meqenëse numri negativ -2 u ngrit në fuqinë e tretë, ai u mor në kllapa.

Shembulli 6. Kryeni fuqizimin në shprehje (10 xy) 2

Shembulli 7. Kryeni fuqizimin në shprehjen (−5 x) 3

Shembulli 8. Kryeni fuqizimin në shprehjen (−3 y) 4

Shembulli 9. Kryeni fuqizimin në shprehjen (−2 abx)⁴

Shembulli 10. Thjeshtoni shprehjen x 5×( x 2) 3

Diplomë x 5 do të mbetet i pandryshuar tani për tani, dhe në shprehjen ( x 2) 3 kryeni fuqinë në fuqi:

x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6

Tani le të bëjmë shumëzimin x 5 × x 6. Për ta bërë këtë, ne përdorim pronën kryesore të shkallës - bazën x lëreni të pandryshuar dhe shtoni treguesit:

x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6 = x 5 + 6 = x 11

Shembulli 9. Gjeni vlerën e shprehjes 4 3 × 2 2 duke përdorur vetinë bazë të shkallës.

Vetia kryesore e shkallës mund të përdoret nëse bazat e gradave fillestare janë të njëjta. Në këtë shembull, bazat janë të ndryshme, prandaj, për të filluar, shprehja origjinale duhet të modifikohet pak, domethënë, që bazat e shkallëve të bëhen të njëjta.

Le të shohim nga afër fuqinë e 4 3 . Baza e kësaj shkalle është numri 4, i cili mund të përfaqësohet si 2 2 . Atëherë shprehja origjinale do të marrë formën (2 2) 3 × 2 2 . Duke e shprehur fuqinë në shprehjen (2 2) 3 , marrim 2 6 . Pastaj shprehja origjinale do të marrë formën 2 6 × 2 2 , e cila mund të llogaritet duke përdorur vetinë kryesore të shkallës.

Le të shkruajmë zgjidhjen e këtij shembulli:

Ndarja e gradave

Për të kryer ndarjen e fuqisë, duhet të gjeni vlerën e secilës fuqi dhe më pas të kryeni ndarjen e numrave të zakonshëm.

Për shembull, le të ndajmë 4 3 me 2 2 .

Llogaritni 4 3, marrim 64. Ne llogarisim 2 2, marrim 4. Tani pjesëtojmë 64 me 4, marrim 16

Nëse, kur ndahen shkallët e bazës, ato rezultojnë të njëjta, atëherë baza mund të lihet e pandryshuar, dhe eksponenti i pjesëtuesit mund të zbritet nga eksponenti i dividentit.

Për shembull, le të gjejmë vlerën e shprehjes 2 3: 2 2

Ne e lëmë bazën 2 të pandryshuar dhe zbresim eksponentin e pjesëtuesit nga eksponenti i dividentit:

Pra, vlera e shprehjes 2 3: 2 2 është 2 .

Kjo veti bazohet në shumëzimin e fuqive me baza të njëjta, ose, siç thoshim, në vetinë kryesore të shkallës.

Le të kthehemi te shembulli i mëparshëm 2 3: 2 2 . Këtu dividenti është 2 3 dhe pjesëtuesi është 2 2 .

Të pjesëtosh një numër me një tjetër do të thotë të gjesh një numër që, kur shumëzohet me një pjesëtues, do të japë dividentin si rezultat.

Në rastin tonë, pjesëtimi i 2 3 me 2 2 do të thotë të gjesh një fuqi që, kur shumëzohet me pjesëtuesin 2 2, do të rezultojë në 2 3 . Çfarë fuqie mund të shumëzohet me 2 2 për të marrë 2 3 ? Natyrisht, vetëm shkalla 2 1 . Nga vetia kryesore e diplomës kemi:

Ju mund të verifikoni që vlera e shprehjes 2 3: 2 2 është 2 1 duke vlerësuar drejtpërdrejt shprehjen 2 3: 2 2 . Për ta bërë këtë, së pari gjejmë vlerën e shkallës 2 3 , marrim 8 . Pastaj gjejmë vlerën e shkallës 2 2 , marrim 4 . Ndani 8 me 4, marrim 2 ose 2 1 , pasi 2 = 2 1 .

2 3: 2 2 = 8: 4 = 2

Kështu, kur ndahen fuqitë me të njëjtën bazë, vlen barazia e mëposhtme:

Mund të ndodhë që jo vetëm bazat, por edhe treguesit të jenë të njëjtë. Në këtë rast, përgjigja do të jetë një.

Për shembull, le të gjejmë vlerën e shprehjes 2 2: 2 2 . Le të llogarisim vlerën e secilës shkallë dhe të kryejmë ndarjen e numrave që rezultojnë:

Kur zgjidhni shembullin 2 2: 2 2, mund të zbatoni gjithashtu rregullin për ndarjen e shkallëve me të njëjtat baza. Rezultati është një numër me fuqinë zero, pasi ndryshimi midis eksponentëve të 2 2 dhe 2 2 është zero:

Pse numri 2 në shkallën zero është i barabartë me një, e zbuluam më lart. Nëse llogaritni 2 2: 2 2 në mënyrën e zakonshme, pa përdorur rregullin për ndarjen e shkallëve, merrni një.

Shembulli 2. Gjeni vlerën e shprehjes 4 12: 4 10

E lëmë 4 të pandryshuar dhe zbresim eksponentin e pjesëtuesit nga eksponenti i dividentit:

4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16

Shembulli 3. Dërgo private x 3: x si shkallë me bazë x

Le të përdorim rregullin e ndarjes së shkallëve. Baza x lëreni të pandryshuar dhe zbritni eksponentin e pjesëtuesit nga eksponenti i dividentit. Eksponenti i pjesëtuesit është i barabartë me një. Për qartësi, le ta shkruajmë atë:

Shembulli 4. Dërgo private x 3: x 2 si një fuqi me një bazë x

Le të përdorim rregullin e ndarjes së shkallëve. Baza x

Ndarja e shkallëve mund të shkruhet si thyesë. Pra, shembulli i mëparshëm mund të shkruhet si më poshtë:

Numëruesi dhe emëruesi i një thyese mund të shkruhen në formë të zgjeruar, përkatësisht në formën e produkteve të faktorëve identikë. Diplomë x 3 mund të shkruhet si x × x × x, dhe gradën x 2 si x x x. Pastaj ndërtimi x 3 − 2 mund të anashkalohet dhe të përdoret reduktimi i thyesave. Në numërues dhe në emërues, do të jetë e mundur të zvogëlohen dy faktorë secili x. Rezultati do të jetë një shumëzues x

Ose edhe më e shkurtër:

Gjithashtu, është e dobishme të jeni në gjendje të zvogëloni shpejt fraksionet që përbëhen nga fuqitë. Për shembull, një fraksion mund të reduktohet në x 2. Për të reduktuar një thyesë me x 2 ju duhet të ndani numëruesin dhe emëruesin e thyesës me x 2

Ndarja e gradave nuk mund të përshkruhet në detaje. Shkurtesa e mësipërme mund të bëhet më e shkurtër:

Ose edhe më e shkurtër:

Shembulli 5. Ekzekutoni ndarjen x 12 : x 3

Le të përdorim rregullin e ndarjes së shkallëve. Baza x lëreni të pandryshuar dhe zbrisni eksponentin e pjesëtuesit nga eksponenti i dividentit:

Zgjidhjen e shkruajmë duke përdorur reduktimin e thyesave. Ndarja e gradave x 12 : x 3 do të shkruhet si . Më pas, e zvogëlojmë këtë fraksion me x 3 .

Shembulli 6. Gjeni vlerën e një shprehjeje

Në numërues, ne kryejmë shumëzimin e fuqive me të njëjtat baza:

Tani zbatojmë rregullin për ndarjen e fuqive me të njëjtat baza. Ne e lëmë bazën 7 të pandryshuar dhe zbresim eksponentin e pjesëtuesit nga eksponenti i dividentit:

Ne e plotësojmë shembullin duke llogaritur fuqinë e 7 2

Shembulli 7. Gjeni vlerën e një shprehjeje

Le të bëjmë fuqizimin në numërues. Ju duhet ta bëni këtë me shprehjen (2 3) 4

Tani le të kryejmë shumëzimin e fuqive me të njëjtat baza në numërues.