Si të gjejmë gjatësinë e një segmenti nëse dihen koordinatat. Gjetja e koordinatave të mesit të segmentit, shembuj, zgjidhje. Metoda e koordinatave në hapësirë

Në këtë artikull, ne do të flasim për gjetjen e koordinatave të mesit të një segmenti nga koordinatat e skajeve të tij. Së pari do të japim konceptet e nevojshme, më pas do të marrim formulat për gjetjen e koordinatave të mesit të një segmenti dhe në përfundim do të shqyrtojmë zgjidhjet e shembujve dhe problemeve tipike.

Navigimi i faqes.

Koncepti i mesit të një segmenti.

Për të prezantuar konceptin e mesit të një segmenti, ne kemi nevojë për përkufizime të një segmenti dhe gjatësisë së tij.

Koncepti i një segmenti jepet në mësimet e matematikës në klasën e pestë të gjimnazit si më poshtë: nëse marrim dy pika arbitrare jo të përputhshme A dhe B, u lidhim një vizore dhe vizatojmë një vijë nga A në B (ose nga B. në A), atëherë marrim segmenti AB(ose segmenti B A). Pikat A dhe B quhen skajet e segmentit. Duhet të kemi parasysh se segmenti AB dhe segmenti BA janë i njëjti segment.

Nëse segmenti AB shtrihet pafundësisht në të dy drejtimet nga skajet, atëherë marrim drejtëz AB(ose VA direkte). Segmenti AB është pjesa e drejtëzës AB e mbyllur midis pikave A dhe B. Kështu, segmenti AB është bashkimi i pikave A, B dhe bashkësia e të gjitha pikave të drejtëzës AB të vendosura midis pikave A dhe B. Nëse marrim një pikë arbitrare M të drejtëzës AB të vendosur midis pikave A dhe B, atëherë ata thonë se pika M gënjeshtra në segmentin AB.

Gjatësia e segmentit AB është distanca midis pikave A dhe B në një shkallë të caktuar (segmenti i gjatësisë së njësisë). Gjatësia e segmentit AB do të shënohet si .

Përkufizimi.

Pika C quhet mesi i segmentit AB nëse shtrihet në segmentin AB dhe është në të njëjtën distancë nga skajet e tij.

Kjo do të thotë, nëse pika C është mesi i segmentit AB, atëherë ajo shtrihet mbi të dhe.

Më tej, detyra jonë do të jetë të gjejmë koordinatat e mesit të segmentit AB nëse koordinatat e pikave A dhe B janë dhënë në vijën e koordinatave ose në një sistem koordinativ drejtkëndor.

Koordinata e mesit të segmentit në vijën koordinative.

Le të na jepet një vijë koordinative Ox dhe dy pika A dhe B që nuk përputhen në të, të cilat korrespondojnë me numrat realë dhe . Le të jetë pika C mesi i segmentit AB. Le të gjejmë koordinatat e pikës C.

Meqenëse pika C është mesi i segmentit AB, atëherë barazia është e vërtetë. Në seksionin për distancën nga një pikë në një pikë në një vijë koordinative, treguam se distanca midis pikave është e barabartë me modulin e ndryshimit midis koordinatave të tyre, prandaj, . Pastaj ose . Nga barazia gjeni koordinatën e mesit të segmentit AB në vijën e koordinatave: - është e barabartë me gjysmën e shumës së koordinatave të skajeve të segmentit. Nga barazia e dytë marrim , gjë që është e pamundur, pasi morëm pikat A dhe B që nuk përkonin.

Kështu që, formula për gjetjen e koordinatës së mesit të segmentit AB me skajet dhe ka formën .

Koordinatat e mesit të një segmenti të vijës.

Le të prezantojmë një sistem koordinativ kartezian drejtkëndor Оxyz në aeroplan. Le të na jepen dy pikë dhe ne e dimë se pika C është mesi i segmentit AB. Le të gjejmë koordinatat dhe pikat C.

Nga ndërtimi, i drejtë paralele si dhe drejtëza paralele , pra, nga Teorema e Talesit nga barazia e segmenteve AC dhe CB vijon barazia e segmenteve dhe , si dhe e segmenteve dhe . Prandaj, pika është mesi i segmentit dhe pika e mesme e segmentit. Pastaj, në bazë të paragrafit të mëparshëm të këtij neni Dhe .

Duke përdorur këto formula, mund të llogariten edhe koordinatat e mesit të segmentit AB në rastet kur pikat A dhe B shtrihen në një nga boshtet koordinative ose në një vijë të drejtë pingul me një nga boshtet e koordinatave. Le t'i lëmë këto raste pa koment, dhe të japim ilustrime grafike.

Në këtë mënyrë, mesi i segmentit AB në një rrafsh që përfundon në pika dhe ka koordinata .

Koordinatat e mesit të segmentit në hapësirë.

Le të futet një sistem koordinativ drejtkëndor Oxyz në hapësirën tredimensionale dhe në dy pika Dhe . Marrim formula për gjetjen e koordinatave të pikës C, e cila është mesi i segmentit AB.

Le të shqyrtojmë rastin e përgjithshëm.

Le të jenë dhe projeksionet e pikave A, B dhe C në boshtet koordinative Ox, Oy dhe Oz, përkatësisht.

Nga teorema e Talesit, pra, pikat janë pikat e mesit të segmenteve përkatësisht. Pastaj (shih paragrafin e parë të këtij neni). Kështu që ne morëm formulat për llogaritjen e koordinatave të mesit të një segmenti nga koordinatat e skajeve të tij në hapësirë.

Këto formula mund të përdoren gjithashtu në rastet kur pikat A dhe B shtrihen në një nga boshtet koordinative ose në një vijë të drejtë pingul me një nga boshtet e koordinatave, dhe gjithashtu nëse pikat A dhe B shtrihen në një nga rrafshet koordinative ose në një rrafsh paralel me një nga boshtet koordinative.rrafshe.

Koordinatat e mesit të segmentit përmes koordinatave të vektorëve të rrezes së skajeve të tij.

Formulat për gjetjen e koordinatave të mesit të një segmenti janë të lehta për t'u marrë duke iu referuar algjebrës së vektorëve.

Le të jepet një sistem koordinativ drejtkëndor Kartezian Oxy në rrafsh dhe pika C të jetë mesi i segmentit AB, me dhe .

Sipas përkufizimit gjeometrik të veprimeve në vektorë, barazia (pika C është pika e prerjes së diagonaleve të një paralelogrami të ndërtuar mbi vektorë dhe, domethënë, pika C është mesi i diagonales së paralelogramit). Në artikullin e koordinatave të një vektori në një sistem koordinativ drejtkëndor, zbuluam se koordinatat e vektorit të rrezes së një pike janë të barabarta me koordinatat e kësaj pike, prandaj, . Më pas, pas kryerjes së veprimeve përkatëse mbi vektorët në koordinata, kemi . Si mund të konkludojmë se pika C ka koordinata .

Absolutisht në mënyrë të ngjashme, koordinatat e mesit të segmentit AB mund të gjenden përmes koordinatave të skajeve të tij në hapësirë. Në këtë rast, nëse C është mesi i segmentit AB dhe , atëherë kemi .

Gjetja e koordinatave të mesit të segmentit, shembuj, zgjidhje.

Në shumë probleme, duhet të përdorni formula për të gjetur koordinatat e mesit të një segmenti. Le të shqyrtojmë zgjidhjet e shembujve më karakteristikë.

Le të fillojmë me një shembull që duhet vetëm të zbatojë një formulë.

Shembull.

Në rrafsh jepen koordinatat e dy pikave . Gjeni koordinatat e mesit të segmentit AB.

Zgjidhje.

Le të jetë pika C mesi i segmentit AB. Koordinatat e tij janë të barabarta me gjysmën e shumave të koordinatave përkatëse të pikave A dhe B:

Kështu, mesi i segmentit AB ka koordinata.

Nëse prekni një fletë fletoreje me një laps të mprehur mirë, do të mbetet një gjurmë që jep një ide për pikën. (Fig. 3).

Në një fletë shënojmë dy pika A dhe B. Këto pika mund të lidhen me vija të ndryshme (fig. 4). Dhe si të lidhni pikat A dhe B me vijën më të shkurtër? Kjo mund të bëhet duke përdorur një vizore (fig. 5). Vija që rezulton quhet segment.

Pika dhe Linja - Shembuj forma gjeometrike.

Pikat A dhe B quhen skajet e segmentit.

Ekziston një segment i vetëm, skajet e të cilit janë pikat A dhe B. Prandaj, një segment shënohet duke shkruar pikat që janë skajet e tij. Për shembull, segmenti në figurën 5 është caktuar në një nga dy mënyrat: AB ose BA. Lexoni: "segmenti AB" ose "segmenti BA".

Figura 6 tregon tre segmente. Gjatësia e segmentit AB është 1 cm Në segmentin MN vendoset saktësisht tre herë, dhe saktësisht 4 herë në segmentin EF. Ne do të themi se gjatësia e segmentit MN është 3 cm, dhe gjatësia e segmentit EF është 4 cm.

Është gjithashtu e zakonshme të thuhet: "segmenti MN është 3 cm", "segmenti EF është 4 cm". Ata shkruajnë: MN = 3 cm, EF = 4 cm.

Ne matëm gjatësinë e segmenteve MN dhe EF segment i vetëm, gjatësia e së cilës është 1 cm Për të matur segmentet, mund të zgjidhni të tjera njësitë e gjatësisë, për shembull: 1 mm, 1 dm, 1 km. Në figurën 7, gjatësia e segmentit është 17 mm. Ajo matet me një segment të vetëm, gjatësia e të cilit është 1 mm, duke përdorur një vizore me ndarje. Gjithashtu, duke përdorur një vizore, mund të ndërtoni (vizatoni) një segment me një gjatësi të caktuar (shih fig. 7).

fare, të matësh një segment do të thotë të numërosh sa segmente njësi përshtaten në të.

Gjatësia e një segmenti ka vetinë e mëposhtme.

Nëse pika C është shënuar në segmentin AB, atëherë gjatësia e segmentit AB është e barabartë me shumën e gjatësive të segmenteve AC dhe CB(Fig. 8).

Ata shkruajnë: AB = AC + CB.

Figura 9 tregon dy segmente AB dhe CD. Këto segmente do të përkojnë kur mbivendosen.

Dy segmente quhen të barabartë nëse përkojnë kur mbivendosen.

Prandaj segmentet AB dhe CD janë të barabartë. Ata shkruajnë: AB = CD.

Segmentet e barabarta kanë gjatësi të barabarta.

Nga dy segmentet e pabarabarta, do ta konsiderojmë atë me gjatësi më të madhe si më të madh. Për shembull, në figurën 6, segmenti EF është më i madh se segmenti MN.

Gjatësia e segmentit AB quhet largësia ndërmjet pikave A dhe B.

Nëse disa segmente janë rregulluar siç tregohet në figurën 10, atëherë do të merret një figurë gjeometrike, e cila quhet vijë e thyer. Vini re se të gjithë segmentet në figurën 11 nuk formojnë një vijë të thyer. Besohet se segmentet formojnë një vijë të thyer nëse fundi i segmentit të parë përkon me fundin e të dytit, dhe skaji tjetër i segmentit të dytë përkon me fundin e të tretit, etj.

Pikat A, B, C, D, E − kulmet poliline ABCDE, pikat A dhe E − vija e thyer përfundon, dhe segmentet AB, BC, CD, DE janë të tij lidhjet(shih fig. 10).

Gjatësia e vijës së thyerështë shuma e gjatësive të të gjitha lidhjeve të saj.

Figura 12 tregon dy vija të thyera, skajet e të cilave përkojnë. Linja të tilla të thyera quhen mbyllur.

Shembull 1 . Segmenti BC është 3 cm më i vogël se segmenti AB, gjatësia e të cilit është 8 cm (Fig. 13). Gjeni gjatësinë e segmentit AC.

Zgjidhje. Ne kemi: BC \u003d 8 - 3 \u003d 5 (cm).

Duke përdorur vetinë e gjatësisë së një segmenti, mund të shkruajmë AC = AB + BC. Prandaj AC = 8 + 5 = 13 (cm).

Përgjigje: 13 cm.

Shembull 2 . Dihet se MK = 24 cm, NP = 32 cm, MP = 50 cm (Fig. 14). Gjeni gjatësinë e segmentit NK.

Zgjidhje. Kemi: MN = MP − NP.

Prandaj MN = 50 − 32 = 18 (cm).

Kemi: NK = MK − MN.

Prandaj NK = 24 − 18 = 6 (cm).

Përgjigje: 6 cm.

Gjatësia, siç është vërejtur tashmë, tregohet me shenjën e modulit.

Nëse jepen dy pika të rrafshit, atëherë gjatësia e segmentit mund të llogaritet me formulë

Nëse jepen dy pika në hapësirë, atëherë gjatësia e segmentit mund të llogaritet me formulë

Shënim:Formulat do të mbeten të sakta nëse ndërrohen koordinatat përkatëse: dhe , por opsioni i parë është më standard

Shembulli 3

Zgjidhja: sipas formulës përkatëse:

Përgjigje:

Për qartësi, unë do të bëj një vizatim

Seksioni - nuk është vektor, dhe nuk mund ta zhvendosësh askund, sigurisht. Përveç kësaj, nëse e përfundoni vizatimin në shkallë: 1 njësi. \u003d 1 cm (dy qeliza tetrad), atëherë përgjigja mund të kontrollohet me një vizore të rregullt duke matur drejtpërdrejt gjatësinë e segmentit.

Po, zgjidhja është e shkurtër, por ka disa pika të rëndësishme në të që do të doja t'i sqaroja:

Së pari, në përgjigje kemi vendosur dimensionin: "njësi". Gjendja nuk thotë ÇFARË është, milimetra, centimetra, metra apo kilometra. Prandaj, formulimi i përgjithshëm do të jetë një zgjidhje matematikisht kompetente: "njësi" - shkurtuar si "njësi".

Së dyti, le të përsërisim materialin shkollor, i cili është i dobishëm jo vetëm për problemin e konsideruar:

kushtojini vëmendje truk i rëndësishëm teknik – duke nxjerrë shumëzuesin nga poshtë rrënjës. Si rezultat i llogaritjeve, morëm rezultatin dhe stili i mirë matematikor përfshin nxjerrjen e faktorit nga poshtë rrënjës (nëse është e mundur). Procesi duket si ky në më shumë detaje: Sigurisht, lënia e përgjigjes në formular nuk do të jetë gabim - por është padyshim një e metë dhe një argument i rëndë për t'u marrë nga ana e mësuesit.

Këtu janë raste të tjera të zakonshme:

Shpesh një numër mjaft i madh merret nën rrënjë, për shembull. Si të jesh në raste të tilla? Në kalkulator kontrollojmë nëse numri është i pjesëtueshëm me 4:. Po, u nda plotësisht, kështu: . Apo ndoshta numri mund të ndahet përsëri me 4? . Në këtë mënyrë: . Shifra e fundit e numrit është tek, kështu që pjesëtimi me 4 për herë të tretë është qartësisht i pamundur. Përpjekja për të pjesëtuar me nëntë: . Si rezultat:
Gati.

Prodhimi: nëse nën rrënjë marrim një numër plotësisht të paekstraktueshëm, atëherë përpiqemi të nxjerrim faktorin nga nën rrënjë - në kalkulator kontrollojmë nëse numri është i pjesëtueshëm me: 4, 9, 16, 25, 36, 49, etj.

Gjatë zgjidhjes së problemeve të ndryshme, shpesh gjenden rrënjë, gjithmonë përpiquni të nxirrni faktorë nga poshtë rrënjës për të shmangur një rezultat më të ulët dhe telashe të panevojshme me finalizimin e zgjidhjeve tuaja sipas vërejtjes së mësuesit.

Le të përsërisim katrorin e rrënjëve dhe fuqive të tjera në të njëjtën kohë:

Rregullat për veprimet me gradë në një formë të përgjithshme mund të gjenden në një tekst shkollor për algjebër, por mendoj se gjithçka ose pothuajse gjithçka është tashmë e qartë nga shembujt e dhënë.

Detyra për një zgjidhje të pavarur me një segment në hapësirë:

Shembulli 4

Pikat e dhëna dhe . Gjeni gjatësinë e segmentit.

Zgjidhja dhe përgjigjja në fund të orës së mësimit.

Gjatësia e një segmenti mund të përcaktohet në mënyra të ndryshme. Për të gjetur se si të gjeni gjatësinë e një segmenti, mjafton të keni në dispozicion një vizore ose të njihni formula të veçanta për llogaritjen.

Gjatësia e vijës me vizore

Për ta bërë këtë, ne aplikojmë një vizore me ndarje milimetrash në segmentin e ndërtuar në aeroplan, dhe pika e fillimit duhet të përafrohet me zeron e shkallës së vizorit. Pastaj duhet të shënoni në këtë shkallë vendndodhjen e pikës fundore të këtij segmenti. Numri rezultues i ndarjeve të tëra të shkallës do të jetë gjatësia e segmentit, e shprehur në cm dhe mm.

Metoda e koordinatave të planit

Nëse dihen koordinatat e segmentit (x1; y1) dhe (x2; y2), atëherë gjatësia e tij duhet të llogaritet si më poshtë. Nga koordinatat në rrafshin e pikës së dytë, duhet të zbriten koordinatat e pikës së parë. Rezultati duhet të jetë dy numra. Secili prej këtyre numrave duhet të jetë në katror dhe më pas të gjejë shumën e këtyre katrorëve. Nga numri që rezulton, duhet të nxirret rrënja katrore, e cila do të jetë distanca midis pikave. Meqenëse këto pika janë skajet e segmentit, kjo vlerë do të jetë gjatësia e tij.

Shqyrtoni një shembull se si të gjeni gjatësinë e një segmenti sipas koordinatave. Ka koordinata të dy pikave (-1;2) dhe (4;7). Kur gjejmë ndryshimin në koordinatat e pikave, marrim këto vlera: x = 5, y = 5. Numrat që rezultojnë do të jenë koordinatat e segmentit. Pastaj çdo numër e vendosim në katror dhe gjejmë shumën e rezultateve, është 50. Nga ky numër nxjerrim rrënjën katrore. Rezultati është: 5 rrënjë nga 2. Kjo është gjatësia e segmentit.

Metoda e koordinatave në hapësirë

Për ta bërë këtë, merrni parasysh se si të gjeni gjatësinë e një vektori. Është ai që do të jetë një segment në hapësirën Euklidiane. Gjendet pothuajse në të njëjtën mënyrë si gjatësia e një segmenti në një plan. Ndërtimi i vektorit ndodh në plane të ndryshme. Si të gjeni gjatësinë e një vektori?

1. Gjeni koordinatat e vektorit, për këtë, nga koordinatat e pikës fundore të tij, ju duhet të zbritni koordinatat e pikës së tij fillestare.
2. Pas kësaj, ju duhet të katrorizoni secilën koordinatë të vektorit.
3. Pastaj shtoni katrorët e koordinatave.
4. Për të gjetur gjatësinë e një vektori, duhet të merrni rrënjën katrore të shumës së katrorëve të koordinatave.

Le të shqyrtojmë algoritmin e llogaritjes duke përdorur një shembull. Është e nevojshme të gjenden koordinatat e vektorit AB. Pikat A dhe B kanë këto koordinata: A (1;6;3) dhe B (3;-1;7). Fillimi i vektorit qëndron në pikën A, fundi ndodhet në pikën B. Kështu, për të gjetur koordinatat e tij, është e nevojshme të zbriten koordinatat e pikës A nga koordinatat e pikës B: (3 - 1; -1 - 6; 7 - 3) = (2; - 3) 7;4).

Tani çdo koordinatë e vendosim në katror dhe i mbledhim: 4+49+16=69. Së fundi, nxjerr rrënjën katrore të numrit të dhënë. Është e vështirë për ta nxjerrë atë, kështu që ne e shkruajmë rezultatin në këtë mënyrë: gjatësia e vektorit është e barabartë me rrënjën e 69.

Nëse nuk është e rëndësishme për ju të llogaritni vetë gjatësinë e segmenteve dhe vektorëve, por ju duhet vetëm rezultati, atëherë mund të përdorni një kalkulator në internet, për shembull, këtë.

Tani, pasi të keni studiuar këto metoda dhe duke marrë parasysh shembujt e paraqitur, mund të gjeni lehtësisht gjatësinë e segmentit në çdo problem.

segment quaj pjesën e drejtëzës që përbëhet nga të gjitha pikat e kësaj drejtëze që ndodhen ndërmjet këtyre dy pikave - quhen skajet e segmentit.

Le të shqyrtojmë shembullin e parë. Le të jepet një segment i caktuar në planin koordinativ me dy pika. Në këtë rast, ne mund ta gjejmë gjatësinë e tij duke zbatuar teoremën e Pitagorës.

Pra, në sistemin e koordinatave, vizatoni një segment me koordinatat e dhëna të skajeve të tij(x1; y1) Dhe (x2; y2) . në bosht X Dhe Y hidhni pingulet nga skajet e segmentit. Shënoni me të kuqe segmentet që janë projeksione nga segmenti origjinal në boshtin koordinativ. Pas kësaj, ne transferojmë segmentet e projeksionit paralel me skajet e segmenteve. Marrim një trekëndësh (drejtkëndësh). Hipotenuza e këtij trekëndëshi do të jetë vetë segmenti AB, dhe këmbët e tij janë projeksionet e transferuara.

Le të llogarisim gjatësinë e këtyre parashikimeve. Pra në bosht Y gjatësia e projeksionit është y2-y1 , dhe në bosht X gjatësia e projeksionit është x2-x1 . Le të zbatojmë teoremën e Pitagorës: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . Në këtë rast |AB| është gjatësia e segmentit.

Nëse përdorni këtë skemë për të llogaritur gjatësinë e një segmenti, atëherë nuk mund të ndërtoni as një segment. Tani llogarisim sa është gjatësia e segmentit me koordinata (1;3) Dhe (2;5) . Duke zbatuar teoremën e Pitagorës, marrim: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . Dhe kjo do të thotë se gjatësia e segmentit tonë është e barabartë me 5:1/2 .

Konsideroni metodën e mëposhtme për të gjetur gjatësinë e një segmenti. Për ta bërë këtë, ne duhet të dimë koordinatat e dy pikave në një sistem. Konsideroni këtë opsion duke përdorur një sistem koordinativ dydimensional kartezian.

Pra, në një sistem koordinativ dydimensional jepen koordinatat e pikave ekstreme të segmentit. Nëse vizatojmë vija të drejta nëpër këto pika, ato duhet të jenë pingul me boshtin koordinativ, atëherë marrim një trekëndësh kënddrejtë. Segmenti origjinal do të jetë hipotenuza e trekëndëshit që rezulton. Këmbët e trekëndëshit formojnë segmente, gjatësia e tyre është e barabartë me projeksionin e hipotenuzës në boshtet koordinative. Bazuar në teoremën e Pitagorës, arrijmë në përfundimin: për të gjetur gjatësinë e një segmenti të caktuar, duhet të gjeni gjatësitë e projeksioneve në dy boshte koordinative.

Gjeni gjatësitë e projeksionit (X dhe Y) segmenti origjinal në boshtet koordinative. Ne i llogarisim ato duke gjetur ndryshimin në koordinatat e pikave përgjatë një boshti të veçantë: X=X2-X1, Y=Y2-Y1 .

Llogaritni gjatësinë e segmentit POR , për këtë gjejmë rrënjën katrore:

A = √(X²+Y²) = √((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

Nëse segmenti ynë ndodhet ndërmjet pikave, koordinatat e të cilave 2;4 Dhe 4;1 , atëherë gjatësia e saj, përkatësisht, është e barabartë me √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .