Pravljice

Določanje števila z njegovim logaritmom. Lastnosti logaritmov in primeri njihovih rešitev. Celovit vodnik (2020). Psihologija in biologija

Podane so osnovne lastnosti logaritma, graf logaritma, domena definicije, množica vrednosti, osnovne formule, naraščanje in zmanjševanje. Upošteva se iskanje odvoda logaritma. In tudi integral, razširitev v potenčne vrste in predstavitev z uporabo kompleksnih števil.

Vsebina

Domena, niz vrednosti, naraščanje, padanje

Logaritem je monotona funkcija, zato nima ekstremov. Glavne lastnosti logaritma so predstavljene v tabeli.


Domena	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Razpon vrednosti	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monotona	monotono narašča	monotono pada
Ničle, y = 0	x = 1	x = 1
Presečišča z ordinatno osjo, x = 0	št	št
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Zasebne vrednote

Imenuje se logaritem z osnovo 10 decimalni logaritem in je označen kot sledi:

Logaritem na osnovo e klical naravni logaritem:

Osnovne formule za logaritme

Lastnosti logaritma, ki izhajajo iz definicije inverzne funkcije:

Glavna lastnost logaritmov in njene posledice

Formula za zamenjavo baze

Logaritem je matematična operacija logaritmiranja. Pri logaritmiranju se produkti faktorjev pretvorijo v vsote členov.
Potenciranje je matematična operacija inverzna logaritmu. Med potenciranjem se dana baza dvigne do stopnje izražanja, nad katero se izvaja potenciranje. V tem primeru se vsote členov pretvorijo v produkte faktorjev.

Dokaz osnovnih formul za logaritme

Formule, povezane z logaritmi, izhajajo iz formul za eksponentne funkcije in iz definicije inverzne funkcije.

Upoštevajte lastnost eksponentne funkcije
.
Potem
.
Uporabimo lastnost eksponentne funkcije
:
.

Dokažimo formulo zamenjave baze.
;
.
Ob predpostavki c = b imamo:

Inverzna funkcija

Inverzna logaritma z osnovo a je eksponentna funkcija z eksponentom a.

Če, potem

Izpeljava logaritma

Odvod logaritma modula x:
.
Izpeljanka n-tega reda:
.
Izpeljava formul >>>

Če želite najti odvod logaritma, ga je treba zmanjšati na osnovo e.
;
.

Integral

Integral logaritma izračunamo z integracijo po delih: .
Torej,

Izrazi, ki uporabljajo kompleksna števila

Razmislite o funkciji kompleksnega števila z:
.
Izrazimo se kompleksno število z preko modula r in argument φ :
.
Nato z uporabo lastnosti logaritma dobimo:
.
oz

Vendar argument φ ni enolično definiran. Če postavite
, kjer je n celo število,
potem bo enako število za različne n.

Zato logaritem kot funkcija kompleksne spremenljivke ni funkcija z eno vrednostjo.

Razširitev potenčnega niza

Ko pride do razširitve:

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Priročnik matematike za inženirje in študente, "Lan", 2009.

Poglej tudi:

Nadaljujemo s preučevanjem logaritmov. V tem članku bomo govorili o računanje logaritmov, se ta postopek imenuje logaritem. Najprej bomo razumeli izračun logaritmov po definiciji. Nato si poglejmo, kako se vrednosti logaritmov najdejo z uporabo njihovih lastnosti. Po tem se bomo osredotočili na izračun logaritmov skozi prvotno določene vrednosti drugih logaritmov. Na koncu se naučimo uporabljati logaritemske tabele. Celotna teorija je opremljena s primeri s podrobnimi rešitvami.

Navigacija po strani.

Računanje logaritmov po definiciji

V najpreprostejših primerih je to mogoče izvesti precej hitro in enostavno iskanje logaritma po definiciji. Oglejmo si podrobneje, kako poteka ta proces.

Njegovo bistvo je predstaviti število b v obliki a c, iz katere je po definiciji logaritma število c vrednost logaritma. To pomeni, da po definiciji naslednja veriga enačb ustreza iskanju logaritma: log a b=log a a c =c.

Torej se izračun logaritma po definiciji zmanjša na iskanje števila c, tako da je a c = b, samo število c pa je želena vrednost logaritma.

Ob upoštevanju informacij iz prejšnjih odstavkov, ko je število pod znakom logaritma podano z določeno potenco osnove logaritma, lahko takoj navedete, čemu je logaritem enak - je enak eksponentu. Pokažimo rešitve na primerih.

Primer.

Poiščite log 2 2 −3 in izračunajte tudi naravni logaritem števila e 5,3.

rešitev.

Definicija logaritma nam omogoča, da takoj rečemo, da je log 2 2 −3 =−3. Dejansko je število pod znakom logaritma enako osnovi 2 na potenco −3.

Podobno najdemo drugi logaritem: lne 5,3 =5,3.

odgovor:

log 2 2 −3 =−3 in lne 5,3 =5,3.

Če število b pod znakom za logaritem ni določeno kot potenca osnove logaritma, potem morate skrbno pogledati, ali je možno priti do predstavitve števila b v obliki a c . Pogosto je ta predstavitev povsem očitna, zlasti kadar je število pod znakom logaritma enako osnovi na potenco 1, ali 2, ali 3, ...

Primer.

Izračunajte logaritme log 5 25 , in .

rešitev.

Preprosto je videti, da je 25=5 2, kar vam omogoča izračun prvega logaritma: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Pojdimo k izračunu drugega logaritma. Število je mogoče predstaviti kot potenco števila 7: (poglejte, če je potrebno). torej .

Prepišimo tretji logaritem v naslednji obliki. Zdaj lahko to vidite , iz česar sklepamo, da . Zato po definiciji logaritma .

Rešitev bi lahko na kratko zapisali takole: .

odgovor:

log 5 25=2 , in .

Ko je pod znakom logaritma dovolj velik naravno število, potem ne bi škodilo, če bi ga faktorizirali na prafaktorje. Pogosto pomaga, če tako število predstavimo kot neko potenco osnove logaritma in zato ta logaritem izračunamo po definiciji.

Primer.

Poiščite vrednost logaritma.

rešitev.

Nekatere lastnosti logaritmov vam omogočajo, da takoj določite vrednost logaritmov. Te lastnosti vključujejo lastnost logaritma ena in lastnost logaritma števila, ki je enako osnovi: log 1 1=log a a 0 =0 in log a a=log a a 1 =1. To pomeni, da je pod znakom logaritma številka 1 ali številka a, ki je enaka osnovi logaritma, potem sta v teh primerih logaritma enaka 0 oziroma 1.

Primer.

Čemu so enaki logaritmi in log10?

rešitev.

Ker , potem iz definicije logaritma sledi .

V drugem primeru se število 10 pod znakom za logaritem ujema s svojo osnovo, zato je decimalni logaritem desetice enak ena, to je lg10=lg10 1 =1.

odgovor:

IN lg10=1 .

Upoštevajte, da izračun logaritmov po definiciji (o katerem smo govorili v prejšnjem odstavku) implicira uporabo enakosti log a a p =p, kar je ena od lastnosti logaritmov.

V praksi, ko je število pod znakom logaritma in osnova logaritma enostavno predstavljeno kot potenca določenega števila, je zelo priročno uporabiti formulo , kar ustreza eni od lastnosti logaritmov. Oglejmo si primer iskanja logaritma, ki ponazarja uporabo te formule.

Primer.

Izračunajte logaritem.

rešitev.

odgovor:

Lastnosti logaritmov, ki niso omenjene zgoraj, se uporabljajo tudi pri izračunih, vendar bomo o tem govorili v naslednjih odstavkih.

Iskanje logaritmov preko drugih znanih logaritmov

Informacije v tem odstavku nadaljujejo temo uporabe lastnosti logaritmov pri njihovem izračunu. Toda tukaj je glavna razlika ta, da se lastnosti logaritmov uporabljajo za izražanje prvotnega logaritma v smislu drugega logaritma, katerega vrednost je znana. Za pojasnilo navedimo primer. Recimo, da vemo, da je log 2 3≈1,584963, potem lahko najdemo na primer log 2 6 z majhno transformacijo z uporabo lastnosti logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

V zgornjem primeru je bilo dovolj, da smo uporabili lastnost logaritma produkta. Vendar pa je veliko pogosteje potrebno uporabiti širši arzenal lastnosti logaritmov, da bi izračunali prvotni logaritem preko danih.

Primer.

Izračunajte logaritem 27 na osnovo 60, če veste, da je log 60 2=a in log 60 5=b.

rešitev.

Najti moramo torej dnevnik 60 27 . Lahko vidimo, da je 27 = 3 3 , prvotni logaritem pa lahko zaradi lastnosti logaritma potence prepišemo kot 3·log 60 3 .

Zdaj pa poglejmo, kako izraziti log 60 3 z znanimi logaritmi. Lastnost logaritma števila, ki je enako osnovi, nam omogoča, da zapisujemo log enakosti 60 60=1. Po drugi strani pa je log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . torej 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. torej log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Na koncu izračunamo prvotni logaritem: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

odgovor:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Ločeno je treba omeniti pomen formule za prehod na novo osnovo logaritma oblike . Omogoča premik od logaritmov s katero koli osnovo do logaritmov z določeno osnovo, katerih vrednosti so znane ali jih je mogoče najti. Običajno se iz prvotnega logaritma s prehodno formulo premaknejo na logaritme v eni od osnov 2, e ali 10, saj za te baze obstajajo tabele logaritmov, ki omogočajo izračun njihovih vrednosti z določeno stopnjo natančnost. V naslednjem odstavku bomo pokazali, kako se to naredi.

Logaritemske tabele in njihova uporaba

Za približen izračun se lahko uporabijo vrednosti logaritmov logaritemske tabele. Najpogosteje uporabljena tabela logaritmov z osnovo 2, tabela naravnih logaritmov in tabela decimalnih logaritmov. Pri delu v decimalnem številskem sistemu je priročno uporabljati tabelo logaritmov, ki temelji na osnovi deset. Z njegovo pomočjo se bomo naučili poiskati vrednosti logaritmov.

Predstavljena tabela vam omogoča, da poiščete vrednosti decimalnih logaritmov števil od 1.000 do 9.999 (s tremi decimalnimi mesti) z natančnostjo ene desettisočinke. Analizirali bomo načelo iskanja vrednosti logaritma s tabelo decimalnih logaritmov na posebnem primeru - tako je jasnejše. Poiščimo log1.256.

V levem stolpcu tabele decimalnih logaritmov najdemo prvi dve števki števila 1,256, torej najdemo 1,2 (to število je zaradi jasnosti obkroženo z modro barvo). Tretja števka števila 1,256 (številka 5) se nahaja v prvi ali zadnji vrstici levo od dvojne črte (to število je obkroženo z rdečo barvo). Četrta številka prvotnega števila 1.256 (številka 6) se nahaja v prvi ali zadnji vrstici desno od dvojne črte (to število je obkroženo z zeleno črto). Sedaj najdemo številke v celicah logaritemske tabele na presečišču označene vrstice in označenih stolpcev (te številke so označene oranžno). Vsota označenih števil daje želeno vrednost decimalnega logaritma natančno na četrto decimalno mesto, to je log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Ali je mogoče z uporabo zgornje tabele najti vrednosti decimalnih logaritmov števil, ki imajo več kot tri števke za decimalno vejico, pa tudi tistih, ki presegajo obseg od 1 do 9,999? Ja lahko. Pokažimo, kako se to naredi s primerom.

Izračunajmo lg102,76332. Najprej morate zapisati številko v standardni obliki: 102,76332=1,0276332·10 2. Po tem je treba mantiso zaokrožiti na tretjo decimalno mesto, imamo 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, medtem ko je prvotni decimalni logaritem približno enak logaritmu dobljenega števila, to pomeni, da vzamemo lg102,76332≈lg1,028·10 2. Zdaj uporabimo lastnosti logaritma: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Nazadnje najdemo vrednost logaritma lg1,028 iz tabele decimalnih logaritmov lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Kot rezultat, celoten postopek izračuna logaritma izgleda takole: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Na koncu velja omeniti, da lahko s tabelo decimalnih logaritmov izračunate približno vrednost katerega koli logaritma. Če želite to narediti, je dovolj, da uporabite formulo prehoda, da greste na decimalne logaritme, poiščete njihove vrednosti v tabeli in izvedete preostale izračune.

Na primer, izračunajmo log 2 3 . Po formuli za prehod na novo osnovo logaritma imamo . Iz tabele decimalnih logaritmov najdemo log3≈0,4771 in log2≈0,3010. Tako,.

Bibliografija.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. in drugi Algebra in začetki analize: učbenik za 10.-11.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole).

Kaj je logaritem?

Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Kaj je logaritem? Kako rešiti logaritme? Ta vprašanja begajo mnoge diplomante. Tradicionalno velja, da je tema logaritmov zapletena, nerazumljiva in strašljiva. Še posebej enačbe z logaritmi.

To absolutno ni res. Vsekakor! ne verjameš? Globa. Zdaj v samo 10-20 minutah:

1. Razumeti kaj je logaritem.

2. Naučite se rešiti cel razred eksponentnih enačb. Tudi če o njih še niste slišali.

3. Naučite se računati preproste logaritme.

Še več, za to boste morali poznati samo tabelo množenja in kako povečati število na potenco ...

Zdi se mi, da dvomite ... No, v redu, označite čas! Pojdi!

Najprej reši to enačbo v svoji glavi:

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Z razvojem družbe in kompleksnostjo proizvodnje se je razvila tudi matematika. Gibanje od enostavnega k zapletenemu. Iz običajnega računovodstva z metodo seštevanja in odštevanja z njihovim večkratnim ponavljanjem smo prišli do pojma množenje in deljenje. Zmanjšanje ponavljajoče se operacije množenja je postalo koncept potenciranja. Prve tabele odvisnosti števil od osnove in stopnjevanja števila je že v 8. stoletju sestavil indijski matematik Varasena. Iz njih lahko računate čas pojavljanja logaritmov.

Zgodovinska skica

Oživitev Evrope v 16. stoletju je spodbudila tudi razvoj mehanike. T zahteval veliko količino računanja povezane z množenjem in deljenjem večmestna števila. Starodavne mize so odlično služile. Omogočili so zamenjavo zapletenih operacij s preprostejšimi – seštevanjem in odštevanjem. Velik korak naprej je bilo delo matematika Michaela Stiefela, objavljeno leta 1544, v katerem je uresničil idejo mnogih matematikov. To je omogočilo uporabo tabel ne le za stopnje v obrazcu praštevila, temveč tudi za poljubne racionalne.

Leta 1614 je Škot John Napier, ki je razvijal te ideje, prvi predstavil nov izraz "logaritem števila". Sestavljene so bile nove kompleksne tabele za izračun logaritmov sinusov in kosinusov ter tangentov. To je zelo zmanjšalo delo astronomov.

Začele so se pojavljati nove tabele, ki so jih znanstveniki uspešno uporabljali tri stoletja. Precej časa je minilo, preden je nova operacija v algebri dobila končno obliko. Podana je bila definicija logaritma in preučene so bile njegove lastnosti.

Šele v 20. stoletju, s pojavom kalkulatorja in računalnika, je človeštvo opustilo starodavne tabele, ki so uspešno delovale vsa 13. stoletja.

Danes imenujemo logaritem od b za osnovo a število x, ki je potenca od a, da naredi b. To je zapisano kot formula: x = log a(b).

Na primer, log 3(9) bi bil enak 2. To je očitno, če sledite definiciji. Če 3 dvignemo na potenco 2, dobimo 9.

Tako formulirana definicija postavlja samo eno omejitev: števili a in b morata biti realni.

Vrste logaritmov

Klasična definicija se imenuje realni logaritem in je pravzaprav rešitev enačbe a x = b. Možnost a = 1 je mejna in ni zanimiva. Pozor: 1 na katero koli potenco je enako 1.

Realna vrednost logaritma definirana le, če sta osnova in argument večja od 0, osnova pa ne sme biti enaka 1.

Posebno mesto na področju matematike igrajte logaritme, ki bodo poimenovani glede na velikost njihove osnove:

Pravila in omejitve

Temeljna lastnost logaritmov je pravilo: logaritem produkta je enak logaritemski vsoti. log abp = log a(b) + log a(p).

Kot različica te izjave bo: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), funkcija kvocienta je enaka razliki funkcij.

Iz prejšnjih dveh pravil je lahko videti, da: log a(b p) = p * log a(b).

Druge lastnosti vključujejo:

Komentiraj. Ni treba delati pogoste napake - logaritem vsote ni enak vsoti logaritmov.

Več stoletij je bila operacija iskanja logaritma precej zamudna naloga. Matematiki so uporabili dobro znano formulo logaritemske teorije polinomske ekspanzije:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), kjer je n naravno število, večje od 1, ki določa natančnost izračuna.

Logaritme z drugimi bazami smo izračunali s pomočjo izreka o prehodu iz ene baze v drugo in lastnosti logaritma produkta.

Ker je ta metoda zelo delovno intenzivna in pri odločanju praktični problemi težko izvedljivo, smo uporabili vnaprej sestavljene tabele logaritmov, kar je bistveno pohitrilo vse delo.

V nekaterih primerih so bili uporabljeni posebej sestavljeni grafi logaritmov, ki so dali manj natančnosti, vendar so bistveno pospešili iskanje želene vrednosti. Krivulja funkcije y = log a(x), zgrajena na več točkah, vam omogoča, da uporabite navadno ravnilo za iskanje vrednosti funkcije na kateri koli drugi točki. Inženirji dolgo časa V te namene je bil uporabljen tako imenovani milimetrski papir.

V 17. stoletju so se pojavili prvi pomožni analogni računalniški pogoji, ki 19. stoletje dobilo dovršen videz. Najuspešnejša naprava se je imenovala diapozitiv. Kljub preprostosti naprave je njen videz znatno pospešil proces vseh inženirskih izračunov, kar je težko preceniti. Trenutno malo ljudi pozna to napravo.

Pojav kalkulatorjev in računalnikov je onemogočil uporabo vseh drugih naprav.

Enačbe in neenačbe

Za reševanje različnih enačb in neenačb z uporabo logaritmov se uporabljajo naslednje formule:

Prehod iz ene baze v drugo: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Kot posledica prejšnje možnosti: log a(b) = 1 / log b(a).

Za reševanje neenačb je koristno vedeti:

Vrednost logaritma bo pozitivna le, če sta osnova in argument večja ali manjša od ena; če je vsaj en pogoj kršen, bo vrednost logaritma negativna.
Če se funkcija logaritma uporabi za desno in levo stran neenakosti in je osnova logaritma večja od ena, se predznak neenakosti ohrani; sicer se spremeni.

Vzorčne težave

Razmislimo o več možnostih uporabe logaritmov in njihovih lastnosti. Primeri z reševanjem enačb:

Razmislite o možnosti postavitve logaritma na potenco:

Naloga 3. Izračunajte 25^log 5(3). Rešitev: v pogojih problema je vnos podoben naslednjemu (5^2)^log5(3) ali 5^(2 * log 5(3)). Zapišimo drugače: 5^log 5(3*2) ali kvadrat števila kot argument funkcije lahko zapišemo kot kvadrat same funkcije (5^log 5(3))^2. Z uporabo lastnosti logaritmov je ta izraz enak 3^2. Odgovor: kot rezultat izračuna dobimo 9.

Praktična uporaba

Ker je zgolj matematično orodje, se zdi daleč od tega resnično življenje da je logaritem nenadoma pridobil velik pomen za opis predmetov iz resničnega sveta. Težko je najti znanost, kjer se ne uporablja. To v celoti velja ne samo za naravne, ampak tudi humanitarna področja znanja.

Logaritemske odvisnosti

Tukaj je nekaj primerov številskih odvisnosti:

Mehanika in fizika

Zgodovinsko gledano sta se mehanika in fizika vedno razvijali z uporabo matematične metode raziskovalno in hkrati služilo kot spodbuda za razvoj matematike, vključno z logaritmi. Teorija večine fizikalnih zakonov je zapisana v jeziku matematike. Naj navedemo samo dva primera opisov fizikalni zakoni z uporabo logaritma.

Problem izračuna tako zapletene količine, kot je hitrost rakete, je mogoče rešiti z uporabo formule Ciolkovskega, ki je postavila temelje za teorijo raziskovanja vesolja:

V = I * ln (M1/M2), kjer je

V je končna hitrost letala.
I – specifični impulz motorja.
M 1 – začetna masa rakete.
M 2 – končna masa.

Še en pomemben primer- to se uporablja v formuli drugega velikega znanstvenika Maxa Plancka, ki služi za oceno ravnotežnega stanja v termodinamiki.

S = k * ln (Ω), kjer je

S – termodinamična lastnost.
k – Boltzmannova konstanta.
Ω je statistična utež različnih stanj.

kemija

Manj očitna je uporaba formul v kemiji, ki vsebujejo razmerje logaritmov. Naj navedemo samo dva primera:

Nernstova enačba, pogoj redoks potenciala medija glede na aktivnost snovi in konstanto ravnotežja.
Izračun konstant, kot sta indeks avtolize in kislost raztopine, prav tako ni mogoč brez naše funkcije.

Psihologija in biologija

In sploh ni jasno, kaj ima psihologija s tem. Izkazalo se je, da je moč občutka dobro opisana s to funkcijo kot inverzno razmerje med vrednostjo intenzivnosti dražljaja in nižjo vrednostjo intenzivnosti.

Po zgornjih primerih ni več presenetljivo, da se tema logaritmov pogosto uporablja v biologiji. O bioloških oblikah, ki ustrezajo logaritemskim spiralam, bi lahko napisali cele knjige.

Druga področja

Zdi se, da je obstoj sveta nemogoč brez povezave s to funkcijo in vlada vsem zakonom. Še posebej, ko so naravni zakoni povezani z geometrijsko napredovanje. Vredno se je obrniti na spletno stran MatProfi in takih primerov je veliko na naslednjih področjih delovanja:

Seznam je lahko neskončen. Ko obvladate osnovna načela te funkcije, se lahko potopite v svet neskončne modrosti.

Logaritem pozitivno število N do baze(b> 0, b 1 ) imenovan eksponent x , na katerega morate graditi b, da dobim N .

Logaritemski zapis:

Ta vnos je enakovreden naslednjemu:b x = N .

PRIMERI: dnevnik 3 81 = 4, saj je 3 4 = 81;

Dnevnik 1/3 27 = – 3, saj je (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

Zgornjo definicijo logaritma lahko zapišemo kot identiteto:

Osnovne lastnosti logaritmov.

1) dnevnik b= 1 , Ker b 1 = b.

2) dnevnik 1 = 0 , Ker b 0 = 1 .

3) Logaritem produkta je enak vsoti logaritmov faktorjev:

dnevnik( ab) = dnevnik a+log b.

4) Logaritem količnika je enak razliki med logaritma dividende in delitelja:

dnevnik( a/b) = dnevnik a– dnevnik b.

5) Logaritem potence je enak zmnožku eksponenta in logaritma njegove osnove:

dnevnik (b k ) = k dnevnik b.

Posledica te lastnosti je naslednja:logaritem korena enako logaritmu radikalnega števila, deljenega s potenco korena:

6) Če je osnova logaritma stopinja, potem vrednost inverz eksponenta, lahko vzamemo iz znaka logaritma rima:

Zadnji dve lastnosti lahko združimo v eno:

7) Formula modula prehoda (tj. e . prehod iz ene bazelogaritem na drugo osnovo):

V posebnem primeru, ko N=a imamo:

Decimalni logaritem klical osnovni logaritem 10. Določeno je lg, tj. dnevnik 10 n = lg n. Logaritmi števil 10, 100, 1000, ... str številke so 1, 2, 3, …tiste.

imajo toliko pozitivnega enot, koliko ničel je v logaritemskem številu za ena. Logaritmi števil 0,1, 0,01, 0,001, ... str –2, avna –1, –3, …, tj. imeti toliko negativnih enic, kolikor je ničel pred ena v logaritemskem številu (štetje in nič cela števila ). Logaritmi druga števila imajo delni del, imenovan mantisa. cela del logaritma imenujemo značilnost. Za praktično uporabo

Najbolj priročni so decimalni logaritmi. klical osnovni logaritem Naravni logariteme. Določeno je v, tj. dnevnikn = e n ln . številkaeje neracionalno, to približna vrednost 2,718281828. To(1 + 1 / je meja, h kateri teži število) je meja, h kateri teži število nz neomejenim povečanjemn (cm. ).
prva čudovita meja Čeprav se zdi čudno, so se naravni logaritmi izkazali za zelo priročne pri izvajanju različne vrsteoperacije, povezane z analizo funkcij.Naravni logaritemRačunanje logaritmov na osnovo