obrti

Definicija prve in druge izpeljanke. Reševanje izpeljank za lutke: definicija, kako najti, primeri rešitev. Odvodi hiperboličnih funkcij

PRVA IZPELJAVKA

(prva izpeljanka) Stopnja povečanja vrednosti funkcije, ko se njen argument poveča na kateri koli točki, če je sama funkcija definirana na tej točki. Na grafu prvi odvod funkcije prikazuje njen naklon. če y=f(x), njena prva izpeljanka v točki x0 je meja, h kateri teži f(x0+а)–f(x0)/а kot A teži k neskončno majhni vrednosti. Prvi derivat lahko označimo dy/dx oz y´(x). funkcija y(x) ima v točki konstantno vrednost x0,če dy/dx na točki x0 enako nič. Prvi odvod, enak nič, je nujen, vendar ne zadosten pogoj, da funkcija doseže svoj maksimum ali minimum v dani točki.

Gospodarstvo. Slovar. - M .: "INFRA-M", Založba "Ves svet". J. Črni. Glavni urednik: doktor ekonomskih znanosti Osadchaya I.M.. 2000 .

Ekonomski slovar. 2000 .

Poglejte, kaj je "PRVA IZPELJAVKA" v drugih slovarjih:

- (izpeljanka) Hitrost, s katero se vrednost funkcije poveča, ko se njen argument poveča na kateri koli točki, če je funkcija sama definirana na tej točki. Na grafu prvi odvod funkcije prikazuje njen naklon. Če je y=f(x), je njegov prvi odvod v točki... ... Ekonomski slovar

Ta izraz ima druge pomene, glejte Izpeljanka. Ilustracija koncepta izpeljanke Derivativa ... Wikipedia

Odvod je osnovni koncept diferencialnega računa, ki označuje hitrost spreminjanja funkcije. Definirano kot meja razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom njenega argumenta, ko se prirastek argumenta nagiba k ničli, če je taka meja... ... Wikipedia

Robni problem posebne vrste; sestoji iz iskanja rešitve v domeni Dspremenljivk x=(x1,..., x n). diferencialna enačba(1) sodega reda 2m za dane vrednosti vseh derivatov reda, ki ni višji od m na meji S območja D (ali njegovega dela) ... Matematična enciklopedija

- (drugi odvod) Prvi odvod prvega odvoda funkcije. Prvi odvod meri naklon funkcije; druga izpeljanka meri, kako se naklon spreminja, ko se argument povečuje. Drugi odvod y = f(x)… … Ekonomski slovar

Ta članek ali razdelek potrebuje revizijo. Prosimo, izboljšajte članek v skladu s pravili za pisanje člankov. Ulomek o ... Wikipedia

- (navzkrižni delni odvod) Učinek spreminjanja enega argumenta funkcije iz dveh ali več spremenljivk na odvod dane funkcije glede na drug argument. Če je y=f(x,z), potem je njegov odvod ali prvi odvod funkcije y glede na argument x enak... ... Ekonomski slovar

analog točkovne hitrosti- Prvi odvod gibanja točke po posplošeni koordinati mehanizma...

analog kotne hitrosti povezave- Prvi odvod kota zasuka člena glede na posplošeno koordinato mehanizma... Politehnični terminološki razlagalni slovar

generalizirana hitrost mehanizma- Prvi odvod posplošene koordinate mehanizma glede na čas... Politehnični terminološki razlagalni slovar

knjige

Zbirka problemov o diferencialni geometriji in topologiji, Miščenko A.S.. Ta zbirka problemov naj bi čim bolj odražala obstoječe zahteve za tečaje diferencialne geometrije in topologije, tako iz novih programov kot iz drugih tečajev...
Moji znanstveni članki. Knjiga 3. Metoda matrik gostote v kvantnih teorijah laserja, poljubnega atoma, Bondarev Boris Vladimirovič. Knjiga obravnava objavljene znanstvene članke, v katerih z uporabo metode gostotnih matrik na novo kvantne teorije laser, poljuben atom in kvantni oscilator z dušenjem...

Predstavljamo zbirno tabelo za udobje in jasnost pri preučevanju teme.

Konstantay = C

Potenčna funkcija y = x p

(x p) " = p x p - 1

Eksponentna funkcijay = sekira

(a x) " = a x ln a

Še posebej, koa = eimamo y = e x

(e x) " = e x

Logaritemska funkcija

(log a x) " = 1 x ln a

Še posebej, koa = eimamo y = logx

(ln x) " = 1 x

Trigonometrične funkcije

(sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x

Inverzne trigonometrične funkcije

(a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2

Hiperbolične funkcije

(s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Analizirajmo, kako so bile pridobljene formule navedene tabele ali, z drugimi besedami, dokazali bomo izpeljavo formul izpeljave za vsako vrsto funkcije.

Izpeljanka konstante

Dokazi 1

Za izpeljavo te formule vzamemo za osnovo definicijo odvoda funkcije v točki. Uporabimo x 0 = x, kjer je x prevzame vrednost katerega koli realnega števila ali, z drugimi besedami, x je poljubno število iz domene funkcije f (x) = C. Zapišimo mejo razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta kot ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Upoštevajte, da izraz 0 ∆ x spada pod mejni znak. Ne gre za negotovost »nič deljeno z ničlo«, saj števec ne vsebuje neskončno majhne vrednosti, ampak natanko nič. Z drugimi besedami, prirastek konstantne funkcije je vedno enak nič.

Torej je odvod konstantne funkcije f (x) = C enak nič skozi celotno domeno definicije.

Primer 1

Konstantne funkcije so podane:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

rešitev

Opišimo dane pogoje. V prvi funkciji vidimo odvod naravnega števila 3. V naslednjem primeru morate vzeti izpeljanko A, Kje A- kaj realno število. Tretji primer nam daje izpeljanko iracionalnega števila 4. 13 7 22, četrti je odvod ničle (ničla je celo število). Končno, v petem primeru imamo izpeljanko racionalnega ulomka - 8 7.

odgovor: odvodi danih funkcij so nič za vsako realno x(na celotnem območju definicije)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Odvod potenčne funkcije

Preidimo na potenčno funkcijo in formulo za njen odvod, ki ima obliko: (x p) " = p x p - 1, kjer je eksponent str je katero koli realno število.

Dokazi 2

Navedimo dokaz formule, ko je eksponent naravno število: p = 1, 2, 3, …

Ponovno se opiramo na definicijo derivata. Zapišimo mejo razmerja med prirastkom potenčne funkcije in prirastkom argumenta:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Za poenostavitev izraza v števcu uporabimo Newtonovo binomsko formulo:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Torej:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (. C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = C p 1 · x p - . 1 + 0 + .

Tako smo dokazali formulo za odvod potenčne funkcije, ko je eksponent naravno število.

Dokazi 3

Predložiti dokaz za primer, ko p- vsako realno število, ki ni nič, uporabimo logaritemski odvod (tu moramo razumeti razliko od odvoda logaritemske funkcije). Za popolnejše razumevanje je priporočljivo preučiti odvod logaritemske funkcije in dodatno razumeti odvod implicitne funkcije in odvod kompleksne funkcije.

Razmislimo o dveh primerih: ko x pozitivno in kdaj x negativno.

Torej x > 0. Potem: x p > 0 . Logaritmirajmo enakost y = x p na osnovo e in uporabimo lastnost logaritma:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

Na tej stopnji smo dobili implicitno določeno funkcijo. Opredelimo njegovo izpeljanko:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Zdaj obravnavamo primer, ko x – negativno število.

Če indikator str Tukaj je sodo število, potem je potenčna funkcija definirana za x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Potem x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

če str je liho število, potem je potenčna funkcija definirana za x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Zadnji prehod je možen zaradi dejstva, da če str je torej liho število p - 1 ali sodo število ali nič (za p = 1), torej za negativno x enakost (- x) p - 1 = x p - 1 velja.

Tako smo dokazali formulo za odvod potenčne funkcije za katerikoli realni p.

Primer 2

Podane funkcije:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Določite njihove izpeljanke.

rešitev

Nekaj danih funkcij pretvorimo v tabelarično obliko y = x p , ki temelji na lastnostih stopnje, nato pa uporabimo formulo:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Odvod eksponentne funkcije

Dokaz 4

Izpeljimo izpeljano formulo z uporabo definicije kot osnove:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Imamo negotovost. Da ga razširimo, zapišimo novo spremenljivko z = a ∆ x - 1 (z → 0 kot ∆ x → 0). V tem primeru je a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Za zadnji prehod je bila uporabljena formula za prehod na novo logaritemsko osnovo.

Nadomestimo v prvotno mejo:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Spomnimo se druge izjemne meje in takrat dobimo formulo za odvod eksponentne funkcije:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Primer 3

Podane so eksponentne funkcije:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Treba je najti njihove izpeljanke.

rešitev

Uporabimo formulo za odvod eksponentne funkcije in lastnosti logaritma:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Odvod logaritemske funkcije

Dokazi 5

Predstavljamo dokaz formule za odvod logaritemske funkcije za poljubno x v domeni definicije in vse dopustne vrednosti osnove a logaritma. Na podlagi definicije derivata dobimo:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Iz navedene verige enačb je razvidno, da so transformacije temeljile na lastnosti logaritma. Enakost lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e velja po drugi izjemni limiti.

Primer 4

Logaritemske funkcije so podane:

f 1 (x) = log ln 3 x, f 2 (x) = ln x

Treba je izračunati njihove derivate.

rešitev

Uporabimo izpeljano formulo:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Torej je odvod naravnega logaritma ena deljeno z x.

Odvodi trigonometričnih funkcij

Dokaz 6

Uporabimo nekaj trigonometrične formule in prva izjemna meja za izpeljavo formule za odvod trigonometrične funkcije.

Glede na definicijo odvoda sinusne funkcije dobimo:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Formula za razliko sinusov nam bo omogočila izvedbo naslednjih dejanj:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Na koncu uporabimo prvo čudovito omejitev:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Torej, odvod funkcije greh x volja cos x.

Dokazali bomo tudi formulo za odvod kosinusa:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Tisti. odvod funkcije cos x bo – greh x.

Na podlagi pravil diferenciacije izpeljemo formule za odvode tangensa in kotangensa:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Odvodi inverznih trigonometričnih funkcij

Razdelek o odvodu inverznih funkcij ponuja izčrpne informacije o dokazu formul za odvode arkusina, arkosinusa, arktangensa in arkotangensa, zato gradiva tu ne bomo podvajali.

Odvodi hiperboličnih funkcij

Dokazi 7

Formule za odvode hiperboličnega sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa lahko izpeljemo z uporabo pravila diferenciacije in formule za odvod eksponentne funkcije:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Zelo enostavno zapomniti.

No, ne gremo daleč, takoj razmislimo o inverzni funkciji. Katera funkcija je inverzna eksponentni funkciji? Logaritem:

V našem primeru je osnova številka:

Takšen logaritem (to je logaritem z osnovo) imenujemo »naravni«, zanj pa uporabljamo poseben zapis: namesto tega pišemo.

Čemu je enako? Seveda, .

Izpeljanka naravnega logaritma je tudi zelo preprosta:

Primeri:

Poiščite odvod funkcije.
Kaj je odvod funkcije?

odgovori: Razstavljavec in naravni logaritem- funkcije so edinstveno preproste v smislu derivatov. Eksponentne in logaritemske funkcije s katero koli drugo osnovo bodo imele drugačen odvod, ki ga bomo analizirali kasneje, ko bomo pregledali pravila diferenciacije.

Pravila razlikovanja

Pravila česa? Spet nov mandat, spet?!...

Diferenciacija je postopek iskanja izpeljanke.

To je vse. Kako drugače lahko poimenujete ta proces z eno besedo? Ni izpeljanka... Matematiki imenujejo diferencial enak prirastek funkcije pri. Ta izraz izhaja iz latinskega differentia - razlika. Tukaj.

Pri izpeljavi vseh teh pravil bomo uporabili dve funkciji, na primer in. Potrebovali bomo tudi formule za njihove prirastke:

Skupaj je 5 pravil.

Konstanta je vzeta iz predznaka izpeljanke.

Če - neko konstantno število (konstanta), potem.

Očitno to pravilo deluje tudi za razliko: .

Dokažimo to. Naj bo ali preprosteje.

Primeri.

Poiščite odvode funkcij:

na točki;
na točki;
na točki;
na točki.

rešitve:

(izpeljanka je v vseh točkah enaka, saj to linearna funkcija, se spomniš?);

Izpeljanka izdelka

Tukaj je vse podobno: predstavimo novo funkcijo in poiščimo njen prirastek:

Izpeljanka:

Primeri:

Poiščite odvode funkcij in;
Poiščite odvod funkcije v točki.

rešitve:

Odvod eksponentne funkcije

Zdaj je vaše znanje dovolj, da se naučite poiskati odvod poljubne eksponentne funkcije in ne samo eksponentov (ste že pozabili, kaj je to?).

Torej, kje je kakšna številka.

Izpeljanko funkcije že poznamo, zato poskusimo prenesti našo funkcijo na novo osnovo:

Za to bomo uporabili preprosto pravilo: . Nato:

No, uspelo je. Zdaj poskusite najti izpeljanko in ne pozabite, da je ta funkcija kompleksna.

Se je zgodilo?

Evo, preverite sami:

Izkazalo se je, da je formula zelo podobna izpeljanki eksponenta: kot je bila, ostaja enaka, pojavil se je le faktor, ki je le številka, ne pa spremenljivka.

Primeri:
Poiščite odvode funkcij:

odgovori:

To je le številka, ki je ni mogoče izračunati brez kalkulatorja, torej je ni več mogoče zapisati v preprosti obliki. Zato ga v odgovoru pustimo v tej obliki.

Upoštevajte, da je tukaj količnik dveh funkcij, zato uporabimo ustrezno pravilo diferenciacije:

V tem primeru produkt dveh funkcij:

Odvod logaritemske funkcije

Tukaj je podobno: odvod naravnega logaritma že poznate:

Torej, če želite najti poljuben logaritem z drugačno osnovo, na primer:

Ta logaritem moramo zmanjšati na osnovo. Kako spremenite osnovo logaritma? Upam, da se spomnite te formule:

Samo zdaj bomo namesto tega napisali:

Imenovalec je preprosto konstanta (konstantno število, brez spremenljivke). Izpeljanko dobimo zelo preprosto:

Izvodov eksponentnih in logaritemskih funkcij skoraj nikoli ne najdemo v enotnem državnem izpitu, vendar jih ne bo odveč poznati.

Odvod kompleksne funkcije.

Kaj je "kompleksna funkcija"? Ne, to ni logaritem in ni arktangens. Te funkcije so lahko težko razumljive (čeprav se vam zdi logaritem težak, preberite temo "Logaritmi" in vse bo v redu), vendar z matematičnega vidika beseda "kompleksno" ne pomeni "težko".

Predstavljajte si majhen tekoči trak: dve osebi sedita in delata nekaj dejanj z nekaterimi predmeti. Prvi na primer zavije čokoladno tablico v ovoj, drugi pa jo zaveže s pentljo. Rezultat je sestavljen predmet: čokoladna ploščica, ovita in privezana s trakom. Če želite pojesti čokoladico, morate narediti obratne korake v obratnem vrstnem redu.

Ustvarimo podoben matematični cevovod: najprej bomo našli kosinus števila in nato kvadrirali dobljeno število. Torej, dobimo številko (čokolada), jaz poiščem njen kosinus (ovitek), nato pa ti kvadriraš, kar sem jaz dobil (zavežeš s trakom). Kaj se je zgodilo? funkcija. To je primer kompleksne funkcije: ko za iskanje njene vrednosti izvedemo prvo dejanje neposredno s spremenljivko in nato drugo dejanje s tistim, kar je rezultat prvega.

Z drugimi besedami, kompleksna funkcija je funkcija, katere argument je druga funkcija: .

Za naš primer,.

Z lahkoto lahko naredimo iste korake v obratnem vrstnem redu: najprej ga kvadrirate, nato pa poiščem kosinus dobljenega števila: . Zlahka je uganiti, da bo rezultat skoraj vedno drugačen. Pomembna značilnost kompleksnih funkcij: ko se spremeni vrstni red dejanj, se spremeni funkcija.

Drugi primer: (isto). .

Poklicano bo dejanje, ki ga izvedemo nazadnje "zunanjo" funkcijo, in prvo izvedeno dejanje - temu primerno "notranja" funkcija(to so neformalna imena, uporabljam jih samo za razlago snovi v preprostem jeziku).

Poskusite sami ugotoviti, katera funkcija je zunanja in katera notranja:

odgovori: Ločevanje notranjih in zunanjih funkcij je zelo podobno spreminjanju spremenljivk: na primer v funkciji

Katero dejanje bomo najprej izvedli? Najprej izračunajmo sinus, šele nato ga kubiramo. To pomeni, da gre za notranjo funkcijo, vendar zunanjo.
In prvotna funkcija je njihova sestava: .
Notranji: ; zunanji:.
Pregled: .
Notranji: ; zunanji:.
Pregled: .
Notranji: ; zunanji:.
Pregled: .
Notranji: ; zunanji:.
Pregled: .

Spremenimo spremenljivke in dobimo funkcijo.

No, zdaj bomo izluščili našo čokoladico in poiskali izpeljanko. Postopek je vedno obraten: najprej iščemo odvod zunanje funkcije, nato rezultat pomnožimo z odvodom notranje funkcije. Glede na originalni primer je videti takole:

Še en primer:

Torej, končno oblikujmo uradno pravilo:

Algoritem za iskanje odvoda kompleksne funkcije:

Zdi se preprosto, kajne?

Preverimo s primeri:

rešitve:

1) Notranji: ;

Zunanji: ;

2) Notranji: ;

(Samo ne poskušajte ga zdaj odrezati! Nič ne pride izpod kosinusa, se spomnite?)

3) Notranji: ;

Zunanji: ;

Takoj je jasno, da gre za trinivojsko kompleksno funkcijo: navsezadnje je to že sama po sebi kompleksna funkcija in iz nje izluščimo tudi koren, torej izvedemo tretje dejanje (damo čokolado v ovoj in s trakom v aktovki). Vendar ni razloga za strah: to funkcijo bomo še vedno "odpakirali" v istem vrstnem redu kot običajno: od konca.

To pomeni, da najprej diferenciramo koren, nato kosinus in šele nato izraz v oklepaju. In potem vse pomnožimo.

V takih primerih je priročno oštevilčiti dejanja. Se pravi, predstavljajmo si, kaj vemo. V kakšnem vrstnem redu bomo izvajali dejanja za izračun vrednosti tega izraza? Poglejmo primer:

Kasneje ko se izvede dejanje, bolj "zunanja" bo ustrezna funkcija. Zaporedje dejanj je enako kot prej:

Tu je gnezdenje običajno 4-nivojsko. Določimo vrstni red dejanj.

1. Radikalno izražanje. .

2. Koren. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Vse skupaj:

IZPELJAVKA. NA KRATKO O GLAVNEM

Odvod funkcije- razmerje med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta za neskončno majhen prirastek argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila razlikovanja:

Konstanta je vzeta iz izpeljanke:

Izpeljanka vsote:

Izpeljanka izdelka:

Izpeljanka količnika:

Odvod kompleksne funkcije:

Algoritem za iskanje odvoda kompleksne funkcije:

Definiramo “notranjo” funkcijo in poiščemo njen odvod.
Definiramo “zunanjo” funkcijo in poiščemo njen odvod.
Rezultate prve in druge točke pomnožimo.

Lahko se vzame kot znak izpeljanka:

(af(x)" =af " (x).

Na primer:

Odvod algebraične vsote več funkcij (v stalnih številkah) je enaka njihovi algebraični vsoti odvod:

(f 1 (x) + f 2 (x) - f 3 (x))" = f 1 " (x) + f 2 " (x) - f 3 " (x).

Na primer:

(0,3 x 2 - 2 x + 0,8)" = (0,3 x 2)" - (2 x)" + (0,8)" = 0,6 x - 2 ( izpeljanka zadnji termin enačba je nič).

če odvod funkcije g ni nič, potem ima tudi razmerje f/g končna izpeljanka. To lastnost lahko zapišemo kot:

Pustiti funkcije y = f(x) in y = g(x) imata končne izpeljanke v točki x 0 . Potem funkcije imata tudi f ± g in f g končne izpeljanke v to točka. Potem dobimo:

(f ± g) ′ = f ′ ± g ′,

(f g) ′ = f ′ g + f g ′.

Odvod kompleksne funkcije.

Pustiti funkcijo y = f(x) ima končni odvod v točki x 0 ima funkcija z = s(y) končni odvod v točki y 0 = f(x 0).

Potem kompleksna funkcija z = s (f(x)) ima na tej točki tudi končni odvod. Zgornje lahko zapišemo v obliki:

Odvod inverzne funkcije.

Naj ima funkcija y = f(x). inverzna funkcija x = g(y) na nekaterih interval(a, b) in obstaja različna od nič končna izpeljanka ta funkcija v točki x 0, ki pripada domena definicije, tj. x 0 ∈ (a, b).

Potem inverzna funkcija Ima izpeljanka v točki y 0 = f(x 0):

Izpeljava implicitne funkcije.

če funkcijo y = f(x) je podan implicitno enačba F(x, y(x)) = 0, potem je njegov izpeljanka najdemo iz pogoja:

To pravijo funkcijo y = f(x) je določeno implicitno, če ona enako izpolnjuje razmerje:

kjer je F(x, y) neka funkcija dveh argumentov.

Odvod funkcije, definirane parametrično.

če funkcijo y = f(x) parametrično določimo z upoštevanim

Reševanje fizikalnih problemov ali primerov v matematiki je povsem nemogoče brez poznavanja odvoda in metod za njegov izračun. Izpeljanka je eden najpomembnejših pojmov matematična analiza. Odločili smo se, da današnji članek posvetimo tej temeljni temi. Kaj je derivat, kakšna je njegova fizična in geometrijski pomen kako izračunati odvod funkcije? Vsa ta vprašanja je mogoče združiti v eno: kako razumeti izpeljanko?

Geometrijski in fizikalni pomen odvoda

Naj bo funkcija f(x) , določene v določenem intervalu (a, b) . Točki x in x0 pripadata temu intervalu. Ko se x spremeni, se spremeni tudi sama funkcija. Spreminjanje argumenta - razlika v njegovih vrednostih x-x0 . Ta razlika je zapisana kot delta x in se imenuje prirast argumenta. Sprememba ali povečanje funkcije je razlika med vrednostmi funkcije na dveh točkah. Opredelitev derivata:

Odvod funkcije v točki je meja razmerja med prirastkom funkcije v dani točki in prirastkom argumenta, ko slednji teži k nič.

Sicer se lahko zapiše takole:

Kakšen smisel ima iskanje takšne meje? In to je:

odvod funkcije v točki je enak tangensu kota med osjo OX in tangento na graf funkcije v dani točki.

Fizični pomen derivat: odvod poti po času je enak hitrosti premokotnega gibanja.

Dejansko že od šolskih dni vsi vedo, da je hitrost posebna pot x=f(t) in čas t . Povprečna hitrost v določenem časovnem obdobju:

Ugotoviti hitrost gibanja v določenem trenutku t0 morate izračunati mejo:

Prvo pravilo: nastavite konstanto

Konstanto lahko vzamemo iz predznaka izpeljanke. Poleg tega je to treba storiti. Pri reševanju primerov v matematiki vzemite pravilo - Če lahko izraz poenostavite, ga obvezno poenostavite .

Primer. Izračunajmo izpeljanko:

Drugo pravilo: odvod vsote funkcij

Odvod vsote dveh funkcij je enak vsoti odvodov teh funkcij. Enako velja za odvod razlike funkcij.

Ne bomo podajali dokaza tega izreka, ampak raje razmislimo o praktičnem primeru.

Poiščite odvod funkcije:

Tretje pravilo: odvod produkta funkcij

Odvod zmnožka dveh diferenciabilnih funkcij se izračuna po formuli:

Primer: poiščite odvod funkcije:

rešitev:

Tukaj je pomembno govoriti o izračunu odvodov kompleksnih funkcij. Odvod kompleksne funkcije je enak zmnožku odvoda te funkcije glede na vmesni argument in odvoda vmesnega argumenta glede na neodvisno spremenljivko.

V zgornjem primeru naletimo na izraz:

V tem primeru je vmesni argument 8x na peto potenco. Da bi izračunali odvod takega izraza, najprej izračunamo odvod zunanje funkcije glede na vmesni argument, nato pa pomnožimo z odvodom samega vmesnega argumenta glede na neodvisno spremenljivko.

Četrto pravilo: odvod kvocienta dveh funkcij

Formula za določanje odvoda količnika dveh funkcij:

Poskušali smo govoriti o derivatih za lutke iz nič. Ta tema ni tako preprosta, kot se zdi, zato bodite pozorni: v primerih so pogosto pasti, zato bodite previdni pri izračunu izpeljank.

Z morebitnimi vprašanji o tej in drugih temah se lahko obrnete na študentski servis. zadaj kratkoročno Pomagali vam bomo rešiti najtežje teste in rešiti probleme, tudi če še nikoli niste delali izračunov izpeljank.