Odvod kotangensa x. Odvodi trigonometričnih funkcij: tangens, sinus, kosinus in drugi. Izvodne formule za trigonometrične funkcije

Odvod glede na spremenljivko x iz kotangensa x je enak minus ena deljeno s sinusom na kvadrat x:
(ctg x)′ =.

Izpeljava formule odvoda kotangensa

Za izpeljavo formule za odvod kotangensa bomo uporabili naslednja matematična dejstva:
1) Izražanje kotangensa s kosinusom in sinusom:
(1) ;
2) Vrednost odvoda kosinusa:
(2) ;
3) Vrednost sinusnega derivata:
(3) ;
4) Formula za izpeljavo kvocienta:
(4) ;
5) Trigonometrična formula:
(5) .

Te formule in pravila uporabimo za odvod kotangensa.

.

Tako smo dobili formulo za odvod kotangensa.

Formula izpeljanega ulomka (4) velja za tiste vrednosti spremenljivke x, za katere obstajajo izpeljanke funkcij in in za katere imenovalec ulomka ne izgine:
.
V našem primeru
, . Ker sta odvoda kosinusa in sinusa definirana za vse vrednosti spremenljivke x, velja formula za odvod kotangensa za vse x, razen za točke, kjer je sinus enak nič. Se pravi, razen točk
,
kjer je celo število.
Sama funkcija y = ctg x definirana za vse x razen točk
.
Zato odvod kotangensa je definiran na celotnem področju definiranja funkcije kotangensa.

Izpeljanke višjega reda

Preprosta formula za odvod n-tega reda kotangensa y = ctg x, št. Toda izračun derivatov višjega reda je mogoče poenostaviti. Sam proces se lahko zmanjša na diferenciranje polinoma.

Da bi to naredili, izrazimo odvod kotangensa skozi sam kotangens:
.
Tako smo ugotovili:
(6) .

Poiščimo odvode leve in desne strani enačbe (6) in uporabimo pravilo za razlikovanje kompleksne funkcije. Dobimo derivat drugega reda:
.
Zamenjajmo (6):
(7) .

Poiščimo odvod tretjega reda. Da bi to naredili, diferenciramo enačbo (7), uporabimo pravilo za diferenciacijo kompleksne funkcije in uporabimo izraz (6) za prvi odvod:
.

Na podoben način ugotavljamo derivate četrtega in petega reda:

;

.

IN splošni pogled, derivat n-tega reda, v spremenljivki x kotangensne funkcije, , lahko predstavimo kot polinom potenc kotangensa:
.
Koeficienti tega polinoma so povezani ponovitveno razmerje:
,
Kje
; ;
.

Splošna formula

Predstavljajmo si postopek diferenciacije z eno formulo. Če želite to narediti, upoštevajte to
.
Potem ima n-ti odvod kotangensa naslednjo obliko:
,
Kje .

Najpogostejša vprašanja

Ali je možno izdelati žig na dokument po predloženem vzorcu? Odgovori Ja, možno je. Pošljite skenirano kopijo ali fotografijo na naš elektronski naslov dobra kakovost, in izdelali bomo potreben dvojnik.

Katere vrste plačil sprejemate? Odgovori Dokument lahko plačate po prejemu s strani kurirja, potem ko preverite pravilnost izpolnjevanja in kakovost izvedbe diplome. To lahko storite tudi na poslovalnicah poštnih podjetij, ki ponujajo plačilo po povzetju.
Vsi pogoji dostave in plačila dokumentov so opisani v razdelku »Plačilo in dostava«. Pripravljeni smo prisluhniti tudi vašim predlogom glede pogojev dostave in plačila dokumenta.

Ali sem lahko prepričan, da po oddaji naročila ne boste izginili z mojim denarjem? Odgovori Na področju izdelave diplom imamo kar nekaj izkušenj. Imamo več spletnih mest, ki se nenehno posodabljajo. Naši strokovnjaki delajo v različnih delih države in izdelajo več kot 10 dokumentov na dan. V preteklih letih so naši dokumenti mnogim ljudem pomagali pri reševanju težav z zaposlitvijo ali prehodu na bolje plačana delovna mesta. Med strankami smo pridobili zaupanje in prepoznavnost, zato za to ni prav nobenega razloga. Poleg tega je to preprosto fizično nemogoče narediti: naročilo plačate takoj, ko ga prejmete v roke, predplačila ni.

Ali lahko naročim diplomo katere koli univerze? Odgovori Na splošno ja. Na tem področju delamo že skoraj 12 let. V tem času se je oblikovala skoraj popolna baza dokumentov, ki so jih izdale skoraj vse univerze v državi in ​​širše. različna leta izdaja. Vse kar potrebujete je, da izberete univerzo, posebnost, dokument in izpolnite naročilnico.

Kaj storiti, če v dokumentu najdete tipkarske napake in napake? Odgovori Ko prejmete dokument od našega kurirja ali poštnega podjetja, priporočamo, da natančno preverite vse podrobnosti. Če se odkrije tipkarska napaka, napaka ali netočnost, imate pravico, da diplome ne prevzamete, vendar morate ugotovljene napake navesti osebno kurirju ali pisno po elektronski pošti.
IN kakor hitro se da Dokument bomo popravili in ga ponovno poslali na navedeni naslov. Seveda bo poštnino plačalo naše podjetje.
Da bi se izognili takšnim nesporazumom, stranki pred izpolnjevanjem originalnega obrazca po e-pošti pošljemo maketo bodočega dokumenta v pregled in odobritev končne verzije. Preden pošljemo dokument po kurirju ali po pošti, dodatno fotografiramo in posnamemo tudi video posnetke (tudi v ultravijolični svetlobi), da boste imeli jasno predstavo, kaj boste na koncu prejeli.

Kaj naj naredim, da naročim diplomo pri vašem podjetju? Odgovori Za naročilo dokumenta (spričevala, diplome, akademskega spričevala itd.) morate izpolniti spletno naročilnico na naši spletni strani ali posredovati vaš e-mail, da vam lahko pošljemo prijavnico, ki jo morate izpolniti in poslati nazaj nam.
Če v katerem koli polju naročilnice/vprašalnika ne veste, kaj navesti, ga pustite prazna. Zato bomo vse manjkajoče podatke razjasnili po telefonu.

Zadnje ocene

Torywild:

Za nakup diplome vašega podjetja sem se odločil, ko sem se preselil v drugo mesto in med svojimi stvarmi nisem našel svoje diplome. Brez njega me ne bi sprejeli na dobro, dobro plačano delovno mesto. Vaš svetovalec mi je to zagotovil te informacije ni razkrit in nihče ne bo razlikoval dokumenta od izvirnika. Dvomov ni bilo, a sem moral tvegati. Všeč mi je bilo, da predplačilo ni potrebno. Na splošno sem diplomo prejel pravočasno in nisem bil prevaran. Hvala vam!

Oksana Ivanovna:

Ko so mi ukradli diplomo, sem bil zelo razburjen. Konec koncev so me ravno takrat odpustili, zdaj pa jih najdem Dobro opravljeno brez diplome višja izobrazba skoraj nemogoče. Na srečo je sosed predlagal stik z vašo organizacijo. Sprva sem bil skeptičen, a sem se odločil tvegati. Poklical sem direktorja podjetja in mu razložil svojo situacijo. In imam srečo! Vse so naredili takoj, in kar je najpomembneje, obljubili so, da moje skrivnosti ne bodo izdali. Skrbelo me je, da se to, da sem diplomo kupil, kasneje ne bo pokazalo.

Maša Kutenkova:

Hvala za delo! Naročil sem diplomo iz leta 1991. Ko so začeli dvigovati dokumente, se je izkazalo, da je izkušenj malo, potrebovali pa so tudi papir, ki potrjuje njihovo izobrazbo. Nisem ga imel in šefica je to vedela in sama je priporočila vaše podjetje (očitno nisem nič kot zaposleni). Na dokumentu me je opozorila na podrobnosti - pravijo, v katerih letih uporabljajo črnilo ali črnilo, debelino podpisa itd. Hvala za natančnost in kakovost!

LenOK:

Po branju zgodb o sramotnih odpuščanjih zaposlenih, katerih diplome so bile natisnjene na barvnem tiskalniku, sem se šel prijavit na fakulteto. Žal, ni proračuna, ni denarja za študij in ni denarja za plačilo tečajev, zato sem moral tvegati. Čeprav sem zelo vesel, da sem spoznal vašo družbo. Čeprav me zaradi neuspešnega praktičnega dela niso zaposlili s tvojo diplomo, to ni tvoja krivda. Takoj, ko najdem novo mesto, pridem naravnost k vam, brez odlašanja!

Jerry Terry:

Ko sem gledal, s kakšno zadrego so mojega kolega vrgli z dela zaradi ponarejene diplome, je bilo strašljivo slediti njegovemu zgledu. Če ne bi bilo botre, ki je naročila pri vas, ne bi tvegal. Zagotovila je, da je tukaj vse gladko in da bo moje ime povsod, kjer bo potrebno. Za vse sem imel 4 dni časa. Hvala za vašo hitrost - dokončali smo ga v 3, prav tako smo uspeli natančno preučiti metode ponarejanja dokumentov, vendar vaš obrazec ne velja za ponaredek, kar pomeni, da bo veljal za izvirnika.

Andrej:

Nikoli si ne bi mislil, da bom moral kupiti diplomo. Moja hči je po šoli odšla delat na Poljsko; ko se je čez 5 let vrnila, se je želela zaposliti kot oblikovalka oblačil v lokalni modni hiši. Brez diplome je nihče ni hotel vzeti v službo. Razumel je, da bo spet odšel, če ne bo dobil te službe. Večer sem preživela med brskanjem po internetu, zjutraj pa sem bila že v pisarni s hčerinimi dokumenti. Teden dni kasneje je z njo odnesel diplomo in končno je ostala delati v svojem mestu na želenem delovnem mestu. Nimaš pojma, kako sem ti hvaležen!

Od tečaja geometrije in matematike so šolarji navajeni, da se jim koncept derivata posreduje skozi območje figure, diferenciale, meje funkcij, pa tudi meje. Poskusimo pogledati na koncept odvoda z drugega zornega kota in ugotoviti, kako je mogoče povezati odvod in trigonometrično funkcijo.

Oglejmo si torej neko poljubno krivuljo, ki jo opisuje abstraktna funkcija y = f(x).

Predstavljajmo si, da je urnik zemljevid turistične poti. Prirast ∆x (delta x) na sliki je določena razdalja poti, ∆y pa sprememba višine poti nad morsko gladino.
Potem se izkaže, da bo razmerje ∆x/∆y karakteriziralo zahtevnost poti na vsakem segmentu poti. Ko se naučite te vrednosti, lahko z gotovostjo rečete, ali je vzpon/spust strm, ali bo potrebna plezalna oprema in ali turisti potrebujejo določeno telesno vadbo. Toda ta indikator bo veljaven samo za en majhen interval ∆x.

Če organizator potovanja vzame vrednosti za začetno in končno točko poti, torej je ∆x enak dolžini poti, potem ne bo mogel pridobiti objektivnih podatkov o stopnji zahtevnosti. potovanja. Zato je treba sestaviti še en graf, ki bo karakteriziral hitrost in »kakovost« sprememb na poti, z drugimi besedami, določil razmerje ∆x/∆y za vsak »meter« poti.

Ta graf bo vizualna izpeljanka za določeno pot in bo objektivno opisoval njene spremembe v vsakem intervalu zanimanja. To je zelo preprosto preveriti; vrednost ∆x/∆y ni nič drugega kot razlika, vzeta za določeno vrednost x in y. Uporabimo diferenciacijo ne za določene koordinate, ampak za funkcijo kot celoto:

Odvod in trigonometrične funkcije

Trigonometrične funkcije so neločljivo povezane z odpeljankami. To je razvidno iz naslednje risbe. Slika koordinatne osi prikazuje funkcijo Y = f (x) - modra krivulja.

K (x0; f (x0)) je poljubna točka, x0 + ∆x je prirastek vzdolž osi OX in f (x0 + ∆x) je prirastek vzdolž osi OY v določeni točki L.

Skozi točki K in L narišimo premico in zgradimo pravokotni trikotnik KLN. Če miselno premaknete segment LN vzdolž grafa Y = f (x), se bosta točki L in N nagibali k vrednosti K (x0; f (x0)). To točko imenujemo pogojni začetek grafa - meja; če je funkcija vsaj na enem od intervalov neskončna, bo tudi ta težnja neskončna, njena mejna vrednost pa je blizu 0.

Naravo te težnje lahko opišemo s tangento na izbrano točko y = kx + b ali z grafom odvoda izvorne funkcije dy - zelene premice.

Ampak kje je tu trigonometrija?! Vse je zelo preprosto, upoštevajte pravi trikotnik KLN. Diferenčna vrednost za določeno točko K je tangens kota α ali ∠K:

Na ta način lahko opišemo geometrijski pomen odvoda in njegovo razmerje s trigonometričnimi funkcijami.

Izvodne formule za trigonometrične funkcije

Transformacije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa pri določanju odvoda si je treba zapomniti.

Zadnji dve formuli nista napaki, gre za to, da obstaja razlika med definiranjem odvoda enostavnega argumenta in funkcije v enaki vlogi.

Oglejmo si primerjalno tabelo s formulami za odvode sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa:

Formule so bile izpeljane tudi za odvode arksinusa, arkkosinusa, arktangensa in arkotangensa, čeprav se uporabljajo zelo redko:

Omeniti velja, da zgornje formule očitno niso dovolj za uspešno reševanje tipičnih nalog USE, kar bomo pokazali pri reševanju specifičnega primera iskanja derivata trigonometričnega izraza.

telovadba: Treba je najti odvod funkcije in najti njeno vrednost za π/4:

rešitev: Za iskanje y’ se moramo spomniti osnovnih formul za pretvorbo izvirne funkcije v odvod, in sicer.