Ustvarjanje

Enakostranični trikotnik je paralelogram. Paralelogramski izreki. Diagonale so razdeljene na pol

Tako kot sta v evklidski geometriji točka in premica glavna elementa teorije ravnin, je paralelogram eden od ključne figure konveksni štirikotniki. Iz njega, kot niti iz krogle, tečejo koncepti "pravokotnik", "kvadrat", "romb" in druge geometrijske količine.

V stiku z

Definicija paralelograma

konveksni štirikotnik, sestavljen iz segmentov, od katerih je vsak par vzporeden, je v geometriji znan kot paralelogram.

Kako izgleda klasični paralelogram, prikazuje štirikotnik ABCD. Stranice imenujemo osnovke (AB, BC, CD in AD), navpičnico, ki poteka iz poljubnega oglišča na stranico, ki je nasproti tega oglišča, imenujemo višina (BE in BF), premici AC in BD imenujemo diagonali.

Pozor! Kvadrat, romb in pravokotnik so posebni primeri paralelograma.

Strani in koti: značilnosti razmerja

Ključne lastnosti na splošno vnaprej določeno s samo oznako, jih dokazuje izrek. Te značilnosti so naslednje:

Stranici, ki sta si nasproti, sta v parih enaki.
Nasprotni koti so v parih enaki.

Dokaz: Vzemimo ∆ABC in ∆ADC, ki ju dobimo, če štirikotnik ABCD razdelimo s premico AC. ∠BCA=∠CAD in ∠BAC=∠ACD, saj jima je AC skupen (navpična kota za BC||AD oziroma AB||CD). Iz tega sledi: ∆ABC = ∆ADC (drugi znak enakosti trikotnikov).

Dolžici AB in BC v ∆ABC v paru ustrezata daljici CD in AD v ∆ADC, kar pomeni, da sta enaki: AB = CD, BC = AD. Tako ∠B ustreza ∠D in sta enaka. Ker je ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, ki sta prav tako po paru enaka, potem je ∠A = ∠C. Lastnost je dokazana.

Značilnosti diagonal figure

Glavna značilnost teh premic paralelograma: presečišče jih deli na pol.

Dokaz: Naj bo i.e. presečišče diagonal AC in BD lika ABCD. Tvorita dva sorazmerna trikotnika - ∆ABE in ∆CDE.

AB=CD, ker sta nasprotni. Glede na premice in sekante je ∠ABE = ∠CDE in ∠BAE = ∠DCE.

Po drugem kriteriju enakosti je ∆ABE = ∆CDE. To pomeni, da sta elementa ∆ABE in ∆CDE: AE = CE, BE = DE in sta hkrati sorazmerna dela AC in BD. Lastnost je dokazana.

Značilnosti sosednjih vogalov

Sosednji stranici imata vsoto kotov 180°, saj ležita na isti strani vzporednic in prečnice. Za štirikotnik ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Lastnosti simetrale:

, spuščeni na eno stran, so pravokotni;
nasprotni oglišči imata vzporedne simetrale;
trikotnik, ki ga dobimo, če narišemo simetralo, bo enakokrak.

Določanje značilnih lastnosti paralelograma s pomočjo izreka

Značilnosti te figure izhajajo iz glavnega izreka, ki pravi naslednje: štirikotnik velja za paralelogram v primeru, da se njegove diagonale sekajo in jih ta točka razdeli na enake segmente.

Dokaz: naj se premici AC in BD štirikotnika ABCD sekata v t.j. Ker je ∠AED = ∠BEC in je AE+CE=AC BE+DE=BD, potem je ∆AED = ∆BEC (po prvem kriteriju enakosti trikotnikov). To je ∠EAD = ∠ECB. So tudi notranji prečni koti sekante AC za premici AD in BC. Tako po definiciji paralelizma - AD || B.C. Izvedena je tudi podobna lastnost premic BC in CD. Izrek je dokazan.

Izračun površine figure

Območje te figure najdemo z več metodami eden najpreprostejših: množenje višine in osnove, na katero je narisana.

Dokaz: iz oglišč B in C nariši navpičnici BE in CF. ∆ABE in ∆DCF sta enaka, saj je AB = CD in BE = CF. ABCD je po velikosti enak pravokotniku EBCF, saj sta sestavljena iz sorazmernih likov: S ABE in S EBCD ter S DCF in S EBCD. Iz tega izhaja, da je območje tega geometrijski lik se nahaja na enak način kot pravokotnik:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Za določitev splošne formule za površino paralelograma označimo višino kot hb, in stran - b. Oziroma:

Drugi načini za iskanje območja

Izračuni površin skozi stranice paralelograma in kot, ki ga tvorijo, je druga znana metoda.

Spr-ma - območje;

a in b sta njegovi stranici

α je kot med segmentoma a in b.

Ta metoda praktično temelji na prvi, vendar v primeru, da ni znana. vedno odreže pravokotni trikotnik, katerega parametre najdemo s trigonometričnimi identitetami, tj. S preoblikovanjem relacije dobimo . V enačbi prve metode nadomestimo višino s tem produktom in dobimo dokaz o veljavnosti te formule.

Skozi diagonali paralelograma in kot, ki jih ustvarijo, ko se sekajo, lahko najdete tudi območje.

Dokaz: AC in BD se sekata in tvorita štiri trikotnike: ABE, BEC, CDE in AED. Njihova vsota je enaka površini tega štirikotnika.

Ploščino vsakega od teh ∆ je mogoče najti z izrazom , kjer je a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Ker je za izračune uporabljena ena sinusna vrednost. To je . Ker je AE+CE=AC= d 1 in BE+DE=BD= d 2, se formula ploščine zmanjša na:

Uporaba v vektorski algebri

Značilnosti sestavnih delov tega štirikotnika so našle uporabo v vektorski algebri, in sicer seštevanje dveh vektorjev. Pravilo paralelograma pravi, da če so podani vektorjiinnekolinearni, potem bo njihova vsota enaka diagonali te figure, katere osnove ustrezajo tem vektorjem.

Dokaz: iz poljubno izbranega začetka - t.j. - konstruirati vektorje in . Nato sestavimo paralelogram OASV, kjer sta odseka OA in OB stranice. Tako OS leži na vektorju ali vsoti.

Formule za izračun parametrov paralelograma

Identitete so podane pod naslednjimi pogoji:

a in b, α - stranice in kot med njimi;
d 1 in d 2, γ - diagonali in na mestu njihovega presečišča;
h a in h b - višine, spuščene na strani a in b;

Parameter	Formula
Iskanje strani
vzdolž diagonal in kosinus kota med njima
vzdolž diagonal in stranic
skozi višino in nasprotno oglišče
Iskanje dolžin diagonal
na straneh in velikost konice med njimi
vzdolž stranic in ene od diagonal	Zaključek Paralelogram kot ena ključnih figur geometrije se uporablja v življenju, na primer v gradbeništvu pri izračunu površine mesta ali drugih meritvah. Zato je lahko znanje o posebnostih in metodah izračuna njegovih različnih parametrov koristno kadar koli v življenju.

Tema lekcije

Lastnosti diagonal paralelograma.

Cilji lekcije

Seznanite se z novimi definicijami in se spomnite nekaterih že preučenih.
Navedi in dokaži lastnost diagonal paralelograma.
Naučite se uporabiti lastnosti oblik pri reševanju nalog.
Razvojni - razvijati pozornost učencev, vztrajnost, vztrajnost, logično razmišljanje, matematični govor.
Izobraževalni - skozi lekcijo gojite pozoren odnos drug do drugega, vcepljajte sposobnost poslušanja tovarišev, medsebojne pomoči in neodvisnosti.

Cilji lekcije

Preizkusite sposobnosti študentov za reševanje problemov.

Učni načrt

Uvod.
Ponavljanje predhodno preučene snovi.
Paralelogram, njegove lastnosti in značilnosti.
Primeri nalog.
Samopreverjanje.

Uvod

"Veliko znanstveno odkritje nudi rešitev za velik problem, vendar je v rešitvi vsakega problema zrno odkritja.«

Lastnost nasprotnih stranic paralelograma

Paralelogram ima nasprotni stranici, ki sta enaki.

Dokaz.

Naj bo ABCD dani paralelogram. In naj se njegovi diagonali sekata v točki O.
Ker je Δ AOB = Δ COD po prvem kriteriju enakosti trikotnikov (∠ AOB = ∠ COD, kot navpičnih, AO=OC, DO=OB, po lastnosti diagonal paralelograma), potem je AB=CD. Enako iz enakosti trikotnikov BOC in DOA sledi BC = DA. Izrek je dokazan.

Lastnost nasprotnih kotov paralelograma

V paralelogramu sta nasprotna kota enaka.

Dokaz.

Naj bo ABCD dani paralelogram. In naj se njegovi diagonali sekata v točki O.
Iz dokazanega v izreku o lastnostih nasprotnih stranic paralelograma Δ ABC = Δ CDA na treh stranicah (AB=CD, BC=DA iz dokazanega, AC – splošno). Iz enakosti trikotnikov sledi ∠ ABC = ∠ CDA.
Dokazano je tudi, da je ∠ DAB = ∠ BCD, kar sledi iz ∠ ABD = ∠ CDB. Izrek je dokazan.

Lastnost diagonal paralelograma

Diagonali paralelograma se sekata in v presečni točki razpolovita.

Dokaz.

Naj bo ABCD dani paralelogram. Narišimo diagonalo AC. Označimo sredino O na nadaljevanju odseka DO, odložimo odsek OB 1, ki je enak DO.
Po prejšnjem izreku je AB 1 CD paralelogram. Zato je premica AB 1 vzporedna z DC. Toda skozi točko A lahko narišemo samo eno premico, vzporedno z DC. To pomeni, da premica AB 1 sovpada z premico AB.
Dokazano je tudi, da BC 1 sovpada s BC. To pomeni, da točka C sovpada s C 1. paralelogram ABCD sovpada s paralelogramom AB 1 CD. Posledično se diagonali paralelograma sekata in v presečišču razpolovita. Izrek je dokazan.

V učbenikih za redne šole (na primer v Pogorelovu) je dokazano takole: diagonale delijo paralelogram na 4 trikotnike. Razmislimo o enem paru in ugotovimo - enaka sta: njuni osnovi sta nasprotni strani, ustrezni koti, ki mejijo nanjo, so enaki, kot navpični koti z vzporednimi črtami. To pomeni, da so segmenti diagonal v parih enaki. Vse.

Je to vse?
Zgoraj je bilo dokazano, da presečišče razpolavlja diagonali - če obstaja. Zgornje sklepanje nikakor ne dokazuje njegovega obstoja. To pomeni, da del izreka "diagonali paralelograma se sekata" ostaja nedokazan.

Smešno je, da je ta del veliko težje dokazati. Mimogrede, to izhaja iz bolj splošnega rezultata: pri vsakem konveksnem štirikotniku se bodo diagonale sekale, pri katerem koli nekonveksnem štirikotniku pa ne.

O enakosti trikotnikov vzdolž stranice in dveh sosednjih kotov (drugi znak enakosti trikotnikov) in drugi.

Thales je našel pomemben izrek o enakosti dveh trikotnikov vzdolž stranice in dveh sosednjih kotov praktično uporabo. V pristanišču v Miletu so zgradili merilnik razdalje za določanje razdalje do ladje na morju. Sestavljen je bil iz treh zabitih količkov A, B in C (AB = BC) in označene premice SC, pravokotne na CA. Ko se je na premici SK pojavila ladja, smo našli točko D tako, da so bile točke D, .B in E na isti premici. Kot je razvidno iz risbe, je razdalja CD na tleh želena razdalja do ladje.

Vprašanja

Ali so diagonale kvadrata razdeljene na pol s presečiščem?
Ali sta diagonali paralelograma enaki?
Ali sta nasprotna kota paralelograma enaka?
Navedite definicijo paralelograma?
Koliko znakov ima paralelogram?
Ali je romb lahko paralelogram?

Seznam uporabljenih virov

Kuznetsov A.V., učitelj matematike (5-9 razred), Kijev
"Samski državni izpit 2006. Matematika. Izobraževalna in izobraževalna gradiva za pripravo študentov / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
Mazur K. I. "Reševanje glavnih tekmovalnih problemov v matematiki zbirke, ki jo je uredil M. I. Skanavi"
L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometrija, 7 - 9: učbenik za izobraževalne ustanove"

Delali smo na lekciji

Kuznecov A.V.

Poturnak S.A.

Evgenij Petrov

Postavite vprašanje o sodobno izobraževanje, izrazite idejo ali rešite pereč problem, lahko Izobraževalni forum, kje na mednarodni ravni zbira se izobraževalni svet sveže misli in delovanja. Ob ustvarjanju blog, Ne boste samo izboljšali svojega statusa kompetentnega učitelja, temveč boste pomembno prispevali k razvoju šole prihodnosti. Ceh izobraževalnih voditeljev odpira vrata vrhunskim strokovnjakom in jih vabi k sodelovanju pri ustvarjanju najboljših šol na svetu.

Predmeti > Matematika > Matematika 8. razred

Dokaz

Najprej narišimo diagonalo AC. Dobimo dva trikotnika: ABC in ADC.

Ker je ABCD paralelogram, velja naslednje:

AD || BC \Desna puščica \kot 1 = \kot 2 kot bi ležal navzkriž.

AB || CD\desna puščica\kot3 =\kot 4 kot bi ležal navzkriž.

Zato je \trikotnik ABC = \trikotnik ADC (po drugem kriteriju: in AC je skupen).

In torej \trikotnik ABC = \trikotnik ADC, potem je AB = CD in AD = BC.

Dokazano!

2. Nasprotna kota sta enaka.

Dokaz

Glede na dokaz lastnosti 1 To vemo \kot 1 = \kot 2, \kot 3 = \kot 4. Tako je vsota nasprotnih kotov: \kot 1 + \kot 3 = \kot 2 + \kot 4. Ob upoštevanju, da \trikotnik ABC = \trikotnik ADC dobimo \kotnik A = \kotnik C , \kotnik B = \kotnik D .

Dokazano!

3. Diagonali sta razdeljeni na pol s presečiščem.

Dokaz

Narišimo še eno diagonalo.

Avtor: lastnina 1 vemo, da sta nasprotni stranici enaki: AB = CD. Še enkrat bodite pozorni na navzkrižno ležeče enake kote.

Tako je jasno, da je \trikotnik AOB = \trikotnik COD po drugem kriteriju enakosti trikotnikov (dva kota in stranica med njima). To pomeni, da je BO = OD (nasproti kotov \kota 2 in \kota 1) in AO = OC (nasproti vogalov \kota 3 oziroma \kota 4).

Dokazano!

Znaki paralelograma

Če je v vašem problemu prisotna samo ena značilnost, potem je slika paralelogram in lahko uporabite vse lastnosti te figure.

Za boljše pomnjenje upoštevajte, da bo znak paralelograma odgovoril na naslednje vprašanje - "kako ugotoviti?". Se pravi, kako veš kaj nastavljena figura to je paralelogram.

1. Paralelogram je štirikotnik, katerega strani sta enaki in vzporedni.

AB = CD; AB || CD\desna puščica ABCD je paralelogram.

Dokaz

Pa poglejmo pobliže. Zakaj AD || pr.n.št.?

\trikotnik ABC = \trikotnik ADC s lastnina 1: AB = CD, AC - skupni in \kotnik 1 = \kotnik 2, ki leži navzkrižno z vzporednikoma AB in CD ter sekanto AC.

Če pa \trikotnik ABC = \trikotnik ADC , potem je \kotnik 3 = \kotnik 4 (leži nasproti AB oziroma CD). In torej AD || BC (\kota 3 in \kota 4 - enaka sta tudi navzkrižno ležeča).

Prvi znak je pravilen.

2. Paralelogram je štirikotnik, katerega nasprotni stranici sta enaki.

AB = CD, AD = BC \desna puščica ABCD je paralelogram.

Dokaz

Razmislimo o tem znaku. Ponovno narišimo diagonalo AC.

Avtor: lastnina 1\trikotnik ABC = \trikotnik ACD .

Sledi, da: \kot 1 = \kot 2 \desna puščica AD || B.C. in \kot 3 = \kot 4 \Desna puščica AB || CD, to pomeni, da je ABCD paralelogram.

Drugi znak je pravilen.

3. Paralelogram je štirikotnik, katerega nasprotna kota sta enaka.

\kot A = \kot C , \kot B = \kot D \desna puščica ABCD- paralelogram.

Dokaz

2 \alfa + 2 \beta = 360^(\circ)(ker je ABCD štirikotnik in \kotnik A = \kotnik C , \kotnik B = \kotnik D po pogoju).

Izkazalo se je, da je \alpha + \beta = 180^(\circ) . Toda \alpha in \beta sta notranja enostranska na sekanti AB.

In dejstvo, da \alpha + \beta = 180^(\circ), pomeni tudi, da AD || B.C.

Poleg tega sta \alpha in \beta notranja enostranska na sekanti AD. In to pomeni AB || CD.

Tretji znak je pravilen.

4. Paralelogram je štirikotnik, katerega diagonale deli presečišče na pol.

AO = OC ; BO = OD\desna puščica paralelogram.

Dokaz

BO = OD; AO = OC , \kot 1 = \kot 2 kot navpičnica \Desna puščica \trikotnik AOB = \trikotnik COD, \Desna puščica \kot 3 = \kot 4, in \Rightarrow AB || CD.

Podobno BO = OD; AO = OC, \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8 in \Rightarrow AD || B.C.

Četrti znak je pravilen.

Paralelogram je štirikotnik, katerega nasprotni strani sta v parih vzporedni (slika 233).

Za poljuben paralelogram veljajo naslednje lastnosti:

1. Nasprotni stranici paralelograma sta enaki.

Dokaz. V paralelogramu ABCD narišemo diagonalo AC. Trikotnika ACD in AC B sta enaka, kot da sta skupna stran AC in dva para enakih kotov ob njej:

(kot navzkrižni koti z vzporednima premicama AD in BC). To pomeni in tako kot stranice enakih trikotnikov ležijo nasproti enakih kotov, kar je bilo treba dokazati.

2. Nasprotna kota paralelograma sta enaka:

3. Sosednji koti paralelograma, tj. koti, ki mejijo na eno stran, seštejejo itd.

Dokaz lastnosti 2 in 3 dobimo takoj iz lastnosti kotov za vzporedne premice.

4. Diagonali paralelograma se razpolavljata v presečišču. Z drugimi besedami,

Dokaz. Trikotnika AOD in BOC sta skladna, saj sta njuni stranici AD in BC enaki (lastnost 1) in jima priležni koti (kot navzkrižni koti pri vzporednicah). Od tod sledi, da sta pripadajoči stranici teh trikotnikov enaki: AO, kar je bilo treba dokazati.

Vsaka od teh štirih lastnosti označuje paralelogram ali, kot pravijo, je njegova značilna lastnost, tj. vsak štirikotnik, ki ima vsaj eno od teh lastnosti, je paralelogram (in ima torej vse ostale tri lastnosti).

Dokaz opravimo za vsako nepremičnino posebej.

1". Če sta nasprotni strani štirikotnika v parih enaki, je štirikotnik paralelogram.

Dokaz. Naj ima štirikotnik ABCD stranice AD in BC, AB in CD enake (slika 233). Narišimo diagonalo AC. Trikotnika ABC in CDA bosta skladna, če imata tri pare enakih stranic.

Toda potem sta kota BAC in DCA enaka in . Vzporednost stranic BC in AD izhaja iz enakosti kotov CAD in ACB.

2. Če ima štirikotnik dva para nasprotnih kotov enaka, potem je to paralelogram.

Dokaz. Pustiti . Od takrat sta obe stranici AD in BC vzporedni (glede na vzporednost premic).

3. Formulacijo in dokaz prepuščamo bralcu.

4. Če se diagonali štirikotnika v presečišču razpolovita, je štirikotnik paralelogram.

Dokaz. Če je AO = OS, BO = OD (slika 233), sta trikotnika AOD in BOC enaka, saj imata enake kote (navpične!) pri oglišči O, zaprtem med pari enakih stranic AO in CO, BO in DO. Iz enakosti trikotnikov sklepamo, da sta stranici AD in BC enaki. Stranici AB in CD sta prav tako enaki in štirikotnik se glede na značilno lastnost G izkaže za paralelogram.

Torej, da bi dokazali, da je dani štirikotnik paralelogram, je dovolj, da preverimo veljavnost katere koli od štirih lastnosti. Bralec je povabljen, da samostojno dokaže še eno značilno lastnost paralelograma.

5. Če ima štirikotnik par enakih, vzporednih stranic, potem je to paralelogram.

Včasih katerikoli par vzporednih stranic paralelograma imenujemo njegove osnove, drugi dve pa stranski stranici. Odsek ravne črte, ki je pravokoten na dve stranici paralelograma in je zaprt med njima, se imenuje višina paralelograma. Paralelogram na sl. 234 ima višino h, narisano na straneh AD in BC, drugo višino predstavlja segment .

Občinska proračunska izobraževalna ustanova

Savinskaya povprečje splošna šola

Raziskovanje

Paralelogram in njegove nove lastnosti

Izpolnila: učenka 8B razreda

Srednja šola MBOU Savinskaya

Kuznetsova Svetlana, 14 let

Vodja: učiteljica matematike

Tulčevska N.A.

p. Savino

Ivanovska regija, Rusija

2016

JAZ. Uvod ________________________________________________ stran 3

II. Iz zgodovine paralelograma ___________________________________stran 4

III Dodatne lastnosti paralelograma ________________________________stran 4

IV. Dokazilo o lastnostih ________________________________ stran 5

V. Reševanje problemov z uporabo dodatnih lastnosti __________stran 8

VI. Uporaba lastnosti paralelograma v življenju ___________________stran 11

VII. Zaključek ________________________________________________ stran 12

VIII. Literatura ________________________________________________stran 13

Uvod

"Med enakopravnimi razumi

pri enakost drugih pogojev

kdor pozna geometrijo, je boljši"

(Blaise Pascal).

Pri pouku geometrije pri temi “Paralelogram” smo si ogledali dve lastnosti paralelograma in tri lastnosti, a ko smo začeli reševati naloge, se je izkazalo, da to ni dovolj.

Imel sem vprašanje: ali ima paralelogram druge lastnosti in kako bodo pomagale pri reševanju problemov?

Odločil sem se preučiti dodatne lastnosti paralelograma in pokazati, kako jih je mogoče uporabiti za reševanje problemov.

Predmet študija : paralelogram

Predmet študija : lastnosti paralelograma
Cilj dela:

formulacija in dokazovanje dodatnih lastnosti paralelograma, ki se v šoli ne preučujejo;

uporaba teh lastnosti za reševanje problemov.

Naloge:

Preučite zgodovino pojava paralelograma in zgodovino razvoja njegovih lastnosti;

Poiščite dodatno literaturo o obravnavanem vprašanju;

Preučite dodatne lastnosti paralelograma in jih dokažite;

Pokažite uporabo teh lastnosti pri reševanju problemov;

Razmislite o uporabi lastnosti paralelograma v življenju.
Raziskovalne metode:

Delo z izobraževalno in poljudnoznanstveno literaturo, internetnimi viri;

Študij teoretičnega gradiva;

Identifikacija vrste problemov, ki jih je mogoče rešiti z uporabo dodatnih lastnosti paralelograma;

Opazovanje, primerjava, analiza, analogija.

Trajanje študija : 3 meseci: januar-marec 2016

V učbeniku geometrije beremo naslednjo definicijo paralelograma: Paralelogram je štirikotnik, katerega nasprotni strani sta v parih vzporedni.

Beseda "paralelogram" je prevedena kot " vzporedne črte«(iz grških besed Parallelos - vzporednik in gramme - črta), je ta izraz uvedel Evklid. Evklid je v svoji knjigi Elementi dokazal naslednje lastnosti paralelograma: nasprotne stranice in koti paralelograma so enaki, diagonala pa ga razpolovi. Evklid ne omenja presečišča paralelograma. Razvita je bila šele proti koncu srednjega veka popolna teorija paralelogrami In šele v 17. stoletju so se v učbenikih pojavili izreki o paralelogramih, ki so bili dokazani z Evklidovim izrekom o lastnostih paralelograma.

III Dodatne lastnosti paralelograma

V učbeniku geometrije sta podani samo 2 lastnosti paralelograma:

Nasprotni koti in stranice so enaki

Diagonali paralelograma se sekata in razpolovita s presečiščem.

V različnih virih o geometriji lahko najdete naslednje dodatne lastnosti:

Vsota sosednjih kotov paralelograma je 180 0

Simetrala kota paralelograma odseka od njega enakokraki trikotnik;

Simetrali nasprotnih kotov paralelograma ležita na vzporednih premicah;

Simetrali sosednjih kotov paralelograma se sekata pod pravim kotom;

Ko se simetrale vseh kotov paralelograma sekajo, tvorijo pravokotnik;

Razdalje od nasprotnih kotov paralelograma do iste diagonale so enake.

Če povežete nasprotni oglišči v paralelogramu z razpolovišči nasprotnih stranic, dobite še en paralelogram.

Vsota kvadratov diagonal paralelograma je enaka dvakratni vsoti kvadratov njegovih sosednjih stranic.

Če v paralelogram narišemo nadmorske višine iz dveh nasprotnih kotov, dobimo pravokotnik.

IV Dokaz lastnosti paralelograma

Vsota sosednjih kotov paralelograma je 180 0

dano:

ABCD – paralelogram

Dokaži:

A+
B=

Dokaz:

A in
B – notranji enostranski koti z vzporednimi premicami BC AD in sekant AB, kar pomeni
A+
B=

podano: ABCD - paralelogram,

Simetrala AK
A.

Dokaži: AVK – enakokraki

Dokaz:

1)
1=
3 (navzkrižno leži na BC AD in sekanta AK ),

2)
2=
3 ker je AK simetrala,

pomeni 1=
2.

3) ABC - enakokraki, ker sta 2 kota trikotnika enaka

. Simetrala kota paralelograma odseka enakokraki trikotnik

podano: ABCD je paralelogram,

AK – simetrala A,

CP - simetrala C.

Dokaži: AK ║ SR

Dokaz:

1) 1=2, ker je AK simetrala

2) 4=5 ker CP – simetrala

3) 3=1 (navzkrižno ležeči koti pri

BC ║ AD in AK-sekant),

4) A =C (po lastnosti paralelograma), kar pomeni 2=3=4=5.

4) Iz odstavkov 3 in 4 sledi, da je 1 = 4, ti koti pa ustrezajo ravnim črtam AK in CP ter sekanti BC,

to pomeni AK ║ CP (na podlagi vzporednosti črt)

. Simetrale nasprotnih kotov paralelograma ležijo na vzporednih premicah

Simetrale sosednjih kotov paralelograma se sekata pod pravim kotom

podano: ABCD - paralelogram,

AK-simetrala A,

Simetrala DP D

Dokaži: DP AK.

Dokaz:

1) 1=2, ker AK - simetrala

Naj bo 1=2=x, potem je A=2x,

2) 3=4, ker D Р – simetrala

Naj bo 3=4=y, potem je D=2y

3) A + D =180 0, ker vsota sosednjih kotov paralelograma je 180

2) Razmislite A OD

1+3=90 0 , torej
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Simetrale vseh kotov paralelograma ob sekanju tvorijo pravokotnik

podano: ABCD - paralelogram, AK-simetrala A,

DP-simetrala D,

CM simetrala C,

BF - simetrala B .

Dokaži: KRNS - pravokotnik

Dokaz:

Na podlagi prejšnje lastnosti 8=7=6=5=90 0 ,

pomeni, da je KRNS pravokotnik.

Razdalje od nasprotnih kotov paralelograma do iste diagonale so enake.

podano: ABCD-paralelogram, AC-diagonala.

VC AC, D.P. A.C.

Dokaži: BC=DP

Dokaz: 1) DCP = KAB, kot notranji križi, ki ležijo z AB ║ CD in sekanto AC.

2) AKB= CDP (vzdolž stranice in dveh sosednjih kotov AB=CD CD P=AB K).

In v enakih trikotnikih so ustrezne stranice enake, kar pomeni DP=BK.

Če povežete nasprotni oglišči v paralelogramu z razpolovišči nasprotnih stranic, dobite še en paralelogram.

podano: ABCD paralelogram.

Dokaži: VKDP je paralelogram.

Dokaz:

1) BP=KD (AD=BC, točki K in P

te stranice razdelite na pol)

2) BP ║ KD (leži na AD pr. n. št.)

Če sta nasprotni strani štirikotnika enaki in vzporedni, potem je štirikotnik paralelogram.

Če v paralelogram narišemo nadmorske višine iz dveh nasprotnih kotov, dobimo pravokotnik.

Vsota kvadratov diagonal paralelograma je enaka dvakratni vsoti kvadratov njegovih sosednjih stranic.

podano: ABCD je paralelogram. BD in AC sta diagonali.

Dokaži: AC 2 +ВD 2 =2(AB 2 + AD 2 )

Dokaz: 1)VPRAŠAJ: A.C. ²=
+

2)B RD : BD 2 = B R 2 + RD 2 (po Pitagorovem izreku)

3) A.C. ²+ BD ²=SK²+A K²+B Р²+РD ²

4) SC = BP = N(višina )

5) AC 2 +BD 2 = H 2 + A TO 2 + H 2 +PD 2

6) Pustiti D K=A P=x, Potem C TOD : H 2 = CD 2 - X 2 po Pitagorovem izreku )

7) AC²+BD ² = CD 2 - x²+ AK 1 ²+ CD 2 -X 2 +PD 2 ,

AC²+BD ²=2СD 2 -2x 2 + A TO 2 +PD 2

8) A TO=AD+ X, RD=AD- X,

AC²+BD ² =2CD 2 -2x 2 +(AD +x) 2 +(AD -X) 2 ,

AC²+ IND²=2 ZD²-2 X² + AD 2 +2 AD X+ X 2 +AD 2 -2 AD X+ X 2 ,
AC²+ IND²=2CD 2 +2 AD 2 =2(CD 2 +AD 2 ).

V . Reševanje problemov z uporabo teh lastnosti

Točka presečišča simetral dveh kotov paralelograma, ki ležita na eni strani, pripada nasprotni strani. Najkrajša stranica paralelograma je 5 . Poiščite njegovo veliko stran.

podano: ABCD je paralelogram,

AK – simetrala
A,

D K – simetrala
D, AB=5

Najti: Sonce

odločitev

rešitev

Ker AK - simetrala
In potem je ABC enakokrak.

Ker D K – simetrala
D, torej DCK - enakokraki

DC =C K= 5

Potem je BC=VC+SC=5+5 = 10

Odgovor: 10

2. Poiščite obseg paralelograma, če simetrala enega od njegovih kotov deli stranico paralelograma na segmenta 7 cm in 14 cm.

1 primer

podano:
A,

VK=14 cm, KS=7 cm

Najti: P paralelogram

rešitev

VS=VK+KS=14+7=21 (cm)

Ker AK – simetrala
In potem je ABC enakokrak.

AB=BK= 14 cm

Potem je P=2 (14+21) =70 (cm)

dogajanje

podano: ABCD je paralelogram,

D K – simetrala
D

VK=14 cm, KS=7 cm

Najti: P paralelogram

rešitev

VS=VK+KS=14+7=21 (cm)

Ker D K – simetrala
D, torej DCK - enakokraki

DC =C K= 7

Potem je P= 2 (21+7) = 56 (cm)

odgovor: 70 cm ali 56 cm

3. Stranici paralelograma sta 10 cm in 3 cm Simetrali dveh kotov, ki mejita na večjo stranico, delita nasprotno stranico na tri odseke. Poiščite te segmente.

1 primer: simetrali se sekata zunaj paralelograma

podano: ABCD – paralelogram, AK – simetrala
A,

D K – simetrala
D , AB=3 cm, BC=10 cm

Najti: VM, MN, NC

rešitev

Ker AM - simetrala
In potem je AVM enakokrak.

Ker DN – simetrala
D, torej DCN - enakokraki

DC=CN=3

Potem je MN = 10 – (BM +NC) = 10 – (3+3)=4 cm

2. primer: simetrale sekajo znotraj paralelograma

Ker AN - simetrala
In potem je ABN enakokrak.

AB=Bn = 3 D

In drsno rešetko je treba premakniti na zahtevano razdaljo v vratih

Paralelogramski mehanizem- štiripalični mehanizem, katerega povezave tvorijo paralelogram. Uporablja se za izvajanje translacijskega gibanja z zgibnimi mehanizmi.

Paralelogram s fiksno povezavo- en člen je negiben, nasprotni pa se ziba in ostane vzporeden z negibnim. Dva paralelograma, povezana drug za drugim, dajeta končnemu členu dve stopnji svobode, tako da je vzporeden s stacionarnim členom.

Primeri: avtobusni brisalci, viličarji, stojala, obešalniki, avtomobilske obese.

Paralelogram s fiksnim sklepom- uporablja se lastnost paralelograma, da ohranja konstantno razmerje razdalj med tremi točkami. Primer: risalni odjemnik toka - naprava za skaliranje risb.

Romb- vsi členi so enake dolžine, približevanje (krčenje) para nasprotnih tečajev povzroči razmik drugih dveh tečajev. Vse povezave delujejo kompresirano.

Primeri - avtomobilska dvigalka v obliki romba, tramvajski odjemnik toka.

Škarje oz Mehanizem v obliki črke X, poznan tudi kot Nürnberške škarje- izvedba romb - dva člena, povezana na sredini s tečajem. Prednosti mehanizma so kompaktnost in enostavnost, pomanjkljivost pa je prisotnost dveh drsnih parov. Dva (ali več) takih zaporedno povezanih mehanizmov tvorita diamant(e) na sredini. Uporablja se v dvigalih in otroških igračah.

VII Zaključek

Kdo je študiral matematiko že od otroštva?

razvija pozornost, trenira možgane,

lastno voljo, goji vztrajnost

in vztrajnost pri doseganju ciljev

A. Markuševiča

Pri delu sem dokazal dodatne lastnosti paralelograma.

Prepričan sem bil, da lahko z uporabo teh lastnosti hitreje rešiš težave.

Na primerih reševanja konkretnih problemov sem pokazal, kako se te lastnosti uporabljajo.

Veliko sem se naučil o paralelogramu, ki ga v našem učbeniku geometrije ni

Da je znanje geometrije v življenju zelo pomembno, sem se prepričal na primerih uporabe lastnosti paralelograma.

Namen mojega raziskovalnega dela je bil dosežen.

O pomenu matematičnega znanja priča dejstvo, da je bila ustanovljena nagrada za tistega, ki izda knjigo o človeku, ki je vse življenje preživel brez pomoči matematike. Te nagrade ni prejel še nihče.

VIII Literatura