Ravna črta. Osnovni pojmi. Vzporedne črte. Vizualni vodnik (2020) Kaj so vzporedne premice

Ta članek govori o vzporednih premicah in vzporednih premicah. Najprej je podana definicija vzporednih premic na ravnini in v prostoru, uvedeni so zapisi, podani so primeri in grafični prikazi vzporednih premic. Nato se razpravlja o znakih in pogojih za vzporednost črt. V zaključku so prikazane rešitve tipičnih problemov dokazovanja vzporednosti premic, ki jih podajajo nekatere enačbe premice v pravokotnem koordinatnem sistemu na ravnini in v tridimenzionalnem prostoru.

Navigacija po strani.

Vzporednice – osnovne informacije.

Opredelitev.

Dve premici v ravnini se imenujeta vzporedno, če nimata skupnih točk.

Opredelitev.

Dve črti v tridimenzionalnem prostoru imenujemo vzporedno, če ležijo v isti ravnini in nimajo skupnih točk.

Upoštevajte, da je klavzula "če ležijo v isti ravnini" v definiciji vzporednih premic v prostoru zelo pomembna. Naj pojasnimo to točko: dve premici v tridimenzionalnem prostoru, ki nimata skupnih točk in ne ležita v isti ravnini, nista vzporedni, ampak se sekata.

Tukaj je nekaj primerov vzporednih črt. Nasprotni robovi zvezkovega lista ležijo na vzporednih premicah. Ravne črte, vzdolž katerih ravnina stene hiše seka ravnine stropa in tal, so vzporedne. Železniške tirnice na ravnem terenu se prav tako lahko štejejo za vzporedne črte.

Za označevanje vzporednih črt uporabite simbol “”. To pomeni, da če sta premici a in b vzporedni, potem lahko na kratko zapišemo b.

Upoštevajte: če sta premici a in b vzporedni, lahko rečemo, da je premica a vzporedna s premico b in da je premica b vzporedna s premico a.

Izrazimo trditev, ki igra pomembno vlogo pri preučevanju vzporednih črt na ravnini: skozi točko, ki ne leži na dani premici, poteka edina ravna črta, ki je vzporedna z dano. Ta trditev je sprejeta kot dejstvo (ni je mogoče dokazati na podlagi znanih aksiomov planimetrije) in se imenuje aksiom vzporednih premic.

Za primer v prostoru velja izrek: skozi vsako točko v prostoru, ki ne leži na dani premici, poteka ena sama premica, vzporedna z dano. Ta izrek je enostavno dokazati z zgornjim aksiomom o vzporednih premicah (njegov dokaz najdete v učbeniku geometrije za 10.-11. razred, ki je naveden na koncu članka v seznamu literature).

Za primer v prostoru velja izrek: skozi vsako točko v prostoru, ki ne leži na dani premici, poteka ena sama premica, vzporedna z dano. Ta izrek je mogoče enostavno dokazati z uporabo zgornjega aksioma vzporedne črte.

Vzporednost premic - znaki in pogoji vzporednosti.

Znak vzporednosti črt je zadosten pogoj za vzporednost premic, torej pogoj, katerega izpolnitev zagotavlja, da so premice vzporedne. Z drugimi besedami, izpolnitev tega pogoja zadostuje za ugotovitev dejstva, da sta premici vzporedni.

Obstajajo tudi potrebni in zadostni pogoji za vzporednost premic na ravnini in v tridimenzionalnem prostoru.

Razložimo pomen besedne zveze "nujen in zadosten pogoj za vzporedne premice."

Zadostni pogoj za vzporednice smo že obravnavali. In kaj je " potreben pogoj vzporednost črt"? Iz imena "potrebno" je jasno, da je izpolnjevanje tega pogoja potrebno za vzporedne črte. Z drugimi besedami, če nujni pogoj za vzporedne premice ni izpolnjen, premice niso vzporedne. torej nujen in zadosten pogoj za vzporednice je pogoj, katerega izpolnjevanje je potrebno in zadostno za vzporedne premice. To pomeni, da je to po eni strani znak vzporednosti premic, po drugi strani pa je to lastnost, ki jo imajo vzporedne premice.

Preden oblikujemo potreben in zadosten pogoj za vzporednost črt, je priporočljivo, da se spomnimo več pomožnih definicij.

Sekantna črta je premica, ki seka vsako od dveh danih nesovpadajočih premic.

Ko se dve črti sekata s sekanto, nastane osem nerazvitih. Tako imenovani križno ležeče, ustrezna in enostranski koti. Pokažimo jih na risbi.

Izrek.

Če dve premici v ravnini sekata prečnica, je za vzporednost nujno in dovolj, da sta seka kota enaka ali da sta ustrezna kota enaka ali da je vsota enostranskih kotov enaka 180. stopnje.

Pokažimo grafično ponazoritev tega nujnega in zadostnega pogoja za vzporednost premic na ravnini.

Dokaze teh pogojev za vzporednost premic najdete v učbenikih geometrije za 7.–9. razred.

Upoštevajte, da se ti pogoji lahko uporabljajo tudi v tridimenzionalnem prostoru - glavna stvar je, da premice in sekanta ležijo v isti ravnini.

Tukaj je še nekaj izrekov, ki se pogosto uporabljajo za dokazovanje vzporednosti premic.

Izrek.

Če sta dve premici v ravnini vzporedni s tretjo premico, potem sta vzporedni. Dokaz tega kriterija izhaja iz aksioma vzporednih premic.

Podoben pogoj velja za vzporedne črte v tridimenzionalnem prostoru.

Izrek.

Če sta dve premici v prostoru vzporedni s tretjo premico, potem sta vzporedni. Dokaz tega kriterija obravnavamo pri pouku geometrije v 10. razredu.

Ilustrirajmo navedene izreke.

Predstavimo še en izrek, ki nam omogoča dokazovanje vzporednosti premic na ravnini.

Izrek.

Če sta dve premici v ravnini pravokotni na tretjo premico, potem sta vzporedni.

Obstaja podoben izrek za premice v prostoru.

Izrek.

Če sta dve premici v tridimenzionalnem prostoru pravokotni na isto ravnino, potem sta vzporedni.

Narišimo slike, ki ustrezajo tem izrekom.

Vsi zgoraj formulirani izreki, kriteriji ter potrebni in zadostni pogoji so odlični za dokazovanje vzporednosti premic z geometrijskimi metodami. To pomeni, da želite dokazati vzporednost dveh danih premic, morate pokazati, da sta vzporedni s tretjo premico, ali pokazati enakost navzkrižno ležečih kotov itd. Veliko podobnih problemov se rešuje pri pouku geometrije v Srednja šola. Vendar je treba opozoriti, da je v mnogih primerih priročno uporabiti koordinatno metodo za dokazovanje vzporednosti premic na ravnini ali v tridimenzionalnem prostoru. Oblikujmo potrebne in zadostne pogoje za vzporednost premic, ki so določene v pravokotnem koordinatnem sistemu.

Vzporednost daljic v pravokotnem koordinatnem sistemu.

V tem odstavku članka bomo oblikovali potrebni in zadostni pogoji za vzporednice v pravokotnem koordinatnem sistemu, odvisno od vrste enačb, ki določajo te premice, podajamo pa tudi podrobne rešitve značilnih problemov.

Začnimo s pogojem vzporednosti dveh premic na ravnini v pravokotnem koordinatnem sistemu Oxy. Njegov dokaz temelji na definiciji smernega vektorja premice in definiciji normalnega vektorja premice na ravnini.

Izrek.

Da sta dve neskladni premici vzporedni v ravnini, je nujno in zadostno, da sta smerna vektorja teh premic kolinearna, normalna vektorja teh premic kolinearna ali da je smerni vektor ene premice pravokoten na normalo. vektor druge vrstice.

Očitno se pogoj vzporednosti dveh premic na ravnini reducira na (smerni vektorji premic ali normalni vektorji premic) ali na (smerni vektor ene premice in normalni vektor druge premice). Če sta torej in smerna vektorja premic a in b, in in sta normalna vektorja premic a in b, potem bo nujni in zadostni pogoj za vzporednost premic a in b zapisan kot , oz , ali , kjer je t neko realno število. Po drugi strani se koordinate vodil in (ali) normalnih vektorjev črt a in b najdejo z uporabo znanih enačb črt.

Zlasti, če premica a v pravokotnem koordinatnem sistemu Oxy na ravnini določa splošno enačbo premice oblike in ravna črta b - , potem imajo normalni vektorji teh premic koordinate oz., pogoj za vzporednost premic a in b pa bo zapisan kot .

Če premica a ustreza enačbi premice s kotnim koeficientom oblike , premica b - , potem imajo normalni vektorji teh premic koordinate in , pogoj za vzporednost teh premic pa ima obliko . Posledično, če so črte na ravnini v pravokotnem koordinatnem sistemu vzporedne in jih je mogoče določiti z enačbami črt s kotnimi koeficienti, bodo kotni koeficienti črt enaki. In obratno: če lahko nesovpadajoče premice na ravnini v pravokotnem koordinatnem sistemu podamo z enačbami premice z enakimi kotnimi koeficienti, potem so takšne premice vzporedne.

Če sta premica a in premica b v pravokotnem koordinatnem sistemu določeni s kanoničnimi enačbami premice na ravnini oblike in , ali parametrične enačbe premice na ravnini oblike in zato imajo smerni vektorji teh premic koordinate in , pogoj za vzporednost premic a in b pa zapišemo kot .

Oglejmo si rešitve več primerov.

Primer.

Ali sta premici vzporedni? in ?

rešitev.

Prepišimo enačbo premice v segmentih v obliki splošna enačba naravnost: . Zdaj lahko vidimo, da je to normalni vektor premice , a je normalni vektor premice. Ti vektorji niso kolinearni, ker jih ni realno število t za katero velja enakost ( ). Posledično nujni in zadostni pogoj za vzporednost premic na ravnini ni izpolnjen, zato dani premici nista vzporedni.

odgovor:

Ne, črti nista vzporedni.

Primer.

Ali so ravne črte in vzporedne?

rešitev.

Zreducirajmo kanonično enačbo premice na enačbo premice s kotnim koeficientom: . Očitno enačbi premic in nista enaki (v tem primeru bi bile dane premice enake) in kotni koeficienti premic so enaki, zato sta prvotni premici vzporedni.

Na ravnini imenujemo premice vzporedne, če nimajo skupnih točk, to pomeni, da se ne sekajo. Za označevanje vzporednosti uporabite posebno ikono || (vzporedne premice a || b).

Za premice, ki ležijo v prostoru, zahteva, da ni skupnih točk, ne zadostuje – da so v prostoru vzporedne, morajo pripadati isti ravnini (sicer se sekajo).

Za primere vzporednih črt vam ni treba iti daleč; spremljajo nas povsod, v sobi - to so črte presečišča stene s stropom in tlemi, na listu zvezka - nasprotni robovi itd.

Povsem očitno je, da če sta dve premici vzporedni in tretja premica vzporedna z eno od prvih dveh, bo vzporedna tudi z drugo.

Vzporedne premice na ravnini so povezane s trditvijo, ki je ni mogoče dokazati z uporabo aksiomov planimetrije. Sprejeto je kot dejstvo, kot aksiom: za vsako točko na ravnini, ki ne leži na premici, obstaja edinstvena premica, ki poteka skozi to vzporedno z dano. Ta aksiom pozna vsak šestošolec.

Njegovo prostorsko posplošitev, to je trditev, da za vsako točko v prostoru, ki ne leži na premici, obstaja edinstvena premica, ki poteka skozenj vzporedno z dano, zlahka dokažemo z že znanim aksiomom vzporednosti na letalo.

Lastnosti vzporednih premic

• Če je katera od dveh vzporednih premic vzporedna s tretjo, sta med seboj vzporedni.

To lastnost imajo vzporednice tako na ravnini kot v prostoru.
Kot primer razmislite o njegovi utemeljitvi v stereometriji.

Predpostavimo, da sta premica b in premica a vzporedni.

Primer, ko vse premice ležijo v isti ravnini, bomo prepustili planimetriji.

Recimo, da a in b pripadata beta ravnini, gama pa je ravnina, ki ji pripadata a in c (po definiciji vzporednosti v prostoru morajo premice pripadati isti ravnini).

Če predpostavimo, da sta ravnini beta in gama različni in označujeta določeno točko B na premici b od ravnine beta, potem mora ravnina, narisana skozi točko B in premico c, sekati ravnino beta v ravni črti (označimo jo z b1) .

Če bi nastala premica b1 sekala ravnino gama, bi morala presečišče po eni strani ležati na a, saj b1 pripada ravnini beta, po drugi strani pa bi moralo pripadati tudi c, saj b1 pripada tretji ravnini.
Toda vzporedni premici a in c se ne smeta sekati.

Tako mora premica b1 pripadati ravnini betta in hkrati nima skupnih točk z a, zato po aksiomu vzporednosti sovpada z b.
Dobili smo premico b1, ki sovpada s premico b, ki pripada isti ravnini kot premica c in je ne seka, to pomeni, da sta b in c vzporedni

• Skozi točko, ki ne leži na dani premici, lahko poteka le ena sama premica, vzporedna z dano premico.

• Dve premici, ki ležita na ravnini, pravokotni na tretjo, sta vzporedni.

• Če ravnina seka eno od dveh vzporednih premic, seka isto ravnino tudi druga premica.

• Ustrezna in navzkrižno ležeča notranja kota, ki ju tvori presečišče dveh vzporednih premic s tretjo, sta enaka, vsota nastalih notranjih enostraničnih kotov je 180°.

Veljajo tudi obratne trditve, ki jih lahko vzamemo za znake vzporednosti dveh premic.

Pogoj za vzporedne premice

Zgoraj formulirane lastnosti in značilnosti predstavljajo pogoje za vzporednost premic in jih je mogoče dokazati z metodami geometrije. Z drugimi besedami, da bi dokazali vzporednost dveh obstoječih premic, je dovolj, da dokažemo njuno vzporednost s tretjo premico ali enakost kotov, bodisi ustreznih ali navzkrižnih itd.

Za dokaz uporabljajo predvsem metodo »v nasprotju«, torej ob predpostavki, da premice niso vzporedne. Na podlagi te predpostavke je mogoče zlahka pokazati, da so v tem primeru določeni pogoji kršeni, na primer notranji koti, ki ležijo drug na drugem, se izkažejo za neenake, kar dokazuje nepravilnost postavljene predpostavke.

1. Če sta dve premici vzporedni s tretjo premico, potem sta vzporedni:

če a||c in b||c, To a||b.

2. Če sta dve premici pravokotni na tretjo premico, sta vzporedni:

če a⊥c in b⊥c, To a||b.

Preostali znaki vzporednosti črt temeljijo na kotih, ki nastanejo, ko se dve ravni črti sekata s tretjo.

3. Če je vsota notranjih enostranskih kotov 180°, sta premici vzporedni:

Če je ∠1 + ∠2 = 180°, potem a||b.

4. Če sta ustrezna kota enaka, sta premici vzporedni:

Če je ∠2 = ∠4, potem a||b.

5. Če sta notranji navzkrižni koti enaki, sta premici vzporedni:

Če je ∠1 = ∠3, potem a||b.

Lastnosti vzporednih premic

Izjave, inverzne lastnostim vzporednih premic, so njihove lastnosti. Temeljijo na lastnostih kotov, ki jih tvori presečišče dveh vzporednih premic s tretjo premico.

1. Ko dve vzporedni premici sekata tretjo premico, je vsota notranjih enostranskih kotov, ki jih tvorita, enaka 180°:

če a||b, potem je ∠1 + ∠2 = 180°.

2. Ko dve vzporedni črti sekata tretjo črto, sta ustrezna kota, ki ju tvorita, enaka:

če a||b, potem je ∠2 = ∠4.

3. Ko dve vzporedni premici sekata tretjo premico, sta navzkrižna kota, ki ju tvorita, enaka:

če a||b, potem je ∠1 = ∠3.

Naslednja lastnost je poseben primer za vsako prejšnjo:

4. Če je premica na ravnini pravokotna na eno od dveh vzporednih premic, je pravokotna tudi na drugo:

če a||b in c⊥a, To c⊥b.

Peta lastnost je aksiom vzporednih premic:

5. Skozi točko, ki ne leži na dani premici, lahko narišemo samo eno premico, vzporedno z dano premico.

Navodila

Preden začnemo z dokazom, se prepričajmo, da premice ležijo v isti ravnini in jih je nanjo mogoče narisati. Najpreprosteje to dokažemo z merjenjem z ravnilom. Če želite to narediti, uporabite ravnilo za merjenje razdalje med ravnimi črtami na več mestih, kolikor je mogoče oddaljenih. Če razdalja ostane nespremenjena, sta dani premici vzporedni. Toda ta metoda ni dovolj natančna, zato je bolje uporabiti druge metode.

Narišite tretjo črto tako, da seka obe vzporedni črti. Z njimi tvori štiri zunanje in štiri notranje kote. Upoštevajte notranje vogale. Tiste, ki ležijo skozi sekanto, imenujemo križno ležeče. Tisti, ki ležijo na eni strani, se imenujejo enostranski. S kotomerjem izmerite dva notranja sečna kota. Če sta med seboj enaki, bosta črti vzporedni. Če ste v dvomih, izmerite enostranske notranje kote in dodajte dobljene vrednosti. Premici bosta vzporedni, če je vsota enostranskih notranjih kotov enaka 180º.

Če nimate kotomera, uporabite 90º kvadrat. Z njim zgradite pravokotno na eno od črt. Nato nadaljujte s to navpičnico, tako da seka drugo črto. Z istim kvadratom preveri, pod kakšnim kotom ga seka ta navpičnica. Če je tudi ta kot 90º, sta premici med seboj vzporedni.

Če so premice podane v kartezičnem koordinatnem sistemu, poiščite njihovo smer oziroma normalne vektorje. Če sta ta vektorja kolinearna drug z drugim, sta premici vzporedni. Zmanjšajte enačbo premic na splošno obliko in poiščite koordinate normalnega vektorja vsake premice. Njene koordinate so enake koeficientoma A in B. Če je razmerje ustreznih koordinat normalnih vektorjev enako, sta kolinearni in premici vzporedni.

Na primer, ravne črte so podane z enačbami 4x-2y+1=0 in x/1=(y-4)/2. Prva enačba je splošni pogled, drugi – kanoničen. Pripelji drugo enačbo v splošno obliko. Za to uporabite pravilo pretvorbe deležev, rezultat bo 2x=y-4. Po redukciji na splošno obliko dobite 2x-y+4=0. Ker je splošna enačba za poljubno premico zapisana Ax+By+C=0, potem je za prvo premico: A=4, B=2, za drugo premico pa A=2, B=1. Za prvo direktno koordinato normalnega vektorja (4;2), za drugo pa (2;1). Poiščite razmerje ustreznih koordinat normalnih vektorjev 4/2=2 in 2/1=2. Ti števili sta enaki, kar pomeni, da sta vektorja kolinearna. Ker sta vektorja kolinearna, sta premici vzporedni.

Ne sekata se, ne glede na to, kako dolgo se nadaljujeta. Vzporednost ravnih črt v pisni obliki je označena takole: AB|| ZE

Možnost obstoja takih črt dokazuje izrek.

Izrek.

Skozi katero koli točko zunaj dane premice lahko narišemo točko, ki je vzporedna s to premico.

Pustiti AB ta ravna črta in Z neka točka, ki je vzeta zunaj nje. To je potrebno dokazati skozi Z lahko narišete ravno črto vzporednoAB. Spustimo ga na AB od točke Z pravokotnoZD in potem bomo vodili ZE^ ZD, kar je možno. Naravnost C.E. vzporedno AB.

Da bi to dokazali, predpostavimo nasprotno, tj C.E. seka AB na neki točki M. Potem pa iz točke M na ravno črto ZD imeli bi dve različni navpičnici MD in GOSPA, kar je nemogoče. pomeni, C.E. ne more prečkati z AB, tj. ZE vzporedno AB.

Posledica.

Dve navpičnici (CEinD.B.) na eno ravno črto (CD) so vzporedni.

Aksiom vzporednih premic.

Skozi isto točko ni mogoče narisati dveh različnih premic, vzporednih z isto premico.

Torej, če naravnost ZD, narisano skozi točko Z vzporedno s premico AB, nato vsako drugo vrstico ZE, narisano skozi isto točko Z, ne more biti vzporedna AB, tj. je v nadaljevanju se bo sekalo z AB.

Dokazati to ne povsem očitno resnico se izkaže za nemogoče. Sprejema se brez dokaza, kot nujna predpostavka (postulat).

Posledice.

1. Če naravnost(ZE) seka z enim od vzporedno(SV), potem seka z drugim ( AB), ker sicer skozi isto točko Z obstajali bi dve različni črti, ki potekata vzporedno AB, kar je nemogoče.

2. Če vsak od obeh neposredno (AinB) sta vzporedna z isto tretjo premico ( Z) , potem oni vzporedno med sabo.

Res, če predpostavimo, da A in B sekajo na neki točki M, potem bi skozi to točko potekali dve različni ravni črti, vzporedni Z, kar je nemogoče.

Izrek.

če črta je pravokotna na eno od vzporednic, potem je pravokotna na drugo vzporedno.

Pustiti AB || ZD in E.F. ^ AB.To je potrebno dokazati E.F. ^ ZD.

PravokotnoEF, ki se križa z AB, bo zagotovo prestopil in ZD. Naj bo presečišče H.

Predpostavimo zdaj to ZD ne pravokotno na E.H.. Potem pa kakšna druga ravna črta, na primer H.K., bo pravokotna na E.H. in torej skozi isto točko H bosta dva ravna vzporednica AB: ena ZD, po pogoju in drugo H.K. kot že dokazano. Ker je to nemogoče, ni mogoče domnevati, da SV ni bil pravokoten na E.H..