Območje figure je parametrično omejeno s črtami na spletu. Izračuna površino oblike, omejene s parametrično definirano krivuljo. Kako izračunati prostornino vrtilnega telesa

Oglejmo si primere uporabe dobljene formule, ki omogoča izračun površin figur, omejenih s parametrično določenimi črtami.

Primer.

Izračunajte površino figure, omejene s črto, katere parametrične enačbe imajo obliko.

Rešitev.

V našem primeru parametrično nastavljena črta je elipsa s polosmi 2 in 3 enote. Zgradimo ga.

Poiščite površino četrtine elipse, ki se nahaja v prvem kvadrantu. To območje leži v intervalu ... Površino celotne figure izračunamo tako, da dobljeno vrednost pomnožimo s štirimi.

kaj imamo:

Za k = 0 dobimo interval ... Na tem intervalu je funkcija monotono padajoča (glej razdelek). Uporabimo formulo za izračun površine in po Newton-Leibnizovi formuli najdemo določen integral:

Tako je površina prvotne figure .

Komentar.

Postavlja se logično vprašanje: zakaj smo vzeli četrtino elipse in ne polovico? Vidna je bila zgornja (ali spodnja) polovica figure. Je v intervalu ... Za ta primer bi dobili

To pomeni, da za k = 0 dobimo interval. Na tem intervalu je funkcija monotono padajoča.

Potem najdemo površino polovice elipse kot

Vendar ne morete vzeti desne ali leve polovice elipse.

Parametrična predstavitev elipse s središčem v izvoru in poloseh a in b ima obliko. Če ravnamo na enak način kot v analiziranem primeru, dobimo Formula za izračun površine elipse .

Krog s središčem v izhodišču koordinat polmera R skozi parameter t je podan s sistemom enačb. Če uporabimo dobljeno formulo za območje elipse, potem lahko takoj zapišemo formula za iskanje površine kroga polmer R:.

Rešimo še en primer.

Primer.

Izračunajte površino oblike, omejene s parametrično krivuljo.

Rešitev.

Če tečemo malo naprej, je krivulja "podolgovata" astroida. (Astroid ima naslednjo parametrično predstavitev).

Podrobneje se zadržimo na konstrukciji krivulje, ki omejuje obliko. Gradili ga bomo po točkah. Običajno takšna konstrukcija zadostuje za reševanje večine težav. V bolj zapletenih primerih bo nedvomno potrebna podrobna študija parametrično dane funkcije z uporabo diferencialnega računa.

V našem primeru.

Te funkcije so definirane za vse realne vrednosti parametra t in iz lastnosti sinusa in kosinusa vemo, da so periodične s periodo dveh pi. Tako izračunamo vrednosti funkcij za nekatere (Na primer ), dobimo nabor točk .

Za udobje vnesemo vrednosti v tabelo:

Točke na ravnini označimo in jih POSLEDIČNO povežemo s črto.

Izračunajmo površino območja, ki se nahaja v prvi koordinatni četrtini. Za to področje .

Pri k = 0 dobimo interval kjer je funkcija monotono pada. Za iskanje površine uporabimo formulo:

Dobljene dokončne integrale je mogoče izračunati s formulo Newton-Leibniz, antiderivate za formulo Newton-Leibniz pa s ponavljajočo se formulo oblike , kje .

Torej je površina četrtine figure , potem je površina celotne figure enaka.

Podobno se to lahko pokaže astroidni kvadrat se nahaja kot , površina oblike, ki jo obdaja črta, pa se izračuna po formuli.

Ko smo ugotovili geometrijski pomen določenega integrala, smo dobili formulo, s katero lahko najdemo površino ukrivljenega trapeza, omejenega z osjo abscise, ravne črte x = a, x = b, kot tudi neprekinjeno (nenegativno ali nepozitivno) funkcijo y = f (x). Včasih je bolj priročno definirati funkcijo, ki omejuje obliko v parametrični obliki, t.j. izrazimo funkcionalno odvisnost preko parametra t. V okviru tega gradiva bomo pokazali, kako lahko najdete površino figure, če je omejena s parametrično definirano krivuljo.

Po razlagi teorije in izpeljavi formule bomo analizirali več tipičnih primerov za iskanje površine takšnih številk.

Osnovna formula za izračun

Recimo, da imamo krivolinijski trapez, katerega meje so premice x = a, x = b, os O x in parametrično definirana krivulja x = φ (t) y = ψ (t) in funkcije x = φ ( t) in y = ψ (t) sta neprekinjena na intervalu α; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

Opredelitev 1

Za izračun površine trapeza pod takšnimi pogoji morate uporabiti formulo S (G) = ∫ α β ψ (t) · φ "(t) d t.

Izpeljali smo ga iz formule za površino krivolinijskega trapeza S (G) = ∫ a b f (x) d x z metodo substitucije x = φ (t) y = ψ (t):

S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ "(t) d t

Opredelitev 2

Ob upoštevanju monotonega zmanjšanja funkcije x = φ (t) na intervalu β; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Če funkcija x = φ (t) ni ena izmed osnovnih elementarnih, se moramo spomniti osnovnih pravil za povečevanje in zmanjševanje funkcije na intervalu, da ugotovimo, ali bo naraščala ali padala.

V tem razdelku bomo analizirali več nalog za uporabo zgoraj izpeljane formule.

Primer 1

Stanje: Poiščite površino figure, ki jo tvori črta, podano z enačbami v obliki x = 2 cos t y = 3 sin t.

Rešitev

Imamo parametrično definirano črto. Grafično ga je mogoče prikazati kot elipso z dvema polosmama 2 in 3. Glej ilustracijo:

Poskusimo najti površino 1 4 nastale figure, ki zaseda prvi kvadrant. Območje je v intervalu x ∈ a; b = 0; 2. Nato dobljeno vrednost pomnožite s 4 in poiščite območje celotno figuro.

Tukaj je tok naših izračunov:

x = φ (t) = 2 cos ty = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk, k ∈ Z, φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk, k ∈ Z

Ko je k enak 0, dobimo interval β; α = 0; π 2. Funkcija x = φ (t) = 2 cos t se bo na njej monotono zmanjšala (za več podrobnosti glejte članek o osnovnih elementarnih funkcijah in njihovih lastnostih). Torej lahko uporabite formulo za izračun površine in poiščete določen integral s formulo Newton-Leibniz:

- ∫ 0 π 2 3 sin t 2 cos t "dt = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 tdt = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π 2 = 3 π 2 - sin 2 π 2 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π 2

To pomeni, da bo površina figure, ki jo poda izvirna krivulja, S (G) = 4 · 3 π 2 = 6 π.

Odgovor: S (G) = 6 π

Naj pojasnimo, da je bilo pri reševanju zgornjega problema mogoče vzeti ne le četrtino elipse, temveč tudi njeno polovico - zgornjo ali spodnjo. Ena polovica se nahaja na intervalu x ∈ a; b = - 2; 2. V tem primeru bi dobili:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k, k ∈ Z

Tako dobimo za k enak 0 β; α = 0; π. Funkcija x = φ (t) = 2 cos t na tem intervalu se bo monotono zmanjšala.

Po tem izračunamo površino polovice elipse:

- ∫ 0 π 3 sin t 2 cos t "dt = 6 ∫ 0 π sin 2 tdt = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π

Pomembno je omeniti, da je mogoče vzeti samo zgornji ali spodnji del, desni ali levi pa ni mogoče.

Ustvarite lahko parametrično enačbo za dano elipso s središčem v izvoru. Imel bo obliko x = a cos t y = b sin t. Na enak način kot v zgornjem primeru dobimo formulo za izračun površine elipse S el in n z a = πab.

Krog, katerega središče se nahaja v izhodišču, lahko določite z enačbo x = R cos t y = R sin t, kjer je t parameter in R polmer tega kroga. Če takoj uporabimo formulo za površino elipse, potem dobimo formulo, s katero lahko izračunamo površino kroga s polmerom R: S k r y r a = πR 2.

Poglejmo si še eno težavo.

Primer 2

Pogoj: ugotovite, kakšna bo površina figure, ki je omejena s parametrično podano krivuljo x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t.

Rešitev

Takoj pojasnimo, da je ta krivulja videti kot podolgovata astroida. Običajno je astroid izražen z enačbo v obliki x = a cos 3 t y = a sin 3 t.

Zdaj pa si poglejmo podrobneje, kako zgraditi takšno krivuljo. Gradimo na ločenih točkah. To je najpogostejša metoda in se lahko uporablja za večino nalog. Bolj zapleteni primeri zahtevajo diferencialni račun, da razkrijejo parametrično definirano funkcijo.

Imamo x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t.

Te funkcije so definirane za vse veljavne vrednosti t. Za sin in cos je znano, da sta periodična in je njuna doba 2 pi. Izračunavanje vrednosti funkcij x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t za nekaj t = t 0 ∈ 0; 2 π π 8, π 4, 3 π 8, π 2,. ... ... , 15 π 8, dobimo točke x 0; y 0 = (φ (t 0); ψ (t 0)).

Ustvarimo tabelo seštevkov:

t 0	0	π 8	π 4	3 π 8	π 2	5 π 8	3 π 4	7 π 8	π
x 0 = φ (t 0)	3	2 . 36	1 . 06	0 . 16	0	- 0 . 16	- 1 . 06	- 2 . 36	- 3
y 0 = ψ (t 0)	0	0 . 11	0 . 70	1 . 57	2	1 . 57	0 . 70	0 . 11	0

t 0	9 π 8	5 π 4	11 π 8	3 π 2	13 π 8	7 π 4	15 π 8	2 π
x 0 = φ (t 0)	- 2 . 36	- 1 . 06	- 0 . 16	0	0 . 16	1 . 06	2 . 36	3
y 0 = ψ (t 0)	- 0 . 11	- 0 . 70	- 1 . 57	- 2	- 1 . 57	- 0 . 70	- 0 . 11	0

Po tem označite potrebne točke na ravnini in jih povežite z eno črto.

Zdaj moramo najti površino tistega dela oblike, ki je v prvi koordinatni četrtini. Zanjo je x ∈ a; b = 0; 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk, k ∈ Z

Če je k 0, dobimo interval β; α = 0; π 2, funkcija x = φ (t) = 3 cos 3 t pa se bo na njej monotono zmanjšala. Zdaj vzamemo formulo površine in izračunamo:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t 3 cos 3 t "dt = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t cos 2 tdt = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t (1 - sin 2 t) dt = 18 ∫ 0 2 sin 4 tdt - ∫ 0 π 2 sin 6 tdt

Dobili smo določene integrale, ki jih je mogoče izračunati po Newton-Leibnizovi formuli. Protiizvode za to formulo je mogoče najti z ponavljajočo se formulo J n (x) = - cos x sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x), kjer je J n (x) = ∫ greh nxdx.

∫ sin 4 tdt = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 tdt = = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 - cos t sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 tdt = = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 tdt = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 tdt = - cos t sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 tdt ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 tdt = - cos t sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 πt 2 sin 2 6 3 π 16 = 15 π 96

Izračunali smo površino četrtine figure. Enako je 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16.

Če to vrednost pomnožimo s 4, dobimo površino celotne figure - 9 π 4.

Na popolnoma enak način lahko dokažemo, da je območje astroide, podano z enačbami x = acos 3 ty = a sin 3 t, mogoče najti s formulo S astroid s = 3 πa 2 8 in Površina figure, ki je omejena z premico x = a · cos 3 ty = b · sin 3 t, se izračuna po formuli S = 3 πab 8.

Če opazite napako v besedilu, jo izberite in pritisnite Ctrl + Enter

Poiščimo prostornino telesa, ki nastane z vrtenjem cikloidnega loka okoli njegove osnove. Roberval ga je našel tako, da je nastalo jajčasto telo (slika 5.1) razbil na neskončno tanke plasti, v te plasti vpisal cilindre in jim dodal prostornine. Dokaz je bil dolg, dolgočasen in ne povsem strog. Zato se za izračun obrnemo na višjo matematiko. Parametrično definirajmo cikloidno enačbo.

V integralnem računu pri preučevanju prostornine uporablja naslednjo opombo:

Če je krivulja, ki omejuje krivolinijski trapez, podana s parametričnimi enačbami in funkcije v teh enačbah izpolnjujejo pogoje izreka o spremembi spremenljivke v določenem integralu, potem bo prostornina telesa vrtenja trapeza okoli osi Ox izračunati po formuli:

Uporabimo to formulo, da poiščemo količino, ki jo potrebujemo.

Na enak način izračunamo površino tega telesa.

L = ((x, y): x = a (t - sin t), y = a (1 - stroški), 0? T? 2р)

V integralnem računu obstaja naslednja formula za iskanje površine vrtilnega telesa okoli osi x s krivuljo, ki je parametrično definirana na segmentu (t 0? T? T 1):

Če uporabimo to formulo za našo cikloidno enačbo, dobimo:

Razmislite tudi o drugi površini, ki nastane z vrtenjem cikloidnega loka. Če želite to narediti, zgradite zrcalno sliko cikloidnega loka glede na njegovo osnovo in zavrtite ovalno obliko, ki jo tvorita cikloida in njen odsev okoli KT osi (slika 5.2).

Najprej poiščimo prostornino telesa, ki nastane z vrtenjem cikloidnega loka okoli KT osi. Njegova prostornina se izračuna po formuli (*):

Tako smo izračunali prostornino polovice tega telesa repe. Potem bo celotna prostornina enaka

Razdelki: matematika

Vrsta lekcije: kombinirana.

Namen lekcije: naučiti se izračunati prostornine vrtilnih teles z uporabo integralov.

Naloge:

• utrditi sposobnost izbire krivolinijskih trapezov iz številnih geometrijskih oblik in vaditi spretnost izračunavanja površin ukrivljenih trapezov;
• seznaniti se s konceptom volumetrične figure;
• naučiti se izračunati prostornine vrtilnih teles;
• prispevati k razvoju logičnega mišljenja, kompetentnega matematičnega govora, natančnosti pri gradnji risb;
• spodbujati zanimanje za predmet, operirati z matematičnimi pojmi in podobami, spodbujati voljo, samostojnost, vztrajnost pri doseganju končnega rezultata.

Med poukom

I. Organizacijski trenutek.

Skupinski pozdrav. Sporočanje učnih ciljev učencem.

Odsev. Umirjena melodija.

- Današnjo lekcijo bi rad začel s prispodobo. »Bil je modrec, ki je vedel vse. Ena oseba je želela dokazati, da modrec ne ve vsega. S stiskanjem metulja v dlaneh je vprašal: "Povej mi, modrec, kateri metulj je v mojih rokah: mrtev ali živ?" In sam misli: "Živi bo rekel - ubil jo bom, mrtev bo rekel - izpustil jo bom." Modrec je v mislih odgovoril: "Vse v tvojih rokah". (Predstavitev.Zdrs)

»Zato še danes plodno delajmo, pridobivajmo novo zalogo znanja ter uporabljajmo pridobljene veščine in sposobnosti v prihodnjem življenju in praktičnih dejavnostih. "Vse v tvojih rokah".

II. Ponavljanje predhodno preučenega gradiva.

- Spomnimo se glavnih točk predhodno preučenega gradiva. Da bi to naredili, bomo opravili nalogo "Odstrani dodatno besedo."(Zdrs.)

(Študent gre na osebno izkaznico s pomočjo radirke odstrani odvečno besedo.)

- Prav "Diferencial". Poskusite poimenovati preostale besede z eno splošno besedo. (Integralni račun.)

- Spomnimo se glavnih stopenj in konceptov, povezanih z integralnim računom ..

"Matematični grozd".

Vaja. Popravite vrzeli. (Študent pride ven in s peresom napiše potrebne besede.)

- Povzetek o uporabi integralov bomo slišali kasneje.

Delo v zvezkih.

- Newton-Leibnizovo formulo sta izpeljala angleški fizik Isaac Newton (1643–1727) in nemški filozof Gottfried Leibniz (1646–1716). In to ni presenetljivo, saj je matematika jezik, ki ga govori narava sama.

- Razmislimo, kako se ta formula uporablja pri reševanju praktičnih nalog.

Primer 1: Izračunajte površino oblike, omejene s črtami

Rešitev: Sestavimo grafe funkcij na koordinatni ravnini ... Izberite območje oblike, ki jo želite najti.

III. Učenje nove snovi.

- Bodite pozorni na zaslon. Kaj je prikazano na prvi sliki? (Zdrs) (Slika prikazuje ravno sliko.)

- Kaj je prikazano na drugi sliki? Ali je ta številka ravna? (Zdrs) (Slika prikazuje tridimenzionalno sliko.)

- V vesolju, na zemlji in v Vsakdanje življenje srečamo ne le ravne figure, ampak tudi tridimenzionalne, a kako izračunati prostornino takšnih teles? Na primer prostornina planeta, kometa, meteorita itd.

- O prostornini razmišljajo tako pri gradnji hiš kot pri prelivanju vode iz ene posode v drugo. Pravila in tehnike za izračun volumnov bi se morala pojaviti, drugo je, kako točna in razumna so bila.

Študentsko sporočilo. (Vera Tyurina.)

Leto 1612 je bilo za prebivalce avstrijskega mesta Linz, kjer je takrat živel slavni astronom Johannes Kepler, zelo plodno, predvsem za grozdje. Ljudje so pripravljali vinske sode in so želeli vedeti, kako praktično določiti njihovo prostornino. (Slide 2)

- Tako so obravnavana Keplerjeva dela postavila temelje za celoten tok študij, ki je dosegel vrhunec v zadnji četrtini 17. stoletja. registracija v delih I. Newtona in G.V. Leibnizov diferencialni in integralni račun. Od takrat je matematika spremenljivk veličine zasedla vodilno mesto v sistemu matematičnega znanja.

- Danes se bomo ukvarjali s takšnimi praktičnimi dejavnostmi, zato,

Tema naše lekcije: "Izračun prostornine vrtilnih teles z uporabo določenega integrala." (Zdrs)

- Definicijo telesa revolucije se boste naučili tako, da opravite naslednjo nalogo.

"Labirint".

Labirint (grška beseda) pomeni vstop v ječo. Labirint - zapletena mreža poti, prehodov, prostorov, ki komunicirajo med seboj.

Toda definicija "zrušila", obstajajo nasveti v obliki puščic.

Vaja. Poiščite izhod iz zmede in zapišite definicijo.

Zdrs. “Navodilo za zemljevid” Izračun prostornine.

Z uporabo določenega integrala lahko izračunate prostornino telesa, zlasti telesa vrtenja.

Telo vrtenja je telo, ki ga dobimo z vrtenjem ukrivljenega trapeza okoli njegove osnove (sl. 1, 2)

Prostornina vrtilnega telesa se izračuna z eno od formul:

1. okoli osi OX.

2. če je vrtenje ukrivljenega trapeza okoli osi OS.

Vsak učenec prejme kartico z navodili. Inštruktor poudari glavne točke.

- Inštruktor razloži rešitev s primeri na tabli.

Poglejmo si odlomek iz znane pravljice Aleksandra Puškina "Zgodba o carju Saltanu, njegovem veličastnem in mogočnem junaku, princu Gvidonu Saltanoviču in lepi princesi Lebedu" (Slide 4):

…..
In prinesel pijanega glasnika
Na isti dan je vrstni red naslednji:
"Kralj ukaže svojim bojarjem,
Ne izgubljati časa
In kraljica in potomci
Na skrivaj vrzi v brezno voda."
Nič ni za početi: bojarji,
Po potiskanju za suverena
In mlada kraljica,
V množici so prišli v njeno spalnico.
Napovedali so kraljevo voljo -
Ona in njen sin imata slabo,
Glasno preberi odlok,
In kraljica ob isti uri
Dali so mojega sina v sod,
Zmleli, vozili
In spustili so ga v okiyan -
Tako je ukazal car Saltan.

Kakšna naj bo prostornina soda, da bi se vanj prilegala kraljica in njen sin?

- Razmislite o naslednjih nalogah

1. Poišči prostornino telesa, ki ga dobimo z vrtenjem ukrivljenega trapeza okoli ordinatne osi, omejenega s črtami: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Odgovor: 1163 cm 3 .

Poišči prostornino telesa, ki ga dobimo z vrtenjem paraboličnega trapeza okoli abscisne osi y =, x = 4, y = 0.

IV. Zavarovanje novega materiala

Primer 2. Izračunajte prostornino telesa, ki nastane z vrtenjem cvetnega lista okoli abscisne osi y = x 2, y 2 = x.

Sestavimo grafe funkcije. y = x 2, y 2 = x... Urnik y 2 = x pretvorbo v obliko y= .

Imamo V = V 1 - V 2 Izračunajmo prostornino vsake funkcije

- Zdaj pa si poglejmo stolp za radijsko postajo v Moskvi na Šabolovki, zgrajen po projektu čudovitega ruskega inženirja, častnega akademika V. G. Šuhova. Sestavljen je iz delov - hiperboloidov revolucije. Poleg tega je vsak od njih izdelan iz pravolinijskih kovinskih palic, ki povezujejo sosednje kroge (sl. 8, 9).

- Razmislite o težavi.

Poiščite prostornino telesa, ki ga dobimo z vrtenjem lokov hiperbole okoli svoje namišljene osi, kot je prikazano na sl. 8 kje

mladič. enote

Skupinske naloge. Učenci žrebajo z nalogami, rišejo risbe na Whatman papir, eden od predstavnikov skupine zagovarja delo.

1. skupina.

Zadetek! Zadetek! Še en udarec!
Žoga prileti v vrata - ŽOGLA!
In to je kroglica iz lubenice
Zelena, okrogla, okusna.
Poglej bolje - kakšna žoga!
Narejen je iz istih krogov.
Lubenico narežite na kroge
In jih okusite.

Poišči prostornino telesa, ki jo dobimo z vrtenjem funkcije okoli osi OX, omejeno

Napaka! Zaznamek ni definiran.

- Povejte mi, prosim, kje se srečamo s to številko?

hiša. naloga za 1 skupino. CILINDER (zdrs) .

"Cilinder - kaj je to?" - sem vprašal očeta.
Oče se je zasmejal: klobuk je klobuk.
Da bi imela pravilno idejo,
Cilinder je recimo pločevinasta pločevinka.
Parna cev - cilinder,
Tudi dimnik na naši strehi,

Vse cevi so podobne valju.
In dal sem tak primer -
Moj ljubljeni kalejdoskop
Ne moreš odmakniti oči od njega
In tudi izgleda kot cilinder.

- Vaja. Domača naloga je grafično prikazati funkcijo in izračunati prostornino.

2. skupina. STOŽEC (zdrs).

Mama je rekla: In zdaj
Moja zgodba bo o stožcu.
Astrolog v visokem klobuku
Štetje zvezd vse leto.
CONE - Astrološki klobuk.
To je on. Razumel? To je to.
Mama je stala pri mizi,
Nalila je olje v steklenice.
- Kje je lijak? Brez lijaka.
Poglej. Ne stoj ob strani.
- Mama, ne bom se umaknil,
Povejte nam več o stožcu.
- Lijak je v obliki stožca zalivalke.
Daj no, poišči mi jo čim prej.
Nisem našel lijaka,
Mama pa je naredila torbo
Karton sem zasukal okoli prsta
In ga spretno zavaroval s sponko za papir.
Olje lije, mama je vesela
Stožec je izšel točno tisto, kar potrebujemo.

Vaja. Izračunaj prostornino telesa, ki ga dobimo z vrtenjem okoli abscisne osi

hiša. naloga za 2. skupino. PIRAMIDA(zdrs).

Videl sem sliko. Na tej sliki
V peščeni puščavi je PIRAMIDA.
Vse v piramidi je izjemno
V njem je nekakšna skrivnost in skrivnost.
Spasskaya stolp na Rdečem trgu
Zelo dobro poznan tako otrokom kot odraslim.
Pogledate stolp - izgleda navaden,
Kaj je na njej? Piramida!

Vaja. Domača naloga za grafični prikaz funkcije in izračun prostornine piramide

- Prostornine različnih teles smo izračunali na podlagi osnovne formule za prostornine teles z uporabo integrala.

To je še ena potrditev, da ima določen integral nekaj temeljev za študij matematike.

- No, zdaj pa se malo odpočijmo.

Najdi par.

Igra se matematična domino melodija.

"Cesta, ki sem jo sam iskal, ne bo nikoli pozabljena ..."

Raziskave. Uporaba integrala v ekonomiji in tehnologiji.

Testi za močne učence in matematični nogomet.

Matematični simulator.

2. Pokliče se množica vseh antiderivov dane funkcije

A) nedoločen integral,

B) funkcija,

C) diferenciacija.

7. Poišči prostornino telesa, ki ga dobimo z vrtenjem ukrivljenega trapeza okoli abscisne osi, omejenega s črtami:

D / Z. Izračunajte prostornine vrtilnih teles.

Odsev.

Sprejem refleksije v obliki syncwine(pet verzov).

1. vrstica - ime teme (en samostalnik).

2. vrstica - opis teme v dveh besedah, dva pridevnika.

3. vrstica - opis dejanja znotraj te teme v treh besedah.

4. vrstica - fraza s štirimi besedami, prikazuje odnos do teme (cel stavek).

5. vrstica je sinonim, ki ponavlja bistvo teme.

1. Glasnost.
2. Določen integral, integrabilna funkcija.
3. Gradimo, vrtimo, izračunavamo.
4. Telo, pridobljeno z vrtenjem ukrivljenega trapeza (okoli njegove osnove).
5. Telo vrtenja (trdno geometrijsko telo).

Zaključek (zdrs).

• Določen integral je neka podlaga za študij matematike, ki nenadomestljivo prispeva k reševanju problemov praktične vsebine.
• Tema “Integral” jasno prikazuje povezavo med matematiko in fiziko, biologijo, ekonomijo in tehnologijo.
• Razvoj sodobne znanosti je nepredstavljiv brez uporabe integrala. V zvezi s tem ga je treba začeti študirati v okviru srednjega specialnega izobraževanja!

Ocenjevanje. (S komentarjem.)

Veliki Omar Khayyam je matematik, pesnik, filozof. Kliče, da ste gospodarji vaše usode. Poslušamo odlomek iz njegovega dela:

Rekli boste, da je to življenje en trenutek.
Cenite jo, črpajte navdih iz nje.
Ko ga porabiš, bo minilo.
Ne pozabite: ona je vaša stvaritev.