Številke z omejenimi črtami. Izračunajte površino primerov figure. Prostornina vrtilnega telesa
V tem članku se boste naučili, kako z integralnimi izračuni najti območje figure, omejene s črtami. S formulacijo takšnega problema se prvič srečamo v srednji šoli, ko smo ravno zaključili s poukom določenih integralov in je čas, da začnemo geometrijska interpretacija pridobivali znanje v praksi.
Torej, kaj je potrebno za uspešno rešitev problema iskanja območja figure z uporabo integralov:
- Sposobnost izdelave kompetentnih risb;
- Sposobnost reševanja določenega integrala z uporabo znane Newton-Leibnizove formule;
- Sposobnost "videti" bolj donosno možnost rešitve - tj. razumete, kako bo bolj priročno izvesti integracijo v enem ali drugem primeru? Vzdolž osi x (OX) ali osi y (OY)?
- No, kje bi bili brez pravilnih izračunov?) To vključuje razumevanje, kako rešiti drugo vrsto integralov in pravilne numerične izračune.
Algoritem za rešitev problema izračuna površine figure, omejene s črtami:
1. Gradimo risbo. Priporočljivo je, da to naredite na karirastem listu papirja v velikem merilu. Nad vsakim grafom s svinčnikom podpišemo ime te funkcije. Podpisovanje grafov se izvaja izključno zaradi udobja nadaljnjih izračunov. Ko prejmete graf želene številke, bo v večini primerov takoj jasno, katere meje integracije bodo uporabljene. Tako rešujemo problem grafično. Vendar se zgodi, da so vrednosti omejitev delne ali iracionalne. Zato lahko naredite dodatne izračune, pojdite na drugi korak.
2. Če meje integracije niso eksplicitno določene, potem poiščemo presečišča grafov med seboj in preverimo, ali naša grafična rešitev sovpada z analitično.
3. Nato morate analizirati risbo. Glede na to, kako so urejeni funkcijski grafi, obstajajo različne pristope najti območje figure. Razmislimo različni primeri o iskanju območja figure z uporabo integralov.
3.1. Najbolj klasična in najpreprostejša različica problema je, ko morate najti območje ukrivljenega trapeza. Kaj je ukrivljeni trapez? To je ravna figura, omejena z osjo x (y = 0), naravnost x = a, x = b in katera koli krivulja, zvezna na intervalu od a prej b. Poleg tega je ta številka nenegativna in ni pod osjo x. V tem primeru je površina krivuljnega trapeza številčno enaka določenemu integralu, izračunanemu po Newton-Leibnizovi formuli:
Primer 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
S katerimi črtami je lik omejen? Imamo parabolo y = x2 – 3x + 3, ki se nahaja nad osjo OH, je nenegativno, ker vse točke te parabole imajo pozitivne vrednosti. Naprej, glede na ravne črte x = 1 in x = 3, ki potekajo vzporedno z osjo OU, sta mejni črti slike na levi in desni strani. No y = 0, je tudi os x, ki omejuje sliko od spodaj. Nastala slika je zasenčena, kot je razvidno iz slike na levi. V tem primeru lahko takoj začnete reševati težavo. Pred nami je preprost primer ukrivljenega trapeza, ki ga nato rešimo z uporabo Newton-Leibnizove formule.
3.2. V prejšnjem odstavku 3.1 smo preučili primer, ko se ukrivljeni trapez nahaja nad osjo x. Zdaj razmislite o primeru, ko so pogoji problema enaki, le da funkcija leži pod osjo x. Standardni Newton-Leibnizovi formuli je dodan minus. Kako rešiti takšno težavo, bomo razmislili spodaj.
Primer 2 . Izračunajte površino figure, omejene s črtami y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
V tem primeru imamo parabolo y = x2 + 6x + 2, ki izvira iz os OH, naravnost x = -4, x = -1, y = 0. Tukaj y = 0 omejuje želeno sliko od zgoraj. Neposredno x = -4 in x = -1 to so meje, znotraj katerih bo izračunan določeni integral. Načelo reševanja problema iskanja območja figure skoraj popolnoma sovpada s primerom številka 1. Edina razlika je v tem, da dana funkcija ni pozitivna in je tudi zvezna na intervalu [-4; -1] . Kako to misliš, da ni pozitivno? Kot je razvidno iz slike, ima lik, ki leži znotraj danih x-ov, izključno “negativne” koordinate, kar moramo videti in si zapomniti pri reševanju problema. Območje slike iščemo po formuli Newton-Leibniz, le z znakom minus na začetku.
Članek ni dokončan.
Kdorkoli določen integral(ki obstaja) ima zelo dober geometrijski pomen. V razredu sem rekel, da je določen integral število. In zdaj je čas, da navedemo še eno koristno dejstvo. Z vidika geometrije je določen integral PLOŠČINA.
to je določeni integral (če obstaja) geometrično ustreza območju določene figure. Na primer, razmislite o določenem integralu. Integrand določa določeno krivuljo na ravnini (po želji jo lahko vedno narišemo), sam določeni integral pa je številčno enak površini ustreznega krivuljnega trapeza.
Primer 1
To je tipična izjava o dodelitvi. Prva in najpomembnejša točka pri odločitvi je izdelava risbe. Poleg tega je treba risbo sestaviti PRAV.
Pri izdelavi risbe priporočam naslednji vrstni red: najprej bolje je zgraditi vse ravne črte (če obstajajo) in samo Potem– parabole, hiperbole, grafe drugih funkcij. Bolj donosno je graditi grafe funkcij točka za točko, tehniko gradnje po točkah najdete v referenčnem gradivu.
Tam lahko najdete tudi zelo uporaben material za našo lekcijo - kako hitro zgraditi parabolo.
V tej težavi bi lahko rešitev izgledala takole.
Narišimo risbo (upoštevajte, da enačba določa os):
Ukrivljenega trapeza ne bom senčil, tukaj je očitno, o katerem območju govorimo. Rešitev se nadaljuje takole:
Na segmentu se nahaja graf funkcije nad osjo, Zato:
odgovor:
Kdor ima težave z izračunom določenega integrala in uporabo Newton-Leibnizove formule, naj si ogleda predavanje. Določen integral. Primeri rešitev.
Ko je naloga opravljena, je vedno koristno pogledati risbo in ugotoviti, ali je odgovor resničen. V tem primeru štejemo število celic na risbi "na oko" - no, približno 9 jih bo, zdi se res. Povsem jasno je, da če bi dobili recimo odgovor: 20 kvadratnih enot, potem je očitno, da je bila nekje storjena napaka - 20 celic očitno ne sodi v zadevno številko, največ ducat. Če je odgovor negativen, je bila tudi naloga nepravilno rešena.
Primer 2
Izračunajte ploščino figure, omejene s črtami , , in osjo
To je primer za neodvisna odločitev. Popolna rešitev in odgovor na koncu lekcije.
Kaj storiti, če se nahaja ukrivljeni trapez pod osjo?
Primer 3
Izračunajte površino figure, omejene s črtami in koordinatnimi osmi.
Rešitev: Narišimo:
Če je ukrivljen trapez popolnoma nameščen pod osjo, potem je njegovo območje mogoče najti s formulo:
V tem primeru:
Pozor! Ne smemo zamenjati dveh vrst nalog:
1) Če vas prosimo, da preprosto rešite določen integral brez katerega koli geometrijski pomen, potem je lahko negativen.
2) Če vas prosimo, da poiščete območje figure z določenim integralom, potem je območje vedno pozitivno! Zato se v pravkar obravnavani formuli pojavi minus.
V praksi se najpogosteje figura nahaja tako v zgornji kot spodnji polravnini, zato od najpreprostejših šolskih nalog preidemo na bolj smiselne primere.
Primer 4
Poiščite ploščino ravninske figure, omejene s črtami , .
Rešitev: Najprej morate narediti risbo. Na splošno nas pri konstruiranju risbe v problemih ploščin najbolj zanimajo točke presečišča črt. Poiščimo presečišča parabole in premice. To lahko naredimo na dva načina. Prva metoda je analitična. Rešimo enačbo:
To pomeni, da je spodnja meja integracije , zgornja meja integracije pa .
Če je mogoče, je bolje, da te metode ne uporabite.
Veliko bolj dobičkonosno in hitreje je graditi črte točko za točko, meje integracije pa postanejo jasne »same od sebe«. Tehnika gradnje od točke do točke za različne grafe je podrobno obravnavana v pomoči Grafi in lastnosti elementarnih funkcij. Kljub temu je treba včasih še vedno uporabiti analitično metodo iskanja meja, če je na primer graf dovolj velik ali podrobna konstrukcija ni razkrila meje integracije (lahko so frakcijske ali iracionalne). In upoštevali bomo tudi tak primer.
Vrnimo se k naši nalogi: bolj racionalno je najprej zgraditi ravno črto in šele nato parabolo. Naredimo risbo:
Ponavljam, da se pri točkovni konstrukciji meje integracije najpogosteje ugotavljajo »samodejno«.
In zdaj delovna formula:Če je na segmentu neka zvezna funkcija večji ali enak nekaj neprekinjena funkcija, potem je območje ustrezne figure mogoče najti s formulo:
Tukaj vam ni več treba razmišljati o tem, kje se nahaja figura - nad osjo ali pod osjo, in, grobo rečeno, pomembno je kateri graf je VIŠJE(glede na drug graf), in kateri je SPODAJ.
V obravnavanem primeru je očitno, da se na segmentu parabola nahaja nad ravno črto, zato je treba odšteti od
Končana rešitev bi lahko izgledala takole:
Želena slika je omejena s parabolo zgoraj in ravno črto spodaj.
odgovor:
Pravzaprav je šolska formula za območje krivuljnega trapeza v spodnji polravnini (glej preprost primer št. 3) poseben primer formule Ker je os določena z enačbo in se graf funkcije nahaja pod osjo, potem
In zdaj nekaj primerov za vašo rešitev
Primer 5
Primer 6
Poiščite območje figure, omejeno s črtami , .
Pri reševanju nalog, ki vključujejo izračun ploščine z določenim integralom, se včasih zgodi smešen dogodek. Risba je bila narejena pravilno, izračuni so bili pravilni, a zaradi neprevidnosti ... najdeno je bilo območje napačne figure, točno tako se je tvoj ponižni služabnik večkrat zajebal. Tukaj je primer iz resničnega življenja:
Primer 7
Izračunaj ploščino figure, ki jo omejujejo črte , , , .
Najprej naredimo risbo:
Figura, katere območje moramo najti, je osenčena modro(pozorno poglejte stanje - kako omejena je številka!). Toda v praksi se zaradi nepazljivosti pogosto zgodi, da morate najti območje figure, ki je zasenčeno zelena!
Ta primer je uporaben tudi zato, ker izračuna površino figure z uporabo dveh določenih integralov. res:
1) Na segmentu nad osjo je graf ravne črte;
2) Na segmentu nad osjo je graf hiperbole.
Povsem očitno je, da se območja lahko (in morajo) dodati, zato:
odgovor:
Primer 8
Izračunaj površino figure, omejene s črtami,
Predstavimo enačbe v "šolski" obliki in naredimo risbo po točkah:
Iz risbe je razvidno, da je naša zgornja meja "dobra": .
Toda kaj je spodnja meja?! Jasno je, da to ni celo število, ampak kaj je? Morda? Toda kje je zagotovilo, da je risba narejena s popolno natančnostjo, lahko se izkaže, da ... Ali pa korenina. Kaj pa, če smo graf sestavili narobe?
V takih primerih morate porabiti dodaten čas in analitično razjasniti meje integracije.
Poiščimo presečišča premice in parabole.
Da bi to naredili, rešimo enačbo:
Zato,.
Nadaljnja rešitev je trivialna, glavna stvar je, da se ne zmedete v zamenjavah in znakih; izračuni tukaj niso najpreprostejši.
Na segmentu po ustrezni formuli:
No, za zaključek lekcije si oglejmo še dve težji nalogi.
Primer 9
Izračunajte ploščino figure, ki jo omejujejo črte , ,
Rešitev: Upodobimo to figuro na risbi.
Če želite sestaviti risbo od točke do točke, morate poznati videz sinusoide (in na splošno je koristno vedeti grafi vseh elementarnih funkcij), kot tudi nekatere sinusne vrednosti, jih lahko najdete v trigonometrična tabela. V nekaterih primerih (kot v tem primeru) je mogoče sestaviti shematsko risbo, na kateri bi morali biti grafi in meje integracije načeloma pravilno prikazani.
Tukaj ni težav z mejami integracije; izhajajo neposredno iz pogoja: "x" se spremeni iz nič v "pi". Odločimo se še naprej:
Na segmentu se graf funkcije nahaja nad osjo, torej:
(1) Vidite lahko, kako so sinusi in kosinusi integrirani v lihih potencah v lekciji Integrali iz trigonometrične funkcije . To je tipična tehnika, odščipnemo en sinus.
(2) V obrazcu uporabimo glavno trigonometrično identiteto
(3) Spremenimo spremenljivko in nato:
Nova področja integracije:
Vsakdo, ki je res slab z zamenjavami, prosim za lekcijo. Substitucijska metoda v nedoločenem integralu. Za tiste, ki ne razumete povsem algoritma zamenjave v določenem integralu, obiščite stran Določen integral. Primeri rešitev. Primer 5: Rešitev: , torej:
odgovor:
Opomba: upoštevajte, kako je tukaj uporabljena posledica osnovne trigonometrične identitete.
Nazaj naprej
Pozor! Predogledi diapozitivov so zgolj informativne narave in morda ne predstavljajo vseh funkcij predstavitve. Če vas to delo zanima, prenesite polno različico.
Ključne besede: celostni, ukrivljeni trapez, območje figur, omejenih z lilijami
Oprema Kabina: označevalna tabla, računalnik, multimedijski projektor
Vrsta lekcije: lekcija-predavanje
Cilji lekcije:
- izobraževalni: ustvarjati kulturo miselnega dela, ustvarjati situacijo uspeha za vsakega učenca in ustvarjati pozitivno motivacijo za učenje; razvijati sposobnost govorjenja in poslušanja drugih.
- razvoj: oblikovanje samostojnega razmišljanja študenta pri uporabi znanja v različnih situacijah, sposobnost analiziranja in sklepanja, razvoj logike, razvoj sposobnosti pravilnega postavljanja vprašanj in iskanja odgovorov nanje. Izboljšanje oblikovanja računalniških spretnosti, razvijanje razmišljanja študentov med izpolnjevanjem predlaganih nalog, razvijanje algoritemske kulture.
- izobraževalni: oblikovati pojme o krivočrtnem trapezu, o integralu, obvladati veščine računanja ploščin ravninskih likov.
Učna metoda: razlagalno in ilustrativno.
Med poukom
V prejšnjih razredih smo se naučili izračunati ploščine likov, katerih meje so lomljene črte. V matematiki obstajajo metode, ki vam omogočajo izračun površin figur, omejenih s krivuljami. Takšne figure se imenujejo krivuljasti trapezi, njihova površina pa se izračuna z uporabo antiizpeljank.
Krivočrtni trapez ( diapozitiv 1)
Ukrivljeni trapez je figura, omejena z grafom funkcije, ( sh.m.), naravnost x = a in x = b in x-os
Različne vrste ukrivljenih trapezov ( diapozitiv 2)
Upoštevamo različne vrste krivuljnih trapezov in opazimo: ena od ravnih črt je degenerirana v točko, vlogo omejitvene funkcije igra ravna črta
Območje ukrivljenega trapeza (slide 3)
Popravite levi konec intervala A, in pravega X bomo spremenili, tj. premaknemo desno steno krivočrtnega trapeza in dobimo spreminjajoč se lik. Območje spremenljivega krivuljnega trapeza, ki ga omejuje graf funkcije, je protiizpeljava F za funkcijo f
In na segmentu [ a; b] območje krivuljnega trapeza, ki ga tvori funkcija f, je enak prirastku antiodvoda te funkcije:
1. vaja:
Poiščite površino krivuljnega trapeza, ki ga omejuje graf funkcije: f(x) = x 2 in ravno y = 0, x = 1, x = 2.
Rešitev: ( po diapozitivu algoritma 3)
Narišimo graf funkcije in premic
Poiščimo enega od protiodvodov funkcije f(x) = x 2 :
Samotestiranje na diapozitivu
Integral
Razmislite o krivočrtnem trapezu, ki ga definira funkcija f na segmentu [ a; b]. Razčlenimo ta segment na več delov. Območje celotnega trapeza bo razdeljeno na vsoto površin manjših ukrivljenih trapezov. ( diapozitiv 5). Vsak tak trapez lahko približno štejemo za pravokotnik. Vsota površin teh pravokotnikov daje približno predstavo o celotnem območju ukrivljenega trapeza. Manjši delimo segment [ a; b], bolj natančno izračunamo površino.
Zapišimo te argumente v obliki formul.
Razdeli segment [ a; b] na n delov s pikami x 0 =a, x1,...,xn = b. Dolžina k- th označimo z xk = xk – xk-1. Naredimo vsoto
Geometrično ta vsota predstavlja površino figure, zasenčene na sliki ( sh.m.)
Vsote oblike imenujemo integralne vsote za funkcijo f. (š.m.)
Integralne vsote dajejo približno vrednost površine. Natančno vrednost dobimo s prehodom na mejo. Predstavljajmo si, da izboljšujemo particijo segmenta [ a; b], tako da se dolžine vseh majhnih segmentov nagibajo k nič. Nato se bo območje sestavljene figure približalo območju ukrivljenega trapeza. Lahko rečemo, da je ploščina ukrivljenega trapeza enaka meji integralnih vsot, Sc.t. (š.m.) ali integralno, tj.
definicija:
Integral funkcije f(x) od a prej b imenovana limita integralnih vsot
= (š.m.)
Newton-Leibnizova formula.
Spomnimo se, da je meja integralnih vsot enaka površini krivuljnega trapeza, kar pomeni, da lahko zapišemo:
Sc.t. = (š.m.)
Po drugi strani pa se površina ukrivljenega trapeza izračuna po formuli
S k.t. (š.m.)
Če primerjamo te formule, dobimo:
= (š.m.)Ta enakost se imenuje Newton-Leibnizova formula.
Za lažji izračun je formula zapisana kot:
= = (š.m.)Naloge: (š.m.)
1. Izračunajte integral z uporabo Newton-Leibnizove formule: ( preverite na diapozitivu 5)
2. Sestavite integrale po risbi ( preverite na diapozitivu 6)
3. Poiščite območje figure, omejeno s črtami: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Diapozitiv 7)
Iskanje površin ravninskih likov ( diapozitiv 8)
Kako najti območje figur, ki niso ukrivljeni trapezi?
Naj sta podani dve funkciji, katerih grafe vidite na prosojnici . (š.m.) Poiščite območje zasenčene figure . (š.m.). Ali je zadevna figura ukrivljeni trapez? Kako lahko poiščete njegovo ploščino z uporabo lastnosti aditivnosti ploščine? Razmislite o dveh ukrivljenih trapezoidih in odštejte površino drugega od površine enega od njiju ( sh.m.)
Ustvarimo algoritem za iskanje območja z uporabo animacije na diapozitivu:
- Graf funkcij
- Projicirajte presečišča grafov na os x
- Zasenči sliko, ki jo dobiš ob sekanju grafov
- Poiščite krivulje trapeze, katerih presečišče ali unija je dani lik.
- Izračunajte površino vsakega od njih
- Poiščite razliko ali vsoto površin
Ustna naloga: Kako pridobiti ploščino zasenčene figure (povejte z animacijo, diapozitiva 8 in 9)
Domača naloga: Preberite opombe, št. 353 (a), št. 364 (a).
Bibliografija
- Algebra in začetki analize: učbenik za 9.-11. razred večerne (izmenske) šole / ur. G.D. Glaser. - M: Razsvetljenje, 1983.
- Bashmakov M.I. Algebra in začetki analize: učbenik za 10-11 razred srednje šole / Bashmakov M.I. - M: Razsvetljenje, 1991.
- Bashmakov M.I. Matematika: učbenik za zavode zač. in sredo prof. izobraževanje / M.I. Bašmakov. - M: Akademija, 2010.
- Kolmogorov A.N. Algebra in začetki analize: učbenik za 10.-11. izobraževalne ustanove / A.N. Kolmogorov. - M: Izobraževanje, 2010.
- Ostrovsky S.L. Kako narediti predstavitev za lekcijo? / S.L. Ostrovski. – M.: 1. september 2010.
Izračunajte površino figure, omejene s črtami.
rešitev.
Iskanje presečišč dane vrstice. Da bi to naredili, rešimo sistem enačb:
Da bi našli absciso presečišč danih premic, rešimo enačbo:
Najdemo: x 1 = -2, x 2 = 4.
Torej, ti črti, ki sta parabola in premica, se sekata v točkah A(-2; 0), B(4; 6).
Te črte tvorijo zaprto sliko, katere površina se izračuna po zgornji formuli:
Z uporabo Newton-Leibnizove formule ugotovimo:
Poiščite območje območja, ki ga omejuje elipsa.
rešitev.
Iz enačbe elipse za prvi kvadrant imamo. Od tu z uporabo formule dobimo
Uporabimo zamenjavo x = a greh t, dx = a cos t dt. Nove meje integracije t = α in t = β so določene iz enačb 0 = a greh t, a = a greh t. Lahko se postavi α = 0 in β = π /2.
Poiščite eno četrtino zahtevane površine
Od tod S = πab.
Poiščite območje figure, omejene s črtamil = - x 2 + x + 4 inl = - x + 1.
rešitev.
Poiščimo presečišča premic l = -x 2 + x + 4, l = -x+ 1, ki enači ordinate črt: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 oz x 2 - 2x- 3 = 0. Iskanje korenin x 1 = -1, x 2 = 3 in njihove ustrezne ordinate l 1 = 2, l 2 = -2.
Z uporabo formule za območje figure dobimo
Določite ploščino, ki jo oklepa parabolal = x 2 + 1 in ravnox + l = 3.
rešitev.
Reševanje sistema enačb
poiščite absciso presečišč x 1 = -2 in x 2 = 1.
Verjeti l 2 = 3 - x in l 1 = x 2 + 1, glede na formulo, ki jo dobimo
Izračunajte ploščino Bernoullijeve lemniskater 2 = a 2 cos 2 φ .
rešitev.
V polarnem koordinatnem sistemu je območje figure, omejeno z lokom krivulje r = f(φ ) in dva polmera φ 1 = ʅ in φ 2 = ʆ , bo izražen z integralom
Zaradi simetričnosti krivulje najprej določimo eno četrtino zahtevane površine
Zato je celotno območje enako S = a 2 .
Izračunaj dolžino loka astroidax 2/3 + l 2/3 = a 2/3 .
rešitev.
Zapišimo enačbo astroida v obliki
(x 1/3) 2 + (l 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .
Postavimo x 1/3 = a 1/3 cos t, l 1/3 = a 1/3 greha t.
Od tu dobimo parametrične enačbe astroida
x = a ker 3 t, l = a greh 3 t, (*)
kjer je 0 ≤ t ≤ 2π .
Zaradi simetrije krivulje (*) je dovolj, da najdemo eno četrtino dolžine loka L, ki ustreza spremembi parametra t od 0 do π /2.
Dobimo
dx = -3a ker 2 t greh t dt, dy = 3a greh 2 t cos t dt.
Od tu najdemo
Integracija dobljenega izraza od 0 do π /2, dobimo
Od tod L = 6a.
Poiščite območje, ki ga oklepa Arhimedova spiralar = aφ in dva radijska vektorja, ki ustrezata polarnim kotomφ 1 inφ 2 (φ 1 < φ 2 ).
rešitev.
Območje, ki ga oklepa krivulja r = f(φ ) se izračuna po formuli, kjer je α in β - meje spremembe polarnega kota.
Tako dobimo
(*)
Iz (*) sledi, da je območje omejeno s polarno osjo in prvim obratom Arhimedove spirale ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):
Podobno najdemo območje, omejeno s polarno osjo in drugim obratom Arhimedove spirale ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):
Zahtevana površina je enaka razliki teh površin
Izračunaj prostornino telesa, ki ga dobimo z vrtenjem okoli osiOx figure, omejene s parabolamil = x 2 inx = l 2 .
rešitev.
Rešimo sistem enačb
in dobimo x 1 = 0, x 2 = 1, l 1 = 0, l 2 = 1, od koder so presečišča krivulj O(0; 0), B(enajst). Kot je razvidno iz slike, je zahtevana prostornina vrtilnega telesa enaka razliki med dvema prostorninama, ki ju tvorita vrtenje okoli osi. Ox ukrivljeni trapezi O.C.B.A. in ODBA:
Izračunajte ploščino, ki jo oklepa osOx in sinusoidl = grehx na segmentih: a) ; b) .
rešitev.
a) Na segmentu funkcija sin x ohranja znak in zato po formuli ob predpostavki l= greh x, najdemo
b) Na segmentu funkcija sin x spremeni znak. Za pravilno rešitev problema je potrebno segment razdeliti na dva in [ π , 2π ], pri čemer funkcija ohrani svoj predznak.
V skladu s pravilom znakov na segmentu [ π , 2π ] območje je vzeto z znakom minus.
Posledično je zahtevana površina enaka
Določite prostornino telesa, ki ga omejuje ploskev, dobljena z vrtenjem elipseokoli velike osia .
rešitev.
Glede na to, da je elipsa simetrična glede na koordinatne osi, je dovolj, da poiščemo prostornino, ki nastane z vrtenjem okoli osi. Ox območje OAB, enako eni četrtini površine elipse, in podvojite rezultat.
Označimo prostornino vrtilnega telesa z V x; potem na podlagi formule imamo , kjer je 0 in a- abscise točk B in A. Iz enačbe elipse najdemo. Od tod
Tako je zahtevana prostornina enaka. (Ko se elipsa vrti okoli male osi b, prostornina telesa je enaka )
Poiščite območje, ki ga omejujejo parabolel 2 = 2 px inx 2 = 2 py .
rešitev.
Najprej poiščemo koordinate točk presečišča parabol, da določimo segment integracije. S pretvorbo izvirnih enačb dobimo in . Z enačenjem teh vrednosti dobimo oz x 4 - 8str 3 x = 0.
x 4 - 8str 3 x = x(x 3 - 8str 3) = x(x - 2str)(x 2 + 2px + 4str 2) = 0.
Iskanje korenin enačb:
Upoštevajoč dejstvo, da točka A presečišče parabol je v prvi četrtini, nato meje integracije x= 0 in x = 2str.
Zahtevano območje najdemo s formulo
Primer1 . Izračunajte ploščino figure, ki je omejena s črtami: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 in x = 2
Sestavimo lik (glej sliko) Z dvema točkama A(4;0) in B(0;2) sestavimo premico x + 2y – 4 = 0. Če izrazimo y skozi x, dobimo y = -0,5x + 2. Z uporabo formule (1), kjer je f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, najdemo
S = = [-0,25=11,25 sq. enote
Primer 2. Izračunajte ploščino figure, ki je omejena s črtami: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 in y = 0.
rešitev. Sestavimo figuro.
Konstruirajmo premico x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
Konstruirajmo premico x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
Poiščimo presečišče premic z reševanjem sistema enačb:
x = 2, y = 3; M(2; 3).
Za izračun zahtevane površine trikotnik AMC razdelimo na dva trikotnika AMN in NMC, saj ko se x spremeni iz A v N, je območje omejeno z ravno črto, ko se x spremeni iz N v C - z ravno črto.
Za trikotnik AMN velja: ; y = 0,5x + 2, tj. f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.
Za trikotnik NMC velja: y = - x + 5, tj. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Z izračunom površine vsakega trikotnika in seštevanjem rezultatov ugotovimo:
kv. enote
kv. enote
9 + 4, 5 = 13,5 kvadratnih metrov. enote Preverite: = 0,5AC = 0,5 kvadratnih metrov. enote
Primer 3. Izračunajte površino figure, omejene s črtami: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
V tem primeru morate izračunati površino ukrivljenega trapeza, ki ga omejuje parabola y = x 2 , ravne črte x = 2 in x = 3 ter os Ox (glej sliko) S formulo (1) najdemo območje krivuljnega trapeza
= = 6 kvadratnih metrov enote
Primer 4. Izračunajte površino figure, omejene s črtami: y = - x 2 + 4 in y = 0
Sestavimo figuro. Zahtevano območje je zaprto med parabolo y = - x 2 + 4 in os Ox.
Poiščimo presečišča parabole z osjo Ox. Ob predpostavki, da je y = 0, najdemo x = Ker je ta številka simetrična glede na os Oy, izračunamo površino figure, ki se nahaja desno od osi Oy, in dobljeni rezultat podvojimo: = +4x] sq. enote 2 = 2 kvadratnih metrov enote
Primer 5. Izračunajte površino figure, omejene s črtami: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Tukaj morate izračunati površino krivuljnega trapeza, ki ga omejuje zgornja veja parabole 2 = x, os Ox in ravne črte x = 1 in x = 4 (glej sliko)
V skladu s formulo (1), kjer je f(x) = a = 1 in b = 4, imamo = (= kvadratne enote.
Primer 6 . Izračunajte ploščino figure, omejene s črtami: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
Zahtevano območje je omejeno s polvalom sinusoide in osjo Ox (glej sliko).
Imamo - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 sq. enote
Primer 7. Izračunajte površino figure, ki je omejena s črtami: y = - 6x, y = 0 in x = 4.
Slika se nahaja pod osjo Ox (glej sliko).
Zato najdemo njegovo ploščino s formulo (3)
= =
Primer 8. Izračunajte površino figure, ki jo omejujejo črti: y = in x = 2. Iz točk sestavite krivuljo y = (glej sliko). Tako najdemo površino figure s formulo (4)
Primer 9 .
X 2 + y 2 = r 2 .
Tukaj morate izračunati površino, ki jo oklepa krog x 2 + y 2 = r 2 , tj. območje kroga s polmerom r s središčem v izhodišču. Poiščimo četrti del tega območja tako, da vzamemo meje integracije od 0
prej; imamo: 1 = = [
torej 1 =
Primer 10. Izračunajte ploščino figure, omejene s črtami: y= x 2 in y = 2x
Ta številka je omejena s parabolo y = x 2 in premica y = 2x (glej sliko) Za določitev presečišč danih premic rešimo sistem enačb: x 2 – 2x = 0 x = 0 in x = 2
Z uporabo formule (5) za iskanje površine dobimo
= }
