Мобиус функц. Мобиусын инверцийн томъёо. Мобиусын зурвас - Мобиус зурвасын гайхалтай нээлт "Ид шид"

Хотын төсвийн боловсролын байгууллага дунд иж бүрэн сургуульхувь хүнийг гүнзгийрүүлэн судлах замаар

бүхий зүйлс. Тербуни

Мобиусын зурвас

Гүйцэтгэсэн: Чепурина Анна Витальевна,

10-р ангийн сурагч

Дарга: Кирикова М.А.

анхны математикийн багш

мэргэшлийн ангилал

Тербуни тосгон

2015 он

Танилцуулга…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Түүхэн суурь ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Мобиусын зурвас нь топологийн шинэ шинжлэх ухааны эхлэл юм.................................5

Мобиусын тууз хийх ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Мобиусын туузан дээрх туршилтууд................................................. ...... .................9

Мобиусын зурвасын топологийн шинж чанарууд……………………..11

Мобиусын зурвас дээрх теоремууд………………………………….12

Mobius Strip-тай заль мэх ............................................................................................................................................. 15

Мобиусын зурвасын хэрэглээ…………………………………..16

Дүгнэлт.................................................. ...................................................23

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт................................................. ............ .25

Өргөдөл

Оршил

Өнөө үед ер бусын тоонуудын янз бүрийн шинж чанар, стандарт бус хэрэглээг судлах нь чухал юм.

Та Мобиусын зурвасын талаар сонсож байсан уу? Хэрхэн хийж болох вэ, энэ нь математиктай хэрхэн холбоотой, амьдралд хаана хэрэглэгддэг.

Энэ ажлыг хийж байхдаа би Мобиусын зурвасыг 19-р зуунд илрүүлсэн ч 20, 20-р зууны аль алинд нь хамааралтай гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Мобиусын зурвасын гайхалтай шинж чанаруудыг хоол хийх, технологи, физик, уран зураг, архитектур, үнэт эдлэл, хувцасны гоёл чимэглэлийн дизайнд ашиглаж ирсэн бөгөөд ашигладаг. Тэрээр олон зохиолч, уран бүтээлчдийн уран бүтээлийг өдөөсөн.

Мобиусын зурвасын сонирхол өнөөдрийг хүртэл буураагүй байна. 2006 оны 9-р сард Москвад уран сайхны математикийн наадам болов. Токиогийн профессорын илтгэлийг маш амжилттай хүлээж авлаа.

Би энэ сэдвийг маш их сонирхож, сонирхож байсан. Би уран зохиол судалж, дараа нь өөрөө Мобиусын тууз хийж, дараа нь судалгаа хийж, туршилт хийж, түүний ид шидийн, ер бусын шинж чанарыг судалж үзсэн.

Мобиусын тууз нь нэг үзүүрийг хагас эргүүлсэн (өөрөөр хэлбэл 180 градус) нөгөө үзүүрт нь наасан цаасан тууз юм. Дэлхийн өнцөг булан бүрт байгаа сая сая хүмүүс өдөр бүр Мобиусын зурвас ашигладаг гэдгээ ч мэддэггүй.

Зорилтот : энгийн мэт санагдах тууз эргэлдэж байгааг ангийнхандаа хэлж, үзүүлээрэй

наасан төгсгөлтэй хагас эргэлт, их хэмжээгээр агуулж болно

гэнэтийн бэлэг.

Судалгааны объект: Мобиус зурвас.

Даалгаварууд: энэ сэдвээр эх сурвалж, уран зохиолыг тодорхойлж, дүн шинжилгээ хийх;

Мобиусын зурвасын түүхтэй танилцах;

Mobius туузыг хэрхэн яаж хийхийг сурах;

мобиусын зурвасын янз бүрийн шинж чанарыг судлах;

Сэдэв дээр ажиллахдаа би дараахь зүйлийг ашигласан аргууд: шинжилгээ, синтез,

ажиглалт, туршилт, харьцуулалт, социологийн судалгаа.

БҮЛЭГ I

"Мобиус зурвас - шинэ шинжлэх ухааны эхлэл"

1. 1. Түүхэн суурь

Нууцлаг бөгөөд алдартай Мобиусын зурвасыг 1858 онд Германы геометр зохион бүтээжээАвгуст Фердинанд Мобиус . Мобиус "навч"-аа нээхэд нь урт туузны үзүүрийг буруу оёсон шивэгчин тусалсан гэж тэд ярьдаг. Бүтээлээ хянуулахыг долоон жил хүлээж, хүлээлгүй үр дүнгээ нийтэлжээ.

Мобиустай нэгэн зэрэг К.Ф.Гауссын өөр нэг шавь энэ навчийг зохион бүтээжээ.Иоганн Бенедиктийн жагсаалт, Гёттингений их сургуулийн профессор. Тэрээр бүтээлээ Мобиусаас гурван жилийн өмнө буюу 1862 онд хэвлүүлжээ. А.Ф.Мобиус Шульпфорте хотод төрсөн. Хэсэг хугацаанд тэрээр К.Гауссын удирдлаган дор одон орон судлалд суралцсан. Тэрээр 1818 онд Плейзенбургийн ажиглалтын төвд бие даасан одон орон судлалын ажиглалт хийж эхэлсэн. захирал болсон. Тэр үед математикийг дэмждэггүй байсан бөгөөд одон орон судлал нь тэдний тухай бодохгүй байх хангалттай мөнгө өгч, өөрийнхөө бодолд цаг гаргадаг байв. 1816 онд Лейпцигийн их сургуулийн профессор болсноор Мобиус анх проекц геометр, координатын систем, судалгааны аналитик аргыг нэвтрүүлсэн; "ирмэгийн хууль" үйлчилдэггүй, эзэлхүүнгүй нэг талт гадаргуу (Мобиус тууз), олон талт гадаргуу байгааг тогтоожээ. Мобиус бол геометрийн өөрчлөлтийн онол, мөн топологийг үндэслэгчдийн нэг юм. Тэрээр тооны онолд (Мобиусын функц) чухал үр дүнд хүрч, тухайн үеийн тэргүүлэх геометрийн нэг болжээ.

1.2. Мобиусын зурвас - топологийн шинэ шинжлэх ухааны эхлэл

Германы математикч А.Ф.Мобиус гайхалтай нэг талт цаас байдгийг нээсэн тэр мөчөөс эхлэн математикийн цоо шинэ салбар топологи гэж нэрлэгддэг салбар хөгжиж эхэлсэн. "Топологи" гэсэн нэр томъёог математикийн хоёр салбарт хамааруулж болно. Үүсгэн байгуулагч нь Пуанкаре байсан нэг топологийг удаан хугацааны турш комбинатор гэж нэрлэдэг байв. Германы эрдэмтэн Георг Канторын гарал үүсэл нь ерөнхий буюу олонлог онол гэсэн нэр өгсөн.

Комбинаторын топологи нь геометрийн нэг салбар юм. "Геометр" гэдэг нь грек үг бөгөөд орос хэлнээс орчуулбал "газар хэмжилт" гэсэн утгатай (грекээр "гео" нь дэлхий, "метрео" нь хэмжих гэсэн утгатай) дүрсийн шинж чанарыг судалдаг. Аливаа шинжлэх ухааны нэгэн адил геометрийг хэд хэдэн хэсэгт хуваадаг.

1. Планиметр (Латин үг, “planum” - гадаргуу + геометр), хавтгай дээрх (гурвалжин, дөрвөлжин, тойрог, тойрог гэх мэт) дүрсүүдийн шинж чанарыг судалдаг геометрийн хэсэг.

2. Стереометр (Грек, “stereos” - орон зай + геометр) - орон зай дахь дүрсүүдийн шинж чанарыг судалдаг геометрийн хэсэг (бөмбөрцөг, шоо, параллелепипед гэх мэт).

H. Топологи (грекээр “topos” - газар, газар нутаг + логик) нь нугалж, сунгаж, шахаж, наалдаагүй тохиолдолд өөрчлөгддөггүй ийм дүрсүүдийн шинж чанарыг судалдаг орчин үеийн геометрийн "хамгийн залуу" хэсгүүдийн нэг юм. мөн урагдахгүй, өөрөөр хэлбэл гажигтай үед өөрчлөгдөхгүй. Топологийн объектуудын жишээ нь: I ба H үсэг, нимгэн урт бөмбөлөг.

Комбинаторын топологи нь шинж чанарыг судалдаг геометрийн хэлбэрүүд, тэдгээр нь нэгээс нэг болон тасралтгүй зураглалын дагуу өөрчлөгдөөгүй. Удаан хугацааны туршид топологи нь амьдралаас хол, зөвхөн "хүний ​​оюун ухааныг алдаршуулах" зорилготой шинжлэх ухаан гэж ойлгогддог байв. Харин бидний үед энэ нь орчлон ертөнцийн бүтцийг тайлбарлахтай шууд холбоотой болох нь тодорхой болсон.

Ерөнхий топологи нь олонлогын онолтой зэргэлдээ орших бөгөөд математикийн үндэс суурь болдог. Энэ бол "хязгаарлалт", "нэгцэх", "тасралтгүй байдал" гэх мэт ойлголтуудыг судлахад зориулагдсан аксиоматик онол юм. Топологийн орон зайн аксиоматикийн үндсийг Феликс Хаусдорф тавьж, дуусгасан. Оросын математикчПавел Сергеевич Александров.

1.3. Мобиус туузыг хэрхэн яаж хийх вэ

● Möbius зурвас нь (математикийн гэнэтийн) нэг юмCD, 180 градус эргүүлж, эсрэг талын AB ба наажCD, өөрөөр хэлбэл Тиймээс А цэгүүд давхцах болноCболон цэгүүд Дболон В.

Үзэх adj. арван нэгэн.

● Цаасан туузны хэлбэр, хэмжээ Мобиусын зурвасын хувьд.

Туузан нь нарийхан, урт байх ёстой бөгөөд урт ба өргөний хамгийн их харьцаатай байх ёстой. Та дөрвөлжин хуудаснаас Мобиусын тууз хийж болохгүй. Энэ нь үнэн боловч цаас үрчлээтэхийг хориглосон үед хэмжээ хязгаарлалт чухал гэдгийг дутуу үнэлж болохгүй. Хэрэв цаасыг үрчийлгэхийг хориглоогүй бол Мобиусын туузыг зөвхөн дөрвөлжин төдийгүй ямар ч хэмжээтэй тэгш өнцөгтөөс нааж болно - наасан талууд нь наасан хэсгүүдээс хэд дахин урт байж болно.

● Хөгжлийн гадаргуу.

Цаасыг үрчлээсгүй байх шаардлага чухал тул түүний математикийн утга нь юу болохыг харцгаая.

Цаасыг нугалахыг хориглох нь ихээхэн хязгаарлагддаг гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг

цаасан дээр ажиллах чадвар. Жишээлбэл, цаасыг хуруу шилэнд эргэлдэж эсвэл нугалахгүйгээр нугалж болох боловч дөрөв болгон нугалж болохгүй. Та цааснаас боргоцойг үрчийлгэхгүйгээр хийж болно, гэхдээ та бөмбөрцөг, бүр хэсэг ч хийж чадахгүй: цаасан хуудсыг бөмбөрцөгт дарвал нугалах нь гарцаагүй. Таны харж байгаагаар цаасан дээр ямар ч хэлбэр өгөх боломжгүй. Үзэх adj. 2.

Хуудас цаасыг бутлахгүйгээр нугалж хийж болох гадаргууг математикчид хөгжиж болох гадаргуу гэж нэрлэдэг. Математикийн хувьд боловсруулах боломжтой гадаргууг өөр өөрөөр тодорхойлдог: метаматематик хэлэнд "цаас", "үрчийх", "хийх" гэсэн үг байдаггүй. Боловсруулж болох гадаргуугийн бүхэл бүтэн онол байдаг бөгөөд тэдгээрийн ололтуудын дунд тэдгээр нь юу байж болох вэ гэсэн асуултанд хангалттай хариулт байдаг; математикчид үүнийг "ангилал" гэж нэрлэдэг (хариулт нь Леонардо Эйлерт хамаарна). Боловсруулж болох гадаргуугийн зөвхөн зарим шинж чанарыг туршилтын баримт болгон танилцуулъя.

Үзэх adj. 3

1. Боловсруулж болох гадаргуугийн А цэг бүрээр дамжуулан түүний хил дээр оршдоггүй гадаргуу дээр хэвтэж буй хэрчмүүд нь А цэгээр төгсдөггүй. Өөрөөр хэлбэл хөгжиж болох гадаргуугийн цэг бүрт (муруй боловч үрчгэр биш) хуудас) сүлжмэлийн зүүг авсан цэгийн хоёр талд тодорхой хэмжээгээр гадаргуутай зэргэлдээх байдлаар холбож болно. Ийм сегментийг гадаргуугийн generatrix гэж нэрлэдэг (энэ нэр нь зөвхөн гадаргуу дээр бүхэлдээ орших хамгийн их урттай сегментүүдэд, өөрөөр хэлбэл, энэ шинж чанартай том сегментүүдэд агуулагдахгүй сегментүүдэд хамаарна гэдгийг бид зөвшөөрнө үү).

2. Хэрэв гадаргуугийн зааг дээр оршдоггүй А цэгээр хоёр өөр генератор өнгөрч, А цэг нь аль алиных нь төгсгөл биш бол А-г тойрсон гадаргуугийн хангалттай жижиг хэсэг нь тэгш байна. Энэ тохиолдолд бид А цэгийг хавтгай гэж нэрлэнэ.

3. Гадаргуугийн хил дээр оршдоггүй А цэг нь зарим генераторын төгсгөл бол:А , тэгвэл А цэгийн ойр орчмын бүтэц ийм байна: А цэгээр тэнд дуусдаггүй цорын ганц үүсгэгч дамждаг гэж үзье.б . Энэхүү generatrix нь гадаргууг хоёр хэсэгт хуваадаг. Generatrix-ийн нөгөө талдб , түүнтэй хамт generatrix байрладага , генератор руу б хавтгай хэсэг нь зэргэлдээ, нөгөө талд байнаб , дур мэдэн А цэгээс тэгш бус цэгүүд байдаг. Энэ тохиолдолд бид А цэгийг хагас хавтгай гэж нэрлэнэ.

Хэрэв гадаргуу дээрх цэг нь хил хязгаар ч биш, хавтгай ч биш бол түүгээр төгсдөггүй нэг генератрикс дамжин өнгөрч, энэ генатриксийн төгсгөлүүд нь гадаргуугийн хил дээр байрладаг гэдгийг бид онцлон тэмдэглэв.

●Жишээ нь: Цилиндр эсвэл конус хэлбэрээр өнхрүүлсэн хуудас нь хавтгай (эсвэл хагас хавтгай) цэгүүдтэй байдаггүй. Цилиндрт генераторууд нь гэр бүлийг бүрдүүлдэг зэрэгцээ сегментүүд, конус нь нэг цэгээс гарч буй сегментүүдийн гэр бүлтэй. Генераторуудын илүү төвөгтэй зохицуулалт хийх боломжтой.

Үзэх adj. 4 .

Жишээлбэл, хөгжиж буй гадаргуугийн генераторууд ба хавтгай цэгүүдийг зурагт үзүүлэв (гадаргууг хавтгай цаас болгон задалсан): нимгэн шугамууд нь генераторууд, сүүдэрлэсэн хэсгүүд нь тэгш цэгүүдээс бүрдэнэ.

Хавтгай цэгүүдийн бүсийн хил дээр байрлах цэгүүд нь бүх гадаргуугийн хилийн цэг эсвэл хагас хавтгай юм. Хэрэв гадаргуу нь цаасан олон өнцөгтөөс (тэгш өнцөгт гэх мэт) хийгдсэн бол хавтгай цэгүүд нь нэг буюу хэд хэдэн хавтгай олон өнцөгтийг бүрдүүлдэг бөгөөд эдгээр олон өнцөгт бүр нь гадаргуугийн хил дээр байрлах оройтой ба талууд нь хил дээр байрладаг эсвэл бүрээс бүрдэнэ. хагас хавтгай цэгүүдийн.

БҮЛЭГ 2

2.1. Мобиусын зурвастай хийсэн туршилтууд

Бидний хүн нэг бүр "гадаргуу" гэж юу болох талаар зөн совинтой байдаг. Цаасан хуудасны гадаргуу, ангийн хананы гадаргуу, бөмбөрцгийн гадаргууг хүн бүр мэддэг. Ийм энгийн ойлголтод ямар нэгэн нууцлаг зүйл байж болох уу? Тийм ээ, магадгүй жишээ нь Мобиусын зурвас юм. Түүний шинж чанарыг судлахын тулд би бие даан хэд хэдэн туршилт (тэдгээрийг хоёр бүлэгт хуваах) хийсэн.

I туршилтын бүлэг

Туршлага № 1. Бид аль ч гадаргуу дээр байдаг гэдэгт дассан

Бид харьцаж байна (цаасан хуудас, дугуй эсвэл волейболын хоолой) -

хоёр тал.

Би Мобиусын туузыг эргүүлэлгүйгээр будаж эхлэв.

Үр дүн . Мобиусын зурвасыг бүрэн будсан.

"Хэрэв хэн нэгэн зөвхөн нэг талыг будахаар шийдсэн бол

Мобиусын зурвасын гадаргуу дээр тэр даруй бүгдийг нь хувин будаг руу дүрнэ үү." - гэж Ричард Курант, Герберт Робинс нар маш сайн бичжээ

"Математик гэж юу вэ?" ном.

Туршлага №2. Би цаасаар аалз, ялаа хийж, тэднийг "алхуул" явуулсан

энгийн бөгж, гэхдээ хилээр гарахыг хориглов.

Үр дүн. Аалз ялаа руу хүрч чадсангүй.

Туршилт №3. Би эдгээр аалзыг илгээж, зөвхөн Мобиусын зурвасын дагуу нисдэг. БА

хилээр мөлхөхийг хориглов.

Үр дүн.Мэдээж аалз гүйж байвал хөөрхий ялаа иднэ

Илүү хурдан!

Туршлага №4. Би цаасаар бяцхан хүн хийж, Мобиусын зурвасаар аялахаар явуулсан.

Үр дүн. Бяцхан хүн өөрийн толин тусгал дүрстэй уулзах цэг рүү буцаж ирнэ.

IIтуршилтын бүлэг

Мобиусын туузыг огтлохтой холбоотой үр дүнг хүснэгтэд жагсаав

туршлага

Туршлагын тодорхойлолт

Үр дүн

Би энгийн бөгжийг дундуур нь уртаар нь таслав.

Би хоёр энгийн, ижил урттай, хоёр дахин өргөн, хоёр хүрээтэй хоёр цагираг авсан.

Мобиусын туузыг голд нь уртааш нь таслав.

Би 1 цагираг хүлээн авсан, урт нь хоёр дахин урт, өргөн нь хоёр дахин нарийн, эрчилсэн 1 бүтэн эргэлт, нэг хүрээтэй.

Мобиусын зурвасын өргөн

Ирмэгээс 1 см зайд 5см уртаар зүснэ.

Би бие биетэйгээ холбогдсон хоёр цагираг хүлээн авсан: 1) Мобиусын тууз - урт = анхныхынхаа урт, өргөн нь 3 см; 2) өргөн нь 1см, урт нь анхныхаас хоёр дахин их, хоёр бүрэн эргэлттэй, хоёр хилтэй.

Мобиусын зурвасын өргөн

Ирмэгээс 2 см зайд 5см уртаар зүснэ.

Би өөр хоорондоо холбогдсон хоёр цагираг хүлээн авсан: 1) бөгж нь 1 см өргөн, урт = анхныхынхаа урт; 2) цагираг - 2 см өргөн, анхныхаас хоёр дахин урт, хоёр бүтэн эргэлтээр мушгиж, хоёр хилтэй.

Мобиусын туузыг 5 см өргөн, ирмэгээс 3 см зайд уртын дагуу зүсэж ав.

Би хоорондоо холбогдсон хоёр цагираг авсан: 1) бөгж нь өргөнтэй Мобиус тууз юм.

ижил урттай 1 см; 2) цагираг - 2 см өргөн, түүний урт нь анхныхаас хоёр дахин их, хоёр бүтэн эргэлтээр эрчилсэн.

10-р ангийн сурагчдын дунд явуулсан социологийн судалгааны үр дүн.

Асуултууд

Тиймээ

Үгүй

Та сонссон уу

1. Та топологи гэж юу болохыг мэдэх үү?

2. Та Мобиусын зурвас гэж юу болохыг мэдэх үү?

3. Та мэдэх үү? Мобиусын зурвасын шинж чанарууд?

10-р ангийн сурагчдын ердөө 5% нь топологи гэж юу болохыг мэддэг. Оюутнуудын 30% нь Мобиус зурвас гэж юу болохыг мэддэг, 20% нь энэ тухай сонссон. 50% нь Мобиусын зурвасын талаар ямар ч ойлголтгүй байна. Сурагчдын 25% нь зурвасын шинж чанарыг мэддэг, 10% нь сонссон, 65% нь Мобиус зурвасын шинж чанарын талаар юу ч мэдэхгүй байна.

2.2.Мобиусын зурвасын топологийн шинж чанар

Туршилтын үр дүнд үндэслэн бид математикийн гэнэтийн зүйлтэй холбоотой Мобиусын зурвасын дараах топологийн шинж чанарыг томъёолж болно.

Нэг талт байдал нь Мобиусын зурвасын топологийн шинж чанар бөгөөд зөвхөн түүний онцлог шинж юм.

Тасралтгүй байдал – Möbius зурвас дээр дурын цэгийг холбож болно

өөр ямар ч цэгтэй. Ямар ч завсарлага байхгүй - бүрэн тасралтгүй байдал.

Топологийн үүднээс авч үзвэл тойрог нь квадратаас ялгагдахгүй,

Учир нь тэдгээр нь эвдрэлгүйгээр бие биенээ хувиргахад хялбар байдаг

тасралтгүй байдал.

Холболт - цагирагыг хагас болгохын тулд хоёр зүсэлт хийх шаардлагатай. Мобиусын туузны хувьд соронзон хальсны эргэлтийн тоо өөрчлөгдөхөөс хамаарч холболтын тоог сольдог: хэрэв нэг эргэлт давхар холбогдсон бол хоёр эргэлт нь энгийн холбогдсон бол, гурван эргэлт давхар холбогдсон бол гэх мэт. квадратыг хоёр хэсэгт хуваа, бидэнд зөвхөн нэг зүсэлт хэрэгтэй. Холболтыг ихэвчлэн Бетти тоогоор үнэлдэг, эсвэл заримдаа Эйлерийн шинж чанарыг ашигладаг.

4. Баримтлал нь Мёбиусын зурваст байхгүй шинж чанар юм. Тиймээс, хэрэв хүн Мобиусын зурвасын бүх гулзайлтаар аялж чадвал тэр буцаж ирэх болно эхлэх цэг, гэхдээ түүний толин тусгал дүрс болон хувирах болно.

5. “Хроматик тоо” гэдэг нь гадаргуу дээр зурж болох талбайн хамгийн их тоо бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь бусадтай нийтлэг хилтэй байна. Мобиусын зурвасын хроматик тоо зургаан байна.

6.Мобиусын зурвас дээрх теоремууд

Теорем 1: λ ≥ π/2

Нотлох баримт нь нарийн төвөгтэй учраас би үүнийг ажилдаа авч үзэхгүй байна.

Теорем 2: λ ≤ √3

Энэ теорем өмнөхөөсөө энгийн: үүнийг батлахын тулд √3-аас их урттай туузнаас Мобиусын туузыг хэрхэн нааж болохыг тайлбарлахад хангалттай. Эхлээд түүний уртыг яг √3 гэж үзье. Дараа нь та энэ туузан дээр хоёр тогтмол гурвалжинг байрлуулж болно. Эдгээр гурвалжны хажуугийн дагуу туузыг нугалах чиглэлийг ээлжлэн нугалъя. Туузны AB ба CD ирмэгүүд, А цэг нь D цэгтэй, В цэг нь С цэгтэй зэрэгцэнэ. Үр дүнд нь Мёбиусын зурвас гарч ирэх бөгөөд ирмэгүүд нь төгсгөл хүртэл байрладаг (Хавсралт 1.2-ыг үзнэ үү). )

Энэ барилгын ажилд гол дүрмийг зөрчсөн - цаасыг үрчийлгэж болохгүй. Гэхдээ хэрэв туузны урт нь дор хаяж √3-аас бага байвал генератриксийн дагуух завсарлагыг нарийн хэсэгт гулзайлгах замаар сольж болно гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг. Товчхондоо, бид шулуун сегментийн дагуу гулзайлгахаас айдаггүй: түүнийг ойролцоох гулзайлтаар сольж болно. (Хоёр нугалах шугам огтлолцох үед, өөрөөр хэлбэл цаасыг алчуур шиг нугалах үед цаасны нөхөж баршгүй атираа үүсдэг - энэ бүгдийг бидний өдөр тутмын туршлагаас мэддэг.) Түүний бүтцийг дараах байдлаар төсөөлж болно: гурван ижил тэгш өнцөгт гурвалжин ABC, A"B"C", A"B"C" нь хоорондоо параллель байрладаг, харгалзах оройнууд нь харгалзах оройн дээр байрладаг; AB ба A"B", B"C" ба B"C", C"A" ба CA талууд нь холбогчоор холбогдсон байна. Цавуугийн шугам нь гурвалжны аль нэгний дундах шугамын дагуу урсдаг.

Бид яагаад λ-г илүү нарийвчлалтай олж чадахгүй байна вэ?

Асуудлыг шийдэхээс нааш яагаад шийдэгдэхгүй байгааг хэлэхэд бэрх. Гэсэн хэдий ч заримдаа шийдэгдээгүй янз бүрийн асуудалд нийтлэг бэрхшээлийг ажиглаж, математикийн газрын зураг дээр хэцүү газруудыг тэмдэглэх боломжтой байдаг бөгөөд энэ нь заримдаа тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд амжилт эсвэл бүтэлгүйтлийг урьдчилан таамаглах боломжийг олгодог.

Теорем 3. Өөрөө огтлолцсон Мобиусын туузыг π/2-оос их урттай туузаас нааж болно.

Энэ нь ингэж хийгдсэн. Хангалттай том сондгой n-ийг авч, 1-ийн диаметртэй тойрог дотор сийлсэн ердийн n-гоног байгуулъя. Цаашлаад тойргийн төвийг агуулсан n гурвалжинг авч үзье. gon (n=7). Эдгээр гурвалжин нь бидний n-gon, түүний зарим газрыг хэд хэдэн удаа хамардаг. Одоо эдгээр n гурвалжныг бие биендээ хэрэглэж, дараа нь хамгийн зүүн талын гурвалжны хагасыг урт голч дагуу таслан авч, хамгийн баруун талын гурвалжинд хэрэглэнэ. Үр дүн нь урт ба өргөний харьцаа нь π/2-оос их, π/2-ийг n-тэй тэнцүүлэх хандлагатай, ∞ (туузны өргөн нь 1, урт нь π/2) хандлагатай тэгш өнцөгт тууз юм. Энэ туузыг зурсан бүх шугамын дагуу нугалж, нугалах чиглэлийг ээлжлэн хийнэ. AB ба CD сегментүүд бараг давхцах болно - тэдгээрийн хооронд хэдхэн давхар атираат цаас байх болно. Энэхүү "бараг тэгшитгэл"-ийн хувьд А цэг нь D цэгтэй, В цэг нь С-тэй зэрэгцэх тул хэрэв бид "соронзон туузыг дамжуулж" нааж, |AB| |CD|-тэй бол үр дүн нь Мобиус зурвас болно. Хэрэв та туузыг бага зэрэг удаан авбал 2-р теоремын нотолгоотой адил нугалаас зайлсхийх боломжтой. Бид Мёбиусын туузыг олж авсан бөгөөд түүний ирмэг нь хэд хэдэн давхаргаар тусгаарлагдсан, Хавсралт 1.3-ыг үзнэ үү. Гэхдээ Мобиусын зурвас руу буцъя. Бидний харж байгаачлан теорем 1 нь өөрөө огтлолцдог зурвасуудад үнэн хэрэгтээ хамаатай. Өөрөө огтлолцоогүй нөхцөл нь λ-д нөлөө үзүүлэхгүй байх магадлал багатай; Гэсэн хэдий ч математикт гурван хэмжээст огторгуйн огтлолцлыг судлах хангалттай техникийн хэрэгсэл байхгүй тул үүнийг анхаарч үзэх боломжгүй юм. Харин ч 2-р теоремыг сайжруулах боломжгүй байх магадлал өндөр. Эцсийн эцэст үүнийг сайжруулна гэдэг нь шинэ соронзон хальсны загвар гаргах гэсэн үг юм. Туршлагаас харахад оновчтой бүтээн байгуулалтууд нь энгийн бөгөөд эв нэгдэлтэй байдаг бөгөөд энэ нь теорем 2-ын нотолгоо юм бол хамгийн сайн барилга байгууламж байсан бол олон жилийн дараа олдох байсан гэж үзэх нь зүйн хэрэг юм.

Ийм учраас бид λ = √3 гэж найдаж болно.

Мобиусын тайрах арга

Зангилаа уяхад асуудал гарлаа

Ороолтыг үзүүрийг нь суллахгүйгээр яаж зангидах вэ? Үүнийг ингэж хийж болно. Ороолтыг ширээн дээр тавь. Гараа цээжин дээрээ наа. Тэднийг энэ байрлалд үргэлжлүүлэн барьж, ширээн дээр бөхийж, ороолтны нэг үзүүрийг гар тус бүрээр нь ээлжлэн ав. Гараа салгасны дараа ороолтны голд автоматаар зангилаа үүснэ. Топологийн нэр томъёог ашиглан үзэгчийн гар, түүний бие, ороолт нь "гурван навчит" зангилаа хэлбэрээр хаалттай муруй үүсгэдэг гэж хэлж болно. Гараа тараах үед зангилаа нь зөвхөн гараас ороолт руу шилждэг.

Нэг гараараа ороолтны үзүүрийг гараас нь салгахгүйгээр ороолтонд зангилаа. Энэ тааврын хариултыг М.Гарднерийн “Математикийн гайхамшиг ба нууцууд” номноос олж болно.

Топологийн үүднээс авч үзвэл хантааз нь хоорондоо холбогддоггүй гурван ирмэг бүхий хоёр талт гадаргуу гэж үзэж болох бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь энгийн битүү муруй юм. Товчлууртай хантааз нь дөрвөн ирмэг бүхий хоёр талт гадаргуу юм.

Нууцлаг гогцоо.

Хантааз өмссөн үзэгч гартаа гогцоо тавьж, дараа нь хантаазны доод халаасанд эрхий хуруугаа хийхийг хүсэв. Одоо та хантаазныхаа халааснаас хуруугаа салгалгүйгээр гараасаа гогцоог арилгахад хүрэлцэн ирсэн хүмүүсийг урьж болно. Үүний шийдэл нь: гогцоог ханцуйны хантаазны нүхэнд татан, үзэгчийн толгой дээгүүр шидэж, ханцуйны хоёр дахь нүхээр гаргаж аваад хоёр дахь гарны доор шилжүүлэх хэрэгтэй. Эдгээр үйлдлүүдийн үр дүнд гогцоо нь цээжийг тойрсон хантаазны доор байх болно. Хантаазны доороос гарч иртэл нь буулгаж, шалан дээр унана.

Хантаазыг хүнээс салгалгүй дотор нь эргүүлэх.

Хантаазны эзэн хуруугаа нуруундаа тэврэх ёстой. Таны эргэн тойронд байгаа хүмүүс эзнийхээ гарыг салгахгүйгээр хантаазыг дотор нь эргүүлэх хэрэгтэй. Энэ туршлагыг харуулахын тулд хантаазыг тайлж, өмссөн хүний ​​нурууны ард гар дээр нь татах шаардлагатай. Хантааз нь агаарт дүүжлэх боловч гараа атгасан тул мэдээж тайрахгүй. Одоо та хантаазны зүүн захыг аваад хантаазыг үрчийлгэхгүйг хичээн аль болох баруун гарын нүх рүү түлхэх хэрэгтэй. Дараа нь баруун гарын нүхийг авч, ижил нүхэнд, нэг чиглэлд оруулна. Зөвхөн хантаазыг тэгшлээд, эзэн дээрээ татахад л үлддэг. Хантаазыг дотроос нь эргүүлнэ. Бид ангийнхантайгаа энэ мэх хийж, зураг авалтаа хийсэн. Энэ нь "Мобиус зурвас" танилцуулгад багтсан болно.

2.3. Мобиусын зурвасын хэрэглээ

∞ Вашингтон дахь Түүх, технологийн музейн үүдэнд хагас эргэлтээр мушгисан ган тууз индэр дээр аажмаар эргэлддэг. 1967 онд Бразилд Олон улсын математикийн конгресс болоход зохион байгуулагчид нь таван центавын мөнгөн тэмдэгтээр дурсгалын марк гаргаж байжээ. Энэ нь Мобиусын зурвасыг дүрсэлсэн байв. Хоёр метр гаруй өндөр хөшөө, жижигхэн тамга хоёулаа Германы математикч, одон орон судлаач Август Фердинанд Мобиусын хосгүй хөшөө юм.

Хавсралт 5-ыг үзнэ үү.

Патентийн алба нь нэг талт гадаргуу дээр суурилсан олон шинэ бүтээлийг бүртгэсэн.

∞ Мобиусын туузыг нэг талт гадаргуугийн шинж чанарыг сайтар судалснаас санаа авсан олон шинэ бүтээлд ашигладаг. Möbius тууз хэлбэрээр хийсэн туузан дамжуулагч тууз нь хуудасны бүх гадаргуу жигд элэгддэг тул хоёр дахин урт ажиллах боломжийг олгодог. 1923 онд зохион бүтээгч Ли де Форс патент олгогдсон бөгөөд тэрээр хоёр талын ороомог нэг дор солихгүйгээр хальсан дээр дуу бичихийг санал болгов. Дуу хураагуурт зориулсан хуурцаг зохион бүтээсэн бөгөөд соронзон хальсыг мушгиж, цагираг болгон наасан бөгөөд энэ нь мэдээллийг хоёр талаас нэг дор бичих эсвэл унших боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь кассетны багтаамжийг хоёр дахин нэмэгдүүлж, тоглуулах хугацааг нэмэгдүүлдэг. Цэгтэй матриц принтерүүдэд бэхний туузыг хадгалах хугацааг уртасгахын тулд Möbius тууз шиг хэлбэртэй болгосон. Энэ нь ихээхэн хэмнэлт өгдөг. Мобиусын туузыг дугуйн болон волейболын хоолойд ашигладаг.

∞ Саяхан тэд үүний өөр хэрэглээг олсон - энэ нь зөвхөн тусгай булгийн үүрэг гүйцэтгэж эхэлсэн. Та бүхний мэдэж байгаагаар цэнэглэгдсэн булаг эсрэг чиглэлд гал авалцдаг. Мобиусын зурвас нь бүх хуулиас ялгаатай нь хоёр тогтвортой байрлалтай механизм шиг үйл ажиллагааны чиглэлийг өөрчилдөггүй. Ийм пүрш нь салхитай тоглоомонд үнэлж баршгүй зүйл болж чаддаг - үүнийг энгийн нэгэн адил мушгих боломжгүй - нэг төрлийн байнгын хөдөлгөөнт машин.

Үзэх adj. 6.

∞ 1971 онд Уралын зохион бүтээгч П.Н.Чесноков. Мобиусын тууз хэлбэрээр шүүлтүүр ашигласан.

∞ Мобиусын навчийг боов, жигнэмэг, сойз зэрэгт сонирхолтой, дур булаам дүр төрхийг бий болгохын тулд хоол хийхэд ашигладаг. Мөн янз бүрийн аяга таваг бэлтгэх, чимэглэх хэрэгсэл, цахилгаан байгууламж (хутгуур) үйлдвэрлэхэд.

Үзэх adj. 7.

∞ Мобиусын туузны тусламжтайгаар бүхэл бүтэн шилдэг бүтээлүүд бий болно.

Мобиусын зурвас нь уран баримал, график урлагт урам зориг өгсөн. Эшер бол үүнийг маш их хайрладаг зураачдын нэг байсан бөгөөд энэ математикийн объектод хэд хэдэн чулуун бичгээ зориулжээ. Нэг алдартай нь Мобиусын зурвасын гадаргуу дээгүүр шоргоолжнууд мөлхөж байгааг харуулж байна.

Хавсралт 9-г үзнэ үү.

∞ Мобиусын зурвас Артур С.Кларкийн "Харанхуйн хана" өгүүллэг гэх мэт шинжлэх ухааны уран зөгнөлт зохиолуудад ч байнга гардаг. Заримдаа шинжлэх ухааны уран зөгнөлт түүхүүд нь манай орчлон ертөнцийг ямар нэгэн ерөнхий Möbius зурвас байж магадгүй гэж үздэг. Зохиолч А.Ж. Дейч, Бостоны метро шинэ шугам барьж байгаа бөгөөд маршрут нь маш будлиантай болж, Мобиус зурвас болж хувирсны дараа галт тэрэгнүүд энэ шугамаар алга болж эхэлдэг.

∞ ДНХ-ийн спираль нь өөрөө бас Мобиусын туузны хэлтэрхий гэсэн таамаглал байдаг бөгөөд энэ нь генетикийн кодыг тайлж, ойлгоход маш хэцүү байдаг цорын ганц шалтгаан юм. Түүнээс гадна ийм бүтэц нь биологийн үхлийн шалтгааныг нэлээд логикоор тайлбарладаг: спираль өөрөө хаагдаж, өөрийгөө устгах явдал тохиолддог.

Хавсралт 10.

∞ Мобиусын зурвас нь математикчдаас гадна илбэчдэд ч таалагдсан

Мобиусын зурвасыг 100 гаруй жилийн турш янз бүрийн ид шид, зугаа цэнгэл хийхэд ашиглаж ирсэн. Навчны гайхалтай шинж чанарыг циркт ч харуулсан бөгөөд Мобиусын тууз хэлбэрээр наасан тод туузыг дүүжлэв. Илбэчин тамхиа асааж, шатаж буй үзүүрээр нь калийн нитратаар хийсэн тууз бүрийн дунд шугам руу хүрэв. Галт зам нь эхний туузыг илүү урт болгож, хоёр дахь туузыг хоёр тууз болгон хувиргаж, нэгийг нь нөгөө рүү нь залгав. (Энэ тохиолдолд илбэчин Мобиусын туузыг дундуур нь биш, харин өргөнийх нь гуравны нэгийн зайд таслав).

∞ Физикчид бүх оптик хуулиуд нь Мобиусын зурвасын шинж чанарт суурилдаг, тухайлбал толинд тусах нь цаг хугацааны, богино хугацааны, секундын 100-аас 10 дахин үргэлжилдэг нэг төрлийн шилжилт юм, учир нь бидний өмнө харж байна. тийм ээ, бидний толь давхар.

∞Харьцангуйн онолын дагуу манай Ертөнц яг ижил Мобиусын зурваст хаалттай байх магадлалтай гэсэн таамаглал байдаг бөгөөд масс их байх тусам орон зайн муруйлт их байх болно. Энэ онол нь гэсэн таамаглалыг бүрэн баталж байна сансрын хөлөг, үргэлж шулуун нисч, эхлэх цэг рүү буцаж очих боломжтой, энэ нь Орчлон ертөнцийн хязгааргүй, хязгааргүй байдлыг баталж байна.

Үзэх adj. арван нэгэн.

∞ Мобиусын зурвасын сонирхол өнөөдрийг хүртэл буураагүй байна. Уран сайхны математикийн наадам 2006 оны 9-р сард Москвад болсон. Токиогийн профессор Жин Акиямагийн илтгэлийг маш амжилттай хүлээж авлаа. Түүний үзүүлбэр нь Мобиусын зурвас ("Мобиусын зурвас ба түүний өөрчлөлтүүд" цаастай ажил) хийх газар байсан хуурмаг үзүүлэгчийн үзүүлбэрийг санагдуулсан юм.

СПОРТ

"Robur" гарын авлагын өргөтгөгч

Үзэх adj. 12 .

Нэг ньСургуулийн бүх биеийн тамирын багш нарын дуртай зүйлс, тэдний хэлснээрөөрийнх нь хэлснээр “бэлтгэл хийдэггүйзөвхөн гарын булчингууд, гэхдээболон тархины булчин." Carpal Expander fromАртеми Лебедевийн студи нь Мобиусын туузны хэлбэрийг давтаж байна. Стресс тайлах, бодоход тохиромжтойхязгааргүй базүгээр л гараа завгүй байлгах хэрэгтэй арга.

Үнэртэй ус

Бугатти үнэртэй ус

Үзэх adj. 13

КомпаниБугаттиЗөвхөн хэт үнэтэй машин үйлдвэрлэж эхэлсэн (загварВейрон1,3 сая еврогийн үнэтэй), гэхдээ бас ... үнэртэй ус. Талстаар хийгдсэн, жинхэнэ алтаар бүрсэн лонх бүр нь зөвхөн нэг талтай, ер бусын Мобиусын тууз хэлбэрээр хийгдсэн байдаг. Үнэртэй усны үнэБугатти3500 евро.

Үнэртэй ус Loewe Quzas, Quizas, Quizas

Үзэх adj. 14 .

2011 оны намар сүрчигний час улаан хувилбар гарсан бөгөөд савыг нь Мобиусын туузаар ороосон нь байгаль дахь хүсэл тэмүүллийн мөчлөгийн бэлгэдэл юм. Энэхүү найрлагын баялаг нь Азийн жүрж, бергамот, улаан жимснүүдийн шинэлэг чанараас бүрдэх ба замбага, фрезиа, жүржийн дэлбээтэй цэцэгсийн зүрхээр үргэлжилж, ноолууран мод, алтан хув, ветиверын мэдрэмжээр төгсдөг.

Үнэртэй ус UFO Limited Edition, Kenzo

Үзэх adj. 15 .

Үнэрийн танилцуулгаКензо2009 онд Рон Арадын уран бүтээлийн ретроспектив үзэсгэлэнд (РонАрад) Парис дахь Помпиду төвд. Энэ зураач, архитектор лонхны сансар огторгуйн дизайныг Мобиусын тууз хэлбэрээр гаргасан юм. Энэ нь таны гарын алганд яг багтах зориулалттай.ТодорхойгүйҮнэрОбьект, эсвэл "Үл мэдэгдэх үнэрт объект" нь ердөө 180 ширхэгээр хязгаарлагдаж, 188 доллараар зарагддаг.

ТАВИЛГА

Мобиусын ширээ

Үзэх adj. 16

Тав тухтай зогсож, сууж, хэвтэх боломжтой нэг гадаргуутай ширээ.

Номын тавиурын хязгааргүй байдал

Үзэх adj. 17.

Загвар зохион бүтээгч Жоб Келевиус Infinity номын шүүгээгээ зохион бүтээхдээ хэвийг нь эвдсэн. Дизайнер Лемнискат хэмээх математикийн ойлголт, Мобиусын зурвастай төстэй зүйлийг ашиглан хязгааргүй байдлын физик ойлголтыг Infinity Shelf-д тусгажээ. Энэ нь хэрэв та энэ тавиур дээрх бүх номыг уншсан бол уран зохиолын хязгааргүй байдлыг бүхэлд нь ойлгосон гэж үзнэ гэсэн үг юм.

Мобиус буйдан

Үзэх adj. 18.

"Давхар сандал - давхар таашаал" уриан дор төрсөн буйдан сандалМобиусДавхарСандалдизайнерын бүтээсэнГадборВандеВайерБельгиээс ирсэн бөгөөд хайрлагчид тавилгын шинэ алсын харааг авчирдаг.

ЛОГОС

Woolmark компанийн лого

Үзэх adj. 19.

Уг лого нь 1964 онд зохион бүтээгчдийн уралдааны үр дүнд бий болсон. Шүүгчийн гишүүнФранкоГригнаниэсэргүүцэж чадаагүй бөгөөд нууц нэрээр нуугдаж, өөрийн хувилбарыг санал болговФранческоСаралио. Энэхүү лого нь Мобиусын туузтай төстэй бөгөөд компанийн үүрд мөнх, уян хатан байдлын бэлгэдэл юм.

Дахин боловсруулах тэмдэг

Үзэх adj. 20.

Дахин боловсруулах олон улсын бэлгэ тэмдэг бол Мобиус зурвас юм.Дахин боловсруулах (бусад нэр томъёо: дахин боловсруулах, хог хаягдлыг дахин боловсруулах,дахин боловсруулах болон дахин боловсруулах)- үйлдвэрийн хаягдал, хогийг дахин ашиглах, эргэлтэд оруулах. Хамгийн түгээмэл нь хоёрдогч, гуравдагч болонТ. e. Шил, цаас, хөнгөн цагаан, асфальт, төмөр, даавуу, төрөл бүрийн хуванцар зэрэг материалыг нэг хэмжээгээр дахин боловсруулах. Мөн эрт дээр үеэс хэрэглэж байсан хөдөө аж ахуйорганик хөдөө аж ахуйн болон ахуйн хог хаягдал.

Математикийн тэмдэг

Үзэх adj. 21.

Мобиусын зурвасыг орчин үеийн математикийн бэлгэдэл гэж үздэг, учир нь тэрээр математикийн шинэ судалгаанд түлхэц өгсөн хүн юм.

ХУВЦАС, ГУТАЛ

Гутал

Үзэх adj. 22.

2003 онд архитектор Рам Ди Коолхаас, гуталчин Галахад Кларк нар үүсгэн байгуулсан.НэгдсэнНүцгэншинэлэг загвар зохион бүтээгч гутал үйлдвэрлэх чиглэлээр мэргэшсэн. Компанийн хамгийн амжилттай бүтээн байгуулалтын нэг бол гутал юмМобиус , геометр Август Мобиусын нэрээр нэрлэгдсэн ба түүний нэг талт гадаргуугийн тухай санаа. Гутлын санаа нь: гутлын арьсан дээд хэсэг ба ул нь нэг тууз, тодорхой байдлаар эрчилсэн байна.

Мобиус ороолт

Үзэх adj. 23.

Сонирхолтой зүйл бол 21-р зууны хувцасны шүүгээнд гарч ирдэг Möbius ороолт юм. Мобиус ороолтыг ороолтныхоо үзүүрийг боож, нэг эргүүлэх замаар өөрөө хийж болно.

ЗУРАХ

Граффити

Үзэх adj. 24.

БНЧУ-ын Прага хотын ханан дээр орчин үеийн Мобиусын туузыг зуржээ.

 Бүсийн дагуу хоёр төрлийн тээврийн хэрэгсэл хөдөлдөг: танк, зам барилгын тоног төхөөрөмж орчин үеийн соёл иргэншил: устгах-барих-устгах-бүтээх..

АРХИТЕКТУР

Номын сангийн барилга

Үзэх adj. 25.

Казахстанд Мобиусын зурвас хэлбэрээр номын сан байгуулах төслийг одоо хэлэлцэж байна.

Барилгын муруй нь Мобиусын туузыг үүсгэдэг бөгөөд ингэснээр дотоод орон зай нь гадна тал руу урсдаг ба эсрэгээр; үүнтэй адилаар хана нь дээвэр болон хувирч, дээвэр нь эргээд хана болж хувирдаг. Байгалийн гэрэл нь гаднах бүрхүүлийн геометрийн нүхээр дотоод коридорт орж, уншихад тохиромжтой сайхан гэрэлтүүлэгтэй орон зайг бий болгодог.

Үзэсгэлэнт газрууд

Үзэх adj. 26.

Галзуу хулгана нь Мобиусын туузны хэлбэртэй төстэй. Москвад дэлхийн хамгийн том урвуу галзуу хулгана байдаг бөгөөд хүн өлгөөтэй сандал дээр сууж, хөл нь агаарт байдаг. Хурд - 81 км / цаг, өндөр нь 30 м, гадаадын аналогитай харьцуулахад өндөр нь бага боловч олон тооны спираль, цагираг, гогцоонуудаар илүү үр дүнтэй байдаг.

Кино дамар

Үзэх adj. 27.

1923 онд зохион бүтээгч Ли де Форсын патентыг нэг дор хоёр талаас нь солихгүйгээр хальсан дээр дуу авиа бичихийг санал болгосон.

Кассет

Үзэх adj. 28.

Дуу хураагуурт зориулж хуурцаг зохион бүтээсэн бөгөөд соронзон хальсыг мушгиж, цагираг болгон наасан бөгөөд энэ нь мэдээллийг хоёр талаас нэг дор бичих эсвэл унших боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь кассетны багтаамж, үүний дагуу тоглох хугацааг нэмэгдүүлдэг.

Toyota MOB машин

Үзэх adj. 29.

Möbius зурвасыг Испанийн дизайнер Хорхе Марти Видал зохион бүтээсэн бөгөөд Мобиус зурвасын гоо үзэсгэлэн, нууцлаг байдлыг хослуулсан байдаг. Биеийн өвөрмөц хэлбэр нь уралдааны машиныг сайн аэродинамикаар хангадаг

Матриц хэвлэгч

Үзэх adj. гучин.

Олон матриц принтерүүдэд бэхний тууз нь нөөцийг нэмэгдүүлэхийн тулд Mobius тууз хэлбэртэй байдаг.

Мобиус эсэргүүцэл

Үзэх adj. 31.

Энэ бол өөрийн гэсэн индукцгүй, шинээр зохион бүтээсэн электрон элемент юм.

Зүлгүүрийн бүс

Үзэх adj. 32.

1969 онд Зөвлөлтийн зохион бүтээгч Губайдуллин Мобиусын тууз хэлбэрээр төгсгөлгүй зүлгүүрийн бүсийг санал болгов.

Дүгнэлт

Мобиусын зурвас бол эрдэмтний нээсэн анхны нэг талт гадаргуу юм. Хожим нь математикчид нэг талт гадаргуугийн бүхэл бүтэн цувралыг нээсэн. Гэхдээ

Энэ бол геометрийн бүхэл бүтэн чиглэлийн үндэс суурийг тавьсан хамгийн анхных бөгөөд эрдэмтэд, зохион бүтээгчид, зураачид болон манай оюутнуудын анхаарлыг татсаар байна. Би Мобиусын зурвасын нээлттэй шинж чанарыг маш их сонирхож байсан:

Мобиусын зурвас нь нэг ирмэг, нэг талтай

Мобиусын зурвас нь топологийн объект юм. Ямар ч топологийн дүрсийн нэгэн адил зүсэх, урах, салангид хэсгүүдийг нь наах хүртэл шинж чанараа өөрчилдөггүй.

Мобиусын зурвасын нэг ирмэг ба нэг тал нь түүний орон зай дахь байрлалтай холбоогүй бөгөөд зайны тухай ойлголттой холбоогүй болно.

Мобиусын зурвас нь хоол хийх, технологи, физик, уран зураг, архитектур, үнэт эдлэлийн дизайн, орчлон ертөнцийн шинж чанарыг судлахад олон тооны хэрэглээг олж авдаг. Тэрээр олон зохиолч, уран бүтээлчдийн уран бүтээлийг өдөөсөн.

μ( n) нь бүх натурал тоонуудын хувьд тодорхойлогддог nмөн тооны тэлэлтийн шинж чанараас хамааран утгыг авдаг nэнгийн хүчин зүйлүүдэд:

• μ( n) = 1 бол nквадратаас ангид (жишээ нь квадратад анхны тоо хуваагддаггүй) ба задрал nтэгш тооны хүчин зүйлүүд;
• μ( n) = − 1 бол nквадрат болон задралгүй nсондгой тооны хүчин зүйлээс бүрддэг анхны хүчин зүйлүүд;
• μ( n) = 0 бол nквадратаас ангид биш.

Тодорхойлолтоор бид мөн μ(1) = 1 гэж үздэг.

Properties ба програмууд

Мобиусын функц нь үржүүлэх чадвартай: дурын анхны тооны хувьд аТэгээд бтэгш байдал хадгалагдана μ( аб) = μ( а)μ( б) .

Мобиусын функцийн утгуудын нийлбэр бүхэл тооны бүх хуваагч n, нэгтэй тэнцүү биш, тэгтэй тэнцүү байна

Style="max-width: 98%; өндөр: автомат; өргөн: автомат;" src="/pictures/wiki/files/49/1bee8d0f6bd91176912a8cedc63e174b.png" border="0">

Эндээс, ялангуяа ямар ч хоосон бус төгсгөлийн олонлогын хувьд дараахаас бүрдэх өөр өөр дэд олонлогуудын тоо гарч ирнэ. сондгой тооэлементүүд нь тэгш тооны элементүүдээс бүрдэх өөр өөр дэд олонлогуудын тоотой тэнцүү бөгөөд энэ нь нотлох баримтад хэрэглэгддэг.

Мобиусын функц нь Мертенсийн функцтэй хамаарлаар холбогддог

Мертенсийн функц нь эргээд Риманы зета функцийн тэгийн асуудалтай нягт холбоотой байдаг тул Мертенсийн таамаглалыг үзнэ үү.

Мобиусын урвуу

Мобиусын анхны инверцийн томъёо

Арифметик функцүүдийн хувьд еТэгээд g ,

g(n) =	∑	е(г)
	г | n

дараа нь, зөвхөн хэзээ

.

Хоёр дахь Мобиусын урвуу томъёо

Бодит үнэ цэнэтэй функцүүдийн хувьд е(x) Мөн g(x)-д тодорхойлсон,

дараа нь, зөвхөн хэзээ

.

Энд дүн нь .

Викимедиа сан. 2010 он.

Бусад толь бичгүүдээс "Мобиусын функц" гэж юу болохыг харна уу:

Möbius функц μ(n) нь тооны онол болон комбинаторикт хэрэглэгддэг үржүүлэх арифметик функц бөгөөд үүнийг 1831 онд анх авч үзсэн Германы математикч Мёбиусын нэрээр нэрлэсэн. Агуулга 1 Тодорхойлолт 2 Шинж чанар ба хэрэглээ ... Wikipedia

Möbius функц μ(n) нь тооны онол болон комбинаторикт хэрэглэгддэг үржүүлэх арифметик функц бөгөөд үүнийг 1831 онд анх авч үзсэн Германы математикч Мёбиусын нэрээр нэрлэсэн. Агуулга 1 Тодорхойлолт 2 Шинж чанар ба хэрэглээ ... Wikipedia

Нарийн төвөгтэй хавтгай (саарал) ба Риманы бөмбөрцөг (хар) дээрх хувиргалтуудын төрөл Агуулга 1 Тодорхойлолт 2 Алгебрийн шинж чанарууд... Википедиа

Бутархай шугаман функц z = (z1,...,zn) нь нийлмэл буюу бодит хувьсагч, ai,b,ci,d нь комплекс буюу бодит коэффициентүүд байх хэлбэрийн функц. Ихэнхдээ "бутархай шугаман функц" гэсэн нэр томъёог хувиргах тусгай тохиолдлоор ашигладаг ... ... Википедиа

Мобиусын цуврал нь хэлбэрийн функциональ цуврал юм. Энэ цувралыг Мобиус судалж, энэ цувралын урвуу томьёог олсон: энд μ(s) нь Мөбиусын функц ... Wikipedia

ЭМНЭЛГИЙН СУДАЛГААНЫ АРГА- Би. Анагаах ухааны судалгааны ерөнхий зарчим. Физик, хими, технологийн хамгийн сүүлийн үеийн ололт, ололтыг ашиглахад үндэслэсэн бидний мэдлэг улам бүр нэмэгдэж, улам бүр гүнзгийрч, клиникийн техникийн тоног төхөөрөмж улам бүр нэмэгдэж, үүнтэй холбоотой аргуудын хүндрэлүүд ... ... Агуу анагаах ухааны нэвтэрхий толь бичиг

Хүүхэд төрөх үед үүссэн эмгэгийн эмгэг нь хүүхдийн эд, эрхтнүүдийн гэмтэл, дүрмээр бол тэдгээрийн үйл ажиллагааны эмгэг дагалддаг. R.-ийн хөгжилд нөлөөлж буй хүчин зүйлүүд нь буруу ... ... Анагаах ухааны нэвтэрхий толь бичиг

Лемма.

Баталгаа. Мэдэгдэл нь ойлгомжтой. Тооны каноник тэлэлт ба байг. Дараа нь хуваагч нь , ,…, гэсэн хэлбэртэй байна гэдгийг харгалзан үзнэ. , бид авдаг

учир нь

Теорем. (Нэмэлт Möbius урвуу томъёо.) Байгалийн аргументын функцууд байг ба бай . Дараа нь бол

Баталгаа. Бидэнд байгаа

Let . Дараа нь тогтсон нэг нь тооны хуваагчдын бүх утгыг дамжуулдаг. Энэ нь сүүлийн давхар нийлбэр дэх нийлбэрийн тэмдгүүдийг эргүүлж болно гэсэн үг юм, i.e.

Одоо тэгж өгвөл

бид авдаг

Батлагдсан теоремын өөр нэг хэлбэр байдаг:

Теорем. (Үржүүлэх Мобиусын урвуу томъёо.) Болъё

Энд тэмдэг нь тооны бүх хуваагчдад үржвэрийг илэрхийлнэ.

Баталгаа:

Мобиусын урвуу томъёог ашиглах жишээ:

Бөгжний дарааллын тоотой холбоотой асуудал. Үзнэ үү: Hall M. Combinatorics. М.: Мир, , § .

Элементүүдийн хязгаарлагдмал талбарт өгөгдсөн зэрэгтэй, бууруулж болохгүй олон гишүүнтүүдийн тоо. Харна уу: Berlekamp E. Алгебрийн кодчиллын онол. − М.: Мир, 1970, Ч. 3.

Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А. Алгебр. t.-д: Helios, . Т., §.

Учир нь бие даан суралцах :

Хэсэгчилсэн эрэмбэлсэн олонлогууд дээрх Мобиусын урвуу. Оруулсан-хасах зарчим онцгой тохиолдолМобиусын инверцийн томъёо. Харна уу: Hall M. Combinatorics. М.: Мир, , § ; Bender E., Goldman J. Mobius inversion-ийн хослолын шинжилгээнд хэрэглэх тухай. Номонд: Комбинаторийн шинжилгээний тоон асуудлууд. М .: Мир, 1971. S. - .

Тооны хослолуудын харьцуулалт

Анхны тоо байг.

Лемма.

Баталгаа. Томъёоны тоологч байх үед

Үр дагавар.

Баталгаа.

Лемма., , , сөрөг бус бүхэл тоо, , байг. Дараа нь

Баталгаа. Бидэнд байгаа

Нөгөө талаар,

Коэффициентийг ижил градусаар харьцуулж үзвэл бид шаардлагатай үр дүнг авна. ∎

− сөрөг бус бүхэл тоо болон цацрагийн дүрслэл. (Энд , гэсэн бүхэл тоо байна). Сөрөг бус бүхэл тоонуудын олонлог дээр бид хэсэгчилсэн эрэмбийн хамаарлыг (харилцаа давуу байдал) , гэж үзвэл , хэрэв зөвхөн болон хэрэв байгаа бол

Лукасын теорем ( ).

Баталгаа. Өмнөх леммагийн дагуу,

Хаана, . Леммийг зохих тооны удаа давтан хэрэглэснээр бид шаардлагатай үр дүнд хүрнэ. ∎

Сэтгэгдэл.Анхдагч бус хүмүүсийн хувьд теорем үнэн биш юм. Жишээлбэл (Берлекам, х.-г үзнэ үү).

Үр дагавар.

II . Алгебрийн бүтэц

II. 1. Хоёртын үйлдэлтэй олонлогууд. Группоид, хагас бүлэг, моноид

Хоёртын алгебрийн үйлдэл(эсвэл найрлагын хууль) хоосон бус багц дээр Сзураглал гэж нэрлэдэг : , хос элементийг тааруулах, өвөрмөц тодорхойлогдсон элемент, . Нэг багц дээр олон үйлдлийг зааж өгч болно. (Хэрэв жишээ нь, мэдээжийн хэрэг, аргын тоо нь -тэй тэнцүү бол, -ийн элементийн тоо хаана байна.) Хэрэв та тэдгээрийн аль нэгийг нь тодруулахыг хүсвэл, жишээлбэл, гэж бичнэ үү. Ийм объектыг нэрлэдэг хоёртын алгебр, эсвэл группоид. -ийн оронд тэд ихэвчлэн бичдэг бөгөөд үйлдлийг өөрөө ямар нэг тэмдгээр ( , , , гэх мэт) тэмдэглэдэг.

Сэтгэгдэл.Хоёртын үйлдлүүдийн зэрэгцээ илүү ерөнхий -ари үйлдлүүдийг (unary at, гурвалсан at гэх мэт) авч үздэг. Тэдэнтэй холбоотой алгебрийн бүтэц (систем) нь судалгааны сэдэв юм. бүх нийтийн алгебрууд.

Олонлог дээрх хоёртын үйлдлийг дуудна ассоциатив, Хэрэв

, ямар ч , , .

Ассоциатив үйлдэлтэй группоидыг нэрлэдэг хагас бүлэг.

Ассоциатив бус группоидын жишээ.Олонлог дээр бид үйлдлийг дараах байдлаар тодорхойлно . Үйлдэл нь холбоогүй: , гэхдээ .

Теорем.Хэрэв олонлог дээрх хоёртын үйлдэл нь ассоциатив бол илэрхийллийн утга нь хаалтанд байрлуулахаас хамаарахгүй.

Баталгаа.-тэй, эсвэл мэдэгдэл нь тодорхой байна. Учир нь индукцийг ашиглан үүнийг харуулахад хангалттай

ямар ч , . Индукцийн таамаглалаар хаалтуудыг байрлуулах

Ач холбогдолгүй; Тухайлбал, .

Хэрэв, тэгвэл.

Хэрэв бол

Нотолж буй тэгш байдлын баруун тал (1) мөн ижил хэлбэрт буурна. ∎

Элемент гэж нэрлэдэг төвийг сахисанүйл ажиллагааны талаар, хэрэв

хэний ч төлөө.

Элемент бүхий хагас бүлгийг дууддаг моноид(эсвэл таних тэмдэг бүхий хагас бүлэг) ба , , -г тэмдэглэнэ.

Хагас бүлэг (groupoid) нь хамгийн ихдээ нэг төвийг сахисан элементтэй байж болно: хэрэв

, тэгвэл төвийг сахисан элементүүд юм

Группоид (хагас бүлэг) гэж нэрлэдэг дэд бүлэг (дэд хагас бүлэг) группоид (хагас бүлэг), , хэрэв

Мөн ямар ч , .

Энэ тохиолдолд тэд дэд хэсэг гэж хэлдэг үйл ажиллагааны хүрээнд хаагдсан. Моноид гэж нэрлэдэг дэд моноидмоноид , , , хэрэв ба.

Моноидын элементийг , гэж нэрлэдэг буцаах боломжтой, ийм элемент байвал (Мэдээжийн хэрэг, бид үүнийг буцаах болно). Хэрэв элемент ижил шинж чанартай бол, i.e. , тэгвэл тэгшитгэлээс тухайн элемент нь үнэхээр өвөрмөц байна (-ын хувьд). Энэ нь бидэнд ярих боломжийг олгодог урвууэлемент , (урвуу) элемент , шинж чанаруудтай: , .

Хэрэв , моноидын урвуу элемент бол , , бол тэдгээрийн үржвэр нь мөн урвуу элемент болно. , . Мэдээжийн хэрэг, энэ нь урвуу элемент юм. Тиймээс, байдаг

Теорем., , моноидын бүх урвуу элементүүдийн олонлог ∗ үйлдлээр хаагдах ба , , -д дэд моноид үүсгэнэ.

Бүлгүүд

Бүлгийн тодорхойлолт.Бүх элементүүд нь урвуу байдаг моноид , , , гэж нэрлэдэг бүлэг.

Өөрөөр хэлбэл бүлэг нь дараах аксиомуудыг хангасан хоёртын үйлдэлтэй олонлог юм.

. (Хаалттай ажиллагаа.) , .

. (Үйл ажиллагааны нэгдэл.) ,

. (Төвийг сахисан элемент байгаа эсэх.) ∃ .

. (Урвуу элементийн оршихуй.) .

Сэтгэгдэл.Дээр дурдсан алгебрийн бүтцүүд рүү буцаж очиход бид тэдгээрийн дунд дараах шатлалыг ажиглаж байна: хос нь , байна. группоид, аксиом хангагдсан бол; хагас бүлэг, хэрэв аксиом ба ; моноид, хэрэв аксиомууд болон ; бүлэг, хэрэв аксиомууд , , ба .

Тодорхой шинж чанартай элементүүдийн зэрэг нь байгалийн аргаар тодорхойлогддог.

(нэг удаа),

; , ( , , .

Ерөнхийдөө илэрхийлэл дэх элементүүдийг дахин зохион байгуулах боломжгүй юм (жишээ нь. ). Хэрэв , дараа нь элементүүдийг дуудна солигдох боломжтой, эсвэл ажилдаа явах. Хэрэв бүлгийн аль нэг хоёр элемент ажилдаа явж байвал бүлгийг дуудна хувирах, эсвэл Абелиан(Норвегийн математикч Риел Хенрик Абелийн хүндэтгэлд ( - )).

Бүлэг дэх үйлдлийг ихэвчлэн тэмдэг (нэмэлт) эсвэл тэмдэг (үржүүлэх) хэлбэрээр илэрхийлдэг. Энэ тохиолдолд бүлгийг зохих ёсоор дууддаг нэмэлтэсвэл үржүүлэх, түүний төвийг сахисан элемент нь тус тус байна тэг() эсвэл нэгж(). Нэмэлт бүлэгт элементийг урвуу элемент гэж нэрлэдэг эсрэгболон томилогдсон боловч оронд нь тэд бичдэг. Үржүүлэх бүлэгт тэд ихэвчлэн үйлдлийн тэмдгийг орхиж оронд нь бичдэг.

Нэмэлт бүлгийн жишээ. 1) , , , , , , , – цагираг болон талбайн нэмэлт бүлгүүд , , . Тэд зүгээр л , , , гэж бичдэг. 2) Аливаа цагираг нь Абелийн бүлэг юм. Ялангуяа олон гишүүнтийн цагираг ,…, ] ба талбар дээрх эрэмбийн матрицын цагираг нь Абелийн бүлгүүд юм. 3) Ямар ч вектор орон зайнэмэлтийн хувьд талбайн дээгүүр нь Абелийн бүлэг юм. 4) , 1,…, – нэмэх модулийн ажиллагаатай хамгийн бага сөрөг бус үлдэгдлийн модулийн бүрэн систем.

Үржүүлэх бүлгүүдийн жишээ. 1) , , талбаруудын үржүүлэх бүлгүүд , , . 2) үржүүлгийн үед нэгдмэл байх аливаа цагирагийн урвуу элементүүдийн багц юм. Ялангуяа = ; , -аас урвуу матрицуудын олонлог юм. 3) − бүх (бодит ба нарийн төвөгтэй) үндэс

, , 1,…, , − төсөөллийн нэгж,

тэгшитгэл нь үржүүлэх Абелийн бүлэг юм. 4) - хавтгай ба орон зайд тогтмол -гоны эргэлтийн багц - солигддоггүй бүлэг (for ).

Цаашилбал, үйл ажиллагааг бүртгэх үржүүлэх хэлбэрийг ихэвчлэн ашигладаг. Бүлгийг ихэвчлэн үйлдлийг заагаагүй ганц үсгээр тэмдэглэдэг. Бүлгийн бүх элементүүдийн олонлогийг нэрлэдэг бүлгийн үндсэн багцмөн ижил үсгээр тэмдэглэгдсэн байна. Хэрэв суурь олонлог хязгаарлагдмал бол бүлгийг дуудна эцсийн; өөрөөр нэрлэдэг эцэс төгсгөлгүй. Хязгаарлагдмал бүлгийн тооны элементийг түүний гэж нэрлэдэг дарааллаар. 1-р дарааллын бүлгийг дууддаг ганц бие, эсвэл Т өрсөлдөгч. Хязгааргүй бүлэгтэй гэдэг хязгааргүй дараалал . Бүлгийн дарааллыг (үндсэн багцын үндсэн байдал) харуулахын тулд карт (үндсэн тоо), () гэсэн ижил тэмдэгтүүдийг ашигладаг.

Хэрэв , бүлгийн дэд олонлогууд (үндсэн багцын) байвал бид тавина

, , .

Дэд бүлэгбүлэг нь -тэй ижил үйлдлийн хувьд өөрөө бүлэг болох дэд олонлог юм. Өөрөөр хэлбэл, дэд бүлэг нь зөвхөн (нэг дотор) бөгөөд үржүүлэх болон харилцан үйлчлэлийн үед хаагдсан тохиолдолд дэд бүлэг болно, i.e. , (үнэндээ энд тэгш байдал ч бий). Хэрэв дэд бүлэг байвал бичнэ үү; хэрэв нэгэн зэрэг бол түүнийг дуудна эзэмшдэгдэд бүлэг бөгөөд үүнийг гэж тэмдэглэнэ.

Мобиус функц  (n), Хаана n– натурал тоо нь дараах утгыг авна.

Möbius функц нь Эйлер функцийг нийлбэр болгон бичих боломжийг танд олгоно.

Нийлбэр нь n-ийн бүх хуваагч (зөвхөн анхны хуваагч биш) дээр байна.

Жишээ.Тооцоолъё φ (100) Möbius функцийг ашиглан.

100-ын бүх хуваагч нь (1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100) юм.

(2) = (-1) 1 = -1 (хоёр нь нэг анхны хуваагчтай – 2)

(4) = 0 (4 нь хоёрын квадратад хуваагдана)

(5) = (-1) 1 = -1 (5 нь нэг анхны хуваагчтай – 5)

(10) = (-1) 2 = 1 (10-д хоёр байна үндсэн хуваагч- 2 ба 5)

(20) = 0 (20-ыг хоёрын квадратад хуваасан)

(25) = 0 (25-ыг тавын квадратад хуваасан)

(50) = 0 (50 нь 2 2 ба 5 5-д хуваагдана)

(100) = 0 (100 нь 2 2 ба 5 5-д хуваагдана)

Тиймээс,

Möbius функцийн шинж чанар:.

Жишээлбэл, n=100, {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}.

16 Нэг эгнээнд байрлуулсан n элементээс зэргэлдээх хоёр элемент байхгүй k-элементүүдийг сонгох аргын тооны тухай теорем. Давтагдах томьёог олж батална.

17 Давталттай хослолын тоо

Тоо r-аас давталттай хослолууд n- багцууд тэнцүү байна

.

– давтагдах томьёог ашиглан нотлох.

Энэ арга нь мэдэгдэж буй анхны утгууд болон өмнөх алхамуудад тооцсон утгууд дээр үндэслэн хүссэн хэмжигдэхүүний утгыг алхам алхмаар тооцоолох боломжийг олгодог томьёог олж авахад суурилдаг.

Дахин давтагдах томъёоr --р захиалга- маягтын томъёо

а n = е(n, а n- 1 , а n- 2 , … , а n-r).

Томьёог дараах байдлаар илэрхийлнэ n>rдарааллын гишүүн бүр ( а би) өмнөх rгишүүд. Давтагдах томьёо бүтээх нь дараах алхмуудаас бүрдэнэ.

1. Үйлдвэрлэл анхны нөхцөл ямар нэгэн тодорхой харилцаанд тулгуурласан.

-ээр тэмдэглэе е(n,r). Энэ нь ойлгомжтой

2. Логик үндэслэл.Олонлогийн зарим элементийг засъя С. Дараа нь ямар ч хамаагүй r-аас давталттай хослолууд n- багц СЭнэ нь өгөгдсөн тогтмол элемент агуулсан эсэхийг бид хэлж чадна.

Хэрэв агуулсан, дараа нь бусад нь ( r-1) зүйлийг сонгож болно е(n,r-1) арга замууд.

Хэрэв агуулаагүй(энэ элемент нь сонголтонд байхгүй), дараа нь r- элементүүдээс бүрдсэн хослол ( n-1) - багц (багц СЭнэ тогтмол элементээс бусад). Ийм хослолын тоо е(n-1,r).

Учир нь Эдгээр тохиолдлууд нь бие биенээ үгүйсгэдэг, дараа нь нийлбэрийн дүрмийн дагуу

3. Зарим утгын томъёог шалгаж, ерөнхий загварыг гаргах.

1) Тооцоолъё е (n ,0) . (2) -аас энэ нь дараах байдалтай байна

Дараа нь е(n,0)=е(n,1)-е(n-1,1). (1)-ээс е(n,1)=n,f(n-1,1)=n-1.

Тиймээс, е(n,0)=n-(n-1)=1=.

2) е (n ,1) =е(n,0)+е(n-1,1) = 1+n- 1 =n==.

3) е (n ,2) =е(n,1)+е(n-1,2) =n+е(n-1,1)+е(n-2,2) =n+(n-1)+е(n-2,1)+е(n-3,2) = … =

= n+(n-1)+…+2+1 =.

(арифметик прогрессийн нийлбэр)

4) е (n ,3) =е(n,2)+е(n-1,3) =+е(n-1,2)+е(n-2,3) =++е(n-2,2)+е(n-3,3) = … =

(геометр прогрессийн нийлбэр)

5) е (n ,4) =

Тодорхой тохиолдлуудад үндэслэн үүнийг гэж үзэж болно

4. Үр дүнгийн томъёог ашиглан анхны нөхцөлийг шалгах.

,

Энэ нь (1) #-тай нийцэж байна

19, 20) n оройтой хоёртын модны тоо C(n)-тэй тэнцүү бөгөөд C(n) нь n-р каталан тоо юм.

n оройтой хоёртын модны тоог Каталан тоо гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь олон сонирхолтой шинж чанартай байдаг. N-р каталан тоог (2n) томъёог ашиглан тооцоолно! / (n+1)!n!, энэ нь экспоненциалаар өсдөг. (Википедиа энэ нь Каталан тооны нэг хэлбэр гэдгийг хэд хэдэн нотлох баримтыг санал болгож байна.) Өгөгдсөн хэмжээтэй хоёртын модны тоо 0 1 1 1 2 2 4 14 8 1430 12 208012 16 35357670

Орлуулах

Руу явах: навигаци, хайх

Энэ бол орлуулалтын синтакс үйлдлийн тухай өгүүлэл юмдулаан . Та сонирхож магадгүйдахин зохион байгуулалт .

IN математикТэгээд компьютерийн шинжлэх ухаан орлуулалт- Энэ бол мэс засал юм синтакстухайн зүйлийн дэд нөхцлүүдийг солих термабусад нэр томъёо, тодорхой дүрмийн дагуу. Ихэвчлэн оронд нь нэр томъёог орлуулах тухай ярьж байна хувьсагч.

Тодорхойлолт ба тэмдэглэгээ

Орлуулахын тулд бүх нийтийн, тохиролцсон тэмдэглэгээ байхгүй, стандарт тодорхойлолт байдаггүй. Орлуулах тухай ойлголт нь зөвхөн хэсгүүдийн хүрээнд төдийгүй хувь хүний ​​нийтлэлийн түвшинд өөр өөр байдаг. Ерөнхийдөө бид онцолж болно контекст орлуулахТэгээд "оронд" орлуулалт. Эхний тохиолдолд орлуулалт хийх нэр томъёоны газрыг зааж өгсөн болно контекст, өөрөөр хэлбэл энэ газрыг "эргэж буй" термагийн нэг хэсэг юм. Ялангуяа энэ орлуулах ойлголтыг ашигладаг дахин бичих. Хоёр дахь сонголт нь илүү түгээмэл байдаг. Энэ тохиолдолд орлуулалтыг ихэвчлэн хувьсагчийн багцаас нэр томъёоны багц болгон зарим функцээр тодорхойлдог. Илэрхийлэх орлуулах үйлдлүүд, дүрмээр бол ашиглах постфиксийн тэмдэглэгээ. Жишээлбэл, нэр томьёо дээр орлуулах үйлдлийн үр дүн гэсэн үг.

Ихэнх тохиолдолд орлуулалт нь хязгаарлагдмал тээвэрлэгчтэй, өөрөөр хэлбэл олонлогтой байх шаардлагатай. хязгаарлагдмал байсан. Энэ тохиолдолд зөвхөн хосуудыг жагсаах замаар үүнийг зааж өгч болно "хувьсах утга". Ийм орлуулалт бүрийг зөвхөн нэг хувьсагчийг орлох орлуулалтын дараалал болгон бууруулж болох тул ерөнхий байдлыг алдагдуулахгүйгээр орлуулалтыг нэг хосоор өгсөн гэж үзэж болно. "хувьсах утга", энэ нь ихэвчлэн хийдэг зүйл юм.

Орлуулахын сүүлчийн тодорхойлолт нь магадгүй хамгийн түгээмэл бөгөөд түгээмэл хэрэглэгддэг. Гэсэн хэдий ч түүний хувьд нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн ганц тэмдэглэгээ байдаггүй. Ихэнхдээ орлуулалтыг илэрхийлэхэд ашигладаг аоронд нь xВ тбичлэгийг ашиглаж байна т[а/x], т[x:=а] эсвэл т[x←а].

Хувьсах орлуулалтλ-тооцоо

λ-тооцоонд орлуулалтыг бүтцийн индукцаар тодорхойлно. Дурын объект болон дурын хувьсагчийн хувьд дурын чөлөөт тохиолдлыг орлуулсны үр дүнг тооцоолно. орлуулалтбарилга угсралтын индукцаар тодорхойлогддог:

(i) суурь:: объект хувьсагчтай таарч байна. Дараа нь;

(ii) суурь:: объект тогтмол таарч байна. Дараа нь дурын атомын хувьд;

(iii) алхам: : объект нь атомын бус бөгөөд хэрэглээний дүр төрхтэй. Дараа нь;

(iv) алхам:: объект нь атомын бус бөгөөд хийсвэрлэл юм. Дараа нь [;

(v) алхам:: объект нь атомын бус бөгөөд хийсвэрлэл юм. Дараа нь:

andor-д зориулсан;

Програмчлал дахь хувьсах орлуулалт

Орлуулаххувьсагч ( Англи орлуулалт) В хэрэглээний програмчлалдараах байдлаар ойлгогдоно. Функцийн утгыг тооцоолох емаргаан дээр vоруулга хэрэглэж байна f(v)), Хаана езагвараар тодорхойлогддог f(x) = e. Бичлэг f(v)энэ тохиолдолд илэрхийлэлд байгаа гэсэн үг дболж байна орлуулалт, эсвэл хувьсах орлуулалт xдээр v. орлуулалтыг заасны дагуу гүйцэтгэнэ тооцооллын семантик.

Орлуулаххувьсагч ( Англи даалгавар) В програмчлалгэж ойлгодог даалгавар. Даалгаврын оператор нь уламжлалт програмчлалын хэлнүүдийн фон Нейманы гацаа нөлөөний илрэл юм. . Үүнээс ангид хэрэглээний тооцооллын системүүд.

http://math.nsc.ru/LBRT/u3/bard/fails/Brenner_Evans.pdf

21 Функц үүсгэх.Үүсгэх функц (тоологч) болон давталтгүйгээр хослолыг үүсгэх функцийг тоолох.

Үүсгэх функцууд: 1) Z-хувиргах 2) генератор 3) үүсгэх функц 4) дарааллын үүсгэх функц (a r ) үндсэн дээр (g r ) - функц f, тогтмол суурьтай (g r ) функцүүдэд цуврал болгон өргөжүүлэх үед коэффициентүүдийн энэ дараалал (a r ) үүсдэг …………*)

Энэ цуврал нь албан ёсны юм. Албан ёсны нэр нь *) томъёог бидний дарааллын тохиромжтой тэмдэглэгээ гэж үздэг гэсэн үг юм - энэ тохиолдолд аль (үйлдэл ба цогцолбор) утгыг нэгтгэх нь хамаагүй. A0, A1,...Ar... дарааллын коэффициентүүдийг ялгахад t-ийн үүрэг багасдаг.Тиймээс функц үүсгэх онолд энэ цувралын утгыг хэзээ ч t хувьсагчийн тодорхой утгад тооцдоггүй. Ийм цувралууд дээр зөвхөн зарим үйлдлүүд хийгдэх ба дараа нь зөвхөн зарим үйлдлүүд тодорхойлогддог бөгөөд дараа нь t хувьсагчийн бие даасан чадлын хувьд коэффициентүүдийг тодорхойлно.

Ихэвчлэн гэж

22 Үүсгэх функц. Үүсгэх функц (тоологч) болон давталттай хослолуудын үүсгэх функцийг тоолох.

Үйлдвэрлэлийн байгууламж:

Барилгын дүрэм

1) Хэрэв i төрлийн элементийг K 1 эсвэл K 2 эсвэл... K i дахин хослолд оруулах боломжтой бол харгалзах үржүүлэгчтэй байна.

3) Коэффицентийг олоход л үлддэг. цагт

байршуулалт барих дүрмийн экспоненциал үүсгэх функц

25) Комбинаторын тоонд мөн орно Стирлингийн тооэхний болон хоёр дахь төрлийн. Эдгээр тоонууд нь тэгш байдлын коэффициентууд гэж тодорхойлогддог

ба энгийн комбинатор утгатай - яг бүтээгдэхүүн болох сэлгэцийн бүлгийн элементүүдийн тоотой тэнцүү. ксалангид циклүүд ба хуваалтын тоотой тэнцүү байна n-элементийг асаасан кхоосон бус дэд олонлогууд. Энэ нь ойлгомжтой. Хоёр дахь төрлийн Стирлингийн тоонуудын ижил төстэй нийлбэр гэж нэрлэдэг n- Хонхны дугаар ба бүх хуваалтын тоотой тэнцүү байна n-элементийн багц. Давтагдах томьёо нь хонхны тоонд хүчинтэй.

Комбинаторын асуудлыг шийдвэрлэхэд энэ нь ихэвчлэн хэрэгтэй байдаг оруулах-хасах томъёо

Энэ нь хэрэв тэдгээрийн огтлолцлын үндсэн байдал мэдэгдэж байгаа бол олонлогуудын нэгдлийн үндсэн байдлыг олох боломжийг олгодог. Хоёрдахь төрлийн Стирлингийн тоонуудын тодорхой томьёог олж авахын тулд оруулах-хасах томьёог ашиглая.

Эхний төрлийн стерлинг тоонууд

Википедиагийн материал - үнэгүй нэвтэрхий толь

Руу явах: навигаци, хайх

Эхний төрлийн стерлинг тоонууд(гарын үсэггүй) - тоо хэмжээ орлуулалтзахиалга n-тай к мөчлөг.

Тодорхойлолт

Эхний төрлийн стерлинг тоонууд(тэмдэгтэй) s(n, k)коэффициент гэж нэрлэдэг олон гишүүнт:

Хаана ( x) n - Почхаммерын тэмдэг (хүчин зүйлийн бууралт):

Тодорхойлолтоос харахад тоонууд ээлжлэн тэмдэглэгдсэн байдаг. Тэдний үнэмлэхүй утгууд нь тоог тодорхойлдог орлуулалт-аас бүрдсэн багц nбүхий элементүүд к мөчлөг.

Дахин давтагдах хамаарал

Эхний төрлийн стирлингийн тоонууд өгөгдсөн давтагдаххарьцаа:

с(n,n) = 1, n ≥ 0-ийн хувьд,

с(n,0) = 0, n > 0-ийн хувьд,

0-ийн хувьд< к < n.

Баталгаа.

Учир нь n=1 энэ тэгш байдлыг шууд шалгана. Сэлгээ хийцгээе ( n-1)-р дараалалд задардаг кмөчлөг. Тоо nхаргалзах гогцоонд дурын тооны дараа нэмж болно. Үүссэн бүх өөрчлөлтүүд нь өөр өөр бөгөөд k цикл, тэдгээрийн тоо ( n-1)· с(n-1, к). Аливаа орлуулахаас ( n-1) агуулсан захиалга к-1 цикл, нэг сэлгэлт үүсч болно nагуулсан захиалга кганц тоогоор үүсгэгдсэн циклийг нэмэх замаар циклүүд n. Мэдээжийн хэрэг, энэхүү бүтээн байгуулалт нь бүх өөрчлөлтийг дүрсэлсэн байдаг n-р захиалга агуулсан кмөчлөг. Ийнхүү тэгш байдал нотлогдож байна.

Жишээ

Эхний эгнээ:

IN комбинаторик Хоёр дахь төрлийн стерлинг тоо-аас n By к, эсвэл гэж тэмдэглэсэн нь эрэмбэлэгдээгүй тоо юм хуваалтууд n- элемент багцдээр кхоосон бус дэд олонлогууд.

Дахин давтагдах томъёо

Хоёрдахь төрлийн стерлинг тоонууд хангадаг давтагдаххарьцаа:

n ≥ 0-ийн хувьд,

n > 0-ийн хувьд,

Тодорхой томъёо

Жишээ

Хоёр дахь төрлийн Стирлингийн тоонуудын анхны утгыг хүснэгтэд үзүүлэв.

Үл хөдлөх хөрөнгө

Хоёрдмол утгатайЗураглал гэдэг нь нэгэн зэрэг тарилга ба сурьектив шинж чанарыг агуулсан зураглал юм.

1. Эхлээд чухал тооны онолын Мёбиу функцийн тодорхойлолтыг эргэн санацгаая

n = 1 бол 1

μ (n)=0, p анхны тоо байвал p2 n (-1)k, n = p1 бол ... pk нь k өөр анхны хүчин зүйлийн үржвэр юм.

Мобиусын функцийн үндсэн шинж чанарыг баталъя:

Теорем 1.

♦ Хэрэв n = 1 бол цорын ганц хуваагч нь d = 1 ба (1) нь үнэн, учир нь μ (1) = 1. Одоо n > 1 гэж үзье. Үүнийг хэлбэрээр илэрхийлье

n = p1 s 1 ps 2 2 K ps k k ,

Энд pi, i 1, k нь анхны тоо, si нь тэдгээрийн зэрэглэл юм. Хэрэв d нь n-ийн хуваагч бол d = p1 d 1 pd 2 2 K pd k k ,

Энд 0 ≤ di ≤ si, i 1, k. Зарим i 1, k-ийн хувьд di > 1 байвал μ (d) = 0. Энэ нь (1)-д бид зөвхөн di ≤ 1, i 1, k гэсэн d-г авч үзэх хэрэгтэй гэсэн үг юм. Ийм хуваагч бүр хамтран-

r өөр анхны тоонуудын үржвэрээс бүрдэнэ, энд r 1, k, нийлбэрт оруулсан хувь нэмэр

(1) нь (-1)r-тэй тэнцүү бөгөөд нийт k байна. Тиймээс бид авдаг

			μ (d) = 1 −	K + (− 1) k	0. ♦
			Теорем 2. (Моебиусын урвуу томъёо). f(n) ба g(n) нь натурал функц байя
рал аргумент. Дараа нь тэгш байдал
					∑f(d)
тэгш байдал үнэн бол зөвхөн үнэн юм
					∑ μ (d)g(

♦ Дурын n-д (2) үнэн байг. Дараа нь

g(d n ) = ∑ f(d′ )

d 'd n

(3)-ын баруун талд орлуулснаар бид авна

∑ μ (d)g(			) = ∑ μ (d) ∑ f(d′ )
					d'

Баруун талд байгаа давхар нийлбэрийг d, d' бүх хосууд дээр хийж, d d' n. Хэрэв та d ′-г сонговол d нь бүх хуваагч d n ′-г дайран өнгөрнө. Тиймээс

∑ μ (d)g(

) = ∑ f(d′ ) ∑ μ (d′ )

d'

d'

d'

n > d'

Гэхдээ (1)-ийн дагуу бидэнд ∑ байна

μ (d′ ) =

n = d'

d'

d'

Энэ нь тэгш байдал (3) тогтсон гэсэн үг. Одоо дурын n-д (3) үнэн байг. Дараа нь

∑ f(d) =

∑ ∑ μ (d′ )g(

), d′′ = d d ′ - n-ийн хуваагч бөгөөд давхар нийлбэр нь байж болно.

d'

n d'

гэж дахин бичнэ

∑ μ (d′ )g(d′′ ) =

∑ g(d′′)

∑ μ(d′)

d''

n d '

d''

d''

d'

d''

(1)-ийн дагуу сүүлийн нийлбэр нь d′′ = n тохиолдолд, бусад тохиолдолд нэгдмэл болж хувирдаг

Ямар ч тохиолдолд энэ нь тэг юм. Энэ нь нотолж байна (2). ♦ 2. Мобиусын инверсийн хэрэглээг авч үзье.

s үсгийн А цагаан толгойг өгье. Өгөгдсөн цагаан толгойд n урттай sn үг байдаг. Үг бүрийн хувьд w0 = a1 a2 … an n - 1 үг тодорхойлж болно

w1 = a2 a3 … an a1 , w2 = a3 a4 … a1 a2 , … , wk-1 = an a1 … an-1 , нэг нэгнээсээ мөчлөгийн шилжилтээр олж авсан. Бүх sn үгсийн олонлог дээр бид эквивалент харьцааг нэвтрүүлдэг: хэрэв нэг нь нөгөөгөөсөө мөчлөгийн шилжилтээр авсан бол бид хоёр үгийг эквивалент гэж зарлана. Бид яг n үг агуулсан ангийн тоог сонирхох болно. Энэ асуудал кодыг синхрончлох онолд үүсдэг.

w агуулсан эквивалент анги нь n-ээс бага үгнээс бүрдэх бол бид w үгийг доройтсон гэж нэрлэнэ. Хэрэв u гэсэн үг байгаа бол бид w үе үе гэж нэрлэдэг ба натурал тоо m, w = u u ... u (m удаа).

Теорем 3. w үг нь зөвхөн доройтсон тохиолдолд үе үе байдаг.

Таны хувьд бид авч болно 1 a 2 … a p , мөн m = гэж

♦ Хэрэв w нь үе үе байвал доройтдог нь тодорхой байна. Бид доройтсон байг. w = wp байх хамгийн бага бүхэл тоо p гэж үзье. Дараа нь бол

w = a1 a2 … an , дараа нь wp = a1+p a2+p … an+p (n модулийн индексүүд). Эндээс бид үүнийг n p-д авна. (P n гэдгийг харахад хялбар байдаг). ♦ Дэлгэцийн зураг

M(d)-ээр дамжуулан чухал ач холбогдолтой - d үг агуулсан квадратуудын тоо. Өмнөхөөсөө бидэнд байна

d n. Тиймээс томъёо нь хүчинтэй байна∑ dM(d) = s n . d n

g(n) = sn , f(d) = dM(d) тохиолдолд Мобиусын урвуу томьёог хэрэглэцгээе. Дараа нь бид авна

nM(n) = ∑ μ (d)s n d d n

∑ μ (d)sn d

Тиймээс M(n) нь бидний сонирхож буй тоо юм. Хэрэв n = p нь анхны тоо бол

− s)

Мобиусын инверсийн үржвэрийн хувилбар байдаг. Шударга

Теорем 4. f(n) ба g(n) нь хамааралтай натурал аргументын функцууд байг.

өмссөн

f(n) = ∏g(d)

μ(n

g(n) = ∏f(d)

Тэгээд эсрэгээр, (5) -аас (4) дагана.

Мобиусын инверсийн томъёог ашиглан бид хязгаарлагдмал талбар дээрх тогтмол зэрэгтэй, бууруулж болохгүй олон гишүүнтүүдийн тооны практик чухал асуудлыг шийдэж чадна. GF(q) нь q элементийн талбар, m нь натурал тоо байг. Дараа нь дугаарын хувьд

GF(q) талбар дээрх Φ m (q) бууруулж болохгүй олон гишүүнтэд дараах томьёо тохирно.

Φ m (2) функцийн эхний хэдэн утгуудын хүснэгтийг үзүүлье.

Φ м (2)

§ 5. Байнгын албан тушаалтнууд ба тэдгээрийг тоолоход хэрэглэх

1. Байнгын тоонуудыг комбинатын олон асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг. Тоон матрицыг авч үзье

A = (ai, j), i = 1, n, j = 1, m, n ≤ m

Байнгын матриц А (тэмдэглэл - А тутамд) нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог

A = ∑			a 2 j L a nj
(j1 ,K , jn )

m элементийн 1, 2, m-ийн бүх n-солилцоогоор нийлбэрийг гүйцэтгэнэ. Өөрөөр хэлбэл, матрицын байнгын тоо нь мөр, багана бүрээс нэгийг нь авсан элементүүдийн бүтээгдэхүүний нийлбэртэй тэнцүү байна.

Томъёо (1)-ээс дөрвөлжин матрицын тодорхойлогчийн шинж чанаруудтай төстэй байнгын дагалдах зарим тодорхой шинж чанарууд.

1. Хэрэв мөрүүдийн аль нэг нь(n× m) матриц A (n ≤ m) нь тэгээс тогтдог, тэгвэл A = 0. n = m-ийн хувьд баганын хувьд мөн адил байна.

2. А матрицын аль нэг эгнээний бүх элементүүдийг тодорхой тоогоор үржүүлэхэд байнгын А-ийн утгыг ижил тоогоор үржүүлнэ.

3. Мөр, багана нь өөрчлөгдвөл байнгын хэлбэр өөрчлөгддөггүй.

i-р мөр, j-р баганыг устгаснаар А-аас олж авсан матрицыг Aij гэж тэмдэглэе.

4. I-р эгнээнд байгаа байнгынг задлах томъёо хүчинтэй: per A = ai1 per Ai1 + ai2 per Ai2 + ... + зорилго per Aim (2)

Тиймээс байнгын шинж чанаруудын олон шинж чанар нь тодорхойлогчтой төстэй байдаг.

Гэсэн хэдий ч тодорхойлогчдын үндсэн шинж чанар det(A B) = detA detB нь байнгын хувьд хангагддаггүй бөгөөд энэ нөхцөл байдал нь тэдний тооцооллыг маш хэцүү болгодог.

Жишээлбэл,

					2, нэг
Гэсэн хэдий ч 4 = per						≠ per

Байнгын тухай ойлголтын хамгийн чухал хэрэглээнүүдийн нэгийг комбинаторын бодлогод авч үзье.

дача X = (x1, xm) нь төгсгөлтэй олонлог, X1, …, Xn нь дэд олонлогуудын систем байг.

Энэ тохиолдолд xi элемент нь Xi олонлогийг төлөөлдөг. Хэрэглэсэн олон асуудлыг шийдвэрлэх үед янз бүрийн төлөөлөгчдийн системийг олох хэрэгцээ гарч ирдэг. Дараах кодчиллын асуудлыг авч үзье. Зарим нэг санал байг, өөрөөр хэлбэл. зарим цагаан толгойн дараалсан үгийн багц. Энэ өгүүлбэрийг кодлох шаардлагатай бөгөөд ингэснээр үг бүрийг нэг үсэг зааж өгөх ёстой бөгөөд энэ үсэг нь энэ үгийн нэг хэсэг байх ёстой бөгөөд өөр өөр үсэг нь өөр өөр үгтэй тохирч байх ёстой.

Жишээ: a bc ab d abe c de cd e өгүүлбэрийг abecd гэж кодлож болно. Үүний зэрэгцээ, ab ab bc abc bcd өгүүлбэрийг ийм байдлаар кодлох боломжгүй, учир нь эхний дөрвөн үг нийлээд зөвхөн гурван үсэг агуулдаг.

X1, …, Xn олонлогуудын системийн хувьд бид тодорхойлно тохиолдлын матриц A = (aij), i = 1, n,

				1 бол xi
		a ij =
				0 өөрөөр.
		Шударга
		Теорем 1. A = (aij), i = гэж үзье					(n ≤ m) тохиолдлын матриц

X1, …, Xn олонлогууд, энд Xi X, i = 1, n, X = (x1, …, xm). Дараа нь системийн тооны хувьд

X1 , … , Xn олонлогуудын R(X1 , … , Xn ) хувийн төлөөлөгчид дараах тэгш байдлыг хангана.

R(X1 , … , Xn ) = нэг А

♦ Үнэн хэрэгтээ, А матрицад aij = 1 элемент, хэрэв xj Xi ба aij = 0 бол,

хэрэв xj

К, xi

) элементүүд X нь янз бүрийн өмнөх систем юм.

Ши , дараа нь багц (xi

X1 , … , Xn-ийн дагавар

хэрэв зөвхөн a1i бол

К,а ни

цагдаа a1i

К,а ни

нь А матрицын янз бүрийн баганад байна. Тоонуудыг нэгтгэж үзье

a1i ,K ,a ni

1, 2, …, m элементүүдийн бүх n-солилцоо. Дараа нь бид зуугаас авдаг

рон, X1, ..., Xn-ийн өөр өөр төлөөлөгчдийн системийн тоо, нөгөө талаас, нэг-ийн утга.

манента матриц A. ♦

a 1i 1 a 2i 2 L a ni n

Үр дагавар. X1, …, Xn-ийн өөр өөр төлөөлөгчдийн систем нь харгалзах матрицын А тохиолдлын хувьд хангагдсан тохиолдолд л оршино.

Томъёо (1)-д m(m - 1) ... (m - n +1) нэр томъёо байдаг тул тодорхойлолтод үндэслэн байнгын тоог тооцоолоход хэцүү байдаг. Үүний тулд ерөнхий томъёог танилцуулъя.

2. А = (aij), i, j = 1, n квадрат тоон матрицуудыг авч үзэхээр хязгаарлая.

Дараа нь A = ∑ хувьд

(i1 ,K ,in )

нийлбэр нь бүх элементийн i1 , … , сэлгэн залгалтууд дээр үргэлжилдэг

1, 2, … , n. А матрицын байнгын утгыг тооцохдоо оруулах-хасах томьёог хэрэглэцгээе. Бид i1, ..., олонлог бүрд a1i 1,K,a ni n-тэй тэнцүү жинтэй онооно.

Энэ нь байнгын А нь сэлгэлттэй тохирох олонлогуудын жингийн нийлбэр гэсэн үг юм. Бүх i1, i2, …, 1, 2, …, n цуглуулгуудын олонлогт P1 , … , Pn шинж чанаруудыг танилцуулъя, энд Pi шинж чанар нь i1, …, цуглуулгад i элемент байхгүй гэсэн үг юм. in. Тиймээс байнгын А нь P1, ..., Pn шинж чанаруудыг агуулаагүй i1, ..., in олонлогуудын жингийн нийлбэр юм. k шинж чанартай олонлогуудын W(Pi 1 ,K , Pi k ) жингийн нийлбэрийг тодорхойлоход л үлдлээ.

Pi 1 , K , Pi k . Бидэнд i1 , … , ik олонлогийн W(0) жингийн нийлбэр байна.
W(0) = ∑			К, а ни		= (a 11 + L + a 1n )(a 21 + L + a 2n ) L (a n1 + L + a nn )
i1 ,K ,in
W(N(Pi )) =			a1i ,K ,a ni				= (a 11 + L + a 1i	L + a1n )L (a n1 + L a ni + L + a nn ) (9)
	≠i

А матрицын элементийн дээрх ^ тэмдэг нь энэ элементийг орхих ёстой гэсэн үг юм. Үүний нэгэн адил sij (i< j) имеем

W(N(Pi , Pj )) = (a11 + L + a1i	L+a 1j	L + a1n )L (a n1 + L a ni + L + a nj + L + a nn ) (10)

Одоо, оруулах-хасах томъёог ашиглан бид байнгын А-ийн Raiser томъёог олж авна:

per A = ∏ i n = 1 (ai1 + L + ain ) − ∑∏ k n = 1 (a k1 + L + a ki + L + a kn )+ L +
+ (− 1)с	∑∏n
		(a k1 + L + a ki1	L+a ki	L +a kn ) +L
	1≤i1< L < is ≤ k n= 1

Raiser томъёог ашиглан байнгын тооцоог шаардлагатай байдлаар зохион байгуулж болно

(2n - 1)(n - 4) үржүүлэх, (2n - 2)(n + 1) нэмэх. Хэдийгээр энэ утга нь n-ээр хурдан өсдөг боловч энэ томъёо нь хамгийн ихийг өгдөг үр дүнтэй аргабайнгын тооцоо.

3. Одоо тогтмол (0, 1) матриц тэгтэй тэнцүү байх нөхцөлийн асуултыг тодруулъя. Квадрат матрицын тохиолдлоор өөрсдийгөө хязгаарлая.

Теорем 2. A = (aij ), i, j = 1, n нь n дарааллын (0, 1) матриц байг. Дараа нь

per A= 0, хэрэв A нь s × t хэмжээтэй тэг дэд матрицыг агуулж байвал s + t = n + 1 байна.

♦ Ийм тэг дэд матриц А-д байг. Мөр, баганын сэлгэцийн улмаас байнгын нь өөрчлөгддөггүй тул энэ дэд матриц нь зүүн доод буланд байрладаг гэж бид үзэж болно, жишээлбэл.

Энд O - (s × t) нь тэгийн матриц, В дэд матриц нь (n - s) × t хэмжээтэй байна. Байнгын А гишүүн бүр эхний t баганаас нэг элемент агуулсан байх ёстой. Тиймээс, хэрэв бид байнгын эерэг гишүүнийг хайж олох юм бол эдгээр баганын элементүүд нь 1, 2, ..., n - s тоотой хосолсон өөр өөр эгнээнд хамаарах ёстой. Гэхдээ n - s = t - 1< t и поэтому данное условие выполнить нельзя, т.е. per A = 0.

Одоо per A = 0 гэж үзье. Теоремыг n дээр индукцаар баталъя. n = 1-ийн хувьд мэдэгдэл нь тодорхой байна (A = (0)). n-ээс бага бүх тушаалын хувьд үнэн байг. Хэрэв А нь n эрэмбийн тэг матриц бол мэдэгдэл нь тодорхой байна. Хэрэв А нь тэг матриц биш бол aij = 1 гэж үзье. А-ын задралыг i эгнээний дагуу бичье.

per A = ai1 Ai1 + … + ain Ain

per A = 0, тэгвэл per Aij = 0. Харин Aij нь хэмжээтэй (n - 1) × (n - 1) бөгөөд индукцийн таамаглалаар тэг хэмжээтэй дэд матриц байдаг.

s1 × t1, s1 + t1 = n - 1 + 1 = n-тэй. Энэ тэг дэд матриц зүүн доод буланд байхаар мөр, баганыг дахин цэгцэлцгээе.

A → B =

Энд O нь s1 × t1 хэмжээтэй тэг дэд матриц, s1 + t1 = n, C - хэмжээтэй (n - s1) × t1, D -

s1 × (n - t) хэмжээтэй байна. Энэ нь C ба D матрицууд дөрвөлжин бөгөөд дараалалтай (t1 × t1) ба (s1 × s1) гэсэн үг юм. Байнгын тодорхойлолтын дагуу бид per B = per A ба,

per B = per C per D ба тиймээс per A = 0-ээс аль нэг нь per C = 0 эсвэл per D = 0 гэсэн дүгнэлт гарна.

Let per C = 0. Индукцийн таамаглалаар бол хэмжээтэй тэг дэд матриц байна.

u × v, энд u + v = t1 + 1. Үүнийг i1, …, iu тоотой эгнээнд, j1, …, jv тоотой баганад байрлуулъя. Мөрүүдээс бүрдэх В дэд матрицыг авч үзье

i1, …, iu, t1 + 1, …, n ба багана j1, …, jv. Энэ нь (u + n - t1) × v хэмжээтэй тэг дэд матриц,

Энд u + n - t1 + v = n + +1. Тэгэхээр В матриц нь s × t хэмжээтэй тэг дэд матрицыг агуулж байгаа бөгөөд энд s + t = n + 1 байна. А ба В матрицууд нь мөр, баганын солигдолоор ялгаатай тул теорем батлагдсан. ♦

Одоо А матрицын нэг чухал онцгой тохиолдлыг авч үзье. n × n хэмжээтэй 0.1 элемент бүхий мөр, багана тус бүрд k нэгтэй (k > 0) матрицыг A(k, n) гэж тэмдэглэе.

Теорем 3. Аливаа A(k, n) матрицын хувьд A(k, n) > 0 байна.

♦ Эсрэгээр нь per A(k, n) = 0 гэж үзье. Дараа нь теорем 2-т тэг байна-

s × t хэмжээтэй дэд матриц, энд s + t = n + 1. Дараа нь A(k, n) матрицын мөр, багануудыг дахин цэгцлэхэд бид матрицыг олж авна.

Энд O нь тэг (s × t) матриц юм.

B ба D матрицын нэгийн тоог тоолъё. A(k, n) мөр, багана тус бүрд k нэгтэй тул B багана, D мөр бүрт яг k нэг байна.

нэгж. A(k, n)-д нийт n k нэгж байгаа тул nk ≥ tk + sk = (t + s)n байна. Энэ замаар

сом, n ≥ t + s, энэ нь боломжгүй, учир нь s + t = n + 1 Энэ зөрчилдөөнөөс дараах нь гарч байна

мэдэгдлийн хүчин төгөлдөр байдал. ♦ Үүнтэй төстэй байдлаар нотлогдсон

Теорем 3a. А нь n× m (n≤ m) хэмжээтэй (0,1) матриц байг. Дараа нь s×t хэмжээтэй тэг дэд матрицыг агуулж байгаа тохиолдолд perA = 0, энд s+t=m+1.

4. Одоо авч үзэж буй асуудлуудыг барилгын ажилд ашиглах талаар авч үзье.

Тина квадратууд. Латин (n × m) - тэгш өнцөгтолонлог дээр X=(x1 ,…,xm )

нь (n× m) -х элементийн матриц гэж нэрлэгддэг ба мөр бүр нь X-ийн n-солилцоо, багана бүр нь X олонлогийн m-солилцоо юм. n=m-ийн хувьд Латин тэгш өнцөгтийг гэнэ. Латин дөрвөлжин.

n=1-ийн хувьд латин 1×m тэгш өнцөгтийн тоо m-тэй тэнцүү байх нь тодорхой байна!. n=2 үед эхний эгнээ сонгогдсоны дараа ямар ч сэлгэн залгалтыг хоёр дахь болгон авч болно

сонгосон бүтээгдэхүүнтэй зөрчилдсөн шинэ бүтээгдэхүүн. Ийм сэлгэцийн тоо Dm тул 2× m тоо байна

Латин тэгш өнцөгтүүдийн тоо нь m-тэй тэнцүү! Дм.

Латин квадратуудын индуктив бүтэцтэй холбоотой байгалийн асуулт гарч ирдэг. Латин (n×m)-тэгш өнцөгт (n< m). Можно ли его расширить до ((n+1)× m) -прямоугольника добавлением (n+1)-й строки?

Шударга

Теорем 4. Латин бүр (n× m)-тэгш өнцөгт n

♦ X=(x1,…,xm) ба L-латин (n×m)-тэгш өнцөгтийг X-ийн элементүүдтэй болгоё. A1,…,Am олонлогийг авч үзье. Ai нь i-р баганын элементүүд юм. латин тэгш өнцөгт L. А-г A1 ,… ,Am олонлогийн системийн тохиолдлын матриц гэж үзье. Энэ нь m×m хэмжээтэй бөгөөд Ai = n, i = 1, m тул А матрицын мөр бүр яг n нэгийг агуулна. X элемент бүр L-ийн баганад m-ээс ихгүй удаа гарч болно, эс тэгвээс энэ элемент хоёр удаа гарч ирэх мөр байх болно. Элементүүдийн нийт тоо

L нь m n-тэй тэнцүү тул xi X элемент бүр баганад яг n удаа гарч ирнэ. Үүнээс үзэхэд А матрицын багана бүр яг n нэгийг агуулна. Одоо тус бүрийг тэгээр, тэг тус бүрийг нэгээр сольж олж авсан А матрицыг авч үзье.

А матриц нь X1, …, Xn олонлогуудын системийн тохиолдлын матриц бөгөөд Xi = X\Ai,

i = 1, м. Энэ нь мөр, багана бүрт m - n нэгжийг агуулна. Теоремоор

> 0. ai1 гэж үзье

…би юу

≠ 0. Дараа нь бид xi X1, K, xi байна

Xm болон бүх элементүүд

xi, K, xi

хосоороо ялгаатай. Шугам

xi, K, xi

(n + 1)-р гэж авч болно

латин (n × m)-тэгш өнцөгт L. Энэ процедурыг үргэлжлүүлснээр бид Латин хэлийг олж авна.

тэнгэрийн талбай. ♦

l n - эхний багана ба эхний эгнээний элементүүд натурал дарааллаар байрласан X = (1, 2, ..., n) олонлогийн элементүүдтэй, n дарааллын латин квадратуудын тоог тэмдэглэе. Энд l n тооны мэдэгдэж буй хэд хэдэн утгын хүснэгт байна.

5. Бодит сөрөг бус элементүүдтэй n × n хэмжээтэй A = (aij) матрицыг гэнэ. хоёр дахин стохастик, Хэрэв