Тэгш өнцөгт трапецын 614 диагональ. Трапецын диагональууд. Трапец хэлбэрийн суурьтай зэрэгцээ шугамын шинж чанарууд

Дахин Пифагорын гурвалжин :))) Хэрэв том сууринаас огтлолцох цэг хүртэлх том диагональ хэсгийг х гэж тэмдэглэсэн бол ижил өнцөг бүхий тэгш өнцөгт гурвалжнуудын илт ижил төстэй байдлаас x / 64 = 36 / гэсэн үг гарч ирнэ. x, тиймээс x = 48; 48/64 = 3 / 4, тиймээс суурь, диагональ ба суурийн перпендикуляр талаас үүссэн БҮХ тэгш өнцөгт гурвалжнууд нь 3,4,5 талтай гурвалжинтай төстэй. Цорын ганц үл хамаарах зүйл бол диагональ ба ташуу талаас үүссэн гурвалжин боловч бид үүнийг сонирхдоггүй :). (Тодорхой болгохын тулд ижил төстэй байдал нь өнцгийн өөр тригонометрийн функцууд юм :) Бид том диагональ ба том суурийн хоорондох өнцгийн тангенсыг аль хэдийн мэддэг, энэ нь 3/4, энэ нь синус нь 3/5 гэсэн үг юм. , мөн косинус нь 4/5 :)) Та шууд бичиж болно

Хариултууд. Доод талын суурь 80 нь 60, дээд хэсэг нь 45 байх болно. (36 * 5/4 = 45, 64 * 5/4 = 80, 100 * 3/5 = 60)

Үүнтэй төстэй ажлууд:

1. Призмийн суурь нь гурвалжин бөгөөд нэг тал нь 2 см, нөгөө хоёр нь 3 см.Хажуугийн ирмэг нь 4 см бөгөөд суурийн хавтгайтай 45 өнцөг үүсгэнэ.Тэнцүүний ирмэгийг ол. - хэмжээтэй шоо.

2. Налуу призмийн суурь нь а талтай тэгш талт гурвалжин; Хажуугийн нэг гадаргуу нь суурийн хавтгайд перпендикуляр бөгөөд жижиг диагональ нь c-тэй тэнцүү ромб юм. Призмийн эзэлхүүнийг ол.

3. Налуу призмд суурь нь тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд түүний гипотенуз нь c-тэй тэнцүү, нэг хурц өнцөг нь 30, хажуугийн ирмэг нь k-тэй тэнцүү бөгөөд суурийн хавтгайтай 60 өнцөг үүсгэнэ.Ол. призмийн эзэлхүүн.

1. Диагональ нь 10 см бол квадратын талыг ол

2. Хоёр талт трапецын мохоо өнцөг суурь нь 4 см, өндөр нь 2 см байхаас 135 градусаар бага, трапецын талбайг олно уу?

3. Трапецын өндөр нь суурийн аль нэгээс 3 дахин их, харин нөгөөгийнх нь хагас нь. Трапецын талбай 168 см квадрат бол түүний суурь ба өндрийг олоорой?

4. ABC гурвалжинд A = B өнцөг = 75 градус байна. Гурвалжны талбай 36 см квадрат бол BC-ийг ол.

1. AB ба CD талуудтай ABCD трапецын диагональууд нь О цэг дээр огтлолцдог.

a) ABD ба ACD гурвалжны талбайг харьцуул

б) ABO ба CDO гурвалжнуудын талбайг харьцуул

в) OA * OB = OC * OD гэдгийг батал

2. Адил өнцөгт гурвалжны суурь нь хажуу талыг нь 4:3 гэж хэлэх ба суурь руу татсан өндөр нь 30см.Энэ өндрийг суурийн өнцгийн биссектрисаар хуваасан хэрчмүүдийг ол.

3. Шугаман AM - тойрогтой шүргэгч, энэ тойргийн AB- хөвч. MAB өнцгийг MAB өнцгийн дотор байрлах AB нумын хагасаар хэмждэг болохыг батал.

1. Трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент нь суурийн зөрүүний талтай тэнцүү байна
2. Трапецын суурь ба тэдгээрийн огтлолцлын цэг хүртэлх диагональуудын сегментээс үүссэн гурвалжнууд ижил төстэй байна.
3. Трапецын диагональуудын сегментүүдээс үүссэн гурвалжингууд нь трапецын хажуу талууд дээр байрладаг - тэнцүү (ижил талбайтай)
4. Хэрэв та трапецын хажуу талыг жижиг суурь руу сунгах юм бол тэдгээр нь суурийн дунд цэгүүдийг холбосон шулуун шугамтай нэг цэг дээр огтлолцоно.
5. Трапецын суурийг холбож, трапецын диагональуудын огтлолцлын цэгийг дайран өнгөрөх сегментийг трапецын суурийн уртын харьцаатай тэнцүү хувь хэмжээгээр энэ цэгт хуваана.
6. Трапецын сууриудтай параллель, диагональуудын огтлолцлын цэгээр зурсан сегментийг энэ цэгээр хагас болгон хувааж, урт нь 2ab / (a ​​+ b) -тэй тэнцүү бөгөөд a ба b нь суурь юм. трапецын

Трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон шугамын сегментийн шинж чанарууд

ABCD трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбоно, үүний үр дүнд бид LM сегменттэй болно.
Трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент, трапецын дунд шугам дээр байрладаг.

Энэ сегмент трапецын суурьтай зэрэгцээ.

Трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегментийн урт нь түүний суурийн хагасын зөрүүтэй тэнцүү байна.

LM = (МЭ - МЭӨ) / 2
эсвэл
LM = (a-b) / 2

Трапецын диагональуудаас үүссэн гурвалжны шинж чанарууд

Трапецын суурь ба трапецын диагональуудын огтлолцох цэгээс үүссэн гурвалжингууд - төстэй байдаг.
BOC ба AOD гурвалжин ижил төстэй. BOC ба AOD өнцгүүд нь босоо тул тэнцүү байна.
OCB ба OAD өнцгүүд нь AD ба BC зэрэгцээ шугамууд (трапецын сууриуд хоорондоо параллель) ба AC таслах шугамтай дотоод хөндлөн огтлолтой тул тэдгээр нь тэнцүү байна.
OBC болон ODA өнцөг нь ижил шалтгаанаар тэнцүү байна (дотоод хөндлөн огтлол).

Нэг гурвалжны гурван өнцөг нь нөгөө гурвалжны харгалзах өнцөгтэй тэнцүү тул эдгээр гурвалжнууд ижил төстэй байна.

Үүнээс юу гарах вэ?

Геометрийн асуудлыг шийдэхийн тулд гурвалжны ижил төстэй байдлыг дараах байдлаар ашигладаг. Хэрэв бид ижил төстэй гурвалжны харгалзах хоёр элементийн уртын утгыг мэддэг бол ижил төстэй байдлын коэффициентийг олно (бид нэгийг нь нөгөөгөөр нь хуваана). Эндээс бусад бүх элементүүдийн уртууд хоорондоо яг ижил утгатай холбоотой байдаг.

Трапецын хажуу ба диагональ дээр байрлах гурвалжны шинж чанарууд

AB ба CD трапецын хажуу тал дээр байрлах хоёр гурвалжинг авч үзье. Эдгээр нь AOB ба COD гурвалжин юм. Эдгээр гурвалжны бие даасан талуудын хэмжээ нь огт өөр байж болох ч гэсэн хажуу талуудаас үүссэн гурвалжны талбайнууд ба трапецын диагональуудын огтлолцлын цэгүүд, өөрөөр хэлбэл гурвалжин нь тэнцүү хэмжээтэй байна.

Хэрэв та трапецын хажуу талыг жижиг суурь руу сунгавал талуудын огтлолцох цэг нь болно. суурийн дунд цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамаар эгнээ.

Тиймээс аливаа трапецийг гурвалжин болгон сунгаж болно. Үүнд:

• Өргөтгөсөн хажуу талуудын огтлолцол дахь нийтлэг оройтой трапецын сууриудаас үүссэн гурвалжин нь ижил төстэй байдаг.
• Трапецын суурийн дунд цэгүүдийг холбосон шулуун шугам нь нэгэн зэрэг баригдсан гурвалжны медиан юм.

Трапецын суурийг холбосон шугамын сегментийн шинж чанарууд

Хэрэв та трапецын диагональуудын (KN) огтлолцох цэг дээр байрлах трапецын суурийн дээр байрлах сегментийг зурвал түүнийг бүрдүүлэгч хэсгүүдийн суурийн хажуугаас тэнхлэг хүртэлх харьцааг тодорхойлно. диагональуудын огтлолцлын цэг (KO / ON) трапецын суурийн харьцаатай тэнцүү байх болно(МЭӨ / МЭ).

KO / ON = МЭӨ / МЭ

Энэ шинж чанар нь харгалзах гурвалжны ижил төстэй байдлаас үүдэлтэй (дээрхийг үзнэ үү).

Трапец хэлбэрийн суурьтай зэрэгцээ шугамын шинж чанарууд

Хэрэв та трапецын суурьтай параллель сегментийг зурж, трапецын диагональуудын огтлолцлын цэгийг дайран өнгөрвөл энэ нь дараахь шинж чанартай байх болно.

• Урьдчилан тогтоосон зай (KM) трапецын диагональуудын огтлолцох цэгийг хагасаар хуваана
• Сегментийн урттрапецын диагональуудын огтлолцлын цэгийг дайран өнгөрөх ба суурийн параллель нь тэнцүү байна. KM = 2ab / (a ​​+ b)

Трапецын диагональуудыг олох томьёо

а, б- трапецын суурь

в, г- трапецын хажуу талууд

d1 d2- трапецын диагональ

α β - трапецын илүү том суурьтай өнцөг

Суурийн суурь, хажуу ба өнцгөөр дамжин трапецын диагональуудыг олох томъёо

Эхний бүлгийн томъёо (1-3) нь трапецын диагональуудын үндсэн шинж чанаруудын нэгийг тусгасан болно.

1. Трапецын диагональуудын квадратуудын нийлбэр нь талуудын квадратуудын нийлбэр дээр суурийн үржвэрийн хоёр дахин үржвэртэй тэнцүү байна. Трапецын диагональуудын энэ шинж чанарыг тусдаа теорем болгон баталж болно

2 ... Энэ томьёог өмнөх томьёог хөрвүүлэх замаар олж авна. Хоёрдахь диагональ квадратыг тэнцүү тэмдгээр шидэж, дараа нь илэрхийллийн зүүн ба баруун талаас квадрат язгуурыг гаргаж авна.

3 ... Трапецын диагоналын уртыг олох энэхүү томьёо нь өмнөхтэй төстэй бөгөөд илэрхийллийн зүүн талд өөр диагональ үлдсэн байдгаараа ялгаатай.

Дараагийн бүлэг томьёо (4-5) нь утгын хувьд ойролцоо бөгөөд ижил төстэй харьцааг илэрхийлдэг.

Томъёоны бүлэг (6-7) нь трапецын том суурь, нэг тал ба суурийн өнцөг нь мэдэгдэж байгаа бол трапецын диагональыг олох боломжийг олгодог.

Трапецын диагональуудыг өндрөөр нь олох томьёо

Анхаарна уу... Энэ хичээл нь трапецын талаархи геометрийн асуудлуудын шийдлийг өгдөг. Хэрэв та сонирхож буй төрлийн геометрийн асуудлын шийдлийг олж чадаагүй бол форум дээр асуулт асуугаарай.

Даалгавар.
ABCD (AD | | BC) трапецын диагональууд О цэгт огтлолцоно.Трапецын суурийн ВС суурийн уртыг олоорой.Хэрэв суурь нь AD = 24 см, урт AO = 9см, урт ОС = 6 см бол.

Шийдэл.
Үзэл суртлын хувьд энэ асуудлыг шийдэх гарц нь өмнөх асуудлуудтай туйлын адил юм.

AOD ба BOC гурвалжин нь гурван өнцөгт ижил төстэй байдаг - AOD ба BOC нь босоо, бусад өнцөг нь нэг шулуун ба хоёр зэрэгцээ шугамын огтлолцолоор үүссэн тул хосоороо тэнцүү байна.

Гурвалжингууд нь ижил төстэй тул тэдгээрийн бүх геометрийн хэмжээсүүд нь хоорондоо холбоотой байдаг тул AO ба OC сегментүүдийн геометрийн хэмжээсүүд нь асуудлын мэдэгдлээс бидэнд мэдэгддэг. Тэр бол

AO / OC = AD / BC
9/6 = 24 / МЭӨ
МЭӨ = 24 * 6/9 = 16

Хариулах: 16 см

Даалгавар.
ABCD трапецын хувьд AD = 24, BC = 8, AC = 13, BD = 5√17 гэдгийг мэддэг. Трапецын талбайг ол.

Шийдэл.
Жижиг суурийн B ба C-ийн оройноос трапецын өндрийг олохын тулд бид хоёр өндрийг том суурь руу буулгана. Трапец тэгш бус тул бид уртыг AM = a, уртыг KD = b () гэж тэмдэглэнэ. томьёоны тэмдэглэгээтэй андуурч болохгүйтрапецын талбайг олох). Трапецын суурь нь параллель бөгөөд том суурьтай перпендикуляр хоёр өндрийг орхигдуулсан тул MBCK нь тэгш өнцөгт болно.

гэсэн үг
AD = AM + BC + KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

DBM ба ACK гурвалжин нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй тул тэдгээрийн тэгш өнцөг нь трапецын өндрөөр үүсгэгддэг. Трапецын өндрийг h гэж тэмдэглэе. Дараа нь Пифагорын теоремоор

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
болон
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

Эхний тэгшитгэлд бид a = 16 - b гэдгийг харгалзан үзнэ
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

Пифагорын теоремоор олж авсан хоёр дахь тэгшитгэлийн өндрийн квадратын утгыг орлуулъя. Бид авах:
425 - (8 + б) 2 + (24 - б) 2 = 169
- (64 + 16б + б) 2 + (24 - б) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64б = -768
b = 12

Тэгэхээр KD = 12
Хаана
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Трапецын талбайг өндрөөр нь ба суурийн нийлбэрийн хагасыг ол
, a b нь трапецын суурь, h нь трапецын өндөр
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 см 2

Хариулах: трапецын талбай нь 80 см 2.

Хэрэв ижил өнцөгт трапецын диагональууд перпендикуляр байвал дараах онолын материал асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэг болно.

1. Хэрэв ижил өнцөгт трапецын диагональууд перпендикуляр байвал трапецын өндөр нь суурийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.

C цэгээр дамжуулан BD-тэй CF шугамыг параллель зурж, AD шугамыг CF-тэй огтлолцох хүртэл сунгана.

Дөрвөн өнцөгт BCFD - параллелограмм (трапецын суурь нь BC∥ DF, хийцээр BD∥ CF). Эндээс CF = BD, DF = BC ба AF = AD + BC.

ACF гурвалжин нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй (хэрэв шугам нь хоёр зэрэгцээ шугамын аль нэгэнд перпендикуляр байвал нөгөө шулуунтай перпендикуляр байна). Хоёр талт трапецын диагональууд нь тэнцүү ба CF = BD байх тул CF = AC, өөрөөр хэлбэл ACF гурвалжин нь AF суурьтай тэгш өнцөгт байна. Энэ нь түүний CN өндөр нь мөн дундаж байна гэсэн үг юм. Гипотенуз руу татсан тэгш өнцөгт гурвалжны медиан нь түүний хагастай тэнцүү байна

гэж ерөнхийд нь бичиж болно

Энд h нь трапецын өндөр, a ба b нь түүний суурь юм.

2. Хэрэв ижил өнцөгт трапецын диагональууд перпендикуляр байвал түүний өндөр нь дунд шугамтай тэнцүү байна.

Трапецын дунд шугам m нь суурийн хагасын нийлбэртэй тэнцүү тул

3. Хэрэв ижил өнцөгт трапецын диагональууд перпендикуляр байвал трапецын талбай нь трапецын өндрийн квадраттай (эсвэл суурийн хагасын нийлбэрийн квадрат эсвэл дунд шугамын квадрат) тэнцүү байна. ).

Трапецын талбайг томъёогоор олдог тул

Перпендикуляр диагональ бүхий ижил өнцөгт трапецын өндөр, суурийн хагасын нийлбэр ба дунд шугам нь хоорондоо тэнцүү байна.

4. Хэрэв ижил өнцөгт трапецын диагональууд перпендикуляр байвал түүний диагональ нь суурийн нийлбэрийн квадратын хагастай тэнцүү, түүнчлэн өндрийн квадратаас хоёр дахин, дунд шугамын квадратаас хоёр дахин их байна.

Гүдгэр дөрвөлжингийн талбайг диагональууд болон тэдгээрийн хоорондох өнцгийг томъёогоор олж болно.