Үлгэрүүд

Конусын тухай ойлголт. Конусыг геометрийн дүрс болгон Конусын генатриксийн урт хэд вэ

Нэг цэгээс (конусын орой) гарч ирдэг ба хавтгай гадаргуугаар дамждаг.

Конус нь хязгаарлагдмал эзэлхүүнтэй биеийн хэсэг бөгөөд хавтгай гадаргуугийн орой ба цэгүүдийг холбосон сегмент бүрийг нэгтгэх замаар олж авдаг. Сүүлийнх нь энэ тохиолдолд байна конусын суурь, конус нь энэ суурь дээр тогтдог гэж үздэг.

Конусын суурь нь олон өнцөгт байх үед энэ нь аль хэдийн байна пирамид .

Дугуй конус- энэ нь тойрог (конусын суурь), энэ тойргийн хавтгайд оршдоггүй цэг (конусын дээд хэсэг ба конусын дээд хэсгийг конусын цэгүүдтэй холбосон бүх сегментүүдээс бүрдсэн бие юм. суурь).

Конусын орой ба суурийн тойргийн цэгүүдийг холбосон сегментүүдийг нэрлэдэг конус үүсгэх. Конусын гадаргуу нь суурь ба хажуугийн гадаргуугаас бүрдэнэ.

Хажуугийн гадаргуугийн талбай зөв байна n- конус хэлбэрээр бичсэн нүүрстөрөгчийн пирамид:

S n =½P n l n,

Хаана Pn- пирамидын суурийн периметр, ба l n- үг.

Үүнтэй ижил зарчмаар: үндсэн радиус бүхий таслагдсан конусын хажуугийн гадаргуугийн талбайн хувьд R 1, R 2болон бүрдүүлэх лБид дараах томъёог авна.

S=(R 1 +R 2)l.

Шулуун ба ташуу дугуй конусууд нь ижил суурь ба өндөртэй. Эдгээр бие нь ижил хэмжээтэй байна:

Конусын шинж чанарууд.

Суурийн талбайн хэмжээ хязгаартай байвал конусын эзэлхүүн нь мөн хязгаартай бөгөөд өндөр ба суурийн талбайн бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Хаана С- суурь талбай, Х- өндөр.

Тиймээс, энэ суурин дээр байрладаг конус бүр нь хавтгай дээр байрладаг оройтой, суурьтай зэрэгцээ, өндөр нь ижил тул ижил эзэлхүүнтэй байна.

Хязгаартай эзэлхүүнтэй конус бүрийн хүндийн төв нь суурийн өндрийн дөрөвний нэг дээр байрладаг.
Зөв дугуй конусын орой дээрх хатуу өнцгийг дараах томъёогоор илэрхийлж болно.

Хаана α - конус нээх өнцөг.

Ийм конусын хажуугийн гадаргуугийн талбай, томъёо:

ба нийт гадаргуугийн талбай (өөрөөр хэлбэл хажуугийн гадаргуу ба суурийн талбайн нийлбэр), томъёо:

S=πR(l+R),

Хаана Р- суурийн радиус, л- генераторын урт.

Дугуй конусын эзэлхүүн, томъёо:

Тасалсан конусын хувьд (зөвхөн шулуун эсвэл дугуй биш) эзэлхүүн, томъёо:

Хаана S 1Тэгээд S 2- дээд ба доод суурийн талбай,

hТэгээд Х- дээд ба доод суурийн хавтгайгаас орой хүртэлх зай.

Зөв дугуй конустай хавтгайн огтлолцол нь конус хэсгүүдийн нэг юм.

Энэ хичээлээр бид конус гэх мэт дүрстэй танилцах болно. Конусын элементүүд болон түүний хэсгүүдийн төрлүүдийг судалж үзье. Мөн конус нь ямар дүрстэй ижил төстэй олон шинж чанартай болохыг олж мэдэх болно.

Зураг 1. Конус хэлбэрийн объектууд

Дэлхий дээр их хэмжээнийзүйлс конус хэлбэртэй байдаг. Ихэнхдээ бид тэднийг анзаардаггүй. Замын ажил, шилтгээн, байшингийн дээвэр, зайрмагны боргоцой - эдгээр бүх объектууд нь конус хэлбэртэй байдаг (1-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 2. Зөв гурвалжин

Хөлтэй дурын тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье (2-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 3. Шулуун дугуй конус

Өгөгдсөн гурвалжныг нэг хөлний эргэн тойронд эргүүлснээр (ерөнхий байдлыг алдагдуулахгүйгээр, энэ нь хөл байх ёстой) гипотенуз нь гадаргууг, хөл нь тойргийг дүрслэх болно. Тиймээс зөв дугуй конус гэж нэрлэгддэг биеийг олж авах болно (3-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 4. Конусын төрөл

Бид шулуун дугуй конусын тухай ярьж байгаа тул шууд бус ба дугуй бус конусын аль аль нь байгаа бололтой? Хэрэв конусын суурь нь тойрог боловч орой нь энэ тойргийн төв рүү чиглээгүй бол ийм конусыг налуу гэж нэрлэдэг. Хэрэв суурь нь тойрог биш, харин дурын дүрс байвал ийм биеийг заримдаа конус гэж нэрлэдэг, гэхдээ мэдээж дугуй биш (4-р зургийг үз).

Тиймээс бид цилиндртэй ажиллахад аль хэдийн танил болсон зүйрлэлд дахин ирлээ. Үнэн хэрэгтээ конус бол пирамидтай адил зүйл бөгөөд пирамид нь суурь дээр олон өнцөгт хэлбэртэй, конус нь (бидний авч үзэх болно) тойрогтой байдаг (5-р зургийг үз).

Конус дотор хаалттай эргэлтийн тэнхлэгийн сегментийг (бидний тохиолдолд энэ нь хөл юм) конусын тэнхлэг гэж нэрлэдэг (6-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 5. Конус ба пирамид

Цагаан будаа. 6. - конусан тэнхлэг

Цагаан будаа. 7. Конусын суурь

Хоёр дахь хөл () эргүүлэх замаар үүссэн тойрог нь конусын суурь гэж нэрлэгддэг (7-р зургийг үз).

Мөн энэ хөлний урт нь конусын суурийн радиус (эсвэл илүү энгийнээр бол конусын радиус) юм (8-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 8. - конусын радиус

Цагаан будаа. 9. - конусын дээд хэсэг

Эргэлтийн тэнхлэг дээр байрлах эргэдэг гурвалжны хурц өнцгийн оройг конусын орой гэж нэрлэдэг (9-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 10. - конусын өндөр

Конусын өндөр нь конусын дээд хэсгээс суурьтай перпендикуляр зурсан сегмент юм (10-р зургийг үз).

Энд танд асуулт гарч ирж магадгүй юм: эргэлтийн тэнхлэгийн сегмент нь конусын өндрөөс хэрхэн ялгаатай вэ? Үнэн хэрэгтээ тэдгээр нь зөвхөн шулуун конус хэлбэрийн хувьд давхцдаг; хэрэв та налуу конусыг харвал эдгээр нь огт өөр хоёр сегмент гэдгийг анзаарах болно (11-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 11. Налуу конус дахь өндөр

Шулуун конус руу буцаж орцгооё.

Цагаан будаа. 12. Конусын генераторууд

Конусын оройг түүний суурийн тойргийн цэгүүдтэй холбосон сегментүүдийг конусын генераторууд гэж нэрлэдэг. Дашрамд хэлэхэд, баруун конусын бүх генераторууд хоорондоо тэнцүү байна (12-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 13. Байгалийн конус хэлбэртэй биетүүд

Грек хэлнээс орчуулсан конос гэдэг нь "нарсны боргоцой" гэсэн утгатай. Байгальд конус хэлбэртэй объектууд хангалттай байдаг: гацуур, уул, шоргоолжны үүр гэх мэт (13-р зургийг үз).

Гэхдээ бид конус шулуун байхад дассан. Энэ нь ижил төрлийн генераторуудтай бөгөөд өндөр нь тэнхлэгтэй давхцдаг. Бид ийм конусыг шулуун конус гэж нэрлэдэг. Сургуулийн геометрийн хичээлд шулуун конусыг ихэвчлэн авч үздэг бөгөөд анхдагчаар аливаа конусыг зөв дугуй хэлбэртэй гэж үздэг. Гэхдээ бид зөвхөн шулуун конусууд төдийгүй налуутай байдаг гэж бид аль хэдийн хэлсэн.

Цагаан будаа. 14. Перпендикуляр огтлол

Шулуун конус руу буцаж орцгооё. Конусыг тэнхлэгт перпендикуляр хавтгайгаар "тайрч авъя" (14-р зургийг үз).

Зүссэн дээр ямар дүрс байх вэ? Мэдээжийн хэрэг, энэ бол тойрог! Онгоц нь тэнхлэгт перпендикуляр, тиймээс тойрог болох суурьтай параллель байгааг санацгаая.

Цагаан будаа. 15. Налуу хэсэг

Одоо огтлолын хавтгайг аажмаар хазайцгаая. Дараа нь бидний тойрог аажмаар улам сунасан зууван болж эхэлнэ. Гэхдээ зөвхөн хэсгийн хавтгай нь үндсэн тойрогтой мөргөлдөх хүртэл (15-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 16. Луувангийн жишээг ашиглан хэсгүүдийн төрлүүд

Дэлхий ертөнцийг туршилтаар судлах дуртай хүмүүс үүнийг лууван, хутганы тусламжтайгаар баталгаажуулж чадна (луувангаас зүсмэлүүдийг өөр өөр өнцгөөр хайчилж үзээрэй) (16-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 17. Конусын тэнхлэгийн хэсэг

Конусын тэнхлэгийг дайран өнгөрч буй хавтгайн хэсгийг конусын тэнхлэгийн хэсэг гэж нэрлэдэг (17-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 18. Хоёр талт гурвалжин - огтлолын дүрс

Энд бид огт өөр огтлолын дүрсийг олж авдаг: гурвалжин. Энэ гурвалжинтэгш өнцөгт байна (18-р зургийг үз).

Энэ хичээлээр бид цилиндр гадаргуу, цилиндрийн төрөл, цилиндрийн элементүүд, цилиндрийн призмтэй ижил төстэй байдлын талаар олж мэдсэн.

Конусын үүсгүүр нь 12 см бөгөөд суурийн хавтгайд 30 градусын өнцөгт налуу байна. Конусын тэнхлэгийн хөндлөн огтлолын талбайг ол.

Шийдэл

Шаардлагатай тэнхлэгийн хэсгийг авч үзье. Энэ бол хажуу тал нь 12 градус, суурийн өнцөг нь 30 градус байх тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Дараа нь та янз бүрийн аргаар үйлдэл хийж болно. Эсвэл та өндрийг зурж, түүнийг (гипотенузын хагас, 6), дараа нь суурийг (Пифагорын теоремыг ашиглан), дараа нь талбайг олж болно.

Цагаан будаа. 19. Асуудлын зураглал

Эсвэл орой дээрх өнцгийг нэн даруй олоорой - 120 градус - талбайг талуудын хагас бүтээгдэхүүн ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синус гэж тооцоолно (хариулт нь ижил байх болно).

Геометр. 10-11-р ангийн сурах бичиг. Атанасян Л.С. болон бусад 18 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2009. - 255 х.
Геометрийн 11-р анги, А.В. Погорелов, М.: Боловсрол, 2002 он
Геометрийн 11-р анги, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков

Yaklass.ru ().
Uztest.ru ().
Bitclass.ru ().

Гэрийн даалгавар

) - нэг цэгээс цацарч буй бүх цацрагийг нэгтгэснээр олж авсан Евклидийн орон зай дахь бие ( оргилуудконус) ба тэгш гадаргуугаар дамжин өнгөрөх. Заримдаа конус нь хязгаарлагдмал эзэлхүүнтэй ийм биеийн хэсэг бөгөөд хавтгай гадаргуугийн орой ба цэгүүдийг холбосон бүх сегментийг нэгтгэх замаар олж авдаг (энэ тохиолдолд сүүлчийнх нь гэж нэрлэдэг). суурьконус, конусыг нэрлэдэг хазайсанҮүний үндсэн дээр). Хэрэв конусын суурь нь олон өнцөгт байвал ийм конус нь пирамид юм.

Нэвтэрхий толь бичиг YouTube

1 / 4

✪ Цааснаас конусыг хэрхэн яаж хийх вэ.

Хадмал орчуулга

Холбогдох тодорхойлолтууд

Орой ба суурийн хилийг холбосон сегментийг нэрлэдэг конусын генатрикс.
Конусын генераторуудын нэгдлийг нэрлэдэг generatrix(эсвэл тал) конус гадаргуу. Конусын үүсэх гадаргуу нь конус гадаргуу юм.
Оройноос суурийн хавтгайд перпендикуляр унасан сегментийг (түүнчлэн ийм сегментийн урт) гэж нэрлэдэг. конусын өндөр.
Конус өнцөг- эсрэг талын хоёр генераторын хоорондох өнцөг (конусын орой дээрх өнцөг, конусын дотор талд).
Хэрэв конусын суурь нь тэгш хэмийн төвтэй (жишээлбэл, тойрог эсвэл эллипс) бөгөөд конусын оройн суурийн хавтгай дээрх ортогональ проекц нь энэ төвтэй давхцаж байвал конусыг гэнэ. шууд. Энэ тохиолдолд суурийн дээд ба төвийг холбосон шулуун шугамыг нэрлэдэг конус тэнхлэг.
Ташуу (налуу) конус - оройн суурь дээрх ортогональ проекц нь түүний тэгш хэмийн төвтэй давхцдаггүй конус.
Дугуй конус- суурь нь тойрог хэлбэртэй конус.
Шулуун дугуй конус(ихэвчлэн зүгээр л конус гэж нэрлэдэг) хөлийг агуулсан шугамын эргэн тойронд тэгш өнцөгт гурвалжинг эргүүлэх замаар олж авч болно (энэ шугам нь конусын тэнхлэгийг илэрхийлдэг).
Зууван, парабол эсвэл гипербол дээр байрладаг конусыг тус тус нэрлэдэг зууван хэлбэртэй, параболикТэгээд гипербол конус(сүүлийн хоёр нь хязгааргүй эзэлхүүнтэй).
Суурь ба суурьтай параллель хавтгайн хооронд байрлах конусын дээд ба суурийн хооронд байрлах хэсгийг гэнэ. тайрсан конус, эсвэл конус давхарга.

Үл хөдлөх хөрөнгө

Хэрэв суурийн талбай хязгаарлагдмал бол конусын эзэлхүүн нь мөн төгсгөлтэй бөгөөд өндөр ба суурийн талбайн бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү байна.

V = 1 3 S H , (\displaystyle V=(1 \3-аас дээш)SH,)

Хаана С- суурь талбай, Х- өндөр. Тиймээс, өгөгдсөн суурин дээр (хязгаарлагдмал талбайтай) байрладаг, өгөгдсөн хавтгай дээр суурьтай параллель байрладаг оройтой бүх конусууд нь өндөр нь тэнцүү тул ижил эзэлхүүнтэй байна.

Хязгаарлагдмал эзэлхүүнтэй аливаа конусын хүндийн төв нь суурийн өндрийн дөрөвний нэг дээр байрладаг.
Зөв дугуй конусын орой дээрх хатуу өнцөг нь тэнцүү байна

2 π (1 − cos ⁡ α 2) , (\displaystyle 2\pi \left(1-\cos (\альфа \2-оос дээш)\баруун),)Энд α нь конусын нээлтийн өнцөг юм.

Ийм конусын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь тэнцүү байна

S = π R l , (\displaystyle S=\pi Rl,)

ба нийт гадаргуугийн талбай (өөрөөр хэлбэл хажуугийн гадаргуу ба суурийн талбайн нийлбэр)

S = π R (l + R), (\displaystyle S=\pi R(l+R),)Хаана Р- суурь радиус, l = R 2 + H 2 (\displaystyle l=(\sqrt (R^(2)+H^(2))))- генераторын урт.

Дугуй (заавал шулуун биш) конусын эзэлхүүн нь тэнцүү байна

V = 1 3 π R 2 H . (\displaystyle V=(1 \3-аас дээш)\pi R^(2)H.)

Таслагдсан конусын хувьд (заавал шулуун ба дугуй биш) эзлэхүүн нь дараахтай тэнцүү байна.

V = 1 3 (H S 2 − h S 1) , (\ displaystyle V=(1 \3-аас дээш)(HS_(2)-hS_(1)),)

Энд S 1 ба S 2 нь дээд (дээд хэсэгт хамгийн ойрхон) ба доод суурийн хэсгүүд юм. hТэгээд Х- дээд ба доод суурийн хавтгайгаас орой хүртэлх зай.

Зөв дугуй конустай хавтгайн огтлолцол нь конус хэсгүүдийн нэг юм (зайрахгүй тохиолдолд - зүсэх онгоцны байрлалаас хамааран эллипс, парабол эсвэл гипербол).

Конус тэгшитгэл

2Θ нээлтийн өнцөг, эхийн орой, тэнхлэгтэй давхцах тэнхлэг бүхий зөв дугуй конусын хажуугийн гадаргууг тодорхойлох тэгшитгэлүүд Оз :

Координат бүхий бөмбөрцөг координатын системд ( r, φ, θ) :

θ = Θ. (\ displaystyle \theta =\Theta.)

Координат бүхий цилиндр координатын системд ( r, φ, z) :

z = r ⋅ ctg ⁡ Θ (\displaystyle z=r\cdot \operatorname (ctg) \Theta )эсвэл r = z ⋅ бор ⁡ Θ . (\displaystyle r=z\cdot \операторын нэр (tg) \Theta.)

Координат бүхий декартын координатын системд (x, y, z) :

z = ± x 2 + y 2 ⋅ ор ⁡ Θ . (\displaystyle z=\pm (\sqrt (x^(2)+y^(2)))\cdot \operatorname (ctg) \Theta .)Энэ тэгшитгэлийг каноник хэлбэрээр бичнэ

тогтмолууд хаана байна а, -тайхарьцаагаар тодорхойлно c / a = cos ⁡ Θ / нүгэл ⁡ Θ . (\displaystyle c/a=\cos \Theta /\sin \Theta.)Энэ нь зөв дугуй конусын хажуугийн гадаргуу нь хоёр дахь эрэмбийн гадаргуу болохыг харуулж байна (үүнийг нэрлэдэг конус гадаргуу). IN ерөнхий үзэлхоёр дахь эрэмбийн конус гадаргуу нь эллипс дээр тулгуурладаг; тохиромжтой декартын координатын системд (тэнхлэг ӨөТэгээд OUэллипсийн тэнхлэгүүдтэй зэрэгцээ, конусын орой нь гарал үүсэлтэй давхцаж, эллипсийн төв нь тэнхлэг дээр байрладаг. Оз) түүний тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 0 , (\displaystyle (\frac (x^(2))(a^(2)))+(\frac (y^(2))( b^(2)))-(\frac (z^(2))(c^(2)))=0,)

болон a/cТэгээд б/вэллипсийн хагас тэнхлэгтэй тэнцүү байна. Хамгийн ерөнхий тохиолдолд конус дурын хавтгай гадаргуу дээр тогтох үед конусын хажуугийн гадаргуугийн тэгшитгэлийг (түүний орой нь эхэнд нь) тэгшитгэлээр өгч болно. f (x , y , z) = 0 , (\displaystyle f(x,y,z)=0,)функц хаана байна f (x , y , z) (\displaystyle f(x,y,z))нэгэн төрлийн, өөрөөр хэлбэл нөхцөлийг хангаж байна f (α x , α y , α z) = α n f (x , y , z) (\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha ^(n)f(x,y) ,z))дурын бодит тооны хувьд α.

Сканнердах

Эргэлтийн бие болох зөв дугуй конус нь нэг хөлийг тойрон эргэдэг тэгш өнцөгт гурвалжингаас үүсдэг. h- суурийн төвөөс орой хүртэлх конусын өндөр нь хөл юм зөв гурвалжин, эргэн тойронд нь эргэлт үүсдэг. Тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр дахь хөл r- конусын суурь дахь радиус. Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз нь л- конус үүсгэх.

Конус скан үүсгэхийн тулд зөвхөн хоёр хэмжигдэхүүнийг ашиглаж болно rТэгээд л. Суурийн радиус rхөгжилд конусын суурийн тойргийг тодорхойлж, конусын хажуугийн гадаргуугийн секторыг хажуугийн гадаргуугийн generatrix-аар тодорхойлно. л, энэ нь хажуугийн гадаргуугийн секторын радиус юм. Салбарын өнцөг φ (\displaystyle \varphi)конусын хажуугийн гадаргууг боловсруулахдаа дараахь томъёогоор тодорхойлно.

φ = 360° ( r/л) .

Конус (илүү нарийвчлалтай, дугуй конус) нь тойрог - конусын суурь, энэ тойргийн хавтгайд ороогүй цэг - конусын орой ба конусын дээд хэсгийг холбосон бүх сегментээс бүрдэх бие юм. суурийн цэгүүдтэй (Зураг 1) Конусын оройг суурийн тойргийн цэгүүдтэй холбосон шугамын хэсгүүдийг конусын генератор гэнэ. Конусын бүх генераторууд хоорондоо тэнцүү байна. Конусын гадаргуу нь суурь ба хажуугийн гадаргуугаас бүрдэнэ.
Цагаан будаа. 1
Конусын оройг суурийн төвтэй холбосон шулуун нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байвал конусыг шулуун гэнэ. Харааны хувьд шулуун дугуй конусыг тэнхлэг болгон хөлөө тойруулан тэгш өнцөгт гурвалжинг эргүүлснээр олж авсан бие гэж төсөөлж болно (Зураг 2).
Цагаан будаа. 2
Конусын өндөр нь түүний оройноос суурийн хавтгайд буусан перпендикуляр юм. Шулуун конусын хувьд өндрийн суурь нь суурийн төвтэй давхцдаг. Зөв дугуй конусын тэнхлэг нь түүний өндрийг агуулсан шулуун шугам юм.
Конусын оройгоороо дайран өнгөрч буй хавтгайн зүсэлт нь ижил өнцөгт гурвалжин бөгөөд түүний талууд нь конус үүсгэдэг (Зураг 3). Ялангуяа ижил өнцөгт гурвалжин нь конусын тэнхлэгийн хэсэг юм. Энэ нь конусын тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх хэсэг юм (Зураг 4).
Цагаан будаа. 3 Зураг. 4

Конусын гадаргуугийн талбай
Цилиндрийн хажуугийн гадаргуутай адил конусын хажуугийн гадаргууг генератрикийн аль нэгний дагуу огтолж, хавтгай руу эргүүлж болно (Зураг 2, a, b). Конусын хажуугийн гадаргуугийн хөгжил нь дугуй хэлбэртэй салбар (Зураг 2.6) бөгөөд радиус нь конусын generatrix-тэй тэнцүү бөгөөд секторын нумын урт нь конусын суурийн тойрог юм.
Конусын хажуугийн гадаргуугийн талбайг түүний хөгжлийн талбай гэж үздэг. Конусын хажуугийн гадаргуугийн S талбайг түүний generatrix l ба суурийн r радиусаар илэрхийлье.
Тойрог хэсгийн талбай - конусын хажуугийн гадаргуугийн хөгжил (Зураг 2) нь (Pl2a)/360-тай тэнцүү бөгөөд энд a нь ABA нумын градусын хэмжүүр юм.
Хажуу тал = (Pl2a)/360. (*)
a-г l ба r-ээр илэрхийлье. ABA" нумын урт нь 2Pr (конусын суурийн тойрог) -тай тэнцүү тул 2Pr = Pla/180, үүнээс a=360r/l. Энэ илэрхийлэлийг (*) томьёогоор орлуулбал бид дараахийг авна.
Sside = Prl. (**)
Тиймээс конусын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь суурь ба генатриксын тойргийн хагасын үржвэртэй тэнцүү байна.
Конусын нийт гадаргуугийн талбай нь хажуугийн гадаргуу ба суурийн талбайн нийлбэр юм. Конусын нийт гадаргуугийн Scon талбайг тооцоолохын тулд томъёог авна: Scon = Pr (l + r). (***)

Фрустум
Дурын конусыг авч, түүний тэнхлэгт перпендикуляр зүсэх хавтгайг зуръя. Энэ онгоц нь конустай тойрог хэлбэрээр огтолж, конусыг хоёр хэсэгт хуваадаг. Нэг хэсэг нь конус, нөгөө хэсэг нь таслагдсан конус гэж нэрлэгддэг. Анхны конусын суурь ба энэ конусыг хавтгайгаар зүсэх замаар олж авсан тойргийг тайрсан конусын суурь гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн төвүүдийг холбосон сегментийг таслагдсан конусын өндөр гэж нэрлэдэг.

Таслагдсан конусыг холбосон конус гадаргуугийн хэсгийг түүний хажуугийн гадаргуу гэж нэрлэдэг ба суурийн хооронд хаалттай конусан гадаргуугийн генератрисын сегментүүдийг таслагдсан конусын генераторууд гэж нэрлэдэг. Таслагдсан конусын бүх генераторууд хоорондоо тэнцүү байна (үүнийг өөрөө нотлох).
Таслагдсан конусын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь суурь ба генераторын тойргийн уртын нийлбэрийн хагасын үржвэртэй тэнцүү байна: Sside = P (r + r1) l.

Конусын тухай нэмэлт мэдээлэл
1. Геологид “сэнс” гэсэн ойлголт байдаг. Энэ бол задралын чулуулаг (хайрга, хайрга, элс) хуримтлагдсанаас үүссэн газрын хэлбэр юм. уулын голуудуулын бэл, илүү өргөн хөндий рүү.
2. Биологид “өсөлтийн конус” гэсэн ойлголт байдаг. Энэ бол боловсролын эд эсийн эсүүдээс бүрдэх ургамлын найлзуур ба үндэсийн үзүүр юм.
3. Гэр бүлийг “боргоцой” гэдэг. далайн нялцгай биетүүдпрособранхуудын дэд ангилал. Бүрхүүл нь конус хэлбэртэй (2-16 см), тод өнгөтэй. 500 гаруй төрлийн боргоцой байдаг. Тэд халуун орны болон субтропикийн бүсэд амьдардаг, махчин амьтан бөгөөд хорт булчирхайтай байдаг. Конусыг хазах нь маш их өвддөг. Үхэл нь мэдэгдэж байна. Бүрхүүлийг чимэглэл, бэлэг дурсгалын зүйл болгон ашигладаг.
4. Статистикийн мэдээгээр дэлхий дээр жил бүр 1 сая хүн ам тутамд 6 хүн аянга бууж нас бардаг (илүү ихэвчлэн өмнөд орнуудад). Аюулгүйн конус үүсдэг тул хаа сайгүй аянгын саваа байсан бол ийм зүйл болохгүй. Аянга өндөр байх тусам ийм конусын эзэлхүүн их байх болно. Зарим хүмүүс модны доорх хаягдлаас нуугдах гэж оролддог боловч мод нь дамжуулагч биш, цэнэг нь түүн дээр хуримтлагддаг бөгөөд мод нь хүчдэлийн эх үүсвэр болдог.
5. Физикт “хатуу өнцөг” гэсэн ойлголт тааралддаг. Энэ бол бөмбөлөг болгон зүссэн конус хэлбэрийн өнцөг юм. Хатуу өнцгийн нэгж нь 1 стерадиан байна. 1 стерадиан нь радиус нь квадрат хэлбэртэй хатуу өнцөг юм талбайтай тэнцүүтүүний хайчилж байгаа бөмбөрцгийн нэг хэсэг. Хэрэв бид энэ буланд 1 кандела (1 лаа) гэрлийн эх үүсвэрийг байрлуулбал бид 1 люмен гэрлийн урсгалыг авах болно. Кино камер эсвэл гэрэлтүүлгийн гэрэл нь конус хэлбэрээр тархдаг.