Тоглоомууд

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив нь тэнцүү байна. Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив. Хүч-экспоненциал функцийн дериватив

Математикийн физикийн асуудал эсвэл жишээг шийдвэрлэх нь дериватив, түүнийг тооцоолох аргуудын талаар мэдлэггүйгээр бүрэн боломжгүй юм. Дериватив нь математик шинжилгээний хамгийн чухал ойлголтуудын нэг юм. Бид өнөөдрийн нийтлэлийг энэ үндсэн сэдэвт зориулахаар шийдлээ. Дериватив гэж юу вэ, түүний физик, геометрийн утга нь юу вэ, функцийн деривативыг хэрхэн тооцоолох вэ? Эдгээр бүх асуултыг нэг дор нэгтгэж болно: деривативыг хэрхэн ойлгох вэ?

Деривативын геометрийн болон физикийн утга

Функц байх болтугай f(x) , тодорхой интервалд заасан (а, б) . x ба x0 цэгүүд энэ интервалд хамаарна. X өөрчлөгдөхөд функц нь өөрөө өөрчлөгддөг. Аргументыг өөрчлөх - түүний утгуудын ялгаа x-x0 . Энэ ялгааг дараах байдлаар бичнэ дельта x ба аргументийн өсөлт гэж нэрлэдэг. Функцийн өөрчлөлт эсвэл өсөлт нь хоёр цэг дэх функцийн утгуудын зөрүү юм. Деривативын тодорхойлолт:

Тухайн цэг дэх функцийн үүсмэл утга нь өгөгдсөн цэг дэх функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар нь тэг байх хандлагатай байдаг.

Үгүй бол дараах байдлаар бичиж болно.

Ийм хязгаар олох нь ямар учиртай юм бэ? Энэ нь юу болохыг энд харуулав:

цэг дээрх функцийн уламжлал нь OX тэнхлэгийн хоорондох өнцгийн тангенс ба тухайн цэг дэх функцийн графиктай шүргэгчтэй тэнцүү байна.

Деривативын физик утга: цаг хугацааны хувьд замын дериватив нь шулуун хөдөлгөөний хурдтай тэнцүү байна.

Сургуулийн наснаас хойш хүн бүр хурд бол тодорхой зам гэдгийг мэддэг x=f(t) ба цаг хугацаа т . Тодорхой хугацааны дундаж хурд:

Цаг мөчид хөдөлгөөний хурдыг олж мэдэх t0 Та хязгаарыг тооцоолох хэрэгтэй:

Нэгдүгээр дүрэм: тогтмолыг тохируулах

Тогтмолыг дериватив тэмдгээс гаргаж авч болно. Түүнээс гадна үүнийг хийх ёстой. Математикийн жишээг шийдвэрлэхдээ үүнийг дүрмээр аваарай - Хэрэв та илэрхийлэлийг хялбарчилж чадвал түүнийг хялбарчлахаа мартуузай .

Жишээ. Деривативыг тооцоолъё:

Хоёрдугаар дүрэм: функцүүдийн нийлбэрийн дериватив

Хоёр функцийн нийлбэрийн дериватив нь эдгээр функцүүдийн деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Функцийн зөрүүний деривативын хувьд ч мөн адил.

Бид энэ теоремын баталгааг өгөхгүй, харин практик жишээг авч үзэх болно.

Функцийн деривативыг ол:

Гуравдугаар дүрэм: функцүүдийн үржвэрийн дериватив

Хоёр дифференциалагдах функцийн үржвэрийн деривативыг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Жишээ нь: функцийн деривативыг ол:

Шийдэл:

Энд нарийн төвөгтэй функцүүдийн деривативыг тооцоолох талаар ярих нь чухал юм. Комплекс функцийн дериватив нь завсрын аргументтай харьцуулахад энэ функцийн деривативын үржвэртэй, бие даасан хувьсагчтай холбоотой завсрын аргументийн деривативтай тэнцүү байна.

Дээрх жишээн дээр бид дараах илэрхийлэлтэй тулгардаг.

Энэ тохиолдолд завсрын аргумент нь тав дахь зэрэглэлд 8x байна. Ийм илэрхийллийн деривативыг тооцоолохын тулд эхлээд завсрын аргументтай холбоотойгоор гадаад функцийн деривативыг тооцож, дараа нь бие даасан хувьсагчийн хувьд завсрын аргументийн деривативаар үржүүлнэ.

Дөрөвдүгээр дүрэм: хоёр функцийн хуваалтын дериватив

Хоёр функцийн хуваалтын деривативыг тодорхойлох томъёо:

Бид даммигийн деривативын талаар эхнээс нь ярихыг хичээсэн. Энэ сэдэв нь тийм ч энгийн зүйл биш тул анхааруулах хэрэгтэй: жишээнүүдэд алдаанууд ихэвчлэн гардаг тул деривативыг тооцоолохдоо болгоомжтой байгаарай.

Энэ болон бусад сэдвээр асуух зүйл байвал оюутны үйлчилгээтэй холбогдож болно. Богино хугацаанд бид танд хамгийн хэцүү сорилтыг шийдэж, даалгавруудыг ойлгоход туслах болно, тэр ч байтугай та урьд өмнө хэзээ ч дериватив тооцоо хийж байгаагүй.

Санахад маш амархан.

За, хол явахгүй, урвуу функцийг шууд авч үзье. Аль функц нь экспоненциал функцийн урвуу функц вэ? Логарифм:

Манай тохиолдолд суурь нь дараах тоо юм.

Ийм логарифмийг (өөрөөр хэлбэл суурьтай логарифм) "байгалийн" гэж нэрлэдэг бөгөөд бид үүнд зориулж тусгай тэмдэглэгээ ашигладаг: бид оронд нь бичдэг.

Энэ нь юутай тэнцүү вэ? Мэдээжийн хэрэг, .

Байгалийн логарифмын дериватив нь маш энгийн:

Жишээ нь:

Функцийн деривативыг ол.
Функцийн дериватив нь юу вэ?

Хариултууд: Экспоненциал болон натурал логарифм нь дериватив талаас нь авч үзвэл маш энгийн функцууд юм. Бусад суурьтай экспоненциал болон логарифм функцууд нь өөр деривативтай байх бөгөөд бид үүнийг ялгах дүрмийг дараалан шинжлэх болно.

Ялгах дүрэм

Юуны дүрэм? Ахиад л шинэ нэр томъёо, дахиад?!...

Ялгаварлахдеривативыг олох үйл явц юм.

Тэгээд л болоо. Энэ үйл явцыг нэг үгээр өөр юу гэж нэрлэх вэ? Дериватив биш... Математикчид дифференциалыг функцийн ижил өсөлт гэж нэрлэдэг. Энэ нэр томъёо нь Латин дифференциас - ялгаа гэсэн үгнээс гаралтай. Энд.

Эдгээр бүх дүрмийг гаргахдаа бид хоёр функцийг ашиглах болно, жишээ нь, ба. Бидэнд мөн тэдгээрийн өсөлтийн томъёо хэрэгтэй болно:

Нийтдээ 5 дүрэм байдаг.

Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна.

Хэрэв - зарим тогтмол тоо (тогтмол), дараа нь.

Мэдээжийн хэрэг, энэ дүрэм нь мөн ялгаад ажилладаг: .

Үүнийг баталцгаая. Байг, эсвэл илүү энгийн.

Жишээ.

Функцийн деривативуудыг ол:

нэг цэг дээр;
нэг цэг дээр;
нэг цэг дээр;
цэг дээр.

Шийдэл:

(шугаман функц учраас дериватив нь бүх цэг дээр ижил байна, санаж байна уу?);

Бүтээгдэхүүний дериватив

Энд бүх зүйл ижил байна: шинэ функцийг нэвтрүүлж, түүний өсөлтийг олцгооё:

Дериватив:

Жишээ нь:

Функцийн деривативыг олох ба;
Тухайн цэг дээрх функцийн деривативыг ол.

Шийдэл:

Экспоненциал функцийн дериватив

Одоо таны мэдлэг зөвхөн илтгэгчийг бус аливаа экспоненциал функцийн деривативыг хэрхэн олохыг сурахад хангалттай (та энэ юу болохыг мартсан уу?).

Тэгэхээр хэдэн тоо хаана байна.

Бид функцийн деривативыг аль хэдийн мэдэж байгаа тул функцээ шинэ суурь руу оруулахыг хичээцгээе.

Үүнийг хийхийн тулд бид энгийн дүрмийг ашиглах болно: . Дараа нь:

За, бүтсэн. Одоо деривативыг олохыг хичээ, энэ функц нь нарийн төвөгтэй гэдгийг мартаж болохгүй.

Болсон уу?

Энд өөрийгөө шалгана уу:

Томъёо нь экспонентийн деривативтай маш төстэй болж хувирав: энэ нь хэвээр үлдэж, зөвхөн нэг хүчин зүйл гарч ирсэн бөгөөд энэ нь зүгээр л тоо боловч хувьсагч биш юм.

Жишээ нь:
Функцийн деривативуудыг ол:

Хариултууд:

Энэ бол зүгээр л тооны машингүйгээр тооцоолох боломжгүй, өөрөөр хэлбэл энгийн хэлбэрээр бичих боломжгүй тоо юм. Тиймээс бид үүнийг хариултдаа энэ хэлбэрээр үлдээж байна.

Энд хоёр функцийн коэффициент байгаа тул бид харгалзах ялгах дүрмийг хэрэглэнэ.

Энэ жишээнд хоёр функцийн үржвэр:

Логарифм функцийн дериватив

Энэ нь үүнтэй төстэй: та байгалийн логарифмын деривативыг аль хэдийн мэддэг болсон.

Тиймээс өөр суурьтай дурын логарифмийг олохын тулд, жишээлбэл:

Бид энэ логарифмыг суурь болгон багасгах хэрэгтэй. Логарифмын суурийг хэрхэн өөрчлөх вэ? Та энэ томъёог санаж байна гэж найдаж байна:

Зөвхөн одоо бид оронд нь бичих болно:

Хуваагч нь зүгээр л тогтмол (хувьсагчгүй тогтмол тоо) юм. Деривативыг маш энгийнээр олж авдаг:

Экспоненциал ба логарифм функцүүдийн деривативууд нь Улсын нэгдсэн шалгалтанд бараг хэзээ ч олддоггүй, гэхдээ тэдгээрийг мэдэх нь илүүц байх болно.

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.

"Цогц функц" гэж юу вэ? Үгүй ээ, энэ бол логарифм биш, арктангенс ч биш. Эдгээр функцийг ойлгоход хэцүү байж болох юм (хэдийгээр танд логарифм хийхэд хэцүү гэж үзвэл "Логарифм" сэдвийг уншвал зүгээр байх болно), гэхдээ математикийн үүднээс авч үзвэл "цогцолбор" гэдэг нь "хэцүү" гэсэн үг биш юм.

Жижиг туузан дамжуулагчийг төсөөлөөд үз дээ: хоёр хүн сууж, зарим объекттой зарим үйлдэл хийж байна. Жишээлбэл, эхнийх нь шоколадны баарыг боодол дээр боож, хоёр дахь нь туузаар холбодог. Үр дүн нь нийлмэл объект юм: шоколадны баар ороож, туузаар холбосон. Шоколадны баар идэхийн тулд урвуу дарааллаар урвуу алхмуудыг хийх хэрэгтэй.

Үүнтэй төстэй математик шугамыг бүтээцгээе: эхлээд бид тооны косинусыг олж, дараа нь гарсан тоог квадрат болгоно. Тиймээс, бидэнд тоо (шоколад) өгөгдсөн, би түүний косинусыг (боодол) олоод, дараа нь та миний авсан зүйлийг квадрат болго (туузаар боож). Юу болсон бэ? Чиг үүрэг. Энэ бол нарийн төвөгтэй функцийн жишээ юм: утгыг олохын тулд бид эхний үйлдлийг хувьсагчтай шууд хийж, дараа нь эхний үйлдлээс үүссэн хоёр дахь үйлдлийг гүйцэтгэдэг.

Өөрөөр хэлбэл, нийлмэл функц нь аргумент нь өөр функц болох функц юм: .

Бидний жишээн дээр, .

Бид ижил алхмуудыг урвуу дарааллаар хялбархан хийж чадна: эхлээд та үүнийг квадрат болго, дараа нь би гарсан тооны косинусыг хайна: . Үр дүн нь бараг үргэлж өөр байх болно гэдгийг таахад хялбар байдаг. Нарийн төвөгтэй функцүүдийн чухал шинж чанар: үйлдлийн дараалал өөрчлөгдөхөд функц өөрчлөгддөг.

Хоёр дахь жишээ: (ижил зүйл). .

Бидний хамгийн сүүлд хийх үйлдлийг дуудах болно "гадаад" функц, мөн эхний гүйцэтгэсэн үйлдэл - үүний дагуу "дотоод" функц(эдгээр нь албан бус нэрс, би зөвхөн материалыг энгийн хэлээр тайлбарлахад ашигладаг).

Аль функц нь гадаад, аль нь дотоод гэдгийг өөрөө тодорхойлохыг хичээ.

Хариултууд:Дотоод болон гадаад функцийг салгах нь хувьсагчийг өөрчлөхтэй маш төстэй: жишээлбэл, функцэд

Бид хамгийн түрүүнд ямар үйлдэл хийх вэ? Эхлээд синусыг тооцоод дараа нь шоо болгоё. Энэ нь дотоод функц, гэхдээ гадаад шинж чанартай гэсэн үг юм.
Мөн анхны функц нь тэдний найрлага юм: .
Дотоод: ; гадна: .
Шалгалт: .
Дотоод: ; гадна: .
Шалгалт: .
Дотоод: ; гадна: .
Шалгалт: .
Дотоод: ; гадна: .
Шалгалт: .

Бид хувьсагчдыг сольж, функцийг авдаг.

За, одоо бид шоколадаа гаргаж аваад деривативыг хайх болно. Процедур нь үргэлж эсрэгээрээ байдаг: эхлээд бид гадаад функцийн деривативыг хайж, дараа нь үр дүнг дотоод функцийн деривативаар үржүүлнэ. Анхны жишээтэй холбоотойгоор дараах байдалтай байна.

Өөр нэг жишээ:

Ингээд эцэст нь албан ёсны дүрмийг томъёолъё:

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:

Энэ нь энгийн юм шиг санагдаж байна, тийм үү?

Жишээнүүдээр шалгацгаая:

Шийдэл:

1) Дотоод: ;

Гадна: ;

2) Дотоод: ;

(Одоогоор таслах гэж бүү оролдоорой! Косинусын доороос юу ч гарахгүй, санаж байна уу?)

3) Дотоод: ;

Гадна: ;

Энэ нь гурван түвшний нарийн төвөгтэй функц болох нь шууд тодорхой байна: эцэст нь энэ нь өөрөө нарийн төвөгтэй функц бөгөөд бид үүнээс үндсийг нь гаргаж авдаг, өөрөөр хэлбэл бид гурав дахь үйлдлийг гүйцэтгэдэг (шоколадыг боодол дээр хийнэ) мөн цүнхэнд туузтай). Гэхдээ айх шалтгаан байхгүй: бид энэ функцийг ердийнх шигээ дарааллаар нь "тайлах" болно: эцсээс нь.

Өөрөөр хэлбэл, бид эхлээд үндсийг, дараа нь косинусыг, дараа нь хаалтанд байгаа илэрхийлэлийг ялгадаг. Тэгээд бид бүгдийг нь үржүүлнэ.

Ийм тохиолдолд үйлдлүүдийг дугаарлах нь тохиромжтой. Энэ нь юу мэддэгээ төсөөлөөд үз дээ. Энэ илэрхийллийн утгыг тооцоолох үйлдлийг бид ямар дарааллаар гүйцэтгэх вэ? Нэг жишээг харцгаая:

Үйлдлийг хожим гүйцэтгэх тусам харгалзах функц нь "гадаад" байх болно. Үйлдлүүдийн дараалал нь өмнөхтэй адил байна:

Энд үүрлэх нь ерөнхийдөө 4 түвшинтэй байдаг. Үйлдлийн дарааллыг тодорхойлъё.

1. Радикал илэрхийлэл. .

2. Үндэс. .

3. Синус. .

4. Дөрвөлжин. .

5. Бүгдийг нэгтгэх нь:

ҮҮСГЭЛ. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Функцийн дериватив- функцийн өсөлтийг аргументийн хязгааргүй бага өсөлтийн аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаа:

Үндсэн деривативууд:

Ялгах дүрэм:

Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна:

Нийлбэрийн дериватив:

Бүтээгдэхүүний дериватив:

Хэсгийн дериватив:

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив:

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:

Бид "дотоод" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
Бид "гадаад" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
Бид эхний болон хоёр дахь цэгүүдийн үр дүнг үржүүлдэг.

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативын томъёог ашиглан деривативыг тооцоолох жишээг үзүүлэв.

Агуулга

Мөн үзнэ үү: Нарийн төвөгтэй функцийн деривативын томъёоны баталгаа

Үндсэн томъёо

Дараах функцүүдийн деривативыг тооцоолох жишээг энд харуулав.
; ; ; ; .

Хэрэв функцийг нийлмэл функцээр дараах хэлбэрээр дүрсэлж чадвал:
,
Дараа нь түүний деривативыг дараахь томъёогоор тодорхойлно.
.
Доорх жишээнүүдэд бид энэ томъёог дараах байдлаар бичнэ.
.
Хаана.
Энд үүсмэл тэмдгийн доор байрлах дэд тэмдэгтүүд буюу , ялгах хийгдэх хувьсагчдыг илэрхийлнэ.

Ихэвчлэн деривативын хүснэгтэд x хувьсагчаас функцүүдийн деривативуудыг өгдөг. Гэсэн хэдий ч x нь албан ёсны параметр юм. x хувьсагчийг өөр ямар ч хувьсагчаар сольж болно. Тиймээс функцийг хувьсагчаас ялгахдаа бид деривативын хүснэгт дэх х хувьсагчийг u хувьсагч болгон өөрчилдөг.

Энгийн жишээнүүд

Жишээ 1

Комплекс функцийн деривативыг ол
.

Өгөгдсөн функцийг эквивалент хэлбэрээр бичье.
.
Деривативын хүснэгтээс бид дараахь зүйлийг олно.
;
.

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативын томъёоны дагуу бид дараах байдалтай байна.
.
Энд.

Жишээ 2

Деривативыг ол
.

Бид үүсмэл тэмдгээс тогтмол 5-ыг авч, деривативын хүснэгтээс олж авна.
.

.
Энд.

Жишээ 3

Деривативыг ол
.

Бид тогтмолыг гаргаж авдаг -1 Деривативын тэмдгийн хувьд болон деривативын хүснэгтээс бид дараахь зүйлийг олно.
;
Деривативын хүснэгтээс бид дараахь зүйлийг олно.
.

Бид нарийн төвөгтэй функцийн деривативын томъёог ашигладаг.
.
Энд.

Илүү төвөгтэй жишээнүүд

Илүү төвөгтэй жишээн дээр бид нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг хэд хэдэн удаа ашигладаг. Энэ тохиолдолд бид деривативыг төгсгөлөөс нь тооцдог. Өөрөөр хэлбэл, бид функцийг түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд хувааж, ашиглан хамгийн энгийн хэсгүүдийн деривативуудыг олдог деривативын хүснэгт. Бид ч бас ашигладаг нийлбэрийг ялгах дүрэм, бүтээгдэхүүн ба бутархай. Дараа нь бид орлуулалт хийж, нийлмэл функцийн деривативын томъёог хэрэглэнэ.

Жишээ 4

Деривативыг ол
.

Томъёоны хамгийн энгийн хэсгийг сонгоод деривативыг нь олъё. .

.
Энд бид тэмдэглэгээг ашигласан
.

Бид олж авсан үр дүнг ашиглан анхны функцийн дараагийн хэсгийн деривативыг олно. Бид нийлбэрийг ялгах дүрмийг ашигладаг:
.

Дахин нэг удаа бид нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрмийг ашигладаг.

.
Энд.

Жишээ 5

Функцийн деривативыг ол
.

Томъёоны хамгийн энгийн хэсгийг сонгоод деривативын хүснэгтээс уламжлалыг олъё. .

Бид нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрмийг ашигладаг.
.
Энд
.

Хүлээн авсан үр дүнг ашиглан дараагийн хэсгийг ялгаж үзье.
.
Энд
.

Дараагийн хэсгийг ялгаж үзье.

.
Энд
.

Одоо бид хүссэн функцийн деривативыг оллоо.

.
Энд
.

Мөн үзнэ үү:

Энэ хичээл нь "Ногцолбор функцийг ялгах" сэдэвт зориулагдсан болно. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтад бэлдэх дадлагаас гарсан асуудал." Энэ хичээл нь нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах талаар судлах болно. Нарийн төвөгтэй функцийн деривативын хүснэгтийг эмхэтгэсэн. Нэмж дурдахад математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх дадлагаас асуудлыг шийдвэрлэх жишээг авч үзсэн болно.

Сэдэв: Дериватив

Хичээл: Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх дадлагын даалгавар

ЦогцолборфункцБид аль хэдийн ялгасан боловч аргумент нь шугаман функц байсан, тухайлбал, функцийг хэрхэн ялгахаа мэддэг. Жишээлбэл, . Яг үүнтэй адил бид шугаман функцийн оронд өөр функц байж болох цогц функцийн деривативуудыг олох болно.

Функцээс эхэлье

Тиймээс бид синусын аргумент нь квадрат функц байсан цогц функцээс синусын деривативыг олсон.

Хэрэв та тодорхой цэг дээр деривативын утгыг олох шаардлагатай бол энэ цэгийг олсон деривативт орлуулах ёстой.

Тиймээс бид хоёр жишээгээр дүрэм хэрхэн ажилладагийг харав ялгахцогцолбор функцууд.

3. . Үүнийг сануулъя.

8. .

Тиймээс бид энэ үе шатанд нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах хүснэгтийг дуусгах болно. Цаашид мэдээжийн хэрэг, энэ нь илүү ерөнхий байх болно, гэхдээ одоо дериватив дээр тодорхой асуудлууд руу шилжье.

Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх практикт дараахь ажлуудыг санал болгож байна.

Функцийн хамгийн бага утгыг ол .

ОДЗ: .

Деривативыг олцгооё. Үүнийг эргэн санацгаая, .

Деривативыг тэгтэй тэнцүүлье. Цэг нь ODZ-д багтсан болно.

Деривативын тогтмол тэмдгийн интервалуудыг (функцийн монотон байдлын интервалууд) олъё (1-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 1. Функцийн монотоникийн интервалууд .

Нэг цэгийг харцгаая, энэ нь туйлын цэг мөн эсэхийг олж мэдье. Экстремумын хангалттай шинж тэмдэг нь цэгээр дамжин өнгөрөх үед дериватив тэмдэг өөрчлөгддөг. Энэ тохиолдолд дериватив нь тэмдгийг өөрчилдөг бөгөөд энэ нь экстремум цэг гэсэн үг юм. Дериватив тэмдэг нь "-" -ээс "+" болж өөрчлөгддөг тул энэ нь хамгийн бага цэг юм. Функцийн хамгийн бага цэг дээрх утгыг олъё: . Диаграммыг зурцгаая (2-р зургийг үз).

Зураг 2. Функцийн экстремум .

Интервал дээр - функц буурч, дээр - функц нэмэгдэж, экстремум цэг нь өвөрмөц юм. Функц хамгийн бага утгыг зөвхөн цэг дээр авдаг.

Хичээлийн үеэр бид нарийн төвөгтэй функцүүдийн ялгааг судалж, хүснэгтийг эмхэтгэж, нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг судалж, Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх практикт дериватив ашиглах жишээг үзүүлэв.

1. Алгебр ба шинжилгээний эхлэл, 10-р анги (хоёр хэсэг). Ерөнхий боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг (профайлын түвшин), хэвлэл. A. G. Мордкович. -М.: Мнемосине, 2009.

2. Алгебр ба шинжилгээний эхлэл, 10-р анги (хоёр хэсэг). Боловсролын байгууллагуудад зориулсан асуудлын ном (профайлын түвшин), ed. A. G. Мордкович. -М.: Мнемосине, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. 10-р ангийн алгебр, математикийн анализ (математикийн гүнзгийрүүлсэн сургалттай сургууль, ангийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг).

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Алгебр, математик анализын гүнзгийрүүлсэн судалгаа.-М.: Боловсрол, 1997.

5. Дээд боловсролын байгууллагад элсэгчдэд зориулсан математикийн асуудлын цуглуулга (М.И. Сканави хянан засварласан - М.: Дээд сургууль, 1992).

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебрийн симулятор.-К.: A.S.K., 1997.

7. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебр ба анализын эхлэл. 8-11 анги: Математикийн гүнзгийрүүлсэн сургалттай сургууль, ангиудад зориулсан гарын авлага (дидактик материал) - М.: Bustard, 2002.

8. Сахакян С.М., Голдман А.М., Денисов Д.В. Алгебрийн асуудал ба шинжилгээний зарчмууд (ерөнхий боловсролын сургуулийн 10-11-р ангийн сурагчдад зориулсан гарын авлага - М.: Просвещение, 2003).

9. Карп А.П. Алгебрийн асуудлын цуглуулга ба шинжилгээний зарчмууд: сурах бичиг. 10-11 ангийн тэтгэмж. гүнтэй суралцсан Математик.-М.: Боловсрол, 2006.

10. Глэйзер Г.И. Сургуулийн математикийн түүх. 9-10-р анги (багш нарт зориулсан гарын авлага).-М.: Боловсрол, 1983

Нэмэлт вэб нөөц

2. Байгалийн шинжлэх ухааны портал ().

Гэртээ хий

№ 42.2, 42.3 (Алгебр ба шинжилгээний эхлэл, 10-р анги (хоёр хэсэгтэй). А. Г. Мордковичийн найруулсан ерөнхий боловсролын байгууллагын асуудлын ном (профайлын түвшин). - М.: Мнемосына, 2007.)

Хэрэв та тодорхойлолтыг дагаж мөрдвөл тухайн цэг дэх функцийн дериватив нь Δ функцийн өсөлтийн харьцааны хязгаар юм. yаргументийн өсөлт рүү Δ x:

Бүх зүйл ойлгомжтой байх шиг байна. Гэхдээ энэ томъёог ашиглан функцийн деривативыг тооцоолж үзээрэй е(x) = x 2 + (2x+ 3) · д xнүгэл x. Хэрэв та бүх зүйлийг тодорхойлолтоор хийвэл хэдэн хуудас тооцоо хийсний дараа та зүгээр л унтах болно. Тиймээс илүү энгийн бөгөөд үр дүнтэй аргууд байдаг.

Эхлэхийн тулд бид бүх төрлийн функцүүдээс энгийн функц гэж нэрлэгддэг функцүүдийг ялгаж салгаж болно гэдгийг тэмдэглэж байна. Эдгээр нь харьцангуй энгийн илэрхийллүүд бөгөөд деривативуудыг удаан хугацаанд тооцоолж, хүснэгтэд оруулав. Ийм функцууд нь тэдгээрийн деривативуудын хамт санахад хялбар байдаг.

Энгийн функцүүдийн деривативууд

Үндсэн функцууд нь доор жагсаасан бүх функцууд юм. Эдгээр функцүүдийн деривативуудыг цээжээр мэддэг байх ёстой. Түүнээс гадна тэдгээрийг цээжлэх нь тийм ч хэцүү биш - тиймээс тэд анхан шатны шинж чанартай байдаг.

Тиймээс, энгийн функцүүдийн деривативууд:

Нэр	Чиг үүрэг	Дериватив
Тогтмол	е(x) = C, C ∈ Р	0 (тийм ээ, тэг!)
Рационал үзүүлэлттэй хүч	е(x) = x n	n · x n − 1
Синус	е(x) = нүгэл x	cos x
Косинус	е(x) = cos x	- нүгэл x(хасах синус)
Тангенс	е(x) = тг x	1/cos 2 x
Котангенс	е(x) = ctg x	− 1/нүгэл 2 x
Байгалийн логарифм	е(x) = бүртгэл x	1/x
Дурын логарифм	е(x) = бүртгэл а x	1/(x ln а)
Экспоненциал функц	е(x) = д x	д x(юу ч өөрчлөгдөөгүй)

Хэрэв энгийн функцийг дурын тогтмол тоогоор үржүүлбэл шинэ функцийн деривативыг хялбархан тооцоолно.

(C · е)’ = C · е ’.

Ерөнхийдөө деривативын тэмдгээс тогтмолуудыг авч болно. Жишээлбэл:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Мэдээжийн хэрэг, энгийн функцуудыг бие биендээ нэмэх, үржүүлэх, хуваах гэх мэт олон зүйлийг хийх боломжтой. Ийм байдлаар шинэ функцууд гарч ирэх бөгөөд энэ нь ялангуяа энгийн байхаа больсон, гэхдээ бас тодорхой дүрмийн дагуу ялгагдах болно. Эдгээр дүрмийг доор авч үзэх болно.

Нийлбэр ба зөрүүний дериватив

Функцуудыг өгье е(x) Мөн g(x), деривативууд нь бидэнд мэдэгддэг. Жишээлбэл, та дээр дурдсан үндсэн функцуудыг авч болно. Дараа нь та эдгээр функцүүдийн нийлбэр ба ялгааны деривативыг олох боломжтой.

(е + g)’ = е ’ + g ’
(е − g)’ = е ’ − g ’

Тэгэхээр хоёр функцийн нийлбэрийн (ялгаа) дериватив нь деривативуудын нийлбэртэй (ялгаа) тэнцүү байна. Илүү олон нэр томъёо байж болно. Жишээлбэл, ( е + g + h)’ = е ’ + g ’ + h ’.

Хатуухан хэлэхэд алгебрт "хасах" гэсэн ойлголт байдаггүй. "Сөрөг элемент" гэсэн ойлголт байдаг. Тиймээс ялгаа е − gнийлбэр болгон дахин бичиж болно е+ (−1) g, дараа нь зөвхөн нэг томъёо үлдэнэ - нийлбэрийн дериватив.

е(x) = x 2 + нүгэл х; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Чиг үүрэг е(x) нь хоёр үндсэн функцийн нийлбэр тул:

е ’(x) = (x 2 + нүгэл x)’ = (x 2)' + (нүгэл x)’ = 2x+ cos x;

Бид функцийг ижил төстэй шалтгаанаар тайлбарлаж байна g(x). Зөвхөн гурван нэр томъёо байдаг (алгебрийн үүднээс):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Хариулт:
е ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Бүтээгдэхүүний дериватив

Математик бол логик шинжлэх ухаан тул нийлбэрийн дериватив нь деривативын нийлбэртэй тэнцүү бол тухайн бүтээгдэхүүний дериватив гэж олон хүн үздэг. ажил хаях"> деривативын үржвэртэй тэнцүү байна. Гэхдээ та эргэлзээрэй! Бүтээгдэхүүний деривативыг огт өөр томъёогоор тооцдог. Тухайлбал:

(е · g) ’ = е ’ · g + е · g ’

Томъёо нь энгийн боловч ихэнхдээ мартагддаг. Зөвхөн сургуулийн сурагчид төдийгүй оюутнууд ч гэсэн. Үр дүн нь буруу шийдэгдсэн асуудлууд юм.

Даалгавар. Функцийн деривативыг ол: е(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · д x .

Чиг үүрэг е(x) нь хоёр үндсэн функцын бүтээгдэхүүн тул бүх зүйл энгийн:

е ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−нүгэл x) = x 2 (3cos x − xнүгэл x)

Чиг үүрэг g(x) эхний үржүүлэгч нь арай илүү төвөгтэй боловч ерөнхий схем өөрчлөгддөггүй. Мэдээжийн хэрэг, функцийн эхний хүчин зүйл g(x) нь олон гишүүнт бөгөөд түүний уламжлал нь нийлбэрийн дериватив юм. Бидэнд байгаа:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · д x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · д x + (x 2 + 7x− 7) ( д x)’ = (2x+ 7) · д x + (x 2 + 7x− 7) · д x = д x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · д x = x(x+ 9) · д x .

Хариулт:
е ’(x) = x 2 (3cos x − xнүгэл x);
g ’(x) = x(x+ 9) · д x .

Сүүлийн шатанд деривативыг хүчин зүйлээр ангилдаг болохыг анхаарна уу. Албан ёсоор үүнийг хийх шаардлагагүй, гэхдээ ихэнх деривативуудыг бие даан тооцдоггүй, харин функцийг шалгахын тулд хийдэг. Энэ нь цаашид деривативыг тэгтэй тэнцүүлэх, түүний тэмдгүүдийг тодорхойлох гэх мэт болно гэсэн үг юм. Ийм тохиолдолд илэрхийлэлийг хүчин зүйл болгон хуваах нь дээр.

Хэрэв хоёр функц байгаа бол е(x) Мөн g(x), болон g(x) Бидний сонирхож буй олонлог дээр ≠ 0 байвал бид шинэ функцийг тодорхойлж болно h(x) = е(x)/g(x). Ийм функцийн хувьд та деривативыг олж болно:

Сул биш, тийм үү? Хасах нь хаанаас ирсэн бэ? Яагаад g 2? Мөн үүн шиг! Энэ бол хамгийн төвөгтэй томъёонуудын нэг бөгөөд та үүнийг лонхгүйгээр олж чадахгүй. Тиймээс тодорхой жишээн дээр судалж үзэх нь зүйтэй.

Даалгавар. Функцийн деривативыг ол:

Бутархай тус бүрийн тоологч ба хуваагч нь энгийн функцуудыг агуулдаг тул бидэнд хэрэгтэй зүйл бол энэ хэсгийн деривативын томъёо юм.

Уламжлал ёсоор тоологчийг хүчин зүйл болгон хувацгаая - энэ нь хариултыг ихээхэн хялбаршуулах болно.

Нарийн төвөгтэй функц нь хагас километрийн урттай томьёо байх албагүй. Жишээлбэл, функцийг авахад хангалттай е(x) = нүгэл xболон хувьсагчийг солино x, дээр гэж хэлье x 2 + лн x. Энэ нь бүтэх болно е(x) = нүгэл ( x 2 + лн x) - энэ бол нарийн төвөгтэй функц юм. Энэ нь мөн деривативтай боловч дээр дурдсан дүрмийн дагуу үүнийг олох боломжгүй болно.

Би юу хийх хэрэгтэй вэ? Ийм тохиолдолд нийлмэл функцийн деривативын хувьсагч болон томъёог орлуулах нь дараахь зүйлийг хийхэд тусална.

е ’(x) = е ’(т) · т', Хэрэв x-ээр солигдоно т(x).

Дүрмээр бол энэ томьёог ойлгох нөхцөл байдал нь хуваалтын деривативаас ч илүү гунигтай байдаг. Тиймээс тодорхой жишээнүүдийг ашиглан алхам бүрийг нарийвчлан тайлбарлах нь дээр.

Даалгавар. Функцийн деривативыг ол: е(x) = д 2x + 3 ; g(x) = нүгэл ( x 2 + лн x)

Хэрэв функцэд байгаа бол гэдгийг анхаарна уу е(x) илэрхийлэл 2-ын оронд x+ 3 хялбар байх болно x, тэгвэл бид энгийн функцийг авна е(x) = д x. Тиймээс бид орлуулалт хийж байна: 2-г үзье x + 3 = т, е(x) = е(т) = д т. Бид нийлмэл функцийн деривативыг дараах томъёогоор хайдаг.

е ’(x) = е ’(т) · т ’ = (д т)’ · т ’ = д т · т ’

Тэгээд одоо - анхаарлаа хандуулаарай! Бид урвуу орлуулалтыг гүйцэтгэдэг: т = 2x+ 3. Бид дараахыг авна:

е ’(x) = д т · т ’ = д 2x+ 3 (2 x + 3)’ = д 2x+ 3 2 = 2 д 2x + 3

Одоо функцийг харцгаая g(x). Үүнийг солих шаардлагатай нь ойлгомжтой x 2 + лн x = т. Бидэнд байгаа:

g ’(x) = g ’(т) · т' = (нүгэл т)’ · т' = cos т · т ’

Урвуу солих: т = x 2 + лн x. Дараа нь:

g ’(x) = cos ( x 2 + лн x) · ( x 2 + лн x)’ = cos ( x 2 + лн x) · (2 x + 1/x).

Тэгээд л болоо! Сүүлийн илэрхийллээс харахад бүх асуудлыг үүсмэл нийлбэрийг тооцоолох хүртэл багасгасан.

Хариулт:
е ’(x) = 2 · д 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) учир нь ( x 2 + лн x).

Хичээлдээ би "үүсмэл" гэсэн нэр томъёоны оронд "анхны" гэдэг үгийг ихэвчлэн ашигладаг. Жишээлбэл, нийлбэрийн цохилт нь цус харвалтын нийлбэртэй тэнцүү байна. Энэ нь илүү ойлгомжтой юу? За, сайн байна.

Тиймээс деривативыг тооцоолох нь дээр дурдсан дүрмийн дагуу эдгээр ижил цохилтоос ангижрахад хүргэдэг. Эцсийн жишээ болгон, рационал экспонент бүхий дериватив хүчин рүү буцъя:

(x n)’ = n · x n − 1

Цөөхөн хүн дүрд нь үүнийг мэддэг nбутархай тоо байж магадгүй. Жишээлбэл, үндэс нь x 0.5. Үндэс дор нь ямар нэгэн гоёмсог зүйл байвал яах вэ? Дахин хэлэхэд үр дүн нь нарийн төвөгтэй функц байх болно - тэд туршилт, шалгалтанд ийм бүтэц өгөх дуртай.