Ертегілер

Конус туралы түсінік. Конус геометриялық фигура ретінде Конустың генератрицасының ұзындығы неге тең

Бір нүктеден (конустың төбесінен) шығатын және жазық бет арқылы өтетін.

Конус дененің шектеулі көлемі бар бөлігі болып табылады және жазық беттің шыңы мен нүктелерін қосатын әрбір сегментті біріктіру арқылы алынады. Соңғысы, бұл жағдайда конустың негізі, ал конус осы негізге тіреледі делінеді.

Конустың негізі көпбұрыш болса, ол қазірдің өзінде пирамида .

Дөңгелек конус- бұл шеңберден (конустың табаны), осы шеңбер жазықтығында жатпайтын нүктеден (конустың төбесінде және конустың төбесін конустың нүктелерімен қосатын барлық кесінділерден) тұратын дене. негіз).

Конустың төбесін және табан шеңберінің нүктелерін қосатын кесінділер деп аталады конус қалыптастыру. Конустың беті табан мен бүйір бетінен тұрады.

Бүйір бетінің ауданы дұрыс n-конусқа сызылған көміртекті пирамида:

S n =½P n l n,

Қайда Pn- пирамида табанының периметрі, және л н- апотема.

Сол принцип бойынша: негізі радиустары бар кесілген конустың бүйір бетінің ауданы үшін R 1, R 2және қалыптастыру лкелесі формуланы аламыз:

S=(R 1 +R 2)l.

Негізі мен биіктігі бірдей түзу және қиғаш дөңгелек конустар. Бұл денелердің көлемі бірдей:

Конустың қасиеттері.

Негіздің ауданы шегі болса, бұл конустың көлемінің де шегі бар екенін және биіктік пен негіз ауданы көбейтіндісінің үшінші бөлігіне тең екенін білдіреді.

Қайда С- базалық аудан, Х- биіктік.

Осылайша, осы негізге тірелген және жазықтықта төбесі бар әрбір конус, негізіне параллель, көлемі бірдей, өйткені олардың биіктігі бірдей.

Көлемі шегі бар әрбір конустың ауырлық центрі табан биіктігінің төрттен бір бөлігінде орналасқан.
Тік дөңгелек конустың төбесіндегі тұтас бұрышты келесі формуламен өрнектеуге болады:

Қайда α - конустың ашылу бұрышы.

Мұндай конустың бүйір бетінің ауданы, формуласы:

және жалпы бетінің ауданы (яғни, бүйір беті мен табанының аудандарының қосындысы), формула:

S=πR(l+R),

Қайда Р— негіздің радиусы, л— генератрицаның ұзындығы.

Дөңгелек конустың көлемі, формуласы:

Кесілген конус үшін (тек түзу немесе дөңгелек емес), көлем, формула:

Қайда S 1Және S 2- жоғарғы және төменгі негіздердің ауданы,

hЖәне Х- үстіңгі және астыңғы табан жазықтығынан төбеге дейінгі қашықтық.

Тік дөңгелек конуспен жазықтықтың қиылысуы конус қималарының бірі болып табылады.

Бұл сабақта біз конус тәрізді фигурамен танысамыз. Конустың элементтерін және оның қималарының түрлерін зерттейік. Ал конустың қай фигураға ортақ қасиеттері көп екенін анықтаймыз.

1-сурет. Конус тәрізді заттар

Әлемде үлкен санызаттар конус тәрізді. Көбінесе біз оларды байқамаймыз. Жол жұмыстары туралы ескертетін жол конустары, сарайлар мен үйлердің шатырлары, балмұздақ конустары - бұл заттардың барлығы конус тәрізді (1-суретті қараңыз).

Күріш. 2. Тік бұрышты үшбұрыш

Аяқтары бар ерікті тікбұрышты үшбұрышты қарастырайық және (2-суретті қараңыз).

Күріш. 3. Түзу дөңгелек конус

Берілген үшбұрышты катеттердің біреуінің айналасында айналдыру арқылы (жалпылығын жоғалтпай, ол катет болсын) гипотенуза бетті, ал катет шеңберді сипаттайды. Осылайша, тік дөңгелек конус деп аталатын дене алынады (3-суретті қараңыз).

Күріш. 4. Конустардың түрлері

Біз түзу дөңгелек конус туралы айтып отырғандықтан, жанама да, дөңгелек емес те бар сияқты ма? Егер конустың табаны шеңбер болса, бірақ төбесі осы шеңбердің ортасына проекцияланбаса, онда мұндай конус көлбеу деп аталады. Егер негіз шеңбер емес, ерікті фигура болса, онда мұндай денені кейде конус деп те атайды, бірақ, әрине, дөңгелек емес (4-суретті қараңыз).

Осылайша, біз қайтадан цилиндрлермен жұмыс істеуден бұрыннан таныс аналогияға келдік. Шын мәнінде, конус пирамидаға ұқсайды, тек пирамиданың негізінде көпбұрыш, ал конустың (біз оны қарастырамыз) шеңбері бар (5-суретті қараңыз).

Конустың ішінде қоршалған айналу осінің сегменті (біздің жағдайда бұл аяқ) конус осі деп аталады (6-суретті қараңыз).

Күріш. 5. Конус және пирамида

Күріш. 6. - конус осі

Күріш. 7. Конустың негізі

Екінші аяқтың () айналуынан пайда болған шеңбер конустың негізі деп аталады (7-суретті қараңыз).

Ал бұл аяқтың ұзындығы конус табанының радиусы (немесе қарапайымырақ айтқанда, конустың радиусы) (8-суретті қараңыз).

Күріш. 8. - конус радиусы

Күріш. 9. - конустың жоғарғы жағы

Айналмалы үшбұрыштың айналу осінде жатқан сүйір бұрышының төбесі конустың төбесі деп аталады (9-суретті қараңыз).

Күріш. 10. - конус биіктігі

Конустың биіктігі - конустың төбесінен оның табанына перпендикуляр жүргізілген кесінді (10-суретті қараңыз).

Бұл жерде сізде сұрақ туындауы мүмкін: айналу осінің сегменті конус биіктігінен қалай ерекшеленеді? Шындығында, олар тек түзу конус жағдайында сәйкес келеді, егер сіз көлбеу конусты қарасаңыз, бұл екі мүлдем басқа сегмент екенін байқайсыз (11-суретті қараңыз).

Күріш. 11. Көлбеу конустағы биіктік

Тікелей конусқа оралайық.

Күріш. 12. Конустың генераторлары

Конустың төбесін оның табанының шеңберінің нүктелерімен қосатын кесінділер конустың генераторлары деп аталады. Айтпақшы, оң жақ конустың барлық генерациялары бір-біріне тең (12-суретті қараңыз).

Күріш. 13. Табиғи конус тәрізді заттар

Грек тілінен аударғанда конос «қарағай конусы» дегенді білдіреді. Табиғатта конус тәрізді нысандар жеткілікті: шырша, тау, құмырсқа илеуі және т.б. (13-суретті қараңыз).

Бірақ біз конустың түзу екеніне үйреніп қалдық. Оның генераторлары бірдей және биіктігі оське сәйкес келеді. Мұндай конусты түзу конус деп атадық. Мектептегі геометрия курсында әдетте түзу конустар қарастырылады және әдепкі бойынша кез келген конус оң жақ дөңгелек болып саналады. Бірақ біз тек түзу конустар ғана емес, сонымен қатар көлбеу конустар да бар екенін айттық.

Күріш. 14. Перпендикуляр қима

Тікелей конустарға оралайық. Конусты оське перпендикуляр жазықтықпен «кесіңіз» (14-суретті қараңыз).

Кесуде қандай фигура болады? Әрине, бұл шеңбер! Жазықтық оське перпендикуляр, демек, шеңбер болып табылатын табанға параллель өтетінін еске түсірейік.

Күріш. 15. Көлбеу қима

Енді қима жазықтығын біртіндеп еңкейтейік. Содан кейін біздің шеңбер біртіндеп ұзартылған сопақшаға айнала бастайды. Бірақ қима жазықтығы негіз шеңберімен соқтығысқанша ғана (15-суретті қараңыз).

Күріш. 16. Сәбіз үлгісін қолданып қима түрлері

Әлемді тәжірибе жүзінде зерттеуді ұнататындар мұны сәбіз мен пышақ көмегімен тексере алады (сәбіздің тілімдерін әртүрлі бұрыштарда кесіп көріңіз) (16-суретті қараңыз).

Күріш. 17. Конустың осьтік қимасы

Конустың өз осінен өтетін жазықтықтың кесіндісі конустың осьтік қимасы деп аталады (17-суретті қараңыз).

Күріш. 18. Тең қабырғалы үшбұрыш – қима фигура

Мұнда біз мүлде басқа секциялық фигураны аламыз: үшбұрыш. Бұл үшбұрыштең қабырғалы (18-суретті қараңыз).

Бұл сабақта цилиндрлік бет, цилиндр түрлері, цилиндр элементтері және цилиндрдің призмаға ұқсастығы туралы білдік.

Конустың генератриксі 12 см және 30 градус бұрышпен табанның жазықтығына көлбеу. Конустың осьтік көлденең қимасының ауданын табыңыз.

Шешім

Қажетті осьтік қиманы қарастырайық. Бұл қабырғалары 12 градус, ал негізгі бұрышы 30 градус болатын тең қабырғалы үшбұрыш. Содан кейін сіз әртүрлі тәсілдермен әрекет ете аласыз. Немесе биіктікті сызып, оны (гипотенузаның жартысы, 6), содан кейін негізін (Пифагор теоремасын пайдалана отырып), содан кейін ауданды табуға болады.

Күріш. 19. Есепке арналған иллюстрация

Немесе бірден төбедегі бұрышты - 120 градусты табыңыз және ауданды жақтардың жарты өнімі және олардың арасындағы бұрыштың синусы ретінде есептеңіз (жауап бірдей болады).

Геометрия. 10-11 сыныптарға арналған оқулық. Атанасян Л.С. және т.б. 18-ші басылым. – М.: Білім, 2009. – 255 б.
Геометрия 11 сынып, А.В. Погорелов, М.: Білім, 2002 ж
Геометриядан жұмыс дәптері 11 сынып, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков

Yaklass.ru ().
Uztest.ru ().
Bitclass.ru ().

Үй жұмысы

) - бір нүктеден шығатын барлық сәулелерді біріктіру арқылы алынған Евклид кеңістігіндегі дене ( шыңдарконус) және тегіс бет арқылы өтеді. Кейде конус - бұл шектеулі көлемге ие және жазық беттің шыңы мен нүктелерін қосатын барлық сегменттерді біріктіру арқылы алынған осындай дененің бөлігі (бұл жағдайда соңғысы деп аталады негізіконус, ал конус деп аталады еңкеюосы негізде). Егер конустың табаны көпбұрыш болса, ондай конус пирамида болады.

Энциклопедиялық YouTube

1 / 4

✪ Қағаздан конусты қалай жасауға болады.

Субтитрлер

Қатысты анықтамалар

Төбесі мен табанының шекарасын қосатын кесінді деп аталады конустың генератриксі.
Конус генераторларының бірігуі деп аталады генерация(немесе жағы) конус беті. Конустың қалыптаушы беті конустық бет болып табылады.
Төбеден табан жазықтығына перпендикуляр түсірілген кесінді (сондай-ақ осындай кесіндінің ұзындығы) деп аталады. конус биіктігі.
Конус бұрышы- қарама-қарсы екі генератрица арасындағы бұрыш (конустың шыңындағы бұрыш, конус ішіндегі).
Егер конус табанының симметрия центрі болса (мысалы, ол шеңбер немесе эллипс) және конус төбесінің табан жазықтығына ортогональ проекциясы осы центрмен сәйкес келсе, онда конус деп аталады. тікелей. Бұл жағдайда табанның үстіңгі және ортасын қосатын түзу деп аталады конус осі.
Қиғаш (бейім) конус – төбенің табанға ортогональ проекциясы оның симметрия центрімен сәйкес келмейтін конус.
Дөңгелек конус- негізі шеңбер болатын конус.
Тікелей дөңгелек конус(көбінесе жай конус деп аталады) тікбұрышты үшбұрышты катетін қамтитын түзудің айналасында айналдыру арқылы алуға болады (бұл сызық конустың осін білдіреді).
Эллипс, парабола немесе гиперболаға тірелген конус тиісінше деп аталады эллипстік, параболалықЖәне гиперболалық конус(соңғы екеуінің көлемі шексіз).
Конустың табан мен табанға параллель жазықтықтың арасында жатқан және төбесі мен табанының арасында орналасқан бөлігі деп аталады. кесілген конус, немесе конустық қабат.

Қасиеттер

Егер табанның ауданы шекті болса, онда конустың көлемі де шекті және биіктік пен табан ауданының көбейтіндісінің үштен біріне тең.

V = 1 3 S H , (\displaystyle V=(1 \3-тен астам)SH,)

Қайда С- базалық аудан, Х- биіктік. Сонымен, берілген табанға тірелген (ауданы шектеулі) және табанына параллель берілген жазықтықта төбесі бар конустардың барлығы бірдей көлемге ие, өйткені олардың биіктіктері тең.

Ақырғы көлемі бар кез келген конустың ауырлық центрі табанынан биіктіктің төрттен бір бөлігінде жатыр.
Тік дөңгелек конустың төбесіндегі тұтас бұрышы тең

2 π (1 − cos ⁡ α 2) , (\displaystyle 2\pi \left(1-\cos (\альфа \2-ден жоғары)\оң),)мұндағы α – конустың ашылу бұрышы.

Мұндай конустың бүйір бетінің ауданы тең

S = π R l , (\displaystyle S=\pi Rl,)

және жалпы бетінің ауданы (яғни, бүйір беті мен табанының аудандарының қосындысы)

S = π R (l + R), (\displaystyle S=\pi R(l+R),)Қайда Р- базалық радиус, l = R 2 + H 2 (\displaystyle l=(\sqrt (R^(2)+H^(2))))- генератрицаның ұзындығы.

Дөңгелек (міндетті түрде түзу емес) конустың көлемі тең

V = 1 3 π R 2 H. (\displaystyle V=(1 \3-тен астам)\pi R^(2)H.)

Кесілген конус үшін (түзу және дөңгелек болуы міндетті емес) көлем мынаған тең:

V = 1 3 (H S 2 - h S 1) , (\displaystyle V=(1 \3-тен жоғары)(HS_(2)-hS_(1)),)

мұндағы S 1 және S 2 сәйкесінше жоғарғы (жоғарыға жақын) және төменгі негіздердің аудандары, hЖәне Х- сәйкесінше үстіңгі және төменгі табанның жазықтығынан жоғарыға дейінгі қашықтық.

Жазықтықтың оң жақ шеңберлі конуспен қиылысуы конустық қималардың бірі болып табылады (азғындалмаған жағдайларда – қиюшы жазықтықтың орнына байланысты эллипс, парабола немесе гипербола).

Конус теңдеуі

Ашылу бұрышы 2Θ, басындағы шыңы және осіне сәйкес келетін тік дөңгелек конустың бүйір бетін анықтайтын теңдеулер Оз :

Координаталары бар сфералық координаттар жүйесінде ( r, φ, θ) :

θ = Θ. (\displaystyle \theta =\Тета.)

Координаталары бар цилиндрлік координаттар жүйесінде ( r, φ, z) :

z = r ⋅ ctg ⁡ Θ (\displaystyle z=r\cdot \оператор аты (ctg) \Theta )немесе r = z ⋅ күңгірт ⁡ Θ . (\displaystyle r=z\cdot \оператор аты (tg) \Theta .)

Координаталары бар декарттық координаттар жүйесінде (x, ж, z) :

z = ± x 2 + y 2 ⋅ төсек ⁡ Θ . (\displaystyle z=\pm (\sqrt (x^(2)+y^(2)))\cdot \operatorname (ctg) \Theta .)Бұл теңдеу канондық түрде былай жазылады

тұрақтылар қайда а, біргепропорциямен анықталады c / a = cos ⁡ Θ / sin ⁡ Θ . (\displaystyle c/a=\cos \Тета /\sin \Тета.)Бұл оң жақ дөңгелек конустың бүйір беті екінші ретті бет екенін көрсетеді (ол деп аталады конустық беті). IN жалпы көрінісекінші ретті конустық бет эллипске тіреледі; қолайлы декарттық координаттар жүйесінде (ось ОЖәне OUэллипс осьтеріне параллель, конустың төбесі координат басымен сәйкес келеді, эллипстің центрі осьте жатыр Оз) оның теңдеуі формасы бар

x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 0 , (\displaystyle (\frac (x^(2))(a^(2)))+(\frac (y^(2))( b^(2)))-(\frac (z^(2))(c^(2)=0,)

және а/кЖәне б/кэллипстің жартылай осьтеріне тең. Ең жалпы жағдайда, конус еркін жазық бетке тірелгенде, конустың бүйір бетінің теңдеуі (төбесінің басында) теңдеу арқылы берілетінін көрсетуге болады. f (x , y , z) = 0 , (\displaystyle f(x,y,z)=0,)функциясы қайда f (x , y , z) (\displaystyle f(x,y,z))біртекті, яғни шартты қанағаттандырады f (α x , α y , α z) = α n f (x , y , z) (\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha ^(n)f(x,y) ,з))кез келген α нақты саны үшін.

Сканерлеу

Айналу денесі ретінде тік дөңгелек конус катеттердің бірінің айналасында айналатын тікбұрышты үшбұрыш арқылы жасалады, мұнда h- конустың негізінің ортасынан жоғарыға дейінгі биіктігі - аяқ тікбұрышты үшбұрыш, оның айналасында айналу орын алады. Тікбұрышты үшбұрыштың екінші катеті r- конустың табанындағы радиусы. Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы л- конусты қалыптастыру.

Конусты сканерлеуді жасау үшін тек екі шаманы пайдалануға болады rЖәне л. Негізгі радиус rдамуда конус табанының шеңберін анықтайды, ал конустың бүйір бетінің секторы бүйір бетінің генератрикасы арқылы анықталады. л, ол бүйір бетінің секторының радиусы. Сектор бұрышы φ (\displaystyle \varphi )конустың бүйір бетінің дамуында мына формуламен анықталады:

φ = 360° ( r/л) .

Конус (дәлірек айтқанда, дөңгелек конус) шеңберден – конустың табанынан, осы шеңбер жазықтығында жатпайтын нүктеден – конустың төбесінен және конустың төбесін қосатын барлық кесінділерден тұратын денені айтады. табанының нүктелерімен (1-сурет) Конустың төбесін табан шеңберінің нүктелерімен қосатын түзу кесінділері конустың генераторлары деп аталады. Конустың барлық генераторлары бір-біріне тең. Конустың беті негіз және бүйір бетінен тұрады.
Күріш. 1
Конустың төбесін табанның центрімен қосатын түзу табан жазықтығына перпендикуляр болса, конус түзу деп аталады. Көрнекі түрде түзу дөңгелек конусты тікбұрышты үшбұрышты ось ретінде аяғының айналасында айналдыру арқылы алынған дене ретінде елестетуге болады (2-сурет).
Күріш. 2
Конустың биіктігі - оның төбесінен табан жазықтығына түсірілген перпендикуляр. Тікелей конус үшін биіктік негізі негіздің ортасына сәйкес келеді. Оң жақ дөңгелек конустың осі оның биіктігін қамтитын түзу болып табылады.
Конустың оның төбесінен өтетін жазықтықпен қимасы тең қабырғалы үшбұрыш болып табылады, оның қабырғалары конусты құрайды (3-сурет). Атап айтқанда, тең қабырғалы үшбұрыш - конустың осьтік қимасы. Бұл конус осі арқылы өтетін қима (4-сурет).
Күріш. 3 сур. 4

Конус бетінің ауданы
Конустың бүйір беті, цилиндрдің бүйір беті сияқты, оны генератрицалардың бірі бойымен кесу арқылы жазықтыққа айналдыруға болады (2-сурет, а, б). Конустың бүйір бетінің дамуы дөңгелек сектор болып табылады (2.6-сурет), оның радиусы конустың генатриксіне тең, ал сектордың доғасының ұзындығы конус табанының шеңбері болып табылады.
Конустың бүйір бетінің ауданы оның даму аймағы ретінде қабылданады. Конустың бүйір бетінің S ауданын оның генератриксі l және табанының радиусы r арқылы өрнектеп көрейік.
Дөңгелек сектордың ауданы - конустың бүйір бетінің дамуы (2-сурет) - (Pl2a)/360 тең, мұндағы a - ABA доғасының градустық өлшемі», сондықтан
Sside = (Pl2a)/360. (*)
a-ны l және r арқылы өрнектейік. AVA» доғасының ұзындығы 2Pr (конус табанының шеңбері) тең болғандықтан, 2Pr = Pla/180, одан a=360r/l. Бұл өрнекті (*) формулаға ауыстырсақ, мынаны аламыз:
Sside = Prl. (**)
Осылайша, конустың бүйір бетінің ауданы табан мен генератрица шеңберінің жартысының көбейтіндісіне тең.
Конустың жалпы бетінің ауданы - бүйір беті мен табанының аудандарының қосындысы. Конустың жалпы бетінің Scon ауданын есептеу үшін формула алынады: Scon = Pr (l + r). (***)

Фрустум
Ерікті конусты алып, оның осіне перпендикуляр қиюшы жазықтықты салайық. Бұл жазықтық конуспен шеңбер бойымен қиылысады және конусты екі бөлікке бөледі. Бөлшектердің бірі конус, ал екіншісі кесілген конус деп аталады. Бастапқы конустың табаны және осы конусты жазықтықпен кесу арқылы алынған шеңбер қиық конустың табандары деп, ал олардың центрлерін қосатын кесінді қиық конустың биіктігі деп аталады.

Кесілген конусты шектейтін конустық беттің бөлігін оның бүйір беті деп, ал табандар арасында қоршалған конустық беттің генатрицаларының сегменттерін қиық конустың генераторлары деп атайды. Кесілген конустың барлық генераторлары бір-біріне тең (мұны өзіңіз дәлелдеңіз).
Кесілген конустың бүйір бетінің ауданы табандар мен генератор шеңберлерінің ұзындықтарының қосындысының жартысының көбейтіндісіне тең: Sside = P (r + r1) l.

Конус туралы қосымша ақпарат
1. Геологияда «желдеткіш» деген ұғым бар. Бұл тасты тастардың (қиыршық тас, қиыршық тас, құм) жиналуынан пайда болған жер бедері. тау өзендерітау етегіндегі жазыққа немесе жалпақ, кеңірек алқапқа.
2. Биологияда «өсу конусы» деген ұғым бар. Бұл тәрбие ұлпасының жасушаларынан тұратын өсімдіктердің өркені мен тамырының ұшы.
3. Отбасы «конустар» деп аталады. теңіз моллюскаларыпрозобранхтардың қосалқы класы. Қабық конустық (2–16 см), ашық түсті. Конустардың 500-ден астам түрі бар. Олар тропиктік және субтропикте тіршілік етеді, жыртқыш, улы безі бар. Конустардың шағуы өте ауырады. Өлімдері белгілі. Раковиналар декорация және кәдесый ретінде пайдаланылады.
4. Статистикаға сәйкес, жыл сайын жер бетінде 1 миллион тұрғынға 6 адам (оңтүстік елдерде жиі) найзағайдан қайтыс болады. Егер барлық жерде найзағайлар болса, бұл болмас еді, өйткені қауіпсіздік конусы пайда болады. Найзағай неғұрлым жоғары болса, мұндай конустың көлемі соғұрлым үлкен болады. Кейбір адамдар ағаштың астындағы разрядтардан жасыруға тырысады, бірақ ағаш өткізгіш емес, зарядтар оған жиналады және ағаш кернеу көзі болуы мүмкін.
5. Физикада «қатты бұрыш» ұғымы кездеседі. Бұл допқа кесілген конус тәрізді бұрыш. Қатты бұрыштың өлшем бірлігі 1 стерадиан. 1 стерадиан - радиусы квадрат болатын қатты бұрыш ауданына теңол кесіп жатқан саланың бір бөлігін. Осы бұрышқа 1 кандела (1 шам) жарық көзін орналастырсақ, 1 люмен жарық ағынын аламыз. Кинокамераның немесе прожектордың жарығы конус түрінде таралады.