Тік бұрышты трапецияның 614 диагоналы. Трапецияның диагональдары. Трапецияның табандарына параллель түзудің қасиеттері

Тағы да Пифагор үшбұрышы :))) Егер үлкен табаннан қиылысу нүктесіне дейінгі үлкен диагональдың кесіндісі x белгіленсе, онда бұрыштары бірдей тік бұрышты үшбұрыштардың айқын ұқсастығынан x / 64 = 36 / x, демек x = 48; 48/64 = 3/4, сондықтан табандары, диагональдары мен табанына перпендикуляр қабырғасы арқылы жасалған барлық тік бұрышты үшбұрыштары қабырғалары 3,4,5 болатын үшбұрышқа ұқсас. Жалғыз ерекшелік - бұл диагональ кесінділері мен қиғаш бүйірден жасалған үшбұрыш, бірақ біз оны қызықтырмаймыз :). (Түсінікті болу үшін, бұл ұқсастық - бұл бұрыштардың басқа тригонометриялық функциялары :) біз үлкен диагональ мен үлкен табан арасындағы бұрыштың тангенсін білеміз, ол 3/4, яғни синус 3/5 , және косинус 4/5 :)) Сіз бірден жаза аласыз

Жауаптар. Астыңғы негіз 80 60 болады, ал жоғарғы жағы 45 болады. (36 * 5/4 = 45, 64 * 5/4 = 80, 100 * 3/5 = 60)

Ұқсас тапсырмалар:

1. Призманың табаны - үшбұрыш, оның бір қабырғасы 2 см, ал қалған екеуі 3 см.Қабырғасының шеті 4 см және табан жазықтығымен 45 бұрыш жасайды.Тең теңдеудің шетін табыңыз. -өлшемді текше.

2. Көлбеу призманың табаны а қабырғасы бар тең қабырғалы үшбұрыш; бүйір беттерінің бірі табан жазықтығына перпендикуляр және диагоналі кіші с -ке тең ромб. Призманың көлемін табыңыз.

3. Көлбеу призмада табаны-тік бұрышты үшбұрыш, оның гипотенузасы с, бір сүйір бұрышы 30, бүйір жиегі k-ге тең және табан жазықтығымен 60 бұрыш жасайды.Көлемді табыңыз. призмадан.

1. Квадраттың диагоналы 10 см болса, қабырғасын табыңыз

2. Тең қабырғалы трапецияда доғал бұрыш табанынан 4 см -ге қарағанда 135 градусқа кіші, ал биіктігі 2 см, трапецияның ауданын табыңыз?

3. Трапецияның биіктігі негіздердің бірінің биіктігінен 3 есе үлкен, бірақ екіншісінің өлшемі. Трапеция ауданы 168 см квадрат болса, трапецияның табанын және биіктігін табыңыз?

4. ABC үшбұрышында A = B бұрышы = 75 градус. Егер үшбұрыштың ауданы 36 см квадрат болса, ВС табыңыз.

1. Қабырғалары AB және CD болатын ABCD трапециясында диагональдары О нүктесінде қиылысады

а) ABD және ACD үшбұрыштарының аудандарын салыстырыңыз

ә) ABO және CDO үшбұрыштарының аудандарын салыстырыңыз

в) OA * OB = OC * OD екенін дәлелдеңіз

2. Біркелкі емес үшбұрыштың табаны бүйір жағына 4: 3 деп жатады, ал табанға түсірілген биіктік 30 см.Осы биіктікті табанындағы бұрыштың биссектрисасына бөлетін кесінділерді табыңыз.

3. AM сызығы -шеңберге тангенс, осы шеңбердің AB -аккорды. MAB бұрышы MAB бұрышының ішінде орналасқан AB доғасының жартысымен өлшенетінін дәлелдеңіз.

1. Трапеция диагональдарының ортаңғы нүктелерін қосатын сегмент базалық айырманың жартысына тең
2. Трапеция мен диагональ сегменттерінің қиылысу нүктелеріне негізделген үшбұрыштар ұқсас
3. Қабырғалары трапецияның бүйір жағында жатқан трапеция диагональдарының сегменттерінен құрылған үшбұрыштар - тең (ауданы бірдей)
4. Егер сіз трапецияның бүйір жақтарын кіші негізге қарай созсаңыз, онда олар бір нүктеде табандардың ортаңғы нүктелерін қосатын түзу сызықпен қиылысады.
5. Трапецияның табандарын қосатын және трапеция диагональдарының қиылысу нүктесінен өтетін кесінді осы нүктеге трапеция негіздерінің ұзындықтарының қатынасына тең пропорцияда бөлінеді.
6. Трапецияның табандарына параллель және диагональдардың қиылысу нүктесі арқылы жүргізілген кесінді осы нүктеге жартысына бөлінеді, ал оның ұзындығы 2ab / (a+ b) -ке тең, мұндағы a және b - негіздер трапеция

Трапеция диагональдарының ортаңғы нүктелерін қосатын сызық сегментінің қасиеттері

Біз ABCD трапециясының диагональдарының ортаңғы нүктелерін қосамыз, нәтижесінде бізде LM сегменті бар.
Трапеция диагональдарының ортаңғы нүктелерін қосатын сегмент трапецияның ортаңғы сызығында орналасқан.

Бұл сегмент трапецияның табанына параллель.

Трапеция диагональдарының ортаңғы нүктелерін қосатын сегменттің ұзындығы оның табандарының жартылай айырмасына тең.

LM = (AD - BC) / 2
немесе
LM = (a-b) / 2

Трапецияның диагональдары арқылы құрылған үшбұрыштардың қасиеттері

Трапеция негіздері мен трапеция диагональдарының қиылысу нүктесінен құралған үшбұрыштар - ұқсас.
BOC және AOD үшбұрыштары ұқсас. BOC және AOD бұрыштары тік болғандықтан, олар тең.
OCB және OAD бұрыштары ішкі көлденеңінен AD және BC параллель сызықтарымен (трапецияның табандары бір -біріне параллель) және АС бөлу сызығымен, сондықтан олар тең.
OBC және ODA бұрыштары дәл сол себепті тең (ішкі крис-кросс).

Бір үшбұрыштың барлық үш бұрышы екінші үшбұрыштың сәйкес бұрыштарына тең болғандықтан, бұл үшбұрыштар ұқсас.

Бұдан не шығады?

Геометриядағы есептерді шешу үшін үшбұрыштардың ұқсастығы келесідей қолданылады. Егер ұқсас үшбұрыштардың сәйкес келетін екі элементінің ұзындықтарының мәндерін білетін болсақ, онда ұқсастық коэффициентін табамыз (біз бір -біріне бөлеміз). Барлық басқа элементтердің ұзындықтары бір -бірімен бірдей мәнмен байланысты.

Трапецияның бүйірінде жатқан диагональдары мен үшбұрыштарының қасиеттері

AB және CD трапециясының бүйір қабырғаларында жатқан екі үшбұрышты қарастырайық. Бұл AOB және COD үшбұрыштары. Қарамастан, бұл үшбұрыштардың жеке қабырғаларының өлшемдері мүлдем өзгеше болуы мүмкін, бірақ үшбұрыштардың қабырғалары мен трапеция диагональдарының қиылысу нүктелері, яғни үшбұрыштардың өлшемдері тең.

Егер сіз трапецияның бүйірлерін кіші негізге қарай созсаңыз, онда жақтардың қиылысу нүктесі болады негіздердің ортаңғы нүктелері арқылы өтетін түзу сызықпен сәйкестендіріңіз.

Осылайша, кез келген трапеция үшбұрышқа дейін созылуы мүмкін. Сонымен бірге:

• Ұзартылған бүйір жақтарының қиылысында ортақ төбесі бар трапеция негіздерінен құрылған үшбұрыштар ұқсас
• Трапецияның табандарының ортаңғы нүктелерін қосатын түзу бір уақытта салынған үшбұрыштың медианасы болып табылады.

Трапеция негіздерін қосатын сызықтың қасиеттері

Егер сіз ұштары трапецияның диагональдарының қиылысу нүктесінде орналасқан трапецияның табандарында жатқан сегментті сызатын болсаңыз (КН), онда оны құрайтын сегменттердің табан жағынан бүйірге қатынасы диагональдардың қиылысу нүктесі (KO / ON) трапеция негіздерінің қатынасына тең болады(BC / AD).

KO / ON = BC / AD

Бұл қасиет сәйкес үшбұрыштардың ұқсастығынан туындайды (жоғарыдан қараңыз).

Трапецияның табандарына параллель түзудің қасиеттері

Егер сіз трапецияның табандарына параллель және трапеция диагональдарының қиылысу нүктесі арқылы өтетін сегмент салсаңыз, онда ол келесі қасиеттерге ие болады:

• Алдын ала орнатылған қашықтық (KM) трапеция диагональдарының қиылысу нүктесін екіге бөледі
• Сегменттің ұзындығытрапеция диагональдарының қиылысу нүктесі арқылы өтетін және табандарға параллель KM = 2ab / (a+ b)

Трапецияның диагональдарын табуға арналған формулалар

а, б- трапецияның негізі

c, d- трапецияның бүйір жақтары

d1 d2- трапеция диагональдары

α β - негізі трапецияның үлкенірек бұрыштары

Трапецияның диагональдарын табандар, табандар мен қабырғалар арқылы табудың формулалары

Формулалардың бірінші тобы (1-3) трапеция диагональдарының негізгі қасиеттерінің бірін көрсетеді:

1. Трапеция диагональдарының квадраттарының қосындысы қабырғаларының квадраттарының қосындысына және оның табандарының көбейтіндісінен екі есе көп. Трапеция диагональдарының бұл қасиетін жеке теорема ретінде дәлелдеуге болады

2 ... Бұл формула алдыңғы формуланы түрлендіру арқылы алынады. Екінші диагональдың квадраты теңдік белгісі арқылы шығарылады, содан кейін өрнектің сол және оң жақтарынан квадрат түбірі алынады.

3 ... Трапецияның диагоналінің ұзындығын табудың бұл формуласы алдыңғыға ұқсас, айырмашылығы өрнектің сол жағында басқа диагональ қалады.

Келесі формулалар тобы (4-5) мағынасы жағынан ұқсас және ұқсас қатынасты білдіреді.

(6-7) формулалар тобы егер трапецияның үлкен табаны, бір жағы мен табандағы бұрышы белгілі болса, трапецияның диагоналін табуға мүмкіндік береді.

Биіктігі бойынша трапецияның диагональдарын табудың формулалары

Ескерту... Бұл сабақ трапецияға қатысты геометрия есептерін шешуге мүмкіндік береді. Егер сіз өзіңізді қызықтыратын геометриялық есептің шешімін таба алмасаңыз - форумда сұрақ қойыңыз.

Тапсырма.
ABCD (AD | | BC) трапециясының диагональдары О нүктесінде қиылысады. Егер табаны AD = 24 см, ұзындығы AO = 9 см, ұзындығы OC = 6 см болса, трапецияның ВС табанының ұзындығын табыңыз.

Шешім.
Бұл мәселенің идеология тұрғысынан шешімі алдыңғы мәселелермен мүлде ұқсас.

AOD және BOC үшбұрыштары үш бұрыш бойынша ұқсас - AOD және BOC тік, ал қалған бұрыштар жұппен тең, өйткені олар бір түзу мен екі параллель түзудің қиылысуынан пайда болады.

Үшбұрыштар ұқсас болғандықтан, олардың барлық геометриялық өлшемдері бір -бірімен байланысты, өйткені бізге берілген есептерден AO және OC кесінділерінің геометриялық өлшемдері белгілі. Яғни

AO / OC = AD / BC
9/6 = 24 / б.з.д
BC = 24 * 6/9 = 16

Жауап: 16 см

Тапсырма.
ABCD трапециясында AD = 24, BC = 8, AC = 13, BD = 5√17 екені белгілі. Трапецияның ауданын табыңыз.

Шешім.
Трапецияның биіктігін кіші В және С табанының төбесінен табу үшін екі биікті үлкен табанға түсіреміз. Трапеция тең емес болғандықтан, AM = a ұзындығын, KD = b ұзындығын белгілейміз ( формуладағы жазумен шатастырмау керектрапецияның ауданын табу) Трапецияның табандары параллель болғандықтан және біз үлкен негізге перпендикуляр екі биіктікті алып тастағандықтан, MBCK - бұл тіктөртбұрыш.

Қаражат
AD = AM + BC + KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

DBM және ACK үшбұрыштары тікбұрышты, сондықтан олардың тік бұрыштары трапецияның биіктігінен қалыптасады. Трапецияның биіктігін h деп белгілейік. Содан кейін Пифагор теоремасы бойынша

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
және
с 2 + (24 - б) 2 = 13 2

Біз a = 16 - b екенін ескереміз, содан кейін бірінші теңдеуде
с 2 + (24 - 16 + б) 2 = 425
с 2 = 425 - (8 + b) 2

Пифагор теоремасы бойынша алынған екінші теңдікте биіктік квадратының мәнін алмастырайық. Біз алып жатырмыз:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
- (64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64б = -768
b = 12

Сонымен KD = 12
Қайда
с 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
с = 5

Трапецияның биіктігі мен табандарының қосындысының жартысын анықтаңыз
, мұнда а b - трапецияның негізі, h - трапецияның биіктігі
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 см 2

Жауап: трапецияның ауданы 80 см 2.

Егер біркелкі трапециядағы диагональдар перпендикуляр болса, келесі теориялық материал есепті шешуде пайдалы болады.

1. Егер біркелкі трапецияда диагональдары перпендикуляр болса, трапецияның биіктігі негіздердің қосындысының жартысына тең.

C нүктесі арқылы BD -ге параллель CF сызығын жүргізіңіз және AD сызығын CF қиылысына дейін созыңыз.

Төртбұрышты BCFD - параллелограмм (BC∥ DF трапецияның негізі ретінде, BD∥ CF құрылысы бойынша). Демек, CF = BD, DF = BC және AF = AD + BC.

ACF үшбұрышы тікбұрышты (егер түзу екі параллель түзудің біріне перпендикуляр болса, онда ол басқа түзуге де перпендикуляр болады). Біркелкі трапециядағы диагональдар тең болғандықтан және CF = BD болса, онда CF = AC, яғни ACF үшбұрышы АФ негізі бар тең қабырғалы болады. Демек, оның CN биіктігі де медиана болып табылады. Ал гипотенузаға тартылған тік бұрышты үшбұрыштың медианасы оның жартысына тең болғандықтан, онда

деп жалпы жазуға болады

мұндағы h - трапецияның биіктігі, а және b - оның негізі.

2. Егер біркелкі трапецияда диагональдары перпендикуляр болса, онда оның биіктігі ортаңғы сызыққа тең.

M трапециясының ортаңғы сызығы негіздердің жартылай қосындысына тең болғандықтан, онда

3. Егер біркелкі емес трапециядағы диагональдар перпендикуляр болса, онда трапецияның ауданы трапеция биіктігінің квадратына (немесе табандарының жартылай қосындысының квадратына немесе орта сызықтың квадратына тең болады) ).

Трапецияның ауданы формула бойынша табылғандықтан

және биіктігі, табандарының жартылай қосындысы мен диагональдары перпендикуляр трапецияның орта сызығы бір-біріне тең:

4. Егер біркелкі емес трапецияда диагональдары перпендикуляр болса, онда оның диагоналінің квадраты негіздердің қосындысының квадратының жартысына тең, сонымен қатар биіктіктің квадратының екі есесі мен ортаңғы сызықтың квадратының екі есе тең болады.

Дөңес төртбұрыштың ауданын оның диагональдары мен олардың арасындағы бұрыш арқылы табуға болады