Барлық арифметикалық прогрессия формулалары. Арифметикалық прогрессия. Сандар тізбегінің тағы бір түрі - геометриялық

Математиканың сурет пен поэзия сияқты өзіндік сұлулығы бар.

Орыс ғалымы, механик Н.Е. Жуковский

Арифметикалық прогрессия ұғымына байланысты есептер математикаға түсу емтихандарында өте жиі кездесетін мәселелер болып табылады. Мұндай есептерді табысты шешу үшін арифметикалық прогрессияның қасиеттерін жақсы білу және оларды қолдануда белгілі бір дағдыларға ие болу қажет.

Біз алдымен арифметикалық прогрессияның негізгі қасиеттерін еске түсіріп, ең маңызды формулаларды ұсынамыз, осы ұғымға байланысты.

Анықтама. Сандар тізбегі, онда әрбір кейінгі мүше бұрынғыдан бірдей санмен ерекшеленеді, арифметикалық прогрессия деп атайды. Оның үстіне саныпрогрессияның айырмашылығы деп атайды.

Арифметикалық прогрессия үшін келесі формулалар жарамды

, (1)

қайда. (1) формула арифметикалық прогрессияның жалпы мүшесінің формуласы деп аталады, ал (2) формула арифметикалық прогрессияның негізгі қасиеті болып табылады: прогрессияның әрбір мүшесі көршілес мүшелерінің орташа арифметикалық сәйкес келеді және.

Назар аударыңыз, дәл осы қасиеттің арқасында қарастырылатын прогрессия «арифметикалық» деп аталады.

Жоғарыда келтірілген (1) және (2) формулалар келесідей жалпыланған:

(3)

Соманы есептеу үшінең бірінші арифметикалық прогрессия мүшелеріәдетте формула қолданылады

(5) қайда және.

Формуланы ескере отырып (1), онда (5) формула білдіреді

Егер біз белгілейтін болсақ, онда

қайда. Өйткені, (7) және (8) формулалар сәйкес формулалардың (5) және (6) жалпылауы болып табылады.

Соның ішінде , (5) формула білдіреді, не

Келесі теоремамен тұжырымдалған арифметикалық прогрессияның қасиеті оқушылардың көпшілігіне белгілі емес.

Теорема.Егер, онда

Дәлел.Егер, онда

Теорема дәлелденді.

Мысалға , теореманы қолдана отырып, мұны көрсетуге болады

«Арифметикалық прогрессия» тақырыбындағы есептерді шығарудың типтік мысалдарын қарастыруға көшейік.

Мысал 1.Болсын және. Табыңыз.

Шешім.(6) формуланы қолдана отырып, біз аламыз. Содан бері, содан кейін немесе.

Мысал 2.Ол үш есе көп болсын, ал бөлікке бөлгенде біз 2 және қалдық 8 аламыз. Анықтаңыз және.

Шешім.Мысал шарты теңдеулер жүйесін білдіреді

,, және, содан кейін (10) теңдеулер жүйесінен аламыз

Бұл теңдеулер жүйесінің шешімі - және.

Мысал 3.Егер болса, табыңыз.

Шешім.(5) формула бойынша бізде немесе. Алайда, меншікті (9) пайдалана отырып, біз аламыз.

Содан бері, содан кейін теңдіктен теңдеу төмендегідей боладынемесе.

Мысал 4.Болса табыңыз.

Шешім.(5) формула бойынша бізде бар

Алайда, теореманы қолдана отырып, жазуға болады

Осыдан және (11) формуладан аламыз.

Мысал 5. Берілген :. Табыңыз.

Шешім.Сол уақыттан бері. Алайда, сондықтан.

Мысал 6.Келіңіз, және. Табыңыз.

Шешім.(9) формуланы қолдана отырып, біз аламыз. Сондықтан, егер, онда немесе.

Бері және, онда бізде теңдеулер жүйесі бар

Қайсысын шешеміз, біз аламыз және.

Теңдеудің табиғи түбіріболып табылады.

Мысал 7.Егер болса, табыңыз.

Шешім.(3) формуласы бойынша бізде бұл бар, онда есептерді шығару теңдеулер жүйесін білдіреді

Егер сіз өрнекті ауыстырсаңызжүйенің екінші теңдеуіне, онда біз аламыз немесе.

Квадрат теңдеудің түбірлеріжәне .

Екі жағдайды қарастырайық.

1. Олай болса. Содан бері, содан кейін.

Бұл жағдайда (6) формула бойынша бізде

2. Егер, онда, және

Жауап: және.

Мысал 8.Бұл белгілі және. Табыңыз.

Шешім.(5) формуланы және мысалдың шартын ескере отырып, біз жазамыз және.

Осыдан теңдеулер жүйесі шығады

Егер жүйенің бірінші теңдеуін 2 -ге көбейтіп, содан кейін оны екінші теңдеуге қоссақ, онда аламыз

(9) формула бойынша бізде бар... Осыған байланысты, (12) -ден мыналар шығадынемесе.

Содан бері, содан кейін.

Жауабы:.

Мысал 9.Егер болса, табыңыз.

Шешім.Өйткені, және шарт бойынша, содан кейін немесе.

(5) формуладан белгілі, не . Сол уақыттан бері.

Демек, мұнда бізде сызықтық теңдеулер жүйесі бар

Сондықтан біз аламыз және. (8) формуланы ескере отырып, біз жазамыз.

Мысал 10.Теңдеуді шешіңіз.

Шешім.Берілген теңдеуден мыналар шығады. Айталық ,, және. Мұндай жағдайда .

(1) формула бойынша сіз жаза аласыз немесе.

Содан бері, (13) теңдеудің бір ғана сәйкес түбірі бар.

Мысал 11.Бұл жағдайда берілген ең үлкен мәнді табыңыз.

Шешім.Өйткені қарастырылған арифметикалық прогрессия төмендейді. Осыған байланысты өрнек максималды мәнді алады, егер ол прогрессияның минималды оң мүшесінің саны болса.

Біз (1) формуланы және фактіні қолданамыз, сияқты. Содан кейін біз мұны аламыз.

Содан бері, содан кейін немесе ... Алайда, бұл теңсіздіктеең үлкен натурал сан, сондықтан

Егер, және мәндері (6) формуласымен алмастырылса, онда аламыз.

Жауабы:.

Мысал 12.Барлық екі таңбалы натурал сандардың қосындысын анықтаңыз, олар 6-ға бөлінгенде 5-ке қалды.

Шешім.Барлық екі таңбалы натурал сандардың жиынтығымен белгілейік, яғни. ... Содан кейін біз жиынтықтың элементтерінен (сандарынан) тұратын жиын құрамыз, олар 6 -ға бөлінгенде қалдықты 5 береді.

Оны орнату қиын емес, не . Әлбетте, бұл жиынның элементтеріарифметикалық прогрессияны құрады, онда және.

Жиынның кардиналдылығын (элементтердің санын) анықтау үшін біз осылай деп есептейміз. Және, содан кейін (1) формуладан келесі немесе. (5) формуланы ескере отырып, біз аламыз.

Мәселені шешудің жоғарыда келтірілген мысалдары толық деп айтуға болмайды. Бұл мақала берілген тақырып бойынша типтік мәселелерді шешудің заманауи әдістерін талдау негізінде жазылған. Арифметикалық прогрессиямен байланысты есептерді шешу әдістерін тереңірек зерттеу үшін ұсынылған әдебиеттер тізіміне жүгінген жөн.

1. Техникалық колледждерге түсушілер үшін математикадан есептер жинағы / Ред. М.И. Сканави. - М.: Бейбітшілік пен білім, 2013 .-- 608 б.

2. Супрун В.П. Жоғары сынып оқушыларына арналған математика: мектеп бағдарламасының қосымша бөлімдері. - М.: Ленанд / URSS, 2014.- 216 б.

3. Медынский М.М. Есептер мен жаттығулардағы қарапайым математиканың толық курсы. 2 -кітап: Сандар тізбегі мен прогрессиясы. - М.: Эдит, 2015 .-- 208 б.

Әлі де сұрақтарыңыз бар ма?

Тәрбиешіден көмек алу үшін - тіркеліңіз.

сайт материалды толық немесе ішінара көшіре отырып, дереккөзге сілтеме қажет.

Сабақтың түрі:жаңа материалды меңгеру.

Сабақтың мақсаты:

• арифметикалық прогрессия көмегімен шешілетін есептер туралы оқушылардың түсініктерін кеңейту және тереңдету; арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласын шығаруда оқушылардың іздену әрекетін ұйымдастыру;
• жаңа білімді өз бетінше алу дағдыларын дамыту, қойылған білімді қойылған мақсатқа жету үшін пайдалану;
• алынған фактілерді жалпылауға деген ұмтылыс пен қажеттіліктің дамуы, тәуелсіздіктің дамуы.

Тапсырмалар:

• «Арифметикалық прогрессия» тақырыбы бойынша бар білімді жинақтау және жүйелеу;
• арифметикалық прогрессияның бірінші n мүшесінің қосындысын есептеуге арналған формулаларды шығарады;
• алынған формулаларды әр түрлі есептерді шығаруда қолдануға үйрету;
• цифрлық өрнектің мәнін табу кезінде оқушылардың назарын іс -әрекет ретіне аудару.

Жабдық:

• топпен және жұппен жұмыс жасауға арналған тапсырмалары бар карточкалар;
• бағалау парағы;
• презентация«Арифметикалық прогрессия».

I. Негізгі білімді жаңарту.

1.Жұппен орындалатын өзіндік жұмыс.

Бірінші нұсқа:

Арифметикалық прогрессияға анықтама беріңіз. Арифметикалық прогрессияны анықтайтын қайталанатын формуланы жазыңыз. Сәлеметсіз бе, арифметикалық прогрессияның мысалы және оның айырмашылығын көрсетіңіз.

Екінші нұсқа:

Арифметикалық прогрессияның n -ші мүшесінің формуласын жазыңыз. Арифметикалық прогрессияның 100 -ші мүшесін табыңыз ( а}: 2, 5, 8 …
Осы кезде тақта артындағы екі оқушы сол сұрақтарға жауап дайындайды.
Оқушылар әріптестің жұмысын тақтаға қарсы бағалайды. (Жауап парақтары таратылады).

2. Ойын сәті.

1 -жаттығу.

Мұғалім.Мен арифметикалық прогрессияны ойладым. Маған екі сұрақ қойыңыз, сонда жауаптардан кейін сіз осы прогрессияның 7 -ші мүшесін тез атай аласыз. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ...)

Оқушылардың сұрақтары.

1. Прогрессияның алтыншы мүшесі қандай және айырмашылығы неде?
2. Прогрессияның сегізінші мүшесі қандай және айырмашылығы неде?

Егер басқа сұрақтар болмаса, онда мұғалім оларды ынталандыра алады - d (айырмашылыққа) «тыйым», яғни айырмашылық неде деп сұрауға болмайды. Сіз сұрақтар қоя аласыз: прогрессияның 6 -шы мүшесі және прогрессияның 8 -ші мүшесі қандай?

2 -тапсырма.

Тақтада 20 сан жазылған: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Мұғалім тақтаға арқасын қойып тұрады. Оқушылар нөмірге қоңырау шалады, ал мұғалім бірден нөмірге қоңырау шалады. Мұны қалай жасайтынымды түсіндіріңіз?

Мұғалім n тоқсанның формуласын есте сақтайды a n = 3n - 2және берілген n мәндерін алмастыра отырып, сәйкес мәндерді табады а

II. Тәрбие мәселесі туралы мәлімдеме.

Мен біздің заманымызға дейінгі 2 -мыңжылдыққа жататын Египет папирустарынан табылған ежелгі мәселені шешуді ұсынамын.

Тапсырма:«Сізге айтсын: арпаның 10 өлшемін 10 адамға бөліңіз, әр адам мен оның көршісінің айырмашылығы шараның 1/8 бөлігіне тең».

• Бұл тапсырма арифметикалық прогрессия тақырыбымен қалай байланысты? (Әрқайсысы 1/8 мөлшерінде көбірек алады, бұл d = 1/8, 10 адам, яғни n = 10 дегенді білдіреді)
• Сіздің ойыңызша 10 саны нені білдіреді? (Прогрессияның барлық мүшелерінің қосындысы.)
• Арпаны тапсырманың шартына сәйкес бөлуді жеңіл және қарапайым ету үшін тағы не білу керек? (Прогрессияның бірінші мүшесі.)

Сабақтың мақсаты- прогрессия мүшелерінің қосындысының олардың санына, бірінші мүшесі мен айырмасына тәуелділігін алу және ежелгі уақытта мәселенің дұрыс шешілгенін тексеру.

Формуланың қорытындысын жасамас бұрын, ежелгі египеттіктер мәселені қалай шешкенін көрейік.

Және олар оны келесідей шешті:

1) 10 шара: 10 = 1 шара - орташа үлес;
2) 1 шара ∙ = 2 шара - екі еселенді орташабөлісу.
Екі еселенді орташаакция - 5 пен 6 -шы адамдардың акцияларының қосындысы.
3) 2 шара - 1/8 шара = 1 7/8 шара - бесінші адамның үлесінен екі есе көп.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - бесінші үлес; және т.б., сіз әрбір алдыңғы және кейінгі тұлғаның үлесін таба аласыз.

Біз тізбекті аламыз:

III. Мәселенің шешімі.

1. Топпен жұмыс

І топ: 20 натурал санның қосындысын табыңыз: S 20 = (20 + 1) ∙ 10 = 210.

Жалпы алғанда

ІІ топ: 1 -ден 100 -ге дейінгі натурал сандардың қосындысын табыңыз (Кіші Гаусс туралы аңыз).

S 100 = (1 + 100) ∙ 50 = 5050

Шығу:

ІІІ топ: 1 -ден 21 -ге дейінгі натурал сандардың қосындысын табыңыз.

Шешуі: 1 + 21 = 2 + 20 = 3 + 19 = 4 + 18 ...

Шығу:

IV топ: 1 -ден 101 -ге дейінгі натурал сандардың қосындысын табыңыз.

Шығу:

Қарастырылған есептерді шешудің бұл әдісі «Гаусс әдісі» деп аталады.

2. Әр топ есептің шешімін тақтада көрсетеді.

3. Ерікті арифметикалық прогрессия үшін ұсынылған шешімдерді жалпылау:

a 1, a 2, a 3, ..., a n-2, a n-1, a n.
S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +… + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Осы соманы дәл осылай ойлау арқылы табайық:

4. Біз алдымызға қойылған тапсырманы шештік пе?(Иә.)

IV. Алынған формулаларды есептерді шешуде бастапқы түсіну және қолдану.

1. Ескі мәселенің шешімін формула арқылы тексеру.

2. Әр түрлі есептерді шығаруда формуланы қолдану.

3. Есептер шығару кезінде формуланы қолдану дағдысын қалыптастыруға арналған жаттығулар.

А) № 613

Берілген: ( а) -арифметикалық прогрессия;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Табыңыз: S 1500

Шешім: , 1 = 1, 1500 = 1500,

B) берілген: ( а) -арифметикалық прогрессия;
(а): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Табыңыз: n
Шешім:

V. Өзара тексерумен өзіндік жұмыс.

Денис курьер болып жұмысқа кетті. Бірінші айда оның жалақысы 200 рубль болды, әр келесі айда ол 30 рубльге өсті. Ол бір жылда қанша табыс тапты?

Берілген: ( а) -арифметикалық прогрессия;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Табыңыз: S 12
Шешім:

Жауап: Денис бір жылда 4380 рубль алды.

Vi. Үй тапсырмасын түсіндіру.

1. 4.3 б. - формуланың шығарылуын үйрену.
2. №№ 585, 623 .
3. Арифметикалық прогрессияның бірінші n мүшесінің қосындысының формуласын қолданып шешілетін есеп құрыңыз.

VII. Сабақты қорытындылау.

1. Бағалау парағы

2. Сөйлемдерді жалғастырыңыз

• Бүгін мен сабақта білдім ...
• Үйренген формулалар ...
• Менің ойымша…

3. 1 -ден 500 -ге дейінгі сандардың қосындысын таба аласыз ба? Бұл мәселені шешу үшін сіз қандай әдісті қолданасыз?

Әдебиеттер тізімі.

1. Алгебра, 9 сынып. Білім беру ұйымдарына арналған оқулық. Ed. Г.В. Дорофеева.М.: «Білім», 2009 ж.

Иә, иә: арифметикалық прогрессия сіз үшін ойыншық емес :)

Достар, егер сіз бұл мәтінді оқып жатсаңыз, онда ішкі анықтық маған әлі де арифметикалық прогрессияның не екенін білмейтіндігіңізді айтады, бірақ сіз шынымен де (жоқ, осылай: SOOOOO!) Білгіңіз келеді. Сондықтан мен сізді ұзақ таныстырулармен қинамаймын және бірден жұмысқа кірісемін.

Бір -екі мысалдан бастайық. Бірнеше сандар жиынтығын қарастырыңыз:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \ sqrt (2); \ 2 \ sqrt (2); \ 3 \ sqrt (2); ... $

Бұл жиынтықтардың бәріне ортақ не бар? Бір қарағанда, ештеңе жоқ. Бірақ іс жүзінде бір нәрсе бар. Атап айтқанда: әрбір келесі элемент алдыңғы саннан бірдей санмен ерекшеленеді.

Өзіңіз бағалаңыз. Бірінші жиын - бұл жай қатардағы сандар, олардың әрқайсысы алдыңғы саннан көп. Екінші жағдайда, іргелес сандар арасындағы айырмашылық қазірдің өзінде беске тең, бірақ бұл айырмашылық әлі де тұрақты. Үшінші жағдайда, жалпы тамырлар. Алайда $ 2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $ және $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, яғни. және бұл жағдайда әрбір келесі элемент $ \ sqrt (2) $ көбейеді (және бұл сан қисынсыз деп қорықпаңыз).

Сонымен: мұндай тізбектердің барлығы арифметикалық прогрессия деп аталады. Қатаң анықтама берейік:

Анықтама. Әрқайсысы алдыңғыдан дәл осындай шамада ерекшеленетін сандар тізбегі арифметикалық прогрессия деп аталады. Сандардың айырмашылығы соманы прогрессияның айырмасы деп атайды және көбінесе $ d $ әрпімен белгілейді.

Белгілеу: $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $ - прогрессияның өзі, $ d $ - оның айырмашылығы.

Және бірнеше маңызды ескертулер. Біріншіден, тек реттелгенсандар тізбегі: оларды қатаң түрде жазылу ретімен оқуға рұқсат етіледі - және басқа ештеңе жоқ. Сіз сандарды қайта реттей алмайсыз немесе алмастыра алмайсыз.

Екіншіден, тізбектің өзі ақырлы немесе шексіз болуы мүмкін. Мысалы, (1; 2; 3) жиыны ақырғы арифметикалық прогрессия екені анық. Бірақ егер сіз рухта бірдеңе жазсаңыз (1; 2; 3; 4; ...) - бұл қазірдің өзінде шексіз прогресс. Төрттен кейінгі эллипс әлі де бірнеше сандар бар екенін көрсетеді. Шексіз көп, мысалы. :)

Сонымен қатар, ілгерілеушіліктер көбейіп, азайып келе жатқанын атап өткім келеді. Біз өсіп келе жатқанын көрдік - сол жиын (1; 2; 3; 4; ...). Ал прогрессияның төмендеуінің мысалдары:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \ sqrt (5); \ \ sqrt (5) -1; \ \ sqrt (5) -2; \ \ sqrt (5) -3; ... $

Жақсы, жақсы: бұл соңғы мысал тым күрделі болып көрінуі мүмкін. Бірақ қалғаны, сіз түсінесіз деп ойлаймын. Сондықтан біз жаңа анықтамаларды енгіземіз:

Анықтама. Арифметикалық прогрессия деп аталады:

1. егер әрбір келесі элемент алдыңғыға қарағанда үлкен болса, көбейеді;
2. төмендейді, егер керісінше, әрбір келесі элемент алдыңғыға қарағанда аз болса.

Сонымен қатар, «стационарлық» деп аталатын тізбектер бар - олар бірдей қайталанатын саннан тұрады. Мысалы, (3; 3; 3; ...).

Бір ғана сұрақ қалады: өсіп келе жатқан прогресті азаюдан қалай ажыратуға болады? Бақытымызға орай, бәрі $ d $ санының белгісіне байланысты, яғни. айырмашылық прогрессиясы:

1. Егер $ d \ gt 0 $ болса, онда прогрессия артады;
2. Егер $ d \ lt 0 $ болса, онда прогресс анық төмендейді;
3. Ақырында $ d = 0 $ жағдайы бар - бұл жағдайда бүкіл прогрессия сандардың стационарлық тізбегіне дейін азаяды: (1; 1; 1; 1; ...) және т.б.

Жоғарыда келтірілген үш кемуші прогрессия үшін $ d $ айырмасын есептеп көрейік. Ол үшін кез келген екі іргелес элементтерді (мысалы, бірінші және екінші) алып, оң жақтағы саннан сол жақтағы санды алып тастау жеткілікті. Ол келесідей болады:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \ sqrt (5) -1- \ sqrt (5) = - 1 $.

Көріп отырғаныңыздай, барлық үш жағдайда айырмашылық шынымен теріс болып шықты. Енді біз анықтамаларды азды -көпті анықтадық, прогрессияның қалай сипатталатынын және олардың қандай қасиеттері бар екенін анықтайтын кез келді.

Прогрессия мүшелері және қайталанатын формула

Біздің тізбектердің элементтерін алмастыруға болмайтындықтан, оларды нөмірлеуге болады:

\ [\ солға (((а) _ (н)) \ оң) = \ солға \ (((а) _ (1)), \ ((а) _ (2)), ((а) _ (3 )), ... \ оң \) \]

Бұл жиынның жеке элементтері прогрессия мүшелері деп аталады. Олар санмен көрсетіледі: бірінші тоқсан, екінші тоқсан және т.б.

Сонымен қатар, біз білетіндей, прогрессияның іргелес мүшелері формуламен байланысты:

\ [((a) _ (n))-((a) _ (n-1)) = d \ Rightarrow ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d \]

Қысқаша айтқанда, $ n $ th терминін прогрессияда табу үшін $ n-1 $ th мерзімін және $ d $ айырмашылығын білу қажет. Мұндай формула қайталанатын деп аталады, өйткені оның көмегімен сіз кез -келген санды таба аласыз, тек алдыңғысын біле аласыз (және шын мәнінде - барлық алдыңғы). Бұл өте ыңғайсыз, сондықтан кез келген есептеулерді бірінші тоқсанға дейін төмендететін күрделі формула бар:

\ [((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ солға (n-1 \ оңға) d \]

Әрине, сіз бұл формуланы таптыңыз. Олар оны әр түрлі анықтамалықтар мен решебниктерде бергенді жақсы көреді. Математика бойынша кез келген саналы оқулықта ол алғашқылардың бірі болады.

Дегенмен, мен аздап жаттығуды ұсынамын.

Мәселе нөмірі 1. $ \ Left ((((a) _ (n)) \ right) $ арифметикалық прогрессияның алғашқы үш мүшесін жазыңыз, егер $ ((a) _ (1)) = 8 болса, d = -5 $.

Шешім. Сонымен, біз $ ((a) _ (1)) = 8 $ бірінші мүшесі мен $ d = -5 $ прогрессиясының айырмашылығын білеміз. Енді берілген формуланы қолданып, $ n = 1 $, $ n = 2 $ және $ n = 3 $ ауыстырайық:

\ [\ бастау (туралау) & ((а) _ (n)) = ((а) _ (1)) + \ сол жақ (n-1 \ оң) d; \\ & ((а) _ (1)) = ((а) _ (1)) + \ солға (1-1 \ оңға) d = ((а) _ (1)) = 8; \\ & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + \ солға (2-1 \ оңға) d = ((a) _ (1)) + d = 8-5 = 3; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + \ солға (3-1 \ оңға) d = ((a) _ (1)) + 2d = 8-10 = -2. \\ \ end (туралау) \]

Жауабы: (8; 3; -2)

Осымен болды! Назар аударыңыз: біздің прогресс төмендейді.

Әрине, $ n = 1 $ алмастыру мүмкін емес еді - бірінші термин бізге бұрыннан белгілі. Алайда, біреуін алмастыра отырып, біз формуламыздың бірінші тоқсанда да жұмыс істейтініне көз жеткіздік. Басқа жағдайларда, бәрі қарапайым арифметикаға айналды.

Мәселе нөмірі 2. Арифметикалық прогрессияның алғашқы үш мүшесін жазыңыз, егер оның жетінші мүшесі –40, он жетінші мүшесі –50 болса.

Шешім. Мәселенің шартын әдеттегі терминдермен жазайық:

\ [((a) _ (7)) = - 40; \ quad ((a) _ (17)) = - 50. \]

\ [\ солға \ (\ бастау (туралау) & ((а) _ (7)) = ((а) _ (1)) + 6d \\ & ((а) _ (17)) = ((а) _ (1)) + 16d \\ \ end (туралау) \ оңға. \]

\ [\ солға \ (\ бастау (туралау) & ((а) _ (1)) + 6d = -40 \\ & ((a) _ (1)) + 16d = -50 \\ \ соңы (туралау) \ оң. \]

Мен жүйенің белгісін қойдым, себебі бұл талаптар бір уақытта орындалуы керек. Ал енді екінші теңдіктен біріншісін алып тастасақ (бізде жүйе бар болғандықтан, мұны жасауға құқығымыз бар) мынаны аламыз:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 16d- \ left (((a) _ (1)) + 6d \ right) =- 50- \ left (-40 \ оңға); \\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d = -50 + 40; \\ & 10d = -10; \\ & d = -1. \\ \ end (туралау) \]

Біз прогрестің айырмашылығын оңай таптық! Табылған санды жүйенің кез келген теңдеуіне ауыстыру қалады. Мысалы, біріншісінде:

\ [\ бастау (матрица) ((a) _ (1)) + 6d = -40; \ quad d = -1 \\ \ Downarrow \\ ((a) _ (1)) -6 = -40; \\ ((а) _ (1)) = - 40 + 6 = -34. \\ \ соңы (матрица) \]

Енді бірінші термин мен айырмашылықты біле отырып, екінші және үшінші мүшелерді табу қалады:

\ [\ бастау (туралау) & ((а) _ (2)) = ((а) _ (1)) + d = -34-1 = -35; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + 2d = -34-2 = -36. \\ \ end (туралау) \]

Дайын! Мәселе шешілді.

Жауабы: (-34; -35; -36)

Біз ашқан прогрессияның қызықты қасиетіне назар аударыңыз: егер біз $ n $ th және $ m $ th шарттарын алып, оларды бір-бірінен алып тастасақ, онда прогрессияның айырмашылығын $ n-m $ санына көбейтеміз:

\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) = d \ cdot \ солға (n -m \ оңға) \]

Сіз білуі керек қарапайым, бірақ өте пайдалы қасиет - оның көмегімен сіз көптеген мәселелерді прогрессиямен шешуді едәуір жылдамдата аласыз. Міне басты мысал:

Мәселе нөмірі 3. Арифметикалық прогрессияның бесінші мүшесі 8,4, ал оныншы мүшесі 14,4. Осы прогрессияның он бесінші мүшесін табыңыз.

Шешім. $ ((A) _ (5)) = 8.4 $, $ ((a) _ (10)) = 14.4 $ болғандықтан, және сізге $ ((a) _ (15)) $ табу керек, содан кейін біз мынаны ескереміз :

\ [\ бастау (туралау) & ((а) _ (15)) - ((а) _ (10)) = 5d; \\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 5d. \\ \ end (туралау) \]

Бірақ $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 14.4-8.4 = $ 6 шарты бойынша, сондықтан $ 5d = $ 6, бізде:

\ [\ бастау (туралау) & ((а) _ (15)) - 14.4 = 6; \\ & ((а) _ (15)) = 6 + 14.4 = 20.4. \\ \ end (туралау) \]

Жауабы: 20.4

Осымен болды! Бізге кейбір теңдеулер жүйесін құрудың, бірінші мүше мен айырмашылықты есептеудің қажеті болмады - барлығы бірнеше жолда шешілді.

Енді тапсырмалардың басқа түрін қарастырайық - прогрессияның жағымсыз және оң мүшелерін табу. Жасыратыны жоқ, егер прогрессия жоғарыласа, бірінші мүше теріс болса, онда ерте ме, кеш пе оң мүшелер пайда болады. Және керісінше: азаятын прогрессия мүшелері ерте ме, кеш пе теріс айналады.

Сонымен қатар, элементтерді кезек-кезек өтіп, бұл сәтті «баспен» қарау әрқашан мүмкін емес. Көбінесе есептер формулаларды білместен есептеулер бірнеше парақты алатындай етіп жасалған - біз жауап тапқан кезде ұйықтап кететінбіз. Сондықтан біз бұл мәселелерді тезірек шешуге тырысамыз.

Есеп нөмірі 4. -38,5 арифметикалық прогрессияда неше теріс мүше бар; −35,8; ...?

Шешім. Сонымен, $ ((a) _ (1)) = - 38,5 $, $ ((a) _ (2)) = - 35,8 $, одан біз бірден айырмашылықты табамыз:

Назар аударыңыз, айырмашылық оң, сондықтан прогрессия артады. Бірінші термин теріс, сондықтан бір сәтте біз оң сандарға сүрінеміз. Жалғыз сұрақ - бұл қашан болады.

Білуге ​​тырысайық: терминдердің терістігі қанша уақытқа дейін (яғни $ n $ натурал санына дейін) сақталады:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) \ lt 0 \ Rightarrow ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ оң) d \ lt 0; \\ & -38.5+ \ солға (n -1 \ оңға) \ cdot 2.7 \ lt 0; \ quad \ left | \ cdot 10 \ оңға. \\ & -385 + 27 \ cdot \ солға (n -1 \ оңға) \ lt 0; \\ & -385 + 27n -27 \ lt 0; \\ & 27n \ lt 412; \\ & n \ lt 15 \ frac (7) (27) \ Rightarrow ((n) _ (\ max)) = 15. \\ \ end (туралау) \]

Соңғы жолға түсініктеме қажет. Сонымен, $ n \ lt 15 \ frac (7) (27) $ екенін білеміз. Екінші жағынан, біз тек санның бүтін мәндеріне қанағаттанамыз (сонымен қатар $ n \ mathbb (N) $), сондықтан рұқсат етілген ең үлкен сан дәл $ n = 15 $, және ешбір жағдайда 16 -да.

Мәселе нөмірі 5. Арифметикалық прогрессияда $ (() _ (5)) = - 150, (() _ (6)) = - 147 $. Осы прогрессияның бірінші оң мүшесінің санын табыңыз.

Бұл алдыңғы мәселе сияқты дәл болар еді, бірақ біз $ ((a) _ (1)) $ білмейміз. Бірақ көршілес терминдер белгілі: $ ((a) _ (5)) $ және $ ((a) _ (6)) $, сондықтан біз прогрессияның айырмашылығын оңай таба аламыз:

Сонымен қатар, біз бесінші мүшені стандартты формула бойынша біріншісі мен айырмашылығы бойынша білдіруге тырысамыз:

\ [\ бастау (туралау) & ((а) _ (n)) = ((а) _ (1)) + \ сол жақ (n-1 \ оң) \ cdot d; \\ & ((a) _ (5)) = ((a) _ (1)) + 4d; \\ & -150 = ((а) _ (1)) + 4 \ cdot 3; \\ & ((а) _ (1)) = -150-12 = -162. \\ \ end (туралау) \]

Енді біз алдыңғы тапсырманың ұқсастығы бойынша жұмыс жасаймыз. Біз кезегіміздің қай кезеңінде оң сандар болатынын білеміз:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = - 162+ \ left (n -1 \ right) \ cdot 3 \ gt 0; \\ & -162 + 3n -3 \ gt 0; \\ & 3n \ gt 165; \\ & n \ gt 55 \ Rightarrow ((n) _ (\ min)) = 56. \\ \ end (туралау) \]

Бұл теңсіздіктің ең кіші бүтін санының шешімі - 56.

Назар аударыңыз: соңғы тапсырмада барлығы қатаң теңсіздікке дейін қысқартылды, сондықтан $ n = 55 $ опциясы бізге сәйкес келмейді.

Енді біз қарапайым есептерді шешуді үйрендік, енді күрделі мәселелерге көшейік. Алдымен, арифметикалық прогрессияның тағы бір пайдалы қасиетін зерттейік, ол бізге көп уақытты және болашақта тең емес ұяшықтарды үнемдейді. :)

Арифметикалық орташа және тең шегіністер

$ \ Left (((a) _ (n)) \ right) $ артып келе жатқан арифметикалық прогрессияның бірнеше мүшелерін қарастырыңыз. Оларды сандық жолда белгілеуге тырысайық:

Сандық жолдағы арифметикалық прогрессияның мүшелері

Мен $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $ емес кез келген $ ((a) _ (1)), \ ( (a) _ (2)), \ ((a) _ (3)) $ және т.б. Өйткені мен қазір айтатын ереже кез келген «сегменттерде» бірдей жұмыс істейді.

Және ереже өте қарапайым. Қайталану формуласын еске түсіріп, оны барлық белгіленген мүшелер үшін жазайық:

\ [\ бастау (туралау) & ((а) _ (n-2)) = ((а) _ (n-3)) + d; \\ & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n-2)) + d; \\ & ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n + 1)) + d; \\ \ end (туралау) \]

Алайда, бұл теңдіктерді басқаша жазуға болады:

\ [\ бастау (туралау) & ((а) _ (n -1)) = ((а) _ (n)) - d; \\ & ((a) _ (n -2)) = ((a) _ (n)) - 2d; \\ & ((a) _ (n -3)) = ((a) _ (n)) - 3d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (n + 3)) = ((a) _ (n)) + 3d; \\ \ end (туралау) \]

Ал, не? $ ((A) _ (n-1)) $ және $ ((a) _ (n + 1)) $ терминдері $ ((a) _ (n)) $ -дан бірдей қашықтықта жатыр . Және бұл қашықтық $ d $ -ға тең. $ ((A) _ (n -2)) $ және $ ((a) _ (n + 2)) $ мүшелері туралы да осылай айтуға болады - олар $ ((a) _ (n) ішінен де жойылады. ) $ сол қашықтық $ 2d $ -ға тең. Сіз шексіз жалғастыра аласыз, бірақ мағынасы суретте жақсы көрсетілген.

Прогрессия мүшелері орталықтан бірдей қашықтықта жатады

Бұл біз үшін нені білдіреді? Бұл көрші сандар белгілі болса, $ ((a) _ (n)) $ таба алатындығыңызды білдіреді:

\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \]

Біз керемет мәлімдеме жасадық: арифметикалық прогрессияның әрбір мүшесі көршілес мүшелердің орташа арифметикалық мәніне тең! Сонымен қатар: біз $ ((a) _ (n)) $ -дан солға және оңға бір қадам емес, $ k $ қадаммен ауытқуымыз мүмкін - және бәрібір формула дұрыс болады:

\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \]

Анау. $ ((a) _ (100)) $ және $ ((a) _ (200)) $ білетін болсақ, $ ((a) _ (150)) $ оңай таба аламыз, себебі $ ((a) _ (150)) = \ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. Бір қарағанда, бұл факт бізге пайдалы ештеңе бермейтін сияқты. Алайда, іс жүзінде көптеген есептер орташа арифметикалық мәнді қолдану үшін арнайы «өткірленеді». Қара:

Мәселе нөмірі 6. $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ және $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ сандары қатарынан мүше болатын $ x $ барлық мәндерін табыңыз. арифметикалық прогрессия (ретімен).

Шешім. Көрсетілген сандар прогрессия мүшелері болғандықтан, олар үшін орташа арифметикалық шарт қанағаттандырылады: $ x + 1 $ орталық элементі көршілес элементтермен өрнектеледі:

\ [\ бастау (туралау) & x + 1 = \ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = \ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = 7 - ((x) ^ (2)); \\ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \ end (туралау) \]

Нәтиже - классикалық квадрат теңдеу. Оның түбірлері: $ x = 2 $ және $ x = -3 $ - бұл жауаптар.

Жауабы: −3; 2018-05-07 121 2.

Мәселе нөмірі 7. $$ мәндерін табыңыз, олар үшін $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ сандары арифметикалық прогрессия жасайды (сол ретпен).

Шешім. Тағы да біз орта мерзімді көршілес терминдердің арифметикалық орташа мәні бойынша білдіреміз:

\ [\ бастау (туралау) & 4x-3 = \ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\ & 4x-3 = \ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \ quad \ left | \ cdot 2 \ оң жақ.; \\ & 8x-6 = ((x) ^ (2)) + x; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 = 0. \\ \ end (туралау) \]

Тағы да квадрат теңдеу. Тағы да екі түбір бар: $ x = 6 $ және $ x = 1 $.

Жауабы: 1; 6.

Егер мәселені шешу барысында сіз қатал сандарды шығарсаңыз немесе сіз табылған жауаптардың дұрыстығына толық сенімді болмасаңыз, онда тексеруге мүмкіндік беретін керемет әдіс бар: біз мәселені дұрыс шештік пе?

Мысалы, №6 есепте біз -3 және 2 жауаптарды алдық. Бұл жауаптардың дұрыстығын қалай тексеруге болады? Оларды бастапқы күйге қосып, не болатынын көрейік. Естеріңізге сала кетейін, бізде үш сан бар ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ және $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), олар арифметикалық прогрессияны құруы керек. $ X = -3 $ алмастырыңыз:

\ [\ begin (туралау) & x = -3 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = -54; \\ & x + 1 = -2; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \ соңы (туралау) \]

Алынған нөмірлер -54; −2; 52, айырмашылығы 50, сөзсіз арифметикалық прогрессия болып табылады. $ X = 2 $ үшін де солай болады:

\ [\ begin (align) & x = 2 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 24; \\ & x + 1 = 3; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \ соңы (туралау) \]

Тағы да прогрессия, бірақ айырмашылығы 27. Осылайша, мәселе дұрыс шешілді. Қызығушылық танытқандар екінші мәселені өз бетінше тексере алады, бірақ мен бірден айтамын: онда да бәрі дұрыс.

Жалпы алғанда, соңғы мәселелерді шеше отырып, біз тағы бір қызықты фактіні кездестірдік, оны есте сақтау қажет:

Егер үш сан екіншісі бірінші мен соңғының арифметикалық ортасы болатындай болса, онда бұл сандар арифметикалық прогрессияны құрайды.

Болашақта бұл мәлімдемені түсіну бізге мәселенің жағдайына сүйене отырып, қажетті прогрессияны «құруға» мүмкіндік береді. Бірақ мұндай «құрылысқа» кіріспес бұрын, біз қарастырылғаннан тікелей шығатын тағы бір фактіге назар аударған жөн.

Элементтердің топтастырылуы мен қосындысы

Сандар осіне қайта оралайық. Онда прогрессияның бірнеше мүшелерін атап өтейік, олардың арасында, мүмкін. басқа мүшелер көп:

Сандық жолда 6 элемент белгіленген

«Сол жақ құйрықты» $ ((a) _ (n)) $ және $ d $, ал «оң жақ құйрықты» $ ((a) _ (k)) $ және $ d $ арқылы білдіруге тырысайық. . Бұл өте оңай:

\ [\ бастау (туралау) & ((а) _ (n + 1)) = ((а) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (k -1)) = ((a) _ (k)) - d; \\ & ((a) _ (k -2)) = ((a) _ (k)) - 2к. \\ \ end (туралау) \]

Енді келесі сомалар тең екенін ескеріңіз:

\ [\ бастау (туралау) & ((a) _ (n)) + ((а) _ (k)) = S; \\ & (a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k -1)) = ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d = S; \\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k -2)) = ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d = С. \ соңы (туралау) \]

Қарапайым тілмен айтқанда, егер біз прогрессияның екі элементін қарастыратын болсақ, олар жалпы $ S $ санына тең, содан кейін біз бұл элементтерден қарама -қарсы бағытта жүре бастаймыз (бір -бірімізге немесе керісінше кетуге) , онда біз сүрінетін элементтердің қосындылары да тең болады$ S $. Мұны графикалық түрде неғұрлым анық көрсетуге болады:

Тең шегініс тең сомаларды береді

Бұл фактіні түсіну бізге жоғарыда қарастырылғаннан гөрі күрделілік деңгейінің проблемаларын шешуге мүмкіндік береді. Мысалы, мұндай:

Есеп нөмірі 8. Бірінші мүшесі 66 болатын арифметикалық прогрессияның айырмасын анықтаңыз, ал екінші және он екінші мүшелердің туындысы мүмкін болатын ең кіші.

Шешім. Бар білетінімізді жазайық:

\ [\ бастау (туралау) & ((а) _ (1)) = 66; \\ & d =? \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ min. \ соңы (туралау) \]

Сонымен, біз $ d $ прогрессиясының айырмашылығын білмейміз. Шын мәнінде, барлық шешім айырмашылыққа негізделеді, себебі $ ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) $ өнімін келесідей қайта жазуға болады:

\ [\ бастау (туралау) & ((а) _ (2)) = ((а) _ (1)) + d = 66 + d; \\ & ((a) _ (12)) = ((a) _ (1)) + 11d = 66 + 11d; \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ солға (66 + d \ оңға) \ cdot \ солға (66 + 11д \ оңға) = \\ & = 11 \ cdot \ солға (d + 66 \ оңға) \ cdot \ солға (d + 6 \ оңға). \ соңы (туралау) \]

Резервуардағылар үшін: Мен екінші жақшадан жалпы коэффициент 11 -ді шығардым. Осылайша, ізделінетін өнім $ d $ айнымалысына қатысты квадраттық функция болып табылады. Сондықтан $ f \ left (d \ right) = 11 \ left (d + 66 \ right) \ left (d + 6 \ right) $ функциясын қарастырайық - оның графигі бұтақтары бар парабола болады, себебі егер біз жақшаларды кеңейтетін болсақ, онда мынаны аламыз:

\ [\ бастау (туралау) & f \ солға (d \ оңға) = 11 \ солға (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \ cdot 6 \ оңға) = \\ & = 11 (( d) ^ (2)) + 11 \ cdot 72d + 11 \ cdot 66 \ cdot 6 \ end (align) \]

Көріп отырғаныңыздай, жетекші терминдегі коэффициент 11 - бұл оң сан, сондықтан біз шынымен бұтақтары бар параболамен айналысамыз:

квадраттық функция графигі - парабола

Назар аударыңыз: бұл парабола өзінің ең төменгі мәнін $ ((d) _ (0)) $ abscissa көмегімен алады. Әрине, біз бұл абсциссаны стандартты схемаға сәйкес есептей аламыз ($ ((d) _ (0)) = (- b) / (2a) \; $ формуласы да бар), бірақ бұл әлдеқайда орынды болар еді қалаған шың параболаның осьтік симметриясында орналасқанын байқау үшін $ ((d) _ (0)) $ нүктесі $ f \ left (d \ right) = 0 $ теңдеуінің түбірлерінен бірдей қашықтықта орналасқан:

\ [\ бастау (туралау) & f \ солға (d \ оңға) = 0; \\ & 11 \ cdot \ солға (d + 66 \ оңға) \ cdot \ солға (d + 6 \ оңға) = 0; \\ & ((d) _ (1)) = - 66; \ quad ((d) _ (2)) = - 6. \\ \ end (туралау) \]

Сондықтан мен жақшаларды ашуға асықпадым: түпнұсқа түрінде тамырларды табу өте оңай болды. Демек, абсциссасы -66 және -6 сандарының орташа арифметикалық мәніне тең:

\ [((d) _ (0)) = \ frac (-66-6) (2) =-36 \]

Ашылған сан бізге не береді? Онымен қажетті өнім ең кіші мәнді алады (айтпақшы, біз $ ((y) _ (\ min)) $ санамадық - бұл бізге қажет емес). Сонымен қатар, бұл сан бастапқы прогрессия арасындағы айырмашылық, яғни. біз жауапты таптық. :)

Жауап: −36

Есеп нөмірі 9. $ - \ frac (1) (2) $ және $ - \ frac (1) (6) $ сандарының арасына үш санды енгізіңіз, сонда олар берілген сандармен бірге арифметикалық прогрессия құрады.

Шешім. Негізінде бізге бірінші және соңғы сандар белгілі бес саннан тұратын тізбекті құру қажет. $ X $, $ y $ және $ z $ айнымалыларымен жетіспейтін сандарды белгілейік:

\ [\ солға (((a) _ (n)) \ оң) = \ солға \ ( - \ frac (1) (2); x; y; z; - \ frac (1) (6) \ оңға \ ) \]

$ Y $ саны біздің тізбектің «ортасы» екенін ескеріңіз - ол $ x $ және $ z $ сандарынан, ал $ - \ frac (1) (2) $ және $ - \ сандарынан бірдей қашықтықта орналасқан. frac (1) (6) $. Ал егер біз $ x $ және $ z $ сандарынан $ y $ ала алмасақ, онда прогрессияның соңына қарай жағдай басқаша. Арифметикалық орташа мәнді еске түсіру:

Енді $ y $ біле отырып, қалған сандарды табамыз. $ X $ $ - \ frac (1) (2) $ және $ y = - \ frac (1) (3) $ сандарының арасында орналасқанын ескеріңіз. Сондықтан

Дәл солай ойлай отырып, біз қалған санды табамыз:

Дайын! Біз үш санды да таптық. Оларды бастапқы сандардың арасына енгізу ретімен жауапқа жазайық.

Жауабы: $ - \ frac (5) (12); \ - \ frac (1) (3); \ - \ frac (1) (4) $

Мәселе нөмірі 10. Егер сіз енгізілген сандардың бірінші, екінші және соңғы қосындысы 56 екенін білсеңіз, осы сандармен бірге арифметикалық прогрессия құрайтын 2 мен 42 сандарының арасына бірнеше сандарды енгізіңіз.

Шешім. Одан да қиын мәселе, алайда, алдыңғы схемаға сәйкес - орташа арифметикалық жолмен шешіледі. Мәселе мынада, біз қанша сандарды енгізу керектігін білмейміз. Сондықтан, нақтылық үшін, бәрін енгізгеннен кейін дәл $ n $ сандары болады деп есептейік және олардың біріншісі 2, ал соңғысы 42. Бұл жағдайда ізделген арифметикалық прогрессияны келесі түрде көрсетуге болады:

\ [\ солға (((а) _ (н)) \ оң) = \ солға \ (2; ((а) _ (2)); ((а) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)); 42 \ оң \) \]

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56 \]

$ ((A) _ (2)) $ және $ ((a) _ (n-1)) $ сандары 2 және 42 сандарынан бір-біріне қарай бір қадамға алынғанын ескеріңіз. яғни ... тізбектің ортасына. Бұл дегеніміз

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) = 2 + 42 = 44 \]

Бірақ содан кейін жоғарыда жазылған өрнекті келесідей қайта жазуға болады:

\ [\ бастау (туралау) & ((а) _ (2)) + ((а) _ (3)) + ((а) _ (n-1)) = 56; \\ & \ солға (((а) _ (2)) + ((а) _ (n-1)) \ оңға) + ((а) _ (3)) = 56; \\ & 44 + ((а) _ (3)) = 56; \\ & ((а) _ (3)) = 56-44 = 12. \\ \ end (туралау) \]

$ ((A) _ (3)) $ және $ ((a) _ (1)) $ біле отырып, біз прогрессияның айырмашылығын оңай таба аламыз:

\ [\ бастау (туралау) & ((а) _ (3)) - ((а) _ (1)) = 12 - 2 = 10; \\ & ((а) _ (3)) - ((а) _ (1)) = \ солға (3-1 \ оңға) \ cdot d = 2d; \\ & 2d = 10 \ Оң жақ көрсеткі d = 5. \\ \ end (туралау) \]

Қалған мүшелерді табу ғана қалады:

\ [\ бастау (туралау) & ((а) _ (1)) = 2; \\ & ((а) _ (2)) = 2 + 5 = 7; \\ & ((а) _ (3)) = 12; \\ & ((а) _ (4)) = 2 + 3 \ cdot 5 = 17; \\ & ((а) _ (5)) = 2 + 4 \ cdot 5 = 22; \\ & ((а) _ (6)) = 2 + 5 \ cdot 5 = 27; \\ & ((а) _ (7)) = 2 + 6 \ cdot 5 = 32; \\ & ((а) _ (8)) = 2 + 7 \ cdot 5 = 37; \\ & ((а) _ (9)) = 2 + 8 \ cdot 5 = 42; \\ \ end (туралау) \]

Осылайша, қазірдің өзінде 9 -қадамда біз тізбектің сол жағына келеміз - 42 саны. Барлығы 7 нөмірді енгізу қажет болды: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Жауабы: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Прогрессиямен сөздік проблемалар

Қорытындылай келе, мен бірнеше қарапайым тапсырмаларды қарастырғым келеді. Қандай қарапайым: мектепте математиканы оқитын және жоғарыда жазылғандарды оқымаған оқушылардың көпшілігі үшін бұл тапсырмалар қалайы сияқты болып көрінуі мүмкін. Дегенмен, дәл осындай есептер математикада OGE мен USE -де кездеседі, сондықтан мен олармен танысуды ұсынамын.

Есеп нөмірі 11. Бригада қаңтар айында 62 деталь шығарды, ал келесі айда ол бұрынғыға қарағанда 14 детальды көп шығарды. Қараша айында команда неше бөліктен тұрды?

Шешім. Ай бойынша жоспарланған бөліктердің саны арифметикалық прогрессияның жоғарылауын көрсететіні анық. Оның үстіне:

\ [\ бастау (туралау) & ((а) _ (1)) = 62; \ төрттік d = 14; \\ & ((a) _ (n)) = 62+ \ солға (n-1 \ оңға) \ cdot 14. \\ \ end (туралау) \]

Қараша - жылдың 11 -ші айы, сондықтан бізге $ ((a) _ (11)) $ табу керек:

\ [((a) _ (11)) = 62 + 10 \ cdot 14 = 202 \]

Демек, қарашада 202 бөлшек шығарылады.

Мәселе нөмірі 12. Кітап түптеу шеберханасы қаңтар айында 216 кітапты жапты, ал келесі ай сайын ол бұрынғыға қарағанда 4 кітапты көбірек жапты. Желтоқсан айында семинар қанша кітапты жапты?

Шешім. Барлығы бірдей:

$ \ begin (align) & ((a) _ (1)) = 216; \ quad d = 4; \\ & ((a) _ (n)) = 216+ \ солға (n-1 \ оңға) \ cdot 4. \\ \ end (туралау) $

Желтоқсан - жылдың соңғы, 12 -ші айы, сондықтан біз $ ((a) _ (12)) $ іздейміз:

\ [((a) _ (12)) = 216 + 11 \ cdot 4 = 260 \]

Бұл жауап - желтоқсанда 260 кітап түптеледі.

Егер сіз осы уақытқа дейін оқыған болсаңыз, мен сізді құттықтауға асығамын: сіз «жас жауынгер курсынан» арифметикалық прогрессия бойынша табысты өттіңіз. Сіз келесі сабаққа қауіпсіз түрде кіре аласыз, онда біз прогрессияның қосындысының формуласын, сонымен қатар оның маңызды және өте пайдалы салдарын зерттейміз.

Мысалы, \ (2 \) тізбегі; \ (5 \); \(сегіз\); \ (он бір \); \ (14 \) ... - бұл арифметикалық прогрессия, себебі әрбір келесі элемент бұрынғыдан үшке ерекшеленеді (алдыңғыдан үштік қосу арқылы алуға болады):

Бұл прогрессияда \ (d \) айырмасы оң (\ (3 \) тең), сондықтан әрбір келесі мүше алдыңғы мүшеден үлкен болады. Мұндай прогрессия деп аталады өсуде.

Алайда \ (d \) теріс болуы да мүмкін. Мысалға, арифметикалық прогрессияда \ (16 \); \ (он \); \ (4 \); \ (- 2 \); \ (- 8 \) ... \ (d \) прогрессиясының айырмасы минус алтыға тең.

Және бұл жағдайда әрбір келесі элемент алдыңғы элементке қарағанда аз болады. Бұл прогрессиялар деп аталады азаяды.

Арифметикалық прогрессияның белгіленуі

Прогресс кіші латын әрпімен белгіленеді.

Прогрессияны құрайтын сандар осылай атайды мүшелері(немесе элементтер).

Олар арифметикалық прогрессиямен бірдей әріппен белгіленеді, бірақ реттілік бойынша элементтің санына тең сандық көрсеткішпен.

Мысалы, \ (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ оңға \) \) арифметикалық прогрессия \ (a_1 = 2 \) элементтерінен тұрады; \ (a_2 = 5 \); \ (a_3 = 8 \) және т.б.

Басқаша айтқанда, прогрессия үшін \ (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \)

Арифметикалық прогрессияға есептер шығару

Негізінде, жоғарыда келтірілген ақпарат арифметикалық прогрессия үшін кез келген мәселені шешуге жеткілікті (соның ішінде OGE -де ұсынылған).

Мысал (OGE). Арифметикалық прогрессия шарттармен анықталады \ (b_1 = 7; d = 4 \). \ (B_5 \) табыңыз.
Шешім:

Жауап: \ (b_5 = 23 \)

Мысал (OGE). Арифметикалық прогрессияның алғашқы үш мүшесі берілген: \ (62; 49; 36 ... \) Осы прогрессияның бірінші теріс мүшесінің мәнін табыңыз.
Шешім:

	Бізге тізбектің бірінші элементтері берілген және біз оның арифметикалық прогрессия екенін білеміз. Яғни, әр элемент көршісінен бірдей санмен ерекшеленеді. Келесі элементтен алдыңғы элементін шегеріп, қайсысын табыңыз: \ (d = 49-62 = -13 \).
	Енді біз прогресті қажет (бірінші теріс) элементке қалпына келтіре аламыз.
	Дайын. Сіз жауап жаза аласыз.

Жауап: \(-3\)

Мысал (OGE). Арифметикалық прогрессияның бірнеше дәйекті элементтері берілген: \ (… 5; x; 10; 12,5 ... \) \ (x \) әрпімен көрсетілген элементтің мәнін табыңыз.
Шешім:

	\ (X \) табу үшін келесі элементтің алдыңғы элементтен қаншалықты айырмашылығын білуіміз керек, басқаша айтқанда прогрессияның айырмашылығы. Оны көршілес екі белгілі элементтен табайық: \ (d = 12.5-10 = 2.5 \).
	Ал енді біз қалағанын еш қиындықсыз табамыз: \ (x = 5 + 2.5 = 7.5 \).
	Дайын. Сіз жауап жаза аласыз.

Жауап: \(7,5\).

Мысал (OGE). Арифметикалық прогрессия келесі шарттармен анықталады: \ (a_1 = -11 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 5 \) Осы прогрессияның алғашқы алты мүшесінің қосындысын табыңыз.
Шешім:

Біз прогрессияның алғашқы алты мүшесінің қосындысын табуымыз керек. Бірақ біз олардың мағынасын білмейміз, бізге тек бірінші элемент беріледі. Сондықтан алдымен біз берілгендерді қолданып мәндерді кезекпен есептейміз: \ (n = 1 \); \ (a_ (1 + 1) = a_1 + 5 = -11 + 5 = -6 \) \ (n = 2 \); \ (a_ (2 + 1) = a_2 + 5 = -6 + 5 = -1 \) \ (n = 3 \); \ (a_ (3 + 1) = a_3 + 5 = -1 + 5 = 4 \) Бізге қажет алты элементті есептеп, олардың қосындысын табамыз.

\ (S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Сіз іздеген сома табылды.

Жауап: \ (S_6 = 9 \).

Мысал (OGE). Арифметикалық прогрессияда \ (a_ (12) = 23 \); \ (a_ (16) = 51 \). Бұл прогрессияның айырмашылығын табыңыз.
Шешім:

Жауап: \ (d = 7 \).

Арифметикалық прогрессияның маңызды формулалары

Көріп отырғаныңыздай, көптеген арифметикалық прогрессия есептерін ең бастысын түсіну арқылы шешуге болады - арифметикалық прогрессия - бұл сандар тізбегі, және бұл тізбектің әрбір келесі элементі алдыңғы санға сол санды қосу арқылы алынады (айырмашылық) прогрессия).

Алайда, кейде «бас-аяғы» шешуге өте ыңғайсыз жағдайлар болады. Мысалы, бірінші мысалда бізге бесінші \ (b_5 \) емес, үш жүз сексен алтыншы \ (b_ (386) \) элементті табу керек деп елестетіп көріңіз. Бұл не, біз \ (385 \) рет төрт қосамыз? Немесе соңғы мысалда алғашқы жетпіс үш элементтің қосындысын табу керек деп елестетіп көріңіз. Сізді санау үшін азаптайды ...

Сондықтан, мұндай жағдайларда олар «бас-аяғы» шешпейді, бірақ арифметикалық прогрессия үшін шығарылған арнайы формулаларды қолданады. Ал негізгісі - прогрессияның n -ші мүшесінің формуласы және бірінші мүшелердің \ (n \) қосындысының формуласы.

\ (N \) формуласы - ші мүше: \ (a_n = a_1 + (n -1) d \), мұнда \ (a_1 \) - прогрессияның бірінші мүшесі;
\ (n \) - ізделетін элементтің нөмірі;
\ (a_n \) - \ (n \) саны бар прогрессия мүшесі.

Бұл формула прогрессияның біріншісі мен айырмашылығын біле отырып, кем дегенде үш жүздік, тіпті миллионыншы элементті тез табуға мүмкіндік береді.

Мысал. Арифметикалық прогрессия шарттармен анықталады: \ (b_1 = -159 \); \ (d = 8.2 \). \ (B_ (246) \) табыңыз.
Шешім:

Жауап: \ (b_ (246) = 1850 \).

Алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласы: \ (S_n = \ frac (a_1 + a_n) (2) \ cdot n \), мұнда

\ (a_n \) - соңғы жинақталған термин;

Мысал (OGE). Арифметикалық прогрессия \ (a_n = 3,4n-0,6 \) шарттарымен анықталады. Осы прогрессияның алғашқы \ (25 \) мүшелерінің қосындысын табыңыз.
Шешім:

\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \)		Алғашқы жиырма бес элементтің қосындысын есептеу үшін біз бірінші және жиырма бес мүшелердің мәнін білуіміз керек. Біздің прогрессиямыз оның санына байланысты n -ші мүшенің формуласымен берілген (мәліметтерді қараңыз). Бірінші элементті \ (n \) орнына ауыстыру арқылы есептейік.
\ (n = 1; \) \ (a_1 = 3.4 1-0.6 = 2.8 \)		Енді біз \ (n \) орнына жиырма бесті алмастырып, жиырма бесінші мүшені табамыз.
\ (n = 25; \) \ (a_ (25) = 3,4 25-0,6 = 84,4 \)		Жақсы, енді біз қажетті соманы еш қиындықсыз есептей аламыз.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ frac (2.8 + 84.4) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (1090 \)		Жауабы дайын.

Жауап: \ (S_ (25) = 1090 \).

Бірінші мүшелердің \ (n \) қосындысы үшін басқа формуланы алуға болады: сізге \ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \) \ (a_n \) орнына \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) формуласын ауыстырыңыз. Біз алып жатырмыз:

Алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласы: \ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \), мұнда

\ (S_n \) - бірінші элементтердің қажетті \ (n \) қосындысы;
\ (a_1 \) - бірінші жинақталған термин;
\ (d \) - прогрессия айырмашылығы;
\ (n \) - қосындыдағы элементтер саны.

Мысал. Арифметикалық прогрессияның алғашқы \ (33 \) - экс мүшелерінің қосындысын табыңыз: \ (17 \); \ (15,5 \); \ (он төрт \)…
Шешім:

Жауап: \ (S_ (33) = - 231 \).

Арифметикалық прогрессияның күрделі есептері

Енді сізде арифметикалық прогрессияның кез келген мәселесін шешуге қажетті барлық ақпарат бар. Біз тақырыпты формулаларды қолданып қана қоймай, сонымен бірге аздап ойлануға болатын есептерді қарастыру арқылы аяқтаймыз (математикада бұл пайдалы болуы мүмкін).

Мысал (OGE). Прогрессияның барлық теріс мүшелерінің қосындысын табыңыз: \ (- 19,3 \); \ (-19 \); \ (- 18.7 \) ...
Шешім:

\ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \)		Тапсырма алдыңғыға өте ұқсас. Біз шеше бастаймыз: алдымен \ (d \) табамыз.
\ (d = a_2 -a_1 = -19 - ( - 19.3) = 0.3 \)		Енді мен \ (d \) қосындысының формуласына ауыстырар едім ... және мұнда кішкене нюанс пайда болады - біз білмейміз \ (n \). Басқаша айтқанда, біз қанша термин қосу керектігін білмейміз. Қалай білуге ​​болады? Ойланайық. Біз бірінші оң элементке жеткенде элементтерді қосуды тоқтатамыз. Яғни, сіз бұл элементтің санын білуіңіз керек. Қалай? Арифметикалық прогрессияның кез келген элементін есептеу формуласын жазайық: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) біздің жағдай үшін.
\ (a_n = a_1 + (n-1) d \)
\ (a_n = -19.3 + (n -1) 0.3 \)		Бізге \ (a_n \) нөлден үлкен болу керек. Бұл не болатынын \ (n \) білейік.
\ (- 19.3+ (n-1) 0.3> 0 \)
\ ((n-1) 0.3> 19.3 \) \ (|: 0.3 \)		Теңсіздіктің екі жағын да \ (0,3 \) бөлеміз.
\ (n-1> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \)		Белгілерді өзгертуді ұмытпай, минус бір жылжытыңыз
\ (n> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) \ (+ 1 \)		Біз есептейміз ...
\ (n> 65,333 ... \)		... және бірінші оң элементте \ (66 \) саны болады екен. Тиісінше, соңғы теріс \ (n = 65 \) ие. Болған жағдайда тексеріп көрейік.
\ (n = 65; \) \ (a_ (65) = -19.3+ (65-1) 0.3 = -0.1 \) \ (n = 66; \) \ (a_ (66) = - 19.3+ (66-1) 0.3 = 0.2 \)		Осылайша, біз бірінші \ (65 \) элементтерін қосуымыз керек.
\ (S_ (65) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-19.3) + (65-1) 0.3) (2) \)\ (\ cdot 65 \) \ (S_ (65) = \) \ (( - 38.6 + 19.2) (2) \) \ (\ cdot 65 = -630.5 \)		Жауабы дайын.

Жауап: \ (S_ (65) = - 630,5 \).

Мысал (OGE). Арифметикалық прогрессия шарттармен анықталады: \ (a_1 = -33 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \). \ (26 \) - дан \ (42 \) элементіне дейінгі қосындысын табыңыз.
Шешім:

\ (a_1 = -33; \) \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \)	Бұл есепте сізге элементтердің қосындысын табу керек, бірақ біріншісінен емес, \ (26 \) - шіден басталады. Мұндай жағдайда бізде формула жоқ. Қалай шешуге болады? Оңай - \ (26 \) - дан \ (42 \) - ға дейінгі соманы алу үшін, алдымен \ (1 \) - шіден \ (42 \) - о дейін қосынды табу керек, содан кейін қосындысын азайту керек. одан алдымен \ (25 \) - шіге дейін (суретті қараңыз).
	Біздің прогресс \ (a_1 = -33 \) және \ (d = 4 \) айырмашылығы үшін (соңғысын табу үшін алдыңғы элементке төртеуін қосамыз). Осыны біле отырып, бірінші \ (42 \) - yh элементтерінің қосындысын табамыз.
\ (S_ (42) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 42 = \) \ (= \) \ (\ frac (-66 + 164) (2) \) \ (\ cdot 42 = 2058 \)	Енді бірінші \ (25 \) - t элементтерінің қосындысы.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ frac (-66 + 96) (2) \) \ (\ cdot 25 = 375 \)	Соңында біз жауапты есептейміз.
\ (S = S_ (42) -S_ (25) = 2058-375 = 1683 \)

Жауап: \ (S = 1683 \).

Арифметикалық прогрессия үшін практикалық пайдалылығының төмен болуына байланысты біз осы мақалада қарастырмаған тағы бірнеше формулалар бар. Дегенмен, сіз оларды оңай таба аласыз.

Біреу жоғары математика салаларынан шыққан өте күрделі термин ретінде «прогрессия» сөзінен сақтанады. Сонымен қатар, ең қарапайым арифметикалық прогрессия - бұл такси метрінің жұмысы (олар әлі де қалады). Ал арифметикалық тізбектің мәнін түсіну (және математикада «мәнін түсінуден» маңызды ештеңе жоқ) бірнеше қарапайым ұғымдарды талдай отырып, соншалықты қиын емес.

Математикалық сандар тізбегі

Әрқайсысының жеке нөмірі бар сандар тізбегін сандық ретпен атау әдетке айналған.

а 1 - тізбектің бірінші мүшесі;

ал 2 - тізбектің екінші мүшесі;

ал 7 - тізбектің жетінші мүшесі;

ал n - тізбектің n -ші мүшесі;

Дегенмен, бізді кез келген ерікті сандар мен сандар жиынтығы қызықтырмайды. Біз сандық реттілікке тоқталамыз, онда n -ші мүшенің мәні оның реттік санымен математикалық түрде анық тұжырымдалатын тәуелділікпен байланысты. Басқаша айтқанда: n-ші санның сандық мәні n функциясының кейбірі.

а - сандық тізбек мүшесінің мәні;

n - оның реттік нөмірі;

f (n) - n сандық ретіндегі реттік аргумент болатын функция.

Анықтама

Арифметикалық прогрессияны сандық тізбек деп атауға болады, онда әрбір кейінгі мүше алдыңғы саннан сол сан бойынша үлкен (кем) болады. Арифметикалық тізбектің n -ші мүшесінің формуласы келесідей:

a n - арифметикалық прогрессияның ағымдағы мүшесінің мәні;

a n + 1 - келесі санның формуласы;

d - айырмашылық (белгілі бір сан).

Егер айырмашылық оң болса (d> 0), онда қарастырылатын серияның әрбір келесі мүшесі алдыңғыға қарағанда үлкен болатынын және мұндай арифметикалық прогрессия өсетінін анықтау оңай.

Төмендегі графикте сандар тізбегінің неге «өсу» деп аталатынын түсінуге болады.

Егер айырмашылық теріс болса (д<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Көрсетілген мүшенің мәні

Кейде арифметикалық прогрессияның кез келген ерікті a мүшесінің мәнін анықтау қажет болады. Сіз мұны арифметикалық прогрессияның барлық мүшелерінің біріншісінен бастап қалағанына дейінгі мәндерін дәйекті түрде есептеу арқылы жасай аласыз. Алайда, егер бұл жолы бес мыңыншы немесе сегіз миллионыншы мүшенің мағынасын табу қажет болса, бұл жол әрқашан қолайлы бола бермейді. Дәстүрлі есептеу ұзақ уақытты алады. Алайда, арнайы формулаларды қолдана отырып, нақты арифметикалық прогрессияны зерттеуге болады. N -ші мүшенің формуласы да бар: арифметикалық прогрессияның кез келген мүшесінің мәнін прогрессияның айырмашылығы бар прогрессияның бірінші мүшесінің қосындысы ретінде анықтауға болады, оны ізделген мүшенің санына көбейту керек, бір.

Формула прогрессияның жоғарылауына да, төмендеуіне де әмбебап.

Берілген мүшенің мәнін есептеуге мысал

Арифметикалық прогрессияның n -ші мүшесінің мәнін табудың келесі мәселесін шешейік.

Шарт: параметрлері бар арифметикалық прогрессия бар:

Тізбектегі бірінші мүше - 3;

Сандар сериясының айырмашылығы 1,2.

Тапсырма: 214 мүшенің мәнін табу керек

Шешуі: берілген мүшенің мәнін анықтау үшін мына формуланы қолданамыз:

a (n) = a1 + d (n-1)

Мәселе туралы мәлімдемедегі мәліметтерді өрнекке ауыстыра отырып, бізде:

a (214) = a1 + d (n-1)

а (214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Жауап: тізбектегі 214 -ші мүше - 258,6.

Бұл есептеу әдісінің артықшылығы айқын - барлық шешім 2 жолдан аспайды.

Белгіленген мүшелер санының қосындысы

Өте жиі, берілген арифметикалық қатарда оның белгілі бір сегментінің мәндерінің қосындысын анықтау қажет. Бұл сондай -ақ әр терминнің мәндерін есептеп, содан кейін қорытындылауды қажет етпейді. Бұл әдіс табылатын терминдердің саны аз болған жағдайда қолданылады. Басқа жағдайларда келесі формуланы қолдану ыңғайлы.

1 -ден n -ге дейінгі арифметикалық прогрессия мүшелерінің қосындысы бірінші және n -ші мүшелердің қосындысына тең, n мүшесінің санына көбейтіліп, екіге бөлінеді. Егер формулада n -ші мүшенің мәні мақаланың алдыңғы абзацындағы өрнекпен ауыстырылса, біз мынаны аламыз:

Есептеу мысалы

Мысалы, мына шарттармен есепті шешейік:

Тізбектегі бірінші мүше нөлге тең;

Айырмашылық 0,5.

Есепте 56 -дан 101 -ге дейінгі серия мүшелерінің қосындысын анықтау қажет.

Шешім. Прогрессияның қосындысын анықтау үшін формуланы қолданайық:

s (n) = (2 ∙ a1 + d ∙ (n-1)) ∙ n / 2

Біріншіден, біз прогрессияның 101 мүшесінің мәндерінің қосындысын анықтаймыз, олардың мәселесінің шарттары туралы мәліметтерді формулаға ауыстырамыз:

s 101 = (2 ∙ 0 + 0.5 ∙ (101-1)) ∙ 101/2 = 2525

Әлбетте, 56 -дан 101 -ге дейінгі прогрессия мүшелерінің қосындысын білу үшін S 101 -ден S 55 -ті алып тастау қажет.

s 55 = (2 ∙ 0 + 0.5 ∙ (55-1)) ∙ 55/2 = 742.5

Осылайша, бұл мысал үшін арифметикалық прогрессияның қосындысы:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5

Арифметикалық прогрессияны практикада қолданудың мысалы

Мақаланың соңында бірінші абзацта берілген арифметикалық реттілік мысалына оралайық - таксиметр (такси машинасының есептегіші). Мысал қарастырайық.

Таксиге отыру (оған 3 км жүгіру кіреді) 50 рубльді құрайды. Әрбір келесі километр 22 рубль / км мөлшерінде төленеді. Саяхат қашықтығы 30 км. Жол жүру құнын есептеңіз.

1. Алғашқы 3 шақырымды тастайық, оның бағасы қону бағасына кіреді.

30 - 3 = 27 км.

2. Әрі қарай есептеу - бұл арифметикалық сандар қатарын талдаудан басқа ештеңе емес.

Мүше саны - жүріп өткен километр саны (минус алғашқы үшеу).

Мүшенің мәні - қосынды.

Бұл есептің бірінші мүшесі 1 = 50 б тең болады.

Прогрессияның айырмашылығы d = 22 p.

бізді қызықтыратын сан - арифметикалық прогрессияның (27 + 1) -ші мүшесінің мәні - 27 -ші шақырымның соңындағы есептегіш көрсеткіші 27,999… = 28 км.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Кездейсоқ ұзақ мерзімге күнтізбелік деректерді есептеу белгілі бір сандық тізбектерді сипаттайтын формулаларға негізделген. Астрономияда орбитаның ұзындығы геометриялық аспан денесінің жарықтандырғышқа дейінгі қашықтыққа тәуелді. Сонымен қатар, әр түрлі сандық қатарлар статистикада және математиканың басқа қолданбалы салаларында сәтті қолданылады.

Сандар тізбегінің тағы бір түрі - геометриялық

Геометриялық прогрессия арифметикамен салыстырғанда үлкен өзгеру жылдамдығымен сипатталады. Саясатта, әлеуметтануда, медицинада олар бұл құбылыстың, мысалы, эпидемия кезіндегі аурудың жоғары таралу жылдамдығын көрсету үшін экспоненциалды түрде дамиды деп жиі айтуы кездейсоқтық емес.

Геометриялық сандық қатардың N -ші мүшесінің бұрынғыдан айырмашылығы, ол қандай да бір тұрақты санға көбейтіледі - бөлгіш, мысалы, бірінші мүше 1, бөлгіш сәйкесінше 2, содан кейін:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n = 5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - геометриялық прогрессияның ағымдағы мүшесінің мәні;

b n + 1 - геометриялық прогрессияның келесі мүшесінің формуласы;

q - геометриялық прогрессияның бөлгіші (тұрақты сан).

Егер арифметикалық прогрессияның графигі түзу болса, онда геометриялық сурет сәл өзгеше сурет салады:

Арифметикадағыдай, геометриялық прогрессияның ерікті мүше мәнінің формуласы бар. Геометриялық прогрессияның кез келген n-ші мүшесі n-ге тең прогрессияның бөліндісінің бірінші мүшесінің көбейтіндісіне тең:

Мысал. Бізде геометриялық прогрессия бірінші мүшесі 3 -ке тең, ал прогрессияның бөліндісі 1,5 -ке тең. Прогрессияның 5 -ші мүшесін табыңыз

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15.1875

Берілген мүшелер санының қосындысы арнайы формуланың көмегімен есептеледі. Геометриялық прогрессияның бірінші n мүшесінің қосындысы прогрессияның n -ші мүшесінің көбейтіндісі мен бөлгішінің көбейтіндісі мен бөлгішке бөлінген бөлгішке бөлінген прогрессияның бірінші мүшесі арасындағы айырмашылыққа тең:

Егер b n жоғарыда қарастырылған формула бойынша ауыстырылса, қарастырылатын сандық қатардың бірінші n мүшесінің қосындысының мәні келесі түрде болады:

Мысал. Геометриялық прогрессия 1 -ге тең бірінші мүшеден басталады. Бөліншісі 3 -ке тең. Алғашқы сегіз мүшенің қосындысын табыңыз.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280