Арифметикалық прогрессия формуласы a. Арифметикалық прогрессия: бұл не? Терминдер мен белгілер

Назар аударыңыз!
Қосымша бар
555 арнайы бөлімдегі материалдар.
«Өте емес ...» адамдар үшін.
Ал «өте ...» кім үшін)

Арифметикалық прогрессия - бұл әр сан алдыңғы саннан бірдей мөлшерде үлкен (немесе кем) болатын сандар тізбегі.

Бұл тақырып көбінесе қиын және түсініксіз. Әріптердің көрсеткіштері, прогрессияның n -ші кезеңі, прогрессияның айырмашылығы - мұның бәрі ұятқа қалдырады, иә ... Арифметикалық прогрессияның мәнін анықтайық, сонда бәрі бірден шешіледі.)

Арифметикалық прогрессия туралы түсінік.

Арифметикалық прогрессия - өте қарапайым және түсінікті ұғым. Күмән? Бекер.) Өздеріңіз қараңыздар.

Мен аяқталмаған сандар сериясын жазамын:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Сіз бұл қатарды кеңейте аласыз ба? Бестен кейін келесі сандар қандай болады? Барлығы ... уф-у ..., қысқасы, бәрі 6, 7, 8, 9 және т.б.сандар ары қарай кететінін түсінеді.

Тапсырманы күрделендірейік. Мен аяқталмаған сандар сериясын беремін:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Сіз үлгіні ұстай аласыз, серияны және атауды кеңейте аласыз жетіншіжол нөмірі?

Егер сіз бұл санның 20 екенін білсеңіз - мен сізді құттықтаймын! Сіз сезіп қана қойған жоқсыз арифметикалық прогрессияның негізгі нүктелерісонымен қатар оларды бизнесте сәтті қолданды! Егер сіз түсінбеген болсаңыз, оқыңыз.

Енді түйінді түйіндерді сенсациядан математикаға аударайық.)

Бірінші негізгі нүкте.

Арифметикалық прогрессия сандар қатарын қарастырады.Бұл бастапқыда шатастырады. Біз теңдеулерді шешуге, графиктерді құруға дағдыландық ... Содан кейін серияны кеңейтіңіз, серияның нөмірін табыңыз ...

Ештене етпейді. Жай прогрессия - бұл математиканың жаңа бөлімімен алғашқы танысу. Бөлім «Жолдар» деп аталады және сандар мен өрнектер сериясымен жұмыс істейді. Оған үйреніңіз.)

Екінші негізгі нүкте.

Арифметикалық прогрессияда кез келген сан алдыңғы саннан ерекшеленеді сол мөлшерде.

Бірінші мысалда бұл айырмашылық бір. Сіз қандай санды алсаңыз да, ол алдыңғы саннан үлкен. Екіншісінде - үш. Алдыңғы саннан үштен үлкен кез келген сан. Шын мәнінде, дәл осы сәтте бізге үлгіні ұстап, келесі сандарды есептеуге мүмкіндік береді.

Үшінші маңызды нүкте.

Бұл сәт таңқаларлық емес, иә ... Бірақ бұл өте, өте маңызды. Мінеки: прогрессиядағы әрбір сан өз орнында тұрады.Бірінші сан бар, жетінші бар, қырық бесінші және т.б. Егер олар кездейсоқ шатастырылса, үлгі жоғалады. Арифметикалық прогрессия да жойылады. Тек сандар қатары болады.

Барлық мәселе осында.

Әрине, жаңа тақырыпта жаңа терминдер мен белгілер пайда болады. Сіз оларды білуіңіз керек. Әйтпесе, сіз тапсырманы түсінбейсіз. Мысалы, сіз келесідей нәрсені шешуіңіз керек:

Арифметикалық прогрессияның алғашқы алты мүшесін жазыңыз (a n), егер 2 = 5, d = -2.5.

Бұл шабыттандырады ма?) Хаттар, кейбір индекстер ... Ал тапсырма, айтпақшы, оңай болуы мүмкін емес еді. Тек терминдер мен белгілердің мағынасын түсіну керек. Енді біз бұл кәсіпті меңгеріп, тапсырмаға ораламыз.

Терминдер мен белгілер.

Арифметикалық прогрессиябұл әр сан алдыңғы саннан өзгеше болатын сандар тізбегі сол мөлшерде.

Бұл мөлшер деп аталады ... Бұл тұжырымдаманы толығырақ қарастырайық.

Арифметикалық прогрессияның айырмашылығы.

Арифметикалық прогрессияның айырмашылығыпрогрессияның кез келген санына сәйкес келетін сома Көбірекалдыңғы.

Бір маңызды сәт. Сөзге назар аударыңыз «Көбірек».Математикалық түрде бұл прогрессиядағы әрбір сан алынғанын білдіреді қосуарифметикалық прогрессияның алдыңғы саннан айырмашылығы.

Есептеу үшін айталық екіншісерия нөмірі, міндетті түрде ең біріншісан қосубұл арифметикалық прогрессияның айырмашылығы. Есептеу үшін бесінші- айырмашылық қажет қосуКімге төртінші,жақсы және т.

Арифметикалық прогрессияның айырмашылығымүмкін оң,онда жолдың әр нөмірі шынымен шығады алдыңғыға қарағанда көбірек.Бұл прогрессия деп аталады өсуде.Мысалға:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Мұнда әрбір сан алынады қосуоң сан, алдыңғыға +5.

Айырмашылық болуы мүмкін теріс,онда сериядағы әр сан болады алдыңғыға қарағанда аз.Мұндай прогресс деп аталады (сенбейсіз!) азаяды.

Мысалға:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Мұнда да әр сан алынады қосуалдыңғыға, бірақ қазірдің өзінде теріс санға, -5.

Айтпақшы, прогрессиямен жұмыс жасағанда оның сипатын бірден анықтау өте пайдалы - ол көбейеді ме, кеми ме. Бұл шешімді табуға, қателіктеріңізді анықтауға және кеш болмай тұрып түзетуге көп көмектеседі.

Арифметикалық прогрессияның айырмашылығыәдетте әріппен белгіленеді d.

Қалай табуға болады d? Өте оңай. Серияның кез келген санынан алып тастау қажет алдыңғысан Азайту. Айтпақшы, азайту нәтижесі «айырмашылық» деп аталады.)

Біз анықтаймыз, мысалы, dарифметикалық прогрессияны жоғарылату үшін:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Біз қалаған қатардың кез келген санын аламыз, мысалы, 11. Одан алып тастаңыз алдыңғы нөмір,анау. сегіз:

Бұл дұрыс жауап. Бұл арифметикалық прогрессия үшін айырмашылық үшке тең.

Сіз дәл қабылдауға болады прогрессияның кез келген саны,бері нақты прогрессия үшін d -әрқашан бірдей.Кем дегенде қатардың басында, кем дегенде ортасында, кем дегенде кез келген жерде. Сіз тек бірінші нөмірді ала алмайсыз. Себебі бірінші нөмірде бұрынғысы жоқ.)

Айтпақшы, мұны білу d = 3, бұл прогрессияның жетінші санын табу өте оңай. Бесінші санға 3 қосыңыз - біз алтыншы аламыз, ол 17 болады. Алтыншы санға үшті қосыңыз, біз жетінші санды аламыз - жиырма.

Біз анықтаймыз dарифметикалық прогрессияның төмендеуі үшін:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Ескертемін, белгілерге қарамастан, анықтау керек dол кез келген саннан қажет алдыңғысын алып тастаңыз.Біз прогрессияның кез келген санын таңдаймыз, мысалы -7. Алдыңғысы -2. Содан кейін:

d = -7 -(-2) = -7 + 2 = -5

Арифметикалық прогрессияның айырмашылығы кез келген сан болуы мүмкін: бүтін, бөлшек, иррационал, кез келген.

Басқа терминдер мен атаулар.

Сериядағы әрбір нөмір аталады арифметикалық прогрессия мүшесі.

Прогрессияның әрбір мүшесі өзіндік нөмірі бар.Сандар қатаң тәртіппен, ешқандай айла -шарғы жоқ. Бірінші, екінші, үшінші, төртінші және т.б. Мысалы, 2, 5, 8, 11, 14, ... прогрессінде екі - бірінші тоқсан, бес - екінші, он бір - төртінші, жақсы, сіз түсінесіз ...) Түсінуіңізді өтінемін - сандардың өздерімүлдем кез келген, бүтін, бөлшек, теріс, бәрібір болуы мүмкін, бірақ сандардың нөмірленуі- қатаң тәртіппен!

Жалпы прогрессияны қалай жазуға болады? Проблема жоқ! Жолдағы әрбір сан әріп түрінде жазылады. Әдетте, әріп арифметикалық прогрессияны белгілеу үшін қолданылады а... Мүше нөмірі төменгі оң жақтағы индекспен көрсетіледі. Біз мүшелерді үтірмен (немесе нүктелі үтірмен) келесідей жазамыз:

1, 2, 3, 4, 5, .....

а 1бірінші сан, а 3- үшінші және т. Ештеңе қиын емес. Сіз бұл серияны қысқаша түрде жаза аласыз: (а).

Прогресс болып табылады шексіз және шексіз.

Ең соңғыпрогрессия мүшелерінің саны шектеулі. Бес, отыз сегіз. Бірақ - ақырғы сан.

Шексізпрогрессия - сіз білетіндей, мүшелердің шексіз саны бар.)

Сіз соңғы серияны келесі серия арқылы жаза аласыз, барлық мүшелер мен нүкте:

1, 2, 3, 4, 5.

Немесе, егер мүшелер көп болса:

а 1, 2, ... 14, а 15.

Қысқа жазбада сіз мүшелердің санын қосымша көрсетуіңіз керек. Мысалы (жиырма мүшеге), келесідей:

(a n), n = 20

Шексіз прогрессияны осы сабақтағы мысалдардағыдай қатардың соңындағы эллипс арқылы тануға болады.

Енді сіз тапсырмаларды шеше аласыз. Тапсырмалар қарапайым, тек арифметикалық прогрессияның мағынасын түсінуге арналған.

Арифметикалық прогрессия бойынша тапсырмалардың мысалдары.

Жоғарыда берілген тапсырманы егжей -тегжейлі қарастырайық:

1. Арифметикалық прогрессияның алғашқы алты мүшесін жазыңыз (a n), егер 2 = 5 болса, d = -2.5.

Біз тапсырманы түсінікті тілге аударамыз. Шексіз арифметикалық прогрессия беріледі. Бұл прогрессияның екінші саны белгілі: а 2 = 5.Прогрессияның айырмашылығы белгілі: d = -2.5.Бұл прогрессияның бірінші, үшінші, төртінші, бесінші және алтыншы мүшелерін табу қажет.

Түсінікті болу үшін мен есептің шартына сәйкес серия жазамын. Алғашқы алты мүше, онда екінші тоқсан бес:

1, 5, 3, 4, 5, 6, ....

а 3 = а 2 + d

Өрнекті алмастырыңыз а 2 = 5және d = -2.5... Минус туралы ұмытпаңыз!

а 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Үшінші термин екіншісінен кіші. Бәрі логикалық. Егер саны алдыңғы саннан үлкен болса терісмәні болса, онда санның өзі алдыңғы саннан аз болады. Прогресс төмендейді. Жарайды, оны ескерейік.) Біз сериямыздың төртінші мүшесін қарастырамыз:

а 4 = а 3 + d

а 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

а 5 = а 4 + d

а 5=0+(-2,5)= - 2,5

а 6 = а 5 + d

а 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Сонымен, үшіншіден алтыншыға дейінгі мерзімдер есептеледі. Нәтиже осындай серия:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

Бірінші мүшені табу қалды а 1белгілі секундқа сәйкес. Бұл басқа бағыттағы қадам, солға.) Демек, арифметикалық прогрессияның айырмашылығы dқосудың қажеті жоқ а 2, а ала кету:

а 1 = а 2 - d

а 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Бар болғаны осы. Тапсырманың жауабы:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Жол бойында мен бұл міндетті шешкенімізді атап өтемін қайталанатынжол Бұл қорқынышты сөз тек прогрессия мүшесін іздеуді білдіреді. алдыңғы (іргелес) сан бойынша.Біз прогрессиямен жұмыс істеудің басқа жолдарын кейінірек қарастырамыз.

Бұл қарапайым тапсырмадан бір маңызды қорытынды жасауға болады.

Есіңізде болсын:

Егер біз кем дегенде бір мүшені және арифметикалық прогрессияның айырмашылығын білсек, онда осы прогрессияның кез келген мүшесін таба аламыз.

Есіңізде ме? Бұл қарапайым қорытынды мектеп курсының осы тақырып бойынша көптеген тапсырмаларын шешуге мүмкіндік береді. Барлық тапсырмалар үш негізгі параметрге байланысты: арифметикалық прогрессия мүшесі, прогрессияның айырмасы, прогрессия мүшесінің саны.Барлығы.

Әрине, барлық алдыңғы алгебра жойылмайды.) Прогрессияға теңсіздіктер, теңдеулер және басқа заттар қосылады. Бірақ прогресс бойынша- бәрі үш параметрге байланысты.

Мысал ретінде осы тақырып бойынша танымал тапсырмаларды қарастырайық.

2. Ақырғы арифметикалық прогрессияны n = 5, d = 0,4 және 1 = 3,6 болса, қатар ретінде жазыңыз.

Мұнда бәрі қарапайым. Барлығы қазірдің өзінде берілген. Сіз арифметикалық прогрессияның мүшелерін қалай санауды, санауды және жазуды есте сақтауыңыз керек. Тапсырма шарты бойынша сөздерді жіберіп алмағаныңыз жөн: «соңғы» және « n = 5«. Беті толық көк болғанша санамау керек.) Бұл прогрессияда тек 5 (бес) мүше бар:

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

а 4 = а 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

а 5 = а 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Жауапты жазу қалды:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Тағы бір тапсырма:

3. 7 саны арифметикалық прогрессияның мүшесі екенін анықтаңыз (a n), егер a 1 = 4.1; d = 1.2.

Хмм ... Кім біледі? Бір нәрсені қалай анықтауға болады?

Қалай, қалай ... Иә, прогрессияны серия түрінде жазыңыз, сонда жеті болады ма, жоқ па! Біз қарастырамыз:

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

а 4 = а 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Енді біздің жеті екеніміз анық байқалады өтіп кетті 6,5 пен 7,7 аралығында! Жеті сан біздің сериямызға енбеді, сондықтан жетеуі берілген прогрессияның мүшесі болмайды.

Жауап жоқ.

Міне, GIA нақты нұсқасына негізделген тапсырма:

4. Арифметикалық прогрессияның тізбектелген бірнеше мүшелері жазылады:

...; 15; NS; тоғыз; 6; ...

Мұнда жол соңы мен басы жоқ жазылады. Мүше нөмірлері жоқ, айырмашылық жоқ d... Ештене етпейді. Мәселені шешу үшін арифметикалық прогрессияның мәнін түсіну жеткілікті. Біз мүмкін болатын нәрсені қарастырамыз және ойлаймыз білуосы сериядан? Үш негізгі параметр қандай?

Мүше нөмірлері? Бұл жерде бірде -бір сан жоқ.

Бірақ үш сан бар - назар аударыңыз! - сөз «дәйекті»жағдайда. Бұл сандар бос орынсыз қатаң тәртіпте екенін білдіреді. Бұл қатарда екеу бар ма? көршібелгілі сандар? Иә бар! Бұл 9 және 6. Демек, біз арифметикалық прогрессияның айырмасын есептей аламыз! Біз алтаудан алып тастаймыз алдыңғысаны, яғни тоғыз:

Тек ұсақ -түйектер қалды. X үшін алдыңғы сан қандай? Он бес. Бұл х -ты қарапайым қосу арқылы оңай табуға болатынын білдіреді. 15 -ке арифметикалық прогрессияның айырмасын қосыңыз:

Осымен болды. Жауап: x = 12

Біз келесі мәселелерді өзіміз шешеміз. Ескерту: бұл мәселелер формулаларға қатысты емес. Тек арифметикалық прогрессияның мағынасын түсіну үшін.) Біз сандар-әріптер сериясын жазамыз, қарап, ойланыңыз.

5. Егер 5 = -3 болса, арифметикалық прогрессияның бірінші оң мүшесін табыңыз; d = 1.1.

6. 5.5 саны арифметикалық прогрессияның мүшесі екені белгілі (a n), мұнда a = 1; d = 1.3. Осы мүшенің n санын анықтаңыз.

7. Арифметикалық прогрессияда a 2 = 4 екені белгілі; 5 = 15.1. 3 санын табыңыз.

8. Арифметикалық прогрессияның қатарынан бірнеше мүшелері жазылған:

...; 15.6; NS; 3.4; ...

Х әрпімен көрсетілген прогрессиядағы мүшені табыңыз.

9. Пойыз жылдамдығын минутына 30 метрге біртіндеп арттыра отырып, станциядан жылжи бастады. Бес минут ішінде пойыздың жылдамдығы қандай болады? Жауабыңызды км / сағ.

10. Арифметикалық прогрессияда a 2 = 5 екені белгілі; а 6 = -5. 1 санын табыңыз.

Жауаптар (ретсіз): 7.7; 7.5; 9.5; тоғыз; 0,3; 4.

Бәрі ойдағыдай болды ма? Керемет! Сіз келесі сабақтарда арифметикалық прогрессияны жоғары деңгейде меңгере аласыз.

Бәрі ойдағыдай болған жоқ па? Ештеңе етпейді. 555 -Арнайы бөлімде бұл мәселелердің барлығы бөліктерге бөлінген.) Және, әрине, мұндай міндеттердің шешілуін бірден анық көрсететін қарапайым практикалық техника сипатталған!

Айтпақшы, пойыз туралы жұмбақта адамдар жиі сүрінетін екі мәселе бар. Біреуі тек қана дамуда, ал екіншісі математика мен физикадағы кез келген есептер үшін ортақ. Бұл өлшемдердің бірінен екіншісіне аудармасы. Онда бұл мәселелерді қалай шешу керектігі көрсетілген.

Бұл сабақта біз арифметикалық прогрессияның элементарлық мәнін және оның негізгі параметрлерін қарастырдық. Бұл тақырып бойынша барлық дерлік мәселелерді шешу үшін жеткілікті. Қосу dсандарға, серия жазыңыз, бәрі шешіледі.

Саусақ шешімі осы сабақтағы мысалдардағыдай қатардың өте қысқа бөліктерінде жақсы жұмыс істейді. Егер қатар ұзын болса, есептеулер күрделене түседі. Мысалы, егер сұрақтың 9 -мәселесінде ауыстырсаңыз «бес минут»қосулы «отыз бес минут»мәселе айтарлықтай ашуланатын болады.)

Сонымен қатар, мәні бойынша қарапайым, бірақ есептеулер тұрғысынан керемет тапсырмалар бар, мысалы:

Сізге арифметикалық прогрессия беріледі (a n). Егер 1 = 3 және d = 1/6 болса, 121 -ді табыңыз.

Ал біз нені 1/6 көбейтеміз?! Сіз оны өлтіре аласыз ба?!

Сіз жасай аласыз.) Егер сіз қарапайым формуланы білмесеңіз, оған сәйкес мұндай міндеттерді бір минут ішінде шешуге болады. Бұл формула келесі сабақта болады. Және бұл мәселе сол жерде шешіледі. Бір минут ішінде.)

Егер сізге бұл сайт ұнаса ...

Айтпақшы, менде сізге тағы бірнеше қызықты сайттар бар.)

Мысалдарды шешуге жаттығуға және өз деңгейіңізді білуге ​​болады. Жедел тексеру тестілеуі. Оқу - қызығушылықпен!)

функциялары мен туындыларымен таныса аласыз.

Математиканың сурет пен поэзия сияқты өзіндік сұлулығы бар.

Орыс ғалымы, механик Н.Е. Жуковский

Арифметикалық прогрессия ұғымына байланысты есептер математикаға түсу емтихандарында өте жиі кездесетін мәселелер болып табылады. Мұндай есептерді табысты шешу үшін арифметикалық прогрессияның қасиеттерін жақсы білу және оларды қолдануда белгілі бір дағдыларға ие болу қажет.

Біз алдымен арифметикалық прогрессияның негізгі қасиеттерін еске түсіріп, ең маңызды формулаларды ұсынамыз, осы ұғымға байланысты.

Анықтама. Сандар тізбегі, онда әрбір кейінгі мүше бұрынғыдан бірдей санмен ерекшеленеді, арифметикалық прогрессия деп атайды. Оның үстіне саныпрогрессияның айырмашылығы деп атайды.

Арифметикалық прогрессия үшін келесі формулалар жарамды

, (1)

қайда. (1) формула арифметикалық прогрессияның жалпы мүшесінің формуласы деп аталады, ал (2) формула арифметикалық прогрессияның негізгі қасиеті болып табылады: прогрессияның әрбір мүшесі көршілес мүшелерінің орташа арифметикалық сәйкес келеді және.

Назар аударыңыз, дәл осы қасиеттің арқасында қарастырылатын прогрессия «арифметикалық» деп аталады.

Жоғарыдағы (1) және (2) формулалар келесідей жалпыланған:

(3)

Соманы есептеу үшінең бірінші арифметикалық прогрессия мүшелеріәдетте формула қолданылады

(5) қайда және.

Формуланы ескере отырып (1), онда (5) формула білдіреді

Егер біз белгілейтін болсақ, онда

қайда. Өйткені, (7) және (8) формулалар сәйкес формулалардың (5) және (6) жалпылауы болып табылады.

Соның ішінде , (5) формула білдіреді, не

Келесі теореманың көмегімен тұжырымдалған арифметикалық прогрессияның қасиеті оқушылардың көпшілігіне белгілі емес.

Теорема.Егер, онда

Дәлел.Егер, онда

Теорема дәлелденді.

Мысалға , теореманы қолдана отырып, мұны көрсетуге болады

«Арифметикалық прогрессия» тақырыбындағы есептерді шығарудың типтік мысалдарын қарастыруға көшейік.

Мысал 1.Болсын және. Табыңыз.

Шешім.(6) формуланы қолдана отырып, біз аламыз. Содан бері, содан кейін немесе.

Мысал 2.Ол үш есе көп болсын, ал бөлікке бөлгенде біз 2 және қалдық 8 аламыз. Анықтаңыз және.

Шешім.Мысал шарты теңдеулер жүйесін білдіреді

,, және, содан кейін (10) теңдеулер жүйесінен аламыз

Бұл теңдеулер жүйесінің шешімі - және.

Мысал 3.Егер болса, табыңыз.

Шешім.(5) формула бойынша бізде немесе. Алайда, меншікті (9) пайдалана отырып, біз аламыз.

Содан бері, содан кейін теңдіктен теңдеу төмендегідей боладынемесе.

Мысал 4.Болса табыңыз.

Шешім.(5) формула бойынша бізде бар

Алайда, теореманы қолдана отырып, жазуға болады

Осыдан және (11) формуладан аламыз.

Мысал 5. Берілген :. Табыңыз.

Шешім.Сол уақыттан бері. Алайда, сондықтан.

Мысал 6.Келіңіз, және. Табыңыз.

Шешім.(9) формуланы қолдана отырып, біз аламыз. Сондықтан, егер, онда немесе.

Бері және, онда бізде теңдеулер жүйесі бар

Қайсысын шешеміз, біз аламыз және.

Теңдеудің табиғи түбіріболып табылады.

Мысал 7.Егер болса, табыңыз.

Шешім.(3) формуласы бойынша бізде солай болғандықтан, есептің шешімі теңдеулер жүйесін білдіреді

Егер сіз өрнекті ауыстырсаңызжүйенің екінші теңдеуіне, онда біз аламыз немесе.

Квадрат теңдеудің түбірлеріжәне .

Екі жағдайды қарастырайық.

1. Олай болса, рұқсат етіңіз. Содан бері, содан кейін.

Бұл жағдайда (6) формула бойынша бізде

2. Егер, онда, және

Жауап: және.

Мысал 8.Бұл белгілі және. Табыңыз.

Шешім.(5) формуланы және мысалдың шартын ескере отырып, біз жазамыз және.

Осыдан теңдеулер жүйесі шығады

Егер жүйенің бірінші теңдеуін 2 -ге көбейтіп, содан кейін оны екінші теңдеуге қоссақ, онда аламыз

(9) формула бойынша бізде бар... Осыған байланысты, (12) -ден мыналар шығадынемесе.

Содан бері, содан кейін.

Жауап:.

Мысал 9.Егер болса, табыңыз.

Шешім.Өйткені, және шарт бойынша, содан кейін немесе.

(5) формуладан белгілі, не . Сол уақыттан бері.

Демек, мұнда бізде сызықтық теңдеулер жүйесі бар

Сондықтан біз аламыз және. (8) формуланы ескере отырып, біз жазамыз.

Мысал 10.Теңдеуді шешіңіз.

Шешім.Берілген теңдеуден мыналар шығады. Айталық ,, және. Мұндай жағдайда .

(1) формула бойынша сіз жаза аласыз немесе.

Содан бері, (13) теңдеудің бір ғана сәйкес түбірі бар.

Мысал 11.Бұл жағдайда берілген ең үлкен мәнді табыңыз.

Шешім.Өйткені қарастырылған арифметикалық прогрессия төмендейді. Осыған байланысты өрнек максималды мәнді алады, егер ол прогрессияның минималды оң мүшесінің саны болса.

Біз (1) формуланы және фактіні қолданамыз, сияқты. Содан кейін біз мұны аламыз.

Содан бері, содан кейін де ... Алайда, бұл теңсіздіктеең үлкен натурал сан, сондықтан

Егер, және мәндері (6) формуласымен алмастырылса, онда аламыз.

Жауап:.

Мысал 12.Барлық екі таңбалы натурал сандардың қосындысын анықтаңыз, олар 6-ға бөлінгенде 5-ке қалды.

Шешім.Барлық екі таңбалы натурал сандардың жиынтығымен белгілейік, яғни. ... Содан кейін біз жиынның элементтерінен (сандарынан) тұратын жиын құрамыз, оны 6 -ға бөлгенде, қалдықты 5 береді.

Оны орнату қиын емес, не . Әлбетте, бұл жиынның элементтеріарифметикалық прогрессияны құрады, онда және.

Жиынның кардиналдылығын (элементтердің санын) анықтау үшін біз мынаны болжаймыз. Және, содан кейін (1) формуладан келесі немесе. (5) формуланы ескере отырып, біз аламыз.

Мәселелерді шешудің жоғарыда келтірілген мысалдары толық деп айтуға болмайды. Бұл мақала берілген тақырып бойынша типтік мәселелерді шешудің заманауи әдістерін талдау негізінде жазылған. Арифметикалық прогрессиямен байланысты есептерді шешу әдістерін тереңірек зерттеу үшін ұсынылған әдебиеттер тізіміне жүгінген жөн.

1. Техникалық колледждерге түсушілер үшін математикадан есептер жинағы / Ред. М.И. Сканави. - М.: Бейбітшілік пен білім, 2013 .-- 608 б.

2. Супрун В.П. Жоғары сынып оқушыларына арналған математика: мектеп бағдарламасының қосымша бөлімдері. - М.: Ленанд / URSS, 2014.- 216 б.

3. Медынский М.М. Есептер мен жаттығулардағы қарапайым математиканың толық курсы. 2 -кітап: Сандар тізбегі мен прогрессиясы. - М.: Эдит, 2015 .-- 208 б.

Әлі де сұрақтарыңыз бар ма?

Тәрбиешіден көмек алу үшін - тіркеліңіз.

сайт материалды толық немесе ішінара көшіре отырып, дереккөзге сілтеме қажет.

Біреу жоғары математика салаларынан өте күрделі термин ретінде «прогрессия» сөзінен сақтанады. Сонымен қатар, ең қарапайым арифметикалық прогрессия - бұл такси метрінің жұмысы (олар әлі де қалады). Ал арифметикалық тізбектің мәнін түсіну (және математикада «мәнін түсінуден» маңызды ештеңе жоқ) бірнеше қарапайым ұғымдарды талдай отырып, соншалықты қиын емес.

Математикалық сандар тізбегі

Әрқайсысының жеке нөмірі бар сандар тізбегін сан ретімен атау әдетке айналған.

а 1 - тізбектің бірінші мүшесі;

ал 2 - тізбектің екінші мүшесі;

ал 7 - тізбектің жетінші мүшесі;

ал n-тізбектің n-ші мүшесі;

Дегенмен, бізді кез келген сан мен сандар жиынтығы қызықтырмайды. Біз сандық тізбекке назар аударамыз, онда n -ші мүшенің мәні оның реттік санымен математикалық түрде анық тұжырымдалатын тәуелділікпен байланысты. Басқаша айтқанда: n-ші санның сандық мәні n функциясының кейбірі.

а - сандық тізбек мүшесінің мәні;

n - оның реттік нөмірі;

f (n) - n сандық ретіндегі реттік аргумент болатын функция.

Анықтама

Арифметикалық прогрессияны сандық тізбек деп атауға болады, онда әрбір кейінгі мүше алдыңғы саннан үлкен (кем) болады. Арифметикалық тізбектің n -ші мүшесінің формуласы келесідей:

a n - арифметикалық прогрессияның ағымдағы мүшесінің мәні;

a n + 1 - келесі санның формуласы;

d - айырмашылық (белгілі бір сан).

Егер айырмашылық оң болса (d> 0), онда қарастырылатын қатардың әрбір келесі мүшесі алдыңғыға қарағанда үлкен болатынын және мұндай арифметикалық прогрессия өсетінін анықтау оңай.

Төмендегі графикте сандар тізбегінің неге «өсу» деп аталатынын түсінуге болады.

Егер айырмашылық теріс болса (д<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Көрсетілген мүшенің мәні

Кейде арифметикалық прогрессияның кез келген ерікті a мүшесінің мәнін анықтау қажет болады. Сіз мұны арифметикалық прогрессияның барлық мүшелерінің біріншісінен бастап қалағанына дейінгі мәндерін дәйекті түрде есептеу арқылы жасай аласыз. Алайда, егер бұл жолы бес мыңыншы немесе сегіз миллионыншы мүшенің мағынасын табу қажет болса, бұл жол әрқашан қолайлы бола бермейді. Дәстүрлі есептеу ұзақ уақытты алады. Алайда, арнайы формулаларды қолдана отырып, нақты арифметикалық прогрессияны зерттеуге болады. N -ші мүшенің формуласы да бар: арифметикалық прогрессияның кез келген мүшесінің мәнін прогрессияның айырмашылығы бар прогрессияның бірінші мүшесінің қосындысы ретінде анықтауға болады, оны ізделген мүшенің санына көбейту керек, бір.

Формула прогрессияның жоғарылауына да, төмендеуіне де әмбебап.

Берілген мүшенің мәнін есептеуге мысал

Арифметикалық прогрессияның n -ші мүшесінің мәнін табудың келесі мәселесін шешейік.

Шарт: параметрлері бар арифметикалық прогрессия бар:

Тізбектегі бірінші мүше - 3;

Сандар сериясының айырмашылығы - 1,2.

Тапсырма: 214 мүшенің мәнін табу керек

Шешуі: берілген мүшенің мәнін анықтау үшін мына формуланы қолданамыз:

a (n) = a1 + d (n-1)

Есептің жағдайындағы мәліметтерді өрнекке ауыстыра отырып, бізде:

a (214) = a1 + d (n-1)

а (214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Жауап: тізбектегі 214 -ші мүше - 258,6.

Бұл есептеу әдісінің артықшылығы айқын - барлық шешім 2 жолдан аспайды.

Белгіленген мүшелер санының қосындысы

Өте жиі, берілген арифметикалық қатарда оның белгілі бір сегментінің мәндерінің қосындысын анықтау қажет. Бұл сондай -ақ әр терминнің мәндерін есептеп, содан кейін қорытындылауды қажет етпейді. Бұл әдіс табылатын терминдердің саны аз болған жағдайда қолданылады. Басқа жағдайларда келесі формуланы қолдану ыңғайлы.

1 -ден n -ге дейінгі арифметикалық прогрессия мүшелерінің қосындысы бірінші және n -ші мүшелердің қосындысына тең, n мүшесінің санына көбейтіліп, жартысына бөлінеді. Егер формулада n -ші мүшенің мәні мақаланың алдыңғы абзацындағы өрнекпен ауыстырылса, біз мынаны аламыз:

Есептеу мысалы

Мысалы, мына шарттармен есепті шешейік:

Тізбектегі бірінші мүше нөлге тең;

Айырмашылық 0,5.

Есепте 56 -дан 101 -ге дейінгі серия мүшелерінің қосындысын анықтау қажет.

Шешім. Прогрессияның қосындысын анықтау үшін формуланы қолданайық:

s (n) = (2 ∙ a1 + d ∙ (n-1)) ∙ n / 2

Біріншіден, біз прогрессияның 101 мүшесінің мәндерінің қосындысын анықтаймыз, олардың мәселесінің шарттары туралы мәліметтерді формулаға ауыстырамыз:

s 101 = (2 ∙ 0 + 0.5 ∙ (101-1)) ∙ 101/2 = 2525

Әлбетте, 56 -дан 101 -ге дейінгі прогрессия мүшелерінің қосындысын білу үшін S 101 -ден S 55 -ті алып тастау қажет.

s 55 = (2 ∙ 0 + 0.5 ∙ (55-1)) ∙ 55/2 = 742.5

Осылайша, бұл мысал үшін арифметикалық прогрессияның қосындысы:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5

Арифметикалық прогрессияны практикада қолданудың мысалы

Мақаланың соңында бірінші абзацта берілген арифметикалық реттілік мысалына оралайық - таксиметр (такси машинасының есептегіші). Мысал қарастырайық.

Таксиге отыру (оған 3 км жүгіру кіреді) 50 рубльді құрайды. Әрбір келесі километр 22 рубль / км мөлшерінде төленеді. Саяхат қашықтығы 30 км. Жол жүру құнын есептеңіз.

1. Алғашқы 3 шақырымды тастайық, оның бағасы қону бағасына кіреді.

30 - 3 = 27 км.

2. Әрі қарай есептеу - бұл арифметикалық сандар қатарын талдаудан басқа ештеңе емес.

Мүше саны - жүріп өткен километр саны (минус алғашқы үшеу).

Мүшенің мәні - қосынды.

Бұл есептің бірінші мүшесі 1 = 50 б тең болады.

Прогрессияның айырмашылығы d = 22 p.

бізді қызықтыратын сан - арифметикалық прогрессияның (27 + 1) -ші мүшесінің мәні - 27 -ші шақырымның соңындағы есептегіш көрсеткіші 27,999… = 28 км.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Кездейсоқ ұзақ мерзімге күнтізбелік деректерді есептеу белгілі бір сандық тізбектерді сипаттайтын формулаларға негізделген. Астрономияда орбитаның ұзындығы аспан денесінің жарықтандырғышқа дейінгі қашықтыққа геометриялық тәуелді. Сонымен қатар, әр түрлі сандық қатарлар статистикада және математиканың басқа қолданбалы салаларында сәтті қолданылады.

Сандар тізбегінің тағы бір түрі - геометриялық

Геометриялық прогрессия арифметикамен салыстырғанда үлкен өзгеру жылдамдығымен сипатталады. Саясатта, әлеуметтануда, медицинада бұл немесе басқа құбылыстың, мысалы, эпидемия кезіндегі аурудың таралуының жоғары қарқынын көрсету үшін процесс экспоненциалды түрде дамиды деп жиі айтылады.

Геометриялық сандық қатардың N -ші мүшесінің бұрынғыдан айырмашылығы, ол қандай да бір тұрақты санға көбейтіледі - бөлгіш, мысалы, бірінші мүше 1, бөлгіш сәйкесінше 2, содан кейін:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n = 5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - геометриялық прогрессияның ағымдағы мүшесінің мәні;

b n + 1 - геометриялық прогрессияның келесі мүшесінің формуласы;

q - геометриялық прогрессияның бөлімі (тұрақты сан).

Егер арифметикалық прогрессияның графигі түзу болса, онда геометриялық сурет сәл өзгеше сурет салады:

Арифметикадағыдай, геометриялық прогрессияның ерікті мүше мәнінің формуласы бар. Геометриялық прогрессияның кез келген n-ші мүшесі n-дің үлгерімінің бөліндісінің бірінші мүшесінің көбейтіндісіне тең, бірге азайтады:

Мысал. Бізде геометриялық прогрессия бірінші мүшесі 3 -ке тең, ал прогрессияның бөліндісі 1,5 -ке тең. Прогрессияның 5 -ші мүшесін табыңыз

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15.1875

Берілген мүшелер санының қосындысы арнайы формуланың көмегімен есептеледі. Геометриялық прогрессияның бірінші n мүшесінің қосындысы прогрессияның n -ші мүшесінің көбейтіндісі мен бөлгішінің көбейтіндісі мен бөлгішке бөлінген бөлгішке бөлінген прогрессияның бірінші мүшесі арасындағы айырмашылыққа тең:

Егер b n жоғарыда қарастырылған формула бойынша ауыстырылса, қарастырылатын сандық қатардың бірінші n мүшесінің қосындысының мәні келесі түрде болады:

Мысал. Геометриялық прогрессия 1 -ге тең бірінші мүшеден басталады. Бөлгіш 3 -ке тең. Алғашқы сегіз мүшенің қосындысын табыңыз.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Ендеше отырайық, сандар жазуды бастайық. Мысалға:
Сіз кез келген сандарды жаза аласыз, және қалағаныңызша болуы мүмкін (біздің жағдайда олар). Қанша сан жазсақ та, әрқашан қайсысы бірінші, қайсысы екінші, соңына дейін айта аламыз, яғни біз оларды нөмірлей аламыз. Бұл сандар тізбегінің мысалы:

Сандар тізбегі
Мысалы, біздің реттілік үшін:

Берілген нөмір кезектегі бір санға ғана тән. Басқаша айтқанда, тізбекте үш секундтық сан жоқ. Екінші сан (-інші сан сияқты) әрқашан бір.
Нөмірі бар сан тізбектің үшінші мүшесі деп аталады.

Біз әдетте бүкіл тізбекті кейбір әріптер деп атаймыз (мысалы,), және бұл тізбектің әрбір мүшесі индексі осы мүшенің санына тең болатын әріп:.

Біздің жағдайда:

Айталық, бізде көршілес сандар арасындағы айырмашылық бірдей және тең болатын сандық тізбек бар.
Мысалға:

және т.б.
Бұл сан тізбегі арифметикалық прогрессия деп аталады.
«Прогрессия» терминін 6 ғасырда римдік автор Боетий енгізген және кең мағынада шексіз сандар тізбегі ретінде түсінілген. «Арифметика» атауы ежелгі гректер иеленген үздіксіз пропорциялар теориясынан алынған.

Бұл сандық тізбек, оның әрбір мүшесі алдыңғыға тең, сол санға қосылады. Бұл сан арифметикалық прогрессияның айырмасы деп аталады және онымен белгіленеді.

Сандық тізбектердің қайсысы арифметикалық прогрессия екенін және қайсысы жоқ екенін анықтауға тырысыңыз:

а)
б)
в)
г)

Түсінікті ме? Жауаптарымызды салыстырайық:
Болып табыладыарифметикалық прогрессия - б, в.
Емесарифметикалық прогрессия - a, d.

Берілген прогрессияға () оралып, оның үшінші мүшесінің мәнін табуға тырысайық. Бар екіоны табудың жолы.

1. Әдіс

Біз прогрессияның үшінші кезеңіне жеткенше прогрессияның санының алдыңғы мәнін қоса аламыз. Бізде қысқаша айтатын нәрсе жоқ болғаны жақсы - тек үш құндылық:

Сонымен, сипатталған арифметикалық прогрессияның үшінші мүшесі -ге тең.

2. Әдіс

Егер бізге прогрессияның үшінші мүшесінің мәнін табу қажет болса ше? Жинақтау бізге бір сағаттан артық уақытты алады, және сандарды қосқанда қателеспейтініміз шындық емес.
Әрине, математиктер арифметикалық прогрессияның айырмасын алдыңғы мәнге қосудың қажеті жоқ тәсілін ойлап тапты. Суретке мұқият қараңыз ... Сіз белгілі бір үлгіні байқадыңыз, атап айтқанда:

Мысалы, осы арифметикалық прогрессияның үшінші мүшесінің мәні қалай қосылатынын көрейік:


Басқа сөздермен айтқанда:

Берілген арифметикалық прогрессия мүшесінің мәнін осылайша табуға тырысыңыз.

Есептелген бе? Жазбаларды жауаппен салыстырыңыз:

Сіз алдыңғы әдіске арифметикалық прогрессияның мүшелерін біртіндеп қосқан кезде, сізде алдыңғы әдіспен бірдей сан бар екенін ескеріңіз.
Бұл формуланы «иесіздендіруге» тырысайық - біз оны жалпы түрге келтіреміз және мынаны аламыз:

Арифметикалық прогрессия теңдеуі.

Арифметикалық прогрессия жоғарылайды, кейде төмендейді.

Көтерілуде- мүшелердің әрбір кейінгі мәні алдыңғыға қарағанда үлкен болатын прогрессиялар.
Мысалға:

Азаяды- мүшелердің әрбір кейінгі мәні бұрынғыдан төмен болатын прогрессия.
Мысалға:

Алынған формула арифметикалық прогрессияның мүшелерін көбейту және азайту мүшелерін есептеуде қолданылады.
Оны практикада тексерейік.
Бізге келесі сандардан тұратын арифметикалық прогрессия беріледі: Егер біз оны есептеу үшін формуламызды қолдансақ, осы арифметикалық прогрессияның үшінші саны қандай болатынын тексерейік:

Сол уақыттан бері:

Осылайша, біз формуланың арифметикалық прогрессияның кемуінде де, жоғарылауында да жұмыс істейтініне көз жеткіздік.
Бұл арифметикалық прогрессияның үшінші және үшінші мүшелерін өз бетінше табуға тырысыңыз.

Алынған нәтижелерді салыстырайық:

Арифметикалық прогрессияның қасиеті

Тапсырманы күрделендірейік - біз арифметикалық прогрессияның қасиетін аламыз.
Бізге келесі шарт қойылды делік:
- арифметикалық прогрессия, мәнін табыңыз.
Сіз оңай формулаға сәйкес айтасыз және есептей бастайсыз:

Келіңіздер, а:

Өте дұрыс. Біз алдымен табамыз, содан кейін оны бірінші санға қосамыз және іздегенімізді аламыз. Егер прогрессия кіші мәндермен ұсынылса, онда күрделі ештеңе жоқ, бірақ егер бізге шарттар бойынша сандар берілсе? Есіңізде болсын, есептеулерде қателесу мүмкіндігі бар.
Енді ойланыңыз, кез келген формуланы қолдана отырып, бұл мәселені бір әрекетте шешу мүмкін бе? Әрине, иә, және дәл қазір біз одан бас тартуға тырысамыз.

Арифметикалық прогрессияның қажетті терминін келесідей белгілейік, біз оны табу формуласын білеміз - бұл біз басында шығарған формула:
, содан кейін:

• прогрессияның алдыңғы мүшесі:
• прогрессияның келесі мүшесі:

Прогрессияның алдыңғы және кейінгі мүшелерін қорытындылайық:

Прогрессияның алдыңғы және кейінгі мүшелерінің қосындысы олардың арасында орналасқан прогрессия мүшесінің қосарланған мәні болып шығады. Басқаша айтқанда, прогрессия мүшесінің алдыңғы және кезекті мәндері бар мәнін табу үшін оларды қосу және бөлу қажет.

Дұрыс, бізде бірдей сан бар. Материалды жөндейік. Прогрессияның мәнін өзіңіз есептеңіз, себебі бұл қиын емес.

Жарайсың! Сіз прогрессия туралы бәрін білесіз! Үйрену үшін бір ғана формула қалды, ол аңыз бойынша өзіне барлық уақыттағы ең ұлы математиктердің бірі, «математиктер патшасы» - Карл Гауссты оңай шығарды ...

Карл Гаусс 9 жаста болғанда, басқа сынып оқушыларының жұмысын тексерумен айналысатын мұғалім сабақта келесі тапсырманы қойды: «Барлық натурал сандардың қосындысын дейін (басқа дереккөздер бойынша) қоса алғанда есептеңіз». Ұстаздың таң қалуын елестетіп көріңізші, оның шәкірттерінің бірі (бұл Карл Гаусс) бір минут ішінде есептің дұрыс жауабын берді, ал батыл сыныптастарының көпшілігі ұзақ есептеулерден кейін қате нәтиже алды ...

Жас Карл Гаусс сіз байқай алатын белгілі бір үлгіні байқады.
Бізде -ші мүшелерден тұратын арифметикалық прогрессия бар делік: Бізге арифметикалық прогрессияның берілген мүшелерінің қосындысын табу керек. Әрине, біз барлық мәндерді қолмен жинай аламыз, бірақ егер тапсырмада Гаусс іздегендей оның мүшелерінің қосындысын табу қажет болса ше?

Берілген прогрессияны суреттейік. Белгіленген сандарға мұқият қараңыз және олармен әр түрлі математикалық амалдарды орындауға тырысыңыз.


Сіз сынап көрдіңіз бе? Сіз не байқадыңыз? Дұрыс! Олардың сомасы тең

Енді айтыңызшы, берілген прогрессияда осындай қанша жұп бар? Әрине, барлық сандардың дәл жартысы, яғни.
Арифметикалық прогрессияның екі мүшесінің қосындысы тең және соған тең жұптар болатынына сүйене отырып, жалпы қосындыны аламыз:
.
Осылайша, кез келген арифметикалық прогрессияның бірінші мүшелерінің қосындысының формуласы келесідей болады:

Кейбір мәселелерде біз үшінші кезеңді білмейміз, бірақ прогрессияның айырмашылығын білеміз. Үшінші мүшенің қосындысының формуласын алмастырып көріңіз.
Сен не істедің?

Жарайсың! Енді Карл Гауссқа берілген мәселеге қайта оралайық: -ден басталатын сандардың қосындысы мен -ден басталатын сандардың қосындысы қандай екенін өзіңіз есептеңіз.

Сіз қанша алдыңыз?
Гаусс мүшелердің қосындысы, ал мүшелердің қосындысы тең екенін анықтады. Сіз осылай шештіңіз бе?

Шындығында, арифметикалық прогрессия мүшелерінің қосындысының формуласын ежелгі грек ғалымы Диофант III ғасырда дәлелдеді және осы уақыт ішінде тапқыр адамдар арифметикалық прогрессияның қасиеттерін барынша қолданып келді.
Мысалы, Ежелгі Египетті елестетіп көріңіз және сол кездегі ең өршіл құрылыс алаңы - пирамиданың құрылысы ... Суретте оның бір жағы көрсетілген.

Бұл жерде прогресс қайда? Жақсылап қараңыз және пирамида қабырғасының әр қатарындағы құм блоктарының санының үлгісін табыңыз.


Бұл арифметикалық прогрессия емес пе? Егер негізге блок кірпіші қойылса, бір қабырғаға қанша блок қажет екенін есептеңіз. Саусағыңызды монитордың бойымен жүгіру арқылы сіз санамайсыз деп үміттенемін, сіз соңғы формуланы және арифметикалық прогрессия туралы айтқандардың бәрін есіңізде сақтайсыз ба?

Бұл жағдайда прогрессия келесідей көрінеді :.
Арифметикалық прогрессияның айырмашылығы.
Арифметикалық прогрессия мүшелерінің саны.
Деректерімізді соңғы формулаларға ауыстырайық (блоктардың санын 2 тәсілмен есептейміз).

1 -әдіс.

2 -әдіс.

Ал енді сіз мониторда есептей аласыз: алынған мәндерді біздің пирамидадағы блоктармен салыстырыңыз. Бірге келді ме? Жарайсың, сіз арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысын меңгердіңіз.
Әрине, сіз пирамиданы негіздегі блоктардан құра алмайсыз, бірақ? Осындай шартпен қабырға салу үшін қанша құм кірпіш қажет екенін есептеп көріңіз.
Сіз басқардыңыз ба?
Дұрыс жауап блоктар:

Машықтану

Тапсырмалар:

1. Маша жазда формасын алады. Ол күн сайын отырғыштардың санын көбейтеді. Маша аптасына неше рет отырады, егер бірінші жаттығуда ол скамейкаларды жасаса.
2. Барлық тақ сандардың қосындысы қандай?
3. Журналдарды сақтау кезінде ағаш кесушілер оларды әр қабатта алдыңғы журналға қарағанда бір журналдан тұратын етіп жинайды. Бір кірпіште қанша бөренелер бар, егер бөренелер кірпіш қалаудың негізі болса.

Жауаптар:

1. Арифметикалық прогрессияның параметрлерін анықтайық. Бұл жағдайда
   (апта = күн).

   Жауап:Екі аптадан кейін Маша күніне бір рет отыруы керек.

2. Бірінші тақ сан, соңғы сан.
   Арифметикалық прогрессияның айырмашылығы.
   Тақ сандардың саны екіге тең, алайда біз бұл фактіні арифметикалық прогрессияның -шінші мүшесін табу формуласы арқылы тексереміз:

   Сандарда тақ сандар бар.
   Қолда бар деректерді формуламен ауыстырыңыз:

   Жауап:Барлық тақ сандардың қосындысы.

3. Пирамида мәселесін еске түсірейік. Біздің жағдайда, а, әр жоғарғы қабат бір журналға қысқарғандықтан, онда тек қабаттар тобында, яғни.
   Деректерді формулаға ауыстырайық:

   Жауап:Кірпіште бөренелер бар.

Жинақтау

1. - көршілес сандар арасындағы айырмашылық бірдей және тең болатын сандық тізбек. Ол көтерілуі де, кемуі де мүмкін.
2. Формуланы табу-арифметикалық прогрессияның үшінші мүшесі -формуласымен жазылады, мұндағы прогрессиядағы сандар саны.
3. Арифметикалық прогрессия мүшелерінің қасиеті- - прогрессиядағы сандар саны.
4. Арифметикалық прогрессия мүшелерінің қосындысыекі жолмен табуға болады:
   
   , мұнда мәндер саны.

АРИФМЕТИКАЛЫҚ ӨСУ. ОРТАША ДЕҢГЕЙ

Сандар тізбегі

Орнымызға сандар жазуды бастайық. Мысалға:

Сіз кез келген сандарды жаза аласыз, және қалағаныңызша болуы мүмкін. Бірақ сіз әрқашан қайсысы біріншісі, қайсысы екіншісі деп айта аласыз, яғни біз оларды нөмірлей аламыз. Бұл сандар тізбегінің мысалы.

Сандар тізбегібұл сандар жиынтығы, олардың әрқайсысына бірегей нөмірді беруге болады.

Басқаша айтқанда, әр санды белгілі бір натурал санмен байланыстыруға болады, және жалғыз. Және біз бұл нөмірді осы жиыннан басқа нөмірге бермейміз.

Нөмірі бар сан тізбектің үшінші мүшесі деп аталады.

Біз әдетте бүкіл тізбекті кейбір әріптер деп атаймыз (мысалы,), және бұл тізбектің әрбір мүшесі индексі осы мүшенің санына тең болатын әріп:.

Егер тізбектің үшінші мүшесін қандай да бір формуламен көрсетуге болатын болса, бұл өте ыңғайлы. Мысалы, формула

ретін анықтайды:

Және формула келесі ретпен:

Мысалы, арифметикалық прогрессия - бұл реттілік (мұнда бірінші мүше тең, ал айырмасы). Немесе (, айырмашылық).

N -ші терминнің формуласы

Біз қайталанатын формуланы атаймыз, онда үшінші мүшені білу үшін алдыңғы немесе бірнеше алдыңғы мүшелерді білу қажет:

Мысалы, осындай формуланы қолданып прогрессияның үшінші кезеңін табу үшін, біз алдыңғы тоғызды есептеуге тура келеді. Мысалы, рұқсат етіңіз. Содан кейін:

Ал, енді формула қандай?

Біз қосатын әр жолда кейбір санға көбейтіледі. Не үшін? Өте қарапайым: бұл ағымдағы мүшенің саны минус:

Қазір әлдеқайда ыңғайлы, иә? Біз тексереміз:

Өзіңіз шешіңіз:

Арифметикалық прогрессияда n -ші мүшенің формуласын және жүзінші мүшесін табыңыз.

Шешім:

Бірінші мүше тең. Айырмашылығы неде? Ал мынау:

(ақыр соңында, бұл прогрессияның кезекті мүшелерінің айырмашылығына тең айырмашылық деп аталады).

Сонымен формула:

Сонда жүзінші мүше:

-Ға дейінгі барлық натурал сандардың қосындысы нешеге тең?

Аңыз бойынша, ұлы математик Карл Гаусс 9 жасар бала болғандықтан, бұл соманы бірнеше минут ішінде есептеген. Ол бірінші және соңғы сандардың қосындысы тең екенін, екіншісі мен соңғысының қосындысы бірдей екенін, соңынан үшінші және үшінші қосындысы бірдей екенін және т.б. Мұндай жұп қанша болады? Дұрыс, барлық сандар санының дәл жартысы, яғни. Сонымен,

Кез келген арифметикалық прогрессияның бірінші мүшелерінің қосындысының жалпы формуласы келесідей болады:

Мысал:
Барлық екі таңбалы еселіктердің қосындысын табыңыз.

Шешім:

Мұндай бірінші сан. Әр келесі алдыңғы нөмірге қосу арқылы алынады. Осылайша, бізді қызықтыратын сандар бірінші мүшесі мен айырмашылығы бар арифметикалық прогрессияны құрайды.

Бұл прогрессияның үшінші формуласы:

Егер олардың барлығы екі таңбалы болса, қанша мүше дамуда?

Өте жеңіл: .

Прогрессияның соңғы кезеңі тең болады. Содан кейін сома:

Жауап:.

Енді өзіңіз шешіңіз:

1. Күн сайын спортшы алдыңғы күнге қарағанда көбірек жүгіреді. Егер ол бірінші күні км м жүгірсе, ол бірнеше аптадан кейін қанша шақырым жүгіреді?
2. Велосипедші күн сайын бұрынғыға қарағанда көп шақырым жүреді. Бірінші күні ол км жүрді. Ол км жүру үшін қанша күн жүруі керек? Саяхаттың соңғы күнінде ол неше шақырым жүреді?
3. Дүкендегі тоңазытқыштың бағасы жыл сайын осындай мөлшерде төмендейді. Тоңазытқыштың бағасы жыл сайын қаншаға төмендегенін анықтаңыз, егер рубльге сатылымға қойылса, алты жылдан кейін ол рубльге сатылды.

Жауаптар:

1. Бұл жерде ең бастысы - арифметикалық прогрессияны тану және оның параметрлерін анықтау. Бұл жағдайда (апта = күн). Бұл прогрессияның алғашқы мүшелерінің қосындысын анықтау қажет:
   .
   Жауап:
2. Мұнда берілген :, табу керек.
   Әлбетте, сіз алдыңғы есепте көрсетілген соманың формуласын қолдануыңыз керек:
   .
   Мәндерді ауыстырыңыз:

   Түбір сәйкес келмейтіні анық, сондықтан жауап.
   Үшінші тоқсанның формуласын қолданып, соңғы тәулікте жүріп өткен қашықтықты есептейік:
   (км).
   Жауап:

3. Берілген :. Табыңыз:.
   Бұл оңай болуы мүмкін емес:
   (сүрту).
   Жауап:

АРИФМЕТИКАЛЫҚ ӨСУ. БАСТЫ ТУРАЛЫ қысқаша

Бұл көршілес сандар арасындағы айырмашылық бірдей және тең болатын сандық реттілік.

Арифметикалық прогрессия өсу () және кему () болуы мүмкін.

Мысалға:

Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесін табудың формуласы

формуламен жазылған, мұндағы прогрессиядағы сандардың саны.

Арифметикалық прогрессия мүшелерінің қасиеті

Бұл прогрессия мүшесін оңай табуға мүмкіндік береді, егер оның көршілес мүшелері белгілі болса - прогрессиядағы сандар саны.

Арифметикалық прогрессия мүшелерінің қосындысы

Соманы табудың екі әдісі бар:

Мәндер саны қайда.

Мәндер саны қайда.

ҚАЛҒАН 2/3 МАҚАЛАЛАРҒА СТУДЕНТТЕРДІҢ ЖАСАУШЫЛЫҒЫ ҮШІН қол жетімді!

YouClever студенті болыңыз,

«Айына бір шыныаяқ кофе» бағасы бойынша математика бойынша ПАЙДАЛАНУҒА немесе ПАЙДАЛАНУҒА дайындалыңыз,

Сондай -ақ, «YouClever» оқулығына, «100gia» оқу бағдарламасына (reshebnik), USE мен OGE шексіз сынақ нұсқасына, шешімдерді талдауда 6000 проблемаға және YouClever мен 100gia басқа қызметтеріне шектеусіз қол жеткізе аласыз.

Арифметикалық прогрессияның қосындысы.

Арифметикалық прогрессияның қосындысы қарапайым нәрсе. Мағынасы жағынан да, формуласы бойынша да. Бірақ бұл тақырып бойынша барлық тапсырмалар бар. Қарапайымнан өте қаттыға дейін.

Алдымен қосындының мәні мен формуласын анықтайық. Ал содан кейін біз оны түзетеміз. Сіздің рахатыңыз үшін.) Суманың мағынасы қарапайым, хум сияқты. Арифметикалық прогрессияның қосындысын табу үшін оның барлық мүшелерін мұқият қосу керек. Егер бұл терминдер аз болса, сіз ешқандай формуласыз қосуға болады. Бірақ егер көп болса, немесе көп болса ... қосу мазалайды.) Бұл жағдайда формула сақтайды.

Қосынды формула қарапайым көрінеді:

Формулаға қандай әріптер кіретінін анықтайық. Бұл көп нәрсені түсіндіреді.

S n - арифметикалық прогрессияның қосындысы. Қосу нәтижесі бәрінен демүшелері ең біріншіқосулы соңғыБұл маңызды. Нақты қосыңыз барлықмүшелер қатарынан, бос орындар мен секірулерсіз. Және, атап айтқанда, бастап біріншіҮшінші және сегізінші мүшелердің қосындысын немесе бесіншіден жиырмасыншы мүшелердің қосындысын табу сияқты тапсырмаларда формуланы тікелей қолдану көңілсіз болады.)

а 1 - біріншіпрогрессия мүшесі. Мұнда бәрі түсінікті, бәрі қарапайым біріншіжол нөмірі.

а- соңғыпрогрессия мүшесі. Жолдың соңғы нөмірі. Бұл өте таныс атау емес, бірақ сомаға қолданылған кезде ол тіпті өте қолайлы. Сонда сіз өзіңіз көресіз.

n - соңғы мүшенің нөмірі. Формулада бұл сан екенін түсіну маңызды қосылған мүшелердің санына сәйкес келеді.

Ұғымға анықтама берейік Соңғымүше а... Толтыру сұрағы: қай мүше болады соңғысыберілсе шексізарифметикалық прогрессия?)

Сенімді жауап алу үшін сіз арифметикалық прогрессияның қарапайым мағынасын түсінуіңіз керек ... тапсырманы мұқият оқып шығыңыз!)

Арифметикалық прогрессияның қосындысын табу тапсырмасында соңғы термин әрқашан пайда болады (тікелей немесе жанама), шектелуі керек.Әйтпесе, соңғы, нақты сома жай ғана жоқ.Шешім үшін қандай прогрессияның орнатылғаны маңызды емес: ақырлы немесе шексіз. Оның қалай орнатылатыны маңызды емес: сандар саны бойынша немесе n-ші мүшенің формуласы бойынша.

Ең бастысы, формула прогрессияның бірінші мүшесінен с санына дейін жұмыс істейтінін түсіну. n.Шындығында формуланың толық атауы келесідей: арифметикалық прогрессияның бірінші n мүшесінің қосындысы.Бұл алғашқы мүшелердің саны, яғни. n, тек тапсырмамен анықталады. Тапсырмада бұл құнды ақпараттың барлығы жиі шифрланады, иә ... Бірақ ештеңе жоқ, төмендегі мысалдарда біз бұл құпияларды ашамыз.)

Арифметикалық прогрессияның қосындысына арналған тапсырмалардың мысалдары.

Ең алдымен пайдалы ақпарат:

Арифметикалық прогрессияның қосындысына арналған тапсырмалардың негізгі қиындығы формула элементтерінің дұрыс анықталуында.

Тапсырмалардың авторлары осы элементтерді шексіз қиялмен шифрлайды.) Бұл жерде ең бастысы - қорықпау. Элементтердің мәнін түсіну үшін оларды жай ғана ашу жеткілікті. Бірнеше мысалды толығырақ қарастырайық. Нағыз ЖИА -ға негізделген тапсырмадан бастайық.

1. Арифметикалық прогрессия шартпен анықталады: a n = 2n-3.5. Оның алғашқы 10 мүшесінің қосындысын табыңыз.

Жақсы тапсырма. Оңай.) Формула бойынша мөлшерді анықтау үшін нені білуіміз керек? Бірінші тоқсан а 1, соңғы тоқсан аиә, соңғы мүшенің нөмірі n.

Соңғы мүшенің нөмірін қайдан алуға болады n? Иә, сол жерде! Онда: соманы табыңыз алғашқы 10 мүше.Жақсы, қандай сан болады соңғы,оныншы мүше?) Сенбейсіз, оның саны оныншы!) Сонымен, орнына аформулада біз алмастырамыз а 10және оның орнына n- он. Тағы да, соңғы мүшенің саны мүшелердің санымен бірдей.

Анықтау қалды а 1және а 10... Бұл есеп шығаруда берілген n -ші мүшенің формуласымен оңай есептеледі. Мұны қалай жасау керектігін білмейсіз бе? Өткен сабаққа кіріңіз, онсыз - ештеңе жоқ.

а 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

а 10= 210 - 3,5 = 16,5

S n = S 10.

Біз арифметикалық прогрессияның қосындысының формуласының барлық элементтерінің мағынасын білдік. Оларды ауыстыру қалады, бірақ санаңыз:

Бар болғаны осы. Жауабы: 75.

GIA негізіндегі тағы бір тапсырма. Біршама күрделі:

2. Сізге айырмасы 3,7 болатын арифметикалық прогрессия (a n) беріледі; а 1 = 2.3. Алғашқы 15 мүшенің қосындысын табыңыз.

Біз бірден соманың формуласын жазамыз:

Бұл формула кез келген мүшенің мәнін оның саны бойынша табуға мүмкіндік береді. Біз қарапайым ауыстыруды іздейміз:

а 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

Формуладағы барлық элементтерді арифметикалық прогрессияның қосындысына ауыстыру және жауапты есептеу қалады:

Жауабы: 423.

Айтпақшы, егер формулада сомасы орнына а n -ші мүшенің формуласын ауыстырсақ, біз мынаны аламыз:

Біз ұқсас формулаларды береміз, біз арифметикалық прогрессия мүшелерінің қосындысының жаңа формуласын аламыз:

Көріп отырғаныңыздай, мұнда n -ші термин қажет емес. а... Кейбір тапсырмаларда бұл формула көп көмектеседі, иә ... Сіз бұл формуланы есте сақтай аласыз. Немесе сіз оны дәл осы жерде көрсете аласыз. Ақыр соңында, қосынды формуласы мен n -ші мүшенің формуласы барлық жағдайда есте сақталуы керек.)

Енді тапсырма қысқа шифрлау түрінде):

3. Үшке еселік болатын барлық оң екі таңбалы сандардың қосындысын табыңыз.

Қалай! Бірінші мүше де, соңғы мүше де, прогрессия да ... Қалай өмір сүру керек!?

Сіз басыңызбен ойланып, шарттан арифметикалық прогрессияның қосындысының барлық элементтерін шығарып алуыңыз керек. Біз екі таңбалы сандардың не екенін білеміз. Олар екі саннан тұрады.) Екі таңбалы сан қандай болады ең бірінші? 10, менің ойымша.) соңғы нәрсеекі таңбалы сан? 99, әрине! Үш таңбалы сан оның соңынан ереді ...

Үшке еселік ... Хм ... Бұл үшке бөлінетін сандар, міне! Он ондыққа бөлінбейді, 11 бөлінбейді ... 12 ... бөлінеді! Сонымен, бірдеңе шығады. Мәселенің шарты бойынша серия жазуға болады:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Бұл серия арифметикалық прогрессия бола ма? Әрине! Әр мүше алдыңғы мүшеден үштен ерекшеленеді. Егер біз терминге 2 немесе 4 қоссақ, айталық, нәтиже, яғни. жаңа сан бұдан былай толығымен 3 -ке бөлінбейді. Үймеге арифметикалық прогрессияның айырмашылығын бірден анықтауға болады: d = 3.Бұл пайдалы болады!)

Сонымен, сіз прогрессияның кейбір параметрлерін қауіпсіз түрде жаза аласыз:

Сан қандай болады nсоңғы мүше? Кім 99 деп ойласа, қателеседі ... Сандар - олар үнемі қатармен жүреді, ал біздің мүшелер үздік үштіктен секіреді. Олар сәйкес келмейді.

Оны шешудің екі әдісі бар. Бір жолы - өте еңбекқор. Сіз прогрессияны, цифрлардың бүкіл сериясын бояй аласыз және мүшелердің санын саусағыңызбен санауға болады.) Екінші жол - ойлы адамдарға арналған. Біз n -ші тоқсанның формуласын есте сақтауымыз керек. Егер біз формуланы өз мәселемізге қолданатын болсақ, онда 99 - бұл прогрессияның отызыншы кезеңі. Анау. n = 30.

Біз арифметикалық прогрессияның қосындысының формуласын қарастырамыз:

Біз қарап тұрмыз және біз бақыттыбыз.) Біз мәселе туралы мәлімдемеден соманы есептеу үшін қажет нәрсенің бәрін шығардық:

а 1= 12.

а 30= 99.

S n = S 30.

Элементарлы арифметикалық қалдықтар. Біз сандарды формуламен ауыстырамыз және есептейміз:

Жауабы: 1665 ж

Танымал басқатырғыштардың тағы бір түрі:

4. Арифметикалық прогрессия берілген:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Жиырмасыншыдан отыз төртіншіге дейінгі мүшелердің қосындысын табыңыз.

Біз соманың формуласына қараймыз және ... ренжиміз.) Формула, еске салайын, соманы есептейді біріншіденмүше. Ал есепте соманы есептеу керек жиырмасыншыдан ...Формула жұмыс істемейді.

Сіз, әрине, бүкіл прогрессияны қатарынан бояп, 20 -дан 34 -ке дейінгі мүшелерді қоса аласыз. Бірақ ... бұл қандай да бір түрде ақымақ және ұзақ уақытқа созылады, иә?)

Неғұрлым талғампаз шешім бар. Қатарымызды екіге бөлейік. Бірінші бөлім болады бірінші мүшеден он тоғызыншыға дейін.Екінші бөлім - жиырмасыншыдан отыз төртіншіге дейін.Егер бірінші бөлім мүшелерінің қосындысын есептесек, түсінікті S 1-19иә, біз екінші бөліктің шарттарының қосындысын қосамыз S 20-34, біз бірінші мүшеден отыз төртіншіге дейінгі прогрессияның қосындысын аламыз S 1-34... Бұл сияқты:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Бұл соманы табу керек екенін көрсетеді S 20-34қарапайым азайту болуы мүмкін

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Оң жақтағы екі сома да ескеріледі біріншіденмүшесі, яғни стандартты сома формуласы олар үшін өте қолайлы. Бастау?

Проблеманың өрнегінен параметрлерді шығарамыз:

d = 1,5.

а 1= -21,5.

Алғашқы 19 мен алғашқы 34 мүшенің қосындысын есептеу үшін бізге 19 және 34 мүшелер қажет болады. Біз оларды 2 -есептегідей n -ші мүшенің формуласы бойынша есептейміз:

а 19= -21,5 + (19-1) 1,5 = 5,5

а 34= -21,5 + (34-1) 1,5 = 28

Ештеңе қалған жоқ. Барлығы 34 мүшеден 19 мүшені алып тастаңыз:

S 20-34 = S 1-34-S 1-19 = 110.5-(-152) = 262.5

Жауабы: 262.5

Бір маңызды ескерту! Бұл мәселені шешуде өте пайдалы амал бар. Тікелей есеп айырысудың орнына Сізге не қажет (S 20-34),біз санадық не керек сияқты - S 1-19.Содан кейін олар шешті және S 20-34, толық нәтижеден қажетсізді алып тастау. Мұндай «құлақпен қулық» көбінесе зұлым істерден құтқарады.)

Бұл сабақта біз есептерді қарастырдық, оларды шешу үшін арифметикалық прогрессияның қосындысының мәнін түсіну жеткілікті. Сіз бірнеше формуланы білуіңіз керек.)

Практикалық кеңестер:

Арифметикалық прогрессияның қосындысы бойынша кез келген мәселені шешкенде, мен осы тақырыптан бірден екі негізгі формуланы жазуды ұсынамын.

N -ші мүшенің формуласы:

Бұл формулалар мәселені шешу үшін нені іздеу керектігін, қай бағытта ойлану керектігін бірден айтады. Бұл көмектеседі.

Ал енді дербес шешімге арналған тапсырмалар.

5. Үшке бөлінбейтін барлық екі таңбалы сандардың қосындысын табыңыз.

Салқын?) Кеңес 4 -тапсырманың жазбасында жасырылған. Ал, 3 -тапсырма көмектеседі.

6. Арифметикалық прогрессия шартпен анықталады: a 1 = -5.5; a n + 1 = a n +0.5. Алғашқы 24 мүшенің қосындысын табыңыз.

Ерекше емес пе?) Бұл қайталанатын формула. Бұл туралы алдыңғы сабақта оқи аласыз. Сілтемені елемеңіз, мұндай тапсырмалар ГИА -да жиі кездеседі.

7. Вася мерекеге ақша жинады. Барлығы 4550 рубль! Мен ең сүйікті адамыма (өзіме) бірнеше күндік бақыт сыйлауды шештім). Өзіңізді ештеңеден бас тартпай, әдемі өмір сүру. Бірінші күні 500 рубль жұмсаңыз, ал келесі күнге 50 рубльге көбірек ақша жұмсаңыз! Ақша ұсынысы таусылғанша. Вася неше күн бақытты болды?

Қиын ба?) 2 -есептің қосымша формуласы көмектеседі.

Жауаптар (ретсіз): 7, 3240, 6.

Егер сізге бұл сайт ұнаса ...

Айтпақшы, менде сізге тағы бірнеше қызықты сайттар бар.)

Мысалдарды шешуге жаттығуға және өз деңгейіңізді білуге ​​болады. Жедел тексеру тестілеуі. Оқу - қызығушылықпен!)

функциялары мен туындыларымен таныса аласыз.