1 - 20 есептерінде АВС үшбұрышының төбелері берілген.
Табыңдар: 1) АВ қабырғасының ұзындығын; 2) АВ және АС жақтарының теңдеулері және олардың бұрыштық коэффициенттері; 3) 0,01 дәлдікпен радиандағы ішкі А бұрышы; 4) CD биіктігі мен оның ұзындығының теңдеуі; 5) CD биіктігі диаметрі болатын шеңбердің теңдеуі; 6) жүйе сызықтық теңсіздіктер, ABC үшбұрышын анықтау.

Үшбұрыштың қабырғаларының ұзындығы:
|AB| = 15
|AC| = 11.18
|BC| = 14.14
М нүктесінен d қашықтығы: d = 10
Үшбұрыштың төбелерінің координаталары берілген: А(-5,2), В(7,-7), С(5,7).
2) Үшбұрыштың қабырғаларының ұзындығы
M 1 (x 1 ; y 1) және M 2 (x 2 ; y 2) нүктелерінің арасындағы d қашықтық мына формуламен анықталады:

8) Түзу теңдеуі
A 1 (x 1 ; y 1) және A 2 (x 2 ; y 2) нүктелері арқылы өтетін түзу мына теңдеулермен бейнеленеді:

AB түзуінің теңдеуі


немесе

немесе
y = -3/4 x -7/4 немесе 4y + 3x +7 = 0
АС түзуінің теңдеуі
Сызықтың канондық теңдеуі:

немесе

немесе
y = 1/2 x + 9/2 немесе 2y -x - 9 = 0
ВС түзуінің теңдеуі
Сызықтың канондық теңдеуі:

немесе

немесе
y = -7x + 42 немесе y + 7x - 42 = 0
3) Түзулер арасындағы бұрыш
AB түзуінің теңдеуі:y = -3 / 4 x -7 / 4
АС түзуінің теңдеуі:y = 1/2 x + 9/2
Екі түзудің арасындағы φ бұрышы, берілген теңдеулер y = k 1 x + b 1 және y 2 = k 2 x + b 2 бұрыштық коэффициенттері бар, формула бойынша есептелген:

Бұл сызықтардың еңістері -3/4 және 1/2. Формуласын қолданайық және оның оң жақмодульді алыңыз:

tg φ = 2
φ = арктан(2) = 63,44 0 немесе 1,107 рад.
9) С шыңы арқылы өтетін биіктік теңдеуі
N 0 (x 0 ;y 0) нүктесі арқылы өтетін және Ax + By + C = 0 түзуіне перпендикуляр түзудің бағыт векторы (A;B) болады, сондықтан мына теңдеулер арқылы көрсетіледі:



Бұл теңдеуді басқа жолмен табуға болады. Ол үшін АВ түзуінің k 1 еңісін табайық.
AB теңдеуі: y = -3 / 4 x -7 / 4, яғни. k 1 = -3 / 4
Екі түзудің перпендикулярлық шартынан перпендикулярдың k бұрыштық коэффициентін табайық: k 1 *k = -1.
Бұл түзудің көлбеуін k 1 орнына қойып, мынаны аламыз:
-3/4 k = -1, мұндағы k = 4/3
Перпендикуляр С(5,7) нүктесі арқылы өтетіндіктен және k = 4 / 3 болатындықтан, оның теңдеуін мына түрде іздейміз: y-y 0 = k(x-x 0).
x 0 = 5, k = 4 / 3, y 0 = 7 орнына қойсақ, мынаны аламыз:
y-7 = 4/3 (x-5)
немесе
y = 4/3 x + 1/3 немесе 3y -4x - 1 = 0
АВ түзуімен қиылысу нүктесін табайық:
Бізде екі теңдеу жүйесі бар:
4ж + 3х +7 = 0
3ж -4х - 1 = 0
Бірінші теңдеуден у-ны өрнектеп, оны екінші теңдеуге қоямыз.
Біз алып жатырмыз:
x = -1
y=-1
D(-1;-1)
9) С төбесінен жүргізілген үшбұрыштың биіктігінің ұзындығы
M 1 (x 1 ;y 1) нүктесінен Ax + By + C = 0 түзуіне дейінгі d қашықтық шаманың абсолютті мәніне тең:

С(5;7) нүктесі мен АВ түзуінің арасындағы қашықтықты табыңыз (4у + 3х +7 = 0)


Биіктіктің ұзындығын басқа формула арқылы есептеуге болады, C(5;7) нүктесі мен D(-1;-1) нүктесі арасындағы қашықтық.
Екі нүкте арасындағы қашықтық координаталар арқылы мына формуламен өрнектеледі:

5) CD биіктігі диаметрі болатын шеңбердің теңдеуі;
Центрі E(a;b) нүктесінде болатын радиусы R шеңберінің теңдеуі келесідей болады:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2
CD қажетті шеңбердің диаметрі болғандықтан, оның центрі Е CD сегментінің ортасы болып табылады. Кесіндіні екіге бөлу формулаларын қолданып, біз аламыз:


Демек, E(2;3) және R = CD / 2 = 5. Формула арқылы қажетті шеңбердің теңдеуін аламыз: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25

6) АВС үшбұрышын анықтайтын сызықтық теңсіздіктер жүйесі.
АВ түзуінің теңдеуі: у = -3 / 4 x -7 / 4
АС түзуінің теңдеуі: у = 1/2 x + 9/2
ВС түзуінің теңдеуі: у = -7х + 42

Қолдану арқылы есептерді шығаруды үйрену аналитикалық геометрия?
Жазықтықтағы үшбұрышқа қатысты типтік мәселе

Бұл сабақ жазықтық геометриясы мен кеңістік геометриясы арасындағы экваторға жақындау бойынша құрылған. Қазіргі уақытта жинақталған ақпаратты жүйелеу және өте маңызды сұраққа жауап беру қажеттілігі туындайды: аналитикалық геометриядан есептерді шығаруды қалай үйренуге болады?Қиындығы мынада, сіз геометриядан есептердің шексіз санын шығара аласыз және ешбір оқулықта мысалдардың көптігі мен алуан түрі болмайды. Емес функцияның туындысысаралаудың бес ережесімен, кестемен және бірнеше әдіспен...

Шешім бар! Мен қандай да бір керемет техниканы жасағаным туралы қатты айтпаймын, дегенмен, менің ойымша, қарастырылып жатқан мәселеге тиімді көзқарас бар, ол тіпті толық манекенге жақсы және тамаша нәтижелерге қол жеткізуге мүмкіндік береді. Кем дегенде жалпы шешім алгоритмі геометриялық есептерменің басымда өте айқын қалыптасты.

СІЗ БІЛУ КЕРЕК ЖӘНЕ ІСТЕУ КЕРЕК
геометрия есептерін сәтті шешу үшін?

Бұдан құтылу мүмкін емес - мұрныңызбен түймелерді кездейсоқ соқпау үшін аналитикалық геометрияның негіздерін меңгеру керек. Сондықтан, егер сіз геометрияны енді бастаған болсаңыз немесе оны мүлдем ұмытып қалсаңыз, сабақты бастауыңызды сұраймыз Манекендерге арналған векторлар. Векторлар мен олармен әрекеттерден басқа, сіз жазық геометрияның негізгі ұғымдарын білуіңіз керек, атап айтқанда, жазықтықтағы түзудің теңдеуіЖәне . Кеңістіктің геометриясы мақалаларда берілген Жазық теңдеу, Кеңістіктегі түзудің теңдеулері, Түзу мен жазықтыққа негізгі есептер және басқа да сабақтар. Екінші ретті қисық сызықтар мен кеңістіктік беттер бір-бірінен біршама алшақ орналасқан және олармен ерекше проблемалар көп емес.

Студенттің аналитикалық геометрияның қарапайым есептерін шешуде бастапқы білімдері мен дағдылары бар деп есептейік. Бірақ бұл былай болады: сіз мәселенің мәлімдемесін оқисыз, және ... сіз барлық нәрсені толығымен жауып, алыс бұрышқа тастап, жаман түс сияқты ұмытып кеткіңіз келеді. Оның үстіне, бұл сіздің біліктілігіңіздің деңгейіне байланысты емес, мен кейде шешімі анық емес тапсырмаларды кездестіремін. Мұндай жағдайларда не істеу керек? Түсінбейтін тапсырмадан қорқудың қажеті жоқ!

Біріншіден, орнатылуы керек - Бұл «жалпақ» немесе кеңістіктік мәселе ме?Мысалы, шарт екі координаталы векторларды қамтыса, онда, әрине, бұл жазықтықтың геометриясы. Ал егер мұғалім ризашылық білдірген тыңдаушыға пирамида жүктеген болса, онда кеңістіктің геометриясы анық. Бірінші қадамның нәтижелері қазірдің өзінде өте жақсы, өйткені біз бұл тапсырма үшін қажет емес ақпараттың үлкен көлемін өшіре алдық!

Екінші. Шарт әдетте қандай да бір геометриялық фигураға қатысты болады. Расында да, туған университетіңіздің дәліздерімен жүрсеңіз, көптеген уайымдаған тұлғаларды көресіз.

«Жазық» есептердегі айқын нүктелер мен сызықтарды айтпағанда, ең танымал фигура үшбұрыш болып табылады. Біз оны егжей-тегжейлі талдаймыз. Одан кейін параллелограмм келеді, ал тіктөртбұрыш, шаршы, ромб, шеңбер және басқа пішіндер әлдеқайда аз кездеседі.

IN кеңістіктік мәселелерБірдей жалпақ фигуралар + ұшақтардың өздері және параллелепипедтері бар ортақ үшбұрышты пирамидалар ұша алады.

Екінші сұрақ - Сіз бұл фигура туралы бәрін білесіз бе?Шарт тең қабырғалы үшбұрыш туралы айтады делік, және сіз оның қандай үшбұрыш екенін өте анық емес есіңізде сақтаңыз. Мектеп оқулығын ашып, тең қабырғалы үшбұрыш туралы оқимыз. Не істеу керек... дəрігер ромб деді, ромб деген сөз. Аналитикалық геометрия аналитикалық геометрия, бірақ есеп фигуралардың геометриялық қасиеттері арқылы шешіледі, бізге белгілі мектеп бағдарламасы. Егер сіз үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы қанша екенін білмесеңіз, сіз ұзақ уақыт қиналуыңыз мүмкін.

Үшінші. Əрдайым сызбаны ұстануға тырысыңыз(нобайда/аяқталған көшірмеде/ойша), тіпті бұл шарт талап етпесе де. «Тегіс» есептерде Евклидтің өзі сызғыш пен қарындашты алуды бұйырды - бұл жағдайды түсіну үшін ғана емес, сонымен қатар өзін-өзі тексеру мақсатында. Бұл жағдайда ең қолайлы шкала 1 бірлік = 1 см (2 ноутбук ұяшығы). Бейқам студенттер мен математиктердің бейітте иіруін айтпай-ақ қояйық – мұндай есептерде қателесу мүмкін емес. Кеңістіктік тапсырмалар үшін біз схемалық сызбаны орындаймыз, ол да жағдайды талдауға көмектеседі.

Сызба немесе схемалық сызба көбінесе мәселені шешу жолын бірден көруге мүмкіндік береді. Әрине, бұл үшін сіз негізгі геометрияны білуіңіз керек және қасиеттерді бұзуыңыз керек геометриялық фигуралар(алдыңғы абзацты қараңыз).

Төртінші. Шешу алгоритмін құрастыру. Көптеген геометриялық есептер көп сатылы, сондықтан шешімі мен оның дизайны нүктелерге бөлуге өте ыңғайлы. Көбінесе алгоритм шартты оқығаннан кейін немесе сызбаны аяқтағаннан кейін бірден еске түседі. Қиындықтар туындаған жағдайда тапсырманы СҰРАҚтан бастаймыз. Мысалы, «сізге түзу сызық салу керек...» шарты бойынша. Бұл жерде ең қисынды сұрақ: «Бұл түзуді салу үшін не білу жеткілікті?» «Біз нүктені білеміз, бағыт векторын білуіміз керек» делік. Біз келесі сұрақты қоямыз: «Бұл бағыт векторын қалай табуға болады? Қайда?» және т.б.

Кейде «қате» бар - мәселе шешілмейді және солай. Тоқтатудың себептері келесідей болуы мүмкін:

– Негізгі білімдегі елеулі алшақтық. Басқаша айтқанда, сіз өте қарапайым нәрсені білмейсіз және/немесе көрмейсіз.

– Геометриялық фигуралардың қасиеттерін білмеу.

– Тапсырма қиын болды. Иә, болады. Сағаттап буланып, орамалға көз жасын жинаудың пайдасы жоқ. Мұғаліміңізден, әріптестеріңізден кеңес алыңыз немесе форумда сұрақ қойыңыз. Оның үстіне, шешімнің сіз түсінбейтін бөлігі туралы нақты мәлімдеме жасаған дұрыс. «Мәселені қалай шешуге болады?» түріндегі айқай. өте жақсы көрінбейді... және, ең алдымен, сіздің беделіңіз үшін.

Бесінші кезең. Шешеміз-тексереміз,шешеміз-тексереміз,шешеміз-тексереміз-жауап береміз. Тапсырманың әрбір нүктесін тексерген тиімді аяқталғаннан кейін бірден. Бұл қатені бірден анықтауға көмектеседі. Әрине, ешкім бүкіл мәселені тез шешуге тыйым салмайды, бірақ бәрін қайта жазу қаупі бар (көбінесе бірнеше бет).

Бұл, мүмкін, мәселелерді шешу кезінде ұстануға тиіс барлық негізгі ойлар.

Сабақтың практикалық бөлігі жазық геометрияда берілген. Тек екі мысал болады, бірақ бұл жеткіліксіз болып көрінеді =)

Енді мен өзімнің шағын ғылыми жұмысымда қарастырған алгоритмнің тізбегін қарастырайық:

1-мысал

Параллелограммның үш төбесі берілген. Жоғарғы жағын табыңыз.

Түсінуді бастайық:

Бірінші қадам: «Тегіс» мәселе туралы айтып отырғанымыз анық.

Екінші қадам: Есеп параллелограммға қатысты. Бұл параллелограммдық фигураны бәрі есінде ме? Күлімсіреудің қажеті жоқ, көптеген адамдар 30-40-50 және одан да көп жаста білім алады, сондықтан қарапайым фактілерді де жадтан өшіруге болады. Параллелограммның анықтамасы сабақтың No3 мысалында берілген Векторлардың сызықтық (бейне) тәуелділігі. Векторлардың негізі.

Үшінші қадам: Үш белгілі төбені белгілейтін сызба салайық. Бір қызығы, қажетті нүктені құру қиын емес:

Оны құру, әрине, жақсы, бірақ шешім аналитикалық түрде тұжырымдалуы керек.

Төртінші қадам: Шешу алгоритмін құрастыру. Бірінші ойға келетін нәрсе - нүктені түзулердің қиылысы ретінде табуға болады. Біз олардың теңдеулерін білмейміз, сондықтан бұл мәселені шешуге тура келеді:

1) Қарама-қарсы қабырғалары параллель. Ұпайлар бойынша Осы жақтардың бағыт векторын табайық. Бұл ең қарапайым тапсырмаол сыныпта талқыланды Манекендерге арналған векторлар.

Ескерту: «қабырғасы бар түзудің теңдеуі» деп айту дұрысырақ, бірақ қысқаша болу үшін мен «жақтың теңдеуі», «қабырғаның бағыт векторы» және т.б. тіркестерді қолданамын.

3) Қарама-қарсы қабырғалары параллель. Нүктелерді пайдаланып, осы жақтардың бағыт векторын табамыз.

4) Нүкте мен бағыт векторын пайдаланып түзудің теңдеуін құрайық

1-2 және 3-4-тармақтарда біз іс жүзінде бір мәселені екі рет шештік, бұл сабақтың №3 мысалында талқыланды; Жазықтықтағы түзумен ең қарапайым есептер. Ұзақ жолды таңдауға болады - алдымен сызықтардың теңдеулерін табыңыз, содан кейін олардан бағыт векторларын «шығарып алыңыз».

5) Енді түзулердің теңдеулері белгілі. Сәйкес жүйені құру және шешу қалды сызықтық теңдеулер(сол сабақтың № 4, 5 мысалдарын қараңыз Жазықтықтағы түзумен ең қарапайым есептер).

Нүкте табылды.

Тапсырма өте қарапайым және оның шешімі анық, бірақ одан да қысқа жол бар!

Екінші шешім:

Параллелограмның диагональдары олардың қиылысу нүктесі арқылы екіге бөлінеді. Мен нүктені белгіледім, бірақ сызбаны шатастырмау үшін диагональдардың өзін сызбадым.

Бүйірлік нүктенің теңдеуін нүкте бойынша құрастырайық :

Тексеру үшін сіз ойша немесе жобада әрбір нүктенің координаталарын нәтиже теңдеуіне ауыстыруыңыз керек. Енді еңісті табайық. Ол үшін жалпы теңдеуді көлбеу коэффициенті бар теңдеу түрінде қайта жазамыз:

Осылайша, көлбеу:

Сол сияқты қабырғалардың теңдеулерін табамыз. Мен бірдей нәрсені сипаттаудың мағынасын көрмеймін, сондықтан мен дайын нәтижені дереу беремін:

2) Қабырғасының ұзындығын табыңыз. Бұл сыныпта қарастырылатын ең қарапайым мәселе. Манекендерге арналған векторлар. Ұпайлар үшін формуланы қолданамыз:

Сол формуланы қолданып, басқа жақтарының ұзындықтарын табу оңай. Тексеруді кәдімгі сызғышпен өте жылдам жасауға болады.

Біз формуланы қолданамыз .

Векторларды табайық:

Осылайша:

Айтпақшы, жолда біз жақтардың ұзындығын таптық.

Нәтижесінде:

Рас, сендіретін сияқты, бұрышқа транспортирді бекітуге болады;

Назар аударыңыз! Үшбұрыштың бұрышын түзулер арасындағы бұрышпен шатастырмаңыз. Үшбұрыштың бұрышы доғал болуы мүмкін, бірақ түзулер арасындағы бұрыш мүмкін емес (мақаланың соңғы абзацын қараңыз). Жазықтықтағы түзумен ең қарапайым есептер). Дегенмен, үшбұрыштың бұрышын табу үшін жоғарыдағы сабақтағы формулаларды да қолдануға болады, бірақ кедір-бұдыры сол формулалар әрқашан сүйір бұрыш береді. Олардың көмегімен мен бұл мәселені жобада шешіп, нәтижеге қол жеткіздім. Ал соңғы көшірмеде мен қосымша сылтауларды жазуым керек еді, бұл .

4) Түзуге параллель нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін жаз.

Сабақтың No2 мысалында толық талқыланған типтік тапсырма Жазықтықтағы түзумен ең қарапайым есептер. бастап жалпы теңдеуТүзу Бағыттаушы векторды шығарайық. Нүкте мен бағыт векторын пайдаланып түзудің теңдеуін құрайық:

Үшбұрыштың биіктігін қалай табуға болады?

5) Биіктікке теңдеу құрып, ұзындығын табайық.

Қатаң анықтамалардан құтылу мүмкін емес, сондықтан сізге мектеп оқулығын ұрлауға тура келеді:

Үшбұрыш биіктігі үшбұрыштың төбесінен қарама-қарсы қабырғасы бар түзуге жүргізілген перпендикуляр деп аталады.

Яғни, төбесінен бүйіріне жүргізілген перпендикуляр үшін теңдеу құру керек. Бұл тапсырма сабақтың No6,7 мысалдарында талқыланады Жазықтықтағы түзумен ең қарапайым есептер. Eq. қалыпты векторды алып тастаңыз. Нүкте мен бағыт векторын пайдаланып биіктік теңдеуін құрайық:

Назар аударыңыз, біз нүктенің координаталарын білмейміз.

Кейде биіктік теңдеуі перпендикуляр түзулердің бұрыштық коэффициенттерінің қатынасынан табылады: . Бұл жағдайда, онда: . Нүкте мен бұрыштық коэффициентті пайдаланып биіктік теңдеуін құрастырайық (сабақтың басын қараңыз) Жазықтықтағы түзудің теңдеуі):

Биіктігі ұзындығын екі жолмен табуға болады.

Айналмалы жол бар:

а) табу – биіктік пен қабырғаның қиылысу нүктесі;
б) екі белгілі нүктені пайдаланып кесіндінің ұзындығын табыңдар.

Бірақ сыныпта Жазықтықтағы түзумен ең қарапайым есептернүктеден түзуге дейінгі қашықтықтың қолайлы формуласы қарастырылды. Нүкте белгілі: , түзудің теңдеуі де белгілі: , Осылайша:

6) Үшбұрыштың ауданын есептеңдер. Кеңістікте үшбұрыштың ауданы дәстүрлі түрде есептеледі векторлардың векторлық көбейтіндісі, бірақ мұнда бізге жазықтықтағы үшбұрыш берілген. Біз мектеп формуласын қолданамыз:
– Үшбұрыштың ауданы оның табаны мен биіктігінің көбейтіндісінің жартысына тең.

Бұл жағдайда:

Үшбұрыштың медианасын қалай табуға болады?

7) Медиана үшін теңдеу құрайық.

Үшбұрыштың медианасы үшбұрыштың төбесін қарама-қарсы қабырғасының ортасымен қосатын кесінді деп аталады.

а) Нүкте – қабырғаның ортасын табыңыз. Біз қолданамыз кесіндінің ортаңғы нүктесінің координаталарының формулалары. Сегмент ұштарының координаталары белгілі: , содан кейін ортаның координаталары:

Осылайша:

Орташа теңдеуді нүкте бойынша құрайық :

Теңдеуді тексеру үшін оған нүктелердің координаталарын қою керек.

8) Биіктік пен медиананың қиылысу нүктесін табыңыз. Менің ойымша, бәрі мәнерлеп сырғанау элементін құламай орындауды үйренді:

Мәселе 1. ABC үшбұрышының төбелерінің координаталары берілген: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Табыңдар: 1) АВ қабырғасының ұзындығын; 2) АВ және ВС жақтарының теңдеулері және олардың бұрыштық коэффициенттері; 3) екі цифрдың дәлдігімен радиандағы В бұрышы; 4) CD биіктігі мен оның ұзындығының теңдеуі; 5) AE медианасының теңдеуі және осы медиананың CD биіктігімен қиылысуының К нүктесінің координаталары; 6) К нүктесі арқылы АВ қабырғасына параллель өтетін түзудің теңдеуі; 7) CD түзуіне қатысты А нүктесіне симметриялы орналасқан М нүктесінің координаталары.

Шешімі:

1. A(x 1 ,y 1) және B(x 2 ,y 2) нүктелерінің арасындағы d қашықтық формула бойынша анықталады.

(1) қолданып, АВ қабырғасының ұзындығын табамыз:

2. A(x 1 ,y 1) және B(x 2 ,y 2) нүктелері арқылы өтетін түзудің теңдеуі мынадай түрге ие.

(2)

А және В нүктелерінің координаталарын (2) орнына қойып, АВ жағының теңдеуін аламыз:

y үшін соңғы теңдеуді шешіп, бұрыштық коэффициенті бар түзу сызықты теңдеу түріндегі АВ жағының теңдеуін табамыз:

қайда

В және С нүктелерінің координаталарын (2) орнына қойып, ВС түзуінің теңдеуін аламыз:

Немесе

3. Бұрыштық коэффициенттері сәйкесінше тең екі түзудің арасындағы бұрыштың тангенсі формула бойынша есептелетіні белгілі.

(3)

Қажетті В бұрышы АВ және ВС түзулері арқылы құрылады, олардың бұрыштық коэффициенттері табылады: (3) қолданып, аламыз.

Немесе қуанышты.

4. Берілген нүкте арқылы берілген бағытта өтетін түзудің теңдеуі түрге ие

(4)

CD биіктігі AB жағына перпендикуляр. CD биіктігінің еңісін табу үшін түзулердің перпендикулярлық шартын қолданамыз. Сол уақыттан бері (4) С нүктесінің координаталары мен биіктіктің табылған бұрыштық коэффициентін ауыстырып, аламыз.

CD биіктігінің ұзындығын табу үшін алдымен D нүктесінің координаталарын – АВ және CD түзулерінің қиылысу нүктесін анықтаймыз. Жүйені бірге шешу:

табамыз анау. D(8;0).

(1) формуласы арқылы CD биіктігінің ұзындығын табамыз:

5. AE медианасының теңдеуін табу үшін алдымен кесіндіні екі тең бөлікке бөлу формулаларын пайдаланып ВС қабырғасының ортасы Е нүктесінің координаталарын анықтаймыз:

(5)

Демек,

А және Е нүктелерінің координаталарын (2) орнына қойып, медиананың теңдеуін табамыз:

CD биіктігі мен AE медианасының қиылысу нүктесінің координаталарын табу үшін теңдеулер жүйесін бірге шешеміз.

Табамыз.

6. Қажетті түзу АВ қабырғасына параллель болғандықтан, оның бұрыштық коэффициенті АВ түзуінің бұрыштық коэффициентіне тең болады. Табылған К нүктесінің координаталары мен бұрыштық коэффициентін (4) орнына қойып, аламыз

3x + 4y – 49 = 0 (KF)

7. АВ түзу сызығы CD түзуіне перпендикуляр болғандықтан, CD түзуіне қатысты А нүктесіне симметриялы орналасқан қажетті М нүктесі АВ түзуінде жатыр. Сонымен қатар, D нүктесі AM сегментінің ортасы болып табылады. (5) формулаларды қолданып, қажетті М нүктесінің координаталарын табамыз:

ABC үшбұрышы, CD биіктігі, медиана AE, KF түзу сызығы және М нүктесі суреттегі xOy координаталар жүйесінде салынған. 1.

2-тапсырма. Берілген А(4; 0) нүктесі мен берілген x=1 түзуіне дейінгі арақашықтықтары 2-ге тең нүктелер локусының теңдеуін құрыңыз.

Шешім:

xOy координаталар жүйесінде А(4;0) нүктесін және х = 1 түзуін саламыз. M(x;y) нүктелердің қалаған геометриялық орналасуының ерікті нүктесі болсын. Берілген х = 1 түзуіне МБ перпендикулярын түсіріп, В нүктесінің координаталарын анықтайық. В нүктесі берілген түзудің бойында жатқандықтан, оның абциссасы 1-ге тең. В нүктесінің ординатасы М нүктесінің ординатасына тең. Сондықтан, B(1;y) (Cурет 2).

Есептің шарты бойынша |МА|: |MV| = 2. Қашықтықтар |МА| және |МБ| 1 есептің (1) формуласынан табамыз:

Сол және оң жақтарын төртбұрыштап аламыз

Алынған теңдеу гипербола болып табылады, оның нақты жарты осі a = 2, ал жорамал жарты осі болады.

Гиперболаның фокустарын анықтайық. Гипербола үшін теңдік орындалады, сондықтан – гиперболалық трюктар. Көріп отырғаныңыздай, берілген А(4;0) нүктесі гиперболаның оң фокусы болып табылады.

Алынған гиперболаның эксцентриситетін анықтайық:

Гипербола асимптоталарының теңдеулері және түрінде болады. Демек, немесе және гиперболаның асимптоталары болып табылады. Гиперболаны тұрғызбас бұрын оның асимптотасын саламыз.

Мәселе 3. А(4; 3) нүктесінен және у = 1 түзуінен бірдей қашықтықта орналасқан нүктелердің локусы үшін теңдеу құрыңыз. Алынған теңдеуді оның қарапайым түріне келтіріңіз.

Шешімі:М(х; у) нүктелердің қажетті геометриялық локусының нүктелерінің бірі болсын. М нүктесінен осы y = 1 түзуіне перпендикуляр МБ түсірейік (3-сурет). В нүктесінің координаталарын анықтайық. Әлбетте, В нүктесінің абсциссасы М нүктесінің абсциссасына, ал В нүктесінің ординатасы 1-ге тең, яғни В(х; 1). Есептің шарты бойынша |МА|=|МВ|. Демек, нүктелердің қажетті геометриялық локусына жататын кез келген M(x;y) нүктесі үшін келесі теңдік дұрыс болады:

Алынған теңдеу нүктесінде төбесі бар параболаны анықтайды. Парабола теңдеуін оның ең қарапайым түріне келтіру үшін y + 2 = Y мәнін алайық, онда парабола теңдеуі келесі түрді алады.

1-жаттығу

57. АВС үшбұрышының төбелері берілген. Табу

) АВ қабырғасының ұзындығы;

) АВ және АС жақтарының теңдеулері және олардың бұрыштық коэффициенттері;

) ішкі бұрыш A;

) В төбесінен жүргізілген медиананың теңдеуі;

) CD биіктігі мен оның ұзындығының теңдеуі;

) CD биіктігі диаметрі болатын шеңбердің теңдеуі және осы шеңбердің АС қабырғасымен қиылысу нүктелері;

) ішкі А бұрышының биссектрисасының теңдеуі;

) ABC үшбұрышының ауданы;

) ABC үшбұрышын анықтайтын сызықтық теңсіздіктер жүйесі.

Сурет салу.

A(7, 9); B(-2, -3); C(-7, 7)

Шешімі:

1) Вектордың ұзындығын табайық

= (x б -x а )2+ (ж б -ж а )2 = ((-2)-7)2 + (-3 - 9)2 = 92 + 122 = 225

= = 15 - AB жағының ұзындығы

2) АВ қабырғасының теңдеуін табайық

Нүктелер арқылы өтетін түзудің теңдеуі

О А ; сағ В ) және B(x А ; сағ В ) В жалпы көрініс

Осы түзудің теңдеуіне А және В нүктелерінің координаталарын қоямыз

=

=

=

С AB = (- 3, - 4) АВ түзуінің бағыт векторы деп аталады. Бұл вектор AB түзуіне параллель.

4(x - 7) = - 3(y - 9)

4х + 28 = - 3ж + 27

4x + 3y + 1 = 0 - АВ түзуінің теңдеуі

Егер теңдеу мына түрде жазылса: у = X - онда оның бұрыштық коэффициентін бөліп аламыз: k 1 =4/3

Вектор Н AB = (-4, 3) АВ түзуінің нормаль векторы деп аталады.

Вектор Н AB = (-4, 3) АВ түзуіне перпендикуляр.

Сол сияқты АС жағының теңдеуін табамыз

=

=

=

С AC = (- 7, - 1) - айнымалы ток жағының бағыт векторы

(x - 7) = - 7(y - 9)

x + 7 = - 7y + 63

x + 7y - 56 = 0 - АС жағының теңдеуі

y = = x + 8 көлбеу мұндағы k 2 = 1/7

Вектор Н А.С. = (- 1, 7) - АС түзуінің нормаль векторы.

Вектор Н А.С. = (- 1, 7) АС түзуіне перпендикуляр.

3) А бұрышын табайық

Векторлардың скаляр көбейтіндісінің формуласын жазып алайық Және

* = *cos ∟A

А бұрышын табу үшін осы бұрыштың косинусын табу жеткілікті. Алдыңғы формуладан А бұрышының косинусының өрнегін жазамыз

cos ∟A =

Векторлардың скаляр көбейтіндісін табу Және

= (x В - X А ; сағ В - ж А ) = (- 2 - 7; - 3 - 9) = (-9, -12)

= (x бірге - X А ; сағ бірге - ж А ) = (- 7 - 7; 7 - 9) = (-14; -2)

9*(-14) + (-12)*(-2) = 150

Вектор ұзындығы = 15 (бұрын табылған)

Вектордың ұзындығын табайық

= (x МЕН -x А )2+ (ж бірге -ж а )2 = (-14)2 + (-2)2 = 200

= = 14.14 - бүйірлік ұзындығы AC

Сонда cos ∟A = = 0,7072

∟A = 45 0

4) В нүктесінен АС жағына жүргізілген BE медианасының теңдеуін табайық

Жалпы түрдегі медианалық теңдеу

Енді BE түзуінің бағыт векторын табу керек.

АС қабырғасы оның диагоналы болуы үшін ABC үшбұрышын ABCD параллелограмына толтырайық. Параллелограммдағы диагональдар екіге бөлінеді, яғни AE = EC. Демек, Е нүктесі BF түзуінде жатыр.

BE векторын BE түзуінің бағыт векторы ретінде алуға болады , біз оны табамыз.

= +

= (x в - X б ; сағ в - ж б ) = (- 7- (-2); 7 - (-3)) = (-5. 10)

= + = (-5 + 9; 10 + 12) = (4; 22)

Теңдеуге ауыстырайық

С нүктесінің координаталарын (-7; 7) ауыстырайық.

(x + 7) = 2(y - 7)

x + 77 = 2y - 14

x - 2y + 91 = 0 - BE медианасының теңдеуі

Е нүктесі АС қабырғасының ортасы болғандықтан, оның координаталары

X e = (x А + x бірге )/2 = (7 - 7)/2 = 0

сағ e = (ж А + ж бірге )/2 = (9 + 7)/2 = 8

Е нүктесінің координаттары (0; 8)

5) CD биіктігі мен оның ұзындығының теңдеуін табайық

Жалпы теңдеу

CD түзуінің бағыт векторын табу керек

CD сызығы АВ түзуіне перпендикуляр, сондықтан CD түзуінің бағыт векторы АВ түзуінің нормаль векторына параллель.

CD ‖AB

Яғни CD түзуінің бағыттаушы векторы ретінде АВ түзуінің нормаль векторын алуға болады

Вектор AB бұрын табылған: AB (-4, 3)

С, (- 7; 7) нүктесінің координаталарын ауыстырайық.

(x + 7) = - 4(y - 7)

x + 21 = - 4y + 28

x + 4y - 7 = 0 - биіктік теңдеуі C D

D нүктесінің координаттары:

D нүктесі AB түзуіне жатады, сондықтан D(x) нүктесінің координаталары г . ж г ) бұрын табылған АВ түзуінің теңдеуін қанағаттандыру керек

D нүктесі CD түзуіне жатады, сондықтан D(x.) нүктесінің координаталары г . ж г ) CD түзуінің теңдеуін қанағаттандыру керек,

Осының негізінде теңдеулер жүйесін құрайық

D(1; 1) координаттары

CD түзуінің ұзындығын табыңыз

= (x г -x в )2+ (ж г -ж в )2 = (1 + 7)2 + (1 - 7)2 = 64 +36 = 100

= = 10 - CD түзуінің ұзындығы

6) Диаметрі CD болатын шеңбердің теңдеуін табыңыз

CD түзуінің координаталар басы арқылы өтетіні анық, өйткені оның теңдеуі -3x - 4y = 0, сондықтан шеңбердің теңдеуін түрінде жазуға болады.

(x - a) 2 + (у - б) 2= Р 2- центрі (a; b) нүктесінде болатын шеңбердің теңдеуі

Мұнда R = СD/2 = 10 /2 = 5

(x - a) 2 + (у - б) 2 = 25

О (a; b) шеңберінің центрі CD кесіндісінің ортасында жатыр. Оның координаталарын табайық:

X 0= a = = = - 3;

ж 0= b = = = 4

Шеңбер теңдеуі:

(x + 3) 2 + (y - 4) 2 = 25

Осы шеңбердің АС қабырғасымен қиылысуын табайық:

К нүктесі шеңберге де, АС түзуіне де жатады

x + 7y - 56 = 0 - бұрын табылған АС түзуінің теңдеуі.

Жүйені құрайық

Осылайша, квадрат теңдеуді аламыз

сағ 2- 750у +2800 = 0

сағ 2- 15у + 56 = 0

=

сағ 1 = 8

сағ 2= 7 - С нүктесіне сәйкес нүкте

сондықтан Н нүктесінің координаталары:

x = 7*8 - 56 = 0