Желіде сызықтармен шектелген мүмкіндіктің ауданын табыңыз. Қисық сызықты трапецияның ауданы белгілі бір интегралға сандық түрде тең. Шешімнің аяқталуы келесідей болуы мүмкін
Бұл мақалада сіз интегралдық есептеулер арқылы сызықтармен шектелген фигураның ауданын қалай табуға болатынын білесіз. Мұндай есепті шығаруды біз бірінші рет орта мектепте белгілі бір интегралдарды зерттеу аяқталып, тәжірибеде алған білімдердің геометриялық интерпретациясына кірісетін кез келген кезде кездестіреміз.
Сонымен, интегралды пайдаланып фигураның ауданын табу мәселесін сәтті шешу үшін не қажет:
- Сызбаларды дұрыс сала білу;
- Белгілі Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы анықталған интегралды шеше білу;
- Неғұрлым тиімді шешімді «көру» мүмкіндігі - яғни. Осы немесе басқа жағдайда интеграцияны жүзеге асыру қалай ыңғайлы болатынын түсіну үшін? x осі (OX) немесе y осі (OY) бойымен?
- Дұрыс есептеулерсіз қайда?) Бұл интегралдардың басқа түрін қалай шешу керектігін түсінуді және сандық есептеулерді түзетуді қамтиды.
Түзулермен шектелген фигураның ауданын есептеу есебін шешу алгоритмі:
1. Біз сурет саламыз. Мұны тордағы қағаз парағында, үлкен масштабта жасаған жөн. Әрбір графиктің үстіне қарындашпен осы функцияның атауына қол қоямыз. Графиктердің қолтаңбасы кейінгі есептеулерге ыңғайлы болу үшін ғана жасалады. Қажетті фигураның графигін алғаннан кейін, көп жағдайда қандай интеграциялық шектеулер қолданылатыны бірден белгілі болады. Осылайша, біз мәселені графикалық түрде шешеміз. Дегенмен, шектеулердің мәндері бөлшек немесе иррационал болып табылады. Сондықтан, сіз қосымша есептеулер жасай аласыз, екінші қадамға өтіңіз.
2. Егер интеграциялық шектеулер нақты белгіленбесе, онда біз графиктердің бір-бірімен қиылысу нүктелерін табамыз және графикалық шешіміміздің аналитикалық шешімге сәйкес келетінін көреміз.
3. Әрі қарай, сіз сызбаны талдауыңыз керек. Функциялардың графиктерінің орналасуына байланысты фигураның ауданын табудың әртүрлі тәсілдері бар. Интегралдар көмегімен фигураның ауданын табудың әртүрлі мысалдарын қарастырыңыз.
3.1. Мәселенің ең классикалық және қарапайым нұсқасы - қисық сызықты трапецияның ауданын табу керек кезде. Қисық сызықты трапеция дегеніміз не? Бұл х осімен шектелген жалпақ фигура (y=0), Түзу x = a, x = bжәне аралықта үздіксіз кез келген қисық абұрын б. Сонымен бірге бұл көрсеткіш теріс емес және х осінен төмен емес орналасқан. Бұл жағдайда қисық сызықты трапеция ауданы Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы есептелген анықталған интегралға сандық түрде тең:
1-мысал y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Фигураны қандай сызықтар анықтайды? Бізде парабола бар у = x2 - 3x + 3, ол осьтің үстінде орналасқан OH, ол теріс емес, өйткені Бұл параболаның барлық нүктелері оң. Әрі қарай түзу сызықтар берілген x = 1және x = 3осіне параллель орналасқан OU, сол және оң жақтағы фигураның шекті сызықтары. содан y = 0, ол фигураны төменнен шектейтін x осі. Алынған фигура сол жақтағы суретте көрсетілгендей, көлеңкеленген. Бұл жағдайда сіз дереу мәселені шешуге кірісе аласыз. Біздің алдымызда қисық сызықты трапецияның қарапайым мысалы бар, оны Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы шешеміз.
3.2. Алдыңғы 3.1-тармақта қисық сызықты трапеция х осінен жоғары орналасқан жағдай талданған болатын. Енді функцияның х осінің астында жатқанын қоспағанда, есептің шарттары бірдей болатын жағдайды қарастырыңыз. Стандартты Ньютон-Лейбниц формуласына минус қосылады. Мұндай мәселені қалай шешуге болады, біз әрі қарай қарастырамыз.
2-мысал . Түзулермен шектелген фигураның ауданын есептеңіз y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
Бұл мысалда бізде парабола бар y=x2+6x+2, ол осьтің астынан басталады OH, Түзу x=-4, x=-1, y=0. Мұнда y = 0жоғарыдан қажетті фигураны шектейді. Тікелей x = -4және x = -1бұл анықталған интеграл есептелетін шекаралар. Фигураның ауданын табу мәселесін шешу принципі №1 мысалмен толық дерлік сәйкес келеді. Жалғыз айырмашылық мынада, берілген функция оң емес, сонымен қатар барлығы интервалда үздіксіз болады. [-4; -1] . Позитивті емес нені білдіреді? Суреттен көрініп тұрғандай, берілген х шегінде орналасқан фигураның тек «теріс» координаталары бар, бұл мәселені шешу кезінде көруіміз және есте сақтауымыз керек. Біз Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы фигураның ауданын іздейміз, тек басында минус таңбасы бар.
Мақала аяқталмаған.
Біз қос интегралды есептеудің нақты процесін қарастырып, оның геометриялық мағынасымен танысамыз.
Қос интеграл сандық жағынан жазық фигураның ауданына тең (интегралдау облысы). Бұл екі айнымалының функциясы біреуге тең болғанда қос интегралдың қарапайым түрі: .
Алдымен мәселені жалпы түрде қарастырайық. Енді сіз мұның қаншалықты қарапайым екеніне таң қаласыз! Түзулермен шектелген жазық фигураның ауданын есептейік. Анық болу үшін интервалда деп есептейміз. Бұл фигураның ауданы сандық түрде мынаған тең:
Сызбада аумақты бейнелейік:
Аймақты айналып өтудің бірінші жолын таңдайық:
Осылайша:
Және бірден маңызды техникалық трюк: қайталанатын интегралдарды бөлек қарастыруға болады. Алдымен ішкі интеграл, содан кейін сыртқы интеграл. Бұл әдіс шайнектер тақырыбын жаңадан бастағандар үшін өте ұсынылады.
1) «у» айнымалысы бойынша интегралдау жүргізілген кезде ішкі интегралды есептеңіз:
Мұндағы анықталмаған интеграл ең қарапайым болып табылады, содан кейін банальды Ньютон-Лейбниц формуласы қолданылады, жалғыз айырмашылығы бар интеграцияның шегі сандар емес, функциялар. Алдымен жоғарғы шекті «y» (антитуынды функция), содан кейін төменгі шекті ауыстырдық.
2) бірінші абзацта алынған нәтиже сыртқы интегралға ауыстырылсын:
Бүкіл шешім үшін неғұрлым ықшам белгілер келесідей көрінеді:
Алынған формула «қарапайым» анықталған интегралдың көмегімен жазық фигураның ауданын есептеуге арналған жұмыс формуласы болып табылады! Сабақты қараңыз Анықталған интеграл көмегімен ауданды есептеу, ол әр қадамда!
Яғни, қос интеграл көмегімен ауданды есептеу есебі сәл өзгешеанықталған интегралды пайдаланып ауданды табу есебінен!Шын мәнінде, олар бір және бірдей!
Тиісінше, ешқандай қиындықтар туындамауы керек! Мен көп мысалдарды қарастырмаймын, өйткені сіз бұл мәселеге бірнеше рет тап болдыңыз.
9-мысал
Шешімі:Сызбада аумақты бейнелейік:
Аймақты айналып өтудің келесі ретін таңдайық:
Мұнда және төменде мен аумақты қалай өтуге болатынын түсінбеймін, өйткені бірінші абзац өте егжей-тегжейлі болды.
Осылайша:
Жоғарыда атап өткенімдей, жаңадан бастағандар үшін қайталанатын интегралды бөлек есептеген дұрыс, мен сол әдісті ұстанамын:
1) Біріншіден, Ньютон-Лейбниц формуласын пайдаланып, ішкі интегралды қарастырамыз:
2) Бірінші қадамда алынған нәтиже сыртқы интегралға ауыстырылады:
2-тармақ нақты интеграл көмегімен жазық фигураның ауданын табу болып табылады.
Жауап:
Міне, осындай ақымақ және аңғал тапсырма.
Тәуелсіз шешім үшін қызықты мысал:
10-мысал
Қос интегралды пайдаланып , , түзулерімен шектелген жазық фигураның ауданын есептеңіз.
Сабақтың соңындағы қорытынды шешімнің мысалы.
9-10 мысалдарда аймақты айналып өтудің бірінші әдісін қолдану әлдеқайда тиімді; қызық оқырмандар, айтпақшы, айналып өту ретін өзгертіп, аудандарды екінші жолмен есептей алады. Егер сіз қателеспесеңіз, онда, әрине, бірдей аймақ мәндері алынады.
Бірақ кейбір жағдайларда аймақты айналып өтудің екінші жолы тиімдірек, сондықтан жас немқұрайдылық курсын қорытындылай келе, осы тақырып бойынша тағы бірнеше мысалды қарастырайық:
11-мысал
Қос интегралды пайдаланып, түзулермен шектелген жазық фигураның ауданын есептеңіз.
Шешімі:біз бүйірінде жатқан желмен екі параболаны асыға күтеміз. Күлімсіреудің қажеті жоқ, бірнеше интегралдардағы ұқсас нәрселер жиі кездеседі.
Сурет салудың ең оңай жолы қандай?
Параболаны екі функция түрінде көрсетейік:
- жоғарғы тармақ және - төменгі тармақ.
Сол сияқты, біз параболаны жоғарғы және төменгі тармақтар ретінде көрсетеміз.
Фигураның ауданы қос интегралды формула бойынша есептейді:
Егер біз аумақты айналып өтудің бірінші жолын таңдасақ не болады? Біріншіден, бұл аумақты екі бөлікке бөлуге тура келеді. Ал, екіншіден, мына мұңды суретті байқаймыз: . Интегралдар, әрине, аса күрделі деңгейге жатпайды, бірақ ... ескі математикалық сөз бар: кім тамырымен дос болса, оған жиын қажет емес.
Сондықтан шартта берілген түсінбеушіліктен кері функцияларды өрнектейміз:
Бұл мысалдағы кері функциялардың артықшылығы бар, олар барлық параболаны жапырақсыз, желеңді, бұтақсыз және тамырсыз бірден орнатады.
Екінші әдіске сәйкес аумақты өту келесідей болады:
Осылайша:
Олар айтқандай, айырмашылықты сезініңіз.
1) Ішкі интегралды қарастырамыз:
Нәтижені сыртқы интегралға ауыстырамыз:
«y» айнымалысы бойынша интеграция ұятқа қалмауы керек, егер «zyu» әрпі болса - оның үстіне интеграцияланса тамаша болар еді. Сабақтың екінші абзацын кім оқыса да Айналым денесінің көлемін қалай есептеуге болады, ол енді "y" арқылы интеграциядан ең кішкентай ұятқа ұшырамайды.
Сондай-ақ бірінші қадамға назар аударыңыз: интеграл жұп, ал интеграциялық сегмент нөлге жуық симметриялы. Сондықтан сегментті екі есе азайтуға болады, ал нәтижені екі есеге арттыруға болады. Бұл әдістеме сабақта егжей-тегжейлі түсіндіріледі. Анықталған интегралды есептеудің тиімді әдістері.
Не қосу керек.... Барлығы!
Жауап:
Интеграция техникасын тексеру үшін есептеп көруге болады. Жауап дәл солай болуы керек.
12-мысал
Қос интегралды пайдаланып, түзулермен шектелген жазық фигураның ауданын есептеңіз
Бұл өз қолыңызбен жасалатын мысал. Бір қызығы, егер сіз аумақты айналып өтудің бірінші әдісін қолдануға тырыссаңыз, онда фигура енді екіге емес, үш бөлікке бөлінеді! Және, сәйкесінше, біз қайталанатын интегралдың үш жұбын аламыз. Кейде солай болады.
Мастер-класс аяқталды және гроссмейстер деңгейіне өту уақыты келді - Қосарланған интегралды қалай есептейді? Шешу мысалдары. Екінші мақалада онша маник болмауға тырысамын =)
Сәттілік тілеймін!
Шешімдер мен жауаптар:
2-мысал:Шешімі:
Ауданды сызыңыз сызба бойынша:
Аймақты айналып өтудің келесі ретін таңдайық:
Осылайша:
Кері функцияларға көшейік:
Осылайша:
Жауап:
4-мысал:Шешімі:
Тікелей функцияларға көшейік:
Сызбаны орындаймыз:
Ауданды айналып өту ретін өзгертейік:
Жауап:
Аудан бойынша өту тәртібі:
Осылайша:
1)
2)
Жауап:
Анықталған интегралдың геометриялық мағынасын талдауға арналған алдыңғы бөлімде біз қисық сызықты трапецияның ауданын есептеуге арналған бірқатар формулаларды алдық:
S (G) = ∫ a b f (x) d x үзіліссіз және теріс емес функция үшін y = f (x) кесіндісінде [ a ; b] ,
S (G) = - ∫ a b f (x) d x үзіліссіз және оң емес функция үшін y = f (x) кесіндісінде [ a ; b].
Бұл формулалар салыстырмалы түрде қарапайым есептерді шешу үшін қолданылады. Шындығында, біз жиі күрделі пішіндермен жұмыс істеуге тура келеді. Осыған байланысты біз бұл бөлімді анық формадағы функциялармен шектелген фигуралар ауданын есептеу алгоритмдерін талдауға арнаймыз, яғни. y = f(x) немесе x = g(y) сияқты.
Теоремаy = f 1 (x) және y = f 2 (x) функциялары [ a кесіндісінде анықталған және үзіліссіз болсын; b ] , және f 1 (x) ≤ f 2 (x) кез келген х мәні үшін [ a ; b]. Содан кейін x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) және y \u003d f 2 (x) сызықтарымен шектелген G фигурасының ауданын есептеу формуласы S сияқты болады. G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
Ұқсас формула y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) және x \u003d g 2 (y) сызықтарымен шектелген фигураның ауданына қатысты болады: S: S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Дәлелдеу
Біз формула жарамды болатын үш жағдайды талдаймыз.
Бірінші жағдайда, ауданның аддитивтік қасиетін ескере отырып, бастапқы G фигурасының және G 1 қисық сызықты трапецияның аудандарының қосындысы G 2 фигурасының ауданына тең. Соны білдіреді
Демек, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x .
Анықталған интегралдың үшінші қасиетін пайдаланып соңғы көшуді орындай аламыз.
Екінші жағдайда теңдік ақиқат: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 () x) - f 1 (x)) d x
Графикалық иллюстрация келесідей болады:
Егер екі функция да оң емес болса, мынаны аламыз: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . Графикалық иллюстрация келесідей болады:
y = f 1 (x) және y = f 2 (x) O x осімен қиылысу кезіндегі жалпы жағдайды қарастыруға көшейік.
Біз қиылысу нүктелерін x i , i = 1 , 2 , деп белгілейміз. . . , n - 1. Бұл нүктелер кесіндіні бұзады [ a ; b ] n бөлікке x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , мұндағы α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Демек,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f () x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Анықталған интегралдың бесінші қасиетін пайдаланып соңғы ауысуды жасай аламыз.
Графиктегі жалпы жағдайды көрсетейік.
S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x формуласын дәлелденген деп санауға болады.
Енді y \u003d f (x) және x \u003d g (y) сызықтарымен шектелген фигуралардың ауданын есептеу мысалдарын талдауға көшейік.
Кез келген мысалды қарастыра отырып, біз графикті құрудан бастаймыз. Кескін күрделі фигураларды қарапайым пішіндердің комбинациясы ретінде көрсетуге мүмкіндік береді. Графиктер мен олардағы фигураларды салуда қиындықтар туындаса, негізгі элементар функциялар, функциялардың графиктерін геометриялық түрлендіру, сондай-ақ функцияны қарастыру кезінде графиктерді құру бөлімін оқуға болады.
1-мысал
y \u003d - x 2 + 6 x - 5 параболасы және y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d түзу сызықтарымен шектелген фигураның ауданын анықтау керек. 1, x \u003d 4.
Шешім
Графиктегі сызықтарды декарттық координаталар жүйесінде салайық.
[ 1 аралықта ; 4] y = - x 2 + 6 x - 5 параболасының графигі у = - 1 3 x - 1 2 түзуінің үстінде орналасқан. Осыған байланысты жауап алу үшін біз бұрын алынған формуланы, сондай-ақ Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы анықталған интегралды есептеу әдісін қолданамыз:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Жауабы: S (G) = 13
Неғұрлым күрделі мысалды қарастырайық.
2-мысал
y = x + 2 , y = x , x = 7 сызықтарымен шектелген фигураның ауданын есептеу керек.
Шешім
Бұл жағдайда бізде x осіне параллель бір ғана түзу бар. Бұл x = 7. Бұл интеграцияның екінші шегін өзіміз табуды талап етеді.
График тұрғызып, оған есеп шартында берілген сызықтарды қоямыз.
Біздің көз алдымызда график бола отырып, біз интеграцияның төменгі шегі y \u003d x түзу сызығы және y \u003d x + 2 жартылай параболасы бар графиктің қиылысу нүктесінің абсциссасы болатынын оңай анықтай аламыз. Абциссаны табу үшін теңдіктерді қолданамыз:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G
Қиылысу нүктесінің абсциссасы х = 2 болады.
Сызбадағы жалпы мысалда y = x + 2 , y = x түзулері (2 ; 2) нүктесінде қиылысатынына назар аударамыз, сондықтан мұндай егжей-тегжейлі есептеулер артық болып көрінуі мүмкін. Біз бұл жерде осындай егжей-тегжейлі шешімді ұсындық, өйткені күрделі жағдайларда шешім соншалықты айқын болмауы мүмкін. Бұл түзулердің қиылысу координаталарын әрқашан аналитикалық жолмен есептеген дұрыс дегенді білдіреді.
[ 2 аралықта ; 7 ] y = x функциясының графигі у = x + 2 функциясының графигінен жоғары орналасқан. Ауданды есептеу үшін формуланы қолданыңыз:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Жауабы: S (G) = 59 6
3-мысал
y \u003d 1 x және y \u003d - x 2 + 4 x - 2 функцияларының графиктерімен шектелген суреттің ауданын есептеу керек.
Шешім
Графикке сызықтар салайық.
Интеграцияның шектерін анықтайық. Ол үшін 1 x және - x 2 + 4 x - 2 өрнектерін теңестіру арқылы түзулердің қиылысу нүктелерінің координаталарын анықтаймыз. x нөлге тең болмаса, 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 теңдігі бүтін коэффициенттері бар үшінші дәрежелі - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 теңдеуіне балама болады. . Мұндай теңдеулерді шешу алгоритмінің жадысын «Кубтық теңдеулерді шешу» бөліміне жүгіну арқылы жаңартуға болады.
Бұл теңдеудің түбірі х = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
- x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 өрнекті x - 1 биномына бөлсек, мынаны аламыз: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
x 2 - 3 x - 1 = 0 теңдеуінен қалған түбірлерді таба аламыз:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3
Біз x ∈ 1 интервалын таптық; 3 + 13 2 , мұндағы G көк сызықтың үстінде және қызыл сызықтың астында орналасқан. Бұл пішіннің ауданын анықтауға көмектеседі:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Жауабы: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
4-мысал
y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 және x осі қисықтарымен шектелген фигураның ауданын есептеу керек.
Шешім
Барлық сызықтарды графикке қоямыз. y = - log 2 x + 1 функциясының графигін х осіне симметриялы орналастырып, бір бірлік жоғары жылжытсақ y = log 2 x графигінен алуға болады. x осінің теңдеуі y \u003d 0.
Түзулердің қиылысу нүктелерін белгілейік.
Суреттен көрініп тұрғандай, y \u003d x 3 және y \u003d 0 функцияларының графиктері (0; 0) нүктесінде қиылысады. Себебі x \u003d 0 - x 3 \u003d 0 теңдеуінің жалғыз нақты түбірі.
x = 2 теңдеудің жалғыз түбірі - log 2 x + 1 = 0 , сондықтан y = - log 2 x + 1 және y = 0 функцияларының графиктері (2 ; 0) нүктесінде қиылысады.
x = 1 - x 3 = - log 2 x + 1 теңдеуінің жалғыз түбірі. Осыған байланысты y \u003d x 3 және y \u003d - log 2 x + 1 функцияларының графиктері (1; 1) нүктесінде қиылысады. Соңғы мәлімдеме анық болмауы мүмкін, бірақ x 3 \u003d - log 2 x + 1 теңдеуінде бірден көп түбір болуы мүмкін емес, өйткені y \u003d x 3 функциясы қатаң өсуде, ал y \u003d - log 2 x функциясы + 1 қатты төмендейді.
Келесі қадам бірнеше опцияны қамтиды.
№1 нұсқа
G фигурасын абсцисса осінен жоғары орналасқан екі қисық сызықты трапецияның қосындысы ретінде көрсете аламыз, олардың біріншісі х ∈ 0 кесіндісінде орта сызықтан төмен орналасқан; 1, ал екіншісі х ∈ 1 кесіндісіндегі қызыл сызықтан төмен; 2. Бұл аудан S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x тең болатынын білдіреді.
№2 нұсқа
G фигурасын екі фигураның айырмасы ретінде көрсетуге болады, олардың біріншісі х осінің үстінде және х ∈ 0 кесіндісінде көк сызықтың астында орналасқан; 2, ал екіншісі х ∈ 1 кесіндісіндегі қызыл және көк сызықтардың арасында; 2. Бұл бізге келесі аумақты табуға мүмкіндік береді:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
Бұл жағдайда ауданды табу үшін S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y түріндегі формуланы қолдануға тура келеді. Шын мәнінде, пішінді байланыстыратын сызықтар y аргументінің функциялары ретінде ұсынылуы мүмкін.
x-ке қатысты y = x 3 және - log 2 x + 1 теңдеулерін шешейік:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Біз қажетті аумақты аламыз:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Жауабы: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
5-мысал
y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4 сызықтарымен шектелген фигураның ауданын есептеу керек.
Шешім
Диаграммаға y = x функциясымен берілген қызыл сызықпен сызық сызыңыз. y = - 1 2 x + 4 түзуін көк түспен сызыңыз, ал у = 2 3 x - 3 түзуін қара түспен белгілеңіз.
Қиылысу нүктелеріне назар аударыңыз.
y = x және y = - 1 2 x + 4 функцияларының графиктерінің қиылысу нүктелерін табыңыз:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i - теңдеудің шешімі x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 теңдеудің шешімі ⇒ (4 ; 2) қиылысу нүктесі i y = x және y = - 1 2 x + 4
y = x және y = 2 3 x - 3 функцияларының графиктерінің қиылысу нүктесін табыңыз:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Тексеру: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 – ⇒ (9; 3) нүктесі мен қиылысуы y = x және y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 теңдеуінің шешімі 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 теңдеудің шешімі емес
y = - 1 2 x + 4 және y = 2 3 x - 3 түзулерінің қиылысу нүктесін табыңыз:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) қиылысу нүктесі y = - 1 2 x + 4 және y = 2 3 x - 3
№1 әдіс
Біз қалаған фигураның ауданын жеке фигуралардың аудандарының қосындысы ретінде көрсетеміз.
Сонда фигураның ауданы:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
№2 әдіс
Бастапқы фигураның ауданын қалған екі фигураның қосындысы ретінде көрсетуге болады.
Содан кейін біз x үшін сызық теңдеуін шешеміз, содан кейін ғана фигураның ауданын есептеу формуласын қолданамыз.
y = x ⇒ x = y 2 қызыл сызық y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 қара сызық y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i
Сонымен, аумақ:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Көріп отырғаныңыздай, мәндер сәйкес келеді.
Жауабы: S (G) = 11 3
Нәтижелер
Берілген түзулермен шектелген фигураның ауданын табу үшін жазықтықта сызықтар сызып, олардың қиылысу нүктелерін тауып, ауданды табу формуласын қолдану керек. Бұл бөлімде біз тапсырмалардың ең көп таралған нұсқаларын қарастырдық.
Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз
а)
Шешім.
Шешімнің бірінші және ең маңызды сәті сызбаның құрылысы болып табылады.
Сурет салайық:
теңдеу y=0 x осін орнатады;
- x=-2 және x=1 - түзу, осіне параллель OU;
- y \u003d x 2 +2 - тармақтары жоғары бағытталған, шыңы (0;2) нүктесінде болатын парабола.
Пікір.Параболаны тұрғызу үшін оның координаталық осьтермен қиылысу нүктелерін табу жеткілікті, яғни. қою x=0 осімен қиылысуын табыңыз OU және сәйкес квадрат теңдеуді шешіп, осімен қиылысуын табыңдар О .
Параболаның төбесін мына формулалар арқылы табуға болады:
Сіз сызықтар мен нүктелерді сызуға болады.
[-2;1] аралықта функцияның графигі y=x 2 +2 орналасқан ось үстінде Өгіз , сондықтан:
Жауап: С \u003d 9 шаршы бірлік
Тапсырма орындалғаннан кейін сызбаға қарап, жауаптың шынайы екенін анықтау әрқашан пайдалы. Бұл жағдайда «көзбен» біз сызбадағы ұяшықтардың санын есептейміз - жақсы, шамамен 9 терілетін болады, бұл дұрыс сияқты. Егер бізде, айталық, жауап болса: 20 шаршы бірлік, бір жерде қате жіберілгені анық - 20 ұяшық бұл фигураға сәйкес келмейтіні анық, ең көп дегенде ондаған. Жауап теріс болып шықса, тапсырма да қате шешілген.
Қисық сызықты трапеция орналасса не істеу керек осьтің астында О?
б)Түзулермен шектелген фигураның ауданын есептеңіз y=-e x , x=1 және координаталық осьтер.
Шешім.
Сурет салайық.
Қисық сызықты трапеция болса толығымен осьтің астында О , онда оның ауданын мына формула бойынша табуға болады:
Жауап: S=(e-1) шаршы бірлігі» 1,72 шаршы бірлігі
Назар аударыңыз! Тапсырмалардың екі түрін шатастырмаңыз:
1) Егер сізге геометриялық мағынасы жоқ белгілі бір интегралды шешу сұралса, ол теріс болуы мүмкін.
2) Егер сізге фигураның ауданын белгілі интеграл арқылы табу сұралса, онда аудан әрқашан оң болады! Міне, сондықтан минус қарастырылған формулада пайда болады.
Іс жүзінде фигура көбінесе жоғарғы және төменгі жарты жазықтықта орналасады.
бірге)Түзулермен шектелген жазық фигураның ауданын табыңыз y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.
Шешім.
Алдымен сіз сурет салуыңыз керек. Жалпы алғанда, аудан есептерінің сызбасын салу кезінде бізді сызықтардың қиылысу нүктелері қызықтырады. Парабола мен түзудің қиылысу нүктелерін табайық.Оны екі жолмен жасауға болады. Бірінші әдіс – аналитикалық.
Теңдеуді шешеміз:
Сондықтан интеграцияның төменгі шегі a=0 , интеграцияның жоғарғы шегі b=3 .
|
Берілген түзулерді саламыз: 1. Парабола – (1;1) нүктесінде төбесі; осьтің қиылысы О -(0;0) және (0;2) нүктелері. 2. Түзу – 2-ші және 4-ші координаталық бұрыштардың биссектрисасы. Ал енді Назар аударыңыз! Егер аралықта [ а;б] кейбір үздіксіз функция f(x)кейбір үздіксіз функциядан үлкен немесе оған тең g(x), онда сәйкес фигураның ауданын мына формула бойынша табуға болады: . Және фигураның қай жерде орналасқаны маңызды емес - осьтің үстінде немесе осьтің астында, бірақ қай диаграмма ЖОҒАРЫ (басқа диаграммаға қатысты), қайсысы ТӨМЕН екені маңызды. Қарастырылып отырған мысалда парабола кесіндіде түзу сызықтың үстінде орналасқаны анық, сондықтан одан шегеру керек. |
Интегралдау шегі «өзінен-өзі» анықталғандай нүкте бойынша сызықтарды салуға болады. Дегенмен, шектерді табудың аналитикалық әдісін әлі де кейде қолдануға тура келеді, егер, мысалы, график жеткілікті үлкен болса немесе бұрандалы конструкция интеграцияның шектерін ашпаса (олар бөлшек немесе иррационал болуы мүмкін).
Қажетті фигура жоғарыдан параболамен және төменнен түзу сызықпен шектеледі.
Сәйкес формула бойынша сегментінде:
Жауап: С \u003d 4,5 шаршы бірлік
Кез келген белгілі интегралдың (бар) өте жақсы геометриялық мағынасы бар. Сабақта анықталған интегралды сан деп айттым. Енді тағы бір пайдалы фактіні айта кететін кез келді. Геометрия тұрғысынан анықталған интеграл - AREA.
Яғни, анықталған интеграл (егер ол бар болса) қандай да бір фигураның ауданына геометриялық түрде сәйкес келеді. Мысалы, анықталған интегралды қарастырайық. Интеграл жазықтықта белгілі бір қисық сызықты анықтайды (қажет болса оны әрқашан сызуға болады), ал анықталған интегралдың өзі сәйкес қисық сызықты трапецияның ауданына сандық түрде тең.
1-мысал
Бұл әдеттегі тапсырма мәлімдемесі. Шешімнің бірінші және ең маңызды сәті сызбаның құрылысы болып табылады. Оның үстіне сызбаны салу керек ДҰРЫС.
Схеманы құру кезінде мен келесі тәртіпті ұсынамын: біріншібарлық сызықтарды (бар болса) және тек қана құрастырған дұрыс кейін- парабола, гипербола, басқа функциялардың графиктері. Функция графиктерін құру тиімдірек нүкте бойынша, нүктелік тұрғызу техникасын анықтамалық материалдан табуға болады.
Ол жерден біздің сабағымызға қатысты өте пайдалы материалды таба аласыз - параболаны қалай тез салу керек.
Бұл мәселеде шешім келесідей болуы мүмкін.
Сызба жасайық (теңдеу осьті анықтайтынын ескеріңіз):
Мен қисық сызықты трапецияны шығармай-ақ қояйын, бұл жерде әңгіме қай аймақ туралы екені анық. Шешім келесідей жалғасады:
Сегментте функцияның графигі орналасқан ось үстінде, сондықтан:
Жауап:
Анықталған интегралды есептеуде және Ньютон-Лейбниц формуласын қолдануда қиналғандар үшін дәрісті қараңыз. Анықталған интеграл. Шешу мысалдары.
Тапсырма орындалғаннан кейін сызбаға қарап, жауаптың шынайы екенін анықтау әрқашан пайдалы. Бұл жағдайда «көзбен» біз сызбадағы ұяшықтардың санын есептейміз - жақсы, шамамен 9 терілетін болады, бұл дұрыс сияқты. Егер бізде, айталық, жауап болса: 20 шаршы бірлік, демек, бір жерде қате жіберілгені анық - 20 ұяшық бұл фигураға сәйкес келмейтіні анық, ең көп дегенде ондаған. Жауап теріс болып шықса, тапсырма да қате шешілген.
2-мысал
, , және осі сызықтарымен шектелген фигураның ауданын есептеңіз
Бұл өз қолыңызбен жасалатын мысал. Толық шешім және сабақ соңында жауап беру.
Қисық сызықты трапеция орналасса не істеу керек осьтің астында?
3-мысал
Түзулермен және координат осьтерімен шектелген фигураның ауданын есептеңіз.
Шешуі: Сурет салайық:
Қисық сызықты трапеция болса толығымен осьтің астында, онда оның ауданын мына формула бойынша табуға болады:
Бұл жағдайда:
Назар аударыңыз! Тапсырмалардың екі түрін шатастыруға болмайды:
1) Егер сізге геометриялық мағынасы жоқ белгілі бір интегралды шешу сұралса, ол теріс болуы мүмкін.
2) Егер сізге фигураның ауданын белгілі интеграл арқылы табу сұралса, онда аудан әрқашан оң болады! Міне, сондықтан минус қарастырылған формулада пайда болады.
Іс жүзінде фигура көбінесе жоғарғы және төменгі жарты жазықтықта орналасады, сондықтан қарапайым мектеп есептерінен біз мағыналы мысалдарға көшеміз.
4-мысал
Түзулермен шектелген жазық фигураның ауданын табыңыз.
Шешуі: Алдымен сурет салу керек. Жалпы алғанда, аудан есептерінің сызбасын салу кезінде бізді сызықтардың қиылысу нүктелері қызықтырады. Парабола мен түзудің қиылысу нүктелерін табайық. Мұны екі жолмен жасауға болады. Бірінші әдіс – аналитикалық. Теңдеуді шешеміз:
Демек, интеграцияның төменгі шегі , интеграцияның жоғарғы шегі .
Мүмкіндігінше бұл әдісті қолданбаған дұрыс.
Интеграцияның шегі «өздігінен» анықталғандай, сызықтарды нүкте бойынша салу әлдеқайда тиімді және жылдамырақ. Әртүрлі диаграммалар үшін нүкте бойынша салу техникасы анықтамада егжей-тегжейлі талқыланады Элементар функциялардың графиктері мен қасиеттері. Дегенмен, шектерді табудың аналитикалық әдісін әлі де кейде қолдануға тура келеді, егер, мысалы, график жеткілікті үлкен болса немесе бұрандалы конструкция интеграцияның шектерін ашпаса (олар бөлшек немесе иррационал болуы мүмкін). Сондай-ақ біз мұндай мысалды қарастырамыз.
Біз өз міндетімізге ораламыз: алдымен түзу сызықты, содан кейін ғана параболаны салу ұтымдырақ. Сурет салайық:
Қайталап айтамын, нүктелік құрылыс кезінде интеграцияның шектері көбінесе «автоматты түрде» анықталады.
Ал енді жұмыс формуласы:Егер сегментте үзіліссіз функция болса артық немесе теңүзіліссіз функция болса, сәйкес фигураның ауданын мына формула бойынша табуға болады:
Мұнда фигураның қай жерде орналасқаны туралы ойлаудың қажеті жоқ - осьтің үстінде немесе осьтің астында, және шамамен айтқанда, қай диаграмманың ЖОҒАРЫДА екені маңызды(басқа графикке қатысты), және қайсысы ТӨМЕН.
Қарастырылып отырған мысалда парабола кесіндіде түзу сызықтың үстінде орналасқаны анық, сондықтан одан шегеру керек.
Шешімнің аяқталуы келесідей болуы мүмкін:
Қажетті фигура жоғарыдан параболамен және төменнен түзу сызықпен шектеледі.
Жауап:
Шындығында, төменгі жарты жазықтықтағы қисық сызықты трапеция ауданына арналған мектеп формуласы (қарапайым мысал № 3 қараңыз) формуланың ерекше жағдайы болып табылады. Ось теңдеу арқылы берілгендіктен, ал функцияның графигі осьтен төмен орналасқандықтан, онда
Енді тәуелсіз шешім қабылдауға бірнеше мысал
5-мысал
6-мысал
, сызықтарымен қоршалған фигураның ауданын табыңыз.
Белгілі бір интегралдың көмегімен ауданды есептеуге арналған есептерді шешу барысында кейде күлкілі оқиға орын алады. Сызба дұрыс жасалды, есептеулер дұрыс болды, бірақ назар аудармағандықтан ... қате фигураның ауданын тапты, осылайша сенің мойынсұнғыш қызметшің бірнеше рет бұрмалады. Міне, нақты өмірлік оқиға:
7-мысал
, , , сызықтарымен шектелген фигураның ауданын есептеңдер.
Алдымен сурет салайық:
Ауданын табуымыз керек фигура көк түспен боялған.(шартты мұқият қараңыз - фигура қалай шектелген!). Бірақ іс жүзінде абайсыздықтың салдарынан жасыл түспен боялған фигураның ауданын табу қажет болады!
Бұл мысал сонымен қатар пайдалы, өйткені онда фигураның ауданы екі анықталған интегралдың көмегімен есептеледі. Шынымен:
1) Ось үстіндегі кесіндіде түзу графигі бар;
2) Ось үстіндегі кесіндіде гипербола графигі орналасқан.
Аймақтарды қосуға болатыны (және қажет) екені анық, сондықтан:
Жауап:
8-мысал
Түзулермен шектелген фигураның ауданын есептеңіз,
Теңдеулерді «мектеп» түрінде ұсынып, нүкте-нүкте сызбасын орындаймыз:
Сызбадан біздің жоғарғы шегіміз «жақсы» екенін көруге болады: .
Бірақ төменгі шегі қандай? Бұл бүтін сан емес екені анық, бірақ не? Мүмкін ? Бірақ сызбаның мінсіз дәлдікпен жасалғанына кепілдік қайда, бұл жақсы болуы мүмкін. Немесе тамыр. Егер біз графикті мүлде дұрыс алмасақ ше?
Мұндай жағдайларда қосымша уақыт жұмсауға және интеграцияның шектерін аналитикалық тұрғыдан нақтылауға тура келеді.
Түзу мен параболаның қиылысу нүктелерін табайық.
Ол үшін мына теңдеуді шешеміз:
Демек, .
Әрі қарай шешім тривиальды, бастысы - ауыстырулар мен белгілерде шатастырмау, мұнда есептеулер оңай емес.
Сәйкес формула бойынша сегментінде:
Ал, сабақты қорытындылай келе, қиынырақ екі тапсырманы қарастырамыз.
9-мысал
Түзулермен шектелген фигураның ауданын есептеңдер, ,
Шешуі: Бұл фигураны сызбаға салыңыз.
Сызбаны нүкте бойынша салу үшін синусоидтың сыртқы түрін білу қажет (және жалпы алғанда білу пайдалы барлық элементар функциялардың графиктері), сондай-ақ кейбір синус мәндерін, оларды табуға болады тригонометриялық кесте. Кейбір жағдайларда (бұл жағдайдағыдай) схемалық сызбаны салуға рұқсат етіледі, онда графиктер мен интеграциялық шектеулер негізінен дұрыс көрсетілуі керек.
Мұнда интеграциялық шектеулермен ешқандай проблемалар жоқ, олар тікелей шарттан шығады: - «x» нөлден «pi»-ге өзгереді. Біз қосымша шешім қабылдаймыз:
Сегментте функцияның графигі осьтің үстінде орналасқан, сондықтан:
(1) Синустар мен косинустардың тақ дәрежеде қалай біріктірілгенін сабақта көруге болады Тригонометриялық функциялардың интегралдары. Бұл әдеттегі әдіс, біз бір синусты қысамыз.
(2) Біз формада негізгі тригонометриялық сәйкестікті қолданамыз
(3) Айнымалыны өзгертейік, содан кейін:
Интеграцияның жаңа қайта бөлулері:
Ауыстырумен кім шынымен нашар жұмыс істейді, сабаққа өтіңіз Анықталмаған интегралда ауыстыру әдісі. Белгілі интегралдағы ауыстыру алгоритмі туралы өте анық емес адамдар үшін бетке кіріңіз. Анықталған интеграл. Шешу мысалдары. 5-мысал: Шешуі: осылайша:
Жауап:
Ескерту:текшедегі жанаманың интегралы қалай алынғанын, мұнда негізгі тригонометриялық сәйкестіктің салдары қолданылатынын ескеріңіз.
