Լեզվի շրջադարձեր

Քառաչափ խորանարդ. Կիբերխորանարդ - առաջին քայլը դեպի չորրորդ հարթություն Ինչ է կոչվում տարբեր կողմերով խորանարդը

Tesseract-ը քառաչափ հիպերխորանարդ է՝ խորանարդ քառաչափ տարածության մեջ:
Ըստ Օքսֆորդի բառարանի, թեսերակտ բառը հորինել և օգտագործել է 1888 թվականին Չարլզ Հովարդ Հինթոնը (1853-1907) իր «Մտքի նոր դար» գրքում։ Հետագայում ոմանք նույն կերպարանքին անվանեցին քառախորանարդ (հունարեն՝ քառ - չորս)՝ քառաչափ խորանարդ։
Էվկլիդեսյան քառաչափ տարածության մեջ սովորական թեսերակտը սահմանվում է որպես կետերի ուռուցիկ կորպուս (±1, ±1, ±1, ±1): Այլ կերպ ասած, այն կարող է ներկայացվել որպես հետևյալ բազմություն.
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Տեսերակտը սահմանափակված է ութ հիպերպլաններով x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , որոնց հատումը. Թեսերակտի հետ ինքնին սահմանում է եռաչափ դեմքեր (որոնք սովորական խորանարդներ են) Ոչ զուգահեռ եռաչափ երեսների յուրաքանչյուր զույգ հատվում է՝ ձևավորելով երկչափ երեսներ (քառակուսիներ), և վերջապես, թեսերակտն ունի 8 եռաչափ դեմքեր, 24 երկչափ դեմքեր, 32 եզրեր և 16 գագաթներ:
Հանրաճանաչ նկարագրություն
Փորձենք պատկերացնել, թե ինչպիսի տեսք կունենա հիպերկուբը՝ առանց եռաչափ տարածություն թողնելու։
Միաչափ «տարածությունում»` գծի վրա, մենք ընտրում ենք L երկարությամբ AB հատված: AB-ից L հեռավորության վրա գտնվող երկչափ հարթության վրա մենք դրան զուգահեռ DC հատված ենք գծում և միացնում դրանց ծայրերը: Արդյունքը քառակուսի CDBA է: Այս գործողությունը ինքնաթիռի հետ կրկնելով՝ մենք ստանում ենք CDBAGHFE եռաչափ խորանարդ: Իսկ չորրորդ հարթությունում (առաջին երեքին ուղղահայաց) խորանարդը L հեռավորությամբ տեղափոխելով՝ ստանում ենք CDBAGHFEKLJIOPNM հիպերխորանարդը։
Միաչափ AB հատվածը ծառայում է որպես CDBA երկչափ քառակուսու կողմ, քառակուսինը՝ որպես CDBAGHFE խորանարդի կողմ, որն, իր հերթին, կլինի քառաչափ հիպերխորանարդի կողմը։ Ուղիղ գծի հատվածն ունի երկու սահմանակետ, քառակուսինը՝ չորս գագաթ, խորանարդը՝ ութ։ Քառաչափ հիպերխորանարդում, այսպիսով, կլինի 16 գագաթ՝ սկզբնական խորանարդի 8 գագաթը և չորրորդ հարթությունում տեղաշարժվածի 8 գագաթը: Այն ունի 32 եզր՝ 12-ից յուրաքանչյուրը տալիս է սկզբնական խորանարդի սկզբնական և վերջնական դիրքերը, ևս 8 եզր «գծում» են նրա ութ գագաթները, որոնք տեղափոխվել են չորրորդ հարթություն։ Նույն պատճառաբանությունը կարելի է անել հիպերխորանարդի դեմքերի համար։ Երկչափ տարածության մեջ կա միայն մեկը (քառակուսին ինքնին), խորանարդն ունի դրանցից 6-ը (երկու երես շարժված քառակուսուց և ևս չորսը, որոնք նկարագրում են նրա կողմերը): Քառաչափ հիպերխորանարդն ունի 24 քառակուսի երես՝ սկզբնական խորանարդի 12 քառակուսիները երկու դիրքերում և 12 քառակուսիները նրա տասներկու եզրերից:
Ինչպես քառակուսու կողմերը 4 միաչափ հատվածներ են, իսկ խորանարդի կողմերը (դեմքերը)՝ 6 երկչափ քառակուսիներ, այնպես էլ «քառաչափ խորանարդի» համար (տեսերակտ) կողմերը 8 եռաչափ են։ . Հակառակ զույգ թեսերակտ խորանարդների տարածությունները (այսինքն՝ այն եռաչափ տարածությունները, որոնց պատկանում են այս խորանարդները) զուգահեռ են։ Նկարում սրանք են խորանարդները՝ CDBAGHFE և KLJIOPNM, CDBAKLJI և GHFEOPNM, EFBAMNJI և GHDCOPLK, CKIAGOME և DLJBHPNF:
Նմանապես, մենք կարող ենք շարունակել հիպերկուբների հիմնավորումը ավելինչափերը, բայց շատ ավելի հետաքրքիր է տեսնել, թե ինչպես քառաչափ հիպերկուբը կփնտրի մեզ՝ եռաչափ տարածության բնակիչներիս: Դրա համար մենք կօգտագործենք անալոգիաների արդեն ծանոթ մեթոդը:
Վերցնենք ABCDHEFG մետաղալարով խորանարդը և մի աչքով նայենք եզրի կողքից։ Մենք կտեսնենք և կարող ենք հարթության վրա նկարել երկու քառակուսի (նրա մոտ և հեռավոր եզրերը), որոնք միացված են չորս գծերով՝ կողային եզրերով։ Նմանապես, քառաչափ հիպերխորանարդը եռաչափ տարածության մեջ նման կլինի երկու խորանարդ «արկղերի», որոնք տեղադրված են միմյանց մեջ և միացված ութ եզրերով: Այս դեպքում «արկղերն» իրենք՝ եռաչափ դեմքերը, կպրոյեկտվեն «մեր» տարածության վրա, և դրանք միացնող գծերը կձգվեն չորրորդ առանցքի ուղղությամբ։ Կարող եք նաև փորձել պատկերացնել խորանարդը ոչ թե պրոյեկցիայի, այլ տարածական պատկերի մեջ։
Ինչպես եռաչափ խորանարդը ձևավորվում է քառակուսու կողմից, որը տեղաշարժվում է իր դեմքի երկարությամբ, այնպես էլ չորրորդ հարթություն տեղափոխված խորանարդը կստեղծի հիպերխորանարդ: Այն սահմանափակված է ութ խորանարդով, որոնք ապագայում ինչ-որ գեղեցիկ տեսք կունենան բարդ գործիչ. Քառաչափ հիպերխորանարդն ինքնին բաղկացած է անսահման թվով խորանարդներից, ինչպես եռաչափ խորանարդը կարելի է «կտրել» անսահման թվով հարթ քառակուսիների։
Կտրելով եռաչափ խորանարդի վեց երեսները, դուք կարող եք այն քայքայել հարթ գործչի՝ մշակման: Այն կունենա բնօրինակ դեմքի յուրաքանչյուր կողմում քառակուսի, գումարած ևս մեկը՝ դրան հակառակ դեմքը: Իսկ քառաչափ հիպերխորանարդի եռաչափ զարգացումը բաղկացած կլինի բնօրինակ խորանարդից, դրանից «աճող» վեց խորանարդ, գումարած ևս մեկը՝ վերջնական «հիպերդեմք»:
Tesseract-ի հատկությունները հատկությունների ընդլայնումն են երկրաչափական ձևերավելի փոքր չափս դեպի քառաչափ տարածություն:

Միավորներ (±1, ±1, ±1, ±1): Այլ կերպ ասած, այն կարող է ներկայացվել որպես հետևյալ հավաքածու.

Թեսերակտը սահմանափակված է ութ հիպերպլաններով, որոնց հատումն ինքնին թեսերակտի հետ սահմանում է նրա եռաչափ դեմքերը (որոնք սովորական խորանարդիկներ են)։ Ոչ զուգահեռ 3D դեմքերի յուրաքանչյուր զույգ հատվում է՝ ձևավորելով 2D դեմքեր (քառակուսիներ) և այլն: Վերջապես, թեսերակտն ունի 8 3D դեմքեր, 24 2D դեմքեր, 32 եզրեր և 16 գագաթներ:

Հանրաճանաչ նկարագրություն

Փորձենք պատկերացնել, թե ինչպիսի տեսք կունենա հիպերկուբը՝ առանց եռաչափ տարածություն թողնելու։

Ինքնաթիռում թեսերակտի կառուցում

Միաչափ AB հատվածը ծառայում է որպես CDBA երկչափ քառակուսու կողմ, քառակուսինը՝ որպես CDBAGHFE խորանարդի կողմ, որն, իր հերթին, կլինի քառաչափ հիպերխորանարդի կողմը։ Ուղիղ գծի հատվածն ունի երկու սահմանակետ, քառակուսին՝ չորս գագաթ, խորանարդը՝ ութ։ Քառաչափ հիպերխորանարդում, այսպիսով, կլինի 16 գագաթ՝ սկզբնական խորանարդի 8 գագաթը և չորրորդ հարթությունում տեղաշարժվածի 8 գագաթը: Այն ունի 32 եզր՝ 12-ից յուրաքանչյուրը տալիս է սկզբնական խորանարդի սկզբնական և վերջնական դիրքերը, ևս 8 եզր «գծում» են նրա ութ գագաթները, որոնք տեղափոխվել են չորրորդ հարթություն։ Նույն պատճառաբանությունը կարելի է անել հիպերխորանարդի դեմքերի համար։ Երկչափ տարածության մեջ կա միայն մեկը (քառակուսին ինքնին), խորանարդն ունի դրանցից 6-ը (երկու երես շարժված քառակուսուց և ևս չորսը, որոնք նկարագրում են նրա կողմերը): Քառաչափ հիպերխորանարդն ունի 24 քառակուսի երես՝ սկզբնական խորանարդի 12 քառակուսիները երկու դիրքերում և 12 քառակուսիներ նրա տասներկու եզրերից:

Ինչպես քառակուսու կողմերը 4 միաչափ հատվածներ են, իսկ խորանարդի կողմերը (դեմքերը)՝ 6 երկչափ քառակուսիներ, այնպես էլ «քառաչափ խորանարդի» համար (տեսերակտ) կողմերը 8 եռաչափ են։ . Հակառակ զույգ թեսերակտ խորանարդների տարածությունները (այսինքն՝ այն եռաչափ տարածությունները, որոնց պատկանում են այս խորանարդները) զուգահեռ են։ Նկարում սրանք են խորանարդները՝ CDBAGHFE և KLJIOPNM, CDBAKLJI և GHFEOPNM, EFBAMNJI և GHDCOPLK, CKIAGOME և DLJBHPNF:

Նմանապես, մենք կարող ենք շարունակել մեր հիմնավորումը ավելի մեծ թվով չափերի հիպերխորանարդների մասին, բայց շատ ավելի հետաքրքիր է տեսնել, թե ինչպես է քառաչափ հիպերխորանարդը փնտրում մեզ՝ եռաչափ տարածության բնակիչներիս: Դրա համար մենք կօգտագործենք անալոգիաների արդեն ծանոթ մեթոդը:

Վերցնենք ABCDHEFG մետաղալարով խորանարդը և մի աչքով նայենք եզրի կողքից։ Մենք կտեսնենք և կարող ենք հարթության վրա նկարել երկու քառակուսի (նրա մոտ և հեռավոր եզրերը), որոնք միացված են չորս գծերով՝ կողային եզրերով։ Նմանապես, քառաչափ հիպերխորանարդը եռաչափ տարածության մեջ նման կլինի երկու խորանարդ «արկղերի», որոնք տեղադրված են միմյանց մեջ և միացված ութ եզրերով: Այս դեպքում «արկղերն» իրենք՝ եռաչափ դեմքերը, կպրոյեկտվեն «մեր» տարածության վրա, և դրանք միացնող գծերը կձգվեն չորրորդ առանցքի ուղղությամբ։ Կարող եք նաև փորձել պատկերացնել խորանարդը ոչ թե պրոյեկցիայի, այլ տարածական պատկերի մեջ։

Ինչպես եռաչափ խորանարդը ձևավորվում է քառակուսու կողմից, որը տեղաշարժվում է իր դեմքի երկարությամբ, այնպես էլ չորրորդ հարթություն տեղափոխված խորանարդը կստեղծի հիպերխորանարդ: Այն սահմանափակված է ութ խորանարդով, որոնք հեռանկարում նման կլինեն բավականին բարդ կերպարի: Քառաչափ հիպերխորանարդն ինքնին բաղկացած է անսահման թվով խորանարդներից, ինչպես եռաչափ խորանարդը կարելի է «կտրել» անսահման թվով հարթ քառակուսիների:

Կտրելով եռաչափ խորանարդի վեց երեսները՝ դուք կարող եք այն քայքայել հարթ գործչի՝ մշակման: Այն կունենա բնօրինակ դեմքի յուրաքանչյուր կողմում քառակուսի, գումարած ևս մեկը՝ դրան հակառակ դեմքը: Իսկ քառաչափ հիպերխորանարդի եռաչափ զարգացումը բաղկացած կլինի բնօրինակ խորանարդից, դրանից «աճող» վեց խորանարդ, գումարած ևս մեկը՝ վերջնական «հիպերդեմք»:

Թեսերակտի հատկությունները ներկայացնում են ավելի ցածր չափերի երկրաչափական պատկերների հատկությունների շարունակությունը քառաչափ տարածության մեջ:

Կանխատեսումներ

Դեպի երկչափ տարածություն

Այս կառուցվածքը դժվար է պատկերացնել, բայց թեսերակտը հնարավոր է նախագծել երկչափ կամ եռաչափ տարածությունների մեջ: Բացի այդ, հարթության վրա նախագծելը հեշտացնում է հիպերխորանարդի գագաթների գտնվելու վայրը հասկանալը: Այս կերպ հնարավոր է ձեռք բերել պատկերներ, որոնք այլևս չեն արտացոլում թեսերակտի մեջ տարածական հարաբերությունները, բայց որոնք ցույց են տալիս գագաթային կապի կառուցվածքը, ինչպես հետևյալ օրինակներում.

Երրորդ նկարը ցույց է տալիս թեսերակտը իզոմետրիայում՝ կառուցման կետի համեմատ։ Այս ներկայացումը հետաքրքիր է, երբ օգտագործվում է թեսերակտը որպես տոպոլոգիական ցանցի հիմք՝ մի քանի պրոցեսորները զուգահեռ հաշվարկում միացնելու համար:

Դեպի եռաչափ տարածություն

Թեսերակտի պրոյեկցիաներից մեկը եռաչափ տարածության վրա ներկայացնում է երկու բնադրված եռաչափ խորանարդ, որոնց համապատասխան գագաթները միացված են հատվածներով։ Ներքին և արտաքին խորանարդները եռաչափ տարածության մեջ ունեն տարբեր չափեր, իսկ քառաչափ տարածության մեջ դրանք հավասար խորանարդներ են։ Բոլոր թեսերակտի խորանարդների հավասարությունը հասկանալու համար ստեղծվեց պտտվող թեսերակտի մոդել:

Թեսերակտի եզրերի երկայնքով կտրված վեց բուրգերը հավասար վեց խորանարդի պատկերներ են: Այնուամենայնիվ, այս խորանարդները թեսերակտի համար են, ինչպես քառակուսիները (դեմքերը) խորանարդի համար: Բայց իրականում թեսերակտը կարելի է բաժանել անսահման թվով խորանարդի, ինչպես որ խորանարդը կարելի է բաժանել անսահման թվով քառակուսիների, կամ քառակուսինը՝ անվերջ թվով հատվածների։

Թեսերակտի մեկ այլ հետաքրքիր պրոյեկցիա եռաչափ տարածության վրա ռոմբիկ տասներկուանիստն է՝ իր չորս անկյունագծերով, որոնք միացնում են զույգ հակառակ գագաթները ռոմբների մեծ անկյուններում: Այս դեպքում թեսերակտի 16 գագաթներից 14-ը նախագծված են ռոմբի տասներկու գագաթների մեջ, իսկ մնացած 2-ի ելքերը համընկնում են նրա կենտրոնում։ Եռաչափ տարածության վրա նման պրոյեկցիայի դեպքում պահպանվում են բոլոր միաչափ, երկչափ և եռաչափ կողմերի հավասարությունն ու զուգահեռությունը։

Ստերեո զույգ

Տեսերակտի ստերեո զույգը պատկերված է եռաչափ տարածության վրա երկու պրոեկցիայի տեսքով: Թեսերակտի այս պատկերը նախատեսված էր խորությունը որպես չորրորդ հարթություն ներկայացնելու համար: Ստերեո զույգը դիտվում է այնպես, որ յուրաքանչյուր աչք տեսնում է այս պատկերներից միայն մեկը, հայտնվում է ստերեոսկոպիկ նկար, որը վերարտադրում է թեսերակտի խորությունը:

Թեսերակտի փաթաթում

Թեսերակտի մակերեսը կարող է բացվել ութ խորանարդի մեջ (նման է, թե ինչպես կարելի է խորանարդի մակերեսը բացել վեց քառակուսիների մեջ)։ Կան 261 տարբեր թեսերակտ դիզայն: Թեսերակտի բացվածքը կարելի է հաշվարկել՝ միացված անկյունները գրաֆիկի վրա գծելով:

Թեսերակտը արվեստում

Էդվինա Ա.-ի «Նոր Էբոթի հարթավայրում» հիպերկուբը հանդես է գալիս որպես պատմող։
«Ջիմի Նեյտրոնի արկածները» սերիալի մեկ դրվագում «տղա հանճար» Ջիմին հորինում է քառաչափ հիպերխորանարդ, որը նույնական է Ռոբերտ Հայնլայնի «Փառքի ճանապարհ» (1963 թ.) վեպի ծալքատուփին:
Ռոբերտ Է. Հայնլայնը հիպերխորանարդների մասին հիշատակել է առնվազն երեք գիտաֆանտաստիկ պատմություններում: «The House of Four Dimensions» («The House That Teal Built») գրքում նա նկարագրել է մի տուն, որը կառուցվել է որպես չփաթաթված թեսերակտ, իսկ հետո երկրաշարժի պատճառով «ծալվել» չորրորդ հարթությունում և դարձել «իսկական» թեսերակտ։ .
Հայնլայնի «Փառքի ճանապարհ» վեպը նկարագրում է հիպեր չափի տուփ, որն ավելի մեծ էր ներսից, քան դրսից:
Հենրի Կուտների «Ամբողջ Տենալի Բորոգով» պատմվածքը նկարագրում է հեռավոր ապագայի երեխաների համար նախատեսված կրթական խաղալիք, որն իր կառուցվածքով նման է թեսերակտի:
Ալեքս Գարլանդի () վեպում «տեսերակտ» տերմինն օգտագործվում է քառաչափ հիպերխորանարդի եռաչափ բացման համար, այլ ոչ թե հենց հիպերկուբի։ Սա փոխաբերություն է, որը նախատեսված է ցույց տալու, որ ճանաչողական համակարգը պետք է ավելի լայն լինի, քան իմանալը:
Cube 2-ի սյուժեն. Hypercube-ը կենտրոնանում է ութ անծանոթների վրա, որոնք թակարդված են «հիպերխորանարդի» կամ միացված խորանարդների ցանցում:
Անդրոմեդա հեռուստասերիալում որպես սյուժեի սարք օգտագործվում են թեսերակտի գեներատորներ: Դրանք հիմնականում նախատեսված են տարածությունը և ժամանակը շահարկելու համար:
Սալվադոր Դալիի «Խաչելությունը» (Corpus Hypercubus) նկարը ().
Nextwave կոմիքսը պատկերում է տրանսպորտային միջոց, որը ներառում է 5 թեսերակտ գոտի:
Voivod Nothingface ալբոմում ստեղծագործություններից մեկը կոչվում է «Իմ հիպերկուբում»։
Էնթոնի Փիրսի «Route Cube» վեպում՝ ուղեծրային արբանյակներից մեկը Միջազգային ասոցիացիազարգացումը կոչվում է թեսերակտ, որը սեղմվել է 3 հարթության մեջ:
«Սև անցքի դպրոց» սերիալում երրորդ եթերաշրջանում կա «Տեսերակտ» դրվագը։ Լուկասը սեղմում է գաղտնի կոճակը, և դպրոցը սկսում է «ձևավորվել մաթեմատիկական թեսերակտի պես»։
«Տեսերակտ» տերմինը և դրա ածանցյալ «տեսերակտը» հանդիպում են Մադլեն Լ'Էնգլի «Ժամանակի կնճիռ» պատմվածքում։
TesseracT-ը բրիտանական djent խմբի անունն է:
Marvel Cinematic Universe ֆիլմաշարում Tesseract-ը հիմնական սյուժեի տարրն է, տիեզերական արտեֆակտ հիպերխորանարդի տեսքով:
Ռոբերտ Շեքլիի «Միսս մկնիկը և չորրորդ չափումը» պատմվածքում էզոթերիկ գրող, հեղինակի ծանոթը, փորձում է տեսնել թեսերակտը՝ ժամերով նայելով իր նախագծած սարքին. որոնց խորանարդները տեղադրված են, կպցված են բոլոր տեսակի էզոթերիկ խորհրդանիշներով: Պատմության մեջ նշվում է Հինթոնի աշխատանքը։
Առաջին վրիժառուն, «Վրիժառուները» ֆիլմերում։ Tesseract - ամբողջ տիեզերքի էներգիան

Այլ անուններ

Hexadecachoron Hexadecachoron)
Octochoron (անգլերեն) Օկտախորոն)
Tetracube
4-Խորանարդ
Hypercube (եթե չափսերի քանակը նշված չէ)

Նշումներ

գրականություն

Չարլզ Հ. Հինթոն. Չորրորդ չափս, 1904. ISBN 0-405-07953-2
Մարտին Գարդներ, Մաթեմատիկական կառնավալ, 1977. ISBN 0-394-72349-X
Յան Ստյուարտ, Ժամանակակից մաթեմատիկայի հասկացություններ, 1995թ. ISBN 0-486-28424-7

Հղումներ

Ռուսերեն

Transformator4D ծրագիր. Քառաչափ առարկաների (ներառյալ Հիպերկուբը) եռաչափ պրոյեկցիաների մոդելների ձևավորում։
Ծրագիր, որն իրականացնում է թեսերակտի կառուցումը և դրա բոլոր փոխակերպումները՝ C++-ի կոդով:

Անգլերեն

Mushware Limited - tesseract ելքային ծրագիր ( Tesseract Trainer, լիցենզիա համատեղելի GPLv2-ի հետ) և առաջին դեմքով հրաձիգ քառաչափ տարածության մեջ ( Ադանաքսիս; գրաֆիկան հիմնականում եռաչափ է. ՕՀ-ի պահոցներում կա GPL տարբերակ):

Պոլիեդրա

Ճիշտ է
(Պլատոնական պինդ մարմիններ)

Աստղային դոդեկաեդրոն Աստղային իկոսիդոդեկաեդրոն Աստղային իկոսադրոն Աստղային բազմանիստ աստղային ութանետրոն

Ուռուցիկ

Արքիմեդյան պինդ մարմիններ	Cubooctahedron Icosidodecahedron Կտրված քառաեդրոն Կտրված ութանիստ Կտրված իկոսաեդրոն Կտրված խորանարդ Կտրված տասներեքագեդրոն Rhombicuboctahedron Rhombic կտրված cubtahedron icosahedron doncubic Կտրված կուբոկտաեդրոն Կտրված իկոսիդոդեկաեդրոն Կանոնավոր պրիզմա Անտիպրիզմ
Կատալոնական մարմիններ	Rhombothriacontahedron Triakisthetrahedron Tetrakishexahedron Pentakisdodecahedron Triakisicosahedron Deltoidal icositetrahedron Deltoidal hexexontahedron հնգանկյուն icositetrahedron Diicosicosahedron dix Ռոն
Առանց ամբողջական տարածական համաչափության	Բուրգային պրիզմա Երկպիրամիդ հակապրիզմա Զոնոեդրոն զուգահեռականիպեդ ռոմբոեդրոն պրիզմատոիդ կտրված բուրգ
Պենտագոնդոդեկաեդրոն Զուգահեռ

Բանաձևեր,
թեորեմներ,
տեսություններ

Այլ

Հենց որ վիրահատությունից հետո կարողացա դասախոսություններ կարդալ, ուսանողների առաջին հարցը հետևյալն էր.

Ե՞րբ եք մեզ գծելու քառաչափ խորանարդ: Իլյաս Աբդուլխաևիչը մեզ խոստացավ.

Հիշում եմ, որ իմ սիրելի ընկերները երբեմն սիրում են մաթեմատիկական կրթության պահը։ Ուստի մաթեմատիկոսների համար նախատեսված իմ դասախոսության մի հատվածը կգրեմ այստեղ։ Եվ ես կփորձեմ առանց ձանձրալի լինել: Որոշ կետերում դասախոսությունը, իհարկե, ավելի խիստ եմ կարդացել։

Եկեք նախ համաձայնվենք. 4-չափ, և առավել եւս 5-6-7- և ընդհանրապես k-չափ տարածությունը մեզ տրված չէ զգայական սենսացիաներում:
«Մենք թշվառ ենք, որովհետև մենք միայն եռաչափ ենք», ինչպես ասաց իմ կիրակնօրյա դպրոցի ուսուցիչը, ով առաջինն ինձ ասաց, թե ինչ է քառաչափ խորանարդը: Կիրակնօրյա դպրոցը, բնականաբար, չափազանց կրոնական՝ մաթեմատիկական էր։ Այդ ժամանակ մենք ուսումնասիրում էինք հիպերխորանարդիկները։ Սրանից մեկ շաբաթ առաջ, մաթեմատիկական ինդուկցիա, դրանից մեկ շաբաթ անց Համիլտոնյան ցիկլերը գրաֆիկներով, համապատասխանաբար, սա 7-րդ դասարանն է:

Մենք չենք կարող դիպչել, հոտել, լսել կամ տեսնել քառաչափ խորանարդը: Ի՞նչ կարող ենք անել դրա հետ: Մենք կարող ենք դա պատկերացնել! Քանի որ մեր ուղեղը շատ ավելի բարդ է, քան մեր աչքերն ու ձեռքերը:

Այսպիսով, որպեսզի հասկանանք, թե ինչ է 4-չափ խորանարդը, նախ հասկանանք, թե ինչն է մեզ հասանելի։ Ի՞նչ է եռաչափ խորանարդը:

ԼԱՎ ԼԱՎ! Ես ձեզնից չեմ խնդրում հստակ մաթեմատիկական սահմանում: Պարզապես պատկերացրեք ամենապարզ և սովորական եռաչափ խորանարդը: Ներկայացրե՞լ է:

Լավ:
Որպեսզի հասկանանք, թե ինչպես կարելի է ընդհանրացնել եռաչափ խորանարդը 4 ծավալային տարածության մեջ, եկեք պարզենք, թե ինչ է երկչափ խորանարդը: Դա այնքան պարզ է, դա քառակուսի է:

Քառակուսին ունի 2 կոորդինատ։ Խորանարդն ունի երեք. Քառակուսի կետերը երկու կոորդինատներով կետեր են: Առաջինը 0-ից 1-ն է, իսկ երկրորդը՝ 0-ից 1-ը: Խորանարդի կետերն ունեն երեք կոորդինատ: Եվ յուրաքանչյուրը ցանկացած թիվ է 0-ից մինչև 1:

Տրամաբանական է պատկերացնել, որ քառաչափ խորանարդը մի բան է, որն ունի 4 կոորդինատ, և ամեն ինչ 0-ից 1 է։

/* Անմիջապես տրամաբանական է պատկերացնել միաչափ խորանարդ, որը ոչ այլ ինչ է, քան պարզ հատված 0-ից 1: */

Այսպիսով, սպասեք, ինչպե՞ս եք գծում 4-չափ խորանարդը: Ի վերջո, մենք չենք կարող հարթության վրա 4-չափ տարածություն նկարել:
Բայց մենք հարթության վրա նույնպես եռաչափ տարածություն չենք գծում, մենք այն նկարում ենք պրոյեկցիաերկչափ գծագրության հարթության վրա: Երրորդ կոորդինատը (z) դնում ենք անկյան տակ՝ պատկերացնելով, որ գծագրության հարթությունից առանցքը գնում է «դեպի մեզ»։

Այժմ լիովին պարզ է, թե ինչպես կարելի է նկարել 4 ծավալային խորանարդ: Ճիշտ այնպես, ինչպես երրորդ առանցքը դրեցինք որոշակի անկյան տակ, վերցնենք չորրորդ առանցքը և տեղադրենք այն որոշակի անկյան տակ:
Եվ - voila! - 4-չափ խորանարդի պրոյեկցիան հարթության վրա:

Ինչ? Ինչ է սա ամեն դեպքում: Հետևի գրասեղաններից միշտ շշուկներ եմ լսում։ Թույլ տվեք ավելի մանրամասն բացատրել, թե ինչ է իրենից ներկայացնում տողերի այս խառնաշփոթը։
Նախ նայեք եռաչափ խորանարդին: Ի՞նչ ենք մենք արել։ Մենք վերցրեցինք քառակուսին և այն քաշեցինք երրորդ առանցքով (z): Դա նման է շատ ու շատ թղթե քառակուսիների, որոնք սոսնձված են մի բուրգի մեջ:
Նույնն է 4-չափ խորանարդի դեպքում: Չորրորդ առանցքը, հարմարության և գիտաֆանտաստիկայի համար, անվանենք «ժամանակի առանցք»: Մենք պետք է վերցնենք սովորական եռաչափ խորանարդը և այն ժամանակի միջով քաշենք «այժմ» ժամանակից մինչև «մեկ ժամից»:

Մենք ունենք «հիմա» խորանարդ: Նկարում վարդագույն է։

Եվ հիմա մենք այն քաշում ենք չորրորդ առանցքի երկայնքով՝ ժամանակի առանցքի երկայնքով (ես ցույց տվեցի այն կանաչով): Եվ մենք ստանում ենք ապագայի խորանարդը `կապույտ:

«Հիմա խորանարդի» յուրաքանչյուր գագաթ ժամանակի մեջ թողնում է հետք՝ հատված: Կապելով իր ներկան ապագայի հետ:

Մի խոսքով, առանց բառերի. մենք գծեցինք երկու նույնական եռաչափ խորանարդներ և միացրինք համապատասխան գագաթները։
Ճիշտ նույնը, ինչ արեցին եռաչափ խորանարդի դեպքում (գծեք 2 նույնական երկչափ խորանարդ և միացրեք գագաթները):

5-չափ խորանարդ նկարելու համար պետք է նկարել 4-չափ խորանարդի երկու օրինակ (4-չափ խորանարդ հինգերորդ կոորդինատով 0 և քառաչափ խորանարդ հինգերորդ կոորդինատով 1) և համապատասխան գագաթները միացնել եզրերով։ Ճիշտ է, հարթության վրա եզրերի այնպիսի խառնաշփոթ կլինի, որ գրեթե անհնար կլինի որևէ բան հասկանալ։

Երբ մենք պատկերացրինք 4-չափ խորանարդը և նույնիսկ կարողանանք նկարել այն, մենք կարող ենք այն ուսումնասիրել տարբեր ձևերով: Հիշելով ուսումնասիրել այն թե՛ ձեր մտքում, թե՛ նկարից:
Օրինակ. Երկչափ խորանարդը 4 կողմից սահմանափակված է 1չափ խորանարդներով։ Սա տրամաբանական է՝ 2 կոորդինատներից յուրաքանչյուրի համար այն ունի և՛ սկիզբ, և՛ վերջ:
Եռաչափ խորանարդը 6 կողմից սահմանափակված է երկչափ խորանարդներով։ Երեք կոորդինատներից յուրաքանչյուրի համար այն ունի սկիզբ և վերջ:
Սա նշանակում է, որ 4-չափ խորանարդը պետք է սահմանափակվի ութ եռաչափ խորանարդով: 4 կոորդինատներից յուրաքանչյուրի համար՝ երկու կողմից: Վերևի նկարում մենք հստակ տեսնում ենք 2 դեմքեր, որոնք սահմանափակում են այն «ժամանակի» կոորդինատի երկայնքով:

Ահա երկու խորանարդ (դրանք մի փոքր թեք են, քանի որ ունեն 2 չափսեր, որոնք նախագծված են հարթության վրա անկյան տակ), սահմանափակելով մեր հիպերխորանարդը աջ և ձախ կողմում:

Հեշտ է նաև նկատել «վերինն» ու «ներքևը»:

Ամենադժվարը տեսողականորեն հասկանալն է, թե որտեղ են գտնվում «առջևը» և «հետևը»: Առջևը սկսվում է «այժմ խորանարդի» առջևի եզրից և մինչև «ապագայի խորանարդի» առջևի եզրը՝ կարմիր է։ Հետևի մասը մանուշակագույն է։

Դրանք ամենադժվարն են նկատել, քանի որ այլ խորանարդներ խճճված են ոտքի տակ, ինչը սահմանափակում է հիպերկուբը այլ նախագծված կոորդինատով: Բայց նշեք, որ խորանարդները դեռ տարբեր են: Ահա նորից նկարը, որտեղ ընդգծված են «հիմա» և «ապագայի խորանարդը»։

Իհարկե, հնարավոր է 4 ծավալային խորանարդը նախագծել եռաչափ տարածության մեջ:
Առաջին հնարավոր տարածական մոդելը պարզ է, թե ինչ տեսք ունի. անհրաժեշտ է վերցնել 2 խորանարդի շրջանակ և միացնել դրանց համապատասխան գագաթները նոր եզրով:
Ես այս մոդելը պահեստում չունեմ հիմա: Դասախոսության ժամանակ ես ուսանողներին ցույց եմ տալիս 4 ծավալային խորանարդի մի փոքր այլ եռաչափ մոդել:

Դուք գիտեք, թե ինչպես է խորանարդը նախագծվում նման հարթության վրա:
Կարծես վերեւից նայում ենք խորանարդի:

Մոտ եզրը, իհարկե, մեծ է: Իսկ հեռավոր եզրն ավելի փոքր է թվում, մենք այն տեսնում ենք մոտիկից:

Ահա թե ինչպես կարելի է նախագծել 4 ծավալային խորանարդ: Այժմ խորանարդն ավելի մեծ է, մենք հեռվում տեսնում ենք ապագայի խորանարդը, ուստի այն ավելի փոքր է թվում:

Մյուս կողմից. Վերևի կողմից:

Անմիջապես եզրի կողքից.

Կողքի կողմից.

Իսկ վերջին անկյունը՝ ասիմետրիկ։ «Ասա ինձ, որ ես նայեցի նրա կողերի արանքում» բաժնից:

Դե, ապա դուք կարող եք գալ ամեն ինչ: Օրինակ, ինչպես եռաչափ խորանարդի զարգացում է տեղի ունենում հարթության վրա (դա նման է թղթի թերթիկը կտրելուն այնպես, որ ծալելիս ստանում ես խորանարդ), նույնը տեղի է ունենում 4-չափ խորանարդի զարգացման դեպքում. տարածություն. Դա նման է փայտի կտորը կտրելուն, որպեսզի այն 4-չափ տարածության մեջ ծալելով՝ ստանանք թեսերակտ:

Դուք կարող եք ուսումնասիրել ոչ միայն 4-չափ խորանարդը, այլ ընդհանրապես n-չափ խորանարդը: Օրինակ՝ ճի՞շտ է, որ n-չափ խորանարդի շուրջ շրջագծված գնդիկի շառավիղը փոքր է այս խորանարդի եզրի երկարությունից։ Կամ ահա ավելի պարզ հարց. քանի՞ գագաթ ունի n-չափ խորանարդը: Քանի՞ եզր (1-չափ երես):

Տեսերակտը (հին հունարեն τέσσερες ἀκτῖνες - չորս ճառագայթ) քառաչափ հիպերխորանարդ է՝ քառաչափ տարածության մեջ գտնվող խորանարդի անալոգը։

Պատկերը քառաչափ խորանարդի պրոյեկցիա (տեսանկյուն) է եռաչափ տարածության վրա։

Ըստ Օքսֆորդի բառարանի, «տեսերակտ» բառը հորինել և օգտագործել է 1888 թվականին Չարլզ Հովարդ Հինթոնը (1853–1907) իր «Մտքի նոր դար» գրքում։ Ավելի ուշ որոշ մարդիկ նույն կերպարանքին անվանեցին «տետրակուբ»:

Երկրաչափություն

Էվկլիդեսյան քառաչափ տարածության մեջ սովորական թեսերակտը սահմանվում է որպես կետերի ուռուցիկ կորպուս (±1, ±1, ±1, ±1): Այլ կերպ ասած, այն կարող է ներկայացվել որպես հետևյալ բազմություն.

Տեսերակտը սահմանափակված է ութ հիպերպլաններով, որոնց խաչմերուկը թեսերակտի հետ ինքնին սահմանում է նրա եռաչափ դեմքերը (որոնք սովորական խորանարդիկներ են)։ Ոչ զուգահեռ 3D դեմքերի յուրաքանչյուր զույգ հատվում է՝ ձևավորելով 2D դեմքեր (քառակուսիներ) և այլն: Վերջապես, թեսերակտն ունի 8 3D դեմքեր, 24 2D դեմքեր, 32 եզրեր և 16 գագաթներ:

Հանրաճանաչ նկարագրություն

Փորձենք պատկերացնել, թե ինչպիսի տեսք կունենա հիպերկուբը՝ առանց եռաչափ տարածություն թողնելու։

Միաչափ «տարածությունում»` գծի վրա, մենք ընտրում ենք L երկարությամբ AB հատված: AB-ից L հեռավորության վրա գտնվող երկչափ հարթության վրա մենք դրան զուգահեռ DC հատված ենք գծում և միացնում դրանց ծայրերը: Արդյունքը քառակուսի ABCD է: Այս գործողությունը ինքնաթիռի հետ կրկնելով՝ մենք ստանում ենք ABCDHEFG եռաչափ խորանարդ։ Իսկ չորրորդ հարթության մեջ (առաջին երեքին ուղղահայաց) խորանարդը L հեռավորությամբ տեղափոխելով՝ ստանում ենք ABCDEFGHIJKLMNOP հիպերխորանարդը։
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG

AB միաչափ հատվածը ծառայում է որպես ABCD երկչափ քառակուսու կողմ, քառակուսինը՝ որպես ABCDHEFG խորանարդի կողմ, որն իր հերթին կլինի քառաչափ հիպերխորանարդի կողմը։ Ուղիղ գծի հատվածն ունի երկու սահմանակետ, քառակուսինը՝ չորս գագաթ, իսկ խորանարդը՝ ութ։ Քառաչափ հիպերխորանարդում, այսպիսով, կլինի 16 գագաթ՝ սկզբնական խորանարդի 8 գագաթը և չորրորդ հարթությունում տեղաշարժվածի 8 գագաթը: Այն ունի 32 եզր՝ 12-ից յուրաքանչյուրը տալիս է սկզբնական խորանարդի սկզբնական և վերջնական դիրքերը, ևս 8 եզր «գծում» են նրա ութ գագաթները, որոնք տեղափոխվել են չորրորդ հարթություն։ Նույն պատճառաբանությունը կարելի է անել հիպերխորանարդի դեմքերի համար։ Երկչափ տարածության մեջ կա միայն մեկը (քառակուսին ինքնին), խորանարդն ունի դրանցից 6-ը (երկու երես շարժված քառակուսուց և ևս չորսը, որոնք նկարագրում են նրա կողմերը): Քառաչափ հիպերխորանարդն ունի 24 քառակուսի երես՝ սկզբնական խորանարդի 12 քառակուսիները երկու դիրքերում և 12 քառակուսիները նրա տասներկու եզրերից:

Թեսերակտի փաթաթում

Վերցնենք ABCDHEFG մետաղալարով խորանարդը և մի աչքով նայենք եզրի կողքից։ Մենք կտեսնենք և կարող ենք հարթության վրա նկարել երկու քառակուսի (նրա մոտ և հեռավոր եզրերը), որոնք միացված են չորս գծերով՝ կողային եզրերով։ Նմանապես, քառաչափ հիպերխորանարդը եռաչափ տարածության մեջ նման կլինի երկու խորանարդ «արկղերի», որոնք տեղադրված են միմյանց մեջ և միացված ութ եզրերով: Այս դեպքում «արկղերն» իրենք՝ եռաչափ դեմքերը, կպրոյեկտվեն «մեր» տարածության վրա, իսկ դրանք միացնող գծերը կձգվեն չորրորդ հարթությունում։ Կարող եք նաև փորձել պատկերացնել խորանարդը ոչ թե պրոյեկցիայի, այլ տարածական պատկերի մեջ։

Ինչպես եռաչափ խորանարդը ձևավորվում է քառակուսու կողմից, որը տեղաշարժվում է իր դեմքի երկարությամբ, այնպես էլ չորրորդ հարթություն տեղափոխված խորանարդը կստեղծի հիպերխորանարդ: Այն սահմանափակված է ութ խորանարդով, որոնք հեռանկարում նման կլինեն բավականին բարդ կերպարի: Այն մասը, որը մնացել է «մեր» տարածության մեջ, գծված է հոծ գծերով, իսկ այն մասը, որը մտել է հիպերտարածություն՝ գծված կետավոր գծերով: Քառաչափ հիպերխորանարդն ինքնին բաղկացած է անսահման թվով խորանարդներից, ինչպես եռաչափ խորանարդը կարելի է «կտրել» անսահման թվով հարթ քառակուսիների:

Կանխատեսումներ

Դեպի երկչափ տարածություն

Թեսերակտի պրոյեկցիան եռաչափ տարածության վրա բաղկացած է երկու բնադրված եռաչափ խորանարդներից, որոնց համապատասխան գագաթները միացված են հատվածներով։ Ներքին և արտաքին խորանարդները եռաչափ տարածության մեջ ունեն տարբեր չափեր, իսկ քառաչափ տարածության մեջ դրանք հավասար խորանարդներ են։ Բոլոր թեսերակտի խորանարդների հավասարությունը հասկանալու համար ստեղծվեց պտտվող թեսերակտի մոդել:

Թեսերակտի եզրերի երկայնքով կտրված վեց բուրգերը հավասար վեց խորանարդի պատկերներ են:
Ստերեո զույգ

Թեսերակտը արվեստում

Էդվինա Ա.-ի «Նոր Էբոթի հարթավայրում» հիպերկուբը հանդես է գալիս որպես պատմող։
«Ջիմի Նեյտրոնի արկածները» սերիալի մեկ դրվագում՝ «Տղայի հանճարը», Ջիմին հորինում է քառաչափ հիպերխորանարդ, որը նույնական է Հայնլայնի 1963 թվականի «Փառքի ճանապարհ» վեպի ծալքարկղին:
Ռոբերտ Է. Հայնլայնը հիպերխորանարդների մասին հիշատակել է առնվազն երեք գիտաֆանտաստիկ պատմություններում: Չորս չափերի տուն (The House That Teal Built) (1940) աշխատության մեջ նա նկարագրել է մի տուն, որը կառուցվել է չփաթաթված թեսերակտի նման։
Հայնլայնի «Փառքի ճանապարհ» վեպը նկարագրում է հիպեր չափի ուտեստներ, որոնք ներսից ավելի մեծ էին, քան դրսից։
Հենրի Կուտների «Mimsy Were the Borogoves» պատմվածքը նկարագրում է հեռավոր ապագայի երեխաների համար նախատեսված կրթական խաղալիք, որն իր կառուցվածքով նման է թեսերակտի:
Ալեքս Գարլանդի (1999) վեպում «տեսերակտ» տերմինն օգտագործվում է քառաչափ հիպերխորանարդի եռաչափ բացման համար, այլ ոչ թե հենց հիպերկուբի։ Սա փոխաբերություն է, որը նախատեսված է ցույց տալու, որ ճանաչողական համակարգը պետք է ավելի լայն լինի, քան իմանալը:
Cube 2-ի սյուժեն. Hypercube-ը կենտրոնանում է ութ անծանոթների վրա, որոնք թակարդված են «հիպերխորանարդի» կամ միացված խորանարդների ցանցում:
Անդրոմեդա հեռուստասերիալում որպես սյուժեի սարք օգտագործվում են թեսերակտի գեներատորներ: Դրանք հիմնականում նախատեսված են տարածությունը և ժամանակը շահարկելու համար:
Սալվադոր Դալիի «Խաչելությունը» (Corpus Hypercubus) նկարը (1954)
Nextwave կոմիքսը պատկերում է տրանսպորտային միջոց, որը ներառում է 5 թեսերակտ գոտի:
Voivod Nothingface ալբոմում ստեղծագործություններից մեկը կոչվում է «Իմ հիպերկուբում»։
Էնթոնի Փիրսի Route Cube վեպում Միջազգային զարգացման ասոցիացիայի ուղեծրով պտտվող արբանյակներից մեկը կոչվում է թեսերակտ, որը սեղմվել է 3 հարթության մեջ:
«Դպրոց» շարքում Սեւ անցք«» երրորդ սեզոնում կա «Տեսերակտ» դրվագը։ Լուկասը սեղմում է գաղտնի կոճակը, և դպրոցը սկսում է ձևավորվել մաթեմատիկական թեսերակտի պես:
«Tesseract» տերմինը և դրա ածանցյալ «tesserate» տերմինը հանդիպում են Մադլեն Լ'Էնգլի «Ժամանակի կնճիռ» պատմվածքում:

Մարդու ուղեղի էվոլյուցիան տեղի է ունեցել եռաչափ տարածության մեջ։ Հետևաբար, մեզ համար դժվար է պատկերացնել երեքից մեծ չափսերով տարածքներ։ Իրականում մարդու ուղեղը չի կարող պատկերացնել երեքից մեծ չափսերով երկրաչափական առարկաներ։ Եվ միևնույն ժամանակ մենք հեշտությամբ կարող ենք պատկերացնել երկրաչափական առարկաներ ոչ միայն երեք, այլև երկու և մեկ չափսերով։

Տարբերությունն ու անալոգիան միաչափ և երկչափ տարածությունների միջև, ինչպես նաև երկչափ և եռաչափ տարածությունների տարբերությունն ու անալոգիան թույլ են տալիս մեզ մի փոքր բացել առեղծվածի էկրանը, որը մեզ պատում է ավելի բարձր չափերի տարածություններից: Հասկանալու համար, թե ինչպես է օգտագործվում այս անալոգիան, դիտարկենք մի շատ պարզ քառաչափ օբյեկտ՝ հիպերխորանարդ, այսինքն՝ քառաչափ խորանարդ: Կոնկրետ լինելու համար ասենք, որ ուզում ենք լուծել կոնկրետ խնդիր, այն է՝ հաշվել քառաչափ խորանարդի քառակուսի երեսների քանակը։ Հետագա բոլոր նկատառումները կլինեն շատ թույլ, առանց որևէ ապացույցի, զուտ անալոգիայով:

Հասկանալու համար, թե ինչպես է հիպերխորանարդը կառուցվում կանոնավոր խորանարդից, նախ պետք է նայել, թե ինչպես է կանոնավոր քառակուսուց կառուցված սովորական խորանարդը: Այս նյութի ներկայացման ինքնատիպության համար մենք այստեղ սովորական քառակուսին կանվանենք SubCube (և չենք շփոթի այն succubus-ի հետ):

Ենթախորանարդից խորանարդ կառուցելու համար անհրաժեշտ է ենթակուբը երկարացնել ուղղությամբ հարթությանը ուղղահայաց subcube երրորդ հարթության ուղղությամբ: Այս դեպքում սկզբնական ենթախորանարդի յուրաքանչյուր կողմից կաճի ենթախորան, որը խորանարդի կողային երկչափ երեսն է, որը կսահմանափակի խորանարդի եռաչափ ծավալը չորս կողմից՝ երկու ուղղահայաց յուրաքանչյուր ուղղության վրա։ ենթակուբի հարթությունը. Իսկ նոր երրորդ առանցքի երկայնքով կան նաև երկու ենթախորաններ, որոնք սահմանափակում են խորանարդի եռաչափ ծավալը։ Սա այն երկչափ երեսն է, որտեղ ի սկզբանե գտնվում էր մեր ենթախորանարդը, և խորանարդի այն երկչափ երեսը, որտեղ խորանարդը հայտնվեց խորանարդի կառուցման վերջում:

Այն, ինչ դուք հենց նոր կարդացիք, ներկայացված է չափազանց մանրամասն և բազում պարզաբանումներով։ Եվ լավ պատճառով: Այժմ մենք կանենք այս հնարքը, նախորդ տեքստի որոշ բառեր կփոխարինենք պաշտոնապես այս կերպ.
խորանարդ -> հիպերխորանարդ
subcube -> խորանարդ
հարթություն -> ծավալ
երրորդ -> չորրորդ
երկչափ -> եռաչափ
չորս -> վեց
եռաչափ -> քառաչափ
երկու -> երեք
ինքնաթիռ -> տարածություն

Արդյունքում մենք ստանում ենք հետևյալ իմաստալից տեքստը, որն այլևս չափազանց մանրամասն չի թվում.

Խորանարդից հիպերխորանարդ կառուցելու համար հարկավոր է ձգել խորանարդը չորրորդ հարթության ուղղությամբ խորանարդի ծավալին ուղղահայաց ուղղությամբ: Այս դեպքում սկզբնական խորանարդի յուրաքանչյուր կողմից կաճի խորանարդ, որը հիպերխորանարդի կողային եռաչափ երեսն է, որը կսահմանափակի հիպերխորանարդի քառաչափ ծավալը վեց կողմից՝ երեք ուղղահայաց յուրաքանչյուր ուղղության վրա։ խորանարդի տարածությունը: Իսկ նոր չորրորդ առանցքի երկայնքով կան նաև երկու խորանարդներ, որոնք սահմանափակում են հիպերխորանարդի քառաչափ ծավալը։ Սա այն եռաչափ երեսն է, որտեղ ի սկզբանե գտնվում էր մեր խորանարդը, և հիպերկուբի այն եռաչափ երեսը, որտեղ խորանարդը եկավ հիպերխորանարդի կառուցման վերջում:

Ինչո՞ւ ենք մենք այդքան վստահ, որ ստացել ենք հիպերխորանարդի կառուցման ճիշտ նկարագրությունը: Այո, քանի որ բառերի ճիշտ նույն ձևական փոխարինմամբ մենք քառակուսի կառուցման նկարագրությունից ստանում ենք խորանարդի կառուցման նկարագրություն: (Ստուգեք այն ինքներդ:)

Այժմ պարզ է, որ եթե մեկ այլ եռաչափ խորանարդ պետք է աճի խորանարդի յուրաքանչյուր կողմից, ապա սկզբնական խորանարդի յուրաքանչյուր եզրից պետք է աճի դեմք։ Ընդհանուր առմամբ, խորանարդն ունի 12 եզր, ինչը նշանակում է, որ լրացուցիչ 12 նոր դեմքեր (ենթախորանարդիկ) կհայտնվեն այդ 6 խորանարդների վրա, որոնք սահմանափակում են քառաչափ ծավալը եռաչափ տարածության երեք առանցքների երկայնքով: Եվ մնացել է ևս երկու խորանարդ, որոնք սահմանափակում են այս քառաչափ ծավալը ներքևից և վերևից չորրորդ առանցքի երկայնքով: Այս խորանարդներից յուրաքանչյուրն ունի 6 դեմք։

Ընդհանուր առմամբ, մենք գտնում ենք, որ հիպերխորանարդն ունի 12+6+6=24 քառակուսի երես:

Հետևյալ նկարը ցույց է տալիս հիպերխորանարդի տրամաբանական կառուցվածքը։ Սա նման է հիպերկուբի պրոյեկցիայի եռաչափ տարածության վրա: Սա արտադրում է կողերի եռաչափ շրջանակ: Նկարում, բնականաբար, տեսնում եք այս շրջանակի պրոյեկցիան հարթության վրա:

Այս շրջանակի վրա ներքին խորանարդը նման է սկզբնական խորանարդին, որից սկսվել է շինարարությունը և որը ներքևից սահմանափակում է հիպերխորանարդի քառաչափ ծավալը չորրորդ առանցքի երկայնքով: Մենք ձգում ենք այս սկզբնական խորանարդը դեպի վեր՝ չափման չորրորդ առանցքի երկայնքով և այն անցնում է արտաքին խորանարդի մեջ։ Այսպիսով, այս նկարի արտաքին և ներքին խորանարդները սահմանափակում են հիպերխորանարդը չափման չորրորդ առանցքի երկայնքով:

Եվ այս երկու խորանարդների միջև դուք կարող եք տեսնել ևս 6 նոր խորանարդներ, որոնք առաջին երկուսի հետ շոշափում են ընդհանուր դեմքեր։ Այս վեց խորանարդները կապեցին մեր հիպերխորանարդը եռաչափ տարածության երեք առանցքների երկայնքով: Ինչպես տեսնում եք, նրանք ոչ միայն շփվում են առաջին երկու խորանարդների հետ, որոնք ներքին և արտաքին խորանարդներն են այս եռաչափ շրջանակի վրա, այլ նաև շփվում են միմյանց հետ:

Դուք կարող եք ուղղակիորեն հաշվել նկարում և համոզվել, որ հիպերխորանարդն իսկապես ունի 24 դեմք: Բայց այս հարցն է առաջանում. Այս հիպերխորանարդային շրջանակը եռաչափ տարածության մեջ լցված է ութ եռաչափ խորանարդներով՝ առանց բացերի: Հիպերխորանարդի այս եռաչափ պրոյեկցիայից իրական հիպերխորանարդ պատրաստելու համար հարկավոր է այս շրջանակը շրջել ներսից այնպես, որ բոլոր 8 խորանարդները կապեն 4 ծավալային ծավալ:

Դա արվում է այսպես. Հրավիրում ենք քառաչափ տարածության մի բնակչի այցելել մեզ և խնդրել նրան օգնել մեզ: Նա բռնում է այս շրջանակի ներքին խորանարդը և այն տեղափոխում չորրորդ հարթության ուղղությամբ, որն ուղղահայաց է մեր եռաչափ տարածությանը: Մեր եռաչափ տարածության մեջ մենք այն ընկալում ենք այնպես, կարծես ամբողջ ներքին շրջանակն անհետացել է, և մնացել է միայն արտաքին խորանարդի շրջանակը:

Ավելին, մեր քառաչափ օգնականն իր օգնությունն է առաջարկում ծննդատներում՝ ցավազուրկ ծննդաբերության համար, բայց մեր հղիներին վախեցնում է այն հեռանկարը, որ երեխան պարզապես կվերանա ստամոքսից և կհայտնվի զուգահեռ եռաչափ տարածության մեջ։ Ուստի քառաչափ մարդուց քաղաքավարի կերպով մերժում են։

Եվ մեզ տարակուսում է այն հարցը, թե արդյոք մեր խորանարդներից մի քանիսը բաժանվեցին, երբ մենք հիպերխորանարդի շրջանակը շրջեցինք ներսից: Ի վերջո, եթե հիպերխորանարդը շրջապատող որոշ եռաչափ խորանարդներ դեմքով դիպչեն շրջանակի իրենց հարևաններին, արդյոք նրանք նույնպես կդիպչեն այս նույն դեմքերին, եթե քառաչափ խորանարդը շրջանակը շրջի ներսից դուրս:

Եկեք նորից անդրադառնանք ավելի ցածր չափերի տարածությունների համեմատությանը: Համեմատե՛ք հիպերխորանարդի շրջանակի պատկերը եռաչափ խորանարդի պրոյեկցիայի հետ հետևյալ նկարում ցուցադրված հարթության վրա։

Երկչափ տարածության բնակիչները հարթության վրա մի շրջանակ կառուցեցին՝ հարթության վրա խորանարդի ելքի համար և հրավիրեցին մեզ՝ եռաչափ բնակիչներիս, այս շրջանակը շրջել ներսից: Վերցնում ենք ներքին քառակուսու չորս գագաթները և դրանք տեղափոխում հարթությանը ուղղահայաց։ Երկչափ բնակիչները տեսնում են ամբողջ ներքին շրջանակի ամբողջական անհետացումը, և նրանց մնում է միայն արտաքին հրապարակի շրջանակը: Նման գործողությամբ բոլոր քառակուսիները, որոնք շփվում էին իրենց եզրերի հետ, շարունակում են շոշափվել նույն եզրերով։

Հետևաբար, հուսով ենք, որ հիպերխորանարդի տրամաբանական սխեման նույնպես չի խախտվի հիպերխորանարդի շրջանակը ներսից դուրս պտտելիս, և հիպերխորանարդի քառակուսի երեսների թիվը չի ավելանա և դեռ կհավասարվի 24-ի։ Սա, իհարկե։ , ամենևին էլ ապացույց չէ, այլ զուտ անալոգիայով ենթադրություն։

Այն ամենից հետո, ինչ կարդացել եք այստեղ, կարող եք հեշտությամբ գծել հնգչափ խորանարդի տրամաբանական շրջանակը և հաշվարկել նրա գագաթների, եզրերի, դեմքերի, խորանարդների և հիպերխորանարդների քանակը: Դա ամենևին էլ դժվար չէ։