Գովազդ պորտալում

Հաշվիչ երեք թվերի հանգույցներ: Երեք և ավելի թվերի հանգույցներ գտնելը: Հաշվիչ՝ GCD և NOC գտնելու համար

Կոչվում է նաև այն դիվիդենտը, որը բաժանվում է տվյալ բաժանարարի վրա առանց մնացորդի բազմակի. Օրինակ՝ 48-ը 8-ի բազմապատիկն է, 48-ը՝ բազմապատիկ, իսկ 8-ը՝ բաժանարար:

Թիվը կարող է լինել ոչ թե մեկ, այլ միանգամից մի քանի թվի բազմապատիկ, այդպիսի թիվը կոչվում է ընդհանուր բազմապատիկ. Օրինակ՝ 77 թիվը թվերի ընդհանուր բազմապատիկն է՝ 1, 7, 11, 77։

Մեկ այլ օրինակ. 3 թիվը 12-ի, 15-ի, 24-ի, 27-ի, 30-ի և այլնի բազմապատիկն է: 5-ը 10-ի, 15-ի, 25-ի, 30-ի, 35-ի և այլնի բազմապատիկն է: .

Մի քանի թվերի ընդհանուր բազմապատիկ գտնելը բավականին պարզ է, դուք կարող եք պարզապես բազմապատկել այս թվերը, արդյունքում այդ թվերի արտադրյալը կլինի նրանց ընդհանուր բազմապատիկը։

ՀԱՕԿ

Տրված թվերի բոլոր ընդհանուր բազմապատիկներից առանձնահատուկ հետաքրքրություն է ներկայացնում ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկըՄի քանի տրված թվերի (կրճատ LCM) այն ամենափոքր թիվն է, որը հավասարապես բաժանվում է տրված թվերից յուրաքանչյուրի վրա։

Օրինակ՝ երեք թվերի համար՝ 3, 5 և 12, ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 60 թիվն է, քանի որ 60-ից փոքր ոչ մի թիվ ամբողջությամբ չի բաժանվում 3-ի, 5-ի և 12-ի:

Սովորաբար ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գրվում է այսպես. LCM ( ա, բ, ...) = x.

Ըստ այդմ՝ գրում ենք 3, 5 և 12 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը.

LCM (3, 5, 12) = 60:

NOC հաշվիչ

Այս հաշվիչը կօգնի ձեզ գտնել թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը: Պարզապես մուտքագրեք բացատներով կամ ստորակետերով բաժանված թվերը և սեղմեք Հաշվել LCM կոճակը:

Եկեք խնդիրը լուծենք։ Մենք ունենք երկու տեսակի թխուկներ։ Ոմանք շոկոլադե են, իսկ որոշները՝ պարզ: Շոկոլադի 48 կտոր կա, իսկ պարզը՝ 36։ Այս թխվածքաբլիթներից անհրաժեշտ է հնարավորինս նվերներ պատրաստել, և բոլորն օգտագործել։

Նախ, եկեք գրենք այս երկու թվերից յուրաքանչյուրի բոլոր բաժանարարները, քանի որ այս երկու թվերն էլ պետք է բաժանվեն նվերների թվի վրա։

Մենք ստանում ենք

  • 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
  • 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Բաժանարարների մեջ գտնենք այն ընդհանուրները, որոնք ունեն և՛ առաջին, և՛ երկրորդ թիվը։

Ընդհանուր բաժանարարները կլինեն՝ 1, 2, 3, 4, 6, 12:

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 12-ն է։ Այս թիվը կոչվում է 36-ի և 48-ի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը։

Ելնելով արդյունքից՝ կարող ենք եզրակացնել, որ բոլոր թխվածքաբլիթներից կարելի է պատրաստել 12 նվեր։ Նման նվերներից մեկը կպարունակի 4 շոկոլադե թխվածքաբլիթ և 3 սովորական թխվածքաբլիթ։

Գտնել ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը

  • Ամենամեծ բնական թիվը, որով երկու a և b թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի, կոչվում է այդ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար։

Երբեմն մուտքը կրճատելու համար օգտագործվում է GCD հապավումը:

Թվերի որոշ զույգերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը մեկն է: Նման թվերը կոչվում են համապարփակ թվեր.Օրինակ՝ 24 և 35 համարները: Ունեն GCD =1:

Ինչպես գտնել ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու համար անհրաժեշտ չէ դուրս գրել այս թվերի բոլոր բաժանարարները։

Դուք կարող եք այլ կերպ վարվել: Նախ, երկու թվերը դասավորեք պարզ գործակիցների մեջ:

  • 48 = 2*2*2*2*3,
  • 36 = 2*2*3*3.

Այժմ, այն գործոններից, որոնք ներառված են առաջին թվի ընդլայնման մեջ, մենք ջնջում ենք բոլոր նրանք, որոնք ներառված չեն երկրորդ թվի ընդլայնման մեջ։ Մեր դեպքում դրանք երկու դյութ են:

  • 48 = 2*2*2*2*3 ,
  • 36 = 2*2*3 *3.

Մնում են 2, 2 և 3 գործակիցները: Նրանց արտադրյալը 12 է: Այս թիվը կլինի 48 և 36 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը:

Այս կանոնը կարող է տարածվել երեքի, չորսի և այլնի դեպքում։ թվեր։

Մեծագույն ընդհանուր բաժանարարը գտնելու ընդհանուր սխեման

  • 1. Թվերը տարրալուծիր պարզ գործակիցների:
  • 2. Այս թվերից մեկի ընդլայնման մեջ ներառված գործոններից ջնջիր նրանք, որոնք ներառված չեն այլ թվերի ընդլայնման մեջ:
  • 3. Հաշվի՛ր մնացած գործոնների արտադրյալը:

Առցանց հաշվիչը թույլ է տալիս արագ գտնել երկու կամ ցանկացած այլ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը և ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Հաշվիչ՝ GCD և NOC գտնելու համար

Գտեք GCD և NOC

GCD-ն և NOC-ը գտնվել են՝ 12197

Ինչպես օգտագործել հաշվիչը

  • Մուտքագրեք թվեր մուտքագրման դաշտում
  • Սխալ նիշերի մուտքագրման դեպքում մուտքագրման դաշտը կնշվի կարմիրով
  • սեղմեք «Գտեք GCD և NOC» կոճակը

Ինչպես մուտքագրել թվեր

  • Թվերը մուտքագրվում են բաժանված բացատներով, կետերով կամ ստորակետերով
  • Մուտքագրված թվերի երկարությունը սահմանափակված չէ, ուստի երկար թվերի gcd և lcm գտնելը դժվար չի լինի

Ի՞նչ է NOD-ը և NOK-ը:

Մեծագույն ընդհանուր բաժանարարմի քանի թվերից ամենամեծ բնական ամբողջ թիվն է, որով բոլոր սկզբնական թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի: Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը կրճատվում է որպես GCD.
Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկըմի քանի թվեր այն ամենափոքր թիվն է, որը բաժանվում է սկզբնական թվերից յուրաքանչյուրի վրա՝ առանց մնացորդի: Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կրճատվում է որպես ՀԱՕԿ.

Ինչպե՞ս ստուգել, ​​թե արդյոք թիվը բաժանվում է մեկ այլ թվի առանց մնացորդի:

Պարզելու համար, թե արդյոք մի թիվը բաժանվում է մյուսի վրա առանց մնացորդի, կարող եք օգտագործել թվերի բաժանելիության որոշ հատկություններ։ Այնուհետև դրանք համադրելով կարելի է ստուգել դրանցից մի քանիսի բաժանելիությունը և դրանց համակցությունները։

Թվերի բաժանելիության որոշ նշաններ

1. Թվի 2-ի բաժանելիության նշան
Որոշելու համար, թե արդյոք թիվը բաժանվում է երկուսի (լինի այն զույգ), բավական է նայել այս թվի վերջին թվանշանին. եթե այն հավասար է 0-ի, 2-ի, 4-ի, 6-ի կամ 8-ի, ապա թիվը զույգ է. ինչը նշանակում է, որ այն բաժանվում է 2-ի:
Օրինակ:որոշեք, թե արդյոք 34938 թիվը բաժանվում է 2-ի։
Լուծում:նայեք վերջին թվանշանին. 8 նշանակում է, որ թիվը բաժանվում է երկուսի:

2. Թվի 3-ի բաժանելիության նշան
Թիվը բաժանվում է 3-ի, երբ նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 3-ի։ Այսպիսով, որոշելու համար, թե արդյոք թիվը բաժանվում է 3-ի, պետք է հաշվարկել թվանշանների գումարը և ստուգել, ​​թե արդյոք այն բաժանվում է 3-ի: Նույնիսկ եթե թվանշանների գումարը շատ մեծ է, կարող եք կրկնել նույն գործընթացը: կրկին.
Օրինակ:որոշեք, թե արդյոք 34938 թիվը բաժանվում է 3-ի։
Լուծում:հաշվում ենք թվանշանների գումարը՝ 3+4+9+3+8 = 27։ 27-ը բաժանվում է 3-ի, ինչը նշանակում է, որ թիվը բաժանվում է երեքի։

3. Թվի 5-ի բաժանելիության նշան
Թիվը բաժանվում է 5-ի, երբ նրա վերջին թվանշանը զրո կամ հինգ է։
Օրինակ:որոշեք, թե արդյոք 34938 թիվը բաժանվում է 5-ի։
Լուծում:նայեք վերջին թվանշանին. 8 նշանակում է, որ թիվը ՉԻ բաժանվում հինգի:

4. Թվի 9-ի բաժանելիության նշան
Այս նշանը շատ նման է երեքի բաժանելիության նշանին. թիվը բաժանվում է 9-ի, երբ նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 9-ի։
Օրինակ:որոշեք, թե արդյոք 34938 թիվը բաժանվում է 9-ի։
Լուծում:հաշվում ենք թվանշանների գումարը՝ 3+4+9+3+8 = 27։ 27-ը բաժանվում է 9-ի, ինչը նշանակում է, որ թիվը բաժանվում է իննի։

Ինչպես գտնել երկու թվերի GCD և LCM

Ինչպես գտնել երկու թվերի GCD-ն

Երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը հաշվարկելու ամենապարզ ձևը այս թվերի բոլոր հնարավոր բաժանարարները գտնելն է և դրանցից ամենամեծը ընտրելը:

Դիտարկենք այս մեթոդը՝ օգտագործելով GCD(28, 36) գտնելու օրինակը.

  1. Մենք գործոնացնում ենք երկու թվերը՝ 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
  2. Մենք գտնում ենք ընդհանուր գործոններ, այսինքն՝ նրանք, որոնք ունեն երկու թվերն էլ՝ 1, 2 և 2։
  3. Մենք հաշվարկում ենք այս գործոնների արտադրյալը՝ 1 2 2 \u003d 4 - սա 28 և 36 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է:

Ինչպես գտնել երկու թվերի LCM

Երկու թվերի ամենափոքր բազմապատիկը գտնելու երկու ամենատարածված եղանակ կա: Առաջին ճանապարհն այն է, որ դուք կարող եք դուրս գրել երկու թվերի առաջին բազմապատիկները, ապա դրանցից ընտրել այնպիսի թիվ, որը կլինի ընդհանուր երկու թվերի համար և միևնույն ժամանակ ամենափոքրը: Եվ երկրորդը՝ գտնել այս թվերի GCD-ն: Եկեք պարզապես դիտարկենք այն:

LCM-ը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել սկզբնական թվերի արտադրյալը և այն բաժանել նախկինում գտնված GCD-ի վրա: Եկեք գտնենք LCM-ն նույն 28 և 36 թվերի համար.

  1. Գտե՛ք 28 և 36 թվերի արտադրյալը՝ 28 36 = 1008
  2. gcd(28, 36) արդեն հայտնի է, որ 4 է
  3. LCM (28, 36) = 1008 / 4 = 252:

Գտնելով GCD և LCM բազմաթիվ թվերի համար

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը կարելի է գտնել մի քանի թվերի համար, և ոչ միայն երկուսի համար: Դրա համար ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի համար գտնելիք թվերը տարրալուծվում են պարզ գործակիցների, այնուհետև գտնվում է այդ թվերի ընդհանուր պարզ գործակիցների արտադրյալը: Նաև մի քանի թվերի GCD-ն գտնելու համար կարող եք օգտագործել հետևյալ կապը. gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Նման հարաբերությունը վերաբերում է նաև թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին. LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Օրինակ:Գտեք GCD և LCM 12, 32 և 36 համարների համար:

  1. Նախ, եկեք գործոնացնենք թվերը՝ 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 :
  2. Գտնենք ընդհանուր գործոններ՝ 1, 2 և 2:
  3. Նրանց արտադրանքը կտա gcd՝ 1 2 2 = 4
  4. Հիմա եկեք գտնենք LCM-ը. դրա համար մենք նախ գտնում ենք LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96:
  5. Բոլոր երեք թվերի LCM-ը գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել GCD(96, 36). 96 = 1 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, GCD = 1 2. 2 3 = 12:
  6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288:

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը և ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հիմնական թվաբանական հասկացություններն են, որոնք թույլ են տալիս հեշտությամբ գործել սովորական կոտորակների հետ: LCM և առավել հաճախ օգտագործվում են մի քանի կոտորակների ընդհանուր հայտարարը գտնելու համար:

Հիմնական հասկացություններ

X ամբողջ թվի բաժանարարը մեկ այլ ամբողջ թիվ է, որով X-ը բաժանվում է առանց մնացորդի: Օրինակ, 4-ի բաժանարարը 2 է, իսկ 36-ը 4, 6, 9 է: X ամբողջ թվի բազմապատիկը Y թիվն է, որը բաժանվում է X-ի առանց մնացորդի: Օրինակ, 3-ը 15-ի բազմապատիկն է, իսկ 6-ը 12-ի բազմապատիկն է:

Ցանկացած զույգ թվերի համար մենք կարող ենք գտնել նրանց ընդհանուր բաժանարարներն ու բազմապատիկները: Օրինակ՝ 6-ի և 9-ի համար ընդհանուր բազմապատիկը 18 է, իսկ ընդհանուր բաժանարարը՝ 3: Ակնհայտ է, որ զույգերը կարող են ունենալ մի քանի բաժանարար և բազմապատիկ, ուստի հաշվարկներում օգտագործվում են GCD-ի ամենամեծ բաժանարարը և LCM-ի ամենափոքր բազմապատիկը: .

Ամենափոքր բաժանարարը իմաստ չունի, քանի որ ցանկացած թվի համար այն միշտ մեկ է: Ամենամեծ բազմապատիկը նույնպես անիմաստ է, քանի որ բազմապատիկների հաջորդականությունը հակված է դեպի անսահմանություն։

Գտնելով GCD

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու բազմաթիվ մեթոդներ կան, որոնցից ամենահայտնիներն են.

  • բաժանարարների հաջորդական թվարկում, զույգի համար ընդհանուրների ընտրություն և դրանցից ամենամեծի որոնում.
  • թվերի տարրալուծում անբաժանելի գործոնների.
  • Էվկլիդեսի ալգորիթմ;
  • երկուական ալգորիթմ.

Այսօր ուսումնական հաստատություններում պարզ գործոնների տարրալուծման ամենատարածված մեթոդները և Էվկլիդյան ալգորիթմը: Վերջինս, իր հերթին, օգտագործվում է Դիոֆանտինի հավասարումների լուծման ժամանակ. GCD-ի որոնումը պահանջվում է ստուգելու հավասարումը այն ամբողջ թվերով լուծելու հնարավորության համար։

Գտնելով ՀԱՕԿ-ը

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը նույնպես ճշգրտորեն որոշվում է կրկնվող թվարկումով կամ անբաժանելի գործակիցների վերածելով: Բացի այդ, հեշտ է գտնել LCM-ն, եթե ամենամեծ բաժանարարն արդեն որոշված ​​է: X և Y թվերի համար LCM-ն և GCD-ն կապված են հետևյալ հարաբերությամբ.

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y):

Օրինակ, եթե gcd(15,18) = 3, ապա LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90: LCM-ի առավել ակնհայտ օգտագործումը ընդհանուր հայտարարը գտնելն է, որը նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկն է: տրված կոտորակները.

Համապարփակ թվեր

Եթե ​​թվերի զույգը չունի ընդհանուր բաժանարարներ, ապա այդպիսի զույգը կոչվում է համապարփակ: Այսպիսի զույգերի համար GCM-ը միշտ հավասար է մեկին, իսկ բաժանարարների և բազմապատիկների միացման հիման վրա համապրիմի համար GCM-ը հավասար է նրանց արտադրյալին։ Օրինակ՝ 25 և 28 թվերը համապարփակ են, քանի որ չունեն ընդհանուր բաժանարարներ, և LCM(25, 28) = 700, որը համապատասխանում է նրանց արտադրյալին։ Ցանկացած երկու անբաժանելի թվեր միշտ կլինեն համապարփակ:

Ընդհանուր բաժանարար և բազմակի հաշվիչ

Մեր հաշվիչի միջոցով դուք կարող եք հաշվարկել GCD-ն և LCM-ն ընտրելու ցանկացած թվի համար: Ընդհանուր բաժանարարների և բազմապատիկների հաշվարկման առաջադրանքները հայտնաբերված են 5, 6 դասարանների թվաբանության մեջ, այնուամենայնիվ, GCD և LCM - հիմնական հասկացություններըմաթեմատիկա և օգտագործվում են թվերի տեսության, պլանաչափության և հաղորդակցական հանրահաշվում։

Իրական կյանքի օրինակներ

Կոտորակների ընդհանուր հայտարարը

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը օգտագործվում է մի քանի կոտորակի ընդհանուր հայտարարը գտնելիս: Ենթադրենք, թվաբանական խնդիրում պահանջվում է գումարել 5 կոտորակ.

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Կոտորակներ ավելացնելու համար արտահայտությունը պետք է կրճատվի ընդհանուր հայտարարի, ինչը նվազեցնում է LCM-ն գտնելու խնդիրը: Դա անելու համար հաշվիչում ընտրեք 5 թիվ և համապատասխան բջիջներում մուտքագրեք հայտարարի արժեքները: Ծրագիրը հաշվարկելու է LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360: Այժմ դուք պետք է հաշվարկեք լրացուցիչ գործակիցներ յուրաքանչյուր կոտորակի համար, որոնք սահմանվում են որպես LCM-ի և հայտարարի հարաբերակցությունը: Այսպիսով, լրացուցիչ բազմապատկիչները նման կլինեն.

  • 360/8 = 45
  • 360/9 = 40
  • 360/12 = 30
  • 360/15 = 24
  • 360/18 = 20.

Դրանից հետո բոլոր կոտորակները բազմապատկում ենք համապատասխան լրացուցիչ գործակցով և ստանում.

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Մենք հեշտությամբ կարող ենք նման կոտորակներ ավելացնել և արդյունքը ստանալ 159/360-ի տեսքով։ Կոտորակը փոքրացնում ենք 3-ով և տեսնում վերջնական պատասխանը՝ 53/120։

Գծային դիոֆանտին հավասարումների լուծում

Գծային դիոֆանտին հավասարումները ax + by = d ձևի արտահայտություններ են: Եթե ​​d / gcd(a, b) հարաբերակցությունը ամբողջ թիվ է, ապա հավասարումը լուծելի է ամբողջ թվերով: Եկեք ստուգենք մի քանի հավասարումներ ամբողջ թվի լուծման հնարավորության համար: Նախ ստուգեք 150x + 8y = 37 հավասարումը: Հաշվիչի օգնությամբ մենք գտնում ենք gcd (150.8) = 2. Բաժանել 37/2 = 18.5: Թիվն ամբողջ թիվ չէ, հետևաբար, հավասարումը չունի ամբողջ արմատներ։

Եկեք ստուգենք 1320x + 1760y = 10120 հավասարումը: Օգտագործեք հաշվիչը՝ գտնելու gcd(1320, 1760) = 440: Բաժանեք 10120/440 = 23: Արդյունքում մենք ստանում ենք ամբողջ թիվ, հետևաբար, Դիոֆանտինի համարժեք հավասարումը: .

Եզրակացություն

GCD-ն և LCM-ը կարևոր դեր են խաղում թվերի տեսության մեջ, և հասկացություններն իրենք լայնորեն օգտագործվում են մաթեմատիկայի տարբեր ոլորտներում: Օգտագործեք մեր հաշվիչը ցանկացած թվի ամենամեծ բաժանարարներն ու ամենափոքր բազմապատիկները հաշվարկելու համար:

ընդհանուր բաժանարարմի քանի թվերից այն թիվն է, որով տրված թվերից յուրաքանչյուրը բաժանվում է։ Օրինակ՝ տրված է երկու թիվ՝ 6 և 9։ 6 թիվը ունի 1, 2, 3, 6 բաժանարարներ։ 9 թիվը ունի 1, 3, 9 բաժանարարներ։ Տեսնում ենք, որ 6 և 9 թվերն ունեն 1 և 3 ընդհանուր բաժանարարներ։

Մեծագույն ընդհանուր բաժանարար(կրճատ՝ GCD) մի քանի թվերից, նրանք անվանում են ընդհանուր բաժանարարներից ամենամեծը, որոնցով այս թվերից յուրաքանչյուրը բաժանվում է առանց մնացորդի։

Այսպիսով, 6-ի և 9-ի բոլոր ընդհանուր բաժանարարներից ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 3-ն է։

Սովորաբար ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գրվում է այսպես՝ gcd ( ա, բ, ...) = x.

Ըստ այդմ՝ 6 և 9 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գրում ենք.

gcd(6, 9) = 3:

Այն թվերը, որոնց gcd-ն հավասար է մեկին, կոչվում են համապարփակ թվեր. Օրինակ՝ 14 և 15 թվերը համեմատաբար պարզ են՝ gcd(14, 15) = 1։

GCD հաշվիչ

Այս հաշվիչը կօգնի ձեզ գտնել թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը: Պարզապես մուտքագրեք թվեր, որոնք բաժանված են բացատներով կամ ստորակետերով և սեղմեք Հաշվել GCD կոճակը: