Ուժերի կամայական տարածական համակարգ կենտրոն բերելու հատուկ դեպքեր. Ուժերի համակարգը իր ամենապարզ ձևին բերել զուգահեռ ուժերի կենտրոն

Եթե ​​ուժերի տարածական համակարգը ընտրված O կենտրոն բերելուց հետո հիմնական վեկտորը և հիմնական մոմենտը հավասար են զրոյի, այսինքն.

Ուժերի համակարգը հավասարակշռված է. Ուժերի նման համակարգի ազդեցության տակ պինդ մարմինը կլինի հավասարակշռության մեջ։ Ակնհայտ է, որ ընդհանուր դեպքում երկու վեկտորային հավասարումներ (4.1) համապատասխանում են վեց սկալյար հավասարումների, որոնք արտացոլում են ընտրված կոորդինատային համակարգի առանցքների վրա այս վեկտորների կանխատեսումների հավասարությունը զրոյին (օրինակ, դեկարտյան):

Եթե ​​ուժերի տարածական համակարգը ընտրված O կենտրոն բերելուց հետո հիմնական վեկտորը հավասար է զրոյի, իսկ հիմնական մոմենտը հավասար չէ զրոյի, այսինքն.

Ստացված ուժերի զույգը գործում է մարմնի վրա՝ հակված պտտելու այն։ Նշենք, որ այս դեպքում կրճատման կենտրոնի ընտրությունը չի ազդում արդյունքի վրա։

Եթե ​​ուժերի տարածական համակարգը ընտրված O կենտրոն բերելուց հետո հիմնական վեկտորը հավասար չէ զրոյի, իսկ հիմնական մոմենտը հավասար է զրոյի, այսինքն.

Մարմնի վրա գործում է առաջացող ուժերի համակարգը, որն անցնում է կրճատման կենտրոնով և ձգտում է մարմինը շարժել իր գործողության գծով: Ակնհայտ է, որ հարաբերությունները (4.3.) վավեր են արդյունքի գործողության գծի բոլոր կետերի համար։

Նկատի ունեցեք, որ համընկնող ուժերի համակարգի գործողությունը կրճատվում է մինչև այս դեպքը, եթե որպես կրճատման կենտրոն ընդունվի համակարգի ուժերի գործողության գծերի հատման կետը (քանի որ այս կետի նկատմամբ ուժերի մոմենտները հավասար են. զրոյի):

Եթե ​​ուժերի տարածական համակարգը ընտրված O կենտրոն բերելուց հետո հիմնական վեկտորը և հիմնական մոմենտը հավասար չեն զրոյի, և դրանց ուղղությունները կազմում են ուղիղ անկյուն, այսինքն.

ապա ուժերի նման համակարգը կարող է նաև վերածվել արդյունքի, բայց անցնելով կրճատման մեկ այլ կենտրոնով՝ կետով: Այս գործողությունը կատարելու համար մենք նախ դիտարկում ենք Նկ. 4.2.b և նկ. 4.1. Ակնհայտ է, որ եթե մենք փոխում ենք նշումը (B կետը կոչվում է O կենտրոն, A կետը կոչվում է կենտրոն), ապա մեր առջև ծառացած խնդիրը պահանջում է ուժի զուգահեռ փոխանցման լեմմայում կատարվող գործողությունը հակադարձել: Հաշվի առնելով վերը նշվածը, կետը նախ պետք է տեղակայված լինի O կենտրոնով անցնող հիմնական պահի վեկտորին ուղղահայաց հարթության վրա, և երկրորդ՝ ընկած լինի հիմնական վեկտորի գործողության գծին զուգահեռ գծի վրա։ ուժերը և նրանից առանձնացված h հավասար հեռավորության վրա

Գտնված երկու տողերից դուք պետք է ընտրեք այն կետերը, որոնց կետերի համար հիմնական պահի վեկտորը հավասար է զրոյի (ուժերի հիմնական վեկտորի պահը նոր կենտրոնի նկատմամբ պետք է հավասար լինի մեծությամբ և հակառակ ուղղությամբ. Օ կետի նկատմամբ ուժերի համակարգի հիմնական պահը):

Ընդհանուր դեպքում ուժերի տարածական համակարգը ընտրված O կենտրոն բերելուց հետո հիմնական վեկտորը և հիմնական մոմենտը, որոնք անհավասար են զրոյի, միմյանց հետ ուղիղ անկյուն չեն կազմում (նկ. 4.5.ա)։

Եթե ​​հիմնական պահը տարրալուծվում է երկու բաղադրիչի` ուժերի հիմնական վեկտորի երկայնքով և դրան ուղղահայաց, ապա, համաձայն (4.5) կետի, կարելի է գտնել կրճատման կենտրոն, որի համար հիմնական պահի ուղղահայաց բաղադրիչը հավասար է զրոյի, իսկ հիմնական վեկտորի և հիմնական պահի առաջին բաղադրիչների մեծություններն ու ուղղությունները մնում են նույնը (նկ. 4.5.բ): Վեկտորների հավաքածուն կոչվում է հոսանքի պտուտակկամ դինամո.

Հետագա պարզեցում հնարավոր չէ։

Քանի որ կրճատման կենտրոնի նման փոփոխությամբ, միայն հիմնական պահի պրոյեկցիան փոխվում է ուժերի համակարգի հիմնական վեկտորին ուղղահայաց ուղղությամբ, այդ վեկտորների սկալյար արտադրյալի արժեքը մնում է անփոփոխ, այսինքն.

Այս արտահայտությունը կոչվում է երկրորդ անփոփոխ

ստատիկա.

Օրինակ 4.1. Կողմերով ուղղանկյուն զուգահեռականի գագաթները և դրանց վրա գործում են ուժեր և (տես նկ. 4.6): Նկարում որպես ուժային համակարգի կրճատման կենտրոն նշված դեկարտյան կոորդինատների համակարգի կոորդինատների սկզբնաղբյուրը գրեք հիմնական վեկտորի և հիմնական պահի կանխատեսումների արտահայտությունները:

Անկյունները որոշելու համար գրենք եռանկյունաչափական հարաբերություններ.

Այժմ մենք կարող ենք արտահայտություններ գրել համակարգի հիմնական վեկտորի և ուժերի հիմնական պահի կանխատեսումների համար.

Նշում. կոորդինատային առանցքների վրա վեկտորային կանխատեսումների իմացությունը թույլ կտա, անհրաժեշտության դեպքում, հաշվարկել դրա մեծությունը և ուղղության կոսինուսները:

Ուժերի հարթ համակարգը նույնպես կրճատվում է մի ուժի, որը հավասար է կամայականորեն ընտրված O կենտրոնում կիրառվող ուժին և պահ ունեցող զույգին:

այս դեպքում վեկտորը կարող է որոշվել կա՛մ երկրաչափական եղանակով՝ կառուցելով ուժային բազմանկյուն (տես կետ 4), կա՛մ անալիտիկ: Այսպիսով, ուժերի հարթ համակարգի համար

R x =F kx, R y =F ky,

որտեղ վերջին հավասարության բոլոր պահերը հանրահաշվական են, իսկ գումարը նույնպես հանրահաշվական է:

Եկեք պարզենք, թե որ ամենապարզ ձևով կարող է կրճատվել անհավասարակշռության մեջ գտնվող ուժերի հարթ համակարգ: Արդյունքը կախված է R և M O արժեքներից:

• 1. Եթե ուժերի տրված համակարգի համար R=0, a M O ?0, ապա այն կրճատվում է մեկ զույգի M O մոմենտի հետ, որի արժեքը կախված չէ O կենտրոնի ընտրությունից։
• 2. Եթե R?0 ուժերի տվյալ համակարգի համար, ապա այն կրճատվում է մեկ ուժի, այսինքն՝ արդյունքի: Այս դեպքում հնարավոր է երկու դեպք.
  • ա) R?0, M O =0. Այս դեպքում համակարգը, ինչպես անմիջապես ակնհայտ է, կրճատվում է մինչև O կենտրոնով անցնող արդյունք R;
  • բ) R?0, M O?0. Այս դեպքում M O մոմենտ ունեցող զույգը կարող է ներկայացվել երկու ուժերով R" և R"՝ վերցնելով R"=R, իսկ R"= - R: Ավելին, եթե d=OC զույգի թեւն է, ապա այն. պետք է լինի Rd=|M O |.

Մերժելով R և R» ուժերը որպես հավասարակշռված, մենք գտնում ենք, որ ուժերի ամբողջ համակարգը փոխարինվում է արդյունքով R» = R-ով, որն անցնում է C կետով: C կետի դիրքը որոշվում է երկու պայմանով. 1) OC հեռավորությունը. = d () պետք է բավարարի Rd = | 2) C կետում կիրառվող R» ուժի O կենտրոնի հետ կապված պահի նշանը, այսինքն՝ m O (R») նշանը պետք է համընկնի M O նշանի հետ։

Ուժերի համակարգի կենտրոն բերելը

Հարցեր

Դասախոսություն 6

3. Հավասարակշռության պայմաններ ուժերի կամայական համակարգի համար

1. Դիտարկենք ուժերի կամայական համակարգը: Եկեք ընտրենք կամայական կետ ՄԱՍԻՆԿրճատման կենտրոնի հետևում և, օգտագործելով ուժի զուգահեռ փոխանցման թեորեմը, մենք համակարգի բոլոր ուժերը տեղափոխում ենք տվյալ կետ՝ չմոռանալով յուրաքանչյուր ուժ փոխանցելիս ավելացնել հարակից զույգ ուժեր։

Ստացված համակցված ուժերի համակարգը փոխարինենք մեկ ուժով, որը հավասար է ուժերի սկզբնական համակարգի հիմնական վեկտորին: Փոխանցման ընթացքում ձևավորված ուժային զույգերի համակարգը կփոխարինվի մեկ զույգով՝ բոլոր ուժային զույգերի մոմենտների երկրաչափական գումարին հավասար մոմենտով (այսինքն՝ սկզբնական ուժային համակարգի մոմենտների երկրաչափական գումարը կենտրոնի նկատմամբ։ ՄԱՍԻՆ).

Այս պահը կոչվում է Ուժային համակարգի հիմնական պահը կենտրոնի նկատմամբ O (նկ. 1.30):

Բրինձ. 1.30 Ուժերի համակարգի կենտրոն բերելը

Այսպիսով, ուժերի ցանկացած համակարգ միշտ կարող է փոխարինվել ընդամենը երկու ուժային գործոնով. կամայականորեն ընտրված կրճատման կենտրոնի նկատմամբ հիմնական վեկտորը և հիմնական պահը . Ակնհայտ է, որ ուժային համակարգի հիմնական վեկտորը կախված չէ կրճատման կենտրոնի ընտրությունից (ասում են, որ հիմնական վեկտորը անփոփոխ է կրճատման կենտրոնի ընտրության նկատմամբ): Ակնհայտ է նաև, որ հիմնական պահը չունի այս հատկությունը, ուստի միշտ անհրաժեշտ է նշել, թե որ կենտրոնի նկատմամբ է որոշվում հիմնական պահը:

2. Ուժերի համակարգը իր ամենապարզ ձևին բերելը

Ուժերի կամայական համակարգերի հետագա պարզեցման հնարավորությունը կախված է դրանց հիմնական վեկտորի և հիմնական պահի արժեքից, ինչպես նաև կրճատման կենտրոնի հաջող ընտրությունից։ Հնարավոր են հետևյալ դեպքերը.

ա), . Այս դեպքում համակարգը մի մոմենտի հետ վերածվում է մի զույգ ուժերի, որոնց արժեքը կախված չէ կրճատման կենտրոնի ընտրությունից։

բ), . Համակարգը վերածվում է արդյունքի, որը հավասար է , որի գործողության գիծն անցնում է կենտրոնով ՄԱՍԻՆ.

գ) և փոխադարձաբար ուղղահայաց են: Համակարգը վերածվում է արդյունքի, որը հավասար է, բայց չի անցնում կենտրոնով ՄԱՍԻՆ(նկ. 1.31):

Բրինձ. 1.31. Ուժերի համակարգ բերելը արդյունքին

Եկեք փոխարինենք հիմնական պահը մի զույգ ուժերով, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 1.31. Եկեք սահմանենք Ռայն պայմանից, որ M 0 = R ժ. Այնուհետև, հիմնվելով ստատիկության երկրորդ աքսիոմի վրա, եկեք մերժենք երկու ուժերի հավասարակշռված համակարգը, որը կիրառվում է մի կետում. ՄԱՍԻՆ.

դ) և զուգահեռ: Համակարգը շարժվում է դինամիկ պտուտակով, որի առանցքը անցնում է կենտրոնով ՄԱՍԻՆ(նկ. 1.32):

Բրինձ. 1.32. Դինամիկ պտուտակ

ե) և հավասար չեն զրոյի, և միևնույն ժամանակ հիմնական վեկտորը և հիմնական պահը զուգահեռ չեն և ուղղահայաց չեն միմյանց: Համակարգը շարժվում է դինամիկ պտուտակով, բայց առանցքը կենտրոնից չի անցնում ՄԱՍԻՆ(նկ. 1.33):

Բրինձ. 1.33. Ուժերի համակարգի կրճատման ամենաընդհանուր դեպքը

Կրճատման դեպքերը ամենապարզ ձևին

Զույգի բերելը

Թող ուժերը O կենտրոն բերելու արդյունքում ստացվի, որ հիմնական վեկտորը հավասար է զրոյի, իսկ հիմնական մոմենտը տարբերվում է զրոյից. Այնուհետև ստատիկության հիմնարար թեորեմի ուժով մենք կարող ենք գրել

Սա նշանակում է, որ ուժերի սկզբնական համակարգը այս դեպքում համարժեք է մոմենտ ունեցող ուժերի զույգին:

Զույգի պահը կախված չէ նրանից, թե զույգի պահը հաշվարկելիս որ կետն է ընտրվում որպես պահի կենտրոն։ Հետևաբար, այս դեպքում հիմնական կետը չպետք է կախված լինի կրճատման կենտրոնի ընտրությունից։ Բայց սա հենց այն եզրակացությունն է, որին հանգեցնում է հարաբերությունը

միացնելով հիմնական կետերը երկու տարբեր կենտրոնների վերաբերյալ: Երբ լրացուցիչ անդամը նույնպես հավասար է զրոյի, ստանում ենք

Կրճատում մինչև արդյունք

Թող հիմա հիմնական վեկտորը հավասար չէ զրոյի, իսկ հիմնական պահը հավասար է զրոյի. Ստատիկության հիմնարար թեորեմի ուժով մենք ունենք

այսինքն ուժերի համակարգը ստացվում է համարժեք մեկ ուժի՝ հիմնական վեկտորի։ Հետևաբար, այս դեպքում ուժերի սկզբնական համակարգը վերածվում է արդյունքի, և այս արդյունքը համընկնում է կրճատման կենտրոնում կիրառվող հիմնական վեկտորի հետ.

Ուժերի համակարգը վերածվում է արդյունքի այն դեպքում, երբ հիմնական վեկտորը և հիմնական մոմենտը երկուսն էլ հավասար չեն զրոյի, բայց փոխադարձաբար ուղղահայաց են. Ապացուցումն իրականացվում է գործողությունների հետևյալ հաջորդականությամբ.

O կրճատման կենտրոնի միջով մենք գծում ենք հարթություն, որն ուղղահայաց է հիմնական պահին (նկ. 50, ա): Նկարում այս հարթությունը համակցված է նկարչական հարթության հետ, և դրա մեջ է գտնվում հիմնական վեկտորը։ Այս հարթությունում մենք կառուցում ենք զույգ մոմենտով և ընտրում ենք զույգի ուժերը, որ մեծությամբ հավասար լինեն հիմնական վեկտորին. ապա զույգի լծակը հավասար կլինի . Այնուհետև մենք զույգը տեղափոխում ենք իր հարթությունում այնպես, որ զույգի ուժերից մեկը կիրառվի O կրճատման կենտրոնում՝ հակառակ հիմնականին. Զույգի երկրորդ ուժը կկիրառվի C կետում, O կենտրոնից հեռու ցանկալի ուղղությամբ, որը որոշվում է ըստ ուղղության, h զույգի թեւին հավասար OS հեռավորության վրա (նկ. 50, բ): Այժմ, հրաժարվելով O կետում կիրառվող R և - հավասարակշռված ուժերից, մենք հասնում ենք C կետում կիրառվող մեկ ուժի (նկ. 50, գ): Այն կծառայի որպես ուժերի այս համակարգի արդյունք։

Երևում է, որ ռեակցիայի ուժը դեռ հավասար է հիմնական վեկտորին, բայց իր կիրառման կետով տարբերվում է հիմնական վեկտորից։ Եթե ​​հիմնական վեկտորը կիրառվում է O նվազեցման կենտրոնում, ապա արդյունքը գտնվում է C կետում, որի դիրքը պահանջում է հատուկ սահմանում: Գ կետը գտնելու երկրաչափական մեթոդը տեսանելի է վերևում կատարված շինարարությունից:

O կրճատման կենտրոնի նկատմամբ արդյունքի պահի համար կարող ենք գրել (տե՛ս նկ. 50).

կամ, բաց թողնելով միջանկյալ արժեքները.

Եթե ​​այս վեկտորային հավասարությունը նախագծենք O կետով անցնող ցանկացած առանցքի վրա, ապա պրոյեկցիաներում կստանանք համապատասխան հավասարություն.

Հիշելով, որ կետի նկատմամբ ուժի մոմենտի պրոյեկցիան այս կետով անցնող առանցքի վրա ուժի պահն է առանցքի նկատմամբ, մենք այս հավասարությունը վերագրում ենք հետևյալ կերպ.

Ստացված հավասարություններն արտահայտում են Վարինյոնի թեորեմն իր ընդհանուր ձևով (դասախոսություն 2-ում թեորեմը ձևակերպվել է միայն համակցված ուժերի համար). հավասար է բոլոր տրված ուժերի՝ բաղադրիչների (այդ նույն կետի, նույն առանցքի նկատմամբ) մոմենտների գումարին։ Հասկանալի է, որ կետի դեպքում պահերի գումարումը վեկտորական է, առանցքի դեպքում՝ հանրահաշվական։

Դինամիզմի նվազեցում

Դինամիկան կամ դինամիկ պտուտակը զույգ ուժերի և ուժի համակցությունն է, որն ուղղված է զույգի գործողության հարթությանը: Կարելի է ցույց տալ, որ կրճատման ընդհանուր դեպքում, երբ և ուղղահայաց չէ, ուժերի սկզբնական համակարգը համարժեք է որոշակի դինամիզմի։

Թույլ տվեք, որ կոշտ մարմնի վրա միաժամանակ կիրառվեն տարբեր հարթություններում գործող մոմենտներով մի քանի զույգ ուժեր: Հնարավո՞ր է արդյոք զույգերի այս համակարգը կրճատել ավելի պարզ ձևի: Ստացվում է, որ դա հնարավոր է, և պատասխանը հուշում է երկու զույգերի գումարման հետևյալ թեորեմը.

Թեորեմ. Տարբեր հարթություններում գործող երկու զույգ ուժեր համարժեք են տվյալ զույգերի մոմենտների երկրաչափական գումարին հավասար մոմենտի մեկ զույգ ուժերի։

Թող զույգերը որոշվեն իրենց պահերով և (նկ. 36, ա): Կառուցենք այս վեկտորներին ուղղահայաց երկու հարթություն (զույգերի գործողության հարթությունը) և, երկու զույգերի համար ընդհանուր ուսի համար հարթությունների հատման գծի վրա ընտրելով որոշակի AB հատված, կկառուցենք համապատասխան զույգերը. 36, բ).

Զույգի պահի սահմանմանը համապատասխան կարող ենք գրել

A և B կետերում մենք ունենք միաձուլվող ուժեր: Կիրառելով ուժերի զուգահեռագծի կանոնը (աքսիոմա 3) կունենանք.

Տրված զույգերը երկու ուժի համարժեք են ստացվում, որոնք նույնպես զույգ են կազմում։ Այսպիսով, թեորեմի առաջին մասը ապացուցված է. Թեորեմի երկրորդ մասը ապացուցվում է ստացված զույգի պահի ուղղակի հաշվարկով.

Եթե ​​կան մի քանի զույգեր, ապա այս թեորեմին համապատասխան զույգերով գումարելով՝ զույգերի ցանկացած քանակ կարելի է կրճատել մեկ զույգի։ Արդյունքում մենք գալիս ենք հետևյալ եզրակացության՝ բացարձակ կոշտ մարմնի վրա կիրառվող ուժերի զույգերը (համակարգը) կարող են կրճատվել մինչև մեկ զույգ՝ բոլոր տրված զույգերի մոմենտների երկրաչափական գումարին հավասար մոմենտով։

Մաթեմատիկորեն սա կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

Նկ. Նկար 37-ը տալիս է ստացված եզրակացության երկրաչափական պատկերը:

Ուժերի զույգերի հավասարակշռության համար պահանջվում է, որ ստացված զույգի պահը հավասար լինի զրոյի, ինչը հանգեցնում է հավասարության.

Այս պայմանը կարող է արտահայտվել երկրաչափական և վերլուծական ձևերով: Ուժերի զույգերի հավասարակշռության երկրաչափական պայման. ուժերի զույգերի համակարգի հավասարակշռության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ բոլոր զույգերի պահերից կառուցված վեկտորային բազմանկյունը փակ լինի։

Ուժերի զույգերի հավասարակշռության վերլուծական պայման. Ուժերի զույգերի համակարգի հավասարակշռության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ բոլոր զույգերի մոմենտների վեկտորների կանխատեսումների հանրահաշվական գումարները կամայականորեն ընտրված կոորդինատային առանցքների վրա հավասար լինեն զրոյի.

Եթե ​​բոլոր զույգերը գտնվում են նույն հարթության մեջ, այսինքն՝ կազմում են զույգերի հարթ համակարգ, ստացվում է միայն մեկ անալիտիկ հավասարակշռության պայման՝ զույգերի հանրահաշվական մոմենտների գումարը հավասար է զրոյի։

Ինքնաթեստի հարցեր

1. Ո՞րն է ուժային բազմանկյունի կանոնը: Ինչի համար է օգտագործվում հզորության բազմանկյունը:

2. Ինչպե՞ս վերլուծական կերպով գտնել միաձուլվող ուժերի արդյունքը:

3. Ինչպիսի՞ն է երկրաչափական պայմանը կոնվերգացիոն ուժերի հավասարակշռության համար: Ինչպե՞ս է այս նույն պայմանը վերլուծական ձևակերպվում:

4. Նշեք երեք ուժերի թեորեմը:

5. Ո՞ր ստատիկ խնդիրներն են կոչվում ստատիկորեն սահմանված և որոնք են ստատիկորեն անորոշ: Բերե՛ք ստատիկորեն անորոշ խնդրի օրինակ:

6. Ի՞նչն է կոչվում ուժի զույգ:

7. Ի՞նչ է կոչվում զույգ ուժերի մոմենտը (վեկտոր-պահ): Որո՞նք են պահի ուղղությունը, մեծությունը և կիրառման կետը:

8. Ի՞նչ է կոչվում զույգի հանրահաշվական մոմենտը:

9. Ձևակերպե՛ք տարածության մեջ կամայականորեն տեղակայված զույգերի ավելացման կանոն:

10. Որո՞նք են ուժերի զույգերի համակարգի հավասարակշռության վեկտորային, երկրաչափական և անալիտիկ պայմանները: