Կոշտ մարմնի պտույտ ֆիքսված առանցքի շուրջ: Կոշտ մարմնի պտտվող շարժումը ֆիքսված առանցքի շուրջ: Անկյունային արագություն և անկյունային արագացում Արագացված պտտվող շարժում ֆիքսված առանցքի շուրջ

Եվ Սավելևան.

Մարմնի առաջ շարժման ժամանակ (§ 60 դասագրքում՝ Է. Մ. Նիկիտինի) նրա բոլոր կետերը շարժվում են միանման հետագծերով և յուրաքանչյուր տվյալ պահին ունեն հավասար արագություններ և հավասար արագացումներ։

Հետևաբար, մարմնի փոխադրական շարժումը որոշվում է ցանկացած կետի, սովորաբար ծանրության կենտրոնի շարժումով։

Մեքենայի (խնդիր 147) կամ դիզելային լոկոմոտիվի (խնդիր 141) շարժումը դիտարկելիս մենք իրականում հաշվի ենք առնում դրանց ծանրության կենտրոնների շարժումը։

Մարմնի պտտվող շարժումը (E.M. Nikitin, § 61) չի կարող նույնացվել նրա կետերից որևէ մեկի շարժման հետ: Ցանկացած պտտվող մարմնի առանցքը (դիզելային ճոճանակ, էլեկտրաշարժիչի ռոտոր, մեքենայի լիսեռ, օդափոխիչի շեղբեր և այլն) շարժման ընթացքում տարածության մեջ զբաղեցնում է նույն տեղը՝ հարակից անշարժ մարմինների համեմատ։

Նյութական կետի շարժում կամ առաջ շարժումմարմինները բնութագրվում են կախված ժամանակից գծային մեծություններ s (ուղի, հեռավորություն), v (արագություն) և a (արագացում) իր a t և a n բաղադրիչներով:

Պտտվող շարժումմարմինները՝ կախված ժամանակից t բնութագրվում են անկյունային արժեքներφ (պտտման անկյուն ռադիաններով), ω (անկյունային արագություն ռադ/վրկ) և ε (անկյունային արագացում ռադ/վրկ 2):

Մարմնի պտտվող շարժման օրենքը արտահայտվում է հավասարմամբ
φ = f(t):

Անկյունային արագություն- մարմնի պտտման արագությունը բնութագրող մեծությունը ընդհանուր դեպքում սահմանվում է որպես ժամանակի նկատմամբ պտտման անկյան ածանցյալ.
ω = dφ/dt = f» (t):

Անկյունային արագացում- անկյունային արագության փոփոխության արագությունը բնութագրող մեծությունը սահմանվում է որպես անկյունային արագության ածանցյալ
ε = dω/dt = f"" (t):

Մարմնի պտտման շարժման հետ կապված խնդիրներ լուծելիս անհրաժեշտ է նկատի ունենալ, որ տեխնիկական հաշվարկներում և խնդիրներում, որպես կանոն, անկյունային տեղաշարժը արտահայտվում է ոչ թե φ ռադիաններով, այլ շուրջ φ պտույտներով։

Ուստի անհրաժեշտ է պտույտների քանակից անցնել անկյունային տեղաշարժի ճառագայթային չափմանը և հակառակը։

Քանի որ մեկ լրիվ պտույտը համապատասխանում է 2π rad-ին, ուրեմն
φ = 2πφ մոտ և φ մոտ = φ/(2π):

Տեխնիկական հաշվարկներում անկյունային արագությունը շատ հաճախ չափվում է րոպեում արտադրված պտույտներով (rpm), ուստի անհրաժեշտ է հստակ հասկանալ, որ ω rad/v և n rpm արտահայտում են նույն հասկացությունը՝ մարմնի պտտման արագությունը (անկյունային արագություն), բայց տարբեր միավորներով՝ ռադ/վրկ կամ պտույտ/րոպե:

Անկյունային արագության մի միավորից մյուսին անցումը կատարվում է ըստ բանաձևերի
ω = πn/30 և n = 30ω/π:

Մարմնի պտտման ընթացքում նրա բոլոր կետերը շարժվում են շրջանագծերով, որոնց կենտրոնները գտնվում են մեկ հաստատուն ուղիղ գծի վրա (պտտվող մարմնի առանցքը)։ Այս գլխում տրված խնդիրները լուծելիս շատ կարևոր է հստակ հասկանալ մարմնի պտտման շարժումը բնութագրող φ, ω և ε անկյունային մեծությունների և բնութագրող s, v, a t և an գծային մեծությունների միջև կապը. այս մարմնի տարբեր կետերի շարժումը (նկ. 205):

Եթե ​​R-ն պտտվող մարմնի երկրաչափական առանցքից մինչև A ցանկացած կետ հեռավորությունն է (նկ. 205-ում R = OA), ապա φ - մարմնի պտտման անկյան և s-ի միջև կապը՝ մի կետով անցած հեռավորությունը: մարմինը միևնույն ժամանակ արտահայտվում է հետևյալ կերպ.
s = φR.

Մարմնի անկյունային արագության և կետի արագության միջև կապը յուրաքանչյուր տվյալ պահին արտահայտվում է հավասարությամբ.
v = ωR.

Կետի շոշափելի արագացումը կախված է անկյունային արագացումից և որոշվում է բանաձևով
a t = εR.

Կետի նորմալ արագացումը կախված է մարմնի անկյունային արագությունից և որոշվում է հարաբերություններով
a n = ω 2 R.

Այս գլխում տրված խնդիրը լուծելիս անհրաժեշտ է հստակ հասկանալ, որ ռոտացիան շարժումն է ամուր, ոչ միավորներ։ Մեկ նյութական կետը չի պտտվում, այլ շարժվում է շրջանագծով, այն կատարում է կորագիծ շարժում:

§ 33. Պտտման միատեսակ շարժում

Եթե ​​անկյունային արագությունը ω=const է, ապա պտտվող շարժումը կոչվում է միատեսակ։

Պտտման միատեսակ հավասարումն ունի ձև
φ = φ 0 + ωt.

Այն կոնկրետ դեպքում, երբ պտտման սկզբնական անկյունը φ 0 =0,
φ = ωt.

Միատեսակ պտտվող մարմնի անկյունային արագություն
ω = φ/տ
կարելի է արտահայտել այսպես.
ω = 2π/T,
որտեղ T-ը մարմնի պտտման ժամանակաշրջանն է. φ=2π - մեկ պարբերության պտտման անկյուն:

§ 34. Պտտման միատեսակ շարժում

Փոփոխական անկյունային արագությամբ պտտվող շարժումը կոչվում է անհավասար (տես ստորև § 35): Եթե ​​անկյունային արագացումը ε=const, ապա պտտվող շարժումը կոչվում է հավասարապես փոփոխական. Այսպիսով, մարմնի միատեսակ ռոտացիան է հատուկ դեպքանհավասար պտտվող շարժում:

Միատեսակ պտույտի հավասարումը
(1) φ = φ 0 + ω 0 t + εt 2 /2
և ցանկացած պահի մարմնի անկյունային արագությունն արտահայտող հավասարումը,
(2) ω = ω 0 + εt
ներկայացնում է մարմնի պտտման միատեսակ շարժման հիմնական բանաձևերի մի շարք:

Այս բանաձևերը ներառում են ընդամենը վեց մեծություն՝ երեք հաստատուն տվյալ խնդրի համար φ 0, ω 0 և ε և երեք փոփոխական φ, ω և t։ Հետևաբար, յուրաքանչյուր խնդրի պայմանը միասնական պտույտի համար պետք է պարունակի առնվազն չորս նշված քանակություն:

Որոշ խնդիրներ լուծելու հարմարության համար (1) և (2) հավասարումներից կարելի է ստանալ ևս երկու օժանդակ բանաձև։

Եկեք բացառենք անկյունային արագացումը ε (1) և (2):
(3) φ = φ 0 + (ω + ω 0) t/2.

Եկեք բացառենք t ժամանակը (1) և (2):
(4) φ = φ 0 + (ω 2 - ω 0 2)/(2ε):

Հանգիստ վիճակից սկսվող հավասարաչափ արագացված պտույտի դեպքում φ 0 =0 և ω 0 =0։ Հետևաբար, վերը նշված հիմնական և օժանդակ բանաձևերը ստանում են հետևյալ ձևը.
(5) φ = εt 2 /2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω 2 /(2ε).

§ 35. Անհավասար պտտվող շարժում

Դիտարկենք խնդրի լուծման օրինակ, որում նշված է մարմնի ոչ միատեսակ պտտվող շարժում։

Բացարձակ կոշտ մարմինմարմինը փոխադարձ պայմանավորվածությունորոնց մասերը շարժման ընթացքում չեն փոխվում։

Կոշտ մարմնի փոխակերպական շարժում - սա նրա շարժումն է, երբ մարմնի հետ կոշտորեն կապված ցանկացած ուղիղ գիծ շարժվում է` միաժամանակ մնալով իր սկզբնական ուղղությանը:

Կոշտ մարմնի փոխադրական շարժման ժամանակ նրա բոլոր կետերը շարժվում են հավասարապես կարճ dt ժամանակում, այդ կետերի շառավիղային վեկտորը փոխվում է նույն չափով։ Համապատասխանաբար, ժամանակի յուրաքանչյուր պահի նրա բոլոր կետերի արագությունները նույնն են և հավասար: Հետևաբար, դիտարկվածի կինեմատիկան առաջ շարժումկոշտ մարմինը հանգում է նրան, որ ուսումնասիրում է նրա ցանկացած կետի շարժումը: Սովորաբար մենք դիտարկում ենք տարածության մեջ ազատ շարժվող կոշտ մարմնի իներցիայի կենտրոնի շարժումը։

Կոշտ մարմնի պտտվող շարժում - սա շարժում է, որի ընթացքում նրա բոլոր կետերը շարժվում են շրջանագծերով, որոնց կենտրոնները գտնվում են մարմնից դուրս . Ուղիղ գիծը կոչվում է մարմնի պտտման առանցք:

Անկյունային արագություն- մարմնի պտտման արագությունը բնութագրող վեկտորային մեծություն. պտտման անկյան հարաբերակցությունը այն ժամանակին, որի ընթացքում տեղի է ունեցել այս պտույտը. վեկտոր, որը որոշվում է ժամանակի նկատմամբ մարմնի պտտման անկյան առաջին ածանցյալով։ Անկյունային արագության վեկտորը ուղղվում է պտտման առանցքի երկայնքով՝ ըստ աջ պտուտակային կանոնի։ ω=φ/t=2π/T=2πn, որտեղ T-ը պտտման ժամանակաշրջանն է, n-ը՝ պտույտի հաճախականությունը: ω=lim Δt → 0 Δφ/Δt=dφ/dt.

Անկյունային արագացում– վեկտոր, որը որոշվում է ժամանակի նկատմամբ անկյունային արագության առաջին ածանցյալով: Երբ մարմինը պտտվում է ֆիքսված առանցքի շուրջ, անկյունային արագացման վեկտորն ուղղվում է պտտման առանցքի երկայնքով դեպի անկյունային արագության տարրական աճի վեկտորը։ Պտտման անկյան երկրորդ ածանցյալը ժամանակի նկատմամբ: Երբ մարմինը պտտվում է ֆիքսված առանցքի շուրջ, անկյունային արագացման վեկտորն ուղղվում է պտտման առանցքի երկայնքով դեպի անկյունային արագության տարրական աճի վեկտորը։ Երբ շարժումը արագանում է, ε վեկտորը համակողմանի է դեպի φ վեկտորը, իսկ երբ այն դանդաղ է, հակառակ է նրան։ ε=dω/dt.

Եթե ​​dω/dt> 0, ապա εω

Եթե ​​dω/dt< 0, то ε ↓ω

4. Իներցիայի սկզբունքը (Նյուտոնի առաջին օրենք). Իներցիոն հղման համակարգեր. Հարաբերականության սկզբունքը.

Նյուտոնի առաջին օրենքը (իներցիայի օրենք)Յուրաքանչյուր նյութական կետ (մարմին) պահպանում է հանգստի վիճակ կամ միատեսակ ուղղագիծ շարժում, քանի դեռ այլ մարմինների ազդեցությունը չի ստիպել նրան փոխել այս վիճակը:

Մարմնի ցանկությունը՝ պահպանել հանգստի վիճակ կամ միատեսակ ուղղագիծ շարժում, կոչվում է իներցիա. Ուստի Նյուտոնի առաջին օրենքը կոչվում է իներցիայի օրենք։

Նյուտոնի առաջին օրենքը նշում է հղման իներցիոն համակարգերի առկայությունը։

Իներցիոն հղման շրջանակ– սա հղման համակարգ է, որի նկատմամբ ազատ նյութական կետը, որը չի ազդում այլ մարմինների կողմից, հավասարաչափ շարժվում է ուղիղ գծով. Սա համակարգ է, որը կա՛մ հանգստի վիճակում է, կա՛մ շարժվում է միատեսակ և ուղղագիծ՝ համեմատած որևէ այլ իներցիոն համակարգի:

Հարաբերականության սկզբունքը- հիմնարար ֆիզիկական օրենք, ըստ որի ցանկացած գործընթաց նույնական է ընթանում մեկուսացված նյութական համակարգում հանգստի վիճակում, իսկ նույն համակարգում՝ միատեսակ ուղղագիծ շարժման վիճակում։ Շարժման կամ հանգստի վիճակները սահմանվում են կամայականորեն ընտրված իներցիոն հղման համակարգի նկատմամբ: Հարաբերականության սկզբունքը ընկած է Էյնշտեյնի հարաբերականության հատուկ տեսության հիմքում։

5. Գալիլեյան փոխակերպումներ.

Հարաբերականության սկզբունք (Գալիլեա)Տվյալ իներցիալ հղման համակարգի ներսում կատարված ոչ մի փորձ (մեխանիկական, էլեկտրական, օպտիկական) թույլ չի տալիս պարզել՝ արդյոք այս համակարգը հանգստի վիճակում է, թե շարժվում է միատեսակ և ուղղագիծ. Բնության բոլոր օրենքներն անփոփոխ են՝ կապված մեկ իներցիոն հղման համակարգից մյուսին անցնելու հետ:

Դիտարկենք երկու հղման համակարգ՝ K իներցիոն շրջանակը (հետ կոորդինատները x,y,z), որը մենք պայմանականորեն կհամարենք անշարժ և K’ համակարգը (x’,y’,z’ կոորդինատներով), որը շարժվում է K-ի նկատմամբ հավասարաչափ և ուղղագիծ U արագությամբ (U = const): Գտնենք կամայական A կետի կոորդինատների կապը երկու համակարգերում։ r = r’+r0=r’+Ut. (1.)

Հավասարումը (1.) կարելի է գրել կոորդինատային առանցքների վրա կանխատեսումներով.

y=y’+Uyt; (2.)

z=z’+Uzt; (1.) և (2.) հավասարումները կոչվում են Գալիլեյան կոորդինատային փոխակերպումներ։

Պոտենցիալ էներգիայի և ուժի փոխհարաբերությունները

Պոտենցիալ դաշտի յուրաքանչյուր կետ, մի կողմից, համապատասխանում է մարմնի վրա ազդող ուժի վեկտորի որոշակի արժեքին, իսկ մյուս կողմից՝ պոտենցիալ էներգիայի որոշակի արժեքին։ Ուստի ուժի և պոտենցիալ էներգիայի միջև պետք է լինի որոշակի հարաբերություն:

Այս կապը հաստատելու համար եկեք հաշվարկենք դաշտային ուժերի կատարած տարրական աշխատանքը տարածության մեջ կամայականորեն ընտրված ուղղության երկայնքով տեղի ունեցող մարմնի փոքր տեղաշարժի ժամանակ, որը մենք նշում ենք տառով: Այս աշխատանքը հավասար է

որտեղ է ուժի պրոյեկցիան ուղղության վրա:

Քանի որ այս դեպքում աշխատանքը կատարվում է պոտենցիալ էներգիայի պաշարի շնորհիվ, այն հավասար է առանցքի հատվածի վրա պոտենցիալ էներգիայի կորստին.

Վերջին երկու արտահայտություններից մենք ստանում ենք

Այս բանաձևը որոշում է ուժի վեկտորի պրոյեկցիան կոորդինատային առանցքների վրա: Եթե ​​այս կանխատեսումները հայտնի են, ապա ուժի վեկտորն ինքնին պարզվում է, որ որոշված ​​է.

մաթեմատիկայի վեկտորում ,

որտեղ a-ն x, y, z-ի սկալյար ֆունկցիան է, որը կոչվում է այս սկալարի գրադիենտ և նշվում է խորհրդանիշով . Հետևաբար, ուժը հավասար է հակառակ նշանով վերցված պոտենցիալ էներգիայի գրադիենտին

Պտտվողնրանք անվանում են այնպիսի շարժում, երբ մարմնի հետ կապված երկու կետ, հետևաբար, այդ կետերով անցնող ուղիղ գիծը շարժման ընթացքում մնում են անշարժ (նկ. 2.16): Ֆիքսված ուղիղ գիծ Ա Բկանչեց պտտման առանցք.

Բրինձ. 2.1 Վ. Դեպի մարմնի պտտվող շարժման սահմանումը

Պտտման շարժման ժամանակ մարմնի դիրքը որոշում է պտտման անկյունը φ, ռադ (տե՛ս նկ. 2.16): Շարժվելիս պտտման անկյունը փոխվում է ժամանակի ընթացքում, այսինքն. Մարմնի պտտվող շարժման օրենքը սահմանվում է որպես Ֆ = Ф(/) անկյան արժեքի ժամանակի փոփոխության օրենք ֆիքսված կես հարթության միջև։ TO () ,անցնելով պտտման առանցքով և շարժական n 1մարմնին միացված և պտտման առանցքով անցնող կիսահավասարություն։

Պտտման ընթացքում մարմնի բոլոր կետերի հետագծերը համակենտրոն շրջաններ են, որոնք տեղակայված են պտտման առանցքի վրա գտնվող կենտրոններով զուգահեռ հարթություններում:

Մարմնի պտտվող շարժման կինեմատիկական բնութագրերը. Ճիշտ այնպես, ինչպես կինեմատիկական բնութագրերը ներկայացվել են կետի համար, ներմուծվում է կինեմատիկական հայեցակարգ, որը բնութագրում է φ(c) ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը, որը որոշում է մարմնի դիրքը պտտվող շարժման ժամանակ, այսինքն. անկյունային արագություն co = f = s/f/s//, անկյունային արագության չափը [co] = ռադ /Հետ.

Տեխնիկական հաշվարկներում հաճախ օգտագործվում է տարբեր չափսերով անկյունային արագության արտահայտությունը՝ րոպեում պտույտների քանակի առումով՝ [i] = rpm, և հարաբերությունների միջև։ Պև co-ն կարող է ներկայացվել որպես՝ co = 27w/60 = 7w/30:

Ընդհանուր առմամբ, անկյունային արագությունը տատանվում է ժամանակի հետ: Անկյունային արագության փոփոխության արագության չափը անկյունային արագացումն է e = c/co/c//= co = f, անկյունային արագացման չափը [e] = rad/s 2:

Ներկայացված անկյունային կինեմատիկական բնութագրերն ամբողջությամբ որոշվում են՝ նշելով մեկ ֆունկցիա՝ պտտման անկյունն ընդդեմ ժամանակի:

Պտտվող շարժման ընթացքում մարմնի կետերի կինեմատիկական բնութագրերը. Հաշվի առեք կետը Մմարմին, որը գտնվում է պտտման առանցքից p հեռավորության վրա։ Այս կետը շարժվում է p շառավղով շրջանով (նկ. 2.17):

Բրինձ. 2.17.

մարմնի կետերը նրա պտտման ընթացքում

Աղեղի երկարությունը Մ Ք Մ p շառավղով շրջանակը սահմանվում է որպես ս= ptp, որտեղ f-ը պտտման անկյունն է, ռադ: Եթե ​​մարմնի շարժման օրենքը տրված է որպես φ = φ(g), ապա կետի շարժման օրենքը Մհետագծի երկայնքով որոշվում է բանաձևով Ս= рф (7).

Օգտագործելով կինեմատիկական բնութագրերի արտահայտությունները կետի շարժումը ճշտելու բնական մեթոդով, մենք ստանում ենք կինեմատիկական բնութագրեր պտտվող մարմնի կետերի համար. արագություն ըստ բանաձևի (2.6)

Վ= 5 = rf = rso; (2.22)

շոշափող արագացում՝ ըստ արտահայտության (2.12)

i t = K = sor = er; (2.23)

նորմալ արագացում ըստ բանաձևի (2.13)

a" =Եվ 2 /р = с 2 р 2 /р = ogr; (2.24)

ընդհանուր արագացում՝ օգտագործելով արտահայտությունը (2.15)

Ա = -] Ա + ա] = px/e 2 + co 4. (2.25)

Ընդհանուր արագացման ուղղության բնութագիրը ընդունված է p - կետով նկարագրված շրջանագծի շառավղից ընդհանուր արագացման վեկտորի շեղման անկյունը (նկ. 2.18):

Սկսած Նկ. 2.18 մենք ստանում ենք

tgjLi = aja n=re/pco 2 =g/(o 2. (2.26)

Բրինձ. 2.18.

Նշենք, որ պտտվող մարմնի կետերի բոլոր կինեմատիկական բնութագրերը համաչափ են պտտման առանցքի հեռավորություններին: Վե-

Նրանց ինքնությունը որոշվում է նույն ֆունկցիայի ածանցյալների միջոցով՝ պտտման անկյունը։

Վեկտորային արտահայտություններ անկյունային և գծային կինեմատիկական բնութագրերի համար: Պտտվող մարմնի անկյունային կինեմատիկական բնութագրերի վերլուծական նկարագրության համար, պտտման առանցքի հետ միասին, հասկացությունը. ռոտացիայի անկյան վեկտոր(նկ. 2.19): φ = φ(/)A:, որտեղ Դեպի- ուտել

ռոտացիայի առանցքի վեկտոր

1; Դեպի=sop51.

f վեկտորն ուղղված է այս առանցքի երկայնքով այնպես, որ այն տեսանելի լինի «վերջից»

ռոտացիան տեղի է ունենում ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ:

Բրինձ. 2.19.

բնութագրերը վեկտորի տեսքով

Եթե ​​φ(/) վեկտորը հայտնի է, ապա պտտվող շարժման բոլոր մյուս անկյունային բնութագրերը կարող են ներկայացվել վեկտորի տեսքով.

• անկյունային արագության վեկտոր co = f = f Դեպի.Անկյունային արագության վեկտորի ուղղությունը որոշում է պտտման անկյան ածանցյալի նշանը.
• անկյունային արագացման վեկտոր є = сo = Ф Դեպի.Այս վեկտորի ուղղությունը որոշում է անկյունային արագության ածանցյալի նշանը։

Ներկայացված с և є վեկտորները թույլ են տալիս մեզ ստանալ վեկտորային արտահայտություններ կետերի կինեմատիկական բնութագրերի համար (տես նկ. 2.19):

Նկատի ունեցեք, որ կետի արագության վեկտորի մոդուլը համընկնում է անկյունային արագության վեկտորի վեկտորի արտադրյալի և շառավղային վեկտորի մոդուլի հետ՝ |cox. Գ= sogvіpa = աղբ. Հաշվի առնելով с և r վեկտորների ուղղությունները և վեկտորային արտադրյալի ուղղության կանոնը՝ մենք կարող ենք արագության վեկտորի արտահայտություն գրել.

Վ= co xg.

Նմանապես, դա հեշտ է ցույց տալ

• ? X
• - egBіpa= єр = ա տԵվ

Sosor = co p = i.

(Բացի այդ, այս կինեմատիկական բնութագրերի վեկտորները ուղղությամբ համընկնում են համապատասխան վեկտորային արտադրատեսակների հետ։

Հետևաբար, շոշափող և նորմալ արագացման վեկտորները կարող են ներկայացվել որպես վեկտորային արտադրյալներ.

• (2.28)
• (2.29)

a x = g X Գ

Ա= co x Վ.

Պտտման անկյուն, անկյունային արագություն և անկյունային արագացում

Կոշտ մարմնի պտույտ ֆիքսված առանցքի շուրջԱյն կոչվում է այնպիսի շարժում, երբ մարմնի երկու կետերը շարժման ողջ ընթացքում մնում են անշարժ։ Այս դեպքում անշարժ են մնում նաև մարմնի բոլոր կետերը, որոնք գտնվում են նրա ֆիքսված կետերով անցնող ուղիղ գծի վրա։ Այս տողը կոչվում է մարմնի պտտման առանցքը.

Եթե ԱԵվ IN- մարմնի ֆիքսված կետեր (նկ. 15 ), ապա պտտման առանցքը առանցքն է Օզ,որը կարող է ունենալ ցանկացած ուղղություն տարածության մեջ, պարտադիր չէ, որ ուղղահայաց: Մեկ առանցքի ուղղություն Օզընդունվում է որպես դրական:

Պտտման առանցքի միջով ամրացված հարթություն ենք գծում Ըստև բջջային Պ,ամրացված է պտտվող մարմնին: Թող ժամանակի սկզբնական պահին երկու հարթությունները համընկնեն: Այնուհետև ժամանակի մի պահ տՇարժվող հարթության և ինքնին պտտվող մարմնի դիրքը կարող է որոշվել հարթությունների և համապատասխան գծային անկյան միջև երկփեղկ անկյունով. φ ուղիղ գծերի միջև, որոնք գտնվում են այս հարթություններում և ուղղահայաց են պտտման առանցքին: Անկյուն φ կանչեց մարմնի ռոտացիայի անկյունը.

Ընտրված հղման համակարգի նկատմամբ մարմնի դիրքը լիովին որոշվում է ցանկացածում

ժամանակի պահը, եթե տրված է հավասարումը φ =f(t) (5)

Որտեղ f(t)- ժամանակի ցանկացած կրկնակի տարբերակվող ֆունկցիա: Այս հավասարումը կոչվում է ֆիքսված առանցքի շուրջ կոշտ մարմնի պտտման հավասարումը:

Ֆիքսված առանցքի շուրջ պտտվող մարմինն ունի ազատության մեկ աստիճան, քանի որ նրա դիրքը որոշվում է՝ նշելով միայն մեկ պարամետր՝ անկյունը։ φ .

Անկյուն φ համարվում է դրական, եթե այն գծված է հակառակ ուղղությամբ, իսկ բացասական՝ հակառակ ուղղությամբ, երբ դիտվում է առանցքի դրական ուղղությամբ: Օզ.Մարմնի կետերի հետագծերը ֆիքսված առանցքի շուրջ պտտվելու ժամանակ օղակներ են, որոնք գտնվում են պտտման առանցքին ուղղահայաց հարթություններում։

Հաստատուն առանցքի շուրջ կոշտ մարմնի պտտվող շարժումը բնութագրելու համար մենք ներկայացնում ենք անկյունային արագություն և անկյունային արագացում հասկացությունները: Մարմնի հանրահաշվական անկյունային արագությունժամանակի ցանկացած պահի կոչվում է առաջին ածանցյալ՝ այս պահին պտտման անկյան ժամանակի նկատմամբ, այսինքն. dφ/dt = φ.Այն դրական մեծություն է, երբ մարմինը պտտվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, քանի որ պտտման անկյունը ժամանակի հետ մեծանում է, իսկ բացասական մեծություն է, երբ մարմինը պտտվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, քանի որ պտտման անկյունը նվազում է։

Անկյունային արագության մոդուլը նշվում է ω. Հետո ω= ׀dφ/dt׀= ׀φ ׀ (6)

Անկյունային արագության չափը սահմանվում է համաձայն (6)

[ω] = անկյուն/ժամանակ = rad/s = s -1.

Ճարտարագիտության մեջ անկյունային արագությունը պտտման արագությունն է, որն արտահայտված է րոպեում պտույտներով: 1 րոպեից մարմինը կպտտվի անկյան տակ 2pp,Եթե Պ- րոպեում պտույտների քանակը: Այս անկյունը բաժանելով րոպեի վայրկյանների թվի վրա՝ ստանում ենք՝ (7)

Մարմնի հանրահաշվական անկյունային արագացումկոչվում է առաջին ածանցյալ՝ հանրահաշվական արագության ժամանակի նկատմամբ, այսինքն. Պտտման անկյան երկրորդ ածանցյալը d 2 φ/dt 2 = ω. Նշենք անկյունային արագացման մոդուլը ε , Հետո ε=|φ| (8)

Անկյունային արագացման չափը ստացվում է (8):

[ε ] = անկյունային արագություն/ժամանակ = ռադ/վ 2 = ս -2

Եթե φ’’>0 ժամը φ’>0 , ապա հանրահաշվական անկյունային արագությունը ժամանակի հետ մեծանում է և, հետևաբար, մարմինը ժամանակի պահին արագացված պտտվում է դրական ուղղությամբ (ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ)։ ժամը φ’’<0 Եվ φ’<0 մարմինը արագորեն պտտվում է բացասական ուղղությամբ. Եթե φ’’<0 ժամը φ’>0 , ապա ունենք դանդաղ պտույտ դրական ուղղությամբ։ ժամը φ’’>0 Եվ φ’<0 , այսինքն. դանդաղ ռոտացիան տեղի է ունենում բացասական ուղղությամբ: Անկյունային արագությունը և անկյունային արագացումը նկարներում պատկերված են պտտման առանցքի շուրջ աղեղային սլաքներով: Անկյունային արագության աղեղը ցույց է տալիս մարմինների պտտման ուղղությունը.

Արագացված պտտման համար անկյունային արագության և անկյունային արագացման սլաքները ունեն նույն ուղղությունները, որոնց ուղղությունները հակառակ են.

Կոշտ մարմնի պտույտի հատուկ դեպքեր

Ռոտացիան ասում են, որ միատեսակ է, եթե ω=const, φ= φ’t

Պտույտը կլինի միատեսակ, եթե ε=կոնստ. φ’= φ’ 0 + φ’’t և

Ընդհանուր առմամբ, եթե φ’’ ոչ միշտ,

Մարմնի կետերի արագություններ և արագացումներ

Հայտնի է հաստատուն առանցքի շուրջ կոշտ մարմնի պտտման հավասարումը φ= f(t)(նկ. 16): Հեռավորությունը սմիավորներ Մշարժվող ինքնաթիռում Պշրջանաձև աղեղի երկայնքով (կետային հետագիծ), որը չափվում է կետից Մ օ,գտնվում է ֆիքսված հարթության մեջ՝ արտահայտված անկյան միջոցով φ կախվածություն s=hφ, Որտեղ հ- շրջանագծի շառավիղը, որով շարժվում է կետը: Դա կետից ամենակարճ հեռավորությունն է Մդեպի պտտման առանցքը. Սա երբեմն կոչվում է կետի պտտման շառավիղ: Մարմնի յուրաքանչյուր կետում պտտման շառավիղը մնում է անփոփոխ, երբ մարմինը պտտվում է ֆիքսված առանցքի շուրջ։

Մի կետի հանրահաշվական արագություն Մորոշվում է բանաձևով v τ =s’=hφԿետային արագության մոդուլ. v=hω(9)

Մարմնի կետերի արագությունները, երբ պտտվում են ֆիքսված առանցքի շուրջը, համաչափ են նրանց ամենակարճ հեռավորություններին դեպի այս առանցքը:Համաչափության գործակիցը անկյունային արագությունն է։ Կետերի արագություններն ուղղված են հետագծերի շոշափողներին և, հետևաբար, ուղղահայաց են պտտման շառավղներին: Ուղիղ հատվածի վրա տեղակայված մարմնի կետերի արագությունները OM,(9)-ի համաձայն բաշխվում են գծային օրենքի համաձայն: Նրանք միմյանց զուգահեռ են, և դրանց ծայրերը գտնվում են պտտման առանցքով անցնող նույն ուղիղ գծի վրա։ Կետի արագացումը տարրալուծում ենք շոշափող և նորմալ բաղադրիչների, այսինքն. a=a τ +a nτՇոշափող և նորմալ արագացումները հաշվարկվում են բանաձևերով (10)

քանի որ շրջանագծի համար կորության շառավիղն է p=h(Նկար 17 ). Այսպիսով,

Կետերի շոշափող, նորմալ և ընդհանուր արագացումները, ինչպես նաև արագությունները նույնպես բաշխվում են գծային օրենքի համաձայն։ Դրանք գծայինորեն կախված են կետերի հեռավորություններից մինչև պտտման առանցքը։ Նորմալ արագացումն ուղղված է շրջանագծի շառավղով դեպի պտտման առանցքը: Շոշափող արագացման ուղղությունը կախված է հանրահաշվական անկյունային արագացման նշանից։ ժամը φ’>0 Եվ φ’’>0 կամ φ’<0 Եվ φ’<0 մենք ունենք մարմնի արագացված պտույտ և վեկտորների ուղղություններ ա տԵվ vհամապատասխանեցնել. Եթե φ’ Եվ φ’" ունեն տարբեր նշաններ (դանդաղ պտույտ), ապա ա տԵվ vուղղված միմյանց հակառակ.

Նշանակվելով α կետի ընդհանուր արագացման և նրա պտտման շառավիղի միջև ընկած անկյունը, ունենք

tgα = | a τ |/a n = ε/ω 2 (11)

սկսած նորմալ արագացումից a pմիշտ դրական: Անկյուն Անույնը մարմնի բոլոր կետերի համար: Այն պետք է արագացումից հետաձգվի դեպի անկյունային արագացման աղեղային սլաքի ուղղությամբ պտտման շառավիղը՝ անկախ կոշտ մարմնի պտտման ուղղությունից։

Անկյունային արագության և անկյունային արագացման վեկտորներ

Ներկայացնենք անկյունային արագության և մարմնի անկյունային արագացման վեկտորներ հասկացությունները: Եթե TOպտտման առանցքի միավոր վեկտորն է՝ ուղղված իր դրական ուղղությամբ, այնուհետև՝ անկյունային արագության վեկտորները ώ և անկյունային արագացում ε որոշվում է արտահայտություններով (12)

Որովհետեւ կմեծության և ուղղության վեկտորային հաստատուն է, ապա (12)-ից հետևում է, որ

ε=dώ/dt(13)

ժամը φ’>0 Եվ φ’’>0 վեկտորային ուղղություններ ώ Եվ ε համապատասխանեցնել. Նրանք երկուսն էլ ուղղված են դեպի պտտման առանցքի դրական կողմը Օզ(Նկար 18.ա) Եթե φ’>0 Եվ φ’’<0 , ապա դրանք ուղղվում են հակառակ ուղղություններով (նկ. 18.բ ). Անկյունային արագացման վեկտորը արագացված պտույտի ժամանակ ուղղության մեջ համընկնում է անկյունային արագության վեկտորի հետ և դանդաղ պտույտի ժամանակ հակառակ է դրան։ Վեկտորներ ώ Եվ ε կարելի է պատկերել պտտման առանցքի ցանկացած կետում: Նրանք շարժվող վեկտորներ են։ Այս հատկությունը բխում է մարմնի կետերի արագությունների և արագացումների վեկտորային բանաձևերից:

Բարդ կետային շարժում

Հիմնական հասկացություններ

Կոշտ մարմնի շարժման մի քանի ավելի բարդ տեսակներ ուսումնասիրելու համար նպատակահարմար է դիտարկել կետի ամենապարզ բարդ շարժումը: Շատ խնդիրների դեպքում կետի շարժումը պետք է դիտարկել երկու (կամ ավելի) միմյանց նկատմամբ շարժվող հղման համակարգերի նկատմամբ: Այսպիսով, դեպի Լուսին շարժվող տիեզերանավի շարժումը պետք է դիտարկել միաժամանակ և՛ Երկրի, և՛ Լուսնի նկատմամբ, որը շարժվում է Երկրի համեմատ: Կետի ցանկացած շարժում կարելի է համարել բարդ՝ բաղկացած մի քանի շարժումներից։ Օրինակ, նավի շարժումը գետի երկայնքով Երկրի համեմատ կարելի է բարդ համարել, որը բաղկացած է ջրի երկայնքով շարժվելուց և հոսող ջրի հետ միասին։

Ամենապարզ դեպքում կետի բարդ շարժումը բաղկացած է հարաբերական և թարգմանական շարժումներից։ Եկեք սահմանենք այս շարժումները: Եկեք ունենանք երկու տեղեկատու համակարգ, որոնք շարժվում են միմյանց նկատմամբ: Եթե ​​այս համակարգերից մեկը O l x 1 y 1 z 1(Նկար 19 ) վերցված է որպես հիմնական կամ անշարժ (դրա շարժումը այլ տեղեկատու համակարգերի համեմատ չի դիտարկվում), ապա երկրորդ հղման համակարգը Օքսիզկտեղափոխվի առաջինի համեմատ: Կետի շարժումը շարժվող հղման շրջանակի նկատմամբ Օքսիզկանչեց ազգական.Այս շարժման բնութագրերը, ինչպիսիք են հետագիծը, արագությունը և արագացումը, կոչվում են ազգական.Դրանք նշանակված են r ինդեքսով; արագության և արագացման համար վ ր , ա ր .Հիմնական կամ ֆիքսված համակարգի հղման շրջանակի նկատմամբ կետի շարժումը O 1 x 1 y 1 z 1կանչեց բացարձակ(կամ բարդ ). Այն նաև երբեմն կոչվում է կոմպոզիտայինշարժում։ Այս շարժման հետագիծը, արագությունը և արագացումը կոչվում են բացարձակ: Բացարձակ շարժման արագությունն ու արագացումը նշվում են տառերով v, aոչ մի ցուցանիշ:

Կետի շարժական շարժումն այն շարժումն է, որը նա կատարում է շարժվող հղման համակարգի հետ միասին՝ որպես կետ, որը խիստ կցված է այս համակարգին դիտարկվող ժամանակի պահին: Հարաբերական շարժման շնորհիվ շարժվող կետը տարբեր ժամանակներում համընկնում է մարմնի տարբեր կետերի հետ Ս,որի հետ միացված է շարժվող հղման համակարգը: Դյուրակիր արագությունը և շարժական արագացումը մարմնի այդ կետի արագությունն ու արագացումն է Ս,որի հետ շարժման կետը ներկայումս համընկնում է։ Դյուրակիր արագությունը և արագացումը նշանակում են վ ե , ա ե.

Եթե ​​մարմնի բոլոր կետերի հետագծերը Ս,կցված է շարժվող հղման համակարգին, որը պատկերված է նկարում (նկ. 20), այնուհետև մենք ստանում ենք գծերի ընտանիք՝ կետի շարժական շարժման հետագծերի ընտանիք։ Մ.Կետի հարաբերական շարժման շնորհիվ Մյուրաքանչյուր պահի այն գտնվում է շարժական շարժման հետագծերից մեկի վրա: Կետ Մկարող է համընկնել շարժական հետագծերի այս ընտանիքի հետագծերից յուրաքանչյուրի միայն մեկ կետի հետ: Այս առումով երբեմն ենթադրվում է, որ շարժական շարժման հետագծեր չկան, քանի որ անհրաժեշտ է գծերը դիտարկել որպես շարժական շարժման հետագծեր, որոնց համար միայն մեկ կետն իրականում հետագծի կետ է:

Կետի կինեմատիկայում ուսումնասիրվել է կետի շարժումը ցանկացած հղման համակարգի նկատմամբ՝ անկախ նրանից՝ այս հղման համակարգը շարժվում է այլ համակարգերի համեմատ, թե ոչ։ Եկեք լրացնենք այս ուսումնասիրությունը՝ դիտարկելով բարդ շարժումը, ամենապարզ դեպքում, որը բաղկացած է հարաբերական և փոխաբերական շարժումներից: Միևնույն բացարձակ շարժումը, ընտրելով տարբեր շարժվող հղման շրջանակներ, կարելի է համարել, որ բաղկացած է տարբեր շարժական և, համապատասխանաբար, հարաբերական շարժումներից։

Արագության ավելացում

Որոշենք կետի բացարձակ շարժման արագությունը, եթե հայտնի են այս կետի հարաբերական և շարժական շարժումների արագությունները։ Թող կետը կատարի միայն մեկ՝ հարաբերական շարժում Oxyz հղման շարժվող շրջանակի նկատմամբ և ժամանակի t զբաղեցնի M դիրքը հարաբերական շարժման հետագծի վրա (նկ. 20): t+ t ժամանակ հարաբերական շարժման պատճառով կետը կլինի M 1 դիրքում՝ MM 1 շարժվելով հարաբերական շարժման հետագծով։ Ենթադրենք, որ խոսքը վերաբերում է Օքսիզև հարաբերական հետագծով այն կշարժվի ինչ-որ կորով ՄՄ 2.Եթե ​​կետը միաժամանակ մասնակցում է և՛ հարաբերական, և՛ շարժական շարժումներին, ապա ժամանակի ընթացքում Ա. նա կտեղափոխվի ՄՄ"բացարձակ շարժման հետագծի երկայնքով և ժամանակի պահին t+ Atկզբաղեցնի պաշտոնը Մ».Եթե ​​ժամանակ ժամըքիչ, ապա գնալ սահմանաչափի ժամը ժամը,հակված է զրոյի, ապա կորերի երկայնքով փոքր տեղաշարժերը կարող են փոխարինվել ակորդների հատվածներով և ընդունել որպես տեղաշարժի վեկտորներ: Վեկտորի տեղաշարժերը գումարելով՝ ստանում ենք

Այս առումով ավելի բարձր կարգի փոքր քանակությունները վերացվում են՝ հակված լինելով զրոյի ժամը,ձգտում է զրոյի: Անցնելով սահմանին, մենք ունենք (14)

Հետևաբար, (14) կընդունի ձևը (15)

Այսպես կոչված արագության գումարման թեորեմը ստացվել է. կետի բացարձակ շարժման արագությունը հավասար է այս կետի շարժական և հարաբերական շարժումների արագությունների վեկտորային գումարին։Քանի որ ընդհանուր դեպքում շարժական և հարաբերական շարժումների արագությունները ուղղահայաց չեն, ապա (15')

Առնչվող տեղեկություններ.

Բրինձ. 6.4

Մարմնի այնպիսի շարժում, որում նրա ցանկացած երկու կետ (ԱԵվ INՆկ. 6.4) մնալ անշարժ, որը կոչվում է պտույտ ֆիքսված առանցքի շուրջ:

Կարելի է ցույց տալ, որ այս դեպքում կետերը միացնող ուղիղ գծի վրա ընկած մարմնի ցանկացած կետ մնում է անշարժ. Օ Վ.

Այս կետերով անցնող առանցքը կոչվում է պտտման առանցքմարմիններ; դրա դրական ուղղությունն ընտրվում է կամայականորեն (նկ. 6.4):

Ցանկացած կետ ՄՊտտման առանցքի վրա չպառկած մարմինը նկարագրում է շրջան, որի կենտրոնը գտնվում է պտտման առանցքի վրա (նկ. 6.4):

Մարմնի դիրքը պտտման ֆիքսված առանցքով զ(Նկար 6.5) կարելի է նկարագրել՝ օգտագործելով ընդամենը մեկ սկալյար պարամետր. ռոտացիայի անկյուն (r. Սա պտտման առանցքի միջով գծված երկու հարթությունների միջև ընկած անկյունն է՝ ֆիքսված հարթություն Նև բջջային - Ռ,կոշտ միացված է մարմնին (նկ. 6.5): Անկյունի հղման ուղղությունը մենք ընդունում ենք որպես դրական ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ շարժմանը հակառակ, երբ դիտվում է առանցքի ծայրից զ.(նկար 6.5-ում նշված է աղեղային սլաքով): SI անկյան չափման միավորը 1 ռադիան «57.3° է: Պտտման անկյան ֆունկցիոնալ կախվածությունը ժամանակից

ամբողջությամբ որոշում է մարմնի պտտվող շարժումը ֆիքսված առանցքի շուրջ: Ուստի հավասարությունը (6.3) կոչվում է պինդ մարմնի պտտման հավասարում ֆիքսված առանցքի շուրջ։

Մարմնի պտտման արագությունը բնութագրվում է անկյունային արագությամբ հետմարմին, որը սահմանվում է որպես ժամանակի նկատմամբ պտտման անկյան ածանցյալ

և ունի rad/s (կամ s"") չափս։

Պտտվող շարժման երկրորդ կինեմատիկական բնութագիրը անկյունային արագացումն է՝ մարմնի անկյունային արագության ածանցյալը.

Անկյունային արագացման չափը ռադ/վ 2 է (կամ Հետ~ 2).

Մեկնաբանություն.Խորհրդանիշներ հետ և? Վայս դասախոսության նշանակված են հանրահաշվականանկյունային արագության և անկյունային արագացման արժեքները. Նրանց նշանները ցույց են տալիս պտտման ուղղությունը և դրա բնույթը (արագացված կամ դանդաղեցված): Օրինակ, եթե հետ = զ> 0, ապա անկյունը (Ռժամանակի ընթացքում ավելանում է, և, հետևաբար, մարմինը պտտվում է հղման ուղղությամբ (Ռ.

Պտտվող մարմնի յուրաքանչյուր կետի արագությունն ու արագացումը հեշտությամբ կարող են կապված լինել նրա անկյունային արագության և անկյունային արագացման հետ: Դիտարկենք կամայական կետի շարժումը Մմարմիններ (նկ. 6.6):

Քանի որ նրա հետագիծը շրջանագիծ է, աղեղի կոորդինատը.9 կետի Մմարմինը անկյան տակ պտտելուց հետո կամք

Որտեղ հ- հեռավորությունը կետից Մդեպի պտտման առանցքը (նկ. 6.6):

Տարբերակելով այս հավասարության երկու կողմերը ժամանակի նկատմամբ՝ մենք ստանում ենք՝ հաշվի առնելով (5.14) և (6.4).

որտեղ g g կետի արագության պրոյեկցիան է g շոշափողի վրա՝ ուղղված դեպի աղեղի հղման կետը և անկյունը:

Կետի նորմալ արագացման մեծությունը Մհամաձայն (5.20) և (6.6) կլինի

և նրա շոշափող արագացման պրոյեկցիան ռ շոշափողի վրա՝ համաձայն (5.19) և (6.5)

Ամբողջական կետի արագացման մոդուլ Մ

Վեկտորների ուղղությունները v, ա, ա», ա,այն դեպքի համար, երբ զ> 0 և f > 0-ը ներկայացված են Նկ. 6.7.

Օրինակ 1. Փոխանցման մեխանիզմը բաղկացած է անիվներից / և 2-ից, որոնք միացված են մի կետում TOայնպես որ երբ դրանք պտտվում են, փոխադարձ սայթաքում չլինի։ Անիվի պտտման հավասարումը 1:

դրական անկյան հղման ուղղություն (Ռցույց է տրված նկ. 6.8.

Մեխանիզմի չափերը հայտնի են. Գ= 4 սմ, R2= 6 սմ, g 2 = 2 սմ.

Գտեք կետի արագությունը և արագացումը Մանիվներ 2 ժամանակի համար /| = 2 վրկ.

Լուծում.Երբ անիվի մեխանիզմը շարժվում է 1 և 2-ը պտտվում են կետերով անցնող ֆիքսված առանցքների շուրջ 0 Եվ 0 2 Նկ.-ի հարթությանը ուղղահայաց: 6.8. Գտեք անիվի անկյունային արագությունը և անկյունային արագությունը Իժամանակին / = 2 վրկ՝ օգտագործելով այս մեծությունների վերը նշված (6.4) և (6.5) սահմանումները.

Նրանց բացասական նշանները ցույց են տալիս, որ տվյալ պահին t- 2 վրկ անիվ / պտտվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ (անկյան ընթերցման ուղղությանը հակառակ (Ռ) և այս պտույտը արագացված է: Անիվների փոխադարձ սայթաքման բացակայության պատճառով Իև նրանց կետերի 2 արագության վեկտորները շփման կետում TOպետք է հավասար լինի: Եկեք այս արագության մեծությունն արտահայտենք անիվների անկյունային արագություններով՝ օգտագործելով (6.6).

Վերջին հավասարությունից մենք արտահայտում ենք անիվի 2-ի անկյունային արագության մոդուլը և գտնում դրա արժեքը նշված ժամանակի 6 = 2 վրկ պահի համար.

Արագության ուղղություն Դեպի(նկ. 6.9) ցույց է տալիս, որ անիվ 2-ը պտտվում է ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ և, հետևաբար, օհ> 0. (6.10)-ից և վերջին անհավասարությունից պարզ է դառնում, որ անիվների անկյունային արագությունները տարբերվում են մշտական ​​բացասական գործակցով (- g1g 2): հետ 2 =գ (/գ 2): Բայց այդ դեպքում այս արագությունների ածանցյալները՝ անիվների անկյունային արագացումները, պետք է տարբերվեն նույն գործակցով. e 2 =? ] (-g ] /g 1)=-2-(-4/2) = 4s~ 2:

Գտեք կետի արագությունը և արագությունը Մքայլեց անիվ 2, օգտագործելով բանաձեւերը (6.6) - (6.9):

v և, a, և d/ վեկտորների ուղղությունները ներկայացված են Նկ. 6.9.