Карти

Здравей студент. Как да намерим конкретно решение на DE приблизително с помощта на серия? Редове. Основни понятия. Необходим знак за конвергенция

степенни редове.

С помощта на степенни редове е възможно да се интегрират диференциални уравнения.

Разгледайте линейно диференциално уравнение от формата:

Ако всички коефициенти и дясната страна на това уравнение се разгънат в конвергентни в определен интервал степенни редове, тогава има решение на това уравнение в някаква малка околност на нулевата точка, което удовлетворява началните условия.

Това решение може да бъде представено чрез степенен ред:

За да се намери решение, остава да се определят неизвестните константи c i.

Този проблем може да бъде решен метод за сравнение на несигурни коефициенти. Ние заместваме писмения израз за желаната функция в оригиналното диференциално уравнение, като извършваме всички необходими операции със степенни редове (диференциране, събиране, изваждане, умножение и т.н.)

След това приравняваме коефициентите при същите степени хот лявата и дясната страна на уравнението. В резултат на това, като вземем предвид началните условия, получаваме система от уравнения, от които последователно определяме коефициентите c i.

Имайте предвид, че този метод е приложим и за нелинейни диференциални уравнения.

Пример.Намерете решение на уравнението с начални условия y(0)=1, y’(0)=0.

Ще търсим решение на уравнението във формата

Заместваме получените изрази в оригиналното уравнение:

От тук получаваме:

………………

Получаваме чрез заместване начални условияв изрази за желаната функция и нейната първа производна:

Накрая получаваме:

Има друг метод за решаване на диференциални уравнения с помощта на серии. Нарича се метод на последователно диференциране.

Нека разгледаме същия пример. Ще търсим решение на диференциалното уравнение под формата на разлагане на неизвестната функция в ред на Маклорен.

Ако дадените начални условия y(0)=1, y’(0)=0заместваме в оригиналното диференциално уравнение, получаваме това

След заместване на получените стойности получаваме:

Редица на Фурие.

(Жан Батист Жозеф Фурие (1768 – 1830) – френски математик)

Тригонометрични редове.

Определение.Тригонометрични редовенаречена серия от формата:

или накратко,

Реални числа a i, b iсе наричат коефициенти на тригонометричния ред.

Ако серия от вида, представен по-горе, се сближава, тогава нейната сума е периодична функция с период 2p, тъй като функции грях nxи cos nxсъщо периодични функции с период 2p.

Нека тригонометричните редове се събират равномерно на отсечката [-p; p], и следователно на всеки сегмент поради периодичност, и неговата сума е равна на f(x).

Нека определим коефициентите на тази серия.

За да разрешим този проблем, използваме следните равенства:

Валидността на тези равенства следва от приложението им към подинтегралната функция тригонометрични формули. Вижте Интегриране на тригонометрични функции за повече информация.

защото функция f(x)е непрекъснат на интервала [-p; p], тогава има интеграл

Този резултат се получава в резултат на факта, че.

От тук получаваме:

По подобен начин умножаваме израза за разширение в редица на функция по sin nxи интегрирайте в диапазона от -p до p.

Получаваме:

Израз за коеф а 0е специален случай за изразяване на коефициенти a n.

По този начин, ако функцията f(x)– всяка периодична функция на период 2p, непрекъсната на интервала [-p; p] или с краен брой точки на прекъсване от първи вид на този сегмент, тогава коефициентите

съществуват и се наричат Коефициенти на Фуриеза функция f(x).

Определение.Близо до Фуриеза функция f(x)се нарича тригонометричен ред, чиито коефициенти са коефициенти на Фурие. Ако редът на Фурие на функция f(x)се събира към нея във всичките си точки на непрекъснатост, тогава казваме, че функцията f(x)се разширява в ред на Фурие.

Достатъчни признаци за разложимост в ред на Фурие.

Теорема. (теорема на Дирихле) Ако функцията f(x) има период 2p и върху сегмента

[-p;p] е непрекъснат или има краен брой точки на прекъсване от първи вид и сегментът

[-p;p] може да бъде разделен на краен брой сегменти, така че във всеки от тях функцията f(x) да е монотонна, тогава редът на Фурие за функцията f(x) се сближава за всички стойности на x, и в точките на непрекъснатост на функцията f(x) сумата й е равна на f(x), а в точките на прекъсване сумата й е равна на , т.е. средноаритметичната стойност на граничните стойности отляво и отдясно. В този случай редът на Фурие на функцията f(x) се събира равномерно на всеки сегмент, който принадлежи на интервала на непрекъснатост на функцията f(x).

Извиква се функция f(x), за която са изпълнени условията на теоремата на Дирихле монотонно на частивърху сегмента [-p;p].

Теорема. Ако функцията f(x) има период от 2p, в допълнение, f(x) и нейната производна f’(x) – непрекъснати функциина интервала [-p;p] или има краен брой точки на прекъсване от първи вид на този интервал, тогава редът на Фурие на функцията f(x) се сближава за всички стойности на x и в точките на непрекъснатост нейната сума е равна на f(x), а в точките на прекъсване е равна на . В този случай редът на Фурие на функцията f(x) се събира равномерно на всеки сегмент, който принадлежи на интервала на непрекъснатост на функцията f(x).

Функция, която отговаря на условията на тази теорема, се нарича на части – гладковърху сегмента [-p;p].

Разлагане в ред на Фурие на непериодична функция.

Проблемът с разширяването на непериодична функция в ред на Фурие по принцип не се различава от разширяването на периодична функция в ред на Фурие.

Да кажем функцията f(x)е дадена на интервал и е частично монотонна на този интервал. Помислете за произволна периодична монотонна на части функция f 1 (x)с период 2T ³ ïb-aï, съвпадаща с функцията f(x) на отсечката .

a - 2T a a b a+2T a + 4T x

Така че функцията f(x)беше добавено. Сега функцията f 1 (x)се разширява в ред на Фурие. Сумата от тази серия във всички точки на отсечката съвпада с функцията f(x),тези. можем да приемем, че функцията f(x)разширени в ред на Фурие на сегмента.

По този начин, ако функцията f(x) е дадена на интервал, равен на 2p, тя не се различава от серийното разширение на периодична функция. Ако сегментът, на който е дадена функцията, е по-малък от 2p, тогава функцията се разширява до интервала (b, a + 2p), така че условията за разлагане в ред на Фурие да се запазят.

Най-общо казано, в този случай продължаването на дадена функция върху отрязък (интервал) с дължина 2p може да се извърши по безкраен брой начини, така че сумите на получените серии ще бъдат различни, но ще съвпадат с дадените функция f(x) върху сегмента.

Редици на Фурие за четни и нечетни функции.

Нека отбележим следните свойства на четните и нечетните функции:

2) Произведението на две четни и нечетни функции е четна функция.

3) Произведението на четните и нечетните функции е нечетна функция.

Валидността на тези свойства може лесно да се докаже въз основа на дефиницията на четни и нечетни функции.

Ако f(x) е четна периодична функция с период 2p, която удовлетворява условията за разлагане в редица на Фурие, тогава можем да запишем:

Така за четна функция редът на Фурие се записва:

По подобен начин получаваме разширение в редица на Фурие за нечетна функция:

Пример.Разгънете в ред на Фурие периодична функция с период T = 2p на интервала [-p;p].

Дадената функция е странна, затова търсим коефициентите на Фурие във формата:

Определение.Редици на Фурие върху ортогонална система от функции j 1 (x), j 2 (x), …,jn(x) се нарича серия от вида:

чиито коефициенти се определят по формулата:

Където f(x)= е сумата от редица, равномерно събиращи се в отсечка по протежение на ортогонална система от функции. f(x) –всяка функция, която е непрекъсната или има краен брой точки на прекъсване от първи вид на сегмента.

В случай на ортонормална система от функции, коефициентите се определят:

Когато използвате компютърната версия “ Курс по висша математика” е възможно да се изпълни програма, която разширява произволна функция в ред на Фурие.

Серия Тейлър. Серия Maclaurin

Нека е функция, диференцируема безкраен брой пъти в околността на точка, т.е. има производни от всякакъв ред. Редът на Тейлър на функция в точка е степенен ред

В специалния случай на серия (1.8) се нарича серия на Маклорен:

Възниква въпросът: В какви случаи редът на Тейлър за функция, диференцирана безкраен брой пъти в околност на точка, съвпада с функцията?

Може да има случаи, когато редът на Тейлър на функция се събира, но сумата му не е равна

Нека представим достатъчно условие за сходимостта на реда на Тейлър на функция към тази функция.

Теорема 1.4: ако в даден интервал дадена функция има производни от всякакъв ред и всички те са ограничени по абсолютна стойност с едно и също число, т.е. тогава редът на Тейлър на тази функция се свежда до за всеки от този интервал, т.е. има равенство

Необходими са отделни изследвания, за да се определи дали това равенство е в сила в краищата на интервала на конвергенция.

Трябва да се отбележи, че ако дадена функция се разшири в степенна серия, тогава тази серия е серия на Тейлър (Маклаурин) на тази функция и това разширение е уникално.

Диференциални уравнения

Обикновен диференциално уравнение n-ти ред за аргументна функция се нарича релация на формата

където е дадена функция от нейните аргументи.

В името на този клас математически уравнения терминът „диференциал“ подчертава, че те включват производни (функции, образувани в резултат на диференциране); терминът "обикновен" показва, че желаната функция зависи само от един реален аргумент.

Едно обикновено диференциално уравнение може да не съдържа изрично аргумента на желаната функция и която и да е от нейните производни, но най-високата производна трябва да бъде включена в уравнението от n-ти ред.

Например,

А) - уравнение от първи ред;

Б) - уравнение от трети ред.

Когато се записват обикновени диференциални уравнения, често се използва обозначението за производни по отношение на диференциали:

Б) - уравнение от втори ред;

D) - уравнение от първи ред, което след разделяне на еквивалентна форма образува следното уравнение:

Функция се нарича решение на обикновено диференциално уравнение, ако при заместване в него се превръща в идентичност.

Намирането по един или друг метод, например селекция, на една функция, която удовлетворява уравнението, не означава решаването му. Решаването на обикновено диференциално уравнение означава намиране на всички функции, които образуват идентичност, когато бъдат заместени в уравнението. За уравнение (1.10) семейство от такива функции се формира с помощта на произволни константи и се нарича общо решение на обикновено диференциално уравнение от n-ти ред, а броят на константите съвпада с реда на уравнението: Общото решение може да не се разрешава изрично по отношение на В този случай решението обикновено се нарича общ интеграл на уравнение (1.10).

Присвоявайки някои допустими стойности на всички произволни константи в общото решение или в общия интеграл, получаваме определена функция, която вече не съдържа произволни константи. Тази функция се нарича частично решение или частичен интеграл на уравнение (1.10). За да се намерят стойностите на произволни константи и следователно конкретно решение, се използват различни допълнителни условия към уравнение (1.10). Например, така наречените начални условия могат да бъдат посочени на:

От дясната страна на началните условия (1.11) са дадени числените стойности на функцията и производните и, общ бройначалните условия е равен на броя на дефинираните произволни константи.

Проблемът за намиране на конкретно решение на уравнение (1.10) въз основа на началните условия се нарича проблем на Коши.

Интегриране на диференциални уравнения с помощта на серии

В общия случай намирането на точно решение на обикновено диференциално уравнение от първи ред (ODE) чрез интегрирането му е невъзможно. Освен това, това не е осъществимо за ODE система. Това обстоятелство доведе до създаването голямо числоприближени методи за решаване на ОДУ и техните системи. Сред приблизителните методи могат да се разграничат три групи: аналитични, графични и числени. Разбира се, такава класификация е до известна степен произволна. Например, графичният метод на прекъснатите линии на Ойлер е в основата на един от методите за числено решаване на диференциално уравнение.

Интегрирането на ODE с помощта на степенни редове е приблизителен аналитичен метод, който обикновено се прилага към линейни уравнения от поне втори ред. За простота се ограничаваме до разглеждане на линеен хомогенен ODE от втори ред с променливи коефициенти

Забележка: във формата може да бъде представен доста широк клас функции

къде са някои константи. Този израз се нарича степенен ред.

Нека приемем, че функциите могат да се разложат в редове, сходни в интервала:

Важи следната теорема (пропускайки доказателството, представяме само нейната формулировка).

Теорема 1.5: ако функциите имат формата (1.13), тогава всяко решение на ODE (1.12) може да бъде представено като степенен ред, сближаващ се при:

Тази теорема не само дава възможност да се представи решението под формата на степенен ред, но най-важното е, че обосновава сходимостта на реда (1.14). За простота поставяме (1.13) и (1.14) и търсим решение на ODE (1.12) във формата

Замествайки (1.15) в (1.12), получаваме равенството

За да се изпълни (1.16), е необходимо коефициентът за всяка степен да е равен на нула.

От това условие получаваме безкрайна система от линейни алгебрични уравнения

от които можете последователно да намерите, ако зададете стойностите и (в случай на проблема на Коши за ODE (1.12), те са включени в началните условия).

Ако функциите са рационални, т.е.

където са полиноми, тогава в близост до точки, в които или решение под формата на степенен ред може да не съществува, а ако съществува, то може да се разминава навсякъде с изключение на точката. Това обстоятелство е било известно на Л. Ойлер, който разгледа уравнението от първи ред

Това уравнение се удовлетворява от степенния ред

Не е трудно обаче да се види, че тази серия се разминава за всеки

Решението на ОДУ под формата на дивергентна степенна редица се нарича формално.

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РЕПУБЛИКА КАЗАХСТАН

Държавен университет в Северен Казахстан

тях. М. Козибаева

Факултет по информационни технологии

Катедра по математика

Курсовата работа е защитена

с рейтинг "___________"

"___"___________ 2013 г

глава отдел____________

А. Таджигитов

КУРСОВА работа по математика

„ИНТЕГРИРАНЕ НА ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ

ИЗПОЛЗВАНЕ НА СТЕПЕННИ РЕДОВЕ"

РЪКОВОДИТЕЛ: Валеева М.Б. ___________

Петропавловск 2013 г

АДАПТА

Berilgen kurstyk zhumysta qatarlarmen zhane диференциали tendemelermen baylanysty theorylyk suraktar karastyrylgan. Диференциали еңдеменің интегралдауынн мысалDERы zhәne manңағаз қаторлARDың көмімін ка достатъчнорылған.

АНОТАЦИЯ

В това курсова работаРазглеждат се теоретични въпроси, свързани с редове и диференциални уравнения. Разглеждат се примери за интегриране на диференциални уравнения с помощта на степенни редове.

в дадената работа се разглеждат теоретични въпроси, които са свързани с редовете и диференциалните уравнения. Разглеждат се примери за интегриране на частични диференциални уравнения с помощта на степенни редове.

ВЪВЕДЕНИЕ

ОСНОВНИ КОНЦЕПЦИИ, СВЪРЗАНИ С СЕРИИ И ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ

1 редове. Основни понятия. Необходим знак за конвергенция

2 Степенен ред. Свойства на степенните редове

3 Тейлър Роу. Серия Maclaurin

4 Диференциални уравнения

5 Интегриране на диференциални уравнения с помощта на серии

ПРИМЕРИ ЗА ИЗПОЛЗВАНЕ НА СТЕПЕННИ РЕДОВЕ ПРИ ИНТЕГРИРАНЕ НА ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ

1 Уравнение на Еъри

2 уравнение на Бесел

3 Примери за интегриране

4 Примери за интеграция в Maple

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ВЪВЕДЕНИЕ

Терминът "диференциално уравнение" идва от Лайбниц (1676, публикуван 1684). Началото на изследванията върху диференциалните уравнения датира от времето на Лайбниц и Нютон, в чиито трудове са изследвани първите проблеми, водещи до такива уравнения. Лайбниц, Нютон, братята Й. и И. Бернули разработват методи за интегриране на обикновени диференциални уравнения. Като универсален метод бяха използвани разширения на интеграли на диференциални уравнения в степенни редове.

В днешно време широкото въвеждане на изчислителни методи в науката, свързано с появата на мощни изчислителни инструменти, изисква преоценка на значението на различни клонове на математиката и по-специално на раздели от теорията на обикновените диференциални уравнения. Понастоящем нараства значението на методите за качествено изследване на решения на диференциални уравнения, както и на методите за приближено намиране на решения.

Решенията на много диференциални уравнения не се изразяват в елементарни функции или квадратури. В тези случаи се използват приближени методи за интегриране на диференциални уравнения. Един такъв метод е да се представи решението на уравнение като степенен ред; сумата от крайния брой членове на тази серия ще бъде приблизително равна на желаното решение. Това определя актуалността на избраната изследователска тема.

Целта на тази работа: да покаже използването на метода на степенните редове при интегрирането на диференциални уравнения.

Обект на изследването е процесът на интегриране на диференциални уравнения чрез метода на степенните редове.

Предмет на изследване са формите, методите и средствата за интегриране на диференциални уравнения чрез степенни редове.

В съответствие с целта могат да се формулират основните цели на тази работа:

Преглед на основните понятия, свързани с редове и диференциални уравнения.

Анализирайте метода за интегриране на диференциални уравнения с помощта на степенни редове.

Приложете метода на степенните редове за решаване на различни проблеми.

Структура на работата: заглавна страница, формуляр за работно задание, резюме, съдържание, въведение, основна част, заключение, списък с литература.

Основната част на работата се състои от две глави. Първата глава разкрива понятията за редове, степенни редове, редове на Тейлър и диференциални уравнения. Във втора глава са разгледани примери за интегриране на диференциални уравнения чрез степенни редове.

За изучаване на теоретичната част на работата са използвани материали от учебна литература и периодични издания, посочени в списъка на използваната литература.

Обем на работа: 26 страници.

1. ОСНОВНИ КОНЦЕПЦИИ, СВЪРЗАНИ С СЕРИИ И ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ

1.1 редове. Основни понятия. Необходим знак за конвергенция

В математическите приложения, както и при решаването на някои проблеми в икономиката, статистиката и други области, се разглеждат суми с безкраен брой членове. Тук ще дадем дефиниция какво се разбира под такива суми.

Нека е дадена безкрайна редица от числа. Числова серия или просто серия е израз (сума) на формата

,(1.1)

числата се наричат членове на редица – общи или n-ти членред.

За да се дефинира серията (1.1), е достатъчно да се посочи функцията на естествения аргумент за изчисляване на n-тия член на серията по неговия номер

Пример 1.1. Позволявам . Редете

(1.2)

наречена хармонична серия.

От членовете на ред (1.1) образуваме числова последователностчастични суми Където - сумата от първите членове на редицата, която се нарича n-та частична сума, т.е.

(1.3)

Числова последователност с неограничено увеличаване на броя може:

) имат краен предел;

) нямат крайна граница (границата не съществува или е равна на безкрайност).

Редът (1.1) се нарича сходящ, ако последователността от неговите частични суми (1.3) има краен предел, т.е.

В този случай числото се нарича сбор от редица (1.1) и се записва

Редът (1.1) се нарича дивергентен, ако последователността от неговите частични суми няма краен предел. Не се приписва сума на разминаващите се редове.

По този начин проблемът за намиране на сумата на конвергентен ред (1.1) е еквивалентен на изчисляване на границата на редицата от нейните частични суми.

Доказателството на теоремата следва от факта, че , и ако

S е сумата от ред (1.1), тогава

Условието (1.4) е необходимо, но не достатъчно условие за сходимостта на редицата. Тоест, ако общият член на серията клони към нула при , това не означава, че серията се сближава. Например за хармоничната серия (1.2)

обаче се разминава.

Следствие (Достатъчен признак за разминаване на ред): ако общият член на реда не клони към нула, тогава този ред се разминава.

Пример 1.2. Проверете серията за конвергенция

За тази серия Следователно тази серия се разминава.

1.1 1.2 Степенен ред. Свойства на степенните редове

Степенните редове са частен случай на функционални редове.

Степенен ред е функционален ред на формата

тук има постоянни реални числа, наречени коефициенти на степенни редове;

Някакво постоянно число;

Променлива, която приема стойности от набор от реални числа.

Когато степенният ред (1.5) приеме формата

(1.6)

Степенен ред (1.5) се нарича ред по степени на разликата; ред (1.6) е ред по степени. Ако дадена променлива получи някаква стойност, тогава степенният ред (1.5) (или (1.6)) се превръща в числов. серии, които могат да се сближават или разминават.

Областта на конвергенция на степенен ред е набор от стойности, при които степенният ред се сближава.

Теорема 1.2 (теорема на Абел): ако степенният ред (1.6) се сближава при тогава той абсолютно се сближава за всички стойности, удовлетворяващи неравенството, но ако редът (1.6) се разминава при тогава той се разминава за всички стойности, удовлетворяващи неравенството

Теоремата на Абел дава ясна представа за структурата на областта на конвергенция на степенна серия.

Теорема 1.3: областта на сходимост на степенния ред (1.6) съвпада с един от следните интервали:

) ; 2) ; 3) ; 4) ,

където е някакво неотрицателно реално числоили

Числото се нарича радиус на сходимост, интервалът се нарича интервал на сходимост на степенния ред (1.6).

Ако тогава интервалът на конвергенция представлява цялата числова линия

Ако тогава интервалът на конвергенция се изражда до точката

Забележка: ако е интервалът на сходимост за степенния ред (1.2), тогава - интервал на сходимост за степенния ред (1.5).

От теорема 1.3 следва, че за да се намери практически областта на сходимост на степенния ред (1.6), е достатъчно да се намери неговият радиус на сходимост и да се изясни въпросът за сходимостта на този ред в краищата на интервала на сходимост, т.е. при и

Радиусът на конвергенция на степенен ред може да се намери с помощта на една от следните формули:

формула на д'Аламбер:

Формула на Коши:

Пример 1.3. Намерете радиуса на сближаване, интервала на сближаване и областта на сближаване на степенния ред

Нека намерим радиуса на сходимост на този ред, използвайки формулата

В нашия случай

Следователно интервалът на конвергенция на този ред има формата

Нека изследваме сходимостта на реда в краищата на интервала на сходимост.

който се разминава като хармоничен ред.

Когато степенният ред се превърне в числов ред

Това е редуваща се серия, чиито членове намаляват по абсолютна стойност и

Следователно, според критерия на Лайбниц, този числов ред се събира.

По този начин интервалът е областта на сближаване на даден степенен ред.

Степенният ред (1.6) е функция, дефинирана в интервала на сходимост, т.е.

Ето някои свойства на функцията:

Свойство 1. Функцията е непрекъсната на всеки сегмент, принадлежащ на интервала на сходимост

Свойство 2. Функцията е диференцируема на интервала и нейната производна може да се намери чрез почленно диференциране на реда (1.6), т.е.

за всички

Свойство 3. Неопределеният интеграл на функция за всички може да се получи чрез почленно интегриране на ред (1.6), т.е.

за всички

Трябва да се отбележи, че при почленно диференциране и интегриране на степенен ред, неговият радиус на конвергенция не се променя, но неговата конвергенция в краищата на интервала може да се промени.

Горните свойства са валидни и за степенни редове (1.5).

Пример 1.4. Помислете за степенните серии

Областта на сближаване на тази серия, както е показано в пример 1.3, е интервалът

Нека разграничим тази серия термин по термин:

(1.7)

Нека проучим поведението на тази серия в краищата на интервала на конвергенция.

Тази числова серия се разминава, защото не е изпълнен необходимият критерий за конвергенция

който не съществува.

Когато степенният ред (1.7) се превърне в числов ред

което също се разминава, защото необходимият критерий за конвергенция не е изпълнен.

Следователно областта на конвергенция на степенните редове, получени чрез почленно диференциране на оригиналните степенни редове, се е променила и съвпада с интервала .

1.3 Редица на Тейлър. Серия Maclaurin

(1.8)

В специалния случай на серия (1.8) се нарича серия на Маклорен:

Възниква въпросът: В какви случаи редът на Тейлър за функция, диференцирана безкраен брой пъти в околността на точка, съвпада с функцията ?

Възможно е да има случаи, когато редът на Тейлър на функция се събира, но сумата му не е равна

Нека представим достатъчно условие за сходимостта на реда на Тейлър на функция към тази функция.

Теорема 1.4: ако в интервала функцията има производни от всякакъв ред и всички те са ограничени по абсолютна стойност до един и същ брой, т.е. тогава редът на Тейлър на тази функция се свежда до за всеки от този интервал тези. има равенство

За да се определи дали това равенство е валидно в краищата на интервала на конвергенция, са необходими отделни изследвания.

1.4 Диференциални уравнения

Обикновено диференциално уравнение от n-ти ред за аргументна функция е отношение на формата

където е дадена функция от нейните аргументи.

Например,

А) - уравнение от първи ред;

Б) - уравнение от трети ред.

IN) - уравнение от втори ред;

G) - уравнение от първи ред, което след разделяне на еквивалентна форма образува следното уравнение:

От дясната страна на началните условия (1.11) са посочени числените стойности на функцията и производните, а общият брой на началните условия е равен на броя на дефинираните произволни константи.

1.5 Интегриране на диференциални уравнения с помощта на серии

В общия случай намирането на точно решение на обикновено диференциално уравнение от първи ред (ODE) чрез интегрирането му е невъзможно. Освен това, това не е осъществимо за ODE система. Това обстоятелство доведе до създаването на голям брой приблизителни методи за решаване на ОДУ и техните системи. Сред приблизителните методи могат да се разграничат три групи: аналитични, графични и числени. Разбира се, такава класификация е до известна степен произволна. Например, графичният метод на прекъснатите линии на Ойлер е в основата на един от методите за числено решаване на диференциално уравнение.

(1.12)

Забележка: във формата може да бъде представен доста широк клас функции

къде са някои константи. Този израз се нарича степенен ред.

Нека приемем, че функциите могат да се разложат в редове, сходни в интервала:

Важи следната теорема (пропускайки доказателството, представяме само нейната формулировка).

(1.14)

(1.15)

Замествайки (1.15) в (1.12), получаваме равенството

За да се изпълни (1.16), е необходимо коефициентът за всяка степен да е равен на нула.

От това условие получаваме безкрайна система от линейни алгебрични уравнения

от които можем последователно да намерим, ако зададем стойностите и (в случай на проблема на Коши за ODE (1.12) те са включени в началните условия ).

Ако функциите са рационални, т.е.

Това уравнение се удовлетворява от степенния ред

Не е трудно обаче да се види, че тази серия се разминава за всеки

Решението на ОДУ под формата на дивергентна степенна редица се нарича формално.

2. ПРИМЕРИ ЗА ИЗПОЛЗВАНЕ НА СТЕПЕННИ РЕДОВЕ ПРИ ИНТЕГРИРАНЕ НА ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ

Ефирно уравнение

Решение на уравнението на Ейри

Ще търсим под формата на степенен ред (1.15). Тогава равенството (1.16) ще приеме формата

Коефициентът за е равен на Следователно, от това, че коефициентът е равен на нула, намираме, че коефициентът за е равен на Оттук

От тази формула получаваме

По същия начин намираме

Коефициентите остават несигурни. За да намерим фундаменталната система от решения, първо задаваме и след това обратното. В първия случай имаме

а във втория

Въз основа на теорема 1.5 тези редове са сходни навсякъде на числовата ос

Функциите се наричат Airy функции. За големи стойности асимптотиката на тези функции се описва с формулите

Графиките на тези функции са показани на фигура 1.

Снимка 1

С неограничено увеличение нулите на всяко решение на уравнението на Ейри се приближават без ограничение, което е ясно от асимптотичното представяне на тези решения, но изобщо не е очевидно от представянето на функциите на Ейри под формата на конвергентна мощност серия. От това следва, че методът за намиране на решение на ODE с помощта на серия е, най-общо казано, от малка полза при решаването приложни проблеми, а самото представяне на решението под формата на серия затруднява анализирането на качествените свойства на получения разтвор.

2.1 Уравнение на Бесел

Линейно диференциално уравнение с променливи коефициенти, имащо формата

наречено уравнение на Бесел.

Ще търсим решение на уравнение (2.1) под формата на обобщен степенен ред, т.е. продукти до известна степен от степната серия:

(2.2)

Като заместим обобщен степенен ред в уравнение (2.1) и приравним към нула коефициентите за всяка степен от лявата страна на уравнението, получаваме системата

Ако приемем, че от тази система намираме Нека Тогава от второто уравнение на системата, което намираме, и от уравнението, даващо стойностите 3,5,7,..., заключаваме, че За коефициенти с четни числа получаваме изразите

Замествайки намерените коефициенти в серия (2.2), получаваме решението

където коефициентът остава произволен.

За всички коефициенти се определят по подобен начин само в случай, че не е равно на цяло число. Тогава решението може да се получи чрез замяна на стойността в предишното решение с:

Получените степенни редове се събират за всички стойности на , което лесно се установява въз основа на теста на D'Alembert. Решенията и са линейно независими, тъй като отношението им не е постоянно.

Решение, умножено по константа се нарича функция на Бесел (или цилиндрична функция) от порядък от първи род и се обозначава със символа Решението се обозначава

Общоприетият избор на константа включва гама функцията, която се определя от неправилния интеграл:

следователно общо решениеуравнение (2.1), когато не е равно на цяло число, има формата където и са произволни константи.

2.2 Примери за интегриране

В случаите, когато уравнението изисква решаване на проблема на Коши при първоначалното условие, решението може да се търси с помощта на серията на Тейлър:

където се намират допълнителни производни последователна диференциацияпървоначалното уравнение и заместване в резултата от диференцирането вместо стойностите и всички други намерени последващи производни. По подобен начин уравненията от по-висок ред могат да бъдат интегрирани с помощта на серията на Тейлър.

Пример 2.1. Приблизително интегрирайте уравнението, като използвате реда на Тейлър, като вземете първите шест ненулеви члена на разширението.

От уравнението на началните условия намираме Диференцирайки това уравнение, последователно получаваме

Вярване и използване на значения последователно намираме, че търсеното решение има формата

Пример 2.2. Намерете първите четири (различни от нула) членове на разширението. И

Замествайки намерените стойности в серия (2.3), получаваме желаното решение с определената точност:

2.3 Примери за интеграция в Maple

За да намерите аналитични решения на диференциални уравнения в Maple, използвайте командата dsolve(eq,var,options), където eq е диференциалното уравнение, var са неизвестни функции, options са параметри. Параметрите могат да показват метод за решаване на проблем, например, по подразбиране се търси аналитично решение: тип=точно. При съставяне на диференциални уравнения командата diff се използва за обозначаване на производната, например диференциалното уравнение се записва във формата: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

За да намерите приблизително решение на диференциално уравнение под формата на степенен ред, в командата dsolve посочете параметъра тип=серия (или просто серия) след променливите. За да се посочи редът на разлагане, т.е. Редът на степента, до която се извършва разлагането, трябва да бъде предшестван от командата dsolve чрез вмъкване на дефиниция на реда с помощта на командата Order:=n.

Ако се търси общо решение на диференциално уравнение под формата на разширение на степенен ред, тогава коефициентите при степените на намереното разширение ще съдържат неизвестни стойности на функцията при нула и нейните производни и т.н. Изразът, получен в изходния ред, ще има форма, подобна на разлагането на желаното решение в редицата на Маклорен, но с различни коефициенти за степените. За да се изолира конкретно решение, трябва да се уточнят началните условия и т.н., като броят на тези начални условия трябва да съвпада с реда на съответното диференциално уравнение.

Разширението в степенна серия е от тип серия, така че за по-нататъшна работа с тази серия, тя трябва да бъде преобразувана в полином с помощта на командата convert(%,polynom) и след това изберете дясната страна на получения израз с rhs( %) команда.

> cond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, (D@@2)(y)(0)=1;

> dsolve((de,cond),y(x));

> y1:=rhs(%):

> dsolve((de,cond),y(x),series);

Забележка: типът решение на диференциално уравнение под формата на серия е серия, така че за по-нататъшно използване на такова решение (изчисления или чертане), то трябва да бъде преобразувано в полином с помощта на командата convert.

степен на серия от диференциални уравнения

> конвертиране (%, многочлен): y2: = rhs (%):

> p1:=плот(y1, x=-3..3, дебелина=2, цвят=черен):

> p2:=плот(y2, x=-3..3, стил на линия=3, дебелина=2, цвят=черен):

> с(графики): дисплей(p1,p2);

Фигура 2 показва, че най-доброто приближение на точното решение чрез степенен ред се постига приблизително в интервала

Фигура 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Целите, поставени в курсовата работа бяха напълно постигнати, бяха решени следните задачи:

Дефинирани са основните понятия, свързани с редовете и диференциалните уравнения.

Разглежда се методът за интегриране на диференциални уравнения с помощта на степенни редове.

Проблемите по тази тема са решени.

В тази курсова работа материалът е изучен и систематизиран за използване от студентите по време на самоподготовкаметод за интегриране на диференциални уравнения с помощта на степенни редове. Разглеждат се понятията ред и диференциални уравнения. Приблизителните изчисления бяха извършени с помощта на серии.

Работата може да се използва като учебно помагало за студенти от технически и математически специалности.

Резултатите от работата могат да послужат като основа за по-нататъшни изследвания.

СПИСЪК НА ИЗПОЛЗВАНАТА ЛИТЕРАТУРА

1 Трикоми Ф. Диференциални уравнения. Превод от английски. - М.: Букинист, 2003. - 352 с.

Власова Б. А., Зарубин Б. С., Кувиркин Г. Н. Приблизителни методи на математическата физика: Учебник за университети. - М .: Издателство на MSTU im. Н. Е. Бауман, 2001. - 700 с.

Будак Б. М. Фомин С. В. Кратни интеграли и редове. - М.: Физматлит, 2002. - 512 с.

Демидович Б. П. Сборник задачи и упражнения в математически анализ. - М.: Издателство Моск. Университет Черо, 2000 г. - 624 с.

Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. и др. Цялата висша математика: Учебник. Т. 3. - М.: Издателска къща Editorial URSS, 2005. - 240 с.

Яблонски А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др.: Общ курс: Учебник. - М.: Висше. училище, 2000.- 351 с.

Малахов А. Н., Максюков Н. И., Никишкин В. А. Висша математика. - М.: EAOI, 2008. - 315 с.

Марков Л. Н., Размислович Г. П. Висша математика. Част 2. Основи на математическия анализ и елементи на диференциалните уравнения. - М.: Амалфея, 2003. - 352 с.

Агафонов С. А., Герман А. Д., Муратова Т. В. Диференциални уравнения. - М .: Издателство на MSTU im. Н.Е. Бауман, 2004. - 352 с.

Coddington E. A., Levinson N. Теория на обикновените диференциални уравнения. - М.: Амалфея, 2001. - 475 с.

Fikhtengolts G. M. Курс на диференциално и интегрално смятане. Т. 2. - М.: Физматлит, 2001. - 810 с.

Как да намерим конкретно решение на DE приблизително с помощта на серия?

Продължавайки да изучаваме практическите приложения на теорията на редовете, нека разгледаме друг често срещан проблем, чието име виждате в заглавието. И за да не се чувстваме като косачка през целия урок, нека веднага разберем същността на задачата. Три въпроса и три отговора:

Какво трябва да намерите? Частно решение на диференциално уравнение. Намек между редовете нашепва, че досега е препоръчително поне да разберем какво е това диференциално уравнениеи какво е неговото решение.

КАК се изисква това решение? Приблизително - с помощта на серия.

И третият логичен въпрос: защо приблизително?Вече разгледах този въпрос в клас. Методи на Ойлер и Рунге-Кута, но повторението няма да навреди. Като привърженик на конкретиката, ще се върна към най-простото диференциално уравнение. По време на първата лекция за дифузьорите намерихме неговото общо решение (множество от експоненти) и частно решение, съответстващо на началното условие. Графиката на функция е най-често срещаната линия, която е лесна за изобразяване на чертеж.

Но това е елементарен случай. На практика има много диференциални уравнения, които не могат да бъдат решени точно аналитично (поне с известните в момента методи). С други думи, без значение как извъртате такова уравнение, няма да е възможно да го интегрирате. И уловката е в това може да съществува общо решение (семейство от прави в равнина).. И тогава на помощ идват методите на изчислителната математика.

Да срещнем нашата радост!

Типична задачасе формулира по следния начин:

… , отговарящи на началното условие, под формата на три (по-рядко - четири или пет)ненулеви членове Серия Тейлър.

Необходимото конкретно решение се разширява в тази серия съгласно добре известната формула:

Единственото нещо е, че вместо буквата „ef“ тук се използва „ig“ (както се случва).

Идеята и смисълът също са познати: за някои дифузори и при определени условия (няма да навлизаме в теорията) вградени степенните редове ще се сближатдо желаното конкретно решение. Тоест, колкото повече членове от серията разглеждаме, толкова по-точно графиката на съответния полином ще апроксимира графиката на функцията.

Трябва да се отбележи, че горното се отнася за най-простите случаи. Нека проведем просто изследване на децата върху едно и също гърне:

Пример 1

Намерете приблизително частично решение на диференциалното уравнение, което удовлетворява началното условие под формата на първите четири ненулеви члена от серията на Тейлър.

Решение: в условията на този проблем, следователно общата формула на Тейлър се трансформира в специален случай Разширение на серията Maclaurin:

Гледайки малко напред, ще кажа, че в практическите задачи тази по-компактна серия е много по-често срещана.

Въведете и двете работещи формули в справочника си.

Нека разберем значенията. Удобно е да номерирате етапите на решението:

0) На стъпка нула записваме стойността, която винаги е известна от условието. В тетрадката е препоръчително да оградите крайните резултати от точките, за да се виждат ясно и да не се губят в решението. По технически причини ми е по-удобно да ги маркирам с удебелен шрифт. Освен това, имайте предвид, че тази стойност не е нула! В крайна сметка условието изисква намирането на четирима ненулевчленове на поредицата.

1) Нека изчислим. За да направите това, заменете известната стойност в дясната страна на оригиналното уравнение вместо „y“:

2) Нека изчислим. Първо намираме втора производна:

Заменяме стойността, намерена в предишния параграф, в дясната страна:

Вече имаме три ненулеви члена на разширение, имаме нужда от още един:

Пример 2

Намерете приблизително частично решение на диференциалното уравнение , удовлетворяващо началното условие под формата на първите три ненулеви члена на реда на Тейлър.

Решениезапочва със стандартна фраза:

Следователно в този проблем:

Сега последователно намираме стойностите - докато се получат три ненулеврезултат. Ако имате късмет, те ще бъдат различни от нула – това е идеален случай с минимално количество работа.

Нека съкратим точките за решение:

0) По условие. Ето го и първият успех.

1) Нека изчислим. Първо, нека решим първоначалното уравнение по отношение на първата производна, тоест, изразяваме . Нека заместим известните стойности в дясната страна:

Получихме волан и това не е добре, тъй като се интересуваме ненулевзначения. Въпреки това, нула - същия резултат, които не забравяме да оградим или подчертаем по друг начин.

2) Намерете втората производна и заменете известните стойности в дясната страна:

Второто е „не нула“.

3) Намерете производната на втората производна:

Като цяло задачата донякъде напомня на Приказката за ряпата, когато дядо, баба и внучка викат на помощ буболечка, котка и др. И всъщност всяка следваща производна се изразява чрез своите „предшественици“.

Нека заместим известните стойности в дясната страна:

Третата ненулева стойност. Извадиха ряпата.

Внимателно и внимателно заменете „удебелените“ числа в нашата формула:

Отговор: желаното приблизително разширение на конкретното решение:

В разглеждания пример имаше само една нула на второ място и това не е толкова лошо. Като цяло нулите могат да се срещат колкото искате и навсякъде. Повтарям, много е важно да ги подчертаете заедно с ненулеви резултати, за да не се объркате в замени на последния етап.

Ето ви - франзелата е на първо място:

Пример 3

Намерете приблизително частично решение на диференциалното уравнение, съответстващо на началното условие, под формата на първите три ненулеви члена от серията на Тейлър.

Примерен пример за задача в края на урока. Точките на алгоритъма може да не са номерирани (оставяйки например празни редове между стъпките), но препоръчвам на начинаещите да се придържат към строг шаблон.

Разглежданата задача изисква повишено внимание - ако направите грешка на която и да е стъпка, тогава всичко останало също ще бъде грешно! Следователно ясната ви глава трябва да работи като часовник. Уви, това не е така интегралиили дифузори, които могат да бъдат надеждно решени дори в уморено състояние, тъй като позволяват извършването на ефективна проверка.

На практика се среща много по-често Разширение на серията Maclaurin:

Пример 4

Решение: по принцип можете веднага да пишете Разширение на Maclaurin, но е по-академично да започнем да формализираме проблема с общия случай:

Разширението на конкретно решение на диференциално уравнение при началното условие има формата:

Следователно в този случай:

0) По условие.

Ами какво можеш да направиш... Да се надяваме, че има по-малко нули.

1) Нека изчислим. Първият дериват вече е готов за употреба. Нека заместим стойностите:

2) Нека намерим втората производна:

И нека заместим в него:

Нещата минаха добре!

3) Намерете. Ще го напиша много подробно:

Обърнете внимание, че обичайните алгебрични правила се прилагат за производни: въвеждане на подобни термини на последната стъпка и записване на продукта като степен: (пак там).

Нека заменим всичко, което е придобито с непосилен труд:

Раждат се три ненулеви стойности.

Заменяме „смелите“ числа във формулата на Maclaurin, като по този начин получаваме приблизително разширение на конкретното решение:

Отговор:

За независимо решение:

Пример 5

Представете приблизително определено решение на диференциалното уравнение, съответстващо на даденото начално условие, като сбор от първите три ненулеви члена на степенния ред.

Примерен дизайн в края на урока.

Както можете да видите, проблемът с частично разширяване в Серия Maclaurinсе оказа още по-трудно от общия случай. Сложността на разглежданата задача, както току-що видяхме, се крие не толкова в самото разлагане, колкото в трудностите на диференциацията. Освен това понякога трябва да намерите 5-6 производни (или дори повече), което увеличава риска от грешка. И в края на урока предлагам няколко задачи с повишена сложност:

Пример 6

Решете диференциалното уравнение приблизително, като използвате разширението на определено решение в серия на Маклорен, като се ограничим до първите три ненулеви члена на серията

Решение: имаме дифър от втори ред, но това на практика не променя нещата. Съгласно условието веднага ни се иска да използваме серията Maclaurin, която няма да пропуснем да използваме. Нека запишем познатото разширение, като вземем повече термини за всеки случай:

Алгоритъмът работи точно по същия начин:

0) – по условие.

1) – според условието.

2) Нека разрешим първоначалното уравнение по отношение на втората производна: .

И нека заместим:

Първа ненулева стойност

Кликнете върху производни и извършете замествания:

Нека заместим и:

Нека заместим:

Втората ненулева стойност.

5) – по пътя представяме подобни производни.

Нека заместим:

Накрая. Въпреки това, може да бъде по-лошо.

По този начин, приблизителното разширение на желаното конкретно решение е:

Министерство на образованието на Република Беларус

Образователна институция

„Могилевски Държавен университетна името на A.A. Кулешова"

Катедра МАиВТ

Конструиране на решения на диференциални уравнения с помощта на серии

Курсова работа

Изпълнил: студент 3-та година Б група

Физико-математически факултет

Юскаева Александра Маратовна

Научен ръководител:

Морозов Николай Порфириевич

МОГИЛЕВ, 2010

Въведение

1. Диференциални уравнения от по-високи редове

1.1. Концепцията за линейно диференциално уравнение от n-ти ред

2. Интегриране на диференциални уравнения чрез редове

2.1. Интегриране на диференциални уравнения чрез степенни редове.

2.2. Интегриране на диференциални уравнения с помощта на обобщени степенни редове.

3. Специални случаи на използване на обобщени степенни редове при интегриране на диференциални уравнения.

3.1. Уравнение на Бесел.

3.2. Хипергеометрично уравнение или уравнение на Гаус.

4. Приложение на метода за интегриране на обикновени диференциални уравнения с помощта на редове в практиката.

Заключение

Литература

Въведение

В общия случай намирането на точно решение на обикновено диференциално уравнение от първи ред чрез интегрирането му е невъзможно. Освен това, това не е възможно за система от обикновени диференциални уравнения. Това обстоятелство доведе до създаването на голям брой приблизителни методи за решаване на обикновени диференциални уравнения и техните системи. Сред приблизителните методи могат да се разграничат три групи: аналитични, графични и числени. Разбира се, такава класификация е до известна степен произволна. Например, графичният метод на прекъснатите линии на Ойлер е в основата на един от методите за числено решаване на диференциално уравнение.

Интегрирането на обикновени диференциални уравнения с помощта на степенни редове е приблизителен аналитичен метод, който обикновено се прилага към линейни уравнения от поне втори ред.

Аналитични методи се намират в курса по диференциални уравнения. За уравнения от първи ред (с разделими променливи, хомогенни, линейни и т.н.), както и за някои видове уравнения от по-висок ред (например линейни с постоянни коефициенти), е възможно да се получат решения под формата на формули чрез аналитични трансформации.

Целта на работата е да се анализира един от приблизителните аналитични методи, като интегрирането на обикновени диференциални уравнения с помощта на серии и тяхното приложение при решаване на диференциални уравнения.

Диференциални уравнения от по-висок ред

Обикновено диференциално уравнение от n-ти ред е връзка на формата

където F е известна функция на своите аргументи, дефинирана в определена област;

x - независима променлива;

y е функция на променливата x, която трябва да се определи;

y’, y”, …, y (n) - производни на функцията y.

В този случай се приема, че y (n) действително е включено в диференциалното уравнение. Всеки от другите аргументи на функцията F може да не участва изрично в тази връзка.

Всяка функция, която удовлетворява дадено диференциално уравнение, се нарича негово решение или интеграл. Решаването на диференциално уравнение означава намиране на всички негови решения. Ако за търсената функция y е възможно да се получи формула, която дава всички решения на дадено диференциално уравнение и само тях, тогава казваме, че сме намерили неговото общо решение или общ интеграл.

Общото решение на диференциално уравнение от n-ти ред съдържа n произволни константи c 1, c 2,..., c n и има формата.

1.1. Концепцията за линейно диференциално уравнениен-та поръчка

Диференциално уравнение от n-ти ред се нарича линейно, ако е от първа степен по отношение на множеството от величини y, y’, ..., y (n). Така линейното диференциално уравнение от n-ти ред има формата:

където са известни непрекъснати функции на x.

Това уравнение се нарича нехомогенно линейно уравнение или уравнение с правилната страна. Ако дясната страна на уравнението е идентично равна на нула, тогава линейно уравнениесе нарича хомогенно диференциално линейно уравнение и има формата

Ако n е равно на 2, тогава получаваме линейно уравнение от втори ред, което ще бъде записано като: Точно като линейно уравнение от n-ти ред, уравнение от втори ред може да бъде хомогенно () и нехомогенно.

Интегриране на диференциални уравнения с помощта на серии.

Решенията на обикновено диференциално уравнение от първи ред с променливи коефициенти не винаги се изразяват чрез елементарни функции и интегрирането на такова уравнение рядко се свежда до квадратури.

2.1. Интегриране на диференциални уравнения чрез степенни редове.

Най-често срещаният метод за интегриране на тези уравнения е да се представи желаното решение под формата на степенен ред. Разгледайте уравнения от втори ред с променливи коефициенти

Бележка1. Във формуляра може да бъде представен доста широк клас функции

където са някои константи. Този израз се нарича степенен ред. Ако неговите стойности са равни на съответните стойности на функцията за всеки x от интервала (x 0 - T; x 0 + T), тогава такава серия се нарича конвергентна в този интервал.

Да приемем, че функциите a(x), b(x) са аналитични функции на уравнение (2.1) на интервала (x 0 - T; x 0 + T), T > 0, т.е. се разширяват в степенни редове:

Важи следната теорема (пропускайки доказателството, представяме само нейната формулировка).

Теорема_1. Ако функциите a(x), b(x) имат формата (2.2), тогава всяко решение y(x) на обикновеното диференциално уравнение (2.1) може да бъде представено като сходящо като |x - x 0 |< Т степенного ряда:

Тази теорема не само дава възможност да се представи решението под формата на степенен ред, но също така, най-важното, обосновава сходимостта на реда (2.3).

Алгоритъмът за такова представяне е както следва. За удобство нека поставим x 0 = 0 в (2.2) и (2.3) и потърсим решение на обикновеното диференциално уравнение (2.1) във формата

Замествайки (2.4) в (2.1), получаваме равенството

За да се изпълни (2.5), е необходимо коефициентът за всяка степен x да бъде равен на нула. От това условие получаваме безкрайна система от линейни алгебрични уравнения

………………………………………….

…………………………………………………………………. .

От получената безкрайна система от линейни алгебрични уравнения може последователно да се намери, ..., ако се зададат стойностите и (в случая на проблема на Коши за обикновеното диференциално уравнение (2.1), може да се въведат началните условия = , =).

Ако функциите a(x), b(x) са рационални, т.е. , b , където са полиноми, тогава в близост до точки, в които или, решение под формата на степенен ред може да не съществува и ако съществува, то може да се разминава навсякъде с изключение на точката x = 0. Това обстоятелство е известно на Л. Ойлер, който разглежда уравнението от първи ред

Това уравнение се удовлетворява от степенния ред

Не е трудно обаче да се види, че тази серия се разминава за всеки. Решението на обикновено диференциално уравнение под формата на дивергентни степенни редове се нарича формално.

Един от най-ярките и разбираеми примери за използването на този метод на интегриране са уравненията на Airy или

Всички решения на това уравнение са цели функции на x. След това ще търсим решение на уравнението на Ейри под формата на степенен ред (2.4). Тогава равенството (2.5) приема формата

Нека поставим коефициента при всяка степен x равен на нула. Ние имаме

……………………………

Коефициентът за нулева степен на x е равен на 2y 2. Следователно y 2 = 0. Тогава от равенството на коефициента на нула намираме = . Коефициентът е равен на. Оттук.

От тази формула получаваме

Коефициентите остават несигурни. За да намерим фундаменталната система от решения, първо задаваме = 1, = 0 и след това обратно. В първия случай имаме

а във втория

Въз основа на Теорема_1, тези серии са сходни навсякъде на числовата ос.

Функциите и се наричат Airy функции. За големи стойности на x асимптотичното поведение на тези функции се описва със следните формули и.

Графиките на тези функции са показани на фиг. 2.1. Откриваме, че с неограничено увеличение на x, нулите на всяко решение на уравнението на Ейри се приближават една до друга за неопределено време, което също е видно от асимптотичното представяне на тези решения, но изобщо не е очевидно от представянето на функциите на Ейри в формата на конвергентни степенни редове. От това следва, че методът за търсене на решение на обикновено диференциално уравнение с помощта на серия, най-общо казано, е малко полезен при решаването на приложни проблеми и самото представяне на решението под формата на серия затруднява анализа на качествени свойства на получения разтвор.

2.2. Интегриране на диференциални уравнения с помощта на обобщени степенни редове.

Така че, ако в уравнение (2.1) функциите a(x), b(x) са рационални, тогава точките, в които или се наричат особени точки на уравнение (2.1).

За уравнение от втори ред

в която a(x), b(x) са аналитични функции в интервала |x - x 0 |< а, точка х = 0 является особой точкой, лишь только один из коэффициентов а 0 или b 0 в разложении функций а(х) и b(х) в степенной ряд отличен от нуля. Это пример простейшей особой точки, так называемой регулярной особой точки (или особой точки первого рода).

В близост до особена точка x = x 0 решения под формата на степенен ред може да не съществуват; в този случай трябва да се търсят решения под формата на обобщен степенен ред:

където трябва да се определят λ и, …, ().

Теорема_2. За да има уравнение (2.6) поне едно частно решение под формата на обобщен степенен ред (2.7) в околността на сингулярната точка x = x 0, е достатъчно това уравнение да има формата

Това са конвергентни степенни редове и коефициентите не са равни на нула в същото време, защото в противен случай точката x = x 0 не е специална точка и има две линейно независими решения, холоморфни в точката x = x 0 . Освен това, ако сериите (2.7”), включени в коефициентите на уравнение (2.7’), се събират в областта | x - x 0 |< R, то и ряд, входящий в решение (2.7), заведомо сходится в той же области.

Разгледайте уравнение (2.6) за x > 0. Замествайки израз (2.7) за x 0 = 0 в това уравнение, имаме

Приравнявайки коефициентите при степени на x на нула, получаваме рекурентна система от уравнения:

……..........................……………………………………………. (2.8)

където е посочено

Тъй като тогава λ трябва да удовлетворява уравнението

което се нарича определящо уравнение. Нека са корените на това уравнение. Ако разликата не е цяло число, тогава за всяко цяло число k > 0, което означава, че с помощта на посочения метод е възможно да се конструират две линейно независими решения на уравнение (2.6):

Ако разликата е цяло число, тогава с помощта на горния метод можете да конструирате едно решение под формата на обобщена серия. Познавайки това решение, използвайки формулата на Лиувил-Остроградски, можете да намерите второто линейно независимо решение:

От същата формула следва, че решението може да се търси във формата

(числото А може да е равно на нула).

Специални случаи на използване на обобщени степенни редове при интегриране на диференциални уравнения.

3.1. Уравнение на Бесел.

Уравнението на Бесел е едно от най-важните диференциални уравнения в математиката и нейните приложения. Решенията на уравнението на Бесел, които съставляват основната му система от функции, не са елементарни функции. Но те се разширяват в степенни редове, чиито коефициенти се изчисляват доста просто.

Нека разгледаме уравнението на Бесел в общ вид:

Много проблеми на математическата физика се свеждат до това уравнение.

Тъй като уравнението не се променя при замяна на x с -x, достатъчно е да се вземат предвид неотрицателните стойности на x. Единствената сингулярна точка е x=0. Определящото уравнение, съответстващо на x=0, е . Ако 0, тогава определящото уравнение има два корена: и. Нека намерим решението на това уравнение под формата на обобщен степенен ред

тогава, замествайки y, y" и y" в оригиналното уравнение, получаваме

Следователно, намалявайки с, имаме

За да се запази това равенство идентично, коефициентите трябва да удовлетворяват уравненията

Нека намерим решението, съответстващо на корена на определящото уравнение λ = n. Замествайки λ = n в последните равенства, виждаме, че можем да вземем всяко число, различно от нула, число = 0 и за k = 2, 3, ... имаме

Следователно за всички m = 0, 1, 2, … .

Така всички коефициенти са намерени, което означава, че решението на уравнение (3.1) ще бъде записано във формата

Нека представим функцията

наречена гама функция на Ойлер. Като се има предвид какво и какво за цели числа, а също и като се избере произволна константа, ще бъде записано във формата

се нарича функция на Бесел от първи вид от n-ти ред.

Второто конкретно решение на уравнението на Бесел, линейно независимо, търсено във формата

Уравненията за определяне на at имат формата

Ако приемем, че намерим

По конвенция n не е цяло число, така че всички коефициенти с четни числа се изразяват уникално чрез:

По този начин,

Ако приемем, че представяме y 2 (x) във формата

се нарича функция на Бесел от първи род с отрицателен индекс.

Така, ако n не е цяло число, тогава всички решения на оригиналното уравнение на Бесел са такива линейни комбинацииФункции на Бесел и: .

3.2. Хипергеометрично уравнение или уравнение на Гаус.

Хипергеометричното уравнение (или уравнението на Гаус) е уравнение на формата

където α, β, γ са реални числа.

Точките са особени точки на уравнението. И двете са правилни, тъй като в близост до тези точки коефициентите на уравнението на Гаус, записано в нормална форма

може да се представи като обобщен степенен ред.

Нека се уверим в това за точка. Наистина, забелязвайки това

уравнение (3.2) може да се запише като

Това уравнение е частен случай на уравнението

и тук, така че точката x=0 е правилна особена точка на уравнението на Гаус.

Нека построим фундаментална система от решения на уравнението на Гаус в околността на сингулярната точка x=0.

Определящото уравнение, съответстващо на точката x=0, има формата

Неговите корени и тяхната разлика не е цяло число.

Следователно в близост до сингулярната точка x=0 е възможно да се конструира фундаментална система от решения под формата на обобщени степенни редове

първото от които съответства на нулевия корен на определящото уравнение и е обикновен степенен ред, така че решението е холоморфно в околността на сингулярната точка x=0. Второто решение очевидно не е холоморфно в точката x=0. Нека първо конструираме конкретно решение, съответстващо на нулевия корен на определящото уравнение.

Така че ще търсим конкретно решение на уравнение (3.2) във формата

Замествайки (3.3) в (3.2), получаваме

Приравнявайки свободния член на нула, получаваме.

Нека бъде, тогава ще го разберем.

Приравнявайки коефициента при на нула, намираме:

Следователно търсеното частно решение има формата:

Редът отдясно се нарича хипергеометричен ред, тъй като когато α=1, β=γ се превръща в геометрична прогресия

Съгласно Теорема_2 ред (3.4) се събира като |x|<1, так же как и ряд (3.5), и, следовательно, представляет в этом интервале решение уравнения (3.2).

Второто конкретно решение има формата:

Вместо да намерим метода на неопределените коефициенти, ще заменим желаната функция в уравнението на Гаус, използвайки формулата

Получаваме уравнението на Гаус

в който ролята на параметри α, β и γ играят и.

Следователно, като конструираме частично решение на това уравнение, съответстващо на нулевия корен на определящото уравнение и го заместваме в (3.6), получаваме второто частично решение на това уравнение на Гаус във формата:

Общото решение на уравнението на Гаус (3.2) ще бъде:

Използвайки построената фундаментална система от решения на уравнението на Гаус в околността на сингулярната точка x=0, може лесно да се построи фундаментална система от решения на това уравнение в околността на сингулярната точка x=1, която също е регулярна сингулярна точка.

За тази цел ще прехвърлим интересната ни особена точка x = 1 в точката t = 0 и заедно с нея особената точка x = 0 в точката t = 1, използвайки линейно заместване на независимата променлива x = 1 - T.

Извършвайки това заместване в това уравнение на Гаус, получаваме

Това е уравнението на Гаус с параметри. Има в съседство |t|<1 особой точки t = 0 фундаментальную систему решений

Връщайки се към променливата x, т.е. задавайки t = 1 - x, получаваме фундаментална система от решения на оригиналното уравнение на Гаус в близост до точката | х - 1|< 1 особой точки х = 1

Общото решение на уравнението на Гаус (3.2) в региона ще бъде

Приложение на метода за интегриране на обикновени диференциални уравнения с помощта на редове в практиката.

Пример_1. (№ 691) Изчислете първите няколко коефициента на серията (до коефициента при x 4 включително) с начални условия

От началните условия следва, че Сега нека намерим останалите коефициенти:

Пример_2. (№ 696) Изчислете първите няколко коефициента на серията (до коефициента при x 4 включително) с начални условия

Решение: Ще търсим решение на уравнението във формата

Заместваме получените изрази в оригиналното уравнение:

Представяйки дясната страна под формата на степенен ред и приравнявайки коефициентите за същите степени на x в двете страни на уравнението, получаваме:

Тъй като според условието е необходимо да се изчислят коефициентите на редицата до коефициента при x 4 включително, достатъчно е да се изчислят коефициентите.

От началните условия следва, че и 2. Сега нека намерим останалите коефициенти:

Следователно решението на уравнението ще бъде записано във формата

Пример_3. (№ 700) Намерете линейно независими решения под формата на степенни редове на уравнението. Ако е възможно, изразете сумата на резултантната серия с помощта на елементарни функции.

Решение. Ще търсим решение на уравнението под формата на редица

Като диференцираме този ред два пъти и го заместим в това уравнение, имаме

Нека напишем първите няколко членове на серията в полученото уравнение:

Приравнявайки коефициентите при равни степени на x на нула, получаваме система от уравнения за определяне:

………………………………….

От тези уравнения намираме

Да приемем, че тогава само коефициентите ще бъдат различни от нула. Разбираме това

Построено е едно решение на уравнението

Получаваме второто решение, линейно независимо от намереното, като приемем. Тогава само коефициентите ще бъдат различни от нула:

Сериите, представляващи и сходни за всяка стойност на x и са аналитични функции. По този начин всички решения на оригиналното уравнение са аналитични функции за всички стойности на x. Всички решения се изразяват с формулата, където C 1, C 2 са произволни константи:

Тъй като сумата от получената серия може лесно да бъде изразена с помощта на елементарни функции, тя ще бъде написана като:

Пример_4. (№ 711) Решете уравнението 2x 2 y" + (3x - 2x 2)y" - (x + 1)y = 0.

Решение. Точката x = 0 е правилна особена точка на това уравнение. Съставяме определящото уравнение: Корените му са λ 1 = 1/2 и λ 2 = - 1. Търсим решението на първоначалното уравнение, съответстващо на корена λ = λ 1 във формата

Замествайки и в първоначалното уравнение, имаме

От тук, намалявайки с, получаваме

Приравнявайки коефициентите при същите степени на x, имаме уравнения за определяне:

Задавайки y 0 = 1, намираме

По този начин,

Търсим решението на първоначалното уравнение, съответстващо на корена λ = λ 2 във формата

Замествайки този израз в първоначалното уравнение и приравнявайки коефициентите при същите степени на x, получаваме или Поставяйки y 0 = 1, намираме

Записваме общото решение на първоначалното уравнение във формата където и са произволни константи.

Заключение

Решаването на уравнения, съдържащи неизвестни функции и техните производни на степени, по-високи от първата, или по някакъв по-сложен начин, често е много трудно.

През последните години такива диференциални уравнения привличат все по-голямо внимание. Тъй като решенията на уравненията често са много сложни и трудни за представяне с помощта на прости формули, значителна част от съвременната теория е посветена на качествения анализ на тяхното поведение, т.е. разработването на методи, които позволяват, без да се решава уравнението, да се каже нещо съществено за природата на решенията като цяло: например, че всички те са ограничени, или имат периодичен характер, или зависят по определен начин от коефициентите.

По време на курсовата работа беше извършен анализ на метода за интегриране на диференциални уравнения с помощта на степенни и обобщени степенни редове.

Литература:

Матвеев Н.В. Методи за интегриране на обикновени диференциални уравнения. Ед. 4th, rev. и допълнителни Минск, „Най-висок. училище”, 1974. - 768 с. с болен.
Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Диференциални уравнения: Учебник. за университети / Изд. пр.н.е. Зарубина, А.П. Крищенко. - 3-то изд., стереотип. -М .: Издателство на MSTU im. Н.Е. Бауман, 2004. - 352 с.
Бугров Я. С., Николски С. М. Висша математика. Т.3: Диференциални уравнения. Множество интеграли. Редове. Функции на комплексна променлива: Учебник. за университети: В 3 тома / Я. С. Бугров, С. М. Николски; Ед. В. А. Садовничи. — 6-то изд., стереотип. — М.: Дропла, 2004. —— 512 с.: ил.
Самолейнко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Диференциални уравнения: примери и задачи. Учебник надбавка. - 2-ро изд., преработено. - М.: Висше. училище, 1989. - 383 с. : ил.
Филипов A.F. Колекция от задачи по диференциални уравнения. Учебник наръчник за университети. - М.: Физматизд, 1961. - 100 с.: ил.

Изтегли: Нямате достъп за изтегляне на файлове от нашия сървър.