Линейно векторно пространство и неговите аксиомни свойства. Линейно векторно пространство: определение, свойства. Какво е линейна комбинация от вектори?

Материали от Wikipedia - свободната енциклопедия

вектор(или линеен) пространство- математическа структура, която представлява набор от елементи, наречени вектори, за които са дефинирани операциите на събиране помежду си и умножение с число - скалар. Тези операции са предмет на осем аксиоми. Скаларите могат да бъдат елементи от реалното, комплексното или всяко друго числово поле. Специален случай на такова пространство е обичайното триизмерно евклидово пространство, чиито вектори се използват например за представяне на физически сили. Трябва да се отбележи, че векторът като елемент от векторното пространство не е задължително да бъде посочен под формата на насочен сегмент. Обобщаването на концепцията за „вектор“ към елемент от векторно пространство от всякакво естество не само не предизвиква объркване на термините, но също така прави възможно разбирането или дори предсказването на редица резултати, които са валидни за пространства с произволен характер.

Векторните пространства са предмет на линейната алгебра. Една от основните характеристики на векторното пространство е неговата размерност. Измерението представлява максималния брой линейно независими елементи на пространството, тоест, прибягвайки до грубо геометрично описание, броят на посоките, които не могат да бъдат изразени една през друга само чрез операциите събиране и умножение със скалар. Векторното пространство може да бъде надарено с допълнителни структури, като например норма или вътрешен продукт. Такива пространства се появяват естествено в математическия анализ, предимно под формата на безкрайномерни функционални пространства ( Английски), където функциите . Много проблеми с анализа изискват установяване дали последователност от вектори се сближава с даден вектор. Разглеждането на такива въпроси е възможно във векторни пространства с допълнителна структура, в повечето случаи подходяща топология, която ни позволява да дефинираме концепциите за близост и непрекъснатост. Такива топологични векторни пространства, по-специално пространствата на Банах и Хилберт, позволяват по-задълбочено изследване.

В допълнение към векторите, линейната алгебра също изучава тензори от по-висок ранг (скаларът се счита за тензор от ранг 0, векторът се счита за тензор от ранг 1).

Първите произведения, които предвиждат въвеждането на концепцията за векторно пространство, датират от 17 век. Тогава започва да се развива аналитичната геометрия, учението за матриците, системите от линейни уравнения и евклидовите вектори.

Определение

Линеен, или векторно пространство $V\backslash ляво(F\backslash дясно)$над полето $Е$- това е подредена четворка $(V,F,+,\backslash cdot)$, Където

• $V$- непразно множество от елементи с произволен характер, които се наричат вектори;
• $Е$- (алгебрично) поле, чиито елементи се наричат скалари;
• Дефинирана операция допълнениевектори $V\backslash пъти\; V\backslash до\; V$, който асоциира всяка двойка елементи $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$комплекти $V$ $V$извика ги количествои определени $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• Дефинирана операция умножаване на вектори по скалари $F\backslash пъти\; V\backslash до\; V$, съответстващи на всеки елемент $\backslash ламбда$полета $Е$и всеки елемент $\backslash mathbf(x)$комплекти $V$единственият елемент от комплекта $V$, означено $\backslash lambda\backslash cdot\backslash mathbf(x)$или $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

Векторните пространства, дефинирани на един и същи набор от елементи, но върху различни полета, ще бъдат различни векторни пространства (например набор от двойки реални числа $\backslash mathbb(R)^2$може да бъде двумерно векторно пространство над полето на реалните числа или едномерно - над полето на комплексните числа).

Най-простите свойства

1. Векторното пространство е абелева група при добавяне.
2. Неутрален елемент $\backslash mathbf(0)\; \backslash in\; V$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$за всеки $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
4. За всеки $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$противоположен елемент $-\backslash mathbf(x)\backslash in\; V$е единственото нещо, което следва от свойствата на групата.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$за всеки $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$за всякакви $\backslash alpha\; \backslash in\; F$И $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$за всеки $\backslash alpha\; \backslash in\; F$.

Свързани определения и свойства

Подпространство

Алгебрична дефиниция: Линейно подпространствоили векторно подпространство- непразно подмножество $К$линейно пространство $V$такова, че $К$само по себе си е линейно пространство по отношение на тези, дефинирани в $V$операции събиране и умножение със скалар. Множеството от всички подпространства обикновено се означава като $\backslash mathrm(Lat)(V)$. За да бъде едно подмножество подпространство е необходимо и достатъчно, че

1. за всеки вектор $\backslash mathbf(x)\backslash в\; К$, вектор $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$също принадлежеше $К$, за всякакви $\backslash alpha\backslash in\; F$;
2. за всички вектори $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, вектор $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$също принадлежеше $К$.

Последните две твърдения са еквивалентни на следното:

За всички вектори $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, вектор $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$също принадлежеше $К$за всякакви $\backslash alpha,\; \backslash beta\; \backslash in\; F$.

По-специално, векторно пространство, състоящо се само от един нулев вектор, е подпространство на всяко пространство; всяко пространство е подпространство на себе си. Подпространствата, които не съвпадат с тези две, се наричат собственили нетривиален.

Свойства на подпространствата

• Пресечната точка на всяко семейство подпространства отново е подпространство;
• Сума от подпространства $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash in\; 1\backslash ldots\; N\backslash )$се определя като набор, съдържащ всички възможни суми от елементи $K\_i$: $\backslash sum\_(i=1)^N\; (K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash in\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash in\; 1\backslash ldots\; N)\backslash )$.
  • Сборът от крайно семейство подпространства отново е подпространство.

Линейни комбинации

Крайна сума на формуляра

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

Линейната комбинация се нарича:

Основа. Измерение

Вектори $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$са наречени линейно зависими, ако има нетривиална линейна комбинация от тях, равна на нула:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\backslash alpha\_2|\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash neq\; 0.$

В противен случай тези вектори се наричат линейно независими.

Тази дефиниция позволява следното обобщение: безкраен набор от вектори от $V$Наречен линейно зависими, ако някои е линейно зависим финалподмножество от него и линейно независими, ако има нещо от това финалподмножеството е линейно независимо.

Свойства на основата:

• Всякакви $н$линейно независими елементи $н$-дименсионална пространствена форма основатова пространство.
• Всеки вектор $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$може да бъде представен (уникално) като крайна линейна комбинация от базисни елементи:

$\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$.

Линейна обвивка

Линейна обвивка $\backslash mathcal\; V(X)$подмножества $х$линейно пространство $V$- пресичане на всички подпространства $V$съдържащи $х$.

Линейният участък е подпространство $V$.

Линейна обвивка също се нарича генерирано подпространство $х$. Също така се казва, че линейната обвивка $\backslash mathcal\; V(X)$- пространство, опъната надняколко $х$.

Линейна обвивка $\backslash mathcal\; V(X)$се състои от всички възможни линейни комбинации от различни крайни подсистеми от елементи от $х$. По-специално, ако $х$тогава е крайно множество $\backslash mathcal\; V(X)$се състои от всички линейни комбинации от елементи $х$. Така нулевият вектор винаги принадлежи на линейната обвивка.

Ако $х$е линейно независимо множество, то е базис $\backslash mathcal\; V(X)$и по този начин определя нейното измерение.

Примери

• Нулево пространство, чийто единствен елемент е нула.
• Пространство на всички функции $X\backslash до\; F$с ограничена опора образува векторно пространство с размерност, равна на мощността $х$.
• Полето от реални числа може да се разглежда като векторно пространство с непрекъснати измерения върху полето от рационални числа.
• Всяко поле е едномерно пространство над себе си.

Допълнителни структури

Вижте също

Напишете отзив за статията "Векторно пространство"

Бележки

Литература

• Гелфанд И. М.Лекции по линейна алгебра. - 5-ти. - М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. - 319 с. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Гелфанд И. М.Лекции по линейна алгебра. 5-то изд. - М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. - 320 с. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Кострикин А. И., Манин Ю.Линейна алгебра и геометрия. 2-ро изд. - М.: Наука, 1986. - 304 с.
• Кострикин А.И.Въведение в алгебрата. Част 2: Линейна алгебра. - 3-то. - М.: Наука., 2004. - 368 с. - (Учебник за университет).
• Малцев А. И.Основи на линейната алгебра. - 3-ти. - М.: Наука, 1970. - 400 с.

• Постников М. М.Линейна алгебра (Лекции по геометрия. II семестър). - 2-ро. - М.: Наука, 1986. - 400 с.
• Странг Г.Линейна алгебра и нейните приложения. - М.: Мир, 1980. - 454 с.
• Илин В. А., Позняк Е. Г.Линейна алгебра. 6-то изд. - М.: Физматлит, 2010. - 280 с. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Халмос П.Крайномерни векторни пространства. - М.: Физматгиз, 1963. - 263 с.
• Фаддеев Д.К.Лекции по алгебра. - 5-ти. - Санкт Петербург. : Lan, 2007. - 416 с.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О.Линейна алгебра и геометрия. - 1-ви. - М.: Физматлит, 2009. - 511 с.
• Шрайер О., Спернер Г.Въведение в линейната алгебра в геометрично представяне = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (превод от немски). - М.–Л.: ОНТИ, 1934. - 210 с.

Вектори и матрици Вектори Основни понятия Видове вектори Операции с вектори Видове пространства Матрици Основни понятия други

Откъс, характеризиращ векторното пространство

Кутузов вървеше през редиците, като от време на време се спираше и казваше няколко добри думи на офицерите, които познаваше от турската война, а понякога и на войниците. Гледайки обувките, той тъжно поклати глава няколко пъти и ги посочи на австрийския генерал с такова изражение, че не изглеждаше да обвинява никого за това, но не можеше да не види колко лошо беше. Всеки път командирът на полка тичаше напред, страхувайки се да не пропусне думата на главнокомандващия за полка. Зад Кутузов, на такова разстояние, че всяка слабо изречена дума можеше да се чуе, вървяха около 20 души от неговата свита. Господата от свитата разговаряха помежду си и понякога се смееха. Красивият адютант вървеше най-близо до главнокомандващия. Беше княз Болконски. До него вървеше неговият другар Несвицки, висок щабен офицер, изключително дебел, с мило и усмихнато красиво лице и влажни очи; Несвицки едва се сдържа да не се разсмее, развълнуван от черния хусарски офицер, който вървеше до него. Хусарският офицер, без да се усмихва, без да променя изражението на втренчените си очи, гледаше със сериозно лице в гърба на командира на полка и имитираше всяко негово движение. Всеки път, когато командирът на полка трепна и се наведе напред, точно по същия начин, точно по същия начин, хусарският офицер трепна и се наведе напред. Несвицки се засмя и подтикна другите да гледат смешния човек.
Кутузов мина бавно и вяло покрай хиляди очи, които се търкулнаха от орбитите си, наблюдавайки своя шеф. След като настигна 3-та рота, той внезапно спря. Свитата, без да очаква тази спирка, неволно се придвижи към него.
- Ах, Тимохин! - каза главнокомандващият, като разпозна капитана с червения нос, който страдаше за синия си шинел.
Изглежда, че е невъзможно да се протегне повече, отколкото Тимохин се протегна, докато командирът на полка го смъмри. Но в този момент главнокомандващият се обърна към него, капитанът се изправи така, че изглеждаше, че ако главнокомандващият го беше погледнал още малко, капитанът нямаше да издържи; и затова Кутузов, очевидно разбирайки позицията си и желаейки, напротив, всичко най-добро за капитана, бързо се обърна. Едва забележима усмивка пробяга по пълното, обезобразено от рани лице на Кутузов.
„Още един другар от Измайлово“, каза той. - Храбър офицер! Доволен ли си от него? – попита Кутузов командира на полка.
И командирът на полка, отразен като в огледало, невидим за себе си, в хусарски офицер, потръпна, излезе напред и отговори:
– Много съм доволен, Ваше превъзходителство.
„Ние всички не сме лишени от слабости“, каза Кутузов, като се усмихна и се отдалечи от него. „Той имаше преданост към Бакхус.
Командирът на полка се уплаши, че той е виновен за това, и не отговори нищо. В този момент офицерът забеляза лицето на капитана с червен нос и прибрано коремче и имитира лицето и позата му толкова внимателно, че Несвицки не можа да спре да се смее.
Кутузов се обърна. Ясно беше, че офицерът може да контролира лицето си както иска: в мига, в който Кутузов се обърна, офицерът успя да направи гримаса и след това да приеме най-сериозното, почтително и невинно изражение.
Третата рота беше последна и Кутузов се замисли, явно си спомняше нещо. Княз Андрей излезе от свитата си и каза тихо на френски:
– Вие наредихте в този полк да напомнят за Долохов, който беше понижен в длъжност.
-Къде е Долохов? – попита Кутузов.
Долохов, вече облечен във войнишко сиво палто, не дочака да бъде извикан. Отпред излезе стройната фигура на рус войник с ясни сини очи. Той се приближи до главнокомандващия и го постави на стража.
- Претенция? – попита Кутузов, като леко се намръщи.
— Това е Долохов — каза княз Андрей.
- А! - каза Кутузов. „Надявам се, че този урок ще ви поправи, служи добре.“ Господ е милостив. И няма да те забравя, ако го заслужаваш.
Сините ясни очи гледаха главнокомандващия също толкова предизвикателно, колкото и командира на полка, сякаш с изражението си раздираха завесата на условността, която досега разделяше главнокомандващия от войника.
— Искам да ви помоля за едно нещо, ваше превъзходителство — каза той със своя звучен, твърд и ненапрегнат глас. „Моля, дайте ми възможност да поправя вината си и да докажа своята преданост към императора и Русия.
Кутузов се обърна. Същата усмивка в очите му блесна по лицето му, както когато се обърна към капитан Тимохин. Той се извърна и трепна, сякаш искаше да изрази, че всичко, което Долохов му каза и всичко, което можеше да му каже, той знае отдавна, много време, че всичко това вече му е омръзнало и че всичко това не е изобщо от каквото се нуждаеше. Той се обърна и се насочи към количката.
Полкът се разпусна на роти и се насочи към определени квартири недалеч от Браунау, където се надяваха да се обуят, облекат и починат след трудни маршове.
– Вие не предявявате претенции към мен, Прохор Игнатич? - каза командирът на полка, заобикаляйки 3-та рота, движеща се към мястото и приближавайки се до капитан Тимохин, който вървеше пред нея. Лицето на командира на полка изразяваше неудържима радост след щастливо завършения преглед. - Царската служба... невъзможно е... друг път ще я свършиш на фронта... Първо ще се извиня, нали ме познаваш... Много ти благодаря! – И подаде ръка на ротния командир.
- За бога, генерале, смея ли! - отговори капитанът, като почервеня с носа си, усмихна се и разкри с усмивка липсата на два предни зъба, избити от приклада под Исмаил.
- Да, кажете на господин Долохов, че няма да го забравя, за да е спокоен. Да, моля те, кажи ми, все исках да го питам как е, как се държи? И това е всичко...
— Той е много услужлив в службата си, ваше превъзходителство... но чартьорът... — каза Тимохин.
- Какво, какъв персонаж? – попита командирът на полка.
„Ваше превъзходителство установява с дни“, каза капитанът, „че е умен, учен и мил.“ Това е звяр. Той уби евреин в Полша, ако обичате...
- Е, да, добре - каза командирът на полка, - все още трябва да съжаляваме за младежа в нещастието. В края на краищата страхотни връзки... Така че вие...
— Слушам, ваше превъзходителство — каза Тимохин, усмихвайки се, карайки го да почувства, че разбира желанията на шефа.
- Да да.
Командирът на полка намери Долохов в редиците и овладя коня му.
„Преди първата задача, еполети“, каза му той.
Долохов се огледа, не каза нищо и не промени израза на подигравателно усмихната си уста.
— Е, това е добре — продължи командирът на полка. „Хората имат по една чаша водка от мен“, добави той, за да могат войниците да чуят. - Благодаря на всички! Бог да благослови! - И той, изпреварвайки компанията, се приближи до друга.
„Е, той наистина е добър човек; „Можете да служите с него“, каза субалтерн Тимохин на офицера, който вървеше до него.
„Една дума, кралят на сърцата!... (командирът на полка беше кръстен краля на сърцата)“, каза младшият офицер, смеейки се.
Радостното настроение на властите след прегледа се пренесе и сред войниците. Компанията крачеше бодро. Гласове на войници говореха от всички страни.
- Какво казаха, криви Кутузов, за едното око?
- Иначе не! Съвсем криво.
- Не... брат, той има по-големи очи от теб. Ботуши и ботуши - всичко разгледах...
- Как може, брат ми, да ми гледа краката... бе! Мисля…
- И другият австриец, при него, беше като намазан с тебешир. Като брашно, бяло. Аз чай, как чистят боеприпаси!
- Какво, Федешоу!... каза ли, че като започна боят, ти си стоял по-близо? Всички казаха, че самият Бунапарт стои в Бруново.
- Бунапарте си струва! той лъже, глупако! Какво не знае! Сега прусакът се бунтува. Следователно австриецът го успокоява. Веднага щом сключи мир, войната ще започне с Бунапарт. Иначе, казва, Бунапарте стои в Бруново! Това показва, че е глупак. Слушайте повече.
- Вижте, проклетите квартиранти! Петата рота, вижте, вече завива в селото, ще готвят каша, а ние все няма да стигнем до мястото.
- Дай ми един крекер, по дяволите.
- Даде ли ми тютюн вчера? Това е, братко. Е, ето, Бог да е с вас.
— Поне спряха, иначе няма да ядем още пет мили.
„Хубаво беше как германците ни подариха колички.“ Когато отидете, знайте: важно е!
— А тука, братко, хората съвсем побесняха. Всичко там изглеждаше като поляк, всичко беше от руската корона; и сега, брат, той е станал напълно германец.
– Текстописци напред! – чу се викът на капитана.
И двайсетина души изтичаха от различни редици пред компанията. Барабанистът започна да пее и се обърна с лице към авторите на песните и, махвайки с ръка, започна провлачена войнишка песен, която започваше: „Не е ли зора, слънце изгря...“ и завършваше с думите : „Така, братя, ще има слава за нас и бащата на Каменски...“ Тази песен е създадена в Турция и сега се пее в Австрия, само с промяната, че на мястото на „бащата на Каменски“ бяха вмъкнати думите: „ Бащата на Кутузов.
След като откъсна тези последни думи като войник и размаха ръце, сякаш хвърляше нещо на земята, барабанистът, сух и красив войник на около четиридесет години, погледна строго войниците-песенници и затвори очи. След това, като се увери, че всички погледи са приковани в него, той сякаш внимателно вдигна с две ръце някакво невидимо, скъпоценно нещо над главата си, задържа го така няколко секунди и изведнъж отчаяно го хвърли:
О, ти, мой балдахин, мой балдахин!
„Моят нов балдахин...“, отекнаха двайсетина гласа, а лъжикарят, въпреки тежестта на амунициите си, бързо скочи напред и тръгна назад пред компанията, движейки рамене и заплашвайки някого с лъжиците си. Войниците, размахвайки ръце в ритъма на песента, вървяха с дълги крачки, неволно удряйки краката си. Иззад компанията се чуваха звуци на колела, скърцане на пружини и тропот на коне.
Кутузов и свитата му се връщаха в града. Главнокомандващият даде знак на хората да продължат да вървят свободно, а на лицето му и на всички лица от свитата му се изписа удоволствие при звуците на песента, при вида на танцуващия войник и войниците от компанията крачи бодро и бодро. Във втория ред, от десния фланг, откъдето каретата изпреварваше ротите, неволно привличаше погледа на синеокия войник Долохов, който особено бодро и грациозно вървеше в ритъма на песента и гледаше лицата на минаващите с такова изражение, сякаш съжаляваше всички, които не отидоха в този момент с компанията. Хусарски корнет от свитата на Кутузов, имитирайки командира на полка, падна зад каретата и се приближи до Долохов.
Хусарският корнет Жерков по едно време в Санкт Петербург принадлежеше към онова буйно общество, ръководено от Долохов. В чужбина Жерков се запознава с Долохов като войник, но не смята за необходимо да го разпознае. Сега, след разговора на Кутузов с понижения, той се обърна към него с радостта на стар приятел:
- Скъпи приятелю, как си? - каза той под звуците на песента, съобразявайки стъпката на коня си със стъпката на ротата.
- Аз съм като? - студено отговори Долохов, - както виждате.
Живата песен придаваше особено значение на тона на нахално веселие, с който говореше Жерков, и нарочната студенина в отговорите на Долохов.
- Е, как се разбирате с шефа си? – попита Жерков.
- Нищо, добри хора. Как попаднахте в щаба?
- Командирован, дежурен.
Мълчаха.
„Тя пусна сокол от десния си ръкав“, каза песента, неволно събуждайки весело, весело чувство. Разговорът им вероятно щеше да е различен, ако не бяха говорили под звуците на песен.
– Вярно ли е, че австрийците са били бити? – попита Долохов.
„Дявол ги знае“, казват те.
„Радвам се“, отговори Долохов кратко и ясно, както изискваше песента.
„Ами елате при нас вечерта, ще заложите фараона“, каза Жерков.
– Или имаш много пари?
- Идвам.
- Забранено е. Дадох обет. Не пия и не залагам, докато не успеят.
- Е, към първото нещо...
- Ще видим там.
Отново мълчаха.
„Влизате, ако имате нужда от нещо, всички от щаба ще помогнат...“, каза Жерков.
Долохов се ухили.
- По-добре не се притеснявай. Няма да искам нищо, което ми трябва, ще си го взема сам.
- Е, толкова съм...
- Е, аз също.
- Довиждане.
- Бъдете здрави…
... и високо и далече,
От страната на домакините...
Жерков допря шпорите си до коня, който, развълнуван, рита три пъти, без да знае кой да започне, успя и препусна в галоп, изпреварвайки компанията и настигайки файтона, също в ритъма на песента.

Връщайки се от прегледа, Кутузов, придружен от австрийския генерал, влезе в кабинета си и, като повика адютанта, заповяда да му бъдат дадени някои документи, свързани със състоянието на пристигащите войски, и писмата, получени от ерцхерцог Фердинанд, който командваше напредналата армия . Княз Андрей Болконски влезе в кабинета на главнокомандващия с необходимите документи. Кутузов и един австрийски член на Gofkriegsrat седяха пред плана, изложен на масата.
- А... - каза Кутузов, като погледна назад към Болконски, сякаш с тази дума приканваше адютанта да изчака и продължи разговора, който беше започнал на френски.
— Само едно казвам, генерале — каза Кутузов с приятно изражение и интонация, което ви караше да се вслушвате внимателно във всяка лежерна дума. Ясно беше, че самият Кутузов обича да слуша себе си. „Казвам само едно, генерале, че ако въпросът зависеше от моето лично желание, тогава волята на Негово Величество император Франц отдавна щеше да е изпълнена. Бих се присъединил към ерцхерцога отдавна. И повярвайте на честта ми, лично за мен би било радост да предам висшето командване на армията на по-осведомен и опитен генерал от мен, от който Австрия е толкова изобилна, и да се откажа от цялата тази тежка отговорност. Но обстоятелствата са по-силни от нас, генерале.
И Кутузов се усмихна с такова изражение, сякаш казваше: „Вие имате пълното право да не ми вярвате и дори мен изобщо не ме интересува дали ми вярвате или не, но нямате причина да ми го казвате. И това е целият смисъл.“
Австрийският генерал изглеждаше недоволен, но не можа да не отговори на Кутузов със същия тон.
„Напротив“, каза той със заядлив и ядосан тон, толкова противно на ласкателния смисъл на думите, които каза, „напротив, участието на Ваше Превъзходителство в общата кауза е високо ценено от Негово Величество; но смятаме, че настоящото забавяне лишава славните руски войски и техните главнокомандващи от лаврите, които те са свикнали да жънат в битки“, завърши той очевидно подготвената си фраза.
Кутузов се поклони, без да променя усмивката си.
„И аз съм толкова убеден и въз основа на последното писмо, с което Негово Височество ерцхерцог Фердинанд ме удостои, предполагам, че австрийските войски, под командването на такъв умел помощник като генерал Мак, сега са спечелили решителна победа и вече не нужда от нашата помощ", каза Кутузов.
Генералът се намръщи. Въпреки че нямаше положителни новини за поражението на австрийците, имаше твърде много обстоятелства, които потвърждаваха общите неблагоприятни слухове; и следователно предположението на Кутузов за победата на австрийците беше много подобно на присмех. Но Кутузов се усмихна кротко, все със същото изражение, което говореше, че има право да предполага това. И наистина, последното писмо, което получава от армията на Мак, го информира за победата и най-изгодната стратегическа позиция на армията.
„Дайте ми това писмо тук“, каза Кутузов, обръщайки се към княз Андрей. - Ако обичате вижте. - И Кутузов с подигравателна усмивка в крайчетата на устните си прочете на немски на австрийския генерал следния пасаж от писмо на ерцхерцог Фердинанд: „Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70 000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte mit ganzer Macht wenden wollte, seine Absicht alabald vereiteli en. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, so er verdient.“ [Имаме доста концентрирани сили, около 70 000 души, така че да можем да атакуваме и победим врага, ако премине Лех. Тъй като вече притежаваме Улм, можем да запазим предимството на командването на двата бряга на Дунав, следователно, всяка минута, ако врагът не пресече Лех, пресечете Дунава, втурнете се към неговата комуникационна линия и долу пресечете Дунава обратно на неприятеля, ако той реши да обърне цялата си сила срещу нашите верни съюзници, попречете да се изпълни намерението му. Така ние бодро ще дочакаме времето, когато руската имперска армия е напълно готова, и тогава заедно лесно ще намерим възможността да подготвим на врага съдбата, която той заслужава.”]

ВЕКТОРНО ПРОСТРАНСТВО, линейно пространство над полето K, е адитивно записана абелева група E, в която е дефинирано умножението на елементи по скалари, т.е.

K × E → E: (λ, x) → λx,

отговарящи на следните аксиоми (x, y ∈ E, λ, μ, 1 ∈ K):

1) λ(x + y) = λx + λy,

2) (λ + μ)x = λx + μx,

3) (λμ)x = λ(μx),

4) 1 ⋅ x = x.

Следните важни свойства на векторното пространство (0 ∈ E) следват от аксиоми 1)-4):

5) λ ⋅ 0 = 0,

6) 0 ⋅ x = 0,

Елементи на V. p. VP точки, или вектори, и елементите на полето K са скалари.

Най-голямото приложение в математиката и приложенията е направено върху полето ℂ на комплексни числа или върху полето ℝ на реални числа; те се наричат съответно сложни в. п. или реални в. п.

Аксиомите на т. п. разкриват някои алгебрични. свойства на много класове функции, често срещани в анализа. От примерите за вертикални пространства най-фундаменталните и най-ранните са n-мерните евклидови пространства. Почти еднакво важни примери са много функционални пространства: пространството на непрекъснатите функции, пространството на измеримите функции, пространството на сумируемите функции, пространството на аналитичните функции. функции, пространство на функции с ограничена вариация.

Концепцията за v. пространство е специален случай на концепцията за модул над пръстен, а именно v. пространство е единен модул над поле. Унитарен модул над некомутативно косо поле също се нарича. векторно пространство над тялото; теорията на такива вълнови форми е в много отношения по-сложна от теорията на вълновите форми над поле.

Един от важните проблеми, свързани с векторните пространства, е изучаването на геометрията на векторните пространства, т.е. изучаването на линии във векторни пространства, плоски и изпъкнали множества във векторни пространства, подпространства на векторни пространства и бази във векторни пространства V .

Векторно подпространство, или просто подпространство, V. p. над полето K се нарича. подмножество F ⊂ E, затворено спрямо действията на събиране и умножение със скалар. Подпространството, разглеждано отделно от пространството, което го съдържа, е пространство над същото поле.

Права, минаваща през две точки x и y B. E се нарича. множество от елементи z ∈ E от вида z = λx + (1 - λ)y, λ ∈ K. Множество G ∈ E се нарича. плоско множество, ако заедно с произволни две точки съдържа права, минаваща през тези точки. Всяко плоско множество се получава от определено подпространство чрез изместване (паралелна транслация): G = x + F; това означава, че всеки елемент z ∈ G може да бъде уникално представен във формата z = x + y, y ∈ F и това равенство осигурява едно към едно съответствие между F и G.

Множеството от всички смени F x = x + F на дадено подпространство F образува V. пространство над K, т.нар. факторно пространство E/F, ако дефинираме операциите, както следва:

F x F y = F x+y ; λF x = F λx , λ ∈ K.

Нека M = (x α) α∈A е произволен набор от вектори от E; линейна комбинация от вектори x α ∈ E се нарича. векторът x, определен от формулата

x = ∑ α λ α x α , λ α ∈ K,

в който само краен брой коефициенти са различни от нула. Множеството от всички линейни комбинации от вектори на дадено множество M е най-малкото подпространство, съдържащо M, и се нарича. линеен участък на множеството M. Линейна комбинация се нарича. тривиален, ако всички коефициенти λ α са равни на нула. Множеството M се нарича. линейно независимо множество, ако всички нетривиални линейни комбинации от вектори от M са различни от нула.

Всяко линейно независимо множество се съдържа в определено максимално линейно независимо множество M0, тоест в множество, което престава да бъде линейно независимо след добавяне на всеки елемент от E към него.

Всеки елемент x ∈ E може да бъде уникално представен като линейна комбинация от елементи на максимално линейно независимо множество:

x = ∑ α λ α x α , x α ∈ M 0 .

В тази връзка се нарича максималното линейно независимо множество. основа на V. p. (алгебрична основа). Всички основи на дадена ВП са с еднаква мощност, т.нар. измерение V. p. Ако тази мощност е крайна, пространството се нарича. крайномерен V. p.; иначе се казва безкрайномерен V. p.

Полето K може да се разглежда като едномерно вертикално пространство над полето K; основата на този V. елемент се състои от един елемент; може да бъде всеки елемент, различен от нула. Нарича се крайномерен вектор с базис от n елемента. n-мерно пространство.

В теорията на реалните и сложните изпъкнали множества теорията на изпъкналите множества играе важна роля. Множеството M в реална V.p. е изпъкнало множество, ако заедно с кои да е две от своите точки x, y отсечката tx + (1 - t)y, t ∈ , също принадлежи на M.

Голямо място в теорията на вертикалните пространства заема теорията на линейните функционали върху вертикалните пространства и свързаната с нея теория на дуалността. Нека E е V. пространство над полето K. Линеен функционал върху E се нарича. адитивно и хомогенно картографиране f: E → K:

f(x + y) = f(x) + f(y), f(λx) = λf(x).

Множеството E* от всички линейни функционали върху E образува празно място над полето K по отношение на операциите

(f 1 + f 2)(x) = f 1 (x) + f 2 (x), (λf)(x) = λf(x), x ∈ E, X ∈ K, f 1, f 2, f ∈ E*.

Това е V.p. спрегнат (или двоен) интервал (към E). Редица геометрични теории са свързани с концепцията за спрегнато пространство. условия. Нека D ⊂ E (съответно Г ⊂ E*); се нарича анихилатор на множеството D, или ортогоналното допълнение на множеството D (съответно множеството Г). няколко

D ⊥ = (f ∈ E*: f(x) = 0 за всички x ∈ D)

(съответно Г ⊥ = (x ∈ E: f(x) = 0 за всички f ∈ Г)); тук D ⊥ и Г ⊥ са подпространства на пространствата E* и E, съответно. Ако f е ненулев елемент от E*, то (f) е максимално собствено линейно подпространство на E, т.нар. понякога хиперподпространство; изместването на такова подпространство се нарича. хиперравнина в Е; всяка хиперравнина има формата

(x: f(x) = λ), където f ≠ 0, f ∈ E*, λ ∈ K.

Ако F е подпространство на B. p. E, тогава има естествени изоморфизми между F* и

E*/F ⊥ и между (E/F)* и F ⊥ .

Подмножеството Г ⊂ E* се нарича общо подмножество над E, ако неговият анихилатор съдържа само нулевия елемент: Г ⊥ = (0).

Всяко линейно независимо множество (x α ) α∈A ⊂ E може да бъде асоциирано със спрегнато множество (f α ) α∈A ⊂ E*, т.е. такова множество, че f α (x β) = δ αβ (символ на Кронекер) за всички α, β ∈ A. Множеството от двойки (x α, f α) се нарича. с биортогонална система. Ако множеството (x α) е базис в E, тогава (f α) е изцяло над E.

Значително място в теорията на линейните трансформации заема теорията на линейните трансформации на линейните трансформации. Нека E 1 и E 2 са две линейни трансформации върху едно и също поле K. Линейно преобразуване, или линеен оператор, T, преобразуващ линейното. трансформация E 1 в V. p. E 2 (или линеен оператор от E 1 до E 2), т.нар. адитивно и хомогенно картографиране на пространството E 1 към E 2:

T(x + y) = Tx + Ty; Т(λх) = λТ(х); x, y ∈ E 1.

Специален случай на тази концепция е линеен функционал или линеен оператор от E 1 до K. Линейно преобразуване е, например, естествено преобразуване на B. p. E върху частното пространство E/F, което се свързва с всеки елемент x ∈ E е плоско множество F x ∈ E/ F. Множеството ℒ(E 1, E 2) от всички линейни оператори T: E 1 → E 2 образува V. p

(T 1 + T 2)x = T 1 x + T 2 x; (λТ)х = λТх; x ∈ E 1; λ ∈ K; T 1, T 2, T ∈ ℒ(E 1, E 2).

Две V. позиции E 1 и E 2 извик. са изоморфни на v. елементи, ако има линеен оператор („изоморфизъм“), който осъществява съответствие едно към едно между техните елементи. E 1 и E 2 са изоморфни тогава и само тогава, когато основите им имат еднаква мощност.

Нека T е линеен оператор, преобразуващ E 1 в E 2 . Конюгираният линеен оператор или двойственият линеен оператор по отношение на T се нарича. линеен оператор T* от E* 2 до E* 1, определен от равенството

(T*φ)x = φ(Tx) за всички x ∈ E 1, φ ∈ E* 2.

В сила са отношенията T* -1 (0) = ⊥, T*(E* 2) = [T -1 (0)] ⊥, което предполага, че T* е изоморфизъм тогава и само ако T е изоморфизъм.

Теорията на билинейните преобразувания и мултилинейните преобразувания на вертикални пространства е тясно свързана с теорията на линейните преобразувания на вертикални пространства.

Важна група проблеми в теорията на линейните преобразувания се формират от проблемите на продължаването на линейните преобразувания. Нека F е подпространство на V. p. E 1, E 2 е линейно пространство над същото поле като E 1 и нека T 0 е линейно преобразуване на F в E 2; изисква се да се намери разширението T на картата T 0, дефинирана върху цялото E 1 и която е линейна карта на E 1 към E 2. Такова продължение винаги съществува, но допълнителните ограничения на функциите (свързани с допълнителни структури в VP, например топология или отношения на ред) могат да направят проблема неразрешим. Примери за решаване на проблема с продължението са теоремата на Хан-Банах и теоремите за продължаването на положителни функционали в пространства с конус.

Важен раздел от теорията на виртуалните операции е теорията на операциите върху вектори, т.е. методите за конструиране на нови вектори с помощта на известни. Примери за такива операции са добре познатите операции за вземане на подпространство и образуване на частно пространство от подпространство. Други важни операции са конструирането на пряка сума, пряко произведение и тензорно произведение на VP.

Нека (E α ) α∈I е семейство от променливи пространства над полето K. Множеството E - произведението на множествата E α - може да се трансформира в семейство от вертикални пространства над полето K чрез въвеждане на операциите

(x α) + (y α) = (x α + y α); λ(x α) = (λx α); λ ∈ K; x α , y α ∈ E α , α ∈ I;

получени V. p. E наречени. прякото произведение на V. p. E α и се означава с P α∈I E α. Подпространството на V. p. E, състоящо се от всички онези множества (x α), за всяко от които множеството (α: x α ≠ 0) се нарича. пряка сума на V. p. E α и се означава с Σ α E α или Σ α + E α ; За краен брой термини тези определения съвпадат; в този случай се използва следната нотация:

Нека E 1, E 2 са две V. позиции над полето K; E" 1, E" 2 са общите подпространства на V. p. E* 1, E* 2 и E 1 □ E 2 -B. n., който има за своя основа съвкупността от всички елементи на пространството E 1 × E 2. Всеки елемент x □ y ∈ E 1 □ E 2 е свързан с билинейна функция b = T(x, y) върху E" 1 × E 2 съгласно формулата b(f, g) = f(x)g(y ), f ∈ E " 1 , g ∈ E " 2 . Това преобразуване на базисни вектори x □ y ∈ E 1 □ E 2 може да се разшири до линейно преобразуване T V. p. E 1 □ E 2 в V. p. на всички билинейни функционали върху E " 1 × E" 2. Нека E 0 = T -1 (0) Тензорното произведение на V. пространството E 1 и E 2 се нарича фактор пространство E 1 ○ E 2 = (E). 1 □ E 2)/E 0; изображението на елемента x ○ y е изоморфно на векторното пространство на билинейните функционали върху E 1 × E 2 (виж Тензорно произведение). на векторни пространства).

Лит.: Бурбаки Н., Алгебра. Алгебрични структури. Линейна и мултилинейна алгебра, прев. от френски, М., 1962; Райков Д. А., Векторни пространства, М., 1962; Дей М. М., Нормализирани линейни пространства, прев. от англ., М., 1961; , Едуард Р., Функционален анализ, прев. от англ., М., 1969; Халмош П., Крайномерни векторни пространства, прев. от англ., М., 1963; Глазман И.М., Любич Ю.И., Крайномерен линеен анализ в задачите, М., 1969.

М. И. Кадец.

източници:

1. Математическа енциклопедия. T. 1 (A - D). Ед. съвет: И. М. Виноградов (главен редактор) [и др.] - М., „Съветска енциклопедия”, 1977, 1152 stb. от болен.

Нека P е поле. Елементи a, b, ... О Рще се обадим скалари.

Определение 1.Клас Vобекти (елементи) , , , ... с произволен характер се наричат векторно пространство над полето P, а елементите от клас V се наричат вектори, ако V е затворено спрямо операцията “+” и операцията умножение по скалари от P (т.е. за всяко , ОV +О V;"aО Р aОV), и са изпълнени следните условия:

A 1: алгебра - абелева група;

A 2: за всяко a, bОР, за всяко ОV, a(b)=(ab) е обобщен асоциативен закон;

A 3: за всяко a, bОР, за всяко ОV, (a+b)= a+ b;

A 4: за всяко a от P, за всяко , от V, a(+)=a+a (обобщени закони на разпределение);

A 5: за всяко от V, 1 = е изпълнено, където 1 е единицата на полето P - свойството за унитарност.

Елементите на полето P ще наричаме скалари, а елементите на множеството V вектори.

Коментирайте.Умножението на вектор по скалар не е двоична операция върху множеството V, тъй като е преобразуване P´V®V.

Нека да разгледаме примери за векторни пространства.

Пример 1.Нулево (нулево-мерно) векторно пространство - пространството V 0 =() - състоящо се от един нулев вектор.

И за всяко aОР a=. Нека проверим изпълнимостта на аксиомите на векторното пространство.

Обърнете внимание, че нулевото векторно пространство по същество зависи от полето P. По този начин нулевите пространства над полето от рационални числа и над полето от реални числа се считат за различни, въпреки че се състоят от един нулев вектор.

Пример 2.Самото поле P е векторно пространство над полето P. Нека V=P. Нека проверим изпълнимостта на аксиомите на векторното пространство. Тъй като P е поле, тогава P е адитивна абелева група и A 1 е в сила. Поради изпълнимостта на умножението в P, A2 е изпълнено. Аксиомите A 3 и A 4 са изпълнени поради осъществимостта в P на разпределимостта на умножението по отношение на събирането. Тъй като в полето P има единичен елемент 1, свойството за унитарност A 5 е изпълнено. По този начин полето P е векторно пространство над полето P.

Пример 3.Аритметично n-мерно векторно пространство.

Нека P е поле. Да разгледаме множеството V= P n =((a 1 , a 2 , … , a n) ½ a i О P, i=1,…, n). Нека въведем върху множеството V операциите за добавяне на вектори и умножаване на вектор по скала съгласно следните правила:

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) О V, "aО P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + bn) (1)

a=(aa 1, aa 2, …, aa n) (2)

Елементите на множеството V ще се наричат n-мерни вектори. Два n-мерни вектора се наричат ​​равни, ако съответните им компоненти (координати) са равни. Нека покажем, че V е векторно пространство над полето P. От дефиницията на операциите събиране на вектори и умножение на вектор по скалар следва, че V е затворено спрямо тези операции. Тъй като добавянето на елементи от V се свежда до добавяне на елементи от полето P, а P е адитивна абелева група, тогава V е адитивна абелева група. Освен това =, където 0 е нулата на полето P, -= (-a 1, -a 2, …, -a n). Така A 1 е изпълнено. Тъй като умножаването на елемент от V по елемент от P се свежда до умножаване на елементи от полето P, тогава:

A 2 е изпълнено поради асоциативността на умножението с P;

A 3 и A 4 са изпълнени поради разпределимостта на умножението по отношение на събирането с P;

5 е изпълнено, тъй като 1 Î P е неутрален елемент по отношение на умножението по P.

Определение 2.Множеството V= P n с операциите, определени от формули (1) и (2), се нарича аритметично n-мерно векторно пространство над полето P.

Лекция 6. Векторно пространство.

Основни въпроси.

1. Векторно линейно пространство.

2. Основа и измерение на пространството.

3. Ориентиране в пространството.

4. Разлагане на вектор по базис.

5. Векторни координати.

1. Векторно линейно пространство.

Множество, състоящо се от елементи от произволно естество, в които са дефинирани линейни операции: събиране на два елемента и умножение на елемент по число се наричат пространства, а техните елементи са векторитова пространство и се означават по същия начин като векторните величини в геометрията: . ВекториТакива абстрактни пространства като правило нямат нищо общо с обикновените геометрични вектори. Елементите на абстрактните пространства могат да бъдат функции, система от числа, матрици и т.н., а в конкретен случай и обикновени вектори. Следователно такива пространства обикновено се наричат векторни пространства .

Векторните пространства са, Например, набор от колинеарни вектори, означени V1 , набор от копланарни вектори V2 , набор от вектори на обикновено (реално пространство) V3 .

За този конкретен случай можем да дадем следната дефиниция на векторно пространство.

Определение 1.Наборът от вектори се нарича векторно пространство, ако линейна комбинация от произволни вектори от набор също е вектор на този набор. Самите вектори се наричат елементивекторно пространство.

По-важно, както теоретично, така и приложно, е общата (абстрактна) концепция за векторно пространство.

Определение 2.Няколко Релементи, в които сумата се определя за всеки два елемента и за всеки елемент https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> наречен вектор(или линеен) пространство, а неговите елементи са вектори, ако операциите за добавяне на вектори и умножаване на вектор по число отговарят на следните условия ( аксиоми) :

1) събирането е комутативно, т.е..gif" width="184" height="25">;

3) има такъв елемент (нулев вектор), който за всеки https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99" height="27">;

5) за всякакви вектори и и произволно число λ равенството е в сила;

6) за всякакви вектори и всякакви числа λ И µ равенството е вярно: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> и всякакви числа λ И µ справедливо ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.

Най-простите аксиоми, които дефинират векторно пространство, са следните: последствия :

1. Във векторното пространство има само една нула - елементът - нулевият вектор.

2. Във векторното пространство всеки вектор има един противоположен вектор.

3. За всеки елемент равенството е изпълнено.

4. За всяко реално число λ и нулев вектор https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> е вектор, който удовлетворява равенството https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Така че наистина множеството от всички геометрични вектори е линейно (векторно) пространство, тъй като за елементите на това множество са определени действията на събиране и умножение с число, които удовлетворяват формулираните аксиоми.

2. Основа и измерение на пространството.

Основните понятия на векторното пространство са понятията за база и измерение.

Определение.Набор от линейно независими вектори, взети в определен ред, чрез който всеки вектор на пространството може да бъде линейно изразен, се нарича основатова пространство. Вектори. Компонентите на основата на пространството се наричат основен .

Основата на набор от вектори, разположени на произволна права, може да се счита за един колинеарен вектор на тази права.

База на самолетанека наречем два неколинеарни вектора в тази равнина, взети в определен ред https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.

Ако базисните вектори са по двойки перпендикулярни (ортогонални), тогава основата се нарича ортогонален, и ако тези вектори имат дължина, равна на единица, тогава основата се нарича ортонормална .

Най-големият брой линейно независими вектори в пространството се нарича измерениена това пространство, т.е. измерението на пространството съвпада с броя на базисните вектори на това пространство.

И така, според тези определения:

1. Едномерно пространство V1 е права линия, а основата се състои от един колинеаренвектор https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Обикновеното пространство е триизмерно пространство V3 , чиято основа се състои от три некомпланарнивектори

Оттук виждаме, че броят на базисните вектори на права линия, на равнина, в реално пространство съвпада с това, което в геометрията обикновено се нарича брой на измеренията (измерение) на права линия, равнина, пространство. Затова е естествено да се въведе по-общо определение.

Определение.Векторно пространство РНаречен н– размерен, ако има не повече от нлинейно независими вектори и се обозначава Р н. Номер нНаречен измерениепространство.

В съответствие с размерите на пространството се разделят на крайномеренИ безкрайно-измерен. Размерът на нулевото пространство се счита за равен на нула по дефиниция.

Бележка 1.Във всяко пространство можете да посочите колкото желаете бази, но всички бази на дадено пространство се състоят от еднакъв брой вектори.

Бележка 2. IN н– в пространствено векторно пространство база е всяка подредена колекция нлинейно независими вектори.

3. Ориентиране в пространството.

Нека базисните вектори в пространството V3 имат общо началоИ поръчан, т.е. посочва се кой вектор се счита за първи, кой за втори и кой за трети. Например в основата векторите са подредени според индексацията.

За това за да се ориентира пространството, е необходимо да се постави някаква основа и да се обяви за положителна .

Може да се покаже, че множеството от всички основи на пространството попада в два класа, тоест в две несвързани подмножества.

а) всички бази, принадлежащи към едно подмножество (клас), имат същотоориентация (основи със същото име);

б) произволни две основи, принадлежащи на различниподмножества (класове), имат обратнотоориентация, ( различни именабази).

Ако единият от двата класа бази на едно пространство е обявен за положителен, а другият за отрицателен, тогава се казва, че това пространство ориентиран .

Често при ориентиране на пространството се наричат ​​някои основи точно, и други - наляво .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> се наричат точно, ако, когато се наблюдава от края на третия вектор, най-краткото завъртане на първия вектор https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > се извършва обратно на часовниковата стрелка(Фиг. 1.8, а).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Ориз. 1.8. Дясна основа (a) и лява основа (b)

Обикновено дясната основа на пространството се обявява за положителна основа

Дясната (лявата) основа на пространството също може да се определи с помощта на правилото на „десен“ („ляв“) винт или гилза.

По аналогия с това се въвежда понятието дясно и ляво тройкинекомпланарни вектори, които трябва да бъдат подредени (фиг. 1.8).

Така в общия случай две подредени тройки некомпланарни вектори имат еднаква ориентация (едно и също име) в пространството V3 ако и двете са десни или и двете леви, и - противоположна ориентация (срещу), ако единият от тях е десен, а другият е ляв.

Същото се прави и в случай на пространство V2 (самолет).

4. Разлагане на вектор по базис.

За по-лесно разсъждение нека разгледаме този въпрос, като използваме примера на триизмерно векторно пространство Р3 .

Нека https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> е произволен вектор на това пространство.

В статията за n-мерните вектори стигнахме до концепцията за линейно пространство, генерирано от набор от n-мерни вектори. Сега трябва да разгледаме също толкова важни понятия, като измерението и основата на векторно пространство. Те са пряко свързани с концепцията за линейно независима система от вектори, така че допълнително се препоръчва да си припомните основите на тази тема.

Нека въведем някои определения.

Определение 1

Размерност на векторното пространство– число, съответстващо на максималния брой линейно независими вектори в това пространство.

Определение 2

Векторна пространствена основа– набор от линейно независими вектори, подредени и равни на брой на размерността на пространството.

Нека разгледаме определено пространство от n -вектори. Размерността му е съответно равна на n. Да вземем система от n-единични вектори:

e (1) = (1, 0, . . . 0) e (2) = (0, 1, . . . , 0) e (n) = (0, 0, . . . , 1)

Използваме тези вектори като компоненти на матрица A: това ще бъде единична матрица с размерност n на n. Рангът на тази матрица е n. Следователно векторната система e (1) , e (2) , . . . , e(n) е линейно независим. В този случай е невъзможно да се добави един вектор към системата, без да се наруши нейната линейна независимост.

Тъй като броят на векторите в системата е n, тогава размерността на пространството от n-мерни вектори е n, а единичните вектори са e (1), e (2), . . . , e(n) са основата на посоченото пространство.

От получената дефиниция можем да заключим: всяка система от n-мерни вектори, в която броят на векторите е по-малък от n, не е базис на пространството.

Ако разменим първия и втория вектор, получаваме система от вектори e (2) , e (1) , . . . , e (n) . Той също така ще бъде основата на n-мерно векторно пространство. Нека създадем матрица, като вземем векторите на получената система като нейни редове. Матрицата може да бъде получена от матрицата за идентичност чрез размяна на първите два реда, нейният ранг ще бъде n. Система e (2) , e (1) , . . . , e(n) е линейно независим и е основата на n-мерно векторно пространство.

Чрез пренареждане на други вектори в оригиналната система, ние получаваме друга основа.

Можем да вземем линейно независима система от неединични вектори и тя също ще представлява основата на n-мерно векторно пространство.

Определение 3

Векторно пространство с размерност n има толкова бази, колкото има линейно независими системи от n-мерни вектори с число n.

Равнината е двумерно пространство - нейната основа ще бъдат всеки два неколинеарни вектора. Основата на триизмерното пространство ще бъдат всеки три некомпланарни вектора.

Нека разгледаме приложението на тази теория, използвайки конкретни примери.

Пример 1

Първоначални данни:вектори

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Необходимо е да се определи дали посочените вектори са основата на тримерно векторно пространство.

Решение

За да решим задачата, изследваме дадената система от вектори за линейна зависимост. Нека създадем матрица, където редовете са координатите на векторите. Нека да определим ранга на матрицата.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

Следователно векторите, зададени от условието на задачата, са линейно независими и техният брой е равен на размерността на векторното пространство - те са основата на векторното пространство.

Отговор:посочените вектори са основата на векторното пространство.

Пример 2

Първоначални данни:вектори

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

Необходимо е да се определи дали посочената система от вектори може да бъде основа на триизмерното пространство.

Решение

Системата от вектори, посочена в постановката на проблема, е линейно зависима, т.к максималният брой линейно независими вектори е 3. Така посочената система от вектори не може да служи като основа за тримерно векторно пространство. Но си струва да се отбележи, че подсистемата на оригиналната система a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) е основа.

Отговор:посочената система от вектори не е базис.

Пример 3

Първоначални данни:вектори

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Могат ли да бъдат в основата на четириизмерното пространство?

Решение

Нека създадем матрица, използвайки координатите на дадените вектори като редове

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Използвайки метода на Гаус, ние определяме ранга на матрицата:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Следователно системата от дадени вектори е линейно независима и техният брой е равен на размерността на векторното пространство - те са основата на четиримерно векторно пространство.

Отговор:дадените вектори са основата на четиримерното пространство.

Пример 4

Първоначални данни:вектори

a (1) = (1, 2, - 1, - 2) a (2) = (0, 2, 1, - 3) a (3) = (1, 0, 0, 5)

Те формират ли основата на пространство с измерение 4?

Решение

Оригиналната система от вектори е линейно независима, но броят на векторите в нея не е достатъчен, за да стане основата на четириизмерно пространство.

Отговор:не, не го правят.

Разлагане на вектор в базис

Да приемем, че произволни вектори e (1) , e (2) , . . . , e (n) са основата на n-мерно векторно пространство. Нека добавим към тях определен n-мерен вектор x →: получената система от вектори ще стане линейно зависима. Свойствата на линейната зависимост гласят, че поне един от векторите на такава система може да бъде линейно изразен чрез останалите. Преформулирайки това твърдение, можем да кажем, че поне един от векторите на линейно зависима система може да бъде разширен в останалите вектори.

Така стигнахме до формулировката на най-важната теорема:

Определение 4

Всеки вектор от n-мерно векторно пространство може да бъде уникално разложен на базис.

Доказателство 1

Нека докажем тази теорема:

нека зададем основата на n-мерното векторно пространство - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Нека направим системата линейно зависима, като добавим n-мерен вектор x → към нея. Този вектор може да бъде линейно изразен чрез оригиналните вектори e:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , където x 1 , x 2 , . . . , x n - някои числа.

Сега доказваме, че такова разлагане е уникално. Да приемем, че това не е така и има друго подобно разлагане:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , където x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - някои числа.

Нека извадим от лявата и дясната страна на това равенство съответно лявата и дясната част на равенството x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) . Получаваме:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

Система от базисни вектори e (1) , e (2) , . . . , e (n) е линейно независим; по дефиниция на линейна независимост на система от вектори, равенството по-горе е възможно само когато всички коефициенти са (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) ще бъде равно на нула. От което ще бъде справедливо: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . И това доказва единствения вариант за разлагане на вектор в базис.

В този случай коефициентите x 1, x 2, . . . , x n се наричат ​​координатите на вектора x → в базиса e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

Доказаната теория изяснява израза „даден n-мерен вектор x = (x 1, x 2, . . . , x n)“: разглежда се вектор x → n-мерно векторно пространство и неговите координати са определени в a определена основа. Също така е ясно, че един и същ вектор в друга основа на n-мерното пространство ще има различни координати.

Разгледайте следния пример: да предположим, че в някакъв базис на n-мерно векторно пространство е дадена система от n линейно независими вектора

и също така е даден векторът x = (x 1 , x 2 , . . . , x n).

Вектори e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) в този случай също са основата на това векторно пространство.

Да предположим, че е необходимо да се определят координатите на вектора x → в базиса e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , означен като x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.

Вектор x → ще бъде представен както следва:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Нека напишем този израз в координатна форма:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , .. , e (1) n) + x ~ 2 (e (2 ) 1 , e (2) 2 , . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + .. + x e 2 (n) , .

Полученото равенство е еквивалентно на система от n линейни алгебрични израза с n неизвестни линейни променливи x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Матрицата на тази система ще има следния вид:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Нека това е матрица A и нейните колони са вектори на линейно независима система от вектори e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) . Рангът на матрицата е n, а нейният детерминант е различен от нула. Това показва, че системата от уравнения има уникално решение, определено по всеки удобен метод: например методът на Крамер или матричният метод. По този начин можем да определим координатите x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n вектор x → в базиса e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Нека приложим разглежданата теория към конкретен пример.

Пример 6

Първоначални данни:векторите са посочени в основата на триизмерното пространство

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

Необходимо е да се потвърди фактът, че системата от вектори e (1), e (2), e (3) също служи като основа на дадено пространство, както и да се определят координатите на вектор x в дадена база.

Решение

Системата от вектори e (1), e (2), e (3) ще бъде основата на тримерното пространство, ако е линейно независима. Нека открием тази възможност, като определим ранга на матрицата A, чиито редове са дадените вектори e (1), e (2), e (3).

Използваме метода на Гаус:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Така системата от вектори e (1), e (2), e (3) е линейно независима и е основа.

Нека векторът x → има координати x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 в основата. Връзката между тези координати се определя от уравнението:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Нека приложим стойностите според условията на проблема:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Нека решим системата от уравнения по метода на Крамер:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Така векторът x → в основата e (1), e (2), e (3) има координати x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1.

Отговор: x = (1, 1, 1)

Връзка между основите

Да приемем, че в някакъв базис на n-мерното векторно пространство са дадени две линейно независими системи от вектори:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . ., c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Тези системи са и основи на дадено пространство.

Нека c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - координати на вектора c (1) в базиса e (1) , e (2) , . . . , e (3) , тогава координатната връзка ще бъде дадена чрез система от линейни уравнения:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Системата може да бъде представена като матрица, както следва:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Нека направим същия запис за вектора c (2) по аналогия:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Нека комбинираме матричните равенства в един израз:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Той ще определи връзката между векторите на две различни бази.

Използвайки същия принцип, е възможно да се изразят всички базисни вектори e(1) , e(2) , . . . , e (3) през основата c (1) , c (2) , . . . , c (n) :

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Нека дадем следните определения:

Определение 5

Матрица c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) е матрицата на прехода от основата e (1) , e (2) , . . . , д (3)

към основата c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Определение 6

Матрица e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) е матрицата на прехода от основата c (1) , c (2) , . . . , c(n)

към основата e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

От тези равенства е очевидно, че

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

тези. преходните матрици са реципрочни.

Нека да разгледаме теорията, използвайки конкретен пример.

Пример 7

Първоначални данни:необходимо е да се намери матрицата на прехода от основата

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

Трябва също да посочите връзката между координатите на произволен вектор x → в дадените бази.

Решение

1. Нека T е матрицата на прехода, тогава равенството ще бъде вярно:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Умножете двете страни на равенството по

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

и получаваме:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Дефинирайте матрицата на прехода:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Нека дефинираме връзката между координатите на вектора x → :

Да приемем, че в основата c (1) , c (2) , . . . , c (n) вектор x → има координати x 1 , x 2 , x 3 , тогава:

x = (x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1,

и в основата e (1) , e (2) , . . . , e (3) има координати x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, тогава:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

защото Ако левите части на тези равенства са равни, можем да приравним и десните страни:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Умножете двете страни отдясно по

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

и получаваме:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

От друга страна

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Последните равенства показват връзката между координатите на вектора x → в двете бази.

Отговор:преходна матрица

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Координатите на вектора x → в дадените основи са свързани с отношението:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter