Редуцируеми полиноми над полето от реални числа. Разгъване на полином върху полето от рационални числа. Полиноми над полето на рационалните числа
Всяко комплексно число определя точка на равнината. Аргументите ще бъдат разположени на една сложна равнина, стойностите на функцията ще бъдат разположени на друга сложна равнина.
F(z) е комплексната функция на комплексна променлива. Сред сложните функции на комплексна променлива се откроява класът на непрекъснатите функции.
Def: сложна функция на комплексна променлива се нарича непрекъсната, ако , така че .+
Геометричното значение е следното:
Определя окръжност в комплексната равнина с център в точка z0 и радиус< . Аналогично в другой комплексной плоскости неравенство задает круг с радиусом меньше .
Теорема 1: Полином f(z)add. C(z) е непрекъснат във всяка точка на комплексната равнина.
Следствие: модулът на полином в полето на комплексните числа е непрекъсната функция.
Теорема 2: - пръстен от полиноми с комплексни коефициенти, тогава такива стойности, че .
Теорема 3. (за неограниченото нарастване на модула на полином):
Основна теорема на алгебрата:
Всеки полином върху полето от комплексни числа, което не е от степен 0, има поне един корен в полето от комплексни числа.
(Ще използваме следните твърдения в доказателството):
D.: 1. Ако a n =0, тогава z=0 е коренът на f(z).
2. ако a n 0, тогава съгласно теорема 3 неравенството определя област в комплексната равнина, която лежи извън окръжността с радиус S. В тази област няма корени, тъй като следователно, корените на полинома f(z) трябва да се търсят вътре в областта.
Да разгледаме от T1. следва, че f(z) е непрекъсната. Според теоремата на Вайерщрас тя достига своя минимум в дадена точка в затворена област, т.е. . Нека покажем, че точката е минимална точка. защото 0 E, тогава, защото извън областта E на стойността на f-ii, тогава z 0 е минималната точка на цялата комплексна равнина. Нека покажем, че f(z 0)=0. Да приемем, че това не е така, тогава чрез лемата на д'Аламбер получаваме противоречие, защото z 0 минимална точка.
Алгебрично затваряне:
Def: поле P се нарича алгебрично затворено, ако има поне един корен над това поле.
Теорема: полето от комплексни числа е алгебрично затворено. (d-следва от основната теорема на алгебрата).
Полетата на рационалните и реалните числа не са алгебрично затворени.
Разложимост:
Теорема: всеки полином върху полето от комплексни числа със степен над 1 може да се разложи на произведение на линейни множители.
Следствие 1. Полином от степен n върху поле от комплексни числа има точно n корена.
Следващо 2: всеки полином върху полето от комплексни числа със степен по-голяма от 1 винаги е редуцируем.
Def: Числа с кратност C\R, т.е. числа от вида a+bi, където b не е равно на 0, се наричат имагинерни.
2. Полиноми над поле. НОД на два полинома и алгоритъм на Евклид. Разлагане на полином в произведение от несъкратими множители и неговата уникалност.
Деф.Полином (полином) в неизвестното хнад полето РНаречен Алгебрична сума на цели неотрицателни степени х, взети с някакъв коефициент от полето Р.
Къде е aiÎP или
Полиномите се наричат равен, ако техните коефициенти са равни за съответните степени на неизвестните.
Степента на полином се нарича.най-голямата стойност на неизвестния показател, коефициентът за който е различен от нула.
Посочва се от: N(f(x))=n
Множеството от всички полиноми върху поле Розначен с: P[x].
Полиноми от нулева степен съвпадат с полеви елементи Р, различен от нула е нулев полином, неговата степен е неопределена.
Операции върху полиноми.
1. Добавяне.
Нека n³s, тогава N(f(x)+g(x))=n=max(n,s).
<P[x],+>
- операцията на добавяне е осъществима и уникалността следва от уникалността на добавянето на полеви елементи
- асоциативност
- нулев елемент
- полином, противоположен на дадения
- комутативност
2. Умножение.
Изследване на алгебричната структура<P[x],*>
- операцията е осъществима, т.к поле се извършва операция за умножение. Уникалността следва от недвусмислеността на операциите на полето Р.
- асоциативност
- единичен полином
- Само полиноми до нулева степен са обратими
<P[x],*>- полугрупа с елемент на идентичност (маноид)
Законите за разпределение са изпълнени, следователно,<P[x],+,*>е комутативен пръстен с идентичност.
Делимост на многочлените
ОПР:полином f(x), f(x)ОP[x], P– полето се дели на многочлен g(x), g(x)≠0, g(x)ОP[x],ако такъв полином съществува h(x)ОP[x], че f(x)=g(x)h(x)
Свойства на делимост:
Пример:, разделете на колона gcd =( х+3)
Теорема за деление с остатък:За всякакви полиноми f (x), g(x)ОP[x],има само един полином q(x) И r(x)такова, че f(x)=g(x)q(x)+r(x), N(r(x))
Идея за документ: разглеждаме два съществуващи случая н
ОПР: f (x) и g(x), f(x), g(x)ОP[x], h(x)ОP[x]наречен GCD f (x) и g(x)Ако
Алгоритъм на Евклид
Нека запишем процеса на последователно деление
f(x)=g(x)q 1 (x)+r 1 (x) (1)
g(x)= r 1 (x) q 2 (x)+r 2 (x) (2)
r 1 (x)= r 2 (x) q 3 (x)+r 3 (x) (3) и т.н.
r k-2 (x)= r k-1 (x) q k (x)+r k (x) (k)
r k-1 (x)= r k (x) q k+1 (x) (k+1)
НОД(f(x),g(x))=d(x)=r k (x)
Идеята е доказателство: показваме, че 1 ) f(x):(напълно) d(x) И g(x):(изцяло) d(x); 2) f(x):(изцяло) h(x) И g(x):(напълно) h(x)показваме това d(x):(напълно) h(x).
Линейно представяне на НОД
Т: ако d(x) - gcd на полиноми f (x) и g(x), тогава съществуват полиноми v (x) и u(x)ОP[x],Какво f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x).
Def: f(x) и g(x)ОP[x]винаги имат общи делители, а именно полиноми от нулева степен, съвпадащи с полето P; ако няма други общи делители, тогава f(x) и g(x) са взаимно прости. (обозначаване: (f(x),g(x))=1)
T:f (х) И g(x) са относително прости i.i.t.k. съществуват полиноми v(x) и u(x)ОP[x] такива, че f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.
Свойства на взаимно прости полиноми
- (f(x),g(x))=1, (f(x),q(x))=1, тогава (f(x),g(x)*q(x))=1
- f(x)*g(x):(изцяло)h(x) и (f(x),g(x))=1, тогава g(x):(напълно) h(x)
- f(x):(изцяло)g(x), f(x):(изцяло)h(x) и ( g(x),h(x))=1, тогава f(x):(изцяло) g(x)*h(x)
ОПР:Извиква се полиномът f(x), f(x)ОP[x]. даденонад полето P, ако може да се разложи на множители, чиито степени са по-големи от 0 и по-малки от степента f(x), т.е.
f (x)=f 1 (x)f 2 (x), където градусите f 1 и f 2 >0,
Сводимостта на полиномите зависи от полето, върху което се разглеждат. Полиномът е нередуцируем (полином, който не може да бъде разложен на фактори от по-ниска степен) върху полето Q и е редуцируем върху полето R.
Свойства на нередуцируемите полиноми:
- Полином от нулева степен е редуцируем върху всяко поле
- Ако полином f(x) не се редуцират над полето Р, тогава полиномът a f(x) също не се редуцира над полето Р.
- Нека полиноми f (х)И p(x) над полето Р, и p(x) – неприводимо над поле Р, тогава са възможни случаи
1) полиноми f (х)И p(x) са относително прости
2) f(x):(изцяло) p(x)
Казва се, че поле F е алгебрично затворено, ако всеки полином с положителна степен върху F има корен във F.
Теорема 5.1 (фундаментална теорема на полиномиалната алгебра).Полето от комплексни числа е алгебрично затворено.
Последица 5 .1.1. По-горе СЪСИма само нередуцируеми полиноми от първа степен.
Следствие 5.1.2. Полином н-та степен по-горе СЪСТо има нсложни корени.
Теорема 5.2. Ако е комплексен корен на полином fс реални коефициенти, тогава комплексно спрегнатото число също е корен f.
Последица 5 .2.1. По-горе РИма нередуцируеми полиноми само от първа или втора степен.
Следствие 5.2.2. Въображаеми корени на полином над Рсе разлагат на двойки комплексни конюгати.
Пример 5.1. Разложете на несводими множители СЪСи отгоре Рполином х 4 + 4.
Решение. Ние имаме
х 4 + 4 =х 4 + 4х 2 + 4 – 4х 2 = (х 2 + 2) 2 – 4х 2 = (х 2 – 2х+ 2)(х 2 + 2х+ 2) –
разширение над Р. След като намерихме комплексните корени на полиноми от втора степен в скоби по обичайния начин, получаваме разширение върху СЪС:
х 4 + 4 = (х – 1 – аз) (х – 1 + аз) (х + 1 – аз) (х + 1 + аз).
Пример 5.2. Конструирайте полином от най-малка степен с реални коефициенти с корени 2 и 1 + аз.
Решение. Съгласно следствие 5.2.2 полиномът трябва да има корени 2, 1 – аз и 1 + аз. Неговите коефициенти могат да бъдат намерени с помощта на формулите на Vieta:
1 = 2 + (1 – аз) + (1 +аз) = 4;
2 = 2(1 – аз) + 2(1 + аз) + (1 – аз)(1 + аз) = 6;
3 = 2(1 – аз)(1 + аз) = 4.
Оттук f =х 3 – 4х 2 + 6х– 4.
Упражнения.
5.1. Разложете на несводими множители СЪСи отгоре Рполиноми:
а) х 3 – 6х 2 + 11х – 6;
б) х 4 – 10х 2 + 1.
5.2. Конструирайте полином от най-малка степен с реални коефициенти с двоен корен 1 и прост корен 1 – 2 аз.
6. Полиноми над полето на рационалните числа
Теорема 6.1 (критерий на Айзенщайн). Позволявам f = a 0 +a 1 х + ...+ а н х н– полином с цели коефициенти. Ако има такова просто число стр, Какво а 0 , а 1 , … , а н-1 се дели на стр, а нне се дели на стр,а 0 не се дели на стр 2, тогава f не се редуцират над полето от рационални числа.
Упражнение 6.1. Докажете несводимост над Qполиноми:
а) f= 2х 5 + 3х 4 – 9х 3 – 6х+ 3; б) f= 5х 4 + 6х 3 – 18х 2 – 12х + 54.
Теорема 6.2.
Позволявам 
– несъкратима дроб, която е корен на многочлен f
=
а 0 +
а 1 х
+ … +
а н х нс цели коефициенти. Тогава
а 0 стр, а н р;
f(1) p–q,f(–1) p+q.
Тази теорема ни позволява да решим проблема с намирането на рационални корени на полином с цели коефициенти. За да направим това, ние определяме всички делители на свободния член и водещия коефициент и конструираме от тях всички видове несъкратими дроби. Всички рационални корени се съдържат сред тези дроби. За да ги определите, можете да използвате схемата на Хорнер. За да избегнем ненужни изчисления в него, използваме твърдение 2) от теорема 6.2.
Пример 6.1. Намерете рационални корени на полином
f = 2х 4 + 7х 3 + 3х 2 – 15х– 18.
Решение. Записваме всички дроби, чиито числители стр – делителите са 18, а знаменателите р– разделители 2:
1, –1, 2, –2,
3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18, 
,
,
.
Проверяваме ги по схемата на Хорнер:
|
Коментар |
||||||
|
f(1) = –21 p–q |
||||||
|
f(–1) = –3 p+q |
||||||
|
х 1 = –2 |
||||||
|
х 2 = 3/2 |
||||||
Намиране на корена х 1 = –2 и разделяне на полинома на х+ 2, получаваме полином с нов свободен член –9 (коефициентите му са подчертани). Числителите на останалите корени трябва да бъдат делители на това число и дроби, които не отговарят на това условие, могат да бъдат изключени от списъка. Останалите цели числа се изключват, защото не отговарят на условието f(1)стр – р или f(–1)стр + р. Например за 3 имаме стр = 3, р= 1 и условието не е изпълнено f(1) = –21стр – р(същото като второто условие).
По същия начин, намиране на корена х 2 = 3/2, получихме полином с нов свободен член 3 и водещ коефициент 1 (когато коренът е дробен, коефициентите на получения полином трябва да бъдат намалени). Нито едно останало число от списъка вече не може да бъде негов корен и списъкът с рационални корени е изчерпан.
Намерените корени трябва да бъдат проверени за множественост.
Ако в процеса на решаване сме стигнали до полином от втора степен и списъкът с дроби все още не е изчерпан, тогава останалите корени могат да бъдат намерени с помощта на обичайните формули като корени на квадратен трином.
Упражнение 6.2. Намерете рационалните корени на полинома
а) х 3 – 6х 2 + 15х– 14;
б) х 5 – 7х 3 – 12х 2 + 6х+ 36;
на 2 х 4 – 11х 3 + 23х 2 – 24х+ 12;
г) 4 х 4 – 7х 2 – 5х– 1.
Полином върху пръстена от цели числа се нарича примитивен, ако най-големият общ делител на неговите коефициенти е 1. Полином с рационални коефициенти е уникално представен като произведение на положително рационално число, наречено съдържаниеполином и примитивен полином. Произведението на примитивни полиноми е примитивен полином. От този факт следва, че ако полином с цели коефициенти е сводим върху полето от рационални числа, то той е сводим и върху пръстена с цели числа. По този начин проблемът за разлагане на полином на нередуцируеми множители върху полето от рационални числа се свежда до подобен проблем върху пръстена от цели числа.
Нека е полином с цели коефициенти и съдържание 1 и нека е неговият рационален корен. Нека си представим корена на полином като несъкратима дроб. Полином f(х) се представя като произведение на примитивни полиноми. следователно
А. числителят е делител,
Б. знаменател – делител
C. за всяко цяло число кзначение f(к) – цяло число, което се дели без остатък на ( кн-а).
Изброените свойства ни позволяват да намалим проблема за намиране на рационални корени на полином до крайно търсене. Подобен подход се използва при полиномно разширение fдо нередуцируеми множители в областта на рационалните числа, използвайки метода на Кронекер. Ако полином f(х) градуса нса дадени, тогава един от факторите има степен не по-висока от н/2. Нека обозначим този фактор с ж(х). Тъй като всички коефициенти на полиноми са цели числа, тогава за всяко цяло число азначение f(а) се дели без остатък на ж(а). Да изберем m= 1+н/2 различни цели числа ааз, аз=1,…,м. За цифри ж(а i) има краен брой възможности (броят на делителите на всяко ненулево число е краен), следователно има краен брой полиноми, които могат да бъдат делители f(х). След като извършим пълно търсене, ние или ще покажем нередуцируемостта на полинома, или ще го разширим в произведението на два полинома. Прилагаме посочената схема към всеки фактор, докато всички фактори станат неприводими полиноми.
Несводимостта на някои полиноми върху полето от рационални числа може да се установи с помощта на прост критерий на Айзенщайн.
Позволявам f(х) е полином върху пръстена от цели числа. Ако има просто число стр, Какво
I. Всички коефициенти на полинома f(х), освен коефициента за най-висока степен, се разделят на стр
II. Коефициентът за най-високата степен не се дели на стр
III. Безплатният член не е разделен на
След това полиномът f(х) е неприводимо над полето от рационални числа.
Трябва да се отбележи, че критерият на Айзенщайн предоставя достатъчни условия за несводимост на полиномите, но не и необходими. Така че полиномът е нередуцируем върху полето от рационални числа, но не удовлетворява критерия на Айзенщайн.
Полиномът, според критерия на Айзенщайн, е нередуцируем. Следователно, над полето от рационални числа има нередуцируем полином от степен н, Където нвсяко естествено число, по-голямо от 1.
Над полето от реални числа всеки несводим полином на една променлива има степен 1 или 2, а полином със степен 2 е неприводим върху полето R тогава и само ако има отрицателен дискриминант, например полиномът е неприводим върху поле от реални числа, тъй като неговият дискриминант е отрицателен.
Критерият на Айзенщайн е тест за нередуцируемостта на полином, кръстен на немския математик Фердинанд Айзенщайн. Въпреки (традиционното) име, това е точно знак, тоест достатъчно условие - но изобщо не е необходимо, както може да се предположи въз основа на математическото значение на думата "критерий".
Теорема (критерий на Айзенщайн). Нека е полином върху факториалния пръстен R ( н>0), и за някакъв нередуцируем елемент стрса изпълнени следните условия:
Не се дели на стр,
Разделена на стр, за всеки азот 0 преди н- 1,
Не се дели на.
Тогава полиномът е неприводим Ечастно пръстеновидно поле Р.
Последица.Над всяко поле от алгебрични числа съществува нередуцируем полином от произволна предварително определена степен; например полином където н>1 и стрЇ някакво просто число.
Нека разгледаме примери за прилагането на този критерий, когато R е пръстен от цели числа и F е поле от рационални числа.
Примери:
Полиномът е неприводим върху Q.
Деленият полином на окръжност е нередуцируем. Всъщност, ако е редуцируем, тогава ние също редуцираме полинома и тъй като всички негови коефициенти, с изключение на първия, са биномни, тоест те се делят на стр, а последният коефициент `амин стри освен това не се дели по критерия на Айзенщайн, противно на предположението.
Следните пет полинома демонстрират някои елементарни свойства на нередуцируемите полиноми:
Над пръстена Z от цели числа, първите два полинома са редуцируеми, последните два са нередуцируеми. (Третото изобщо не е полином върху цели числа).
Над полето Q от рационални числа първите три полинома са редуцируеми, а другите два са неприводими.
Над полето R от реални числа първите четири полинома са редуцируеми, но са нередуцируеми. В областта на реалните числа линейните полиноми и квадратичните полиноми без реални корени са нередуцируеми. Например разширяването на полином в областта на реалните числа има формата. И двата фактора в това разширение са нередуцируеми полиноми.
Над полето C от комплексни числа всичките пет полинома са редуцируеми. Всъщност всеки непостоянен полином върху C може да бъде факторизиран във формата:
Където н- степен на полинома, а- водещият коефициент, - корените на полинома. Следователно единствените нередуцируеми полиноми над C са линейни полиноми (основната теорема на алгебрата).
Нередуцируем полином- полином, който не може да се разложи на нетривиални полиноми. Нередуцируемите полиноми са нередуцируеми елементи от полиномния пръстен.
Нередуцируем полином върху поле е полином 
на променливи над поле е прост елемент от пръстена 
, тоест не може да бъде представено като продукт , където и са полиноми с коефициенти от , различни от константи.
Полином f върху поле F се нарича нередуцируем (прост), ако има положителна степен и няма нетривиални делители (т.е. всеки делител е или свързан с него, или с единица)
Изречение 1
Позволявам Р– нередуцируеми и А– произволен полином от пръстена F[x]. Тогава или Рразделя А, или РИ А- взаимно прости.
Изречение 2
Позволявам f∈ F[x] и степен f = 1, което означава, че f е нередуцируем полином.
Например: 1. Вземете полином x+1 над полето Q. Степента му е 1, което означава, че е нередуцируем.
2. x2 +1 – нередуцируемо, т.к няма корени
SLU. Системно решение. Кооперативна, безкооперативна, определена и неопределена системи. Еквивалентни системи
Система от линейни уравнения над поле F с променливи x1,...xn е система от вида
А 11 х 1 + … + а 1пх н= б 1
………………………..
а m1х 1 + … + а мнх н= б м
къде и К,б аз∈ F, m е броят на уравненията, а n е броят на неизвестните. Накратко тази система може да се напише по следния начин: ai1x1 + … + a вх н= б аз (i = 1,...m.)
Това SLE е условие с n свободни променливи x 1,….хн.
SLN се делят на несъвместими (нямат решения) и съвместими (определени и неопределени). Съгласувана система от тип се нарича определена, ако има единствено решение; ако има поне две различни решения, тогава се нарича несигурно.
Например: над полето Q
x + y = 2 - непоследователна система
x – y = 0 - определено съединение (x, y = ½)
2x + 2y = 2 - съвместно неопределено
Две системи l.u са еквивалентни, ако множествата от решения на тези системи съвпадат, т.е. всяко решение на една система е едновременно решение на друга. Може да се получи еквивалентна на тази система:
1. заместване на едно от уравненията с това уравнение, умножено по всяко ненулево число.
2. замяна на едно от уравненията със сумата на това уравнение с друго уравнение на системата.
Разрешаването на SLE се извършва по метода на Гаус.
45* Елементарни преобразувания на системи от линейни уравнения (slu). Метод на Гаус.
Деф.Елементарни трансформации на S.L.U n-xia са следните трансформации:
1. Умножаване на едно от системата от уравнения на системата с ненулев елемент на полето.
2. Добавяне към едно от уравненията на системата на друго уравнение, умножено по полевия елемент.
3. Допълнения към системата или изключване от системата на ненулевото уравнение 0*x1+0*x2+…+0*xn=0
4. Обръщане на уравнения
ВнушениеНека се получи система (**) или система (*) с помощта на крайно число. Елементарни трансформации. Тогава система (**) ~ система (*). (Няма документ)
ДепутатКогато пишем система от линейни уравнения, ще използваме матрична нотация.
a11 a12 … a1n b1
a21 a22 ... a2n b2
………………….... …
Am1 am2 ... amn вn
Примери: 1) 2x1 – x3 = 1 2 0 -1 1
x1 – x2 – x3 = 0 1 -1 -1 0
3x1 + 2x2 + 4x3 = 2 3 2 4 2
2) 1 0 1 x1=1
0 1 2 x2=2
3) 1 0 1 2 x1+x3=2 x1=2-x3
0 1 -1 3 x2-x3=3 x2=3+x3
Метод на Гаус
ВнушениеНека системата (*) има
(a) ако всички свободни членове са равни на 0 всички vk=0 много решения = F n
(b) k vk=0 0x1+0x2+...+0xn= vk=0 (няма решения)
2. не всички aij=0
(a) ако системата има уравнение от вида 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0
(b) ако няма такива уравнения b1. Нека елиминираме ненулевите уравнения. Нека намерим най-малкия индекс i1, така че не всички коефициенти да са при xij=0.
0……0……….. …. Втората колона с нули е i1.
0……0…..*=0….. ….
0……0 ...……… …
1. чрез пренареждане на уравненията ще постигнем, че a1i1 = 0
0 ..... 0… a1i1 = 0 .... .... (1). :=(присвояване) (1) 1/ a1i1 (2). :=(2)-(1)* а2i1
A2i1........... .... 0…. 0…1…. …. 0…. 0..1….. ….. ( стъпил
0…. 0… а2i1… 0…..0..0… …. Матрица)
0 ........... 0 .... ami1.. ... ……………… …. …………………… ….
0 ….0 ..ami1 ... 0……0…………0 ….
След краен брой стъпки получаваме или системата съдържа уравнение от вида 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0 или
0……0 1………….. L1 „преден ход на Гаус“ 0....0 1...0..0 .....0........0.... .. „обратен ход
0......0 0......1..... L2 0....0 0.....1.........0.... . ....0.... ..Гаус”
0 .......00.......0....1 L2 0....0 0......0........1... . .....0.... ..
.............................. .... ............................................ ..
0........0 0 ............0..1 Lk 0....0 0.......0....... ..0....0.......1 ..
Ще наречем променливите xi1, ...... xik основните, останалите са свободни.
k=n => c-a дефинирано
к
2 0 -1 1 8 (-3) 1 -1 -1 0 *(-2) 1 -1 -1 0
1 -1 -1 0 ~ 2 0 -1 1 ~ 0 2 1 1
3 2 4 2 3 2 4 2 0 5 7 2
