Përdredhës të gjuhës

Kub katërdimensional. Cybercube - hapi i parë në dimensionin e katërt Cili është emri i një kubi me anë të ndryshme

Tesseract është një hiperkub katër-dimensional - një kub në hapësirën katër-dimensionale.
Sipas Fjalorit të Oksfordit, fjala teserakt u krijua dhe u përdor në 1888 nga Charles Howard Hinton (1853-1907) në librin e tij A New Age of Thought. Më vonë, disa njerëz e quajtën të njëjtën figurë një tetrakub (greqisht katër - katër) - një kub katërdimensional.
Një teserakt i zakonshëm në hapësirën katërdimensionale Euklidiane përkufizohet si një trup konveks pikash (±1, ±1, ±1, ±1). Me fjalë të tjera, mund të përfaqësohet si grupi i mëposhtëm:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Teserakti është i kufizuar nga tetë hiperplane x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , kryqëzimi i të cilit me vetë teseraktin e përcakton faqet tredimensionale (të cilat janë kube të zakonshme) Çdo palë fytyra tredimensionale joparalele kryqëzohen për të formuar faqe dydimensionale (katrore), e kështu me radhë, teserakti ka 8 tredimensionale fytyra, 24 fytyra dydimensionale, 32 skaje dhe 16 kulme.
Përshkrimi popullor
Le të përpiqemi të imagjinojmë se si do të duket një hiperkub pa lënë hapësirë tre-dimensionale.
Në një "hapësirë" njëdimensionale - në një vijë - ne zgjedhim një segment AB me gjatësi L. Në një plan dy-dimensional në një distancë L nga AB, ne tërheqim një segment DC paralel me të dhe lidhim skajet e tyre. Rezultati është një CDBA katrore. Duke e përsëritur këtë veprim me aeroplan, marrim një kub tredimensional CDBAGHFE. Dhe duke e zhvendosur kubin në dimensionin e katërt (pingul me tre të parat) me një distancë L, marrim hiperkubin CDBAGHFEKLJIOPNM.
Segmenti njëdimensional AB shërben si anë e katrorit dydimensional CDBA, katrori - si anë e kubit CDBAGHFE, i cili, nga ana tjetër, do të jetë ana e hiperkubit katërdimensional. Një segment i drejtë ka dy pika kufitare, një katror ka katër kulme, një kub ka tetë. Në një hiperkub katërdimensional, do të ketë kështu 16 kulme: 8 kulme të kubit origjinal dhe 8 nga ajo e zhvendosur në dimensionin e katërt. Ai ka 32 skaj - 12 secila japin pozicionet fillestare dhe përfundimtare të kubit origjinal, dhe 8 skaje të tjera "vizatojnë" tetë kulmet e tij, të cilat kanë lëvizur në dimensionin e katërt. I njëjti arsyetim mund të bëhet për fytyrat e një hiperkubi. Në hapësirën dy-dimensionale është vetëm një (vetë katrori), një kub ka 6 prej tyre (dy fytyra nga katrori i zhvendosur dhe katër të tjera që përshkruajnë anët e tij). Një hiperkub katërdimensional ka 24 fytyra katrore - 12 katrorë të kubit origjinal në dy pozicione dhe 12 katrorë nga dymbëdhjetë skajet e tij.
Ashtu si anët e një katrori janë 4 segmente njëdimensionale, dhe anët (fytyrat) e një kubi janë 6 katrorë dydimensionale, ashtu edhe për një "kub katërdimensional" (tesseract) brinjët janë 8 kube tredimensionale. . Hapësirat e çifteve të kundërta të kubeve teserakte (pra hapësirat tredimensionale të cilave u përkasin këto kube) janë paralele. Në figurë këto janë kubet: CDBAGHFE dhe KLJIOPNM, CDBAKLJI dhe GHFEOPNM, EFBAMNJI dhe GHDCOPLK, CKIAGOME dhe DLJBHPNF.
Në mënyrë të ngjashme, ne mund të vazhdojmë arsyetimin për hiperkubet më shumë dimensionet, por është shumë më interesante të shohim se si do të duket një hiperkub katërdimensional për ne, banorët e hapësirës tredimensionale. Për këtë do të përdorim metodën tashmë të njohur të analogjive.
Le të marrim kubin e telit ABCDHEFG dhe ta shikojmë me një sy nga ana e skajit. Ne do të shohim dhe mund të vizatojmë dy sheshe në aeroplan (skajet e tij të afërta dhe të largëta), të lidhura me katër vija - skajet anësore. Në mënyrë të ngjashme, një hiperkub katër-dimensional në hapësirën tre-dimensionale do të duket si dy "kuti" kubike të futura në njëra-tjetrën dhe të lidhura nga tetë skaje. Në këtë rast, vetë "kutitë" - fytyrat tredimensionale - do të projektohen në hapësirën "tonë", dhe linjat që i lidhin ato do të shtrihen në drejtim të boshtit të katërt. Ju gjithashtu mund të përpiqeni të imagjinoni kubin jo në projeksion, por në një imazh hapësinor.
Ashtu si një kub tredimensional formohet nga një katror i zhvendosur nga gjatësia e faqes së tij, një kub i zhvendosur në dimensionin e katërt do të formojë një hiperkub. Ai është i kufizuar nga tetë kube, të cilët në të ardhmen do të duken si një lloj bukurie figurë komplekse. Vetë hiperkubi katërdimensional përbëhet nga një numër i pafund kubesh, ashtu si një kub tredimensional mund të "prehet" në një numër të pafund katrorësh të sheshtë.
Duke prerë gjashtë faqet e një kubi tredimensional, mund ta zbërtheni atë në një figurë të sheshtë - një zhvillim. Do të ketë një katror në secilën anë të fytyrës origjinale plus një tjetër - fytyrën përballë saj. Dhe zhvillimi tre-dimensional i një hiperkubi katërdimensional do të përbëhet nga kubi origjinal, gjashtë kube "të rriten" prej tij, plus një tjetër - "hiperfaqja" përfundimtare.
Vetitë e teseraktit janë një zgjatim i vetive forma gjeometrike dimension më të vogël në hapësirë katërdimensionale.

Pikët (±1, ±1, ±1, ±1). Me fjalë të tjera, mund të përfaqësohet si grupi i mëposhtëm:

Teserakti është i kufizuar nga tetë hiperplane, kryqëzimi i të cilëve me vetë teseraktin përcakton fytyrat e tij tredimensionale (që janë kube të zakonshëm). Çdo çift fytyrash 3D jo-paralele kryqëzohen për të formuar fytyra (katrore) 2D e kështu me radhë. Së fundi, teserakti ka 8 fytyra 3D, 24 fytyra 2D, 32 skaje dhe 16 kulme.

Përshkrimi popullor

Le të përpiqemi të imagjinojmë se si do të duket një hiperkub pa lënë hapësirë tre-dimensionale.

Ndërtimi i një teserakti në një aeroplan

Segmenti njëdimensional AB shërben si anë e katrorit dydimensional CDBA, katrori - si anë e kubit CDBAGHFE, i cili, nga ana tjetër, do të jetë ana e hiperkubit katërdimensional. Një segment me vijë të drejtë ka dy pika kufitare, një katror ka katër kulme, një kub ka tetë. Në një hiperkub katërdimensional, do të ketë kështu 16 kulme: 8 kulme të kubit origjinal dhe 8 nga ajo e zhvendosur në dimensionin e katërt. Ai ka 32 skaj - 12 secila japin pozicionet fillestare dhe përfundimtare të kubit origjinal, dhe 8 skaje të tjera "vizatojnë" tetë kulmet e tij, të cilat kanë lëvizur në dimensionin e katërt. I njëjti arsyetim mund të bëhet për fytyrat e një hiperkubi. Në hapësirën dy-dimensionale është vetëm një (vetë katrori), një kub ka 6 prej tyre (dy fytyra nga katrori i zhvendosur dhe katër të tjera që përshkruajnë anët e tij). Një hiperkub katërdimensional ka 24 fytyra katrore - 12 katrorë të kubit origjinal në dy pozicione dhe 12 katrorë nga dymbëdhjetë skajet e tij.

Ashtu si anët e një katrori janë 4 segmente njëdimensionale, dhe anët (fytyrat) e një kubi janë 6 katrorë dydimensionale, ashtu edhe për një "kub katërdimensional" (tesseract) brinjët janë 8 kube tredimensionale. . Hapësirat e çifteve të kundërta të kubeve teserakte (pra hapësirat tredimensionale të cilave u përkasin këto kube) janë paralele. Në figurë këto janë kubet: CDBAGHFE dhe KLJIOPNM, CDBAKLJI dhe GHFEOPNM, EFBAMNJI dhe GHDCOPLK, CKIAGOME dhe DLJBHPNF.

Në mënyrë të ngjashme, ne mund të vazhdojmë arsyetimin tonë për hiperkubet me një numër më të madh dimensionesh, por është shumë më interesante të shohim se si do të duket një hiperkub katërdimensional për ne, banorët e hapësirës tredimensionale. Për këtë do të përdorim metodën tashmë të njohur të analogjive.

Le të marrim kubin e telit ABCDHEFG dhe ta shikojmë me një sy nga ana e skajit. Ne do të shohim dhe mund të vizatojmë dy sheshe në aeroplan (skajet e tij të afërta dhe të largëta), të lidhura me katër vija - skajet anësore. Në mënyrë të ngjashme, një hiperkub katër-dimensional në hapësirën tre-dimensionale do të duket si dy "kuti" kubike të futura në njëra-tjetrën dhe të lidhura nga tetë skaje. Në këtë rast, vetë "kutitë" - fytyrat tredimensionale - do të projektohen në hapësirën "tonë", dhe linjat që i lidhin ato do të shtrihen në drejtim të boshtit të katërt. Ju gjithashtu mund të përpiqeni të imagjinoni kubin jo në projeksion, por në një imazh hapësinor.

Ashtu si një kub tredimensional formohet nga një katror i zhvendosur nga gjatësia e faqes së tij, një kub i zhvendosur në dimensionin e katërt do të formojë një hiperkub. Ai është i kufizuar nga tetë kube, të cilët në perspektivë do të duken si një figurë mjaft komplekse. Vetë hiperkubi katërdimensional përbëhet nga një numër i pafund kubesh, ashtu si një kub tredimensional mund të "prehet" në një numër të pafund katrorësh të sheshtë.

Duke prerë gjashtë fytyrat e një kubi tredimensional, mund ta zbërtheni në një figurë të sheshtë - një zhvillim. Do të ketë një katror në secilën anë të fytyrës origjinale plus një tjetër - fytyrën përballë saj. Dhe zhvillimi tre-dimensional i një hiperkubi katërdimensional do të përbëhet nga kubi origjinal, gjashtë kube "të rriten" prej tij, plus një tjetër - "hiperfaqja" përfundimtare.

Vetitë e një teserakti përfaqësojnë një vazhdimësi të vetive të figurave gjeometrike të dimensionit më të ulët në hapësirën katërdimensionale.

Projeksionet

Në hapësirë dydimensionale

Kjo strukturë është e vështirë të imagjinohet, por është e mundur të projektohet një teserakt në hapësira dy-dimensionale ose tre-dimensionale. Për më tepër, projektimi në një plan e bën të lehtë të kuptosh vendndodhjen e kulmeve të hiperkubit. Në këtë mënyrë, është e mundur të merren imazhe që nuk pasqyrojnë më marrëdhëniet hapësinore brenda teseraktit, por që ilustrojnë strukturën e lidhjes së kulmit, si në shembujt e mëposhtëm:

Fotografia e tretë tregon teseraktin në izometri, në raport me pikën e ndërtimit. Ky përfaqësim është me interes kur përdoret një teserakt si bazë për një rrjet topologjik për të lidhur procesorë të shumtë në llogaritjen paralele.

Në hapësirën tredimensionale

Një nga projeksionet e një teserakti në hapësirën tredimensionale përfaqëson dy kube tredimensionale të mbivendosur, kulmet përkatëse të të cilave janë të lidhura me segmente. Kubikët e brendshëm dhe të jashtëm kanë madhësi të ndryshme në hapësirën tredimensionale, por në hapësirën katërdimensionale janë kube të barabartë. Për të kuptuar barazinë e të gjithë kubeve të teseraktit, u krijua një model i teseraktit rrotullues.

Gjashtë piramidat e cunguara përgjatë skajeve të teseraktit janë imazhe të gjashtë kubeve të barabarta. Megjithatë, këto kube janë për një teserakt siç janë katrorët (fytyrat) për një kub. Por në fakt, teserakti mund të ndahet në një numër të pafund kubesh, ashtu si një kub mund të ndahet në një numër të pafund katrorësh, ose një katror në një numër të pafund segmentesh.

Një tjetër projeksion interesant i teseraktit në hapësirën tredimensionale është një dodekaedron rombik me katër diagonalet e tij që lidhin çifte kulmesh të kundërta në kënde të mëdha të rombit. Në këtë rast, 14 nga 16 kulmet e teseraktit janë projektuar në 14 kulme të dodekaedrit rombik, dhe projeksionet e 2 të tjerave përkojnë në qendër të tij. Në një projeksion të tillë në hapësirën tredimensionale, ruhet barazia dhe paralelizmi i të gjitha anëve njëdimensionale, dydimensionale dhe tredimensionale.

Çift stereo

Një palë stereo e një teserakti përshkruhet si dy projeksione në hapësirën tredimensionale. Ky imazh i teseraktit u krijua për të përfaqësuar thellësinë si një dimension të katërt. Çifti stereo shikohet në mënyrë që çdo sy të shohë vetëm një nga këto imazhe, shfaqet një pamje stereoskopike që riprodhon thellësinë e teseraktit.

Zbërthimi i teseraktit

Sipërfaqja e një teserakti mund të shpaloset në tetë kube (ngjashëm me mënyrën se si sipërfaqja e një kubi mund të shpaloset në gjashtë katrorë). Ka 261 modele të ndryshme teserakte. Shpalosja e një teserakti mund të llogaritet duke vizatuar këndet e lidhura në një grafik.

Teserakt në art

Në "New Abbott Plain" të Edwina A., hiperkubi vepron si rrëfyes.
Në një episod të "Aventurat e Jimmy Neutron", "djaloshi gjeni" Jimmy shpik një hiperkub katër-dimensional identik me kutinë e palosshme nga romani Rruga e Lavdisë (1963) nga Robert Heinlein.
Robert E. Heinlein ka përmendur hiperkubet në të paktën tre histori fantashkencë. Në "Shtëpia e katër dimensioneve" ("Shtëpia që ndërtoi teal"), ai përshkroi një shtëpi të ndërtuar si një teserakt të pambështjellur, dhe më pas, për shkak të një tërmeti, u "palos" në dimensionin e katërt dhe u bë një teserakt "i vërtetë". .
Romani "Rruga e Lavdisë" e Heinlein përshkruan një kuti me përmasa të mëdha që ishte më e madhe brenda sesa jashtë.
Historia e Henry Kuttner "All Tenali Borogov" përshkruan një lodër edukative për fëmijët nga e ardhmja e largët, e ngjashme në strukturë me një teserakt.
Në romanin e Alex Garland (), termi "tesseract" përdoret për shpalosjen tre-dimensionale të një hiperkubi katërdimensional, në vend të vetë hiperkubit. Kjo është një metaforë e krijuar për të treguar se sistemi njohës duhet të jetë më i gjerë se i dituri.
Komploti i Kubit 2: Hiperkubi përqendrohet në tetë të huaj të bllokuar në një "hiperkub", ose një rrjet kubesh të lidhur.
Seriali televiziv Andromeda përdor gjeneratorë teserakte si një pajisje komploti. Ato janë krijuar kryesisht për të manipuluar hapësirën dhe kohën.
Piktura "Kryqëzimi" (Corpus Hypercubus) nga Salvador Dali ().
Libri komik Nextwave përshkruan një automjet që përfshin 5 zona teserakte.
Në albumin Voivod Nothingface, një nga kompozimet quhet "Në hiperkubin tim".
Në romanin Route Cube të Anthony Pearce, një nga hënat orbitale Shoqata Ndërkombëtare zhvillimi quhet një teserakt, i cili është ngjeshur në 3 dimensione.
Në serialin "Black Hole School" në sezonin e tretë ka një episod "Tesseract". Lucas shtyp një buton sekret dhe shkolla fillon të "marrë formë si një teserakt matematikor".
Termi "tesseract" dhe derivati i tij "tesseract" gjenden në tregimin e Madeleine L'Engle "A Wrinkle in Time".
TesseracT është emri i një grupi djent britanik.
Në serinë e filmave Marvel Cinematic Universe, Tesseract është një element kryesor i komplotit, një objekt kozmik në formën e një hiperkubi.
Në tregimin e Robert Sheckley "Miss Mouse and the Fourth Dimension", një shkrimtar ezoterik, një i njohur i autorit, përpiqet të shohë teseraktin duke i ngulur sytë për orë të tëra në pajisjen që ai projektoi: një top në një këmbë me shufra të mbërthyer në të, në të cilat kube janë montuar, ngjitur me të gjitha llojet e simboleve ezoterike. Historia përmend punën e Hinton.
Në filmat The First Avenger, The Avengers. Tesseract - energjia e të gjithë universit

Emra të tjerë

Heksadekakoron Heksadekakoron)
Octochoron (anglisht) Oktakoroni)
Tetrakub
4-Kub
Hiperkub (nëse numri i dimensioneve nuk është i specifikuar)

Shënime

Letërsia

Charles H. Hinton. Dimensioni i katërt, 1904. ISBN 0-405-07953-2
Martin Gardner, Karnaval matematikor, 1977. ISBN 0-394-72349-X
Ian Stewart, Konceptet e Matematikës Moderne, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Lidhjet

Në rusisht

Programi Transformator4D. Formimi i modeleve të projeksioneve tre-dimensionale të objekteve katër-dimensionale (përfshirë Hiperkubin).
Një program që zbaton ndërtimin e një teserakti dhe të gjitha transformimet afinale të tij, me kod burim në C++.

Në Anglisht

Mushware Limited - programi i daljes tesseract ( Tesseract Trainer, licencë e pajtueshme me GPLv2) dhe një gjuajtës me person të parë në hapësirën katër-dimensionale ( Adanaksis; grafika është kryesisht tredimensionale; Ekziston një version GPL në depot e OS).

Polyedra

E sakte
(ngurtë platonike)

dodekaedron me yjor Ikosidodekedron yjor Ikozaedron yjor Polyhedron yjor Tetëkëndor yjor

Konveks

Lëndët e ngurta të Arkimedit	Kubooktahedron Icosidodekaedron i cunguar Tetraedron i cunguar Teteedron i cunguar Kub i cunguar dodekaedron i cunguar Rombokuboktaedron Rombik i cunguar cuboktaedron i cunguar i trullosur dodekaedrik Kuboktaedron i ndarë Ikosidodekaedron i cunguar Prizmë e rregullt Antiprizëm
Trupat katalanas	Rombododekahedron Rombothriakontahedron Triakisthetrahedron Tetrakishexahedron Pentakisdodekaedron Triakisicosahedron Deltoidal icositetrahedron Deltoidal Heksontahedron Pentagonal icositetrahedron Diskutahedahedro ron
Pa simetri të plotë hapësinore	Prizma piramidale Bipiramidale Antiprizëm Zonohedron Parallelepiped Rombohedron Prizmatoide Piramidë e cunguar
Pentagondodekahedron Parallelohedron

Formulat,
teorema,
teoritë

Të tjera

Sapo munda të mbaja leksione pas operacionit, pyetja e parë që bënë studentët ishte:

Kur do të na vizatoni një kub 4-dimensional? Ilyas Abdulkhaevich na premtoi!

Mbaj mend që miqtë e mi të dashur ndonjëherë pëlqejnë një moment aktivitetesh edukative matematikore. Prandaj, këtu do të shkruaj një pjesë të leksionit tim për matematikanët. Dhe do të përpiqem pa u mërzitur. Në disa momente e lexova ligjëratën më rreptë, natyrisht.

Le të pajtohemi së pari. Hapësira 4-dimensionale, dhe aq më tepër 5-6-7- dhe përgjithësisht k-dimensionale nuk na jepet në ndjesitë shqisore.
"Ne jemi të mjerë sepse jemi vetëm tre-dimensionale," tha mësuesi im i shkollës së së dielës, i cili më tha i pari se çfarë është një kub 4-dimensional. Shkolla e së dielës ishte, natyrisht, jashtëzakonisht fetare - matematikore. Në atë kohë ne studionim hiper-kubet. Një javë para kësaj, induksioni matematik, një javë pas kësaj, ciklet Hamiltoniane në grafikë - në përputhje me rrethanat, kjo është klasa 7.

Ne nuk mund të prekim, nuhasim, dëgjojmë ose shohim një kub 4-dimensional. Çfarë mund të bëjmë me të? Mund ta imagjinojmë! Sepse truri ynë është shumë më kompleks se sytë dhe duart tona.

Pra, për të kuptuar se çfarë është një kub 4-dimensional, le të kuptojmë së pari se çfarë është në dispozicion për ne. Çfarë është një kub 3-dimensional?

NË RREGULL, NË RREGULL! Nuk po ju kërkoj një përkufizim të qartë matematikor. Thjesht imagjinoni kubin tredimensional më të thjeshtë dhe më të zakonshëm. prezantuar?

Mirë.
Për të kuptuar se si të përgjithësojmë një kub 3-dimensional në një hapësirë 4-dimensionale, le të kuptojmë se çfarë është një kub 2-dimensional. Është kaq e thjeshtë - është një shesh!

Një katror ka 2 koordinata. Kubi ka tre. Pikat katrore janë pika me dy koordinata. E para është nga 0 në 1. Dhe e dyta është nga 0 në 1. Pikat e kubit kanë tre koordinata. Dhe secili është çdo numër nga 0 në 1.

Është logjike të imagjinohet se një kub 4-dimensional është një gjë që ka 4 koordinata dhe gjithçka është nga 0 në 1.

/* Është menjëherë logjike të imagjinohet një kub 1-dimensional, i cili nuk është asgjë më shumë se një segment i thjeshtë nga 0 në 1. */

Pra, prisni, si të vizatoni një kub 4-dimensional? Në fund të fundit, ne nuk mund të vizatojmë hapësirë 4-dimensionale në një aeroplan!
Por ne nuk vizatojmë hapësirë 3-dimensionale as në një aeroplan, ne e vizatojmë atë projeksioni në një plan vizatimi 2-dimensional. Ne vendosim koordinatën e tretë (z) në një kënd, duke imagjinuar që boshti nga rrafshi i vizatimit shkon "drejt nesh".

Tani është plotësisht e qartë se si të vizatoni një kub 4-dimensional. Në të njëjtën mënyrë që vendosëm boshtin e tretë në një kënd të caktuar, le të marrim boshtin e katërt dhe gjithashtu ta pozicionojmë atë në një kënd të caktuar.
Dhe - voila! -- projeksioni i një kubi 4-dimensional në një plan.

Çfarë? Çfarë është kjo gjithsesi? Dëgjoj gjithmonë pëshpëritje nga tavolinat e pasme. Më lejoni të shpjegoj më në detaje se çfarë është kjo grumbull rreshtash.
Shikoni së pari kubin tredimensional. Çfarë kemi bërë? Morëm sheshin dhe e tërhoqëm zvarrë përgjatë boshtit të tretë (z). Është si shumë e shumë katrorë letre të ngjitura së bashku në një pirg.
Është e njëjta gjë me një kub 4-dimensional. Le ta quajmë boshtin e katërt, për lehtësi dhe për fantashkencë, "boshti i kohës". Ne duhet të marrim një kub të zakonshëm tredimensional dhe ta zvarritim atë në kohë nga koha "tani" në kohën "në një orë".

Ne kemi një kub "tani". Në foto është rozë.

Dhe tani ne e tërheqim atë përgjatë boshtit të katërt - përgjatë boshtit të kohës (e tregova në të gjelbër). Dhe ne marrim kubin e së ardhmes - blu.

Çdo kulm i "kubit tani" lë një gjurmë në kohë - një segment. Lidhja e së tashmes me të ardhmen e saj.

Shkurtimisht, pa asnjë tekst: ne vizatuam dy kube identike 3-dimensionale dhe lidhëm kulmet përkatëse.
Pikërisht njësoj siç bënë me një kub 3-dimensional (vizatoni 2 kube identike 2-dimensionale dhe lidhni kulmet).

Për të vizatuar një kub 5-dimensional, do t'ju duhet të vizatoni dy kopje të një kubi 4-dimensional (një kub 4-dimensional me koordinatën e pestë 0 dhe një kub 4-dimensional me koordinatën e pestë 1) dhe të lidhni kulmet përkatëse me skajet. Vërtetë, do të ketë një grumbull të tillë skajesh në aeroplan sa do të jetë pothuajse e pamundur të kuptosh asgjë.

Pasi të kemi imagjinuar një kub 4-dimensional dhe madje të kemi arritur ta vizatojmë atë, ne mund ta eksplorojmë atë në mënyra të ndryshme. Mos harroni ta eksploroni atë si në mendjen tuaj ashtu edhe nga fotografia.
Për shembull. Një kub 2-dimensional është i kufizuar nga 4 anët me kube 1-dimensionale. Kjo është logjike: për secilën nga 2 koordinatat ajo ka një fillim dhe një fund.
Një kub 3-dimensional është i kufizuar në 6 anët me kube 2-dimensionale. Për secilën nga tre koordinatat ajo ka një fillim dhe një fund.
Kjo do të thotë që një kub 4-dimensional duhet të kufizohet me tetë kube 3-dimensionale. Për secilën nga 4 koordinatat - në të dy anët. Në figurën e mësipërme shohim qartë 2 faqe që e kufizojnë atë përgjatë koordinatës së "kohës".

Këtu janë dy kube (ata janë pak të zhdrejtë sepse kanë 2 dimensione të projektuara në plan në një kënd), duke kufizuar hiperkubin tonë majtas dhe djathtas.

Është gjithashtu e lehtë të vërehet "e sipërme" dhe "e poshtme".

Gjëja më e vështirë është të kuptosh vizualisht se ku janë "para" dhe "prapa". Pjesa e përparme fillon nga buza e përparme e "kubit tani" dhe në skajin e përparmë të "kubit të së ardhmes" - është e kuqe. Pjesa e pasme është vjollcë.

Ato janë më të vështirat për t'u vënë re sepse kube të tjerë janë të ngatërruar nën këmbë, të cilat e kufizojnë hiperkubin në një koordinatë të ndryshme të projektuar. Por vini re se kubet janë ende të ndryshme! Këtu është sërish fotografia, ku theksohen “kubi i së tashmes” dhe “kubi i së ardhmes”.

Sigurisht, është e mundur të projektohet një kub 4-dimensional në hapësirën 3-dimensionale.
Modeli i parë i mundshëm hapësinor është i qartë se si duket: ju duhet të merrni 2 korniza kubike dhe të lidhni kulmet e tyre përkatëse me një skaj të ri.
Nuk e kam këtë model në magazinë tani. Në leksion, unë u tregoj studentëve një model 3-dimensional paksa të ndryshëm të një kubi 4-dimensional.

Ju e dini se si një kub projektohet në një aeroplan si ky.
Është sikur po shohim një kub nga lart.

Buza e afërt është, natyrisht, e madhe. Dhe buza e largët duket më e vogël, ne e shohim atë përmes asaj të afërt.

Kështu mund të projektoni një kub 4-dimensional. Kubi është më i madh tani, ne e shohim kubin e së ardhmes në distancë, kështu që duket më i vogël.

Ne anen tjeter. Nga ana e sipërme.

Direkt pikërisht nga ana e skajit:

Nga ana e brinjës:

Dhe këndi i fundit, asimetrik. Nga seksioni "më thuaj që shikova midis brinjëve të tij".

Epo, atëherë mund të dalësh me çdo gjë. Për shembull, ashtu siç ka një zhvillim të një kubi 3-dimensional në një aeroplan (është si të presësh një fletë letre në mënyrë që kur paloset të marrësh një kub), e njëjta gjë ndodh me zhvillimin e një kubi 4-dimensional në hapësirë. Është njësoj si të presim një copë druri në mënyrë që duke e palosur në hapësirën 4-dimensionale të marrim një teserakt.

Ju mund të studioni jo vetëm një kub 4-dimensional, por kube n-dimensionale në përgjithësi. Për shembull, a është e vërtetë që rrezja e një sfere të rrethuar rreth një kubi n-dimensionale është më e vogël se gjatësia e skajit të këtij kubi? Ose këtu është një pyetje më e thjeshtë: sa kulme ka një kub n-dimensionale? Sa skaje (faqe 1-dimensionale)?

Tesseract (nga greqishtja e lashtë τέσσερες ἀκτῖνες - katër rreze) është një hiperkub katërdimensional - një analog i një kubi në hapësirën katër-dimensionale.

Imazhi është një projeksion (perspektivë) e një kubi katërdimensional në hapësirën tredimensionale.

Sipas Fjalorit të Oksfordit, fjala "tesseract" u krijua dhe u përdor në 1888 nga Charles Howard Hinton (1853–1907) në librin e tij A New Age of Thought. Më vonë, disa njerëz e quajtën të njëjtën figurë "tetrakub".

Gjeometria

Një teserakt i zakonshëm në hapësirën katërdimensionale Euklidiane përkufizohet si një trup konveks pikash (±1, ±1, ±1, ±1). Me fjalë të tjera, mund të përfaqësohet si grupi i mëposhtëm:

Teserakti kufizohet nga tetë hiperplane, kryqëzimi i të cilave me vetë teseraktin përcakton fytyrat e tij tredimensionale (që janë kube të zakonshëm). Çdo palë fytyrash 3D jo-paralele kryqëzohen për të formuar fytyra (katrore) 2D e kështu me radhë. Së fundi, teserakti ka 8 fytyra 3D, 24 fytyra 2D, 32 skaje dhe 16 kulme.

Përshkrimi popullor

Le të përpiqemi të imagjinojmë se si do të duket një hiperkub pa lënë hapësirë tre-dimensionale.

Në një "hapësirë" njëdimensionale - në një vijë - ne zgjedhim një segment AB me gjatësi L. Në një plan dy-dimensional në një distancë L nga AB, ne tërheqim një segment DC paralel me të dhe lidhim skajet e tyre. Rezultati është një katror ABCD. Duke e përsëritur këtë veprim me aeroplan, marrim një kub tredimensional ABCDHEFG. Dhe duke e zhvendosur kubin në dimensionin e katërt (pingul me tre të parat) me një distancë L, marrim hiperkubin ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG

Segmenti njëdimensional AB shërben si anë e katrorit dydimensional ABCD, katrori - si anë e kubit ABCDHEFG, i cili, nga ana tjetër, do të jetë ana e hiperkubit katërdimensional. Një segment me vijë të drejtë ka dy pika kufitare, një katror ka katër kulme dhe një kub ka tetë. Në një hiperkub katërdimensional, do të ketë kështu 16 kulme: 8 kulme të kubit origjinal dhe 8 nga ajo e zhvendosur në dimensionin e katërt. Ai ka 32 skaj - 12 secila japin pozicionet fillestare dhe përfundimtare të kubit origjinal, dhe 8 skaje të tjera "vizatojnë" tetë kulmet e tij, të cilat kanë lëvizur në dimensionin e katërt. I njëjti arsyetim mund të bëhet për fytyrat e një hiperkubi. Në hapësirën dy-dimensionale është vetëm një (vetë katrori), një kub ka 6 prej tyre (dy fytyra nga katrori i zhvendosur dhe katër të tjera që përshkruajnë anët e tij). Një hiperkub katërdimensional ka 24 fytyra katrore - 12 katrorë të kubit origjinal në dy pozicione dhe 12 katrorë nga dymbëdhjetë skajet e tij.

Zbërthimi i teseraktit

Le të marrim kubin e telit ABCDHEFG dhe ta shikojmë me një sy nga ana e skajit. Ne do të shohim dhe mund të vizatojmë dy sheshe në aeroplan (skajet e tij të afërta dhe të largëta), të lidhura me katër vija - skajet anësore. Në mënyrë të ngjashme, një hiperkub katër-dimensional në hapësirën tre-dimensionale do të duket si dy "kuti" kubike të futura në njëra-tjetrën dhe të lidhura nga tetë skaje. Në këtë rast, vetë "kutitë" - fytyrat tredimensionale - do të projektohen në hapësirën "tonë", dhe linjat që i lidhin do të shtrihen në dimensionin e katërt. Ju gjithashtu mund të përpiqeni të imagjinoni kubin jo në projeksion, por në një imazh hapësinor.

Ashtu si një kub tredimensional formohet nga një katror i zhvendosur nga gjatësia e faqes së tij, një kub i zhvendosur në dimensionin e katërt do të formojë një hiperkub. Ai është i kufizuar nga tetë kube, të cilët në perspektivë do të duken si një figurë mjaft komplekse. Pjesa që mbeti në hapësirën "tonë" vizatohet me vija të forta dhe pjesa që shkoi në hiperhapësirë vizatohet me vija me pika. Vetë hiperkubi katërdimensional përbëhet nga një numër i pafund kubesh, ashtu si një kub tredimensional mund të "prehet" në një numër të pafund katrorësh të sheshtë.

Duke prerë gjashtë faqet e një kubi tredimensional, mund ta zbërtheni atë në një figurë të sheshtë - një zhvillim. Do të ketë një katror në secilën anë të fytyrës origjinale, plus një tjetër - fytyrën përballë saj. Dhe zhvillimi tre-dimensional i një hiperkubi katërdimensional do të përbëhet nga kubi origjinal, gjashtë kube "të rriten" prej tij, plus një tjetër - "hiperfaqja" përfundimtare.

Vetitë e një teserakti përfaqësojnë një vazhdimësi të vetive të figurave gjeometrike të dimensionit më të ulët në hapësirën katërdimensionale.

Projeksionet

Në hapësirë dydimensionale

Projeksioni i një teserakti në hapësirën tredimensionale përfaqëson dy kube tredimensionale të mbivendosur, kulmet përkatëse të të cilave janë të lidhura me segmente. Kubikët e brendshëm dhe të jashtëm kanë madhësi të ndryshme në hapësirën tredimensionale, por në hapësirën katërdimensionale janë kube të barabartë. Për të kuptuar barazinë e të gjithë kubeve të teseraktit, u krijua një model i teseraktit rrotullues.

Gjashtë piramidat e cunguara përgjatë skajeve të teseraktit janë imazhe të gjashtë kubeve të barabarta.
Çift stereo

Teserakt në art

Në "New Abbott Plain" të Edwina A., hiperkubi vepron si rrëfyes.
Në një episod të The Adventures of Jimmy Neutron: "Boy Genius", Jimmy shpik një hiperkub katërdimensional identik me kutinë e palosshme nga romani i Heinlein-it i vitit 1963 Glory Road.
Robert E. Heinlein ka përmendur hiperkubet në të paktën tre histori fantashkencë. Në Shtëpinë e katër dimensioneve (The House That Teal Built) (1940), ai përshkroi një shtëpi të ndërtuar si një teserakt i pambështjellur.
Romani i Heinlein Glory Road përshkruan pjatat me përmasa të mëdha që ishin më të mëdha brenda sesa jashtë.
Historia e Henry Kuttner "Mimsy Were the Borogoves" përshkruan një lodër edukative për fëmijët nga e ardhmja e largët, e ngjashme në strukturë me një teserakt.
Në romanin e Alex Garland (1999), termi "tesseract" përdoret për shpalosjen tre-dimensionale të një hiperkubi katërdimensional, në vend të vetë hiperkubit. Kjo është një metaforë e krijuar për të treguar se sistemi njohës duhet të jetë më i gjerë se i dituri.
Komploti i Kubit 2: Hiperkubi përqendrohet në tetë të huaj të bllokuar në një "hiperkub", ose një rrjet kubesh të lidhur.
Seriali televiziv Andromeda përdor gjeneratorë teserakte si një pajisje komploti. Ato janë krijuar kryesisht për të manipuluar hapësirën dhe kohën.
Piktura "Kryqëzimi" (Corpus Hypercubus) nga Salvador Dali (1954)
Libri komik Nextwave përshkruan një automjet që përfshin 5 zona teserakte.
Në albumin Voivod Nothingface, një nga kompozimet quhet "Në hiperkubin tim".
Në romanin Route Cube të Anthony Pearce, një nga hënat në orbitën e Shoqatës Ndërkombëtare të Zhvillimit quhet një teserakt që është ngjeshur në 3 dimensione.
Në serialin "Shkolla" Vrimë e zezë"" në sezonin e tretë ka një episod "Tesseract". Lucas shtyp një buton të fshehtë dhe shkolla fillon të marrë formë si një teserakt matematikor.
Termi "tesseract" dhe termi derivat i tij "tesserate" gjenden në tregimin "A Wrinkle in Time" nga Madeleine L'Engle.

Evolucioni i trurit të njeriut u zhvillua në hapësirën tredimensionale. Prandaj, është e vështirë për ne të imagjinojmë hapësira me dimensione më të mëdha se tre. Në fakt, truri i njeriut nuk mund të imagjinojë objekte gjeometrike me dimensione më të mëdha se tre. Dhe në të njëjtën kohë, ne mund të imagjinojmë lehtësisht objekte gjeometrike me dimensione jo vetëm tre, por edhe me dimensione dy dhe një.

Dallimi dhe analogjia midis hapësirave njëdimensionale dhe dydimensionale, si dhe dallimi dhe analogjia midis hapësirave dydimensionale dhe tredimensionale na lejojnë të hapim paksa ekranin e misterit që na rrethon nga hapësirat me dimensione më të larta. Për të kuptuar se si përdoret kjo analogji, merrni parasysh një objekt shumë të thjeshtë katër-dimensional - një hiperkub, domethënë një kub katërdimensional. Për të qenë specifik, le të themi se duam të zgjidhim një problem specifik, domethënë të numërojmë numrin e faqeve katrore të një kubi katërdimensional. I gjithë shqyrtimi i mëtejshëm do të jetë shumë i dobët, pa asnjë provë, thjesht për analogji.

Për të kuptuar se si ndërtohet një hiperkub nga një kub i rregullt, së pari duhet të shikoni se si ndërtohet një kub i rregullt nga një katror i rregullt. Për hir të origjinalitetit në prezantimin e këtij materiali, ne këtu do ta quajmë një katror të zakonshëm SubCube (dhe nuk do ta ngatërrojmë atë me një succubus).

Për të ndërtuar një kub nga një nënkub, duhet të zgjasni nënkubin në drejtim pingul me rrafshin nënkub në drejtim të dimensionit të tretë. Në këtë rast, nga secila anë e nënkubit fillestar do të rritet një nënkub, që është faqja anësore dydimensionale e kubit, e cila do të kufizojë vëllimin tredimensional të kubit në katër anët, dy pingul në secilin drejtim në rrafshi i nënkubit. Dhe përgjatë boshtit të ri të tretë ka edhe dy nënkube që kufizojnë vëllimin tredimensional të kubit. Kjo është fytyra dydimensionale ku fillimisht ishte vendosur nënkubi ynë dhe ajo faqe dydimensionale e kubit ku nënkubi erdhi në fund të ndërtimit të kubit.

Ajo që sapo keni lexuar është paraqitur me detaje të tepruara dhe me shumë sqarime. Dhe për arsye të mirë. Tani do të bëjmë këtë truk, do të zëvendësojmë disa fjalë në tekstin e mëparshëm zyrtarisht në këtë mënyrë:
kubik -> hiperkub
nënkub -> kub
plan -> vëllim
e treta -> e katërta
dydimensionale -> tredimensionale
katër -> gjashtë
tredimensionale -> katërdimensionale
dy -> tre
plan -> hapësirë

Si rezultat, marrim tekstin e mëposhtëm kuptimplotë, i cili nuk duket më tepër i detajuar.

Për të ndërtuar një hiperkub nga një kub, duhet ta shtrini kubin në një drejtim pingul me vëllimin e kubit në drejtim të dimensionit të katërt. Në këtë rast, një kub do të rritet nga secila anë e kubit origjinal, që është faqja anësore tredimensionale e hiperkubit, e cila do të kufizojë vëllimin katërdimensional të hiperkubit në gjashtë anët, tre pingul në çdo drejtim në hapësira e kubit. Dhe përgjatë boshtit të ri të katërt ka edhe dy kube që kufizojnë vëllimin katërdimensional të hiperkubit. Kjo është fytyra tredimensionale ku fillimisht ishte vendosur kubi ynë dhe ajo faqe tredimensionale e hiperkubit ku kubi erdhi në fund të ndërtimit të hiperkubit.

Pse jemi kaq të sigurt se kemi marrë përshkrimin e saktë të ndërtimit të një hiperkubi? Po, sepse pikërisht me të njëjtin zëvendësim formal të fjalëve marrim një përshkrim të ndërtimit të një kubi nga përshkrimi i ndërtimit të një katrori. (Shikoni vetë.)

Tani është e qartë se nëse një kub tjetër tredimensional duhet të rritet nga secila anë e kubit, atëherë një fytyrë duhet të rritet nga çdo skaj i kubit fillestar. Në total, kubi ka 12 skaje, që do të thotë se 12 fytyra të reja (nënkube) do të shfaqen në ato 6 kube që kufizojnë vëllimin katërdimensional përgjatë tre akseve të hapësirës tredimensionale. Dhe kanë mbetur edhe dy kube të tjerë që kufizojnë këtë vëllim katërdimensional nga poshtë dhe lart përgjatë boshtit të katërt. Secili prej këtyre kubeve ka 6 fytyra.

Në total, gjejmë se hiperkubi ka 12+6+6=24 faqe katrore.

Fotografia e mëposhtme tregon strukturën logjike të një hiperkubi. Kjo është si një projeksion i një hiperkubi në hapësirën tredimensionale. Kjo prodhon një kornizë tre-dimensionale të brinjëve. Në figurë, natyrisht, ju shihni projeksionin e kësaj kornize në një aeroplan.

Në këtë kornizë, kubi i brendshëm është si kubi fillestar nga i cili filloi ndërtimi dhe i cili kufizon vëllimin katërdimensional të hiperkubit përgjatë boshtit të katërt nga fundi. Ne e shtrijmë këtë kub fillestar lart përgjatë boshtit të katërt të matjes dhe ai shkon në kubin e jashtëm. Pra, kubikët e jashtëm dhe të brendshëm nga kjo figurë kufizojnë hiperkubin përgjatë boshtit të katërt të matjes.

Dhe midis këtyre dy kubeve mund të shihni edhe 6 kuba të rinj, të cilët prekin fytyrat e zakonshme me dy të parët. Këto gjashtë kube lidhën hiperkubin tonë përgjatë tre akseve të hapësirës tredimensionale. Siç mund ta shihni, ata nuk janë vetëm në kontakt me dy kubet e parë, të cilët janë kubikët e brendshëm dhe të jashtëm në këtë kornizë tredimensionale, por ato janë gjithashtu në kontakt me njëri-tjetrin.

Mund të numëroni drejtpërdrejt në figurë dhe të siguroheni që hiperkubi ka vërtet 24 fytyra. Por lind kjo pyetje. Kjo kornizë hiperkubike në hapësirën tredimensionale është e mbushur me tetë kube tredimensionale pa asnjë boshllëk. Për të bërë një hiperkub të vërtetë nga ky projeksion tre-dimensional i një hiperkubi, duhet ta ktheni këtë kornizë brenda jashtë në mënyrë që të 8 kubet të lidhin një vëllim 4-dimensional.

Është bërë kështu. Ftojmë një banor të hapësirës katërdimensionale të na vizitojë dhe t'i kërkojmë të na ndihmojë. Ai kap kubin e brendshëm të kësaj kornize dhe e lëviz atë në drejtim të dimensionit të katërt, i cili është pingul me hapësirën tonë tredimensionale. Në hapësirën tonë tredimensionale, ne e perceptojmë atë sikur e gjithë korniza e brendshme të ishte zhdukur dhe të kishte mbetur vetëm korniza e kubit të jashtëm.

Më tej, asistenti ynë katërdimensional ofron ndihmën e tij në maternitete për lindje pa dhimbje, por gratë tona shtatzëna janë të frikësuar nga perspektiva që foshnja thjesht të zhduket nga stomaku dhe të përfundojë në hapësirën paralele tredimensionale. Prandaj, personi katërdimensional refuzohet me mirësjellje.

Dhe ne jemi në mëdyshje nga pyetja nëse disa nga kubet tanë u ndanë kur e kthyem kornizën e hiperkubit nga brenda. Në fund të fundit, nëse disa kube tredimensionale që rrethojnë një hiperkub prekin fqinjët e tyre në kornizë me fytyrat e tyre, a do të prekin ata gjithashtu me të njëjtat fytyra nëse kubi katërdimensional e kthen kornizën nga brenda?

Le t'i drejtohemi përsëri analogjisë me hapësira me përmasa më të ulëta. Krahasoni imazhin e kornizës së hiperkubit me projeksionin e një kubi tredimensional në një plan të paraqitur në figurën e mëposhtme.

Banorët e hapësirës dydimensionale ndërtuan një kornizë në një aeroplan për projeksionin e një kubi në një aeroplan dhe na ftuan ne, banorët tredimensionale, ta kthejmë këtë kornizë nga brenda. Marrim katër kulmet e katrorit të brendshëm dhe i lëvizim pingul me rrafshin. Banorët dydimensionale shohin zhdukjen e plotë të të gjithë kornizës së brendshme dhe atyre u mbetet vetëm korniza e sheshit të jashtëm. Me një operacion të tillë, të gjithë katrorët që ishin në kontakt me skajet e tyre vazhdojnë të preken me të njëjtat skaje.

Prandaj, shpresojmë që skema logjike e hiperkubit gjithashtu nuk do të shkelet gjatë kthimit të kornizës së hiperkubit nga brenda, dhe numri i faqeve katrore të hiperkubit nuk do të rritet dhe do të jetë akoma i barabartë me 24. Kjo, natyrisht , nuk është aspak provë, por thjesht një supozim për analogji.

Pas gjithçkaje që keni lexuar këtu, mund të vizatoni lehtësisht kornizën logjike të një kubi pesë-dimensional dhe të llogarisni numrin e kulmeve, skajeve, fytyrave, kubeve dhe hiperkubeve që ai ka. Nuk është aspak e vështirë.