Reklamimi në portal

Nyje llogaritëse me tre numra. Gjetja e nyjeve me tre ose më shumë numra. Llogaritësi për gjetjen e GCD dhe NOC

Një dividend që është i pjestueshëm me një pjesëtues të caktuar pa mbetje quhet gjithashtu të shumëfishta. Për shembull, 48 është shumëfish i 8, 48 është shumëfish dhe 8 është pjesëtues.

Një numër mund të jetë shumëfish i jo një, por disa numrave në të njëjtën kohë, një numër i tillë quhet shumëfish i përbashkët. Për shembull, numri 77 është një shumëfish i përbashkët i numrave: 1, 7, 11, 77.

Një shembull tjetër. Numri 3 është shumëfish i 12, 15, 24, 27, 30, etj. Numri 5 është shumëfish i 10, 15, 25, 30, 35, etj. Numrat 3 dhe 5 kanë shumëfisha të përbashkët të 15 dhe 30 .

Gjetja e një shumëfishi të përbashkët të disa numrave është mjaft e thjeshtë, thjesht mund t'i shumëzoni këta numra, si rezultat, produkti i këtyre numrave do të jetë shumëfishi i tyre i përbashkët.

NOC

Nga të gjithë shumëfishat e përbashkët për numrat e dhënë, shumëfishi më i vogël i përbashkët është me interes të veçantë.

Shumëfishi më pak i zakonshëm(shkurtuar LCM) i disa numrave të dhënë është numri më i vogël që pjesëtohet në mënyrë të barabartë me secilin nga numrat e dhënë.

Për shembull, për tre numra: 3, 5 dhe 12, shumëfishi më i vogël i përbashkët është numri 60, pasi asnjë numër tjetër më i vogël se 60 nuk është i pjesëtueshëm në mënyrë të barabartë me 3, 5 ose 12.

Zakonisht shumëfishi më i vogël i përbashkët shkruhet kështu: LCM ( a, b, ...) = x.

Sipas kësaj, ne shkruajmë shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave 3, 5 dhe 12:

LCM (3, 5, 12) = 60.

Llogaritësi NOC

Ky kalkulator do t'ju ndihmojë të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave. Thjesht futni numrat të ndarë me hapësira ose presje dhe klikoni butonin Llogarit LCM.

Le ta zgjidhim problemin. Kemi dy lloje biskotash. Disa janë çokollatë dhe disa janë të thjeshta. Janë 48 copa çokollatë, dhe të thjeshta 36. Është e nevojshme që nga këto biskota të bëhet numri maksimal i mundshëm i dhuratave dhe duhet të përdoren të gjitha.

Së pari, le të shkruajmë të gjithë pjesëtuesit e secilit prej këtyre dy numrave, pasi që të dy këta numra duhet të jenë të pjesëtueshëm me numrin e dhuratave.

marrim

  • 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
  • 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Le të gjejmë ndër pjesëtuesit të përbashkëtat që kanë edhe numri i parë edhe numri i dytë.

Pjesëtuesit e zakonshëm do të jenë: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët nga të gjithë është 12. Ky numër quhet pjesëtuesi më i madh i përbashkët i 36 dhe 48.

Bazuar në rezultatin, mund të konkludojmë se 12 dhurata mund të bëhen nga të gjitha biskotat. Një dhuratë e tillë do të përmbajë 4 biskota me çokollatë dhe 3 biskota të zakonshme.

Gjetja e pjesëtuesit më të madh të përbashkët

  • Numri më i madh natyror me të cilin pjesëtohen dy numra a dhe b pa mbetje quhet pjesëtuesi më i madh i përbashkët i këtyre numrave.

Ndonjëherë shkurtesa GCD përdoret për të shkurtuar hyrjen.

Disa çifte numrash kanë një pjesëtues më të madh të përbashkët. Numra të tillë quhen numrat koprim. Për shembull, numrat 24 dhe 35. Keni GCD =1.

Si të gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët

Për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët, nuk është e nevojshme të shkruhen të gjithë pjesëtuesit e këtyre numrave.

Ju mund të bëni ndryshe. Së pari, faktorizoni të dy numrat në faktorë të thjeshtë.

  • 48 = 2*2*2*2*3,
  • 36 = 2*2*3*3.

Tani, nga faktorët që përfshihen në zgjerimin e numrit të parë, fshijmë të gjithë ata që nuk përfshihen në zgjerimin e numrit të dytë. Në rastin tonë, këto janë dy deuce.

  • 48 = 2*2*2*2*3 ,
  • 36 = 2*2*3 *3.

Mbeten faktorët 2, 2 dhe 3. Prodhimi i tyre është 12. Ky numër do të jetë pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 48 dhe 36.

Ky rregull mund të shtrihet në rastin e tre, katër, e kështu me radhë. numrat.

Skema e përgjithshme për gjetjen e pjesëtuesit më të madh të përbashkët

  • 1. Zbërthen numrat në faktorë të thjeshtë.
  • 2. Nga faktorët e përfshirë në zgjerimin e njërit prej këtyre numrave, kryqëzoni ata që nuk përfshihen në zgjerimin e numrave të tjerë.
  • 3. Njehsoni prodhimin e faktorëve të mbetur.

Llogaritësi në internet ju lejon të gjeni shpejt pjesëtuesin më të madh të përbashkët dhe shumëfishin më të vogël të përbashkët të dy ose çdo numri tjetër numrash.

Llogaritësi për gjetjen e GCD dhe NOC

Gjeni GCD dhe NOC

GCD dhe NOC e gjetur: 12197

Si të përdorni kalkulatorin

  • Futni numrat në fushën e hyrjes
  • Në rast të futjes së karaktereve të pasakta, fusha e hyrjes do të theksohet me të kuqe
  • shtypni butonin "Gjeni GCD dhe NOC"

Si të futni numra

  • Numrat futen të ndarë me hapësira, pika ose presje
  • Gjatësia e numrave të futur nuk është e kufizuar, kështu që gjetja e gcd dhe lcm e numrave të gjatë nuk do të jetë e vështirë

Çfarë është NOD dhe NOK?

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i disa numrave është numri i plotë natyror më i madh me të cilin të gjithë numrat origjinalë janë të pjesëtueshëm pa mbetje. Pjesëtuesi më i madh i përbashkët është shkurtuar si GCD.
Shumëfishi më pak i zakonshëm disa numra është numri më i vogël që pjesëtohet me secilin nga numrat origjinal pa mbetje. Shumëfishi më i vogël i zakonshëm shkurtohet si NOC.

Si të kontrolloni nëse një numër pjesëtohet me një numër tjetër pa mbetje?

Për të zbuluar nëse një numër pjesëtohet me një tjetër pa mbetje, mund të përdorni disa veti të pjesëtueshmërisë së numrave. Më pas, duke i bashkuar ato, mund të kontrollohet pjesëtueshmëria e disa prej tyre dhe kombinimet e tyre.

Disa shenja të pjesëtueshmërisë së numrave

1. Shenja e pjesëtueshmërisë së një numri me 2
Për të përcaktuar nëse një numër është i pjesëtueshëm me dy (qoftë çift), mjafton të shikoni shifrën e fundit të këtij numri: nëse është e barabartë me 0, 2, 4, 6 ose 8, atëherë numri është çift, që do të thotë se pjesëtohet me 2.
Shembull: përcaktoni nëse numri 34938 ndahet me 2.
Zgjidhja: shikoni shifrën e fundit: 8 do të thotë se numri është i pjesëtueshëm me dy.

2. Shenja e pjesëtueshmërisë së një numri me 3
Një numër pjesëtohet me 3 kur shuma e shifrave të tij pjesëtohet me 3. Kështu, për të përcaktuar nëse një numër pjesëtohet me 3, duhet të llogarisni shumën e shifrave dhe të kontrolloni nëse është i pjesëtueshëm me 3. Edhe nëse shuma e shifrave doli të jetë shumë e madhe, mund të përsërisni të njëjtin proces. përsëri.
Shembull: përcaktoni nëse numri 34938 ndahet me 3.
Zgjidhja: numërojmë shumën e shifrave: 3+4+9+3+8 = 27. 27 pjesëtohet me 3, që do të thotë se numri pjesëtohet me tre.

3. Shenja e pjesëtueshmërisë së një numri me 5
Një numër pjesëtohet me 5 kur shifra e fundit e tij është zero ose pesë.
Shembull: përcaktoni nëse numri 34938 ndahet me 5.
Zgjidhja: shikoni shifrën e fundit: 8 do të thotë se numri NUK ndahet me pesë.

4. Shenja e pjesëtueshmërisë së një numri me 9
Kjo shenjë është shumë e ngjashme me shenjën e pjesëtueshmërisë me tre: një numër pjesëtohet me 9 kur shuma e shifrave të tij pjesëtohet me 9.
Shembull: përcaktoni nëse numri 34938 ndahet me 9.
Zgjidhja: llogarisim shumën e shifrave: 3+4+9+3+8 = 27. 27 pjesëtohet me 9, që do të thotë se numri pjesëtohet me nëntë.

Si të gjeni GCD dhe LCM të dy numrave

Si të gjeni GCD-në e dy numrave

Mënyra më e thjeshtë për të llogaritur pjesëtuesin më të madh të përbashkët të dy numrave është të gjesh të gjithë pjesëtuesit e mundshëm të këtyre numrave dhe të zgjedhësh më të madhin prej tyre.

Konsideroni këtë metodë duke përdorur shembullin e gjetjes së GCD(28, 36):

  1. Faktorizojmë të dy numrat: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
  2. Gjejmë faktorë të përbashkët, pra ata që kanë të dy numrat: 1, 2 dhe 2.
  3. Ne llogarisim produktin e këtyre faktorëve: 1 2 2 \u003d 4 - ky është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 28 dhe 36.

Si të gjeni LCM-në e dy numrave

Ekzistojnë dy mënyra më të zakonshme për të gjetur shumëfishin më të vogël të dy numrave. Mënyra e parë është që ju mund të shkruani shumëfishat e parë të dy numrave, dhe më pas të zgjidhni midis tyre një numër të tillë që do të jetë i përbashkët për të dy numrat dhe në të njëjtën kohë më i vogli. Dhe e dyta është të gjesh GCD-në e këtyre numrave. Le ta konsiderojmë atë.

Për të llogaritur LCM-në, duhet të llogaritni produktin e numrave origjinalë dhe më pas ta ndani atë me GCD-në e gjetur më parë. Le të gjejmë LCM për të njëjtët numra 28 dhe 36:

  1. Gjeni prodhimin e numrave 28 dhe 36: 28 36 = 1008
  2. gcd(28, 36) tashmë dihet se është 4
  3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Gjetja e GCD dhe LCM për numra të shumëfishtë

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët mund të gjendet për disa numra, dhe jo vetëm për dy. Për këtë, numrat që do të gjenden për pjesëtuesin më të madh të përbashkët zbërthehen në faktorë të thjeshtë, pastaj gjendet prodhimi i faktorëve të thjeshtë të përbashkët të këtyre numrave. Gjithashtu, për të gjetur GCD të disa numrave, mund të përdorni marrëdhënien e mëposhtme: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Një lidhje e ngjashme vlen edhe për shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Shembull: gjeni GCD dhe LCM për numrat 12, 32 dhe 36.

  1. Së pari, le të faktorizojmë numrat: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
  2. Le të gjejmë faktorët e përbashkët: 1, 2 dhe 2.
  3. Produkti i tyre do të japë gcd: 1 2 2 = 4
  4. Tani le të gjejmë LCM: për këtë së pari gjejmë LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
  5. Për të gjetur LCM-në e të tre numrave, duhet të gjeni GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2. 2 3 = 12 .
  6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët dhe shumëfishi më i vogël i përbashkët janë koncepte kyçe aritmetike që ju lejojnë të operoni lehtësisht me thyesat e zakonshme. LCM dhe më së shpeshti përdoren për të gjetur emëruesin e përbashkët të disa thyesave.

Konceptet bazë

Pjesëtuesi i një numri të plotë X është një tjetër numër i plotë Y me të cilin X është i pjesëtueshëm pa mbetje. Për shembull, pjesëtuesi i 4 është 2, dhe 36 është 4, 6, 9. Një shumëfish i numrit të plotë X është një numër Y që pjesëtohet me X pa mbetje. Për shembull, 3 është shumëfish i 15, dhe 6 është shumëfish i 12.

Për çdo çift numrash, ne mund të gjejmë pjesëtuesit dhe shumëfishat e tyre të përbashkët. Për shembull, për 6 dhe 9, shumëfishi i përbashkët është 18, dhe pjesëtuesi i përbashkët është 3. Natyrisht, çiftet mund të kenë disa pjesëtues dhe shumëfisha, kështu që pjesëtuesi më i madh i GCD dhe shumëfishi më i vogël i LCM përdoren në llogaritjet. .

Pjesëtuesi më i vogël nuk ka kuptim, pasi për çdo numër është gjithmonë një. Shumëfishi më i madh është gjithashtu i pakuptimtë, pasi sekuenca e shumëfishave priret në pafundësi.

Gjetja e GCD

Ka shumë metoda për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët, më të famshmet prej të cilave janë:

  • numërimi sekuencial i pjesëtuesve, përzgjedhja e të përbashkëtve për një çift dhe kërkimi për më të madhin prej tyre;
  • zbërthimi i numrave në faktorë të pandashëm;
  • algoritmi i Euklidit;
  • algoritmi binar.

Sot, në institucionet arsimore, metodat më të njohura të zbërthimit në faktorët kryesorë dhe algoritmi Euklidian. Kjo e fundit, nga ana tjetër, përdoret në zgjidhjen e ekuacioneve Diophantine: kërkimi për GCD kërkohet për të kontrolluar ekuacionin për mundësinë e zgjidhjes së tij në numra të plotë.

Gjetja e NOC

Shumëfishi më i vogël i përbashkët përcaktohet gjithashtu saktësisht nga numërimi përsëritës ose faktorizimi në faktorë të pandashëm. Për më tepër, është e lehtë të gjesh LCM nëse pjesëtuesi më i madh është përcaktuar tashmë. Për numrat X dhe Y, LCM dhe GCD lidhen me lidhjen e mëposhtme:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

Për shembull, nëse gcd(15,18) = 3, atëherë LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Përdorimi më i dukshëm i LCM është gjetja e emëruesit të përbashkët, i cili është shumëfishi më i vogël i përbashkët i thyesat e dhëna.

Numrat e dyfishtë

Nëse një çift numrash nuk ka pjesëtues të përbashkët, atëherë një çift i tillë quhet koprim. GCM për çifte të tilla është gjithmonë e barabartë me një, dhe në bazë të lidhjes së pjesëtuesve dhe shumëfishëve, GCM për koprimin është e barabartë me produktin e tyre. Për shembull, numrat 25 dhe 28 janë të dyfishtë, sepse nuk kanë pjesëtues të përbashkët, dhe LCM(25, 28) = 700, që korrespondon me produktin e tyre. Çdo dy numra të pandashëm do të jenë gjithmonë të dyfishtë.

Pjesëtues i përbashkët dhe kalkulator i shumëfishtë

Me kalkulatorin tonë ju mund të llogarisni GCD dhe LCM për çdo numër numrash nga të cilët mund të zgjidhni. Detyrat për llogaritjen e pjesëtuesve të përbashkët dhe shumëfishave gjenden në aritmetikën e klasave 5, 6, megjithatë, GCD dhe LCM - konceptet kryesore matematikë dhe përdoren në teorinë e numrave, planimetrinë dhe algjebër komunikuese.

Shembuj të jetës reale

Emëruesi i përbashkët i thyesave

Shumëfishi më i vogël i përbashkët përdoret kur gjendet emëruesi i përbashkët i disa thyesave. Supozoni se në një problem aritmetik kërkohet të mblidhen 5 thyesa:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Për të shtuar thyesa, shprehja duhet të reduktohet në një emërues të përbashkët, i cili reduktohet në problemin e gjetjes së LCM. Për ta bërë këtë, zgjidhni 5 numra në kalkulator dhe vendosni vlerat e emëruesit në qelizat përkatëse. Programi do të llogarisë LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Tani ju duhet të llogaritni faktorë shtesë për çdo fraksion, të cilët përcaktohen si raporti i LCM me emëruesin. Pra, shumëzuesit shtesë do të duken si:

  • 360/8 = 45
  • 360/9 = 40
  • 360/12 = 30
  • 360/15 = 24
  • 360/18 = 20.

Pas kësaj, ne shumëzojmë të gjitha fraksionet me faktorin shtesë përkatës dhe marrim:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Mund të shtojmë lehtësisht fraksione të tilla dhe të marrim rezultatin në formën e 159/360. Ne e zvogëlojmë thyesën me 3 dhe shohim përgjigjen përfundimtare - 53/120.

Zgjidhja e ekuacioneve lineare Diofantine

Ekuacionet lineare diofantine janë shprehje të formës ax + nga = d. Nëse raporti d / gcd(a, b) është një numër i plotë, atëherë ekuacioni është i zgjidhshëm në numra të plotë. Le të kontrollojmë disa ekuacione për mundësinë e një zgjidhjeje të numrit të plotë. Së pari, kontrolloni ekuacionin 150x + 8y = 37. Duke përdorur një kalkulator, gjejmë gcd (150.8) = 2. Ndani 37/2 = 18.5. Numri nuk është një numër i plotë, prandaj, ekuacioni nuk ka rrënjë të plota.

Le të kontrollojmë ekuacionin 1320x + 1760y = 10120. Përdorni makinën llogaritëse për të gjetur gcd(1320, 1760) = 440. Pjestoni 10120/440 = 23. Si rezultat, marrim një numër të plotë, pra, ekuacionin izsolte të diofantinës .

konkluzioni

GCD dhe LCM luajnë një rol të rëndësishëm në teorinë e numrave, dhe vetë konceptet përdoren gjerësisht në fusha të ndryshme të matematikës. Përdorni kalkulatorin tonë për të llogaritur pjesëtuesit më të mëdhenj dhe shumëfishat më të vegjël të çdo numri numrash.

pjesëtues i përbashkët i disa numrave është numri me të cilin pjesëtohet secili nga numrat e dhënë. Për shembull, jepen dy numra: 6 dhe 9. Numri 6 ka pjesëtues 1, 2, 3, 6. Numri 9 ka pjesëtues 1, 3, 9. Shohim që numrat 6 dhe 9 kanë pjesëtues të përbashkët 1 dhe 3.

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët(shkurtuar si GCD) të disa numrave, ata e quajnë më të madhin nga pjesëtuesit e zakonshëm me të cilët secili prej këtyre numrave është i pjesëtueshëm pa mbetje.

Kështu, nga të gjithë pjesëtuesit e përbashkët të 6 dhe 9, pjesëtuesi më i madh i përbashkët është 3.

Zakonisht pjesëtuesi më i madh i përbashkët shkruhet kështu: gcd ( a, b, ...) = x.

Sipas kësaj, ne shkruajmë pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave 6 dhe 9:

gcd (6, 9) = 3.

Quhen numra, gcd e të cilëve është e barabartë me një numrat koprim. Për shembull, numrat 14 dhe 15 janë relativisht të thjeshtë: gcd(14, 15) = 1.

Llogaritësi GCD

Ky kalkulator do t'ju ndihmojë të gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave. Thjesht futni numra të ndarë me hapësira ose presje dhe klikoni butonin Llogarit GCD.