Vietov izrek za kvadratne in druge enačbe. Vietov izrek. Primeri uporabe Reševanje kvadratnih enačb Vieta formula
Ena od metod za reševanje kvadratne enačbe je uporaba Formule VIET, ki je dobil ime po FRANCOISU VIETTU.
Bil je znan odvetnik, ki je služil francoskemu kralju v 16. stoletju. V prostem času se je ukvarjal z astronomijo in matematiko. Ugotovil je povezavo med koreni in koeficienti kvadratne enačbe.
Prednosti formule:
1 . Z uporabo formule lahko hitro najdete rešitev. Ker drugega koeficienta ni treba vnesti v kvadrat, nato od njega odšteti 4ac, poiskati diskriminanco in njeno vrednost nadomestiti s formulo za iskanje korenin.
2 . Brez rešitve lahko določite znake korenin in izberete vrednosti korenin.
3 . Po rešitvi sistema dveh zapisov ni težko najti samih korenin. V zgornji kvadratni enačbi je vsota korenin enaka vrednosti drugega koeficienta z znakom minus. Produkt korenin v zgornji kvadratni enačbi je enak vrednosti tretjega koeficienta.
4 . S pomočjo teh korenin zapišite kvadratno enačbo, torej rešite inverzni problem. Ta metoda se na primer uporablja pri reševanju problemov v teoretični mehaniki.
5 . Primerno je uporabiti formulo, ko je vodilni koeficient enak ena.
Napake:
1
. Formula ni univerzalna.
Vietov izrek 8. razred
Formula
Če sta x 1 in x 2 korena reducirane kvadratne enačbe x 2 + px + q = 0, potem:
Primeri
x 1 = -1; x 2 = 3 - korenine enačbe x 2 - 2x - 3 = 0.
P = -2, q = -3.
X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,
X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.
Konverzni izrek
Formula
Če so števila x 1, x 2, p, q povezana s pogoji:
Potem sta x 1 in x 2 korena enačbe x 2 + px + q = 0.
Primer
Ustvarimo kvadratno enačbo z uporabo njenih korenin:
X 1 = 2 - ? 3 in x 2 = 2 + ? 3.
P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.
Zahtevana enačba ima obliko: x 2 - 4x + 1 = 0.
Formulacija in dokaz Vietovega izreka za kvadratne enačbe. Vietov obratni izrek. Vietov izrek za kubične enačbe in enačbe poljubnega reda.
VsebinaPoglej tudi: Korenine kvadratne enačbe
Kvadratne enačbe
Vietov izrek
Pustimo in označimo korenine reducirane kvadratne enačbe
(1)
.
Potem je vsota korenin enaka koeficientu , vzetem z nasprotnim predznakom. Produkt korenov je enak prostemu členu:
;
.
Opomba o več koreninah
Če je diskriminant enačbe (1) enak nič, ima ta enačba en koren. Toda, da bi se izognili okornim formulacijam, je splošno sprejeto, da ima v tem primeru enačba (1) dva večkratna ali enaka korena:
.
Prvi dokaz
Poiščimo korenine enačbe (1). Če želite to narediti, uporabite formulo za korenine kvadratne enačbe:
;
;
.
Poiščite vsoto korenin:
.
Če želite najti izdelek, uporabite formulo:
.
Potem
.
Izrek je dokazan.
Dokaz dva
Če so števila korenine kvadratne enačbe (1), potem
.
Odpiranje oklepaja.
.
Tako bo enačba (1) imela obliko:
.
Če primerjamo z (1), ugotovimo:
;
.
Izrek je dokazan.
Vietov obratni izrek
Naj bodo poljubna števila. Potem sta in korenini kvadratne enačbe
,
Kje
(2)
;
(3)
.
Dokaz Vietovega obratnega izreka
Razmislite o kvadratni enačbi
(1)
.
Moramo dokazati, da če in , potem sta in korena enačbe (1).
Zamenjajmo (2) in (3) v (1):
.
Združimo člene na levi strani enačbe:
;
;
(4)
.
Nadomestimo v (4):
;
.
Nadomestimo v (4):
;
.
Enačba drži. To pomeni, da je število koren enačbe (1).
Izrek je dokazan.
Vietov izrek za popolno kvadratno enačbo
Zdaj razmislite o popolni kvadratni enačbi
(5)
,
kjer , in so nekatere številke. Poleg tega.
Razdelimo enačbo (5) z:
.
Se pravi, dobili smo dano enačbo
,
Kje ; .
Potem ima Vietov izrek za popolno kvadratno enačbo naslednjo obliko.
Pustimo in označimo korenine popolne kvadratne enačbe
.
Nato sta vsota in produkt korenin določena s formulami:
;
.
Vietov izrek za kubično enačbo
Na podoben način lahko vzpostavimo povezave med koreninami kubične enačbe. Razmislite o kubični enačbi
(6)
,
kjer so , , , nekatera števila. Poleg tega.
Razdelimo to enačbo z:
(7)
,
Kje , , .
Naj bodo , , koreni enačbe (7) (in enačbe (6)). Potem
.
Če primerjamo z enačbo (7), ugotovimo:
;
;
.
Vietov izrek za enačbo n-te stopnje
Na enak način lahko najdete povezave med koreni , , ... , , za n-te enačbe stopnje
.
Vietov izrek za enačbo n-to stopnjo ima naslednjo obliko:
;
;
;
.
Za pridobitev teh formul zapišemo enačbo na naslednji način:
.
Nato izenačimo koeficiente za , , , ... in primerjamo prosti člen.
Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Priročnik matematike za inženirje in študente, "Lan", 2009.
CM. Nikolski, M.K. Potapov et al., Algebra: učbenik za 8. razred v splošnoizobraževalnih ustanovah, Moskva, Izobraževanje, 2006.
V tem predavanju se bomo seznanili z nenavadnimi razmerji med koreninami kvadratne enačbe in njenimi koeficienti. Te povezave je prvi odkril francoski matematik François Viète (1540-1603).
Na primer, za enačbo 3x 2 - 8x - 6 = 0, ne da bi našli njene korenine, lahko z uporabo Vietovega izreka takoj rečete, da je vsota korenin enaka , produkt korenin pa enak
tj - 2. In za enačbo x 2 - 6x + 8 = 0 sklepamo: vsota korenin je 6, produkt korenin je 8; Mimogrede, ni težko uganiti, čemu so enake korenine: 4 in 2.
Dokaz Vietovega izreka. Koreni x 1 in x 2 kvadratne enačbe ax 2 + bx + c = 0 najdemo z uporabo formul
Kjer je D = b 2 - 4ac diskriminanta enačbe. Ko sem sestavil te korenine,
dobimo
Zdaj pa izračunajmo produkt korenin x 1 in x 2. Imamo
Druga relacija je dokazana:
Komentiraj.
Vietov izrek velja tudi v primeru, ko ima kvadratna enačba en koren (to je, ko je D = 0), preprosto se v tem primeru predpostavi, da ima enačba dva enaka korena, za kar veljajo zgornji odnosi.
Dokazana razmerja za reducirano kvadratno enačbo x 2 + px + q = 0 imajo posebno preprosto obliko. V tem primeru dobimo:
x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 =q
tiste. vsota korenin reducirane kvadratne enačbe je enaka drugemu koeficientu, vzetem z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je enak prostemu členu.
Z uporabo Vietovega izreka lahko dobite druga razmerja med koreni in koeficienti kvadratne enačbe. Naj bosta na primer x 1 in x 2 korena reducirane kvadratne enačbe x 2 + px + q = 0. Potem
Vendar glavni namen Vietovega izreka ni, da izraža nekatera razmerja med koreni in koeficienti kvadratne enačbe. Veliko bolj pomembno je, da je z uporabo Vietovega izreka izpeljana formula za faktorizacijo kvadratnega trinoma, brez katere v prihodnje ne bomo mogli.
Dokaz. Imamo
Primer 1. Faktoriziraj kvadratni trinom 3x 2 - 10x + 3.
rešitev. Ko rešimo enačbo 3x 2 - 10x + 3 = 0, najdemo korenine kvadratnega trinoma 3x 2 - 10x + 3: x 1 = 3, x2 = .
Z uporabo izreka 2 dobimo
Namesto tega je smiselno napisati 3x - 1. Potem končno dobimo 3x 2 - 10x + 3 = (x - 3)(3x - 1).
Upoštevajte, da je dani kvadratni trinom mogoče faktorizirati brez uporabe izreka 2 z uporabo metode združevanja:
3x 2 - 10x + 3 = 3x 2 - 9x - x + 3 =
= 3x (x - 3) - (x - 3) = (x - 3) (3x - 1).
Toda, kot vidite, je pri tej metodi uspeh odvisen od tega, ali nam uspe najti uspešno skupino ali ne, medtem ko je pri prvi metodi uspeh zagotovljen.
Primer 1. Zmanjšaj ulomek
rešitev. Iz enačbe 2x 2 + 5x + 2 = 0 najdemo x 1 = - 2,
Iz enačbe x2 - 4x - 12 = 0 dobimo x 1 = 6, x 2 = -2. Zato
x 2 - 4x - 12 = (x - 6) (x - (- 2)) = (x - 6) (x + 2).
Zdaj pa zmanjšajmo dani ulomek:
Primer 3. Razdeli izraze na faktorje:
a)x4 + 5x 2 +6; b) 2x+-3
Rešitev. a) Vstavimo novo spremenljivko y = x 2 . To vam bo omogočilo, da dani izraz prepišete v obliki kvadratnega trinoma glede na spremenljivko y, in sicer v obliki y 2 + bу + 6.
Po rešitvi enačbe y 2 + bу + 6 = 0 najdemo korenine kvadratnega trinoma y 2 + 5у + 6: y 1 = - 2, y 2 = -3. Zdaj pa uporabimo izrek 2; dobimo
y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Zapomniti si je treba, da je y = x 2, tj. vrniti se na dani izraz. Torej,
x 4 + 5x 2 + 6 = (x 2 + 2)(x 2 + 3).
b) Vstavimo novo spremenljivko y = . To vam bo omogočilo, da podani izraz prepišete v obliki kvadratnega trinoma glede na spremenljivko y, in sicer v obliki 2y 2 + y - 3. Ko rešite enačbo
2y 2 + y - 3 = 0, poiščite korenine kvadratnega trinoma 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . Nato z uporabo izreka 2 dobimo:
Zapomniti si je treba, da je y = , tj. vrniti se na dani izraz. Torej,
Na koncu razdelka - nekaj sklepanja, ki je spet povezano z Vietovim izrekom ali bolje rečeno z obratno izjavo:
če sta števili x 1, x 2 takšni, da je x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q, potem sta ti števili koreni enačbe
S to izjavo lahko ustno rešite veliko kvadratnih enačb brez uporabe okornih korenskih formul in tudi sestavite kvadratne enačbe z danimi koreninami. Navedimo primere.
1) x 2 - 11x + 24 = 0. Tukaj je x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Zlahka je uganiti, da je x 1 = 8, x 2 = 3.
2) x 2 + 11x + 30 = 0. Tukaj je x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Zlahka je uganiti, da je x 1 = -5, x 2 = -6.
Upoštevajte: če je prosti člen enačbe pozitivno število, potem sta oba korena pozitivna ali negativna; To je pomembno upoštevati pri izbiri korenin.
3) x 2 + x - 12 = 0. Tukaj je x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Zlahka je uganiti, da je x 1 = 3, x2 = -4.
Upoštevajte: če je prosti člen enačbe negativno število, potem imajo koreni različne znake; To je pomembno upoštevati pri izbiri korenin.
4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Preprosto je videti, da x = 1 ustreza enačbi, tj. x 1 = 1 je koren enačbe. Ker je x 1 x 2 = - in x 1 = 1, dobimo, da je x 2 = -.
5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Tukaj je x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Če ste pozorni na dejstvo, da je 2830 = 283. 10 in 293 = 283 + 10, potem postane jasno, da je x 1 = 283, x 2 = 10 (zdaj pa si predstavljajte, kakšne izračune bi bilo treba izvesti za rešitev te kvadratne enačbe z uporabo standardnih formul).
6) Sestavimo kvadratno enačbo tako, da so njeni koreni števila x 1 = 8, x 2 = - 4. Običajno v takih primerih sestavimo pomanjšano kvadratno enačbo x 2 + px + q = 0.
Imamo x 1 + x 2 = -p, torej 8 - 4 = -p, to je p = -4. Nato je x 1 x 2 = q, tj. 8 «(-4) = q, od koder dobimo q = -32. Torej, p = -4, q = -32, kar pomeni, da ima zahtevana kvadratna enačba obliko x 2 -4x-32 = 0.
Najprej oblikujmo sam izrek: Imejmo pomanjšano kvadratno enačbo oblike x^2+b*x + c = 0. Recimo, da ta enačba vsebuje korena x1 in x2. Potem po izreku veljajo naslednje trditve:
1) Vsota korenin x1 in x2 bo enaka negativni vrednosti koeficienta b.
2) Produkt prav teh korenin nam bo dal koeficient c.
Toda kaj je dana enačba?
Zmanjšana kvadratna enačba je kvadratna enačba, katere koeficient najvišje stopnje je enak ena, tj. to je enačba oblike x^2 + b*x + c = 0. (in enačba a*x^2 + b*x + c = 0 je nereducirana). Z drugimi besedami, da dobimo enačbo v dani obliki, moramo to enačbo deliti s koeficientom največje potence (a). Naloga je voditi podana enačba na dano obliko:
3*x^2 12*x + 18 = 0;
−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;
1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.
Če vsako enačbo delimo s koeficientom najvišje stopnje, dobimo:
X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;
X^2 + 3,5*x − 5,5 = 0.
Kot lahko vidite iz primerov, lahko tudi enačbe, ki vsebujejo ulomke, reduciramo na dano obliko.
Uporaba Vietovega izreka
X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;
dobimo korenine: x1 = 2; x2 = 3;
X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;
kot rezultat dobimo korenine: x1 = -2 ; x2 = -4;
X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;
dobimo korene: x1 = −1; x2 = −4.
Pomen Vietovega izreka
Vietin izrek nam omogoča, da rešimo katero koli kvadratno reducirano enačbo v skoraj nekaj sekundah. Na prvi pogled se zdi to precej težka naloga, a po 5 10 enačbah se lahko takoj naučiš videti korenine.
Iz navedenih primerov in z uporabo izreka je razvidno, kako lahko bistveno poenostavite reševanje kvadratnih enačb, saj lahko z uporabo tega izreka rešite kvadratno enačbo praktično brez zapletenih izračunov in izračuna diskriminante, in kot veste, manj izračunov, težje je narediti napako, kar je pomembno.
V vseh primerih smo to pravilo uporabili na podlagi dveh pomembnih predpostavk:
Podana enačba, tj. koeficient najvišje stopnje je enak ena (temu pogoju se zlahka izognemo. Uporabimo lahko nereducirano obliko enačbe, takrat bodo veljavne naslednje trditve: x1+x2=-b/a; x1*x2=c /a, vendar je običajno težje rešiti :))
Ko ima enačba dva različna korena. Predpostavimo, da je neenakost resnična in je diskriminanta strogo večja od nič.
Zato lahko ustvarimo splošni algoritem rešitve z uporabo Vietovega izreka.
Splošni algoritem rešitve z uporabo Vietovega izreka
Kvadratno enačbo reduciramo na reducirano obliko, če nam je enačba dana v nereducirani obliki. Ko se koeficienti v kvadratni enačbi, ki smo jih prej predstavili kot dane, izkažejo za ulomke (ne decimalne), potem je treba v tem primeru našo enačbo rešiti prek diskriminante.
Obstajajo tudi primeri, ko vrnitev na začetno enačbo omogoča delo s "priročnimi" številkami.
Pri preučevanju metod za reševanje enačb drugega reda v šolskem tečaju algebre se upoštevajo lastnosti nastalih korenin. Trenutno so znani kot Vietov izrek. Primeri njegove uporabe so navedeni v tem članku.
Kvadratna enačba
Enačba drugega reda je enakost, prikazana na spodnji fotografiji.
Tu so simboli a, b, c nekatera števila, imenovana koeficienti obravnavane enačbe. Če želite rešiti enačbo, morate najti vrednosti x, zaradi katerih je resnična.
Upoštevajte, da je največja potenca, na katero lahko dvignemo x, dve, potem je tudi število korenov v splošnem primeru dve.
Obstaja več načinov za rešitev te vrste enačb. V tem članku bomo obravnavali enega od njih, ki vključuje uporabo tako imenovanega Vieta izreka.
Formulacija Vietovega izreka
Ob koncu XVI slavni matematik Francois Viet (Francoz) je pri analizi lastnosti korenin različnih kvadratnih enačb opazil, da nekatere njihove kombinacije zadoščajo določenim razmerjem. Zlasti te kombinacije so njihov produkt in vsota.
Vietin izrek ugotavlja naslednje: korenine kvadratne enačbe, ko se seštejejo, dajejo razmerje med linearnimi in kvadratnimi koeficienti, vzetimi z nasprotnim predznakom, in ko jih pomnožimo, vodijo do razmerja med prostim členom in kvadratnim koeficientom .
če splošna oblika enačba je zapisana, kot je prikazano na fotografiji v prejšnjem razdelku članka, potem lahko matematično ta izrek zapišemo v obliki dveh enakosti:
- r 2 + r 1 = -b / a;
- r 1 x r 2 = c / a.
Kjer je r 1, r 2 vrednost korenov zadevne enačbe.
Zgornji dve enačbi se lahko uporabita za reševanje številnih različnih matematičnih problemov. Uporaba Vietovega izreka v primerih z rešitvami je podana v naslednjih razdelkih članka.
