Ktorý vzorec je matematickým vyjadrením Hookovho zákona. Zovšeobecnený Hookov zákon. Stanovenie mechanických vlastností materiálov. Skúška ťahom. Skúška kompresie
Hookov zákon zvyčajne nazývané lineárne vzťahy medzi zložkami deformácie a zložkami napätia.
Zoberme si elementárny pravouhlý rovnobežnosten s plochami rovnobežnými so súradnicovými osami, zaťažený normálovým napätím σ x, rovnomerne rozložené na dvoch protiľahlých plochách (obr. 1). V čom σy = σ z = τ x y = τ x z = τ yz = 0.
Až po hranicu proporcionality je pomerné predĺženie dané vzorcom
Kde E— modul pružnosti v ťahu. Pre oceľ E = 2*10 5 MPa, preto sú deformácie veľmi malé a merajú sa v percentách alebo 1 * 10 5 (v tenzometrických prístrojoch, ktoré merajú deformácie).
Predĺženie prvku v smere osi X sprevádzaný jeho zúžením v priečnom smere, určeným deformačnými zložkami
Kde μ - konštanta nazývaná laterálny kompresný pomer alebo Poissonov pomer. Pre oceľ μ zvyčajne sa rovná 0,25-0,3.
Ak je príslušný prvok zaťažený súčasne s normálovými napätiami σx, σy, σ z, rovnomerne rozložené pozdĺž jeho plôch, potom sa pridajú deformácie
Superponovaním zložiek deformácie spôsobených každým z troch napätí získame vzťahy
Tieto vzťahy sú potvrdené mnohými experimentmi. Aplikované prekrývacia metóda alebo superpozície nájsť celkové deformácie a napätia spôsobené niekoľkými silami je legitímne, pokiaľ sú deformácie a napätia malé a lineárne závislé od aplikovaných síl. V takýchto prípadoch zanedbávame malé zmeny rozmerov deformovaného telesa a malé pohyby bodov pôsobenia vonkajších síl a pri výpočtoch vychádzame z počiatočných rozmerov a počiatočného tvaru telesa.
Je potrebné poznamenať, že malé posuny nemusia nevyhnutne znamenať, že vzťahy medzi silami a deformáciami sú lineárne. Teda napríklad v stlačenej sile Q tyč zaťažená dodatočne šmykovou silou R aj pri malom vychýlení δ vzniká ďalší bod M = Q5, čo robí problém nelineárnym. V takýchto prípadoch nie sú úplné výchylky lineárne funkcieúsilie a nemožno ho získať jednoduchou superpozíciou.
Experimentálne sa zistilo, že ak šmykové napätia pôsobia pozdĺž všetkých plôch prvku, potom skreslenie zodpovedajúceho uhla závisí len od zodpovedajúcich zložiek šmykového napätia.
Neustále G nazývaný šmykový modul pružnosti alebo šmykový modul.
Všeobecný prípad deformácie prvku pôsobením troch normálových a troch tangenciálnych zložiek napätia naň možno získať pomocou superpozície: tri šmykové deformácie, určené vzťahmi (5.2b), sú superponované na tri lineárne deformácie určené výrazmi ( 5.2a). Rovnice (5.2a) a (5.2b) určujú vzťah medzi zložkami deformácií a napätí a sú tzv. zovšeobecnený Hookov zákon. Ukážme teraz, že šmykový modul G vyjadrené ako modul pružnosti v ťahu E a Poissonov pomer μ . Ak to chcete urobiť, zvážte špeciálny prípad, Kedy σ x = σ , σy = -σ A σ z = 0.
Vystrihneme prvok a B C d roviny rovnobežné s osou z a sklonené pod uhlom 45° k osám X A pri(obr. 3). Ako vyplýva z podmienok rovnováhy prvku 0 bс, normálny stres σ v na všetkých stranách prvku a B C d sú nulové a šmykové napätia sú rovnaké
Tento stav napätia sa nazýva čistý strih. Z rovníc (5.2a) vyplýva, že
to znamená, že predĺženie horizontálneho prvku je 0 c rovná sa skráteniu vertikálneho prvku 0 b: εy = -εx.
Uhol medzi tvárami ab A bc zmeny a zodpovedajúcu hodnotu šmykovej deformácie γ možno nájsť z trojuholníka 0 bс:
Z toho vyplýva
Zákon úmernosti medzi predĺžením pružiny a aplikovanou silou objavil anglický fyzik Robert Hooke (1635-1703)
Hookove vedecké záujmy boli také široké, že často nemal čas svoj výskum dokončiť. To vyvolalo vášnivé spory o priorite pri objavovaní určitých zákonov s najväčšími vedcami (Huygens, Newton atď.). Hookov zákon bol však tak presvedčivo podložený početnými experimentmi, že Hookova priorita nebola nikdy spochybnená.
Jarná teória Roberta Hooka:
Toto je Hookov zákon!
RIEŠENIE PROBLÉMOV
Určte tuhosť pružiny, ktorá sa pôsobením sily 10 N predĺži o 5 cm.
Vzhľadom na to:
g = 10 N/kg
F = 10H
X = 5 cm = 0,05 m
Nájsť:
k = ?
Zaťaženie je v rovnováhe.
Odpoveď: tuhosť pružiny k = 200N/m.
ÚLOHA PRE "5"
(odovzdajte na kus papiera).
Vysvetlite, prečo je pre akrobata bezpečné skočiť na trampolínovú sieť z veľkej výšky? (požiadame o pomoc Roberta Hooka)
Teším sa na vašu odpoveď!
MÁLO SKÚSENOSTÍ
Gumovú hadičku, na ktorej je pevne nasadený kovový krúžok, umiestnite zvisle a hadičku roztiahnite. Čo sa stane s prsteňom?
Dynamika – skvelá fyzika
Hookov zákon je formulovaný nasledovne: elastická sila, ktorá vzniká pri deformácii telesa v dôsledku pôsobenia vonkajších síl, je úmerná jeho predĺženiu. Deformácia je zas zmena medziatómovej alebo medzimolekulovej vzdialenosti látky pod vplyvom vonkajších síl. Elastická sila je sila, ktorá má tendenciu vrátiť tieto atómy alebo molekuly do rovnovážneho stavu.
Formula 1 - Hookov zákon.
F - Elastická sila.
k - tuhosť karosérie (koeficient proporcionality, ktorý závisí od materiálu karosérie a jej tvaru).
x - Deformácia tela (predĺženie alebo stlačenie tela).
Tento zákon objavil Robert Hooke v roku 1660. Uskutočnil experiment, ktorý pozostával z nasledujúceho. Na jednom konci bola pripevnená tenká oceľová struna a na druhý koniec bola aplikovaná rôzna sila. Jednoducho povedané, na strope bola zavesená struna a na ňu bola aplikovaná záťaž rôznej hmotnosti.
Obrázok 1 - Naťahovanie strún pod vplyvom gravitácie.
Ako výsledok experimentu Hooke zistil, že v malých uličkách je závislosť natiahnutia telesa lineárna vzhľadom na pružnú silu. To znamená, že pri pôsobení jednotky sily sa teleso predĺži o jednu jednotku dĺžky.
Obrázok 2 - Graf závislosti elastickej sily od predĺženia telesa.
Nula na grafe je pôvodná dĺžka tela. Všetko na pravej strane je nárast dĺžky tela. V tomto prípade má elastická sila zápornú hodnotu. To znamená, že sa snaží vrátiť telo do pôvodného stavu. V súlade s tým je nasmerovaný proti deformačnej sile. Všetko vľavo je kompresia tela. Elastická sila je kladná.
Natiahnutie struny závisí nielen od vonkajšej sily, ale aj od prierezu struny. Tenká šnúrka sa vďaka nízkej hmotnosti akosi natiahne. Ale ak vezmete strunu rovnakej dĺžky, ale s priemerom povedzme 1 m, je ťažké si predstaviť, akú veľkú váhu bude potrebné na jej natiahnutie.
Na posúdenie toho, ako sila pôsobí na teleso určitého prierezu, sa zavádza pojem normálové mechanické napätie.
Formula 2 - normálne mechanické namáhanie.
S-Prierezová plocha.
Toto napätie je v konečnom dôsledku úmerné predĺženiu tela. Relatívne predĺženie je pomer prírastku dĺžky tela k jeho celkovej dĺžke. A koeficient proporcionality sa nazýva Youngov modul. Modul, pretože hodnota predĺženia tela sa berie modulo, bez zohľadnenia znamienka. Neberie do úvahy, či je telo skrátené alebo predĺžené. Dôležité je zmeniť jeho dĺžku.
Formula 3 - Youngov modul.
|e|. - Relatívne predĺženie tela.
s je normálne napätie tela.
Koeficient E v tomto vzorci sa nazýva Youngov modul. Youngov modul závisí len od vlastností materiálu a nezávisí od veľkosti a tvaru tela. Pre rôzne materiály sa Youngov modul značne líši. Pre oceľ je napríklad E ≈ 2·1011 N/m2 a pre gumu E ≈ 2·106 N/m2, to znamená o päť rádov menej.
Hookov zákon možno zovšeobecniť na prípad zložitejších deformácií. Napríklad kedy ohybová deformácia elastická sila je úmerná priehybu tyče, ktorej konce ležia na dvoch podperách (obr. 1.12.2).
 |
Obrázok 1.12.2. Deformácia ohybu.  |
Elastická sila pôsobiaca na teleso zo strany podpery (alebo zavesenia) sa nazýva pozemná reakčná sila. Keď sa telesá dostanú do kontaktu, je nasmerovaná sila reakcie podpory kolmý kontaktné plochy. Preto sa tomu často hovorí sila normálny tlak. Ak teleso leží na vodorovnom stacionárnom stole, reakčná sila podpery smeruje zvisle nahor a vyrovnáva gravitačnú silu: Sila, ktorou teleso pôsobí na stôl, sa nazýva telesná hmotnosť.
V technológii v tvare špirály pružiny(obr. 1.12.3). Keď sú pružiny natiahnuté alebo stlačené, vznikajú elastické sily, ktoré sa tiež riadia Hookovým zákonom. Koeficient k sa nazýva tuhosť pružiny. V medziach aplikovateľnosti Hookovho zákona sú pružiny schopné výrazne meniť svoju dĺžku. Preto sa často používajú na meranie síl. Pružina, ktorej napätie sa meria v jednotkách sily, sa nazýva dynamometer. Treba mať na pamäti, že keď je pružina natiahnutá alebo stlačená, dochádza v jej závitoch k zložitým torzným a ohybovým deformáciám.
 |
| Obrázok 1.12.3. Deformácia vysunutia pružiny. |
Na rozdiel od pružín a niektorých elastických materiálov (napríklad gumy), ťahová alebo tlaková deformácia pružných tyčí (alebo drôtov) sa riadi Hookovým lineárnym zákonom vo veľmi úzkych medziach. Pre kovy by relatívna deformácia ε = x / l nemala presiahnuť 1 %. Pri veľkých deformáciách dochádza k nevratným javom (tekutosť) a deštrukcii materiálu.
§ 10. Elastická sila. Hookov zákon
Druhy deformácií
Deformácia nazývaná zmena tvaru, veľkosti alebo objemu tela. Deformácia môže byť spôsobená vonkajšími silami pôsobiacimi na telo.
Nazývajú sa deformácie, ktoré úplne zmiznú po ukončení pôsobenia vonkajších síl na teleso elastické a deformácie, ktoré pretrvávajú aj po tom, čo na telo prestanú pôsobiť vonkajšie sily - plast.
Rozlišovať ťahové napätie alebo kompresia(jednostranné alebo komplexné), ohýbanie, krútenie A posun.
Elastické sily
Pre deformácie pevný jeho častice (atómy, molekuly, ióny), nachádzajúce sa v uzloch kryštálovej mriežky, sú posunuté zo svojich rovnovážnych polôh. Proti tomuto posunu pôsobia interakčné sily medzi časticami pevného telesa, ktoré tieto častice udržiavajú v určitej vzdialenosti od seba. Preto pri akomkoľvek type elastickej deformácie vznikajú v telese vnútorné sily, ktoré bránia jeho deformácii.
Sily, ktoré vznikajú v telese pri jeho pružnej deformácii a smerujú proti smeru posunu častíc telesa spôsobeného deformáciou, sa nazývajú elastické sily. Elastické sily pôsobia v ktorejkoľvek časti deformovaného telesa, ako aj v mieste jeho dotyku s telesom spôsobujúce deformáciu. V prípade jednostranného napätia alebo stlačenia je elastická sila nasmerovaná pozdĺž priamky, pozdĺž ktorej pôsobí vonkajšia sila, spôsobujúca deformáciu telesa, proti smeru tejto sily a kolmo na povrch telesa. Povaha elastických síl je elektrická.
Budeme uvažovať o prípade vzniku elastických síl pri jednostrannom ťahu a stlačení pevného telesa.
Hookov zákon
Súvislosť medzi elastickou silou a elastickou deformáciou telesa (pri malých deformáciách) experimentálne zistil Newtonov súčasník, anglický fyzik Hooke. Matematické vyjadrenie Hookov zákon pre jednostrannú deformáciu ťahom (tlakom) má tvar
kde f je elastická sila; x - predĺženie (deformácia) tela; k je koeficient úmernosti v závislosti od veľkosti a materiálu telesa, nazývaný tuhosť. Jednotkou tuhosti SI je newton na meter (N/m).
Hookov zákon pre jednostranné napätie (stlačenie) je formulované takto: Elastická sila vznikajúca pri deformácii telesa je úmerná predĺženiu tohto telesa.
Uvažujme o experimente ilustrujúcom Hookov zákon. Nech sa os symetrie valcovej pružiny zhoduje s priamkou Ax (obr. 20, a). Jeden koniec pružiny je upevnený v podpere v bode A a druhý je voľný a teleso M je k nemu pripevnené. Keď pružina nie je zdeformovaná, jej voľný koniec sa nachádza v bode C. Tento bod sa bude považovať za počiatok súradnice x, ktorá určuje polohu voľného konca pružiny.
Natiahneme pružinu tak, aby jej voľný koniec bol v bode D, ktorého súradnica je x>0: V tomto bode pôsobí pružina na teleso M pružnou silou.
Stlačme teraz pružinu tak, aby jej voľný koniec bol v bode B, ktorého súradnica je x<0. В этой точке пружина действует на тело М упругой силой
Z obrázku je vidieť, že priemet pružnej sily pružiny na os Ax má vždy znamienko opačné ako znamienko súradnice x, keďže pružná sila smeruje vždy do rovnovážnej polohy C. Na obr. 20, b znázorňuje graf Hookovho zákona. Hodnoty predĺženia x pružiny sú vynesené na súradnicovej osi a hodnoty elastickej sily sú vynesené na zvislej osi. Závislosť fх na x je lineárna, takže graf je priamka prechádzajúca počiatkom súradníc.
Uvažujme o ďalšom experimente.
Jeden koniec tenkého oceľového drôtu nech je upevnený na konzole a na druhom konci je zavesené bremeno, ktorého hmotnosťou je vonkajšia ťahová sila F pôsobiaca na drôt kolmo na jeho prierez (obr. 21).
Pôsobenie tejto sily na drôt závisí nielen od modulu sily F, ale aj od plochy prierezu drôtu S.
Pod vplyvom vonkajšej sily, ktorá naň pôsobí, sa drôt deformuje a naťahuje. Ak napnutie nie je príliš veľké, je táto deformácia elastická. V pružne deformovanom drôte vzniká elastická sila f jednotka.
Podľa tretieho Newtonovho zákona má elastická sila rovnakú veľkosť a opačný smer ako vonkajšia sila pôsobiaca na teleso, t.j.
f hore = -F (2,10)
Stav pružne deformovaného telesa charakterizuje hodnota s, tzv normálne mechanické namáhanie(alebo skrátka len normálne napätie). Normálne napätie s sa rovná pomeru modulu elastickej sily k ploche prierezu tela:
s=f hore /S (2,11)
Nech je počiatočná dĺžka nenatiahnutého drôtu L 0 . Po pôsobení sily F sa drôt natiahol a jeho dĺžka sa rovnala L. Hodnota DL=L-L 0 je tzv. absolútne predĺženie drôtu. Veľkosť
volal relatívne predĺženie tela. Pre namáhanie v ťahu e>0, pre deformáciu v tlaku e<0.
Pozorovania ukazujú, že pre malé deformácie je normálové napätie s úmerné relatívnemu predĺženiu e:
Vzorec (2.13) je jedným z typov písania Hookovho zákona pre jednostranné napätie (stlačenie). V tomto vzorci sa relatívne predĺženie berie modulo, pretože môže byť kladné aj záporné. Koeficient úmernosti E v Hookovom zákone sa nazýva pozdĺžny modul pružnosti (Youngov modul).
Stanovme fyzikálny význam Youngovho modulu. Ako je možné vidieť zo vzorca (2.12), e=1 a L=2L0 s DL=Lo. Zo vzorca (2.13) vyplýva, že v tomto prípade s=E. V dôsledku toho sa Youngov modul číselne rovná normálnemu napätiu, ktoré by malo vzniknúť v tele, ak sa jeho dĺžka zdvojnásobí. (ak by Hookov zákon platil pre takú veľkú deformáciu). Zo vzorca (2.13) je tiež zrejmé, že v SI je Youngov modul vyjadrený v pascaloch (1 Pa = 1 N/m2).
Diagram napätia
Pomocou vzorca (2.13) je možné z experimentálnych hodnôt relatívneho predĺženia e vypočítať zodpovedajúce hodnoty normálového napätia s vznikajúceho v deformovanom tele a zostrojiť graf závislosti s od e. Tento graf sa nazýva stretch diagram. Podobný graf pre vzorku kovu je znázornený na obr. 22. V sekcii 0-1 vyzerá graf ako priamka prechádzajúca počiatkom. To znamená, že do určitej hodnoty napätia je deformácia elastická a je splnený Hookov zákon, t.j. normálové napätie je úmerné relatívnemu predĺženiu. Nazýva sa maximálna hodnota normálového napätia s p, pri ktorej je stále splnený Hookov zákon limit proporcionality.
Pri ďalšom zvyšovaní zaťaženia sa závislosť napätia od relatívneho predĺženia stáva nelineárnou (časť 1-2), aj keď elastické vlastnosti telesa sú stále zachované. Maximálna hodnota normálového napätia s, pri ktorej ešte nenastane zvyšková deformácia, sa nazýva elastický limit. (medza pružnosti prekračuje hranicu proporcionality len o stotiny percenta.) Zvýšenie zaťaženia nad hranicu pružnosti (časť 2-3) vedie k tomu, že deformácia sa stáva zvyškovou.
Potom sa vzorka začne predlžovať pri takmer konštantnom namáhaní (časť 3-4 grafu). Tento jav sa nazýva tekutosť materiálu. Normálne napätie s t, pri ktorom zvyšková deformácia dosiahne danú hodnotu, sa nazýva medza klzu.
Pri napätiach presahujúcich medzu klzu sa elastické vlastnosti telesa do určitej miery obnovia a teleso opäť začne odolávať deformácii (časť 4-5 grafu). Maximálna hodnota normálového napätia spr, nad ktorou sa vzorka roztrhne, sa nazýva pevnosť v ťahu.
Energia elasticky deformovaného telesa
Dosadením hodnôt s a e zo vzorcov (2.11) a (2.12) do vzorca (2.13) dostaneme
f hore /S=E|DL|/L 0 .
z čoho vyplýva, že elastická sila fуn, vznikajúca pri deformácii telesa, je určená vzorcom
f hore =ES|DL|/L 0 . (2,14)
Určme prácu A def vykonanú pri deformácii telesa a potenciálnu energiu W elasticky deformovaného telesa. Podľa zákona zachovania energie
W = A def. (2,15)
Ako je možné vidieť zo vzorca (2.14), modul elastickej sily sa môže meniť. Zvyšuje sa úmerne s deformáciou tela. Preto na výpočet práce deformácie je potrebné vziať priemernú hodnotu elastickej sily
Potom sa určí podľa vzorca A def =
A def = ES|DL| 2/2L 0 .
Dosadením tohto výrazu do vzorca (2.15) zistíme hodnotu potenciálnej energie elasticky deformovaného telesa:
W=ES|DL| 2/2L 0 . (2,17)
Pre elasticky deformovanú pružinu ES/L 0 =k je tuhosť pružiny; x je predĺženie pružiny. Preto je možné vzorec (2.17) zapísať vo forme
W=kx 2/2. (2,18)
Vzorec (2.18) určuje potenciálnu energiu elasticky deformovanej pružiny.
Otázky na sebaovládanie:
Čo je deformácia?
Aká deformácia sa nazýva elastická? plastová?
Vymenujte druhy deformácií.
Čo je elastická sila? Ako je to smerované? Aká je povaha tejto sily?
Ako je formulovaný a napísaný Hookov zákon pre jednostranné napätie (stlačenie)?
Čo je rigidita? Aká je jednotka tvrdosti SI?
Nakreslite diagram a vysvetlite experiment, ktorý ilustruje Hookov zákon. Nakreslite graf tohto zákona.
Po zhotovení vysvetľujúceho nákresu opíšte proces napínania kovového drôtu pri zaťažení.
Čo je normálne mechanické namáhanie? Aký vzorec vyjadruje význam tohto pojmu?
Čo sa nazýva absolútne predĺženie? relatívne predĺženie? Aké vzorce vyjadrujú význam týchto pojmov?
Akú formu má Hookov zákon v zázname obsahujúcom normálne mechanické namáhanie?
Čo sa nazýva Youngov modul? Aký je jeho fyzikálny význam? Aká je jednotka SI Youngovho modulu?
Nakreslite a vysvetlite diagram napätia a deformácie kovovej vzorky.
Čo sa nazýva hranica proporcionality? elasticita? obrat? sila?
Získajte vzorce, ktoré určujú prácu deformácie a potenciálnu energiu elasticky deformovaného telesa.
