Derivácia komplexnej funkcie sa rovná. Derivácia komplexnej funkcie. Derivácia mocninno-exponenciálnej funkcie

Riešenie fyzikálnych úloh alebo príkladov v matematike je úplne nemožné bez znalosti derivácie a metód na jej výpočet. Derivát je jedným z najdôležitejších pojmov v matematickej analýze. Dnešný článok sme sa rozhodli venovať tejto zásadnej téme. Čo je to derivácia, aký je jej fyzikálny a geometrický význam, ako vypočítať deriváciu funkcie? Všetky tieto otázky možno spojiť do jednej: ako porozumieť derivátu?

Geometrický a fyzikálny význam derivácie

Nech existuje funkcia f(x) , špecifikované v určitom intervale (a, b) . Do tohto intervalu patria body x a x0. Keď sa zmení x, zmení sa aj samotná funkcia. Zmena argumentu - rozdiel v jeho hodnotách x-x0 . Tento rozdiel je napísaný ako delta x a nazýva sa prírastok argumentov. Zmena alebo prírastok funkcie je rozdiel medzi hodnotami funkcie v dvoch bodoch. Definícia derivátu:

Derivácia funkcie v bode je limitom pomeru prírastku funkcie v danom bode k prírastku argumentu, keď ten má tendenciu k nule.

Inak sa to dá napísať aj takto:

Aký má zmysel nájsť takúto hranicu? A tu je to, čo to je:

derivácia funkcie v bode sa rovná dotyčnici uhla medzi osou OX a dotyčnici ku grafu funkcie v danom bode.

Fyzikálny význam derivátu: derivácia dráhy vzhľadom na čas sa rovná rýchlosti priamočiareho pohybu.

V skutočnosti už od školských čias každý vie, že rýchlosť je osobitná cesta x=f(t) a čas t . Priemerná rýchlosť za určité časové obdobie:

Ak chcete zistiť rýchlosť pohybu v danom okamihu t0 musíte vypočítať limit:

Pravidlo jedna: nastavte konštantu

Konštantu možno vyňať z derivačného znamienka. Okrem toho sa to musí urobiť. Pri riešení príkladov v matematike to berte ako pravidlo - Ak môžete zjednodušiť výraz, určite ho zjednodušte .

Príklad. Vypočítajme deriváciu:

Pravidlo dva: derivácia súčtu funkcií

Derivácia súčtu dvoch funkcií sa rovná súčtu derivácií týchto funkcií. To isté platí pre deriváciu rozdielu funkcií.

Nebudeme dávať dôkazy o tejto vete, ale uvažujme skôr o praktickom príklade.

Nájdite deriváciu funkcie:

Pravidlo tri: derivácia súčinu funkcií

Derivácia súčinu dvoch diferencovateľných funkcií sa vypočíta podľa vzorca:

Príklad: nájdite deriváciu funkcie:

Riešenie:

Tu je dôležité hovoriť o výpočte derivátov komplexných funkcií. Derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie tejto funkcie vzhľadom na stredný argument a derivácie stredného argumentu vzhľadom na nezávislú premennú.

Vo vyššie uvedenom príklade sa stretneme s výrazom:

V tomto prípade je stredný argument 8-násobok ku piatej mocnine. Aby sme mohli vypočítať deriváciu takéhoto výrazu, najprv vypočítame deriváciu externej funkcie vzhľadom na stredný argument a potom vynásobíme deriváciou samotného stredného argumentu vzhľadom na nezávislú premennú.

Pravidlo štyri: derivácia podielu dvoch funkcií

Vzorec na určenie derivácie podielu dvoch funkcií:

Snažili sme sa hovoriť o derivátoch pre figuríny od začiatku. Táto téma nie je taká jednoduchá, ako sa zdá, takže buďte upozornení: v príkladoch sa často vyskytujú úskalia, preto buďte opatrní pri výpočte derivátov.

S akýmikoľvek otázkami na túto a iné témy sa môžete obrátiť na študentský servis. V krátkom čase vám pomôžeme vyriešiť najťažší test a pochopiť úlohy, aj keď ste ešte nikdy nerobili derivačné výpočty.

Veľmi ľahko zapamätateľné.

No, nechoďme ďaleko, okamžite zvážime inverznú funkciu. Ktorá funkcia je inverzná k exponenciálnej funkcii? Logaritmus:

V našom prípade je základom číslo:

Takýto logaritmus (to znamená logaritmus so základom) sa nazýva „prirodzený“ a používame preň špeciálny zápis: namiesto toho píšeme.

Čomu sa to rovná? Samozrejme, .

Derivácia prirodzeného logaritmu je tiež veľmi jednoduchá:

Príklady:

Nájdite deriváciu funkcie.
Aká je derivácia funkcie?

Odpovede: Exponenciálny a prirodzený logaritmus sú z derivačnej perspektívy jedinečne jednoduché funkcie. Exponenciálne a logaritmické funkcie s akoukoľvek inou bázou budú mať inú deriváciu, ktorú budeme analyzovať neskôr, keď si prejdeme pravidlá diferenciácie.

Pravidlá diferenciácie

Pravidlá čoho? Opäť nový termín, opäť?!...

Diferenciácia je proces hľadania derivátu.

To je všetko. Ako inak môžete nazvať tento proces jedným slovom? Nie derivácia... Matematici nazývajú diferenciál rovnakým prírastkom funkcie at. Tento výraz pochádza z latinského differentia – rozdiel. Tu.

Pri odvodzovaní všetkých týchto pravidiel použijeme dve funkcie, napríklad a. Budeme tiež potrebovať vzorce pre ich prírastky:

Celkovo existuje 5 pravidiel.

Konštanta je vyňatá z derivačného znamienka.

Ak - nejaké konštantné číslo (konštanta), potom.

Je zrejmé, že toto pravidlo funguje aj pre rozdiel: .

Poďme to dokázať. Nech je to tak, alebo jednoduchšie.

Príklady.

Nájdite derivácie funkcií:

v bode;
v bode;
v bode;
v bode.

Riešenia:

(derivácia je vo všetkých bodoch rovnaká, keďže ide o lineárnu funkciu, pamätáte?);

Derivát produktu

Tu je všetko podobné: predstavme si novú funkciu a nájdime jej prírastok:

odvodený:

Príklady:

Nájdite derivácie funkcií a;
Nájdite deriváciu funkcie v bode.

Riešenia:

Derivácia exponenciálnej funkcie

Teraz sú vaše znalosti dostatočné na to, aby ste sa naučili nájsť deriváciu akejkoľvek exponenciálnej funkcie, a nielen exponentov (zabudli ste, čo to je?).

Takže, kde je nejaké číslo.

Deriváciu funkcie už poznáme, takže skúsme našu funkciu zredukovať na nový základ:

Na to použijeme jednoduché pravidlo: . potom:

No podarilo sa. Teraz skúste nájsť deriváciu a nezabudnite, že táto funkcia je zložitá.

Stalo?

Tu sa presvedčte:

Ukázalo sa, že vzorec je veľmi podobný derivátu exponentu: ako to bolo, zostáva rovnaký, objavil sa iba faktor, ktorý je len číslom, ale nie premennou.

Príklady:
Nájdite derivácie funkcií:

Odpovede:

To je len číslo, ktoré sa bez kalkulačky nedá vypočítať, teda nedá sa zapísať v jednoduchšej forme. Preto ho v odpovedi necháme v tejto podobe.

Všimnite si, že tu je kvocient dvoch funkcií, takže použijeme zodpovedajúce pravidlo diferenciácie:

V tomto príklade súčin dvoch funkcií:

Derivácia logaritmickej funkcie

Tu je to podobné: deriváciu prirodzeného logaritmu už poznáte:

Preto nájsť ľubovoľný logaritmus s inou základňou, napríklad:

Tento logaritmus musíme zredukovať na základňu. Ako zmeníte základ logaritmu? Dúfam, že si pamätáte tento vzorec:

Len teraz namiesto toho napíšeme:

Menovateľ je jednoducho konštanta (konštantné číslo, bez premennej). Derivát sa získa veľmi jednoducho:

Deriváty exponenciálnych a logaritmických funkcií sa v jednotnej štátnej skúške takmer nikdy nenachádzajú, ale nebude zbytočné ich poznať.

Derivácia komplexnej funkcie.

Čo je to „komplexná funkcia“? Nie, toto nie je logaritmus ani arkustangens. Tieto funkcie môžu byť ťažko pochopiteľné (hoci ak sa vám zdá logaritmus ťažký, prečítajte si tému „Logaritmy“ a budete v poriadku), ale z matematického hľadiska slovo „komplexný“ neznamená „ťažký“.

Predstavte si malý dopravný pás: dvaja ľudia sedia a robia nejaké akcie s nejakými predmetmi. Napríklad prvý zabalí čokoládovú tyčinku do obalu a druhý ju previaže stuhou. Výsledkom je zložený objekt: čokoládová tyčinka zabalená a previazaná stuhou. Ak chcete zjesť čokoládovú tyčinku, musíte vykonať opačné kroky v opačnom poradí.

Vytvorme podobný matematický reťazec: najprv nájdeme kosínus čísla a potom odmocnime výsledné číslo. Takže dostaneme číslo (čokoláda), nájdem jeho kosínus (obal) a potom utvoríte štvorec, čo som dostal (previažte to stuhou). Čo sa stalo? Funkcia. Toto je príklad komplexnej funkcie: keď na zistenie jej hodnoty vykonáme prvú akciu priamo s premennou a potom druhú akciu s tým, čo vyplynulo z prvej.

Inými slovami, komplexná funkcia je funkcia, ktorej argumentom je iná funkcia: .

Pre náš príklad, .

Rovnaké kroky môžeme jednoducho urobiť v opačnom poradí: najprv to odmocni a ja potom hľadám kosínus výsledného čísla: . Je ľahké uhádnuť, že výsledok bude takmer vždy iný. Dôležitá vlastnosť komplexných funkcií: keď sa zmení poradie akcií, funkcia sa zmení.

Druhý príklad: (to isté). .

Akcia, ktorú urobíme ako posledná, bude vyvolaná „vonkajšiu“ funkciu, a akcia vykonaná ako prvá - podľa toho „vnútorná“ funkcia(sú to neformálne názvy, používam ich len na vysvetlenie látky jednoduchým jazykom).

Skúste sami určiť, ktorá funkcia je externá a ktorá interná:

Odpovede: Oddelenie vnútorných a vonkajších funkcií je veľmi podobné zmene premenných: napríklad vo funkcii

Akú akciu vykonáme ako prvú? Najprv vypočítame sínus a až potom ho dáme na kocku. To znamená, že ide o vnútornú funkciu, ale vonkajšiu.
A pôvodnou funkciou je ich zloženie: .
Vnútorné: ; vonkajší: .
Vyšetrenie: .
Vnútorné: ; vonkajší: .
Vyšetrenie: .
Vnútorné: ; vonkajší: .
Vyšetrenie: .
Vnútorné: ; vonkajší: .
Vyšetrenie: .

Zmeníme premenné a dostaneme funkciu.

Teraz vyberieme našu čokoládovú tyčinku a budeme hľadať derivát. Postup je vždy opačný: najprv hľadáme deriváciu vonkajšej funkcie, potom výsledok vynásobíme deriváciou vnútornej funkcie. Vo vzťahu k pôvodnému príkladu to vyzerá takto:

Ďalší príklad:

Takže konečne sformulujme oficiálne pravidlo:

Algoritmus na nájdenie derivácie komplexnej funkcie:

Zdá sa to jednoduché, však?

Pozrime sa na príklady:

Riešenia:

1) Interné: ;

Vonkajšie: ;

2) Interné: ;

(Len to teraz neskúšajte odstrihnúť! Spod kosínusu nič nevychádza, pamätáte?)

3) Interné: ;

Vonkajšie: ;

Okamžite je jasné, že ide o trojúrovňovú komplexnú funkciu: koniec koncov, toto je už sama o sebe zložitá funkcia a extrahujeme z nej aj koreň, to znamená, že vykonáme tretiu akciu (vložíme čokoládu do obalu a so stuhou v kufríku). Nie je však dôvod na strach: túto funkciu budeme stále „rozbaľovať“ v rovnakom poradí ako obvykle: od konca.

To znamená, že najprv diferencujeme koreň, potom kosínus a až potom výraz v zátvorkách. A potom to všetko vynásobíme.

V takýchto prípadoch je vhodné akcie očíslovať. To znamená, predstavme si, čo vieme. V akom poradí vykonáme akcie na výpočet hodnoty tohto výrazu? Pozrime sa na príklad:

Čím neskôr sa akcia vykoná, tým „externejšia“ bude príslušná funkcia. Postupnosť akcií je rovnaká ako predtým:

Tu je hniezdenie vo všeobecnosti 4-úrovňové. Stanovme si postup.

1. Radikálny výraz. .

2. Koreň. .

3. Sínus. .

4. Štvorec. .

5. Daj to všetko dokopy:

DERIVÁT. STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH

Derivácia funkcie- pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu pre nekonečne malý prírastok argumentu:

Základné deriváty:

Pravidlá rozlišovania:

Konštanta je vyňatá z derivačného znamienka:

Derivát súčtu:

Derivát produktu:

Derivát kvocientu:

Derivácia komplexnej funkcie:

Algoritmus na nájdenie derivácie komplexnej funkcie:

Definujeme „internú“ funkciu a nájdeme jej deriváciu.
Definujeme „vonkajšiu“ funkciu a nájdeme jej deriváciu.
Výsledky prvého a druhého bodu vynásobíme.

Uvádzajú sa príklady výpočtu derivácií pomocou vzorca pre deriváciu komplexnej funkcie.

Obsah

Pozri tiež: Dôkaz vzorca pre deriváciu komplexnej funkcie

Základné vzorce

Tu uvádzame príklady výpočtu derivácií nasledujúcich funkcií:
; ; ; ; .

Ak funkcia môže byť reprezentovaná ako komplexná funkcia v nasledujúcom tvare:
,
potom je jeho derivát určený vzorcom:
.
V nižšie uvedených príkladoch napíšeme tento vzorec takto:
.
Kde .
Tu dolné indexy alebo , ktoré sa nachádzajú pod znamienkom derivácie, označujú premenné, pomocou ktorých sa vykonáva diferenciácia.

Zvyčajne sa v tabuľkách derivácií uvádzajú derivácie funkcií od premennej x. X je však formálny parameter. Premenná x môže byť nahradená akoukoľvek inou premennou. Preto pri derivácii funkcie od premennej jednoducho zmeníme v tabuľke derivácií premennú x na premennú u.

Jednoduché príklady

Príklad 1

Nájdite deriváciu komplexnej funkcie
.

Napíšme danú funkciu v ekvivalentnom tvare:
.
V tabuľke derivátov nájdeme:
;
.

Podľa vzorca pre deriváciu komplexnej funkcie máme:
.
Tu .

Príklad 2

Nájdite derivát
.

Z derivačného znamienka vyberieme konštantu 5 a z tabuľky derivácií nájdeme:
.

.
Tu .

Príklad 3

Nájdite derivát
.

Vytiahneme konštantu -1 pre znamienko derivácie a z tabuľky derivácií nájdeme:
;
Z tabuľky derivátov zistíme:
.

Použijeme vzorec pre deriváciu komplexnej funkcie:
.
Tu .

Zložitejšie príklady

V zložitejších príkladoch aplikujeme pravidlo pre diferenciáciu komplexnej funkcie niekoľkokrát. V tomto prípade vypočítame deriváciu od konca. To znamená, že funkciu rozdelíme na jednotlivé časti a pomocou nich nájdeme deriváty najjednoduchších častí tabuľku derivátov. Používame tiež pravidlá pre diferenciáciu súm, produkty a frakcie. Potom urobíme substitúcie a použijeme vzorec pre deriváciu komplexnej funkcie.

Príklad 4

Nájdite derivát
.

Vyberme najjednoduchšiu časť vzorca a nájdime jeho derivát. .

.
Tu sme použili notáciu
.

Pomocou získaných výsledkov nájdeme deriváciu ďalšej časti pôvodnej funkcie. Aplikujeme pravidlo na diferenciáciu súčtu:
.

Opäť aplikujeme pravidlo diferenciácie komplexných funkcií.

.
Tu .

Príklad 5

Nájdite deriváciu funkcie
.

Vyberme najjednoduchšiu časť vzorca a nájdime jeho deriváciu z tabuľky derivácií. .

Uplatňujeme pravidlo diferenciácie komplexných funkcií.
.
Tu
.

Ďalšiu časť rozlíšme na základe získaných výsledkov.
.
Tu
.

Rozlišujme ďalšiu časť.

.
Tu
.

Teraz nájdeme deriváciu požadovanej funkcie.

.
Tu
.

Pozri tiež:

Táto lekcia je venovaná téme „Diferenciácia komplexných funkcií. Problém z praxe prípravy na Jednotnú štátnu skúšku z matematiky.“ Táto lekcia skúma rozlišovanie zložitých funkcií. Zostaví sa tabuľka derivácií komplexnej funkcie. Okrem toho sa uvažuje o príklade riešenia problému z praxe prípravy na Jednotnú štátnu skúšku z matematiky.

Téma: Derivát

Lekcia: Diferencovanie komplexnej funkcie. Cvičná úloha na prípravu na Jednotnú štátnu skúšku z matematiky

Komplexnéfunkciu už sme diferencovali, ale argumentom bola lineárna funkcia, konkrétne vieme, ako funkciu diferencovať . Napríklad, . Teraz rovnakým spôsobom nájdeme derivácie komplexnej funkcie, kde namiesto lineárnej funkcie môže byť iná funkcia.

Začnime s funkciou

Takže sme našli deriváciu sínusu z komplexnej funkcie, kde argument sínusu bola kvadratická funkcia.

Ak potrebujete nájsť hodnotu derivácie v konkrétnom bode, potom tento bod musíte dosadiť do nájdenej derivácie.

Takže v dvoch príkladoch sme videli, ako pravidlo funguje diferenciácia komplexné funkcie.

3. . Pripomeňme si to.

8. .

V tejto fáze teda dokončíme tabuľku diferenciácie komplexných funkcií. Ďalej to bude, samozrejme, ešte viac zovšeobecnené, ale teraz prejdime ku konkrétnym problémom s derivátom.

V praxi prípravy na jednotnú štátnu skúšku sa navrhujú nasledovné úlohy.

Nájdite minimum funkcie .

ODZ: .

Poďme nájsť derivát. Pripomeňme si, že .

Prirovnajme deriváciu k nule. Bodka je zaradená do ODZ.

Nájdite intervaly konštantného znamienka derivácie (intervaly monotónnosti funkcie) (pozri obr. 1).

Ryža. 1. Intervaly monotónnosti pre funkciu .

Pozrime sa na bod a zistíme, či ide o extrémny bod. Dostatočným znakom extrému je, že derivácia pri prechode bodom mení znamienko. V tomto prípade derivácia mení znamienko, čo znamená, že ide o extrémny bod. Keďže derivácia mení znamienko z „-“ na „+“, potom je to minimálny bod. Nájdite hodnotu funkcie v bode minima: . Nakreslíme schému (pozri obr. 2).

Obr.2. Extrém funkcie .

Na intervale - funkcia klesá, na - funkcia sa zvyšuje, extrémny bod je jedinečný. Funkcia nadobúda svoju najmenšiu hodnotu iba v bode .

Na hodine sme sa pozreli na diferenciáciu komplexných funkcií, zostavili sme tabuľku a pozreli sme sa na pravidlá pre diferenciáciu komplexnej funkcie a uviedli príklad použitia derivátu z praxe prípravy na Jednotnú štátnu skúšku.

1. Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie (profilová úroveň), vyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Kniha problémov pre vzdelávacie inštitúcie (úroveň profilu), vyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartburd S.I. Algebra a matematická analýza pre 10. ročník (učebnica pre študentov škôl a tried s hĺbkovým štúdiom matematiky) - M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Hĺbkové štúdium algebry a matematickej analýzy.-M.: Education, 1997.

5. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na vysokých školách (spracoval M.I. Skanavi).- M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraický simulátor.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra a začiatky analýzy. 8-11 ročník: Príručka pre školy a triedy s prehĺbeným štúdiom matematiky (didaktické materiály).- M.: Drop, 2002.

8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problémy algebry a princípov analýzy (príručka pre študentov 10. až 11. ročníka všeobecných vzdelávacích inštitúcií) - M.: Prosveshchenie, 2003.

9. Karp A.P. Zbierka úloh z algebry a princípov analýzy: učebnica. príspevok pre 10-11 ročníkov. s hĺbkou študoval Matematika.-M.: Vzdelávanie, 2006.

10. Glazer G.I. História matematiky v škole. Ročníky 9-10 (príručka pre učiteľov).-M.: Výchova, 1983

Ďalšie webové zdroje

2. Portál prírodných vied ().

Vyrobte si ho doma

č. 42.2, 42.3 (Algebra a začiatky analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Zošit úloh pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie (úroveň profilu) vydal A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2007.)

Ak budete postupovať podľa definície, potom derivácia funkcie v bode je limita pomeru prírastku funkcie Δ r na prírastok argumentu Δ X:

Zdá sa, že všetko je jasné. Ale skúste použiť tento vzorec na výpočet, povedzme, derivácie funkcie f(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X hriech X. Ak robíte všetko podľa definície, potom po niekoľkých stránkach výpočtov jednoducho zaspíte. Preto existujú jednoduchšie a efektívnejšie spôsoby.

Na začiatok si všimneme, že z celej škály funkcií môžeme rozlíšiť takzvané elementárne funkcie. Ide o pomerne jednoduché výrazy, ktorých deriváty sú už dávno vypočítané a zapísané do tabuľky. Takéto funkcie sú celkom ľahko zapamätateľné - spolu s ich derivátmi.

Deriváty elementárnych funkcií

Všetky základné funkcie sú uvedené nižšie. Deriváty týchto funkcií musia byť známe naspamäť. Navyše nie je vôbec ťažké si ich zapamätať - preto sú elementárne.

Takže deriváty elementárnych funkcií:

názov	Funkcia	Derivát
Neustále	f(X) = C, C ∈ R	0 (áno, nula!)
Mocnina s racionálnym exponentom	f(X) = X n	n · X n − 1
Sinus	f(X) = hriech X	cos X
Kosínus	f(X) = cos X	− hriech X(mínus sinus)
Tangenta	f(X) = tg X	1/cos 2 X
Kotangens	f(X) = ctg X	− 1/sin 2 X
Prirodzený logaritmus	f(X) = log X	1/X
Ľubovoľný logaritmus	f(X) = log a X	1/(X ln a)
Exponenciálna funkcia	f(X) = e X	e X(nič sa nezmenilo)

Ak sa elementárna funkcia vynásobí ľubovoľnou konštantou, potom sa derivácia novej funkcie tiež ľahko vypočíta:

(C · f)’ = C · f ’.

Vo všeobecnosti možno zo znamienka derivácie vyňať konštanty. Napríklad:

(2X 3)' = 2 · ( X 3)“ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Je zrejmé, že elementárne funkcie sa dajú k sebe pridávať, násobiť, deliť – a ešte oveľa viac. Takto sa objavia nové funkcie, už nie zvlášť elementárne, ale aj diferencované podľa určitých pravidiel. Tieto pravidlá sú popísané nižšie.

Derivácia súčtu a rozdielu

Nech sú dané funkcie f(X) A g(X), ktorých deriváty sú nám známe. Môžete si napríklad vziať základné funkcie diskutované vyššie. Potom môžete nájsť deriváciu súčtu a rozdielu týchto funkcií:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Takže derivácia súčtu (rozdielu) dvoch funkcií sa rovná súčtu (rozdielu) derivácií. Termínov môže byť viac. Napríklad, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Presne povedané, v algebre neexistuje koncept „odčítania“. Existuje pojem „negatívny prvok“. Preto ten rozdiel f − g možno prepísať ako súčet f+ (-1) g, a potom zostane len jeden vzorec - derivácia súčtu.

f(X) = X 2 + hriech x; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funkcia f(X) je súčet dvoch základných funkcií, teda:

f ’(X) = (X 2 + hriech X)’ = (X 2)“ + (hriech X)’ = 2X+ cos x;

Podobne zvažujeme aj funkciu g(X). Len už existujú tri pojmy (z hľadiska algebry):

g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

odpoveď:
f ’(X) = 2X+ cos x;
g ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivát produktu

Matematika je logická veda, takže veľa ľudí verí, že ak sa derivácia sumy rovná sume derivácií, potom derivácia produktu štrajk">rovná súčinu derivátov. Ale poserte sa! Derivát súčinu sa vypočíta podľa úplne iného vzorca. Konkrétne:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Vzorec je jednoduchý, no často sa naň zabúda. A to nielen školákov, ale aj študentov. Výsledkom sú nesprávne vyriešené problémy.

Úloha. Nájdite deriváty funkcií: f(X) = X 3 cos x; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Funkcia f(X) je súčinom dvoch základných funkcií, takže všetko je jednoduché:

f ’(X) = (X 3 kos X)’ = (X 3)“ čos X + X 3 (kos X)’ = 3X 2 kos X + X 3 (- hriech X) = X 2 (3 cos X − X hriech X)

Funkcia g(X) prvý multiplikátor je trochu komplikovanejší, ale všeobecná schéma sa nemení. Je zrejmé, že prvý faktor funkcie g(X) je polynóm a jeho derivácia je deriváciou súčtu. Máme:

g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)“ · e X + (X 2 + 7X− 7) · ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

odpoveď:
f ’(X) = X 2 (3 cos X − X hriech X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Upozorňujeme, že v poslednom kroku sa derivácia faktorizuje. Formálne to nie je potrebné robiť, ale väčšina derivácií sa nevypočítava sama o sebe, ale kvôli skúmaniu funkcie. To znamená, že derivácia sa bude ďalej rovnať nule, určia sa jej znamienka atď. Pre takýto prípad je lepšie mať výraz faktorizovaný.

Ak existujú dve funkcie f(X) A g(X), a g(X) ≠ 0 na množine, ktorá nás zaujíma, môžeme definovať novú funkciu h(X) = f(X)/g(X). Pre takúto funkciu môžete nájsť aj deriváciu:

Nie slabé, však? Kde sa vzalo mínus? Prečo? g 2? A takto! Toto je jeden z najkomplexnejších vzorcov - bez fľaše to nezistíte. Preto je lepšie si to naštudovať na konkrétnych príkladoch.

Úloha. Nájdite deriváty funkcií:

Čitateľ a menovateľ každého zlomku obsahuje elementárne funkcie, takže všetko, čo potrebujeme, je vzorec pre deriváciu podielu:

Podľa tradície rozložme čitateľa na faktor – tým sa výrazne zjednoduší odpoveď:

Komplexná funkcia nie je nevyhnutne pol kilometra dlhý vzorec. Napríklad stačí zobrať funkciu f(X) = hriech X a nahradiť premennú X povedzme ďalej X 2 + ln X. Vyjde to f(X) = hriech ( X 2 + ln X) - ide o komplexnú funkciu. Má tiež derivát, ale nebude možné ho nájsť pomocou vyššie uvedených pravidiel.

Čo mám robiť? V takýchto prípadoch pomôže nahradenie premennej a vzorca pre deriváciu komplexnej funkcie:

f ’(X) = f ’(t) · t', Ak X sa nahrádza t(X).

Spravidla je situácia s pochopením tohto vzorca ešte smutnejšia ako s deriváciou kvocientu. Preto je tiež lepšie to vysvetliť na konkrétnych príkladoch, s podrobným popisom každého kroku.

Úloha. Nájdite deriváty funkcií: f(X) = e 2X + 3 ; g(X) = hriech ( X 2 + ln X)

Všimnite si, že ak vo funkcii f(X) namiesto výrazu 2 X+ 3 bude ľahké X, potom dostaneme elementárnu funkciu f(X) = e X. Preto urobíme náhradu: nech 2 X + 3 = t, f(X) = f(t) = e t. Hľadáme deriváciu komplexnej funkcie pomocou vzorca:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

A teraz - pozor! Vykonávame spätnú výmenu: t = 2X+ 3. Dostaneme:

f ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Teraz sa pozrime na funkciu g(X). Je zrejmé, že ho treba vymeniť X 2 + ln X = t. Máme:

g ’(X) = g ’(t) · t“ = (hriech t)’ · t’ = cos t · t ’

Spätná výmena: t = X 2 + ln X. potom:

g ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

To je všetko! Ako vidno z posledného výrazu, celý problém sa zredukoval na výpočet derivačného súčtu.

odpoveď:
f ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) pretože ( X 2 + ln X).

Veľmi často na svojich hodinách namiesto výrazu „derivát“ používam slovo „hlavný“. Napríklad zdvih súčtu sa rovná súčtu zdvihov. Je to jasnejšie? No to je dobre.

Výpočet derivácie teda vedie k zbaveniu sa tých istých ťahov podľa vyššie uvedených pravidiel. Ako posledný príklad sa vráťme k derivačnej mocnine s racionálnym exponentom:

(X n)’ = n · X n − 1

V úlohe to málokto vie n môže byť aj zlomkové číslo. Napríklad koreň je X 0,5. Čo ak je pod koreňom niečo fantastické? Výsledkom bude opäť zložitá funkcia - takéto konštrukcie radi dávajú v testoch a skúškach.