Veta o limitnom bode. Bolzanova-Weierstrassova veta. Rozšírenie o prípad priestoru ľubovoľného rozmeru

Definícia v.7. Bod x € R na číselnej osi sa nazýva limitný bod postupnosti (xn), ak pre ľubovoľné okolie U (x) a ľubovoľné prirodzené číslo N možno nájsť prvok xn patriaci do tohto okolia s číslom väčším ako LG, t.j. x 6 R - hraničný bod ak. Inými slovami, bod x bude limitným bodom pre (xn), ak niektoré z jeho okolí obsahuje prvky tejto postupnosti s ľubovoľne veľkými číslami, hoci možno nie všetky prvky s číslami n > N. Preto je nasledujúce tvrdenie celkom zrejmé . Vyhlásenie b.b. Ak lim(xn) = 6 6 R, potom b je jediným limitným bodom postupnosti (xn). V skutočnosti na základe definície 6.3 limity postupnosti všetky jej prvky, počnúc od určitého čísla, spadajú do ľubovoľne malého okolia bodu 6, a preto prvky s ľubovoľne veľkými číslami nemôžu spadať do okolia žiadneho iného bodu. . V dôsledku toho je podmienka definície 6.7 splnená iba pre jeden bod 6. Avšak nie každý limitný bod (niekedy nazývaný tenký kondenzovaný bod) postupnosti je jej limitom. Postupnosť (b.b) teda nemá limitu (pozri príklad 6.5), ale má dva limitné body x = 1 a x = - 1. Postupnosť ((-1)pp) má dva nekonečné body +oo a ako limitné body - s predĺženým číselným radom, ktorého spojenie je označené jedným symbolom oo. Preto môžeme predpokladať, že nekonečné limitné body sa zhodujú a nekonečný bod oo podľa (6.29) je limitou tejto postupnosti. Limitné body čiary poradového čísla Dôkaz Weierstrassovho testu a Cauchyho kritéria. Nech je daná postupnosť (jn) a nech čísla k tvoria rastúcu postupnosť kladných celých čísel. Potom postupnosť (Vnb, kde yn = xkn> sa nazýva podsekvencia pôvodnej postupnosti. Je zrejmé, že ak (i„) má ako limitu číslo 6, potom ktorákoľvek z jej podsekvencií má rovnakú limitu, pretože začínajúc od určitého čísla všetky prvky pôvodnej postupnosti aj ktorejkoľvek jej podsekvencie spadajú do ľubovoľného zvoleného okolia bodu 6. Zároveň je limitný bod podsekvencie aj limitným bodom postupnosti 9. Z ľubovoľnej postupnosti, ktorá má a limitný bod, môžeme zvoliť podsekvenciu, ktorá má tento limitný bod ako limitný bod postupnosti (xn). 7 limitný bod, pre každé n pripadá prvok patriaci do okolia U (6, 1/n) bodu b polomeru 1/n. Podsekvencia zložená z bodov ijtj, ...1 ..., kde zjfcn€U(6, 1/n) Vn 6 N, má limitu v bode 6. Vskutku, pre ľubovoľné e > 0 možno zvoliť N také že. Potom všetky prvky podsekvencie počnúc číslom km budú spadať do ^-okolia U(6, e) bodu 6, čo zodpovedá podmienke 6.3 definície limity postupnosti. Platí aj opačná veta. Limitné body čiary poradového čísla Dôkaz Weierstrassovho testu a Cauchyho kritéria. Veta 8.10. Ak má niektorá postupnosť podsekvenciu s limitou 6, potom b je limitný bod tejto postupnosti. Z definície 6.3 limity postupnosti vyplýva, že od určitého čísla všetky prvky podsekvencie s limitou b spadajú do okolia U(b, ​​​​e) s ľubovoľným polomerom e sú súčasne prvky postupnosti (xn)> prvky xn spadajú do tohto okolia s toľkými ľubovoľne veľkými číslami, čo na základe definície 6.7 znamená, že b je limitný bod postupnosti (n). Poznámka 0.2. Vety 6.9 a 6.10 platia aj v prípade, keď je limitný bod nekonečný, ak pri dokazovaní merto okolia U(6, 1 /n) uvažujeme okolie (alebo susedstvá), za ktorých je konvergentná podsekvencia môže byť izolovaná z postupnosti je stanovená nasledujúcou vetou 6.11 (Bolzano - Weierstrass) Každá ohraničená postupnosť obsahuje podsekvenciu konvergujúcu ku konečnej limite Nech sú všetky prvky postupnosti (an) obsiahnuté medzi číslami a a 6, t. j. xn € [a, b] Vn € N. Rozdeľme segment [a] , b] na polovicu Potom bude aspoň jedna z jeho polovíc obsahovať nekonečný počet prvkov postupnosti, pretože inak bude celý segment [a, b] by ich obsahovalo konečný počet, čo je nemožné Nech ] je jedna z polovíc segmentu [a] , 6], ktorý obsahuje nekonečnú množinu prvkov postupnosti (zn). ak sú obe polovice také, potom ktorákoľvek z nich. Podobne zo segmentu obsahujúceho nekonečnú množinu prvkov postupnosti atď. Pokračujúc v tomto procese vytvoríme systém vnorených segmentov s bn - an = (6- a)/2P. Podľa princípu vnorených segmentov existuje bod x, ktorý patrí všetkým týmto segmentom. Tento bod bude limitným bodom pre postupnosť (xn) - V skutočnosti pre každé e-okolie U(x, e) = (xx + e) ​​bod x existuje segment C U(x, e) (to stačí vybrať n z nerovnice (, obsahujúcej nekonečný počet prvkov postupnosti (sn). Podľa definície 6.7 je x hraničným bodom tejto postupnosti. Potom podľa vety 6.9 existuje podsekvencia konvergujúca k bodu x. Metóda uvažovania použitá pri dôkaze tejto vety (niekedy sa jej hovorí Bolzanova-Weyer-Strassova lemma) a spojená so sekvenčnou bisekciou uvažovaných segmentov je známa ako Bolzanova metóda. Táto veta výrazne zjednodušuje dôkaz mnohých zložitých teorémov. Umožňuje vám dokázať množstvo kľúčových teorémov iným (niekedy jednoduchším) spôsobom. Dodatok 6.2. Dôkaz Weierstrassovho testu a Cauchyho kritéria Najprv dokážeme tvrdenie 6.1 (Weierstrassov test na konvergenciu ohraničenej monotónnej postupnosti). Predpokladajme, že postupnosť (jn) je neklesajúca. Potom je množina jeho hodnôt ohraničená vyššie a podľa vety 2.1 má supremum, ktoré označíme sup(xn) je R. Vzhľadom na vlastnosti suprema (pozri 2.7) Limitnými bodmi postupnosti sú čísla Dôkaz Weierstrassovho testu a Cauchyho kritéria. Podľa Definície 6.1 pre neklesajúcu postupnosť máme alebo Potom > Ny a pri zohľadnení (6.34) dostaneme, že zodpovedá definícii 6.3 limity postupnosti, t.j. 31im(sn) a lim(xn) = 66R. Ak je postupnosť (xn) nerastúca, tak priebeh dôkazu je podobný. Teraz prejdime k dokazovaniu dostatočnosti Kochiovho kritéria pre konvergenciu postupnosti (pozri výrok 6.3), keďže nevyhnutnosť podmienky kritéria vyplýva z vety 6.7. Nech je postupnosť (jn) základná. Podľa definície 6.4, ak je dané ľubovoľné € > 0, možno nájsť číslo N(s) také, že m^N a n^N implikujú. Potom, ak vezmeme m - N, pre Vn > N dostaneme € £ Keďže uvažovaná postupnosť má konečný počet prvkov s číslami nepresahujúcimi N, z (6.35) vyplýva, že základná postupnosť je ohraničená (pre porovnanie pozri napr. dôkaz vety 6.2 o ohraničenosti konvergentnej postupnosti ). Pre množinu hodnôt ohraničenej postupnosti existujú hranice infimum a supremum (pozri vetu 2.1). Pre množinu hodnôt prvkov pre n > N označujeme tieto plochy an = inf xn a bjy = sup xn. Keď sa N zvyšuje, presné infimum neklesá a presné supremum sa nezvyšuje, t.j. . Dostanem klimatizačný systém? segmenty Podľa princípu vnorených segmentov existuje spoločný bod, ktorý patrí všetkým segmentom. Označme ho b. Teda s porovnaním From (6. 36) a (6.37) ako výsledok dostaneme, že zodpovedá definícii 6.3 limity postupnosti, t.j. 31im(x„) a lim(sn) = 6 6 R. Bolzano začal študovať základné postupnosti. Nemal však rigoróznu teóriu reálnych čísel, a preto nebol schopný dokázať konvergenciu základnej postupnosti. Cauchy to urobil a považoval za samozrejmosť princíp vnorených segmentov, ktorý Cantor neskôr podložil. Kritérium konvergencie postupnosti sa nazýva nielen Cauchy, ale základná postupnosť sa často nazýva Cauchyho postupnosť a princíp vnorených segmentov je pomenovaný po Cantorovi. Otázky a úlohy 8.1. Dokážte, že: 6.2. Uveďte príklady nekonvergentných postupností s prvkami patriacimi do množín Q a R\Q. 0,3. Za akých podmienok tvoria členy aritmetických a geometrických postupností klesajúce a rastúce postupnosti? 6.4. Dokážte vzťahy, ktoré vyplývajú z tabuľky. 6.1. 6.5. Zostrojte príklady postupností inklinujúcich k nekonečným bodom +oo, -oo, oo a príklad postupnosti konvergujúcej k bodu 6 € R. c.v. Nemôže byť neobmedzená postupnosť b.b.? Ak áno, uveďte príklad. o 7. Zostrojte príklad divergentnej postupnosti pozostávajúcej z kladných prvkov, ktorá nemá ani konečnú, ani nekonečnú limitu. 6.8. Dokážte konvergenciu postupnosti (jn) danej rekurentným vzorcom sn+i = sin(xn/2) za podmienky „1 = 1. 6.9. Dokážte, že lim(xn)=09, ak sn+i/xn-»g€ .

Rozdeľte segment [ a 0 ,b 0 ] na polovicu na dva rovnaké segmenty. Aspoň jeden z výsledných segmentov obsahuje nekonečný počet členov sekvencie. Označme to [ a 1 ,b 1 ] .

V ďalšom kroku zopakujeme postup so segmentom [ a 1 ,b 1 ]: rozdeľte ho na dva rovnaké segmenty a vyberte z nich ten, na ktorom leží nekonečné množstvo členov postupnosti. Označme to [ a 2 ,b 2 ] .

Pokračujúc v procese získame sekvenciu vnorených segmentov

v ktorej každý nasledujúci je polovicou predchádzajúceho a obsahuje nekonečný počet členov postupnosti ( X k } .

Dĺžky segmentov majú tendenciu k nule:

Na základe Cauchyho-Cantorovho princípu vnorených segmentov existuje jediný bod ξ, ktorý patrí všetkým segmentom:

Podľa konštrukcie na každom segmente [a m ,b m ] existuje nekonečný počet členov postupnosti. Vyberajme postupne

pri dodržaní podmienky narastajúceho počtu:

Potom podsekvencia konverguje k bodu ξ. Vyplýva to zo skutočnosti, že vzdialenosť od do ξ nepresahuje dĺžku segmentu, ktorý ich obsahuje [a m ,b m ] , kde

Rozšírenie o prípad priestoru ľubovoľného rozmeru

Bolzanova-Weierstrassova veta sa dá ľahko zovšeobecniť na prípad priestoru ľubovoľnej dimenzie.

Nech je daná postupnosť bodov v priestore:

(dolný index je číslo poradového člena, horný index je číslo súradnice). Ak je postupnosť bodov v priestore obmedzená, potom každá z číselných postupností súradníc:

tiež obmedzené ( - číslo súradnice).

Na základe jednorozmernej verzie Bolzano-Weirstrassovej vety zo sekvencie ( X k) môžeme vybrať podsekvenciu bodov, ktorých prvé súradnice tvoria konvergentnú postupnosť. Z výslednej podsekvencie ešte raz vyberieme podsekvenciu, ktorá konverguje pozdĺž druhej súradnice. V tomto prípade bude konvergencia pozdĺž prvej súradnice zachovaná, pretože každá podsekvencia konvergentnej postupnosti tiež konverguje. A tak ďalej.

Po n dostaneme určitú postupnosť krokov

ktorá je podsekvenciou , a konverguje pozdĺž každej zo súradníc. Z toho vyplýva, že táto podsekvencia konverguje.

Príbeh

Bolzanova-Weierstrassova veta (pre prípad n= 1) prvýkrát dokázal český matematik Bolzano v roku 1817. V Bolzanovej práci pôsobila ako lemma pri dôkaze vety o stredných hodnotách spojitej funkcie, dnes známej ako Bolzanova-Cauchyho veta. Tieto a ďalšie výsledky, ktoré dokázal Bolzano dávno pred Cauchym a Weierstrassom, však zostali nepovšimnuté.

Len o pol storočia neskôr Weierstrass nezávisle od Bolzana znovu objavil a dokázal túto vetu. Pôvodne sa nazývala Weierstrassova veta, predtým ako sa Bolzanova práca stala známou a akceptovanou.

Dnes táto veta nesie mená Bolzano a Weierstrass. Táto veta sa často nazýva Bolzano-Weierstrassova lemma, a niekedy lemma limitného bodu.

Bolzanova-Weierstrassova veta a koncept kompaktnosti

Bolzanova-Weierstrassova veta stanovuje nasledujúcu zaujímavú vlastnosť ohraničenej množiny: každá postupnosť bodov M obsahuje konvergentnú podsekvenciu.

Pri dokazovaní rôznych tvrdení v analýze sa často uchyľujú k nasledujúcej technike: určia postupnosť bodov, ktorá má nejakú požadovanú vlastnosť, a potom z nej vyberú podsekvenciu, ktorá ju tiež má, ale je už konvergentná. Takto je napríklad dokázaná Weierstrassova veta, že funkcia spojitá na intervale je ohraničená a nadobúda svoje najväčšie a najmenšie hodnoty.

Účinnosť takejto techniky vo všeobecnosti, ako aj túžba rozšíriť Weierstrassovu vetu na ľubovoľné metrické priestory, podnietili francúzskeho matematika Mauricea Frécheta, aby v roku 1906 zaviedol tento koncept. kompaktnosť. Vlastnosť ohraničených množín v , stanovená Bolzanovou-Weierstrassovou vetou, je, obrazne povedané, že body množiny sú umiestnené celkom „tesne“ alebo „kompaktne“: po vykonaní nekonečného počtu krokov pozdĺž tejto množiny určite sa priblížime tak blízko, ako chceme, k nejakému bodu vo vesmíre.

Frechet zavádza nasledujúcu definíciu: množina M volal kompaktný, alebo kompaktný, ak každá postupnosť jej bodov obsahuje podsekvenciu konvergujúcu k nejakému bodu tejto množiny. Predpokladá sa, že na scéne M metrika je definovaná, teda je

Definícia 1. Bod x nekonečnej priamky sa nazýva limitný bod postupnosti (x n), ak v ktoromkoľvek e-okolí tohto bodu je nekonečne veľa prvkov postupnosti (x n).

Lema 1. Ak x je limitný bod postupnosti (x k ), potom z tejto postupnosti môžeme vybrať podsekvenciu (x n k ), konvergujúcu k číslu x.

Komentujte. Platí aj opačné tvrdenie. Ak je možné z postupnosti (x k) vybrať podsekvenciu konvergujúcu k číslu x, potom číslo x je hraničným bodom postupnosti (x k). V každom e-okolí bodu x je skutočne nekonečne veľa prvkov podsekvencie, a teda aj postupnosti samotnej (x k ).

Z Lemy 1 vyplýva, že môžeme dať inú definíciu limitného bodu postupnosti, ekvivalentnú Definícii 1.

Definícia 2. Bod x nekonečnej priamky sa nazýva limitný bod postupnosti (x k), ak z tejto postupnosti možno vybrať podsekvenciu konvergujúcu k x.

Lema 2. Každá konvergentná postupnosť má iba jeden limitný bod, ktorý sa zhoduje s limitou tejto postupnosti.

Komentujte. Ak postupnosť konverguje, potom má podľa Lemy 2 iba jeden limitný bod. Ak však (xn) nie je konvergentné, potom môže mať niekoľko limitných bodov (a vo všeobecnosti nekonečne veľa limitných bodov). Ukážme napríklad, že (1+(-1) n ) má dva limitné body.

Skutočne, (1+(-1) n )=0,2,0,2,0,2,... má dva limitné body 0 a 2, pretože podsekvencie (0)=0,0,0,... a (2)=2,2,2,... tejto postupnosti majú limity čísel 0 a 2, v tomto poradí nemá žiadne ďalšie limitné body. Nech x je skutočne ľubovoľný bod na číselnej osi okrem bodov 0 a 2. Vezmime e > 0, takže

malé, aby sa e - okolia bodov 0, x a 2 nepretínali. e-okolie bodov 0 a 2 obsahuje všetky prvky postupnosti a preto e-okolie bodu x nemôže obsahovať nekonečne veľa prvkov (1+(-1) n ) a preto nie je limitným bodom tejto postupnosti.

Veta. Každá ohraničená postupnosť má aspoň jeden limitný bod.

Komentujte.Žiadne číslo x nepresahujúce , je hraničným bodom postupnosti (x n), t.j. - najväčší medzný bod postupnosti (x n).

Nech x je ľubovoľné číslo väčšie ako . Zvoľme e>0 také malé, že

a x 1 О(x), napravo od x 1 je konečný počet prvkov postupnosti (x n) alebo nie sú žiadne, t.j. x nie je limitný bod postupnosti (x n ).

Definícia. Najväčší medzný bod postupnosti (x n) sa nazýva horná hranica postupnosti a označuje sa symbolom. Z poznámky vyplýva, že každá ohraničená postupnosť má hornú hranicu.

Podobne sa zavádza pojem dolnej hranice (ako najmenšieho medzného bodu postupnosti (x n )).

Dokázali sme teda nasledujúce tvrdenie. Každá ohraničená postupnosť má hornú a dolnú hranicu.

Sformulujme nasledujúcu vetu bez dôkazu.

Veta. Aby postupnosť (x n) bola konvergentná, je potrebné a postačujúce, aby bola ohraničená a jej horná a dolná hranica sa zhodovala.

Výsledky tejto časti vedú k nasledujúcej hlavnej vete Bolzana-Weierstrassovej.

Bolzanova-Weierstrassova veta. Z ľubovoľnej ohraničenej postupnosti možno vybrať konvergentnú podsekvenciu.

Dôkaz. Keďže postupnosť (x n ) je ohraničená, má aspoň jeden limitný bod x. Potom z tejto postupnosti môžeme vybrať podsekvenciu konvergujúcu k bodu x (vyplýva z Definície 2 limitného bodu).

Komentujte. Z akejkoľvek ohraničenej sekvencie je možné izolovať monotónnu konvergentnú sekvenciu.