Reklama na portáli

Vzdialenosť od bodu k rovine. Metóda podrobnej teórie s príkladmi (2020). Vektorová metóda

ÚLOHY C2 JEDNOTNEJ ŠTÁTNEJ SKÚŠKY Z MATEMATIKY NÁJSŤ VZDIALENOSŤ OD BODU K lietadlu

Kuliková Anastasia Jurievna

Študent 5. ročníka, odbor matematika. analýza, algebra a geometria EI KFU, Ruská federácia, Tatarská republika, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

vedecký školiteľ, Ph.D. ped. vedy, docent EI KFU, Ruská federácia, Tatarská republika, Elabuga

V posledných rokoch sa v úlohách Jednotnej štátnej skúšky z matematiky objavili úlohy na výpočet vzdialenosti od bodu k rovine. V tomto článku sa na príklade jedného problému zvažujú rôzne metódy na zistenie vzdialenosti od bodu k rovine. Na riešenie rôznych problémov možno použiť najvhodnejšiu metódu. Po vyriešení problému pomocou jednej metódy môžete skontrolovať správnosť výsledku pomocou inej metódy.

Definícia. Vzdialenosť od bodu k rovine, ktorá neobsahuje tento bod, je dĺžka kolmého segmentu vedeného z tohto bodu do danej roviny.

Úloha. Vzhľadom k tomu, obdĺžnikový rovnobežnosten ABSD.A. 1 B 1 C 1 D 1 so stranami AB=2, B.C.=4, A.A. 1 = 6. Nájdite vzdialenosť od bodu D do lietadla ACD 1 .

1 spôsob. Použitím definícia. Nájdite vzdialenosť r( D, ACD 1) z bodu D do lietadla ACD 1 (obr. 1).

Obrázok 1. Prvý spôsob

Poďme uskutočniť D.H.⊥AC, teda vetou o troch odvesniciach D 1 H⊥AC A (DD 1 H)⊥AC. Poďme uskutočniť priamy D.T. kolmý D 1 H. Rovno D.T. leží v rovine DD 1 H, teda D.T.⊥A.C.. teda D.T.⊥ACD 1.

ADC nájdime preponu AC a výška D.H.

Z pravouhlého trojuholníka D 1 D.H. nájdime preponu D 1 H a výška D.T.

Odpoveď: .

Metóda 2.Objemová metóda (použitie pomocnej pyramídy). Problém tohto typu možno zredukovať na problém výpočtu výšky pyramídy, kde výška pyramídy je požadovaná vzdialenosť od bodu k rovine. Dokážte, že táto výška je požadovaná vzdialenosť; nájdite objem tejto pyramídy dvoma spôsobmi a vyjadrite túto výšku.

Všimnite si, že pri tejto metóde nie je potrebné zostrojiť kolmicu z daného bodu na danú rovinu.

Kváder je kváder, ktorého všetky strany sú obdĺžniky.

AB=CD=2, B.C.=AD=4, A.A. 1 =6.

Požadovaná vzdialenosť bude výška h pyramídy ACD 1 D, spustený zhora D na základni ACD 1 (obr. 2).

Vypočítajme objem pyramídy ACD 1 D dve cesty.

Pri výpočte prvým spôsobom berieme ako základ ∆ ACD 1 potom

Pri výpočte druhým spôsobom berieme ako základ ∆ ACD, Potom

Dajme rovnítko medzi pravé strany posledných dvoch rovníc a získajme

Obrázok 2. Druhá metóda

Z pravouhlých trojuholníkov ACD, PRIDAŤ 1 , CDD 1 nájdite preponu pomocou Pytagorovej vety

ACD

Vypočítajte obsah trojuholníka ACD 1 pomocou Heronovho vzorca

Odpoveď: .

3 spôsob. Súradnicová metóda.

Nech je daný bod M(X 0 ,r 0 ,z 0) a lietadlo α , daný rovnicou sekera+podľa+cz+d=0 v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme. Vzdialenosť od bodu M k rovine α možno vypočítať pomocou vzorca:

Zavedieme si súradnicový systém (obr. 3). Počiatok súradníc v bode IN;

Rovno AB- os X, rovný slnko- os r, rovný BB 1 - os z.

Obrázok 3. Tretia metóda

B(0,0,0), A(2,0,0), S(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Nechaj ax+podľa+ cz+ d=0 – rovinná rovnica ACD 1. Dosadzovanie súradníc bodov do nej A, C, D 1 dostaneme:

Rovinná rovnica ACD 1 bude mať formu

Odpoveď: .

4 spôsobom. Vektorová metóda.

Uveďme si základ (obr. 4) , .

Obrázok 4. Štvrtá metóda

, Súťaž „Prezentácia na lekciu“

Trieda: 11

Prezentácia na lekciu
















Späť dopredu

Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Ciele:

  • zovšeobecňovanie a systematizácia vedomostí a zručností žiakov;
  • rozvoj schopností analyzovať, porovnávať, vyvodzovať závery.

Vybavenie:

  • multimediálny projektor;
  • počítač;
  • hárky s problémovými textami

POKROK TRIEDY

I. Organizačný moment

II. Fáza aktualizácie vedomostí(snímka 2)

Zopakujeme, ako sa určuje vzdialenosť od bodu k rovine

III. Prednáška(snímky 3-15)

V tejto lekcii sa pozrieme na rôzne spôsoby, ako nájsť vzdialenosť od bodu k rovine.

Prvý spôsob: výpočtové krok za krokom

Vzdialenosť od bodu M k rovine α:
– rovná vzdialenosti od roviny α od ľubovoľného bodu P ležiaceho na priamke a, ktorá prechádza bodom M a je rovnobežná s rovinou α;
– sa rovná vzdialenosti k rovine α od ľubovoľného bodu P ležiaceho v rovine β, ktorý prechádza bodom M a je rovnobežný s rovinou α.

Vyriešime nasledovné problémy:

№1. V kocke A...D 1 nájdite vzdialenosť bodu C 1 k rovine AB 1 C.

Zostáva vypočítať hodnotu dĺžky segmentu O 1 N.

№2. V pravidelnom šesťhrannom hranole A...F 1, ktorého všetky hrany sú rovné 1, nájdite vzdialenosť bodu A k rovine DEA 1.

Ďalší spôsob: objemová metóda.

Ak sa objem pyramídy ABCM rovná V, potom vzdialenosť od bodu M k rovine α obsahujúcej ∆ABC sa vypočíta podľa vzorca ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Pri riešení úloh používame rovnosť objemov jedného útvaru vyjadrenú dvoma rôznymi spôsobmi.

Poďme vyriešiť nasledujúci problém:

№3. Hrana AD pyramídy DABC je kolmá na základnú rovinu ABC. Nájdite vzdialenosť od A k rovine prechádzajúcej stredmi hrán AB, AC a AD, ak.

Pri riešení problémov súradnicová metóda vzdialenosť od bodu M k rovine α možno vypočítať pomocou vzorca ρ(M; α) = , kde M(x 0; y 0; z 0), a rovina je daná rovnicou ax + by + cz + d = 0

Poďme vyriešiť nasledujúci problém:

№4. V jednotkovej kocke A...D 1 nájdite vzdialenosť bodu A 1 k rovine BDC 1.

Predstavme si súradnicový systém s počiatkom v bode A, os y bude prebiehať pozdĺž hrany AB, os x pozdĺž hrany AD a os z pozdĺž hrany AA 1. Potom súradnice bodov B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Vytvorme rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodmi B, D, C 1.

Potom – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Preto ρ =

Nasledujúca metóda, ktorú možno použiť na riešenie problémov tohto typu, je spôsob podpory problémov.

Aplikácia tejto metódy spočíva vo využití známych referenčných problémov, ktoré sú formulované ako vety.

Poďme vyriešiť nasledujúci problém:

№5. V jednotkovej kocke A...D 1 nájdite vzdialenosť bodu D 1 k rovine AB 1 C.

Uvažujme o aplikácii vektorová metóda.

№6. V jednotkovej kocke A...D 1 nájdite vzdialenosť bodu A 1 k rovine BDC 1.

Pozreli sme sa teda na rôzne metódy, ktoré možno použiť na riešenie tohto typu problému. Výber jednej alebo druhej metódy závisí od konkrétnej úlohy a vašich preferencií.

IV. Skupinová práca

Skúste problém vyriešiť rôznymi spôsobmi.

№1. Hrana kocky A...D 1 sa rovná . Nájdite vzdialenosť od vrcholu C k rovine BDC 1.

№2. V pravidelnom štvorstene ABCD s hranou nájdite vzdialenosť od bodu A k rovine BDC

№3. V pravidelnom trojuholníkovom hranole ABCA 1 B 1 C 1, ktorého všetky hrany sú rovné 1, nájdite vzdialenosť od A k rovine BCA 1.

№4. V pravidelnom štvorbokom ihlane SABCD, ktorého všetky hrany sú rovné 1, nájdite vzdialenosť od A k rovine SCD.

V. Zhrnutie hodiny, domáca úloha, reflexia

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

  • Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

  • Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
  • Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
  • Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
  • Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

  • V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov v Ruskej federácii – poskytnúť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
  • V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Uvažujme určitú rovinu π a ľubovoľný bod M 0 v priestore. Vyberme sa do lietadla jednotkový normálny vektor n s začiatok v nejakom bode M 1 ∈ π a nech p(M 0 ,π) je vzdialenosť od bodu M 0 k rovine π. Potom (obr. 5.5)

р(М 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5,8)

od |n| = 1.

Ak je rovina π daná v pravouhlý súradnicový systém s jeho všeobecnou rovnicou Ax + By + Cz + D = 0, potom jej normálový vektor je vektor so súradnicami (A; B; C) a môžeme si vybrať

Nech (x 0 ; y 0 ; z 0) a (x 1 ; y 1 ; z 1) sú súradnice bodov M 0 a M 1 . Potom platí rovnosť Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, keďže bod M 1 patrí rovine a možno nájsť súradnice vektora M 1 M 0: M 1 M 0 = (x 0 - x1;y°-y1;z°-zi). Nahrávanie skalárny produkt nM 1 M 0 v súradnicovom tvare a transformácii (5.8), získame


keďže Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Ak teda chcete vypočítať vzdialenosť od bodu k rovine, musíte nahradiť súradnice bodu do všeobecnej rovnice roviny a potom rozdeliť absolútnu hodnotu výsledok normalizačným faktorom rovným dĺžke zodpovedajúceho normálového vektora.