Carduri

Salut student. Cum să găsiți o anumită soluție a unui DE folosind aproximativ o serie? Rânduri. Noțiuni de bază. Semn necesar de convergență

serie de puteri.

Folosind serii de puteri este posibil să se integreze ecuații diferențiale.

Luați în considerare o ecuație diferențială liniară de forma:

Dacă toți coeficienții și partea dreaptă a acestei ecuații sunt extinse în coeficienți convergenți într-un anumit interval serie de puteri, atunci există o soluție la această ecuație într-o mică vecinătate a punctului zero care satisface condițiile inițiale.

Această soluție poate fi reprezentată printr-o serie de puteri:

Pentru a găsi o soluție, rămâne să determinați constantele necunoscute c i.

Această problemă poate fi rezolvată metoda de comparare a coeficienților nesiguri. Substituim expresia scrisă pentru funcția dorită în ecuația diferențială originală, efectuând toate operațiile necesare cu serii de puteri (diferențiere, adunare, scădere, înmulțire etc.)

Apoi echivalăm coeficienții la aceleași grade Xîn partea stângă și dreaptă a ecuației. Ca urmare, ținând cont de condițiile inițiale, obținem un sistem de ecuații din care determinăm succesiv coeficienții c i.

Rețineți că această metodă este aplicabilă și ecuațiilor diferențiale neliniare.

Exemplu. Găsiți o soluție a ecuației cu condiții inițiale y(0)=1, y’(0)=0.

Vom căuta o soluție la ecuație în formă

Inlocuim expresiile rezultate in ecuatia originala:

De aici obținem:

………………

Obținem prin înlocuire condiții inițialeîn expresii pentru funcția dorită și derivata ei prima:

În sfârșit obținem:

Există o altă metodă de rezolvare a ecuațiilor diferențiale folosind serii. Se numeste metoda de diferentiere secventiala.

Să ne uităm la același exemplu. Vom căuta o soluție la ecuația diferențială sub forma unei extinderi a funcției necunoscute într-o serie Maclaurin.

Dacă condiţiile iniţiale date y(0)=1, y’(0)=0înlocuiți în ecuația diferențială originală, obținem asta

După înlocuirea valorilor obținute obținem:

Seria Fourier.

(Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) – matematician francez)

Seria trigonometrică.

Definiție. Seria trigonometrică numită o serie de forma:

sau, pe scurt,

Numere reale a i, b i se numesc coeficienți ai seriei trigonometrice.

Dacă o serie de tipul prezentat mai sus converge, atunci suma ei este o funcție periodică cu perioada 2p, deoarece functii sin nx si cos nx de asemenea functii periodice cu perioada 2p.

Fie seria trigonometrică să convergă uniform pe segmentul [-p; p], și deci pe orice segment datorită periodicității, iar suma acestuia este egală cu f(x).

Să determinăm coeficienții acestei serii.

Pentru a rezolva această problemă folosim următoarele egalități:

Valabilitatea acestor egalităţi rezultă din aplicarea lor la integrand formule trigonometrice. Consultați Integrarea funcțiilor trigonometrice pentru mai multe informații.

Deoarece funcţie f(x) este continuă pe intervalul [-p; p], atunci există o integrală

Acest rezultat se obţine ca urmare a faptului că.

De aici obținem:

În mod similar, înmulțim expresia pentru extinderea în serie a unei funcții cu sin nxși se integrează în intervalul de la -p la p.

Primim:

Expresia pentru coeficient un 0 este un caz special pentru exprimarea coeficienților un n.

Astfel, dacă funcţia f(x)– orice funcție periodică a perioadei 2p, continuă pe intervalul [-p; p] sau având un număr finit de puncte de discontinuitate de primul fel pe acest segment, apoi coeficienții

există și sunt numiți Coeficienții Fourier pentru functie f(x).

Definiție. Lângă Fourier pentru functie f(x) se numește o serie trigonometrică ai cărei coeficienți sunt coeficienți Fourier. Dacă seria Fourier a funcţiei f(x) converge către el în toate punctele sale de continuitate, atunci spunem că funcția f(x) se extinde într-o serie Fourier.

Semne suficiente de descompunere într-o serie Fourier.

Teorema. (teorema lui Dirichlet) Dacă funcția f(x) are o perioadă de 2p și pe segment

[-p;p] este continuă sau are un număr finit de puncte de discontinuitate de primul fel, iar segmentul

[-p;p] poate fi împărțit într-un număr finit de segmente astfel încât în fiecare dintre ele funcția f(x) să fie monotonă, apoi seria Fourier pentru funcția f(x) converge pentru toate valorile lui x, iar în punctele de continuitate ale funcției f(x) suma acesteia este egală cu f(x), iar în punctele de discontinuitate suma sa este egală cu , i.e. media aritmetică a valorilor limită din stânga și dreapta. În acest caz, seria Fourier a funcției f(x) converge uniform pe orice segment care aparține intervalului de continuitate al funcției f(x).

Se numește o funcție f(x) pentru care sunt îndeplinite condițiile teoremei lui Dirichlet monoton pe bucăți pe segmentul [-p;p].

Teorema. Dacă funcția f(x) are o perioadă de 2p, în plus, f(x) și derivata ei f’(x) – funcții continue pe intervalul [-p;p] sau au un număr finit de puncte de discontinuitate de primul fel pe acest interval, atunci seria Fourier a funcției f(x) converge pentru toate valorile lui x și în punctele lui continuitate suma sa este egală cu f(x), iar în punctele de discontinuitate este egală cu . În acest caz, seria Fourier a funcției f(x) converge uniform pe orice segment care aparține intervalului de continuitate al funcției f(x).

O funcție care îndeplinește condițiile acestei teoreme se numește pe bucăți – neted pe segmentul [-p;p].

Expansiunea seriei Fourier a unei funcții neperiodice.

Problema extinderii unei funcții neperiodice într-o serie Fourier nu este, în principiu, diferită de extinderea unei funcții periodice într-o serie Fourier.

Să spunem funcția f(x) este dat pe un interval și este monoton pe bucăți pe acest interval. Luați în considerare o funcție monotonă periodică pe bucăți f 1 (x) cu punct 2T ³ ïb-aï, care coincide cu funcția f(x) pe segmentul .

a - 2T a a b a+2T a + 4T x

Deci funcția f(x) a fost adaugat. Acum funcția f 1 (x) se extinde într-o serie Fourier. Suma acestei serii în toate punctele segmentului coincide cu funcția f(x), acestea. putem presupune că funcţia f(x) extins într-o serie Fourier pe segmentul .

Astfel, dacă funcția f(x) este dată pe un interval egal cu 2p, aceasta nu este diferită de extinderea în serie a unei funcții periodice. Dacă segmentul pe care este dată funcția este mai mic de 2p, atunci funcția este extinsă la intervalul (b, a + 2p) astfel încât să se păstreze condițiile de expansiune într-o serie Fourier.

În general vorbind, în acest caz, continuarea unei anumite funcții pe un segment (interval) de lungime 2p poate fi realizată într-un număr infinit de moduri, deci sumele seriei rezultate vor fi diferite, dar vor coincide cu cele date. funcția f(x) pe segment.

Seria Fourier pentru funcții pare și impare.

Să notăm următoarele proprietăți ale funcțiilor pare și impare:

2) Produsul a două funcții pare și impare este o funcție pară.

3) Produsul funcțiilor pare și impare este o funcție impară.

Valabilitatea acestor proprietăți poate fi dovedită cu ușurință pe baza definiției funcțiilor pare și impare.

Dacă f(x) este o funcție periodică pară cu perioada 2p, care îndeplinește condițiile de expansiune într-o serie Fourier, atunci putem scrie:

Astfel, pentru o funcție pară seria Fourier se scrie:

În mod similar, obținem expansiunea seriei Fourier pentru o funcție impară:

Exemplu. Extindeți într-o serie Fourier o funcție periodică cu perioada T = 2p pe intervalul [-p;p].

Funcția dată este impară, prin urmare, căutăm coeficienții Fourier sub forma:

Definiție. Seria Fourier pe un sistem ortogonal de funcții j 1 (x), j 2 (x), …,jn(x) se numește o serie de forma:

ai căror coeficienți sunt determinați prin formula:

Unde f(x)= este suma unei serii care converg uniform pe un segment de-a lungul unui sistem ortogonal de funcții. f(x) – orice funcție care este continuă sau are un număr finit de puncte de discontinuitate de primul fel pe segment.

În cazul unui sistem ortonormal de funcții, se determină coeficienții:

Când utilizați versiunea pentru computer „ Curs superior de matematică” este posibil să rulați un program care extinde o funcție arbitrară într-o serie Fourier.

Seria Taylor. Seria Maclaurin

Fie o funcție diferențiabilă de un număr infinit de ori în vecinătatea unui punct, i.e. are derivate de orice ordin. Seria Taylor a unei funcții într-un punct este o serie de puteri

În cazul special al seriei (1.8) se numește seria Maclaurin:

Se pune întrebarea: În ce cazuri seria Taylor pentru o funcție diferențiată de un număr infinit de ori într-o vecinătate a unui punct coincide cu funcția?

Pot exista cazuri când seria Taylor a unei funcții converge, dar suma acesteia nu este egală

Să prezentăm o condiție suficientă pentru convergența seriei Taylor a unei funcții la această funcție.

Teorema 1.4: dacă într-un interval o funcție are derivate de orice ordin și toate sunt limitate în valoare absolută de același număr, i.e. atunci seria Taylor a acestei funcții converge către oricare dintre acest interval, i.e. exista egalitate

Sunt necesare studii separate pentru a determina dacă această egalitate este valabilă la sfârșitul intervalului de convergență.

Trebuie remarcat faptul că, dacă o funcție este extinsă într-o serie de puteri, atunci această serie este seria Taylor (Maclaurin) a acestei funcții, iar această expansiune este unică.

Ecuatii diferentiale

Comun ecuație diferențială a n-a ordine pentru o funcție argument se numește relație de formă

unde este o funcție dată a argumentelor sale.

În numele acestei clase de ecuații matematice, termenul „diferențial” subliniază faptul că acestea includ derivate (funcții formate ca urmare a diferențierii); termenul „obișnuit” indică faptul că funcția dorită depinde doar de un singur argument real.

O ecuație diferențială obișnuită poate să nu conțină în mod explicit argumentul funcției dorite și oricare dintre derivatele sale, dar cea mai mare derivată trebuie inclusă în ecuația de ordinul al n-lea.

De exemplu,

A) - ecuație de ordinul întâi;

B) - ecuație de ordinul trei.

Când se scriu ecuații diferențiale obișnuite, se folosește adesea notația pentru derivate în termeni de diferențe:

B) - ecuație de ordinul doi;

D) - o ecuație de ordinul întâi care, după împărțirea la o formă echivalentă, formează următoarea ecuație:

O funcție se numește soluție a unei ecuații diferențiale obișnuite dacă, atunci când este substituită în ea, se transformă într-o identitate.

A găsi printr-o metodă sau alta, de exemplu, selecția, o funcție care satisface ecuația nu înseamnă rezolvarea acesteia. Rezolvarea unei ecuații diferențiale obișnuite înseamnă găsirea tuturor funcțiilor care formează o identitate atunci când sunt substituite în ecuație. Pentru ecuația (1.10), o familie de astfel de funcții se formează folosind constante arbitrare și se numește soluția generală a unei ecuații diferențiale obișnuite de ordinul n, iar numărul de constante coincide cu ordinea ecuației: Soluția generală nu poate să fie rezolvată explicit cu privire la În acest caz, soluția este de obicei numită integrală generală a ecuației (1.10).

Prin atribuirea unor valori admisibile tuturor constantelor arbitrare din soluția generală sau din integrala generală, obținem o anumită funcție care nu mai conține constante arbitrare. Această funcție se numește soluție parțială sau integrală parțială a ecuației (1.10). Pentru a găsi valorile constantelor arbitrare și, prin urmare, o anumită soluție, sunt utilizate diferite condiții suplimentare la ecuația (1.10). De exemplu, așa-numitele condiții inițiale pot fi specificate la:

În partea dreaptă a condițiilor inițiale (1.11) sunt date valorile numerice ale funcției și derivatelor și, numărul total condițiile inițiale sunt egale cu numărul de constante arbitrare definite.

Problema găsirii unei anumite soluții pentru ecuația (1.10) pe baza condițiilor inițiale se numește problema Cauchy.

Integrarea ecuațiilor diferențiale folosind seria

În cazul general, găsirea unei soluții exacte la o ecuație diferențială ordinară de ordinul întâi (ODE) prin integrarea acesteia este imposibilă. Mai mult, acest lucru nu este fezabil pentru un sistem ODE. Această împrejurare a dus la creație un numar mare metode aproximative de rezolvare a ODE-urilor și a sistemelor acestora. Dintre metodele aproximative se pot distinge trei grupe: analitice, grafice și numerice. Desigur, o astfel de clasificare este într-o anumită măsură arbitrară. De exemplu, metoda grafică a liniilor întrerupte ale lui Euler stă la baza uneia dintre metodele de rezolvare numerică a unei ecuații diferențiale.

Integrarea ODE-urilor folosind seriile de putere este o metodă analitică aproximativă, de obicei aplicată ecuațiilor liniare de cel puțin ordinul doi. Pentru simplitate, ne limităm la a considera o EDO liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți variabili

Notă: o clasă destul de largă de funcții poate fi reprezentată în formă

unde sunt unele constante. Această expresie se numește o serie de puteri.

Să presupunem că funcțiile pot fi extinse în serii convergente în intervalul:

Următoarea teoremă este valabilă (omițând demonstrația, prezentăm doar formularea acesteia).

Teorema 1.5: dacă funcțiile au forma (1.13), atunci orice soluție a EDO (1.12) poate fi reprezentată ca o serie de puteri convergând la:

Această teoremă nu numai că face posibilă reprezentarea soluției sub forma unei serii de puteri, dar, cel mai important, justifică convergența seriei (1.14). Pentru simplitate, introducem (1.13) și (1.14) și căutăm o soluție pentru ODE (1.12) sub forma

Înlocuind (1.15) în (1.12), obținem egalitatea

Pentru a îndeplini (1.16), este necesar ca coeficientul pentru fiecare grad să fie egal cu zero.

Din această condiție obținem un sistem infinit de liniare ecuații algebrice

din care se poate afla succesiv dacă se stabilesc valorile și (în cazul problemei Cauchy pentru ODE (1.12), acestea sunt incluse în condițiile inițiale).

Dacă funcțiile sunt raționale, i.e.

unde sunt polinoame, atunci în vecinătatea punctelor în care fie o soluție sub forma unei serii de puteri poate să nu existe și, dacă există, poate diverge peste tot, cu excepția punctului. Această împrejurare era cunoscută de L. Euler, care a considerat ecuația de ordinul întâi

Această ecuație este satisfăcută de seria de puteri

Nu este greu, totuși, să vezi că această serie diferă pentru oricare

Rezolvarea unei EDO sub forma unei serii de puteri divergente se numește formală.

MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI AL REPUBLICII KAZAKHSTAN

Universitatea de Stat din Kazahstanul de Nord

lor. M. Kozybaeva

Facultatea de Tehnologii Informaţionale

Departamentul de Matematică

Cursuri protejate

cu un rating de „___________”

"___"___________ anul 2013

cap departament____________

A. Tadzhigitov

Lucrări la CURS în matematică

„INTEGRAREA ECUATIILOR DIFERENTIALE

UTILIZAREA SERIA POWER”

ȘEF: Valeeva M.B. ___________

Petropavlovsk 2013

ADAPTA

Berilgen kurstyk zhumysta qatarlarmen zhane diferentials tendemelermen baylanysty theorylyk suraktar karastyrylgan. Diferențiale ale unui integraldauynyn mysaldary zhәne manganaz qatarlardyn komegimen karastyrylgan.

ADNOTARE

In acest munca de curs Sunt luate în considerare aspectele teoretice legate de serie și ecuații diferențiale. Sunt luate în considerare exemple de integrare a ecuațiilor diferențiale folosind serii de puteri.

lucrările date sunt considerate întrebări teoretice care sunt legate de serie și ecuații diferențiale. Sunt luate în considerare exemple de ecuații diferențiale parțiale de integrare folosind serii de puteri.

INTRODUCERE

CONCEPTE DE BAZĂ LEGATE DE SERIE ȘI ECUAȚII DIFERENȚIALE

1 rânduri. Noțiuni de bază. Semn necesar de convergență

2 Serii de putere. Proprietățile seriei de putere

3 Taylor Row. Seria Maclaurin

4 Ecuații diferențiale

5 Integrarea ecuațiilor diferențiale folosind serii

EXEMPLE DE UTILIZARE A SERIELOR DE PUTERE ÎN INTEGRAREA ECUATIILOR DIFERENȚIALE

1 Ecuație aeriană

2 Ecuația Bessel

3 Exemple de integrare

4 Exemple de integrare în Maple

CONCLUZIE

INTRODUCERE

Termenul „ecuație diferențială” provine de la Leibniz (1676, publicat în 1684). Începutul cercetărilor privind ecuațiile diferențiale datează din vremea lui Leibniz și Newton, în lucrările cărora s-au studiat primele probleme care duceau la astfel de ecuații. Leibniz, Newton, frații J. și I. Bernoulli au dezvoltat metode de integrare a ecuațiilor diferențiale obișnuite. Ca metodă universală, au fost folosite expansiuni ale integralelor ecuațiilor diferențiale în serii de puteri.

În zilele noastre, introducerea pe scară largă a metodelor de calcul în știință, asociată cu apariția instrumentelor de calcul de mare putere, necesită o reevaluare a importanței diferitelor ramuri ale matematicii și, în special, a secțiunilor teoriei ecuațiilor diferențiale obișnuite. În prezent, a crescut importanța metodelor de cercetare calitativă a soluțiilor ecuațiilor diferențiale, precum și a metodelor de găsire aproximativă a soluțiilor.

Soluțiile multor ecuații diferențiale nu sunt exprimate în funcții elementare sau în pătraturi. În aceste cazuri, se folosesc metode aproximative de integrare a ecuațiilor diferențiale. O astfel de metodă este reprezentarea soluției unei ecuații ca o serie de puteri; suma numărului finit de termeni ai acestei serii va fi aproximativ egală cu soluția dorită. Aceasta determină relevanța temei de cercetare alese.

Scopul acestei lucrări: arăta utilizarea metodei seriei de puteri în integrarea ecuațiilor diferențiale.

Obiectul studiului este procesul de integrare a ecuațiilor diferențiale folosind metoda seriei de puteri.

Subiectul studiului îl constituie formele, metodele și mijloacele de integrare a ecuațiilor diferențiale pe serii de puteri.

În conformitate cu scopul, principalele obiective ale acestei lucrări pot fi formulate:

Revedeți conceptele de bază legate de serie și ecuații diferențiale.

Analizați metoda de integrare a ecuațiilor diferențiale folosind serii de puteri.

Aplicați metoda seriei de putere pentru a rezolva diverse probleme.

Structura lucrării: pagina de titlu, formularul de atribuire a lucrării, rezumat, conținut, introducere, partea principală, concluzie, listă de referințe.

Partea principală a lucrării constă din două capitole. Primul capitol dezvăluie conceptele de serie, serie de puteri, serie Taylor și ecuații diferențiale. În al doilea capitol sunt luate în considerare exemple de integrare a ecuațiilor diferențiale prin serii de puteri.

Pentru studierea părții teoretice a lucrării s-au folosit materiale din literatura de specialitate și periodice indicate în lista literaturii folosite.

Volumul lucrării: 26 pagini.

1. CONCEPTE DE BAZĂ LEGATE DE SERIE ȘI ECUAȚII DIFERENȚIALE

1.1 Rânduri. Noțiuni de bază. Semn necesar de convergență

În aplicațiile matematice, precum și în rezolvarea unor probleme din economie, statistică și alte domenii, sunt luate în considerare sume cu un număr infinit de termeni. Aici vom da o definiție a ceea ce se înțelege prin astfel de sume.

Să fie dată o succesiune infinită de numere. O serie de numere sau pur și simplu o serie este o expresie (suma) a formei

,(1.1)

numerele se numesc membri ai unei serii – comune sau al n-lea termen rând.

Pentru a defini seria (1.1), este suficient să precizăm funcția argumentului natural de calcul al n-lea termen al seriei prin numărul său.

Exemplul 1.1. Lăsa . Rând

(1.2)

numită serie armonică.

Din termenii seriei (1.1) formăm succesiune de numere sume parțiale Unde - suma primilor termeni ai seriei, care se numește a n-a sumă parțială, i.e.

(1.3)

Secvență de numere cu o creștere nelimitată a numărului poate:

) au o limită finită;

) nu au limită finită (limita nu există sau este egală cu infinitul).

Seria (1.1) se numește convergentă dacă șirul sumelor sale parțiale (1.3) are o limită finită, i.e.

În acest caz, numărul se numește suma seriei (1.1) și se scrie

Seria (1.1) se numește divergentă dacă șirul sumelor sale parțiale nu are o limită finită. Nu se atribuie nicio sumă seriei divergente.

Astfel, problema găsirii sumei unei serii convergente (1.1) este echivalentă cu calcularea limitei succesiunii sumelor sale parțiale.

Dovada teoremei rezultă din faptul că , si daca

S este suma seriei (1.1), atunci

Condiția (1.4) este o condiție necesară, dar nu suficientă pentru convergența seriei. Adică, dacă termenul comun al seriei tinde spre zero la , aceasta nu înseamnă că seria converge. De exemplu, pentru seria armonică (1.2)

cu toate acestea, diverge.

Corolar (un semn suficient al divergenței unei serii): dacă termenul comun al seriei nu tinde spre zero, atunci această serie diverge.

Exemplul 1.2. Examinați seria pentru convergență

Pentru această serie Prin urmare, această serie diverge.

1.1 1.2 Seria de putere. Proprietățile seriei de putere

Seriile de putere sunt un caz special de serie funcțională.

O serie de putere este o serie funcțională a formei

aici sunt numere reale constante numite coeficienți serie de putere;

Un număr constant;

O variabilă care preia valori din mulțimea numerelor reale.

Când seria de puteri (1.5) ia forma

(1.6)

Seria de puteri (1.5) se numește o serie de puteri a diferenței, seria (1.6) este o serie de puteri. Dacă unei variabile i se dă orice valoare, atunci seria de puteri (1.5) (sau (1.6)) se transformă într-o serie numerică. serii care pot converge sau diverge.

Regiunea de convergență a unei serii de puteri este setul de valori la care converge seria de puteri.

Teorema 1.2 (Teorema lui Abel): dacă seria de puteri (1.6) converge la atunci converge absolut pentru toate valorile satisfăcând inegalitatea, dar dacă seria (1.6) diverge la atunci diverge pentru toate valorile satisfăcând inegalitatea

Teorema lui Abel oferă o idee clară a structurii regiunii de convergență a unei serii de puteri.

Teorema 1.3: regiunea de convergență a seriei de puteri (1.6) coincide cu unul dintre următoarele intervale:

) ; 2) ; 3) ; 4) ,

unde este un număr real nenegativ sau

Numărul se numește raza de convergență, intervalul se numește intervalul de convergență al seriei de puteri (1.6).

Dacă atunci intervalul de convergență reprezintă întreaga dreaptă numerică

Dacă atunci intervalul de convergenţă degenerează până la punctul

Notă: dacă este intervalul de convergență pentru seria de puteri (1.2), atunci - intervalul de convergenţă pentru seria de puteri (1.5).

Din teorema 1.3 rezultă că pentru a găsi practic regiunea de convergență a seriei de puteri (1.6), este suficient să-i găsim raza de convergență și să clarificăm problema convergenței acestei serii la capetele intervalului de convergență, adică. la şi

Raza de convergență a unei serii de puteri poate fi găsită folosind una dintre următoarele formule:

formula lui d'Alembert:

Formula Cauchy:

Exemplul 1.3. Aflați raza de convergență, intervalul de convergență și regiunea de convergență a seriei de puteri

Să găsim raza de convergență a acestei serii folosind formula

În cazul nostru

În consecință, intervalul de convergență al acestei serii are forma

Să studiem convergența seriei la capetele intervalului de convergență.

care diverge ca o serie armonică.

Când seria de putere se transformă într-o serie de numere

Aceasta este o serie alternativă, ai cărei termeni scad în valoare absolută și

Prin urmare, după criteriul lui Leibniz, această serie de numere converge.

Astfel, intervalul este regiunea de convergență a unei serii de puteri date.

Seria de puteri (1.6) este o funcție definită în intervalul de convergență, i.e.

Iată câteva proprietăți ale funcției:

Proprietatea 1. Funcția este continuă pe orice segment aparținând intervalului de convergență

Proprietatea 2. Funcția este diferențiabilă pe interval și derivata ei poate fi găsită prin diferențierea termen cu termen a seriei (1.6), i.e.

pentru toți

Proprietatea 3. Integrala nedefinită a unei funcții pentru toți poate fi obținută prin integrarea termen cu termen a seriei (1.6), i.e.

pentru toți

Trebuie remarcat faptul că odată cu diferențierea și integrarea termen cu termen a unei serii de puteri, raza de convergență a acesteia nu se modifică, dar convergența sa la capetele intervalului se poate modifica.

Proprietățile de mai sus sunt valabile și pentru seriile de putere (1.5).

Exemplul 1.4. Luați în considerare seria de putere

Regiunea de convergență a acestei serii, așa cum se arată în Exemplul 1.3, este intervalul

Să diferențiem această serie termen cu termen:

(1.7)

Să studiem comportamentul acestei serii la sfârșitul intervalului de convergență.

Această serie de numere diverge deoarece nu este îndeplinit criteriul de convergență necesar

care nu există.

Când seria de puteri (1.7) se transformă într-o serie de numere

care diverge şi pentru că nu este îndeplinit criteriul de convergenţă necesar.

În consecință, regiunea de convergență a seriei de puteri obținute prin diferențierea termen cu termen a seriei de puteri originale s-a schimbat și coincide cu intervalul .

1.3 Seria Taylor. Seria Maclaurin

Fie o funcție diferențiabilă de un număr infinit de ori în vecinătatea unui punct, i.e. are derivate de orice ordin. Seria Taylor a unei funcții într-un punct este o serie de puteri

(1.8)

În cazul special al seriei (1.8) se numește seria Maclaurin:

Se pune întrebarea: În ce cazuri seria Taylor pentru o funcție diferențiată de un număr infinit de ori în vecinătatea unui punct coincide cu funcția?

Pot exista cazuri când seria Taylor a unei funcții converge, dar suma acesteia nu este egală

Să prezentăm o condiție suficientă pentru convergența seriei Taylor a unei funcții la această funcție.

Teorema 1.4: dacă în interval o funcție are derivate de orice ordin și toate sunt limitate în valoare absolută la același număr, i.e. atunci seria Taylor a acestei funcții converge către oricare dintre acest interval acestea. exista egalitate

Sunt necesare studii separate pentru a determina dacă această egalitate este valabilă la sfârșitul intervalului de convergență.

Trebuie remarcat faptul că, dacă o funcție este extinsă într-o serie de puteri, atunci această serie este seria Taylor (Maclaurin) a acestei funcții, iar această expansiune este unică.

1.4 Ecuații diferențiale

O ecuație diferențială obișnuită de ordinul a n-a pentru o funcție argument este o relație de formă

unde este o funcție dată a argumentelor sale.

De exemplu,

A) - ecuație de ordinul întâi;

B) - ecuația de ordinul trei.

Când se scriu ecuații diferențiale obișnuite, se folosește adesea notația pentru derivate în termeni de diferențe:

ÎN) - ecuația de ordinul doi;

G) - o ecuație de ordinul întâi care, după împărțirea la o formă echivalentă, formează următoarea ecuație:

O funcție se numește soluție a unei ecuații diferențiale obișnuite dacă, atunci când este substituită în ea, se transformă într-o identitate.

În partea dreaptă a condițiilor inițiale (1.11) sunt specificate valorile numerice ale funcției și derivatelor, iar numărul total de condiții inițiale este egal cu numărul de constante arbitrare definite.

Problema găsirii unei anumite soluții pentru ecuația (1.10) pe baza condițiilor inițiale se numește problema Cauchy.

1.5 Integrarea ecuațiilor diferențiale folosind serii

În cazul general, găsirea unei soluții exacte la o ecuație diferențială ordinară de ordinul întâi (ODE) prin integrarea acesteia este imposibilă. Mai mult, acest lucru nu este fezabil pentru un sistem ODE. Această împrejurare a condus la crearea unui număr mare de metode aproximative pentru rezolvarea ODE-urilor și a sistemelor acestora. Dintre metodele aproximative se pot distinge trei grupe: analitice, grafice și numerice. Desigur, o astfel de clasificare este într-o anumită măsură arbitrară. De exemplu, metoda grafică a liniilor întrerupte ale lui Euler stă la baza uneia dintre metodele de rezolvare numerică a unei ecuații diferențiale.

(1.12)

Notă: o clasă destul de largă de funcții poate fi reprezentată în formă

unde sunt unele constante. Această expresie se numește o serie de puteri.

Să presupunem că funcțiile pot fi extinse în serii convergente în intervalul:

Următoarea teoremă este valabilă (omițând demonstrația, prezentăm doar formularea acesteia).

Teorema 1.5: dacă funcțiile au forma (1.13), atunci orice soluție a EDO (1.12) poate fi reprezentată ca o serie de puteri convergând la:

(1.14)

(1.15)

Înlocuind (1.15) în (1.12), obținem egalitatea

Pentru a îndeplini (1.16), este necesar ca coeficientul pentru fiecare grad să fie egal cu zero.

Din această condiție obținem un sistem infinit de ecuații algebrice liniare

din care se poate afla succesiv dacă se stabilesc valorile și (în cazul problemei Cauchy pentru ODE (1.12) acestea sunt incluse în condițiile inițiale ).

Dacă funcțiile sunt raționale, i.e.

Această ecuație este satisfăcută de seria de puteri

Nu este greu, totuși, să vezi că această serie diferă pentru oricare

Rezolvarea unei EDO sub forma unei serii de puteri divergente se numește formală.

2. EXEMPLE DE UTILIZARE A SERIELOR DE PUTERE CÂND SE INTEGREAZĂ ECUAȚII DIFERENȚIALE

Ecuație aerisită

Rezolvarea ecuației lui Airy

Vom căuta sub forma unei serii de puteri (1.15). Atunci egalitatea (1.16) va lua forma

Coeficientul pentru este egal cu Prin urmare, Din cauza coeficientului egal cu zero, constatăm că coeficientul pentru este egal cu De aici

Din această formulă obținem

În mod similar găsim

Şansele rămân incerte. Pentru a găsi sistemul fundamental de soluții, stabilim mai întâi si apoi invers. În primul caz avem

iar în al doilea

Pe baza teoremei 1.5, aceste serii sunt convergente peste tot pe dreapta numerică

Funcțiile se numesc funcții Airy. Pentru valori mari, comportamentul asimptotic al acestor funcții este descris de formule

Graficele acestor funcții sunt prezentate în Figura 1.

Poza 1

Cu o creștere nelimitată, zerourile oricărei soluții ale ecuației Airy se apropie fără limită, ceea ce este evident din reprezentarea asimptotică a acestor soluții, dar nu este deloc evident din reprezentarea funcțiilor Airy sub formă de putere convergentă. serie. Rezultă că metoda de găsire a unei soluții la o EDO folosind o serie este, în general, de puțină folos în rezolvarea probleme aplicate, iar însăși reprezentarea soluției sub formă de serie face dificilă analiza proprietăților calitative ale soluției rezultate.

2.1 Ecuația Bessel

Ecuație diferențială liniară cu coeficienți variabili, având forma

numită ecuația lui Bessel.

Vom căuta o soluție a ecuației (2.1) sub forma unei serii de puteri generalizate, i.e. produse într-un anumit grad din seria stepei:

(2.2)

Înlocuind o serie generalizată de puteri în ecuația (2.1) și egalând cu zero coeficienții pentru fiecare putere din partea stângă a ecuației, obținem sistemul

Presupunând că din acest sistem găsim Fie Atunci din a doua ecuație a sistemului pe care o găsim și din ecuația care dă valorile 3,5,7,..., concluzionăm că pentru coeficienți cu numere pare obținem expresiile

Înlocuind coeficienții găsiți în seria (2.2), obținem soluția

unde coeficientul rămâne arbitrar.

Căci toți coeficienții sunt determinați în mod similar numai în cazul în care nu este egal cu un număr întreg. Apoi soluția poate fi obținută prin înlocuirea valorii din soluția anterioară cu:

Seriile de putere rezultate converg pentru toate valorile lui , care este ușor de stabilit pe baza testului lui D'Alembert. Soluțiile și sunt liniar independente, deoarece raportul lor nu este constant.

Soluție înmulțită cu o constantă se numește funcția Bessel (sau funcție cilindrică) de ordinul primului fel și se notează prin simbolul Soluție se notează

Alegerea general acceptată a constantei implică funcția gamma, care este determinată de integrala improprie:

Prin urmare, decizie comună ecuația (2.1) când nu este egală cu un număr întreg, are forma unde și sunt constante arbitrare.

2.2 Exemple de integrare

În cazurile în care ecuația necesită rezolvarea problemei Cauchy în condiția inițială, soluția poate fi căutată folosind seria Taylor:

unde se găsesc alte derivate diferentiere succesiva ecuația originală și înlocuirea în rezultatul diferențierii în locul valorilor și a tuturor celorlalte derivate ulterioare găsite. În mod similar, ecuațiile de ordin superior pot fi integrate folosind seria Taylor.

Exemplul 2.1. Integrați aproximativ ecuația folosind seria Taylor luând primii șase termeni nenuli ai expansiunii.

Din ecuația condițiilor inițiale găsim Diferențiând această ecuație, obținem succesiv

A crede și a folosi semnificații găsim în mod constant că soluția necesară are forma

Exemplul 2.2. Găsiți primii patru termeni (diferiți de zero) ai expansiunii. Și

Înlocuind valorile găsite în serie (2.3), obținem soluția dorită cu precizia specificată:

2.3 Exemple de integrare în Maple

Pentru a găsi soluții analitice la ecuațiile diferențiale din Maple, utilizați comanda dsolve(eq,var,options), unde eq este ecuația diferențială, var sunt funcții necunoscute, opțiunile sunt parametri. Parametrii pot indica o metodă de rezolvare a unei probleme, de exemplu, se caută implicit o soluție analitică: tip=exact. La alcătuirea ecuațiilor diferențiale, comanda diff este folosită pentru a desemna derivata, de exemplu, ecuația diferențială se scrie sub forma: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

Pentru a găsi o soluție aproximativă a unei ecuații diferențiale sub forma unei serii de puteri, în comanda dsolve trebuie să specificați parametrul tip=serie (sau pur și simplu serie) după variabile. Pentru a indica ordinea de descompunere, i.e. Ordinea gradului în care se realizează descompunerea trebuie precedată de o definire a ordinii cu comanda Order:=n.

Dacă se caută o soluție generală a unei ecuații diferențiale sub forma unei expansiuni în serie de puteri, atunci coeficienții la puterile expansiunii găsite vor conține valori necunoscute ale funcției la zero și derivatele acesteia etc. Expresia obținută în linia de ieșire va avea o formă similară expansiunii soluției dorite din seria Maclaurin, dar cu coeficienți diferiți pentru puteri. Pentru a izola o anumită soluție, trebuie specificate condiții inițiale etc., iar numărul acestor condiții inițiale trebuie să coincidă cu ordinea ecuației diferențiale corespunzătoare.

Extinderea într-o serie de putere este de tip serie, așa că pentru a lucra în continuare cu această serie, ar trebui convertită într-un polinom utilizând comanda convert(%,polynom) și apoi selectați partea dreaptă a expresiei rezultate cu rhs( %) comanda.

> cond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, (D@@@2)(y)(0)=1;

> dsolve((de,cond),y(x));

> y1:=rhs(%):

> dsolve((de,cond),y(x),serie);

Notă: tipul de soluție a unei ecuații diferențiale sub forma unei serii este serie, deci pentru utilizarea ulterioară a unei astfel de soluții (calcule sau reprezentare grafică), aceasta trebuie convertită într-un polinom folosind comanda convert.

gradul seriei ecuațiilor diferențiale

> convert(%,polinom): y2:=rhs(%):

> p1:=plot(y1, x=-3..3, grosime=2, culoare=negru):

> p2:=plot(y2, x=-3..3, linestyle=3, grosime=2, culoare=negru):

> cu(parcele): afișare(p1,p2);

Figura 2 arată că cea mai bună aproximare a soluției exacte printr-o serie de puteri se realizează aproximativ în interval

Figura 2

CONCLUZIE

Obiectivele stabilite în munca de curs au fost pe deplin atinse, au fost rezolvate următoarele sarcini:

Sunt definite conceptele de bază asociate cu seriale și ecuațiile diferențiale.

Este luată în considerare metoda de integrare a ecuațiilor diferențiale folosind serii de puteri.

Problemele pe această temă au fost rezolvate.

În această lucrare de curs, materialul a fost studiat și sistematizat pentru a fi utilizat de către studenți în timpul auto-studiu metoda de integrare a ecuatiilor diferentiale folosind serii de puteri. Sunt luate în considerare conceptele de serie și ecuații diferențiale. Calculele aproximative au fost efectuate folosind serii.

Lucrarea poate fi folosită ca suport didactic pentru studenții specialităților tehnice și matematice.

Rezultatele lucrării pot servi drept bază pentru cercetări ulterioare.

LISTA REFERINȚELOR UTILIZATE

1 Tricomi F. Ecuaţii diferenţiale. Traducere din engleză. - M.: Bukinist, 2003. - 352 p.

Vlasova B. A., Zarubin B. S., Kuvyrkin G. N. Metode aproximative de fizică matematică: Manual pentru universități. - M.: Editura MSTU im. N. E. Bauman, 2001. - 700 p.

Budak B. M. Fomin S. V. Integrale multiple și serii. - M.: Fizmatlit, 2002. - 512 p.

Demidovich B. P. Culegere de probleme și exerciții în analiză matematică. - M.: Editura Mosk. Universitatea CheRo, 2000. - 624 s.

Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. etc. Toate matematica superioară: manual. T. 3. - M.: Editura Editorial URSS, 2005. - 240 p.

Yablonsky A. I., Kuznetsov A. V., Shilkina E. I. ş.a. Matematică superioară: Curs general: Manual. - M.: Mai sus. şcoală, 2000.- 351 p.

Malahov A. N., Maksyukov N. I., Nikishkin V. A. Matematică superioară. - M.: EAOI, 2008. - 315 p.

Markov L. N., Razmyslovich G. P. Matematică superioară. Partea 2. Fundamente ale analizei matematice și elemente ale ecuațiilor diferențiale. - M.: Amalfeya, 2003. - 352 p.

Agafonov S. A., German A. D., Muratova T. V. Ecuații diferențiale. - M.: Editura MSTU im. N.E. Bauman, 2004. - 352 p.

Coddington E. A., Levinson N. Teoria ecuațiilor diferențiale ordinare. - M.: Amalfeya, 2001. - 475 p.

Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral. T. 2. - M.: Fizmatlit, 2001. - 810 p.

Cum să găsiți o anumită soluție a unui DE folosind aproximativ o serie?

Continuând să studiem aplicațiile practice ale teoriei seriilor, să luăm în considerare o altă problemă comună, al cărei nume îl vedeți în titlu. Și, pentru a nu te simți ca o mașină de tuns iarba pe tot parcursul lecției, să înțelegem imediat esența sarcinii. Trei întrebări și trei răspunsuri:

Ce trebuie să găsești? Soluție particulară a unei ecuații diferențiale. Un indiciu între rânduri șoptește că până în acest moment este indicat să înțelegeți măcar ce este ecuație diferențială si care este solutia lui.

CUM este necesară această soluție? Aproximativ - folosind o serie.

Și a treia întrebare logică: de ce aproximativ? Am abordat deja această întrebare în clasă. Metodele Euler și Runge-Kutta, dar repetiția nu va strica. Fiind un susținător al specificului, voi reveni la cele mai simple ecuație diferențială. În timpul primei prelegeri despre difuzoare, am găsit soluția sa generală (set de exponențiale) și o soluție particulară corespunzătoare condiției inițiale. Graficul unei funcții este cea mai comună linie care este ușor de reprezentat într-un desen.

Dar acesta este un caz elementar. În practică, există foarte multe ecuații diferențiale care nu pot fi rezolvate analitic exact (cel puțin prin metodele cunoscute în prezent). Cu alte cuvinte, indiferent cum ai răsuci o astfel de ecuație, nu va fi posibil să o integrezi. Și captura este aceea poate exista o soluție generală (o familie de drepte pe un plan).. Și apoi metodele matematicii computaționale vin în ajutor.

Să ne întâlnim bucuria!

Sarcina tipică este formulat astfel:

… , satisfacand conditia initiala, sub forma de trei (mai rar – patru sau cinci) termeni diferiti de zero Seria Taylor.

Soluția specială necesară este extinsă în această serie conform formulei binecunoscute:

Singurul lucru este că în locul literei „ef”, aici este folosit „igrek” (se întâmplă așa).

Ideea și sensul sunt, de asemenea, familiare: pentru unele difuzoare si in anumite conditii (nu intram in teorie) construite seria puterilor va converge la soluția particulară dorită. Adică, cu cât luăm în considerare mai mulți termeni ai seriei, cu atât graficul polinomului corespunzător va aproxima mai precis graficul funcției.

Trebuie remarcat faptul că cele de mai sus se aplică celor mai simple cazuri. Să realizăm un studiu simplu pentru copii pe aceeași olita:

Exemplul 1

Găsiți o soluție aproximativ parțială a ecuației diferențiale care satisface condiția inițială sub forma primilor patru termeni nenuli ai seriei Taylor.

Soluţie: în condiţiile acestei probleme, deci formula generală Taylor se transformă în caz special Extinderea seriei Maclaurin:

Privind puțin înainte, voi spune că în sarcinile practice această serie mai compactă este mult mai comună.

Introduceți ambele formule de lucru în cartea de referință.

Să înțelegem semnificațiile. Este convenabil să numerotați etapele soluției:

0) La pasul zero, notăm valoarea, care este întotdeauna cunoscută din condiție. În caiet, este indicat să încercuiți rezultatele finale ale punctelor, astfel încât acestea să fie clar vizibile și să nu se piardă în soluție. Din motive tehnice, îmi este mai convenabil să le evidențiez cu caractere aldine. In afara de asta, rețineți că această valoare nu este zero! La urma urmei, condiția necesită găsirea a patru diferit de zero membri ai seriei.

1) Să calculăm. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valoarea cunoscută în partea dreaptă a ecuației originale în loc de „y”:

2) Să calculăm. Mai întâi găsim derivata a doua:

Înlocuim valoarea găsită în paragraful anterior în partea dreaptă:

Avem deja trei termeni diferite de zero ai expansiunii, mai avem nevoie de unul:

Exemplul 2

Găsiți o soluție aproximativ parțială a ecuației diferențiale , satisfacând condiția inițială sub forma primilor trei termeni nenuli ai seriei Taylor.

Soluţieîncepe cu o frază standard:

Prin urmare, în această problemă:

Acum găsim succesiv valorile - până când se obțin trei diferit de zero rezultat. Dacă ai noroc, ele vor fi diferite de zero – acesta este un caz ideal cu o cantitate minimă de muncă.

Să reducem punctele de soluție:

0) După condiție. Iată primul succes.

1) Să calculăm. În primul rând, să rezolvăm ecuația originală în raport cu prima derivată, adică exprimăm . Să înlocuim valorile cunoscute în partea dreaptă:

Am primit un volan și asta nu este bine, pentru că ne interesează diferit de zero sensuri. Totuși, zero - acelasi rezultat, pe care nu uităm să o încercuim sau să evidențiem în alt mod.

2) Găsiți derivata a doua și înlocuiți valorile cunoscute în partea dreaptă:

Al doilea este „nu zero”.

3) Aflați derivata derivatei a doua:

În general, sarcina amintește oarecum de Povestea napului, când un bunic, o bunica și o nepoată cheamă un gândac, o pisică etc. Și, de fapt, fiecare derivată ulterioară este exprimată prin „predecesorii” săi.

Să înlocuim valorile cunoscute în partea dreaptă:

A treia valoare diferită de zero. Au scos napul.

Înlocuiți cu atenție și cu grijă numerele „aldine” în formula noastră:

Răspuns: extinderea aproximativă dorită a soluției particulare:

În exemplul luat în considerare, a fost doar un zero pe locul doi, iar acest lucru nu este atât de rău. În general, zerourile pot apărea câte doriți și oriunde. Repet, este foarte important să le evidențiezi alături de rezultate non-zero, pentru a nu te încurca în înlocuiri în etapa finală.

Iată - covrigiul este pe primul loc:

Exemplul 3

Găsiți o soluție aproximativ parțială a ecuației diferențiale corespunzătoare condiției inițiale sub forma primilor trei termeni nenuli ai seriei Taylor.

Un exemplu aproximativ de sarcină la sfârșitul lecției. Este posibil ca punctele algoritmului să nu fie numerotate (lăsând, de exemplu, linii goale între pași), dar recomand începătorilor să respecte un șablon strict.

Sarcina luată în considerare necesită o atenție sporită - dacă greșiți la orice pas, atunci totul va fi și greșit! Prin urmare, capul tău limpede ar trebui să funcționeze ca un ceasornic. Din păcate, asta nu este integrale sau difuzoare, care pot fi rezolvate în mod fiabil chiar și în stare obosită, deoarece permit efectuarea unei verificări eficiente.

În practică este mult mai comun Extinderea seriei Maclaurin:

Exemplul 4

Soluţie: în principiu, puteți nota imediat Expansiunea Maclaurin, dar este mai academic să începem formalizarea problemei cu cazul general:

Expansiunea unei anumite soluții a unei ecuații diferențiale în condiția inițială are forma:

Prin urmare, în acest caz:

0) După condiție.

Pai ce poti face... Să sperăm că sunt mai puține zerouri.

1) Să calculăm. Primul derivat este deja gata de utilizare. Să înlocuim valorile:

2) Să găsim derivata a doua:

Și să înlocuim în ea:

Lucrurile au mers bine!

3) Găsiți. O voi scrie în detaliu:

Rețineți că regulile algebrice obișnuite se aplică derivatelor: aducerea termenilor similari la ultimul pas și scrierea produsului ca putere: (ibid.).

Să înlocuim tot ceea ce a fost dobândit printr-o muncă grea:

Se nasc trei valori diferite de zero.

Înlocuim numerele „aldine” în formula Maclaurin, obținând astfel o extindere aproximativă a soluției particulare:

Răspuns:

Pentru decizie independentă:

Exemplul 5

Prezentați aproximativ o soluție particulară a ecuației diferențiale corespunzătoare condiției inițiale date ca sumă a primilor trei termeni nenuli ai seriei de puteri.

Un model de design la sfârșitul lecției.

După cum puteți vedea, problema cu o anumită extindere în Seria Maclaurin s-a dovedit a fi chiar mai dificil decât cazul general. Complexitatea sarcinii luate în considerare, așa cum tocmai am văzut, constă nu atât în descompunerea în sine, cât în dificultățile de diferențiere. Mai mult, uneori trebuie să găsești 5-6 derivate (sau chiar mai multe), ceea ce crește riscul de eroare. Și la sfârșitul lecției, vă ofer câteva sarcini de complexitate crescută:

Exemplul 6

Rezolvați ecuația diferențială folosind aproximativ extinderea unei anumite soluții într-o serie Maclaurin, limitându-ne la primii trei termeni nenuli ai seriei

Soluţie: avem un diffur de ordinul doi, dar asta practic nu schimbă problema. Conform condiției, ni se cere imediat să folosim seria Maclaurin, pe care nu vom renunța să o folosim. Să notăm expansiunea familiară, luând mai mulți termeni pentru orice eventualitate:

Algoritmul funcționează exact la fel:

0) – după condiție.

1) – conform condiției.

2) Să rezolvăm ecuația inițială față de derivata a doua: .

Și să înlocuim:

Prima valoare diferită de zero

Faceți clic pe derivate și efectuați substituții:

Să înlocuim și:

Să înlocuim:

A doua valoare diferită de zero.

5) – pe parcurs prezentăm derivate similare.

Să înlocuim:

In cele din urma. Cu toate acestea, poate fi și mai rău.

Astfel, extinderea aproximativă a soluției particulare dorite este:

Ministerul Educației al Republicii Belarus

Instituție educațională

„Mogilevski Universitate de stat numit după A.A. Kuleshova"

Departamentul MAiVT

Construirea de soluții la ecuații diferențiale folosind serii

Lucrări de curs

Completat de: elev în anul III grupa B

Facultatea de Fizică și Matematică

Yuskaeva Alexandra Maratovna

Consilier stiintific:

Morozov Nikolay Porfirievici

MOGILEV, 2010

Introducere

1. Ecuații diferențiale de ordin superior

1.1. Conceptul unei ecuații diferențiale liniare de ordinul al n-lea

2. Integrarea ecuațiilor diferențiale folosind serii

2.1. Integrarea ecuațiilor diferențiale folosind serii de puteri.

2.2. Integrarea ecuațiilor diferențiale folosind serii de puteri generalizate.

3. Cazuri speciale de utilizare a seriilor de puteri generalizate la integrarea ecuațiilor diferențiale.

3.1. ecuația lui Bessel.

3.2. Ecuație hipergeometrică sau ecuație Gaussiană.

4. Aplicarea metodei de integrare a ecuațiilor diferențiale ordinare folosind seria în practică.

Concluzie

Literatură

Introducere

În cazul general, găsirea unei soluții exacte la o ecuație diferențială ordinară de ordinul întâi prin integrarea acesteia este imposibilă. Mai mult, acest lucru nu este fezabil pentru un sistem de ecuații diferențiale obișnuite. Această împrejurare a condus la crearea unui număr mare de metode aproximative pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale obișnuite și a sistemelor acestora. Dintre metodele aproximative se pot distinge trei grupe: analitice, grafice și numerice. Desigur, o astfel de clasificare este într-o anumită măsură arbitrară. De exemplu, metoda grafică a liniilor întrerupte ale lui Euler stă la baza uneia dintre metodele de rezolvare numerică a unei ecuații diferențiale.

Integrarea ecuațiilor diferențiale obișnuite folosind serii de puteri este o metodă analitică aproximativă, aplicată de obicei la ecuații liniare de cel puțin ordinul doi.

Metode analitice se regasesc in cursul de ecuatii diferentiale. Pentru ecuațiile de ordinul întâi (cu variabile separabile, omogene, liniare etc.), precum și pentru unele tipuri de ecuații de ordin superior (de exemplu, liniare cu coeficienți constanți), este posibil să se obțină soluții sub formă de formule prin transformări analitice.

Scopul lucrării este de a analiza una dintre metodele analitice aproximative, cum ar fi integrarea ecuațiilor diferențiale obișnuite folosind serii și aplicarea lor în rezolvarea ecuațiilor diferențiale.

Ecuații diferențiale de ordin superior

O ecuație diferențială obișnuită de ordinul al n-lea este o relație de formă

unde F este o funcție cunoscută a argumentelor sale, definită într-un anumit domeniu;

x - variabilă independentă;

y este o funcție a variabilei x de determinat;

y’, y”, …, y (n) - derivate ale funcției y.

În acest caz, se presupune că y (n) este de fapt inclus în ecuația diferențială. Oricare dintre celelalte argumente ale funcției F poate să nu participe în mod explicit la această relație.

Orice funcție care satisface o ecuație diferențială dată se numește soluție sau integrală. Rezolvarea unei ecuații diferențiale înseamnă găsirea tuturor soluțiilor acesteia. Dacă pentru funcția cerută y este posibil să se obțină o formulă care să dea toate soluțiile unei ecuații diferențiale date și numai ele, atunci spunem că i-am găsit soluția generală, sau integrala generală.

Soluția generală a unei ecuații diferențiale de ordinul al n-lea conține n constante arbitrare c 1, c 2,..., c n și are forma.

1.1. Conceptul de ecuație diferențială liniarăn-a ordine

O ecuație diferențială de ordinul al n-lea se numește liniară dacă este de gradul întâi față de mulțimea de mărimi y, y’, ..., y (n). Astfel, ecuația diferențială liniară de ordinul al n-lea are forma:

unde sunt cunoscute funcțiile continue ale lui x.

Această ecuație se numește o ecuație liniară neomogenă sau o ecuație cu partea dreaptă. Dacă partea dreaptă a ecuației este identic egală cu zero, atunci ecuație liniară se numește ecuație liniară diferențială omogenă și are forma

Dacă n este egal cu 2, atunci obținem o ecuație liniară de ordinul doi, care se va scrie astfel: La fel ca o ecuație liniară de ordinul al n-lea, o ecuație de ordinul doi poate fi omogenă () și neomogenă.

Integrarea ecuațiilor diferențiale folosind serii.

Soluțiile unei ecuații diferențiale obișnuite de mai sus de ordinul întâi cu coeficienți variabili nu sunt întotdeauna exprimate în termeni de funcții elementare, iar integrarea unei astfel de ecuații este rareori redusă la pătraturi.

2.1. Integrarea ecuațiilor diferențiale folosind serii de puteri.

Cea mai comună metodă de integrare a acestor ecuații este prezentarea soluției dorite sub forma unei serii de puteri. Luați în considerare ecuații de ordinul doi cu coeficienți variabili

Nota 1. O clasă destul de largă de funcții poate fi reprezentată în formă

unde, sunt unele constante. Această expresie se numește o serie de puteri. Dacă valorile sale sunt egale cu valorile corespunzătoare ale funcției pentru orice x din interval (x 0 - T; x 0 + T), atunci o astfel de serie se numește convergentă în acest interval.

Să presupunem că funcțiile a(x), b(x) sunt funcții analitice ale ecuației (2.1) pe intervalul (x 0 - T; x 0 + T), T > 0, adică. sunt extinse în serii de putere:

Următoarea teoremă este valabilă (omițând demonstrația, prezentăm doar formularea acesteia).

Teorema_1. Dacă funcțiile a(x), b(x) au forma (2.2), atunci orice soluție y(x) a ecuației diferențiale ordinare (2.1) poate fi reprezentată ca convergentă ca |x - x 0 |< Т степенного ряда:

Această teoremă nu numai că face posibilă reprezentarea soluției sub forma unei serii de puteri, dar și, cel mai important, justifică convergența seriei (2.3).

Algoritmul pentru o astfel de reprezentare este următorul. Pentru comoditate, să punem x 0 = 0 în (2.2) și (2.3) și să căutăm o soluție la ecuația diferențială obișnuită (2.1) sub forma

Înlocuind (2.4) în (2.1), obținem egalitatea

Pentru a îndeplini (2.5), este necesar ca coeficientul pentru fiecare putere x să fie egal cu zero. Din această condiție obținem un sistem infinit de ecuații algebrice liniare

………………………………………….

…………………………………………………………………. .

Din sistemul infinit de ecuații algebrice liniare rezultat, se poate găsi succesiv, ..., dacă se stabilesc valorile și (în cazul problemei Cauchy pentru ecuația diferențială ordinară (2.1), se pot introduce condițiile inițiale = , =).

Dacă funcțiile a(x), b(x) sunt raționale, i.e. , b , unde sunt polinoame, atunci în vecinătatea punctelor în care sau, o soluție sub forma unei serii de puteri poate să nu existe, iar dacă există, poate diverge peste tot, cu excepția punctului x = 0. Această împrejurare era cunoscut de L. Euler, care a considerat ecuația de ordinul întâi

Această ecuație este satisfăcută de seria de puteri

Nu este greu, totuși, să vezi că această serie diferă pentru oricare. Rezolvarea unei ecuații diferențiale obișnuite sub forma unei serii de puteri divergente se numește formală.

Unul dintre cele mai izbitoare și mai înțelese exemple de utilizare a acestei metode de integrare este ecuațiile Airy sau

Toate soluțiile acestei ecuații sunt funcții întregi ale lui x. Apoi vom căuta o soluție la ecuația Airy sub forma unei serii de puteri (2.4). Atunci egalitatea (2.5) ia forma

Să setăm coeficientul la fiecare putere x egal cu zero. Avem

……………………………

Coeficientul pentru gradul zero al lui x este egal cu 2y 2. În consecință, y 2 = 0. Atunci de la egalitatea coeficientului la zero găsim = . Coeficientul este egal cu. De aici.

Din această formulă obținem

Şansele rămân incerte. Pentru a găsi sistemul fundamental de soluții, se stabilește mai întâi = 1, = 0 și apoi invers. În primul caz avem

iar în al doilea

Pe baza teoremei 1, aceste serii sunt convergente peste tot pe dreapta numerelor.

Funcțiile și se numesc funcții Airy. Pentru valorile mari ale lui x, comportamentul asimptotic al acestor funcții este descris prin următoarele formule și.

Graficele acestor funcții sunt prezentate în Fig. 2.1. Constatăm că, cu o creștere nelimitată a lui x, zerourile oricărei soluții ale ecuației Airy se apropie la nesfârșit, ceea ce este evident și din reprezentarea asimptotică a acestor soluții, dar nu este deloc evident din reprezentarea funcțiilor Airy în forma unei serii de puteri convergente. Rezultă că metoda de căutare a unei soluții la o ecuație diferențială obișnuită folosind o serie este, în general, de puțină utilitate în rezolvarea problemelor aplicate, iar reprezentarea însăși a soluției sub forma unei serii face dificilă analizarea proprietățile calitative ale soluției rezultate.

2.2. Integrarea ecuațiilor diferențiale folosind serii de puteri generalizate.

Deci, dacă în ecuația (2.1) funcțiile a(x), b(x) sunt raționale, atunci punctele în care sau sunt numite puncte singulare ale ecuației (2.1).

Pentru o ecuație de ordinul doi

în care a(x), b(x) sunt funcții analitice în intervalul |x - x 0 |< а, точка х = 0 является особой точкой, лишь только один из коэффициентов а 0 или b 0 в разложении функций а(х) и b(х) в степенной ряд отличен от нуля. Это пример простейшей особой точки, так называемой регулярной особой точки (или особой точки первого рода).

În vecinătatea punctului singular x = x 0, soluțiile sub forma unei serii de puteri pot să nu existe; în acest caz, soluțiile trebuie căutate sub forma unei serii de puteri generalizate:

unde trebuie determinate λ și, …, ().

Teorema_2. Pentru ca ecuația (2.6) să aibă cel puțin o soluție particulară sub forma unei serii de puteri generalizate (2.7) în vecinătatea punctului singular x = x 0, este suficient ca această ecuație să aibă forma

Acestea sunt serii de puteri convergente, iar coeficienții nu sunt egali cu zero în același timp, deoarece în caz contrar punctul x = x 0 nu este un punct special și există două soluții liniar independente, holomorfe în punctul x = x 0 . Mai mult, dacă seria (2.7”) inclusă în coeficienții ecuației (2.7’) converg în regiunea | x - x 0 |< R, то и ряд, входящий в решение (2.7), заведомо сходится в той же области.

Considerăm ecuația (2.6) pentru x > 0. Înlocuind expresia (2.7) pentru x 0 = 0 în această ecuație, avem

Echivalând coeficienții la puteri de x la zero, obținem un sistem recurent de ecuații:

……..........................……………………………………………. (2.8)

unde este indicat

Deoarece, atunci λ trebuie să satisfacă ecuația

care se numește ecuație definitorie. Fie rădăcinile acestei ecuații. Dacă diferența nu este un număr întreg, atunci pentru orice număr întreg k > 0, ceea ce înseamnă că folosind metoda indicată este posibil să se construiască două soluții liniar independente pentru ecuația (2.6):

Dacă diferența este un număr întreg, atunci folosind metoda de mai sus puteți construi o soluție sub forma unei serii generalizate. Cunoscând această soluție, folosind formula Liouville-Ostrogradsky, puteți găsi a doua soluție liniar independentă:

Din aceeași formulă rezultă că soluția poate fi căutată sub formă

(numărul A poate fi egal cu zero).

Cazuri speciale de utilizare a seriilor de puteri generalizate la integrarea ecuațiilor diferențiale.

3.1. ecuația lui Bessel.

Ecuația Bessel este una dintre cele mai importante ecuații diferențiale din matematică și aplicațiile sale. Soluțiile ecuației Bessel, care alcătuiesc sistemul său fundamental de funcții, nu sunt funcții elementare. Dar ele sunt extinse în serii de puteri, ai căror coeficienți sunt calculați destul de simplu.

Să considerăm ecuația Bessel în formă generală:

Multe probleme de fizică matematică sunt reduse la această ecuație.

Deoarece ecuația nu se schimbă la înlocuirea x cu -x, este suficient să luăm în considerare valorile nenegative ale lui x. Singurul punct singular este x=0. Ecuația definitorie corespunzătoare lui x=0 este, . Dacă 0, atunci ecuația definitorie are două rădăcini: și. Să găsim soluția acestei ecuații sub forma unei serii de puteri generalizate

apoi, înlocuind y, y" și y" în ecuația originală, obținem

Prin urmare, reducând cu, avem

Pentru ca această egalitate să aibă loc identic, coeficienții trebuie să satisfacă ecuațiile

Să găsim soluția corespunzătoare rădăcinii ecuației definitorii λ = n. Înlocuind λ = n în ultimele egalități, vedem că putem lua orice număr altul decât zero, număr = 0, iar pentru k = 2, 3, ... avem

Prin urmare, pentru toți m = 0, 1, 2, … .

Astfel, toți coeficienții au fost găsiți, ceea ce înseamnă că soluția ecuației (3.1) se va scrie sub forma

Să introducem funcția

numită funcția gamma a lui Euler. Luând în considerare ce și ce pentru numere întregi și, de asemenea, alegând o constantă arbitrară, aceasta va fi scrisă sub formă

se numește funcția Bessel de primul fel de ordin al n-lea.

A doua soluție particulară a ecuației Bessel, liniar independentă, se caută în formă

Ecuațiile pentru determinarea la au forma

Presupunând că găsim

Prin convenție, n nu este un număr întreg, deci toți coeficienții cu numere pare sunt exprimați în mod unic prin:

Prin urmare,

Presupunând că reprezentăm y 2 (x) sub forma

se numește funcție Bessel de primul fel cu indice negativ.

Astfel, dacă n nu este un număr întreg, atunci toate soluțiile ecuației originale Bessel sunt combinații liniare ale funcției Bessel și: .

3.2. Ecuație hipergeometrică sau ecuație Gaussiană.

O ecuație hipergeometrică (sau ecuație Gaussiană) este o ecuație de formă

unde α, β, γ sunt numere reale.

Punctele sunt puncte singulare ale ecuației. Ambele sunt regulate, deoarece în vecinătatea acestor puncte coeficienții ecuației lui Gauss scriu în formă normală.

poate fi reprezentat ca o serie de puteri generalizate.

Să ne asigurăm de asta pentru un punct. Într-adevăr, observând asta

ecuația (3.2) poate fi scrisă ca

Această ecuație este un caz special al ecuației

și aici, deci punctul x=0 este un punct regulat singular al ecuației lui Gauss.

Să construim un sistem fundamental de soluții ale ecuației lui Gauss în vecinătatea punctului singular x=0.

Ecuația definitorie corespunzătoare punctului x=0 are forma

Rădăcinile sale și diferența lor nu este un număr întreg.

Prin urmare, în vecinătatea punctului singular x=0, este posibil să se construiască un sistem fundamental de soluții sub forma unor serii de puteri generalizate.

dintre care prima corespunde rădăcinii zero a ecuației definitorii și este o serie de puteri obișnuită, astfel încât soluția este holomorfă în vecinătatea punctului singular x=0. A doua soluție este evident non-holomorfă în punctul x=0. Să construim mai întâi o soluție particulară corespunzătoare rădăcinii zero a ecuației definitorii.

Deci, vom căuta o soluție particulară a ecuației (3.2) sub forma

Înlocuind (3.3) în (3.2), obținem

Echivalând termenul liber cu zero, obținem.

Lasă-l să fie, apoi îl primim.

Echivalând coeficientul la zero, găsim:

Prin urmare, soluția particulară necesară are forma:

Seria din dreapta se numește serie hipergeometrică, deoarece atunci când α=1, β=γ se transformă într-o progresie geometrică

Conform Teoremei_2, seria (3.4) converge ca |x|<1, так же как и ряд (3.5), и, следовательно, представляет в этом интервале решение уравнения (3.2).

A doua soluție particulară are forma:

În loc să găsim metoda coeficienților nedeterminați, vom înlocui funcția dorită în ecuația Gauss folosind formula

Obținem ecuația lui Gauss

în care rolul parametrilor α, β și γ este jucat de și.

Prin urmare, construind o soluție parțială a acestei ecuații corespunzătoare rădăcinii zero a ecuației definitorii și substituind-o în (3.6), obținem a doua soluție parțială a acestei ecuații Gauss sub forma:

Soluția generală a ecuației lui Gauss (3.2) va fi:

Folosind sistemul fundamental construit de soluții pentru ecuația Gauss în vecinătatea punctului singular x=0, se poate construi cu ușurință un sistem fundamental de soluții a acestei ecuații în vecinătatea punctului singular x=1, care este, de asemenea, un sistem regulat. punct singular.

În acest scop, vom transfera punctul singular x = 1 care ne interesează în punctul t = 0 și împreună cu acesta punctul singular x = 0 în punctul t = 1 folosind o înlocuire liniară a variabilei independente x = 1 - t.

Efectuând această substituție în această ecuație Gauss, obținem

Aceasta este ecuația Gaussiană cu parametri. Are in vecinatatea |t|<1 особой точки t = 0 фундаментальную систему решений

Revenind la variabila x, adică, stabilind t = 1 - x, obținem un sistem fundamental de soluții la ecuația Gauss inițială în vecinătatea punctului | x - 1|< 1 особой точки х = 1

Soluția generală a ecuației lui Gauss (3.2) în regiune va fi

Aplicarea metodei de integrare a ecuațiilor diferențiale ordinare folosind seria în practică.

Exemplul_1. (Nr. 691) Calculați primii câțiva coeficienți ai seriei (până la coeficientul de la x 4 inclusiv) cu condiții inițiale

Din condițiile inițiale rezultă că Acum să găsim coeficienții rămași:

Exemplul_2. (Nr. 696) Calculați primii câțiva coeficienți ai seriei (până la coeficientul de la x 4 inclusiv) cu condiții inițiale

Rezolvare: Vom căuta o soluție a ecuației în formă

Inlocuim expresiile rezultate in ecuatia originala:

Reprezentând partea dreaptă sub forma unei serii de puteri și echivalând coeficienții pentru aceleași puteri ale lui x din ambele părți ale ecuației, obținem:

Deoarece în funcție de condiție este necesar să se calculeze coeficienții seriei până la coeficientul la x 4 inclusiv, este suficient să se calculeze coeficienții.

Din condițiile inițiale rezultă că și 2. Acum să găsim coeficienții rămași:

În consecință, soluția ecuației va fi scrisă sub forma

Exemplul_3. (Nr. 700) Găsiți soluții liniar independente sub forma unei serii de puteri ale ecuației. Dacă este posibil, exprimați suma seriei rezultate folosind funcții elementare.

Soluţie. Vom căuta o soluție a ecuației sub forma unei serii

Diferențiând această serie de două ori și înlocuind-o în această ecuație, avem

Să scriem primii câțiva termeni ai seriei în ecuația rezultată:

Echivalând coeficienții la puteri egale ale lui x la zero, obținem un sistem de ecuații pentru determinarea:

………………………………….

Din aceste ecuații găsim

Să presupunem că atunci numai coeficienții vor fi diferiți de zero. Înțelegem asta

S-a construit o soluție a ecuației

Obținem a doua soluție, liniar independentă de cea găsită, prin presupunerea. Atunci numai coeficienții vor fi diferiți de zero:

Seria care reprezintă și converg pentru orice valoare a lui x și sunt funcții analitice. Astfel, toate soluțiile ecuației originale sunt funcții analitice pentru toate valorile lui x. Toate soluțiile sunt exprimate prin formula, unde C 1, C 2 sunt constante arbitrare:

Deoarece suma seriei rezultate poate fi exprimată cu ușurință folosind funcții elementare, se va scrie astfel:

Exemplul_4. (Nr. 711) Rezolvați ecuația 2x 2 y" + (3x - 2x 2)y" - (x + 1)y = 0.

Soluţie. Punctul x = 0 este un punct singular regulat al acestei ecuații. Compunem ecuația definitorie: Rădăcinile sale sunt λ 1 = 1/2 și λ 2 = - 1. Căutăm soluția ecuației inițiale corespunzătoare rădăcinii λ = λ 1 sub forma

Înlocuind și în ecuația originală, avem

De aici, reducând cu, obținem

Echivalând coeficienții la aceleași puteri ale lui x, avem ecuații pentru a determina:

Fixând y 0 = 1, găsim

Prin urmare,

Căutăm soluția ecuației inițiale corespunzătoare rădăcinii λ = λ 2 în forma

Înlocuind această expresie în ecuația originală și echivalând coeficienții la aceleași puteri ale lui x, obținem sau Punând y 0 = 1, găsim

Scriem soluția generală a ecuației originale sub forma unde și sunt constante arbitrare.

Concluzie

Rezolvarea ecuațiilor care conțin funcții necunoscute și derivatele lor la puteri mai mari decât prima sau într-un mod mai complex este adesea foarte dificilă.

În ultimii ani, astfel de ecuații diferențiale au atras o atenție tot mai mare. Deoarece soluțiile ecuațiilor sunt adesea foarte complexe și dificil de reprezentat folosind formule simple, o parte semnificativă a teoriei moderne este dedicată analizei calitative a comportamentului lor, de exemplu. dezvoltarea unor metode care să permită, fără a rezolva ecuația, să se spună ceva semnificativ despre natura soluțiilor în ansamblu: de exemplu, că toate sunt limitate, sau au o natură periodică sau depind într-un anumit fel de coeficienții.

Pe parcursul lucrărilor de curs a fost efectuată o analiză a metodei de integrare a ecuațiilor diferențiale folosind puterea și serii de puteri generalizate.

Literatură:

Matveev N.V. Metode de integrare a ecuațiilor diferențiale ordinare. Ed. a 4-a, rev. si suplimentare Minsk, „Cel mai înalt. şcoală”, 1974. - 768 p. cu bolnav.
Agafonov S.A., German A.D., Muratova T.V. Ecuații diferențiale: manual. pentru universități / Ed. B.C. Zarubina, A.P. Krischenko. - Ed. a III-a, stereotip. -M.: Editura MSTU im. N.E. Bauman, 2004. - 352 p.
Bugrov Ya. S., Nikolsky S. M. Matematică superioară. T.3: Ecuații diferențiale. Integrale multiple. Rânduri. Funcțiile unei variabile complexe: manual. pentru universități: În 3 volume / Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky; Ed. V. A. Sadovnichy. — Ed. a VI-a, stereotip. — M.: Butarda, 2004. —— 512 p.: ill.
Samoleinko A. M., Krivosheya S. A., Perestyuk N. A. Ecuații diferențiale: exemple și probleme. Manual indemnizatie. - Ed. a II-a, revizuită. - M.: Mai sus. şcoală, 1989. - 383 p.: ill.
Filippov A.F. Culegere de probleme pe ecuații diferențiale. Manual manual pentru universități. - M.: Fizmatizd, 1961. - 100 p.: ill.

Descarca: Nu aveți acces pentru a descărca fișiere de pe serverul nostru.